Хвильова фізика формули. Механічні коливання

період.

Періодом Tназивається проміжок часу, протягом якого система здійснює одне повне коливання:

N- Число повних коливань за час t.

Частота.

Частота ν – число коливань в одиницю часу:

Одиниця частоти – 1 герц (Гц) = 1 с -1

Циклічна частота:

Рівняння гармонійного коливання:

x- Зміщення тіла від становища. X m- амплітуда, тобто максимальне усунення, (ω t+ φ 0) – фаза коливань, Ψ 0 – його початкова фаза.

Швидкість.

При ? 0 = 0:

Прискорення.

При ? 0 = 0:

Вільні вагання.

Вільними називаються коливання, що виникають в механічній системі (осциляторі) при одиничному відхиленні її від положення рівноваги, що мають власну частоту 0, що задається тільки параметрами системи, і згасають з часом через наявність тертя.

Математичний маятник.

Частота:

l- Довжина маятника, g- прискорення вільного падіння.

Максимальну кінетичну енергію маятник має у момент проходження положення рівноваги:

Пружинний маятник.

Частота:

k- жорсткість пружини, m- Маса вантажу.

Максимальну потенційну енергію має маятник при максимальному зміщенні:

Вимушені коливання.

Вимушеними називають коливання, що виникають в коливальній системі (осциляторі) під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється.

Резонанс.

Резонанс – різке збільшення амплітуди X m вимушених коливань при збігу частоти вимушує сили з частотою 0 власних коливань системи.

Хвилі.

Хвилі - це коливання речовини (механічні) або поля (електромагнітні), що поширюються у просторі з часом.

Швидкість хвилі.

Швидкість поширення хвилі - швидкість передачі енергії коливання. При цьому частки середовища коливаються біля рівноваги, а не рухаються з хвилею.

Довжина хвилі.

Довжина хвилі λ - відстань, на яку поширюється коливання за один період:

Одиниця довжини хвилі – 1 метр (м).

Частота хвилі:

Одиниця частоти хвилі – 1 герц (Гц).

Гармонічні коливання відбуваються згідно із законом:

x = A cos(ω t + φ 0),

де x- Зміщення частки від положення рівноваги, А– амплітуда коливань, ω – кругова частота, φ 0 – початкова фаза, t- Час.

Період коливань T = .

Швидкість частинки, що коливається:

υ = = – Aω sin (ω t + φ 0),

прискорення a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Кінетична енергія частки, що здійснює коливальний рух: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Потенціальна енергія:

E n =
cos 2 (ω t + φ 0).

Періоди коливань маятників

– пружинного T =
,

де m- Маса вантажу, k- Коефіцієнт жорсткості пружини,

– математичного T = ,

де l- Довжина підвісу, g- прискорення вільного падіння,

- фізичного T =
,

де I- момент інерції маятника щодо осі, що проходить через точку підвісу, m- Маса маятника, l- Відстань від точки підвісу до центру мас.

Наведена довжина фізичного маятника перебуває з умови: l np = ,

позначення ті ж, що й для фізичного маятника.

При додаванні двох гармонійних коливань однієї частоти та одного напрямку виходить гармонійне коливання тієї ж частоти з амплітудою:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

та початковою фазою: φ = arctg
.

де А 1 , A 2 – амплітуди, φ 1 , φ 2 – початкові фази коливань, що складаються.

Траєкторія результуючого руху при складанні взаємноперпендикулярних коливань однієї частоти:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Затухаючі коливання відбуваються згідно із законом:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

де β – коефіцієнт загасання, сенс інших параметрів той самий, що й гармонійних коливань, А 0 - Початкова амплітуда. У момент часу tамплітуда коливань:

A = A 0 e - β t .

Логарифмічним декрементом згасання називають:

λ = ln
= β T,

де Т- Період коливання: T = .

Добротністю коливальної системи називають:

Рівняння плоскої хвилі, що біжить, має вигляд:

y = y 0 cos ω( t ± ),

де у- Зміщення коливається від положення рівноваги, у 0 – амплітуда, ω – кругова частота, t- Час, х– координата, вздовж якої поширюється хвиля, υ - Швидкість поширення хвилі.

Знак + відповідає хвилі, що поширюється проти осі X, знак «–» відповідає хвилі, що розповсюджується по осі. Х.

Довжиною хвилі називають її просторовий період:

λ = υ T,

де υ -швидкість поширення хвилі, T- Період поширених коливань.

Рівняння хвилі можна записати:

y = y 0 cos 2π (+).

Стояча хвиля описується рівнянням:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

У дужки укладено амплітуда стоячої хвилі. Крапки з максимальною амплітудою називаються пучностями,

xп = n ,

крапки з нульовою амплітудою – вузлами,

xу = ( n + ) .

Приклади розв'язання задач

Завдання 20

Амплітуда гармонійних коливань дорівнює 50 мм, період 4 с і початкова фаза . а) Записати рівняння цього коливання; б) знайти зміщення точки, що коливається від положення рівноваги при t=0 і при t= 1,5; в) накреслити графік цього руху.

Рішення

Рівняння коливання записується як x = a cos( t+  0).

За умовою відомий період коливань. Через нього можна виразити кругову частоту  = . Інші параметри відомі:

а) x= 0,05 cos ( t + ).

б) Зміщення xпри t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 м-коду.

При t= 1,5 c

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + )= 0,05 cos  = - 0,05 м.

в ) графік функції x=0,05cos ( t + ) виглядає наступним чином:

Визначимо положення кількох точок. Відомі х 1 (0) та х 2 (1,5), і навіть період коливань. Отже, через  t= 4 c значення хповторюється, а через  t = 2 c змінює знак. Між максимумом та мінімумом посередині – 0 .

Завдання 21

Крапка здійснює гармонійне коливання. Період коливань 2, амплітуда 50 мм, початкова фаза дорівнює нулю. Знайти швидкість точки в момент часу, коли її усунення від положення рівноваги дорівнює 25 мм.

Рішення

1 спосіб. Записуємо рівняння коливання точки:

x= 0,05 cos  t, т. до.  = =.

Знаходимо швидкість у момент часу t:

υ = = – 0,05 cos  t.

Знаходимо момент часу, коли зсув дорівнює 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

звідси cos  t 1 = ,  t 1 = . Підставляємо це значення у вираз для швидкості:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/с.

2 спосіб. Повна енергія коливального руху:

E =
,

де а– амплітуда,  – кругова частота, m – маса частки.

У кожний момент часу вона складається з потенційної та кінетичної енергії точки

E k = , Eп = , але k = m 2 , отже, Eп =
.

Запишемо закон збереження енергії:

= +
,

звідси отримуємо: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/с.

Завдання 22

Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки А= 2 см, повна енергія Е= 3∙10 -7 Дж. При якому зміщенні від положення рівноваги на точку, що коливається, діє сила F = 2,25∙10 -5 Н?

Рішення

Повна енергія точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює: E =
. (13)

Модуль пружної сили виражається через усунення точок від положення рівноваги xнаступним чином:

F = k x (14)

До формули (13) входять маса mі кругова частота , а (14) – коефіцієнт жорсткості k. Але кругова частота пов'язана з mі k:

 2 = ,

звідси k = m 2 та F = m 2 x. Виразивши m 2 із співвідношення (13) отримаємо: m 2 = , F = x.

Звідки і отримуємо вираз для усунення x: x = .

Підстановка числових значень дає:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 м = 1,5 см.

Завдання 23

Крапка бере участь у двох коливаннях з однаковими періодами та початковими фазами. Амплітуди коливань А 1 = 3 см та А 2 = 4 см. Знайти амплітуду результуючого коливання, якщо: 1) коливання відбуваються в одному напрямку; 2) коливання взаємно перпендикулярні.

Рішення

Якщо коливання відбуваються в одному напрямку, то амплітуда результуючого коливання визначиться як:

де А 1 і А 2 – амплітуди коливань, що складаються,  1 і  2 –початкові фази. За умовою початкові фази однакові, отже  2 –  1 = 0, а cos 0 = 1.

Отже:

A =
=
= А 1 +А 2 = 7 див.

Якщо коливання взаємно перпендикулярні, рівняння результуючого руху буде:

cos(2 – 1) = sin 2 (2 – 1).

Оскільки за умовою  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то рівняння запишеться у вигляді:
=0,

або
=0,

або
.

Отримане співвідношення між xі уможна зобразити на графіку. З графіка видно, що результуючим буде коливання точки на прямій MN. Амплітуда цього коливання визначиться як: A =
= 5 див.

Завдання 24

Період загасаючих коливань Т=4 с, логарифмічний декремент згасання  = 1,6, початкова фаза дорівнює нулю. Зміщення точки при t = одно 4,5 см. 1) Написати рівняння цього коливання; 2) Побудувати графік цього руху на два періодів.

Рішення

Рівняння загасаючих коливань з нульовою початковою фазою має вигляд:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для встановлення числових значень не вистачає величин початкової амплітуди А 0 та коефіцієнта згасання .

Коефіцієнт згасання можна визначити із співвідношення для логарифмічного декременту згасання:

 = Т.

Таким чином  = = = 0,4 з -1.

Початкову амплітуду можна визначити, підставивши другу умову:

4,5 см = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Звідси знаходимо:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Остаточно рівняння руху:

x = 0,0775
cost.

Завдання 25

Чому дорівнює логарифмічний декремент згасання математичного маятника, якщо за t = 1 хв амплітуда коливань зменшилася вдвічі? Довжина маятника l = 1 м.

Рішення

Логарифмічний декремент згасання можна знайти із співвідношення: =  Т,

де  - коефіцієнт загасання, Т- Період коливань. Власна кругова частота математичного маятника:

 0 =
= 3,13 з -1.

Коефіцієнт загасання коливань можна визначити за умови: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Оскільки <<  0 , то в формуле  =
можна знехтувати порівняно з  0 та період коливань визначити за формулою: T = = 2c.

Підставляємо  і Ту вираз для логарифмічного декременту згасання та отримуємо:

 = T= 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Завдання 26

Рівняння незагасаючих коливань дано у вигляді x= 4 sin600  tдив.

Знайти усунення положення рівноваги точки, що знаходиться на відстані l= 75 см від джерела коливань, через t= 0,01 з після початку коливань. Швидкість поширення коливань υ = 300 м/с.

Рішення

Запишемо рівняння хвилі, що поширюється від джерела: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Знаходимо фазу хвилі в даний момент часу в цьому місці:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Отже, зміщення точки x= 0,04 м-код, тобто. на відстані l =75 см від джерела на момент часу t= 0,01 c зміщення точки максимально.

Список літератури

Волькенштейн В.С. Збірник завдань із загального курсу фізики. - СПб.: СпецЛіт, 2001.

Савельєв І.В. Збірник питань та завдань із загальної фізики. - М.: Наука, 1998.

Рівняння гармонійних коливань

де х -зміщення коливається точки від положення рівноваги;
t- Час; А,ω, φ- відповідно амплітуда, кутова частота,
початкова фаза коливань; - фаза коливань у момент t.

Кутова частота коливань

де ν і Т - частота та період коливань.

Швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання,

Прискорення при гармонійному коливанні

Амплітуда Арезультуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються по одній прямій, визначається за формулою

де a 1 і А 2 - амплітуди складових коливань; φ 1 та φ 2 - їх початкові фази.

Початкова фаза φ результуючого коливання може бути знайдена з формули

Частота биття, що виникають при додаванні двох коливань, що відбуваються по одній прямій з різними, але близькими за значенням частотами 1 і 2 ,

Рівняння траєкторії точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A 1 і A 2 і початковими фазами 1 і 2 ,

Якщо початкові фази φ 1 і φ 2 складових коливань однакові, то рівняння траєкторії набуває вигляду

т. е. точка рухається прямою.

У тому випадку, якщо різниця фаз , рівняння
набуває вигляду

т. е. точка рухається еліпсом.

Диференціальне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки

Або ,
де m – маса точки; k -коефіцієнт квазіпружної сили ( k=тω 2).

Повна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання,

Період коливань тіла, підвішеного на пружині (пружинний маятник),

де m- маса тіла; k -жорсткість пружини. Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (при малій масі пружини проти масою тіла).

Період коливань математичного маятника

де l- Довжина маятника; g -прискорення вільного падіння. Період коливань фізичного маятника

де J- момент інерції тіла, що коливається відносно осі

коливань; а- відстань центру мас маятника від осі коливань;

Наведена довжина фізичного маятника.

Наведені формули є точними для випадку нескінченно малих амплітуд. При кінцевих амплітудах ці формули дають лише наближені результати. При амплітудах трохи більше помилка у значенні періоду вбирається у 1 %.

Період крутильних коливань тіла, підвішеного на пружній нитці,

де J -момент інерції тіла щодо осі, що збігається з пружною ниткою; k -жорсткість пружної нитки, що дорівнює відношенню пружного моменту, що виникає при закручуванні нитки, до кута, на який закручується нитка.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань
, або ,

де r- Коефіцієнт опору; δ - коефіцієнт згасання: ; ω 0 - власна кутова частота коливань *

Рівняння загасаючих коливань

де A(t) -амплітуда загасаючих коливань у момент t;ω - їхня кутова частота.

Кутова частота загасаючих коливань

Про Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

де А 0 - амплітуда коливань у момент t=0.

Логарифмічний декремент коливань

де A(t)і A (t+T) -амплітуди двох послідовних коливань, віддалених за часом друг від друга період.

Диференційне рівняння вимушених коливань

де - Зовнішня періодична сила, що діє на
коливається матеріальна точка і викликає вимушені
коливання; F 0 -її амплітудне значення;

Амплітуда вимушених коливань

Резонансна частота та резонансна амплітуда і

Приклади розв'язання задач

приклад 1.Крапка здійснює коливання згідно із законом x(t)= ,де А = 2див. Визначити початкову фазу φ, якщо

x(0)= см і х , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-
мента t=0.

Рішення. Скористаємося рівнянням руху та висловимо зміщення у момент t=0 через початкову фазу:

Звідси знайдемо початкову фазу:

* У наведених раніше формулах гармонійних коливань та сама величина позначалася просто ω (без індексу 0).

Підставимо в цей вираз задані значення x(0) та А:φ=
=. Значення аргументу задовольняють
два значення кута:

Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута удовле
Краще ще й умові, знайдемо спочатку:

Підставивши в цей вираз значення t=0 та по черзі значення
початкових фаз і , знайдемо

Так як завжди A>0 і ω>0, то умові задовольняє толь
до першого значення початкової фази.
Таким чином, шукана початкова
фаза

За знайденим значенням?
їм векторну діаграму (рис. 6.1).
приклад 2.Матеріальна точка
масою т= 5 г здійснює гармонійний-
чі коливання з частотою ν = 0,5 Гц.
Амплітуда коливань A= 3 см. Оп-
реділити: 1) швидкість υточки в мо-
мент часу, коли зміщення х=
= 1,5 см; 2) максимальну силу
F max , що діє на точку; 3)
Мал. 6.1 повну енергію Еколивається точ
ки.

а формулу швидкості отримаємо, взявши першу похідну за часом від усунення:

Щоб виразити швидкість через усунення, треба виключити з формул (1) і (2) час. Для цього зведемо обидва рівняння у квадрат, розділимо перше на А 2 ,друге на A 2 ω 2 і складемо:

Або

Вирішивши останнє рівняння щодо υ , знайдемо

Виконавши обчислення за цією формулою, отримаємо

Знак плюс відповідає випадку, коли напрямок швидкості збігається з позитивним напрямком осі х,знак мінус - коли напрямок швидкості збігається з негативним напрямком осі х.

Усунення при гармонійному коливанні крім рівняння (1) може бути визначене також рівнянням

Повторивши з цим рівнянням таке саме рішення, отримаємо ту саму відповідь.

2. Силу, що діє на точку, знайдемо за другим законом Ньютона:

де а -прискорення точки, яку отримаємо, взявши похідну за часом від швидкості:

Підставивши вираз прискорення у формулу (3), отримаємо

Звідси максимальне значення сили

Підставивши в це рівняння значення величин π, ν, ті A,знайдемо

3. Повна енергія точки, що коливається, є сума кінетичної та потенційної енергій, обчислених для будь-якого моменту часу.

Найпростіше обчислити повну енергію у момент, коли кінетична енергія досягає максимального значення. У цей момент потенційна енергія дорівнює нулю. Тому повна енергія Eколивальної точки дорівнює максимальної кінетичної енергії

Максимальну швидкість визначимо з формули (2), поклавши
: . Підставивши вираз швидкості у фор-
мулу (4), знайдемо

Підставивши значення величин у цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

чи мкДж.

приклад 3. l= 1 м та масою m 3 = 400 г укріплені кульки малих розмірів масами m 1 = 200 гі m 2 = 300г. Стрижень коливається біля горизонтальної осі, перпен-

дикулярну стрижню і проходить через його середину (точка О на рис. 6.2). Визначити період Тколивань, скоєних стрижнем.

Рішення. Період коливань фізичного маятника, яким є стрижень із кульками, визначається співвідношенням

Де J - т -його маса; l З -відстань від центру мас маятника до осі.

Момент інерції даного маятника дорівнює сумі моментів інерції кульок J 1 і J 2та стрижня J 3:

Приймаючи кульки за матеріальні точки, висловимо моменти їхньої інерції:

Так як вісь проходить через середину стрижня, то
його момент інерції щодо цієї осі J 3 =
= . Підставивши отримані вирази J 1 , J 2і
J 3 у формулу (2), знайдемо загальний момент інерції фі-
зичного маятника:

Зробивши обчислення за цією формулою, знайдемо

Мал. 6.2 Маса маятника складається з мас кульок та маси
стрижня:

Відстань l Зцентру мас маятника від осі коливань знайдемо, з наступних міркувань. Якщо вісь хнаправити вздовж стрижня та початок координат поєднати з точкою О,та шукана відстань lодно координаті центру мас маятника, тобто.

Підставивши значення величин m 1 , m 2 , m, lі зробивши обчислення, знайдемо

Зробивши розрахунки за формулою (1), отримаємо період коливань фізичного маятника:

приклад 4.Фізичний маятник є стрижнем.
довжиною l= 1 м та масою 3 т 1 зприкріпленим до одного з його кінців
обручем діаметром та масою т 1 . Горизонтальна вісь Oz

маятника проходить через середину стрижня перпендикулярно до нього (рис. 6.3). Визначити період Тколивань такого маятника.

Рішення. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

(1)

де J -момент інерції маятника щодо осі коливань; т -його маса; l C - відстань від центру мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції стрижня J 1 та обруча J 2:

Момент інерції стрижня щодо осі,
перпендикулярною стрижню та прохідній
через його центр мас, визначається за формою-
ле. В даному випадку т= 3т 1 і

Момент інерції обруча знайдемо, восполь-
покликавшись теоремою Штейнера,
де J -момент інерції щодо про-
довільної осі; J 0 -момент інерції відно-
осі, що проходить через центр мас
паралельно заданої осі; а -відстань
між вказаними осями. Застосувавши цю фор-
мулу до обруча, отримаємо

Мал. 6.3

Підставивши вирази J 1 і J 2 у формулу (2), знайдемо момент інерції маятника щодо осі обертання:

Відстань l Звід осі маятника до його центру мас одно

Підставивши у формулу (1) вирази J, lз і маси маятника, знайдемо період його коливань:

Після обчислення за цією формулою отримаємо T= 2,17 с.

Приклад 5.Складаються два коливання однакового напрямку.
ня, що виражаються рівняннями; х 2 =
= , де А 1 = 1см, A 2 = 2 см, с, с, ω =
=. 1. Визначити початкові фази φ 1 і φ 2 складових коле-

баній. 2. Знайти амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Написати рівняння результуючого коливання.

Рішення. 1. Рівняння гармонійного коливання має вигляд

Перетворимо рівняння, задані за умови завдання, до такого виду:

З порівняння виразів (2) з рівністю (1) знаходимо початкові фази першого і другого коливань:

Радий і радий.

2. Для визначення амплітуди Арезультуючого коливання зручно скористатися векторною діаграмою, представленою на Мал. 6.4. Відповідно до теореми косінусів, отримаємо

де - Різниця фаз складових коливань.
Оскільки , то, підставляючи знайдені
значення 2 і 1 отримаємо радий.

Мал. 6.4

Підставимо значення А 1 , А 2 та у формулу (3) та
зробимо обчислення:

A= 2,65 см.

Тангенс початкової фази φ результуючого коливання визна-
лім безпосередньо з рис. 6.4: , відку-
так початкова фаза

Підставимо значення А 1 , А 2 , φ 1 , φ 2 і зробимо обчислення:

Так як кутові частоти коливань, що складаються, однакові,
то результуюче коливання матиме ту саму частоту? Це
дозволяє написати рівняння результуючого коливання у вигляді
, де A=2,65 див, , рад.

Приклад 6.Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних гармонійних коливаннях, рівняння яких

де a 1 = 1 см, A 2 = 2 см, . Знайти рівняння траєкторії точ-
ки. Побудувати траєкторію з дотриманням масштабу та вказати
напрямок руху точки.

Рішення. Щоб знайти рівняння траєкторії точки, виключимо час tіз заданих рівнянь (1) та (2). Для цього восполь-

зуємося формулою. В даному випадку
тому

Оскільки згідно з формулою (1) , то рівняння траекто-
рії

Отриманий вираз є рівнянням параболи, вісь якої збігається з віссю Ох.З рівнянь (1) і (2) випливає, що зміщення точки по осях координат обмежено та укладено в межах від -1 до +1 см по осі Охі від -2 до +2 см по осі Оу.

Для побудови траєкторії знайдемо за рівнянням (3) значення у,відповідні ряду значень х,задовольняють умові див, і складемо таблицю:

Для того щоб вказати напрямок руху точки, простежимо за тим, як змінюється її положення з часом. У початковий момент t=0 координати точки дорівнюють x(0)=1 см і y(0)=2 см. У наступний момент часу, наприклад при t 1 =l с, координати точок зміняться і стануть рівними х(1) = -1 см, y( t )=0. Знаючи положення точок у початковий і наступний (близький) моменти часу, можна вказати напрямок руху точки траєкторії. На рис. 6.5 цей напрямок руху вказано стрілкою (від точки Ана початок координат). Після того, як в момент t 2 = 2 з точка, що коливається, досягне точки D,вона рухатиметься у зворотному напрямку.

Кінематика гармонійних коливань

6.1. Рівняння коливань точки має вигляд ,
де ω=π -1 , τ=0,2 с. Визначити період Тта початкову фазу φ
коливань.

6.2. Визначити період Т,частоту v і початкову фазу коливань, заданих рівнянням , де ω=2,5π з -1 ,
= 0,4 с.

6.3.
де A х(0)=2см і
; 2) х(0) = см і; 3) х(0)=2см і; 4)
х(0)= та . Побудувати векторну діаграму для
моменту t=0.

6.4. Крапка здійснює вагання.
де A=4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: 1) х(0)=2см і
; 2) x(0)= см і; 3) х(0)= см і;
4) x(0) = см і . Побудувати векторну діаграму для
моменту t=0.

6.5. Крапка здійснює коливання згідно із законом,
де A= 2 см; ; φ= π/4 рад. Побудувати графіки залежності
від часу: 1) усунення x(t); 2) швидкості; 3) прискорення

6.6. Крапка здійснює коливання з амплітудою A=4 см та періодом Т = 2 с.Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в
момент t=0 усунення x(0)=0та . Визначити фазу
для двох моментів часу: 1) коли зсув х= 1см і;
2) коли швидкість = -6 см/с та x<0.

6.7. Крапка рівномірно рухається по колу проти годинникової стрілки з періодом Т = 6 с. Діаметр dкола дорівнює 20 см. Написати рівняння руху проекції точки на вісь х,проходить через центр кола, якщо в момент часу, прийнятий за початковий, проекція на вісь хдорівнює нулю. Знайти усунення х,швидкість та прискорення проекції точки в момент t= 1с.

6.8. Визначити максимальні значення швидкості та прискорення точки, що здійснює гармонічні коливання з амплітудою А = 3см та кутовою частотою

6.9. Крапка здійснює вагання за законом , де А =
= 5 см; . Визначити прискорення точки в момент часу,
коли її швидкість = 8 см/с.

6.10. Крапка здійснює гармонійні коливання. Найбільше
зміщення x m ах точки дорівнює 10 см, найбільша швидкість =
= 20 см/с. Знайти кутову частоту ω коливань та максимальне прискорення точки.

6.11. Максимальна швидкість точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює 10см/с, максимальне прискорення =
= 100 см/с2. Знайти кутову частоту ω коливань, їх період Т
та амплітуду А.Написати рівняння коливань, прийнявши початкову фазу, що дорівнює нулю.

6.12. Крапка здійснює коливання згідно із законом. У деякий момент часу усунення х 1 точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х стало рівним 8 см. Знайти амплітуду Аколивань.

6.13. Коливання точки відбуваються згідно із законом.
У деякий момент часу усунення хточки дорівнює 5 см, її швидкість
= 20 см/с та прискорення =-80 см/с 2 . Знайти амплітуду A, кутову частоту ω, період Тколивань і фазу в даний момент часу.

Складання коливань

6.14. Два однаково спрямовані гармонійні коливання одного періоду з амплітудами A 1 = 10 см і A 2 = 6 см складаються в одне коливання з амплітудою А = 14 см. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.

6.15. Два гармонійні коливання, спрямованих по одній прямій і мають однакові амплітуди та періоди, складаються в одне коливання тієї ж амплітуди. Знайти різницю фаз коливань, що складаються.

6.16. Визначити амплітуду Аі початкову фазу ф результу
коливання, що виникає при складанні двох коливань
однакових напрямів та періоду: і
, де A 1 =A 2 = 1 см; ω=π з -1; = 0,5 с. Знайти рівняння результуючого коливання.

6.17. Крапка бере участь у двох однаково спрямованих коливаннях: і , де а 1 = 1см; A 2 = 2 см; ω=
= 1 з -1. Визначити амплітуду Арезультуючого коливання,
його частоту і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.

6.18. Складаються два гармонійні коливання одного на
правління з однаковими періодами T 1 =T 2 = 1,5 с та амплітудами
А 1 =А 2 = 2см. Початкові фази коливань та . Визначити амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Знайти його рівняння та побудувати з дотриманням масштабу
векторної діаграми складання амплітуд.

6.19. Складаються три гармонійні коливання одного напрямку з однаковими періодами Т 1 = Т 2 = Т 3 = 2з та амплітудами A 1 =A 2 =A 3 =3 см. Початкові фази коливань φ 1 =0, φ 2 =π/3, φ 3 =2π/3. Побудувати векторну діаграму складання амплітуд. Визначити з креслення амплітуду Ата початкову фазу φ результуючого коливання. Знайти його рівняння.

6.20. Складаються два гармонійні коливання однаковою
частоти та однакового напрямку: і x 2 =
=. Накреслити векторну діаграму на момент
часу t=0. Визначити аналітично амплітуду Ата початкову
фазу φ результуючого коливання. Відкласти Aта φ на векторній
діаграми. Знайти рівняння результуючого коливання (у тригонометричній формі через косинус). Завдання вирішити для двох
випадків: 1) А 1 = 1см, φ 1 =π/3; A 2 = 2 см, ? 2 = 5?/6; 2) А 1 = 1см,
? 1 = 2? / 3; A 2 = 1 см, φ 2 = 7 / 6.

6.21. Два камертони звучать одночасно. Частоти 1 і 2 їх коливань відповідно дорівнюють 440 і 440,5 Гц. Визначити період Тбиття.

6.22. Складаються два взаємно перпендикулярні коливання,
виражаються рівняннями і , де
а 1 =2 см, A 2 = 1 см, , = 0,5 с. Знайти рівняння траєкторії
і побудувати її, показавши напрямок руху точки.

6.23. Крапка здійснює одночасно два гармонійні коливання, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками.
і виражаються рівняннями і ,
де а 1 = 4 см, A 1 = 8 см, τ = 1 с. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати графік її руху.

6.24. Крапка здійснює одночасно два гармонійні коливання однакової частоти, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками рівнянь, що виражаються: 1) і

Знайти (для восьми випадків) рівняння траєкторії точки, побудувати її з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху. Прийняти: А = 2см, A 1 = 3 см, А 2 = 1см; φ 1 =π/2, φ 2 =π.

6.25 . Крапка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що виражаються рівняннями і
, де A 1 = 2 см, A 2 = 1 см. Знайти рівняння траєкторії
точки і побудувати її, вказавши напрямок руху.

6.26. Крапка одночасно здійснює два гармонійні коливання, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками.
і виражаються рівняннями і , де А 1 =
=0,5 див; A 2 = 2 см. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати
її, вказавши напрямок руху.

6.27. Рух точки задано рівняннями та у=
= , де A 1 = 10 см, A 2 = 5 см, ω=2 з -1, τ=π/4 с. Знайти
рівняння траєкторії та швидкості точки в момент часу t= 0,5 с.

6.28. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, що виражаються рівняннями
і де A 1 =2 см, A 2 = 1 см. Знайти
рівняння траєкторії та побудувати її.

6.29. Крапка бере участь одночасно у двох гармонійних коливаннях, що відбуваються за взаємно перпендикулярними напрямками, що описуються рівняннями: 1) і

Знайти рівняння траєкторії точки, побудувати її з дотриманням масштабу та вказати напрямок руху. Прийняти: A= 2 см; A 1 =здив.

6.30. Крапка бере участь одночасно у двох взаємно перпенди-
кулярних коливаннях, що виражаються рівняннями та

y=A 2 sin 0,5ω t, де A 1 = 2см, A 2 = 3 см. Знайти рівняння траєкторії точки та побудувати її, вказавши напрямок руху.

6.31. Зміщення крапки, що світиться, на екрані осцилографа є результатом складання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: 1) х = А sin 3 ω tі у=A sin 2ω t; 2) х = А sin 3ω tі y=A cos 2ω t; 3) х = А sin 3ω tта y= A cos ω t.

Застосовуючи графічний метод складання і дотримуючись масштабу, побудувати траєкторію крапки, що світиться на екрані. Прийняти А= 4 див.

Динаміка гармонійних коливань. Маятники

6.32. Матеріальна точка масою т=50 г робить коливання, рівняння яких має вигляд х = А cos ω t,де А= 10 см, ω=5 -1 . Знайти силу F,що діє на точку, у двох випадках: 1) у момент, коли фаза ω t=π/3; 2) у положенні найбільшого усунення точки.

6.33. Коливання матеріальної точки масою т=0,1 г відбуваються згідно з рівнянням х=A cos ω t,де A= 5 см; ω=20 -1 . Визначити максимальні значення повертаючої сили F max та кінетичної енергії Т m ах.

6.34. Знайти повертаючу силу Fу момент t=1 с та повну енергію Ематеріальної точки, що здійснює коливання згідно із законом х = А cos ω t, де А = 20 см; ω=2π/3 з -1. Маса тматеріальна точка дорівнює 10 г.

6.35. Коливання матеріальної точки відбуваються відповідно до рівняння х = A cos ω t,де A=8 см, ω=π/6 з -1. У момент, коли сила, що повертає FВперше досягла значення -5 мН, потенційна енергія П точки стала рівною 100 мкДж. Знайти цей момент часу tта відповідну йому фазу ω t.

6.36. Грузик масою m=250 г, підвішений до пружини, коливається по вертикалі з періодом Т= 1с.Визначити жорсткість kпружини.

6.37. До спіральної пружини підвісили грузик, внаслідок чого пружина розтяглася на х = 9див. Який буде період Тколивань грузика, якщо його трохи відтягнути вниз і відпустити?

6.38. Гиря, підвішена до пружини, вагається по вертикалі з амплітудою A=4 см. Визначити повну енергію Еколивань гирі, якщо жорсткість kпружини дорівнює 1 кН/м.

6.39. Знайти відношення довжин двох математичних маятників, якщо відношення періодів їх коливань дорівнює 1,5.

6.40. l= 1м встановлений у ліфті. Ліфт піднімається із прискоренням а=2,5 м/с2. Визначити період Тколивань маятника.

6.41. На кінцях тонкого стрижня завдовжки l=30 см укріплені однакові грузики по одному кожному кінці. Стрижень із грузиками коливається біля горизонтальної осі, що проходить через точку, віддалену на d=10 см від одного з кінців стрижня. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такого фізичного маятника. Масою стрижня знехтувати.

6.42. На стрижні завдовжки l=30 см укріплені два однакові грузики: один - у середині стрижня, інший - на одному з його кінців. Стрижень із грузиком коливається біля горизонтальної осі, що проходить через вільний кінець стрижня. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такої системи. Масою стрижня знехтувати.

6.43. Система з трьох вантажів, з'єднаних стрижнями завдовжки l=30 см (рис. 6.6), коливається щодо горизонтальної осі, що проходить через точку Про перпендикулярно площині креслення. Знайти період Тколивань системи. Масами стрижнів знехтувати, вантажі розглядати як матеріальні точки.

6.44. Тонкий обруч, повішений на цвях, убитий горизонтально у стіну, коливається у площині, паралельній стіні. Радіус Rобруча дорівнює 30 см. Обчислити період Тколивань обруча.

Мал. 6.6

Мал. 6.7

6.45. Однорідний диск радіусом R=30 см коливається біля горизонтальної осі, що проходить через одну з утворюючих циліндричних поверхонь диска. Який період Тйого вагань?

6.46. Диск радіусом R= 24см коливається біля горизонтальної осі, що проходить через середину одного з радіусів перпендикулярно до площини диска. Визначити наведену довжину Lта період Тколивань такого маятника.

6.47. З тонкого однорідного диска радіусом R=20 см вирізана частина, що має вигляд кола радіусом r= 10см, оскільки це показано на рис. 6.7. Частина диска, що залишилася, коливається відносно горизонтальної осі О, що збігається з однією з утворюють циліндричної поверхні диска. Знайти період Тколивань такого маятника.

6.48. Математичний маятник завдовжки l 1 = 40 см та фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня завдовжки l 2 = 60 см синхронно коливаються біля однієї й тієї горизонтальної осі. Визначити відстань ацентру мас стрижня від осі коливань.

6.49. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня завдовжки l=120 см коливається біля горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно стрижню через точку, віддалену на деяку відстань авід центру мас стрижня. При якому значенні аперіод Тколивань має найменше значення?

6.50. тіз укріпленою на ньому маленькою кулькою масою т.Маятник здійснює коливання біля горизонтальної осі, що проходить через точку на стрижні. Визначити період Тгармонійних коливань маятника для випадків а, б, в,м, зображених на рис. 6.8. Довжина lстрижня дорівнює 1 м. Кулька розглядати як матеріальну точку.

Мал. 6.9

Мал. 6.8

6.51. Фізичний маятник є тонким однорідним стрижнем масою тіз укріпленими на ньому двома маленькими кульками масами ті 2 т. Маятник здійснює коливання біля горизонтальної осі, що проходить через точку. Прона стрижні. Визначити частоту гармонійних коливань маятника для випадків а Б В Г,зображених на рис. 6.9. Довжина lстрижня дорівнює 1 м. Кульки розглядати як матеріальні точки.

6.52. Тіло масою т=4 кг, закріплене на горизонтальній осі, робило коливання з періодом T 1 = 0,8 с. Коли на цю вісь був насаджений диск так, що його вісь збіглася з віссю коливань тіла, період T 2 коливань став рівним 1,2 с. Радіус Rдиска дорівнює 20 см, маса його дорівнює масі тіла. Знайти момент інерції Jтіла щодо осі коливань.

6.53. Ареометр масою т=50 г, що має трубку діаметром d= 1 см, плаває у воді. Ареометр трохи занурили у воду і потім надали собі, в результаті чого він став здійснювати гармонійні коливання. Знайти період Тцих вагань.

6.54. У відкриту з обох кінців U-подібну трубку з площею поперечного перерізу S=0,4 см 2 швидко вливають ртуть масою т=200 р. Визначити період Тколивань ртуті у трубці.

6.55. Набрякла колода, перетин якої постійно по всій довжині, занурився вертикально у воду так, що над водою знаходиться лише мала (порівняно з довжиною) його частина. Період Тколивань колоди дорівнює 5 с. Визначити довжину lколоди.

Затухаючі коливання

6.56. Амплітуда загасаючих коливань маятника за час t 1=5 хв зменшилася вдвічі. За який час t 2 ,рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у вісім разів?

6.57. За час t=8 хв амплітуда загасаючих коливань маятника зменшилася втричі. Визначити коефіцієнт загасання δ .

6.58. Амплітуда коливань маятника завдовжки l= 1м за час t=10 хв зменшилася вдвічі. Визначити логарифмічний декремент коливань Θ.

6.59. Логарифмічний декремент коливань Θ маятника дорівнює 0,003. Визначити число Nповних коливань, які має зробити маятник, щоб амплітуда зменшилася вдвічі.

6.60. Гиря масою т=500 г підвішена до спіральної пружини жорсткістю k=20 Н/м і робить пружні коливання в певному середовищі. Логарифмічний декремент коливань Θ=0,004. Визначити число Nповних коливань, які має зробити гиря, щоб амплітуда коливань зменшилася в n= 2 рази. За який час tстанеться це зменшення?

6.61. Тіло масою т=5 г здійснює загасаючі коливання. Впродовж часу t= 50с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору b.

6.62. Визначити період Тзагасаючих коливань, якщо період Т 0власних коливань системи дорівнює 1 с та логарифмічний декремент коливань Θ=0,628.

6.64. Тіло масою т=1 кг знаходиться у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору b=0,05 кг/сек. За допомогою двох однакових пружин жорсткістю k=50 Н/м кожне тіло утримується у положенні рівноваги, пружини при цьому не деформовані (рис. 6.10). Тіло змістили від положення рівноваги та

відпустили. Визначити: 1) коефіцієнт загасання δ ; 2) частоту коливань; 3) логарифмічний декремент коливань Θ; 4) число Nколивань, після яких амплітуда зменшиться в раз.

Вимушені коливання. Резонанс

6.65. Під дією сили тяжіння електродвигуна консольна балка, де він встановлений, прогнулась на h= 1 мм. При якій частоті обертання пЯкоря електродвигуна може виникнути небезпека резонансу?

6.66. Вагон масою т=80 т має чотири ресори. Жорсткість kпружин кожної ресори дорівнює 500 кН/м. При якій швидкості υвагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок, якщо довжина lрейки дорівнює 12,8 м?

6.67. Коливальна система здійснює загасаючі коливання з частотою = 1000 Гц. Визначити частоту 0 власних коливань, якщо резонансна частота pe з = 998 Гц.

6.68. Визначити, наскільки резонансна частота відрізняється від частоти ν 0 =l кГц власних коливань системи, що характеризується коефіцієнтом загасання δ=400 -1 .

6.69. Визначити логарифмічний декремент коливань Θ коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті, меншій за власну частоту ν 0 =10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Період Т 0 власних коливань пружинного маятника дорівнює 0,55 с. У в'язкому середовищі період Ттого ж маятника дорівнював 0,56 с. Визначити резонансну частоту pe з коливань.

6.71. Пружинний маятник (жорсткість kпружини дорівнює 10 Н/м, маса твантажу дорівнює 100 г) здійснює вимушені коливання у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r= 2 · 10 -2 кг / с. Визначити коефіцієнт загасання δ та резонансну амплітуду Aрез, якщо амплітудне значення сили, що змушує F 0 = 10 мН.

6.72. Тіло робить вимушені коливання серед з коефіцієнтом опору r= 1г/с. Вважаючи загасання малим, визначити амплітудне значення сили, що змушує, якщо резонансна амплітуда Aрез =0,5 см і частота ν 0 власних коливань дорівнює 10 Гц.

6.73. Амплітуди вимушених гармонійних коливань при частоті 1 = 400 Гц і 2 = 600 Гц рівні між собою. Визначити резонансну частоту pe з. Згасанням знехтувати.

6.74. До спіральної пружини жорсткістю k= 10Н/м підвісили вантаж масою т=10 г і занурили всю систему у в'язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору bрівним 0,1 кг/с, визначити: 1) частоту 0 власних коливань; 2) резонансну частоту pe з; 3) резонансну амплітуду Aрез, якщо сила, що змушує, змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F 0 ==0,02 Н; 4) відношення резонансної амплітуди до статичного усунення під дією сили F0.

6.75. У скільки разів амплітуда вимушених коливань буде меншою від резонансної амплітуди, якщо частота зміни вимушальної сили буде більшою за резонансну частоту: 1) на 10 %? 2) удвічі? Коефіцієнт згасання δ в обох випадках прийняти рівним 0,1 0 (ω 0 - кутова частота власних коливань).

Гармонічні коливання відбуваються згідно із законом:

x = A cos(ω t + φ 0),

Період коливань T = .

Швидкість частинки, що коливається:

υ = = – Aω sin (ω t + φ 0),

прискорення a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Кінетична енергія частки, що здійснює коливальний рух: E k = =
sin 2 (ω t+ φ 0).

Потенціальна енергія:

E n =
cos 2 (ω t + φ 0).

Періоди коливань маятників

– пружинного T =
,

де m- Маса вантажу, k- Коефіцієнт жорсткості пружини,

– математичного T = ,

де l- Довжина підвісу, g- прискорення вільного падіння,

- фізичного T =
,

Наведена довжина фізичного маятника перебуває з умови: l np = ,

позначення ті ж, що й для фізичного маятника.

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

та початковою фазою: φ = arctg
.

де А 1 , A 2 – амплітуди, φ 1 , φ 2 – початкові фази коливань, що складаються.

Траєкторія результуючого руху при складанні взаємноперпендикулярних коливань однієї частоти:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Затухаючі коливання відбуваються згідно із законом:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

A = A 0 e - β t .

Логарифмічним декрементом згасання називають:

λ = ln
= β T,

де Т- Період коливання: T = .

Добротністю коливальної системи називають:

Рівняння плоскої хвилі, що біжить, має вигляд:

y = y 0 cos ω( t ± ),

Знак + відповідає хвилі, що поширюється проти осі X, знак «–» відповідає хвилі, що розповсюджується по осі. Х.

Довжиною хвилі називають її просторовий період:

λ = υ T,

де υ -швидкість поширення хвилі, T- Період поширених коливань.

Рівняння хвилі можна записати:

y = y 0 cos 2π (+).

Стояча хвиля описується рівнянням:

y = (2y 0 cos ) cos ω t.

У дужки укладено амплітуда стоячої хвилі. Крапки з максимальною амплітудою називаються пучностями,

xп = n ,

крапки з нульовою амплітудою – вузлами,

xу = ( n + ) .

Приклади розв'язання задач

Завдання 20

Рішення

Рівняння коливання записується як x = a cos( t+  0).

За умовою відомий період коливань. Через нього можна виразити кругову частоту  = . Інші параметри відомі:

а) x= 0,05 cos ( t + ).

б) Зміщення xпри t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 м-коду.

При t= 1,5 c

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + )= 0,05 cos  = - 0,05 м.

в ) графік функції x=0,05cos ( t + ) виглядає наступним чином:

Завдання 21

Рішення

1 спосіб. Записуємо рівняння коливання точки:

x= 0,05 cos  t, т. до.  = =.

Знаходимо швидкість у момент часу t:

υ = = – 0,05 cos  t.

Знаходимо момент часу, коли зсув дорівнює 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

звідси cos  t 1 = ,  t 1 = . Підставляємо це значення у вираз для швидкості:

υ = – 0,05  sin = – 0,05  = 0,136 м/с.

2 спосіб. Повна енергія коливального руху:

E =
,

де а– амплітуда,  – кругова частота, m – маса частки.

У кожний момент часу вона складається з потенційної та кінетичної енергії точки

E k = , Eп = , але k = m 2 , отже, Eп =
.

Запишемо закон збереження енергії:

= +
,

звідси отримуємо: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 м/с.

Завдання 22

Рішення

Повна енергія точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює: E =
. (13)

Модуль пружної сили виражається через усунення точок від положення рівноваги xнаступним чином:

F = k x (14)

 2 = ,

звідси k = m 2 та F = m 2 x. Виразивши m 2 із співвідношення (13) отримаємо: m 2 = , F = x.

Звідки і отримуємо вираз для усунення x: x = .

Підстановка числових значень дає:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 м = 1,5 см.

Завдання 23

Рішення

Якщо коливання відбуваються в одному напрямку, то амплітуда результуючого коливання визначиться як:

Отже:

A =
=
= А 1 +А 2 = 7 див.

Якщо коливання взаємно перпендикулярні, рівняння результуючого руху буде:

cos(2 – 1) = sin 2 (2 – 1).

Оскільки за умовою  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то рівняння запишеться у вигляді:
=0,

або
=0,

або
.

Завдання 24

Рішення

Рівняння загасаючих коливань з нульовою початковою фазою має вигляд:

x = A 0 e -  t cos2 .

Для встановлення числових значень не вистачає величин початкової амплітуди А 0 та коефіцієнта згасання .

Коефіцієнт згасання можна визначити із співвідношення для логарифмічного декременту згасання:

 = Т.

Таким чином  = = = 0,4 з -1.

Початкову амплітуду можна визначити, підставивши другу умову:

4,5 см = A 0
cos 2 = A 0
cos = A 0
.

Звідси знаходимо:

A 0 = 4,5∙

(см) = 7,75 см.

Остаточно рівняння руху:

x = 0,0775
cost.

Завдання 25

Рішення

Логарифмічний декремент згасання можна знайти із співвідношення: =  Т,

де  - коефіцієнт загасання, Т- Період коливань. Власна кругова частота математичного маятника:

 0 =
= 3,13 з -1.

Коефіцієнт загасання коливань можна визначити за умови: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Підставляємо  і Ту вираз для логарифмічного декременту згасання та отримуємо:

 = T= 0,0116 с -1 ∙ 2 с = 0,0232.

Завдання 26

Рівняння незагасаючих коливань дано у вигляді x= 4 sin600  tдив.

Рішення

Запишемо рівняння хвилі, що поширюється від джерела: x= 0,04 sin 600 ( t– ).

Знаходимо фазу хвилі в даний момент часу в цьому місці:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5 ,

sin 4,5 = sin = 1.

Список літератури

Волькенштейн В.С. Збірник завдань із загального курсу фізики. - СПб.: СпецЛіт, 2001.

Савельєв І.В. Збірник питань та завдань із загальної фізики. - М.: Наука, 1998.

4.2. Поняття та визначення розділу «коливання та хвилі»

Рівняння гармонійних коливань та його розв'язання:

, x=Acos(ω 0 t+α ) ,

A- Амплітуда коливань;

α – початкова фаза коливань.

Період коливань матеріальної точки, що здійснює коливань під дією сили пружності:

де m- Маса матеріальної точки;

k- Коефіцієнт жорсткості.

Період коливань математичного маятника:

де l- Довжина маятника;

g= 9,8 м/с2 – прискорення вільного падіння.

Амплітуда коливань, одержуваних при додаванні двох однаково спрямованих гармонійних коливань:

де A 1 і А 2 – амплітуди складових коливань;

φ 1 і φ 2 – початкові фази доданків.

Початкова фаза коливань, одержуваних при додаванні двох однаково спрямованих гармонійних коливань:

Рівняння загасаючих коливань та його розв'язання:

, ,

- Частота загасаючих коливань,

тут ω 0 – власна частота коливань.

Логарифмічний декремент згасання:

де - коефіцієнт загасання;

- Період загасаючих коливань.

Добротність коливальної системи:

де θ – логарифмічний декремент згасання

Рівняння вимушених коливань і його вирішення, що встановилося:

, x=A cos (ω t-φ ),

де F 0 – амплітудне значення сили;

- Амплітуда загасаючих коливань;

φ= - Початкова фаза.

Резонансна частота коливань:

де 0 - власна циклічна частота коливань;

β – коефіцієнт загасання.

Загасні електромагнітні коливання в контурі, що складається з ємностіC, індуктивностіLта опоруR:

де q- Заряд на конденсаторі;

q m- Амплітудне значення заряду на конденсаторі;

β = R/2L- Коефіцієнт загасання,

тут R- Опір контуру;

L- Індуктивність котушки;

– циклічна частота коливань;

тут ω 0 – власна частота коливань;

α – початкова фаза коливань.

Період електромагнітних коливань:

де З- Місткість конденсатора;

L- Індуктивність котушки;

R- Опір контуру.

Якщо опір контуру мало, що ( R/2L) 2 <<1/LC, то період коливань:

Довжина хвилі:

де v –швидкість поширення хвилі;

T- Період коливань.

Рівняння плоскої хвилі:

ξ = A cos (ω t-kx),

де A- Амплітуда;

ω – циклічна частота;

- хвильове число.

Рівняння сферичної хвилі:

де A- Амплітуда;

ω – циклічна частота;

k- хвильове число;

r- Відстань від центру хвилі до розглянутої точки середовища.

? Вільні гармонійні коливання у контурі

Ідеальний контур - електричний ланцюг, що складається з послідовно з'єднаного конденсатора ємністю Зта котушки індуктивності L.За гармонійним законом змінюватимуться напруга на обкладках конденсатора та струм у котушці індуктивності.

? Гармонійний осцилятор. Пружинний, фізичний та математичний маятники, їх періоди коливань

Гармонічний осцилятор-будь-яка фізична система, що здійснює коливання. Класичні осцилятори - пружинний, фізичний та математичний маятники. Пружинний маятник - вантаж масою m, підвішений на абсолютно пружній пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили. Т=. Фізичний маятник - тверде тіло довільної форми, що робить коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної осі, що не проходить через його центр тяжіння. Т=. Математичний маятник – ізольована система, що складається з матеріальної точки масою mпідвішеною на нерозтяжній невагомій нитці завдовжки Lі коливається під дією сили тяжіння. Т= .

? Вільні механічні коливання (рівняння, швидкість, прискорення, енергія). Графічне зображення гармонійних вагань.

Коливання називаються вільними, якщо вони відбуваються з допомогою спочатку повідомленої енергії за подальшої відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. Розмір змінюється згідно із законом синуса чи косинуса. , S- Зміщення від положення рівноваги, А-амплітуда, w 0 - циклічна частота, -початкова фаза коливань. Швидкість, прискорення. Енергія повна - Е=. Графічно - за допомогою синусоїди або косінусоїди.

? Поняття про коливальні процеси. Гармонічні коливання та його характеристики. Період, амплітуда, частота та фаза коливань. Графічне зображення гармонійних вагань.

Періодичні процеси, що повторюються згодом, називають коливальними. Періодичні коливання, у яких координата тіла змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса, називаються гармонійними. Період – час одного коливання. Амплітуда – максимальне усунення точки від положення рівноваги. Частота – кількість повних коливань за одиницю часу. Фаза - величина, що стоїть під знаком синуса чи косинуса. Рівняння: , тут S- величина, що характеризує стан системи, що коливається, - циклічна частота. Графічно - за допомогою синусоїди або косінусоїди.

? Загасні коливання. Диференційне рівняння цих коливань. Логарифмічний декремент згасання, час релаксації, добротність.

Коливання, амплітуда яких поступово зменшується, наприклад, з допомогою сили тертя. Рівняння: , тут S- величина, що характеризує стан системи, що коливається, - циклічна частота, -коефіцієнт згасання. Логарифмічний декремент згасання, де N- Число коливань, скоєних за час зменшення амплітуди в Nразів. Час релаксації t-протягом якого амплітуда зменшується в раз. Добротність Q = .

? Невигасні вимушені коливання. Диференційне рівняння цих коливань. Що називають резонансом? Амплітуда та фаза вимушених коливань.

Якщо втрати енергії коливань, що призводять до їх загасання, повністю компенсувати, встановлюються коливання, що не згасають. Рівняння: . Тут права частина – зовнішній вплив, що змінюється за гармонійним законом. Якщо власна частота коливань системи збігається із зовнішньою, має місце резонанс – різке зростання амплітуди системи. Амплітуда , .

? Опишіть складання коливань однакового напрямку та однакової частоти, взаємоперпендикулярних коливань. Що таке биття?

Амплітуда результуючого коливання, що виходить при додаванні двох гармонійних коливань однакового напрямку і однакової частоти, тут А- Амплітуди, j - початкові фази. Початкова фаза результуючого коливання . Взаємоперпендикулярні коливання – рівняння траєкторії , тут Аі Уамплітуди коливань, що складаються, j-різниця фаз.

? Охарактеризуйте релаксаційні коливання; автоколивання.

Релаксаційні – автоколивання, що різко відрізняються формою від гармонійних, завдяки значному розсіюванню енергії в автоколивальних системах (тертя в механічних системах). Автоколивання – незагасаючі коливання, що підтримуються зовнішніми джерелами енергії за відсутності зовнішньої змінної сили. На відміну від вимушених – частота та амплітуда автоколивань визначаються властивостями самої коливальної системи. Відмінність від вільних коливань – відрізняються незалежністю амплітуди від часу та від початкового короткочасного впливу, що збуджує процес коливань. Приклад автоколивальної системи – годинник.

? Хвилі (основні поняття). Поздовжні та поперечні хвилі. Стояча хвиля. Довжина хвилі, зв'язок її з періодом та частотою.

Процес поширення коливань у просторі називають хвилею. Напрямок перенесення хвилею енергії коливань – це напрямок руху хвилі. Поздовжня – коливання частинок середовища відбувається у напрямі поширення хвилі. Поперечна - коливання частинок середовища відбувається перпендикулярно до напряму поширення хвилі. Стояча хвиля - утворюється при накладенні двох хвиль, що біжать, що поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами, а у разі поперечних хвиль і однаковою поляризацією. Довжина хвилі - відстань, яку хвиля поширюється за період. ( довжина хвилі, v- Швидкість хвилі, Т- період коливань)

? Принцип суперпозиції хвиль. Групова швидкість та її зв'язок із фазовою швидкістю.

Принцип суперпозиції - при поширенні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна поширюється так, ніби інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинки середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зсувів, які отримують частки, беручи участь у кожному складових хвильових процесів. Групова швидкість – швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен час у просторі локалізований хвильовий пакет. Швидкість переміщення фази хвилі – фазова швидкість. У недиспергованому середовищі вони збігаються.

? Електромагнітна хвиля та її властивості. Енергія електромагнітних хвиль.

Електромагнітна хвиля - електромагнітні коливання, що розповсюджуються у просторі. Експериментально отримані Герцем в 1880 р. Властивості-можуть поширюватися в середовищах і вакуумі, у вакуумі дорівнює, в середовищах менше, поперечні, E і B взаємноперпендикулярні та перпендикулярні напряму поширення. Інтенсивність збільшується із зростанням прискорення випромінюючої зарядженої частинки, у певних умовах проявляються типові хвильові властивості – дифракції та ін. Об'ємна щільність енергії .

Оптика

Основні формули оптики

Швидкість світла серед:

де c- Швидкість світла у вакуумі;

n- Показник заломлення середовища.

Оптична довжина шляху світлової хвилі:

L = ns,

де s– геометрична довжина шляху світлової хвилі в середовищі з показником заломлення n.

Оптична різниця ходу двох світлових хвиль:

∆ = L 1 – L 2 .

Залежність різниці фаз від оптичної різниці ходу світлових хвиль:

де λ – довжина світлової хвилі.

Умова максимального посилення світла при інтерференції:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, …).

Умова максимального ослаблення світла:

Оптична різниця ходу світлових хвиль, що виникає при відображенні монохроматичного світла від тонкої плівки:

∆ = 2d ,

де d- Товщина плівки;

n- Показник заломлення плівки;

I i- Кут заломлення світла в плівці.

Радіус світлих кілець Ньютона у відбитому світлі:

r k = , (k = 1, 2, 3, …),

де k- Номер кільця;

R- Радіус кривизни.

Радіус темних кілець Ньютона у відбитому світлі:

r k = .

Кут φ відхилення променів, що відповідає максимуму (світла смуга) при дифракції на одній щілині, визначається за умови

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

де a- Ширина щілини;

k- Порядковий номер максимуму.

Кутφвідхилення променів, що відповідає максимуму (світла смуга) при дифракції світла на дифракційній решітці, визначається за умови

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

де d- Період дифракційної решітки.

Роздільна здатність дифракційної решітки:

R= = kN,

де ∆λ – найменша різниця довжин хвиль двох сусідніх спектральних ліній (λ і λ+∆λ), при якій ці лінії можуть бути окремо окремо в спектрі, отриманому за допомогою даної решітки;

N- Повне число щілин решітки.

Формула Вульфа - Бреггов:

2d sin θ = κ λ,

де θ – кут ковзання (кут між напрямком паралельного пучка рентгенівського випромінювання, що падає на кристал, та атомною площиною в кристалі);

d- Відстань між атомними площинами кристала.

Закон Брюстера:

tg ε B = n 21 ,

де ε B- Кут падіння, при якому промінь, що відбився від діелектрика, повністю поляризований;

n 21 – відносний показник заломлення другого середовища щодо першого.

Закон Малюса:

I = I 0 cos 2 α ,

де I 0 – інтенсивність плоскополяризованого світла, що падає на аналізатор;

I- Інтенсивність цього світла після аналізатора;

α – кут між напрямом коливань електричного вектора світла, що падає на аналізатор, і площиною пропускання аналізатора (якщо коливання електричного вектора падаючого світла збігаються з цією площиною, аналізатор пропускає дане світло без ослаблення).

Кут повороту площини поляризації монохроматичного світла при проходженні через оптично активну речовину:

а) φ = αd(У твердих тілах),

де α - Постійна обертання;

d- Довжина шляху, пройденого світлом в оптично активній речовині;

б) φ = [α]pd(у розчинах),

де [α] - Питоме обертання;

p– масова концентрація оптично активної речовини у розчині.

Тиск світла при нормальному падінні на поверхню:

де її- Енергетична освітленість (опроміненість);

ω – об'ємна щільність енергії випромінювання;

ρ-коефіцієнт відображення.

4.2. Поняття та визначення розділу «оптика»

? хвилі інтерференції. Когерентність. Умова максимуму та мінімуму.

Інтерференція – взаємне посилення чи ослаблення когерентних хвиль за її накладенні (когерентні – мають однакову довжину і постійну різницю фаз у точці їх накладання).

Максимум;

мінімум .

Тут D-оптична різниця ходу, l-довжина хвилі.

? Принцип Ґюйгенса-Френеля. Явище дифракції. Дифракція на щілини, дифракційні грати.

Принцип Гюйгенса-Френеля - кожна точка простору, якої досягла хвиля, що в даний момент часу поширюється, стає джерелом елементарних когерентних хвиль. Дифракція – огинання хвилями перешкод, якщо розмір перешкоди можна порівняти з довжиною хвилі, відхилення світла від прямолінійного поширення. Дифракція на щілини – у паралельних променях. На перешкоду падає плоска хвиля, дифракційна картина спостерігається на екрані, який знаходиться у фокальній площині лінзи, що збирає, встановленої на шляху минулого через перешкоду світла. На екрані виходить дифракційне зображення віддаленого джерела світла. Дифракційні грати - система паралельних щілин рівної ширини, що лежать в одній площині, розділених рівними по ширині непрозорими проміжками. Використовується для розкладання світла у спектр та вимірювання довжин хвиль.

? Дисперсія світла (нормальна та аномальна). Закон Бугер. Сенс коефіцієнта поглинання.

Дисперсія світла – залежність абсолютного показника заломлення речовини nвід частоти (або довжини хвилі λ) падаючого на речовину світла (). Швидкість світла у вакуумі не залежить від частоти, тому у вакуумі дисперсії немає. Нормальна дисперсія світла - якщо показник заломлення монотонно зростає зі збільшенням частоти (зменшується зі збільшенням довжини хвилі). Аномальна дисперсія – якщо показник заломлення монотонно зменшується зі збільшенням частоти (зростає зі збільшенням довжини хвилі). Наслідок дисперсії – розкладання білого світла спектр при його заломленні в речовині. Поглинання світла у речовині описується законом Бугера

I 0 та I– інтенсивності плоскої монохроматичної світлової хвилі на вході та виході шару поглинається речовини товщиною х, a - коефіцієнт поглинання, що залежить від довжини хвилі, для різних речовин різний.

? Що називають поляризацією хвиль? Отримання поляризованих хвиль. Закон Малюса.

Поляризація полягає у придбанні переважної орієнтації напрямку коливань у поперечних хвилях. Упорядкованість в орієнтації векторів напруженостей електричних та магнітних полів електромагнітної хвилі у площині, перпендикулярній до напряму поширення світлового променя. E , B -перпендикулярні. Природне світло можна перетворити на поляризований за допомогою поляризаторів. Закон Малюса ( I 0 - пройшов через аналізатор, I- Пройшов через поляризатор).

? Корпускулярно - хвильовий дуалізм. Гіпотеза де Бройлі.

Історично були висунуті дві теорії світла: корпускулярна – тіла, що світяться, випускають частки-корпускули (доказ – випромінювання чорного тіла, фотоефект) і хвильова – тіло, що світиться, викликає в навколишньому середовищі пружні коливання, що поширюються подібно до звукових хвиль у повітрі (доказ – явища і інтер поляризації світла). Гіпотеза Бройля – корпускулярно-хвильові властивості притаманні як фотонам, а й часткам, мають масу спокою – електронам, протонам, нейтронам, атомам, молекулам. ? Фотоефект. Рівняння Ейнштейна.

Фотоефект- явище взаємодії світла з речовиною, у результаті якого енергія фотонів передається електронам речовини. Рівняння: (Енергія фотона витрачається на роботу виходу електрона та повідомлення електрону кінетичної енергії)