4 х мірні фігури. Чотиривимірний куб

Бакаляр Марія

Вивчаються способи введення поняття чотиривимірного куба (тесеракта), його будова та деякі властивості Вирішується питання про те, які тривимірні об'єкти виходять при перетині чотиривимірного куба гіперплощинами, паралельними його тривимірним граням, а також гіперплощинами, перпендикулярними його. Розглянуто використовуваний для дослідження апарат багатовимірної аналітичної геометрії.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Введение……………………………………………………………………….2

Основна частина………………………………………………………………..4

Висновки………….. …………………………………………………………..12

Список литературы…………………………………………………………..13

Вступ

Чотиривимірний простір здавна привертав увагу як професійних математиків, так і людей, далеких від занять цією наукою. Інтерес до четвертого виміру може бути обумовлений припущенням про те, що наш тривимірний світ «занурений» у чотиривимірний простір подібно до того, як площина «занурена» в тривимірний простір, пряма «занурена» у площину, а точка – у пряму. Крім цього, чотиривимірний простір відіграє важливу роль у сучасній теорії відносності (так званий простір-час або простір Мінковського), а також може розглядатися як окремий випадокмірного евклідового простору (при).

Чотиривимірний куб (тессеракт) є об'єктом чотиривимірного простору, що має максимально можливу розмірність (подібно до того, як звичайний куб є об'єктом тривимірного простору). Зауважимо, що він представляє і безпосередній інтерес, а саме може фігурувати в оптимізаційних задачах лінійного програмування (як область, в якій знаходиться мінімум або максимум лінійної функції чотирьох змінних), а також застосовується в цифровій мікроелектроніці (при програмуванні роботи дисплея електронного годинника). Крім цього, сам процес вивчення чотиривимірного куба сприяє розвитку просторового мислення та уяви.

Отже, вивчення будови та специфічних властивостей чотиривимірного куба є досить актуальним. Варто зазначити, що у плані будівлі чотиривимірний куб вивчений досить добре. Набагато більший інтерес представляє характер його перерізів різними гіперплощинами. Таким чином, основною метою даної роботи є вивчення будови тесеракта, а також з'ясування питання про те, які тривимірні об'єкти будуть виходити, якщо чотиривимірний куб розсікати гіперплощинами, паралельними якійсь одній з його тривимірних граней, або гіперплощинами, перпендикулярними його головній діагоналі. Гіперплощиною в чотиривимірному просторі називатимемо тривимірне підпростір. Можна сказати, що пряма на площині – одномірна гіперплощина, площина у тривимірному просторі – двомірна гіперплощина.

Поставлена ​​мета визначила завдання дослідження:

1) Вивчити основні факти багатовимірної аналітичної геометрії;

2) Вивчити особливості побудови кубів розмірності від 0 до 3;

3) Вивчити будову чотиривимірного куба;

4) Аналітично та геометрично описати чотиривимірний куб;

5) Виготовити моделі розгорток та центральних проекцій тривимірного та чотиривимірного кубів.

6) Користуючись апаратом багатовимірної аналітичної геометрії, описати тривимірні об'єкти, що виходять при перетині чотиривимірного куба гіперплощинами, паралельними якійсь одній з його тривимірних граней, або гіперплощинами, перпендикулярними його головній діагоналі.

Отримана таким чином інформація дозволить краще розібратися в будові тесеракта, а також виявити глибоку аналогію у будові та властивостях кубів різних розмірів.

Основна частина

Спочатку опишемо математичний апарат, яким ми будемо користуватися під час цього дослідження.

1) Координати вектора: якщо, то

2) Рівняння гіперплощини з нормальним вектороммає вигляд Тут

3) Площини та паралельні тоді і лише тоді, коли

4) Відстань між двома точками визначається так: якщо, то

5) Умова ортогональності векторів:

Насамперед, з'ясуємо, яким чином можна описати чотиривимірний куб. Зробити це можна двома способами – геометричним та аналітичним.

Якщо говорити про геометричний спосіб завдання, то тут доцільно простежити процес побудови кубів, починаючи з нульової розмірності. Куб нульової розмірності - це точка (зауважимо, до речі, що точка може також грати роль кулі нульової розмірності). Далі введемо перший вимір (вісь абсцис) і на відповідній осі відзначимо дві точки (два нульмерні куби), що знаходяться на відстані 1 один від одного. Вийде відрізок – одномірний куб. Відразу відзначимо характерну особливість: Кордоном (кінцями) одномірного куба (відрізка) є два нульмерні куби (дві точки). Далі введемо другий вимір (вісь ординат) і на площиніпобудуємо два одномірні куби (два відрізки), кінці яких знаходяться на відстані 1 один від одного (фактично, один з відрізків є ортогональною проекцією іншого). Поєднуючи відповідні кінці відрізків, отримаємо квадрат – двомірний куб. Знову ж таки відзначимо, що межею двовимірного куба (квадрата) є чотири одномірні куби (чотири відрізки). Нарешті, введемо третій вимір (вісь аплікат) та побудуємо у просторідва квадрати таким чином, щоб один із них був ортогональною проекцією іншого (при цьому відповідні вершини квадратів знаходяться одна від одної на відстані 1). З'єднаємо відповідні вершини відрізками – отримаємо тривимірний куб. Бачимо, що межею тривимірного куба є шість двовимірних кубів (шість квадратів). Описані побудови дозволяють виявити таку закономірність: на кожному кроцімірний куб «рухається, залишаючи слід» ве вимір на відстань 1, при цьому, напрямок руху перпендикулярно кубу. Саме формальне продовження цього процесу дозволяє прийти до поняття чотиривимірного куба. А саме, змусимо тривимірний куб просунутися у напрямку четвертого виміру (перпендикулярно кубу) на відстань 1. Діючи аналогічно попередньому, тобто, з'єднуючи відповідні вершини кубів, ми отримаємо чотиривимірний куб. Необхідно відзначити, що геометрично така побудова в нашому просторі неможлива (бо воно тривимірне), проте тут ми не стикаємося з жодними протиріччями з логічного погляду. Тепер перейдемо до аналітичного опису чотиривимірного куба. Воно також виходить формально за допомогою аналогії. Отже, аналітичне завдання нульмерного одиничного куба має вигляд:

Аналітичне завдання одновимірного одиничного куба має вигляд:

Аналітичне завдання двовимірного одиничного куба має вигляд:

Аналітичне завдання тривимірного одиничного куба має вигляд:

Тепер вже дуже легко дати аналітичну виставу чотиривимірного куба, а саме:

Як бачимо, і за геометричного, і при аналітичному способах завдання чотиривимірного куба використовувався метод аналогій.

Тепер, використовуючи апарат аналітичної геометрії, з'ясуємо, яке має будова чотиривимірний куб. Спочатку з'ясуємо, які елементи до нього входять. Тут знову можна скористатися аналогією (висування гіпотези). Кордоном одновимірного куба є точки (нульмерні куби), двовимірного куба – відрізки (одномірні куби), тривимірного куба – квадрати (двовимірні грані). Можна припустити, що межею тесеракту є тривимірні куби. Для того, щоб це довести, уточнимо, що розуміється під вершинами, ребрами та гранями. Вершинами куба назвемо його кутові точки. Тобто координатами вершин можуть бути нулі або одиниці. Таким чином, виявляється зв'язок між розмірністю куба та числом його вершин. Застосуємо комбінаторне правило твору – тому що вершинамірного куба має рівнокоординат, кожна з яких дорівнює нулю або одиниці (незалежно від решти), то всього євершин. Таким чином, у будь-якої вершини всі координати фіксовані і можуть дорівнюватиабо . Якщо ж зафіксувати всі координати (поклавши кожну з них рівноюабо незалежно від інших), крім однієї, то отримаємо прямі, що містять ребра куба. Аналогічно попередньому, можна порахувати, що їх рівноштук. А якщо тепер зафіксувати всі координати (поклавши кожну з них рівноюабо , незалежно від інших), крім якихось двох, отримаємо площини, що містять двомірні грані куба. Використовуючи правило комбінаторики, знайдемо, що їх рівноштук. Далі аналогічно - зафіксувавши всі координати (поклавши кожну з них рівноюабо , незалежно від інших), крім якихось трьох, отримаємо гіперплощини, що містять тривимірні грані куба. Користуючись тим самим правилом, обчислимо їх кількість – рівноі т.д. Для нашого дослідження цього буде достатньо. Застосуємо отримані результати до будови чотиривимірного куба, а саме у всіх виведених формулах покладемо. Отже, чотиривимірний куб має: 16 вершин, 32 ребра, 24 двовимірні грані, і 8 тривимірних граней. Для наочності поставимо аналітично всі його елементи.

Вершини чотиривимірного куба:

Ребра чотиривимірного куба ():

Двовимірні грані чотиривимірного куба (аналогічні обмеження):

Тривимірні грані чотиривимірного куба (аналогічні обмеження):

Тепер, коли будова чотиривимірного куба та способи його завдання описані з достатньою повнотою, приступимо до реалізації головної мети – з'ясування характеру різних перерізів куба. Почнемо з елементарного випадку, коли перерізи куба паралельні до однієї з його тривимірних граней. Наприклад, розглянемо його перерізи гіперплощинами, паралельними грані.З аналітичної геометрії відомо, що будь-який такий перетин задаватиметься рівняннямЗадамо відповідні перерізи аналітично:

Як бачимо, отримано аналітичне завдання тривимірного одиничного куба, що лежить у гіперплощині

Для встановлення аналогії запишемо переріз тривимірного куба площиноюОтримаємо:

Це квадрат, що лежить у площині. Аналогія очевидна.

Перетину чотиривимірного куба гіперплощинамидають аналогічні результати. Це будуть також поодинокі тривимірні куби, що лежать у гіперплощинах.відповідно.

Зараз розглянемо перерізи чотиривимірного куба гіперплощинами, перпендикулярними його головній діагоналі. Спочатку вирішимо це завдання для тривимірного куба. Використовуючи вищеописаний спосіб завдання одиничного тривимірного куба, робить висновок, що в якості головної діагоналі можна взяти, наприклад, відрізок з кінцямиі . Значить, вектор головної діагоналі матиме координати. Отже, рівняння будь-якої площини, перпендикулярної головній діагоналі, матиме вигляд:

Визначимо межі зміни параметра. Так як , то, почленно складаючи ці нерівності, отримаємо:

Або.

Якщо то (з обмежень). Аналогічно - якщо, то. Значить, при та при січна площина і куб мають рівно одну загальну точку (і відповідно). Тепер зауважимо таке. Якщо(Знову-таки в силу обмежень змінних). Відповідні площини перетинають відразу три грані, бо, інакше, січна площина була б паралельна однієї з них, що немає місця за умовою. Якщото площина перетинає всі грані куба. Якщо ж, то площина перетинає грані. Наведемо відповідні викладки.

Нехай Тоді площинаперетинає граньпо прямій, причому. Грань, причому. Грань площина перетинає по прямій, причому

Нехай Тоді площинаперетинає грань:

грань по прямій, причому.

грань по прямій, причому.

грань по прямій, причому.

грань по прямій, причому.

грань по прямій, причому.

грань по прямій, причому.

На цей раз виходить шість відрізків, що мають послідовно загальні кінці:

Нехай Тоді площинаперетинає граньпо прямій, причому. Грань площина перетинає по прямій, до того ж . Грань площина перетинає по прямій, причому . Тобто, виходять три відрізки, що мають попарно загальні кінці:Таким чином, при зазначених значеннях параметраплощина перетинатиме куб по правильному трикутнику з вершинами

Отже, тут наведено вичерпне опис плоских фігур, що виходять при перетині куба площиною перпендикулярної його головної діагоналі. Основна ідея полягала у наступному. Необхідно зрозуміти, які грані перетинає площину, за якими множинами вона їх перетинає, як ці множини пов'язані між собою. Наприклад, якщо з'ясовувалося, що площина перетинає рівно три грані по відрізках, які мають попарно загальні кінці, то перетином був рівносторонній трикутник (що доводиться безпосереднім підрахунком довжин відрізків), вершинами якого служать ці кінці відрізків.

Користуючись цим же апаратом і тією самою ідеєю дослідження перерізів, цілком аналогічно можна вивести такі факти:

1) Вектор однієї з головних діагоналей чотиривимірного одиничного куба має координати

2) Будь-яка гіперплощина, перпендикулярна головній діагоналі чотиривимірного куба, може бути записана у вигляді.

3) У рівнянні січної гіперплощини параметрможе змінюватись від 0 до 4;

4) При і січна гіперплощина і чотиривимірний куб мають одну загальну точку (і відповідно);

5) При у перетині виходитиме правильний тетраедр;

6) При у перетині виходитиме октаедр;

7) При у перетині буде отримувати правильний тетраедр.

Відповідно, тут гіперплощина перетинає тессеракт по площині, де через обмежень змінних виділяється трикутна область (аналогія – площина перетинала куб по прямий, де через обмежень змінних виділявся відрізок). У випадку 5) гіперплощина перетинає рівно чотири тривимірні грані тессеракта, тобто, виходять чотири трикутники, що мають попарно загальні сторони, інакше кажучи, що утворюють тетраедр (як це можна підрахувати – правильний). У разі 6) гіперплощина перетинає рівно вісім тривимірних граней тессеракта, тобто виходять вісім трикутників, що мають послідовно загальні сторони, інакше кажучи, що утворюють октаедр. Випадок 7) повністю аналогічний випадку 5).

Проілюструємо сказане конкретним прикладом. Зокрема, досліджуємо переріз чотиривимірного куба гіперплощиноюВ силу обмежень змінних дана гіперплощина перетинає наступні тривимірні грані:Грань перетинається по площиніВ силу обмежень змінних маємо:Отримаємо трикутну область із вершинамиДалі,отримаємо трикутникПри перетині гіперплощини з граннюотримаємо трикутникПри перетині гіперплощини з граннюотримаємо трикутникТаким чином, вершини тетраедра мають наступні координати. Як легко підрахувати, цей тетраедр справді є правильним.

Висновки

Отже, в процесі даного дослідження були вивчені основні факти багатовимірної аналітичної геометрії, вивчено особливості побудови кубів розмірностей від 0 до 3, вивчено будову чотиривимірного куба, аналітично і геометрично описаний чотиривимірний куб, виготовлені моделі розгорток і центральних проекцій тривимірного. об'єкти, що виходять при перетині чотиривимірного куба гіперплощинами, паралельними якійсь одній з його тривимірних граней, або гіперплощинами, перпендикулярними його головній діагоналі.

Проведене дослідження дозволило виявити глибоку аналогію у будові та властивостях кубів різних розмірностей. Використану методику проведення аналогії можна застосувати для дослідження, наприклад,мірної сфери абомірного симплексу. А саме,мірну сферу можна визначити як безліч точокмірного простору, рівновіддалених від заданої точки, що називається центром сфери. Далі,мірний симплекс можна визначити як частинумірного простору, обмежену мінімальним числоммірних гіперплощин. Наприклад, одновимірний симплекс - відрізок (частина одновимірного простору, обмежена двома точками), двовимірний симплекс - трикутник (частина двовимірного простору, обмежена трьома прямими), тривимірний симплекс - тетраедр (частина тривимірного простору, обмежена чотирма). Зрештою,мірний симплекс визначимо як частинумірного простору, обмеженугіперплощиною розмірності.

Зазначимо, що, незважаючи на численні застосування тесеракта в деяких галузях науки, дане дослідження все ж таки є значною мірою математичним дослідженням.

Список літератури

1) Бугров Я.С., Микільський С.М.Вища математика, т.1 -М.: Дрофа, 2005 - 284 с.

2) квант. Чотиривимірний куб / Дужин С., Рубцов Ст, №6, 1986.

3) квант. Як накреслити мірний куб/Демидович Н.Б., №8, 1974.

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворене від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Крапка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним з небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені у будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тессеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на межі гіперкубу знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене наступним способом:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Остання структура нелегка уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більш того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. В цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відношення елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другий схемі показано, що це ребра тессеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тесеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер, існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. В оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісус розп'ятий на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - одна з найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність та незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо в чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу, будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному площині субкуба за напрямком третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба зросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двомірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двомірна грань куба, куди субкуб прийшов під кінець будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба виросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний обсяг гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою ж формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, якщо з кожної сторони куба повинен вирости ще один тривимірний куб, то значить, з кожного ребра початкового куба повинна вирости грань. Усього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гіперкуб має 12+6+6=24 квадратні грані.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірне місце. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звичайно, Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на поверхню.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний обсяг гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо нагору вздовж четвертої осі виміру і він переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба в тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зсуває його в напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний до нашого тривимірного простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Жителі двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зсуваємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, стикатися з тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а число квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде, як і раніше, дорівнює 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.

Якщо ви шанувальник фільмів про Месників, перше, що може спасти на думку, коли ви почуєте слово «Tesseract», це прозора кубоподібна посудина Кам'яна нескінченності, що містить безмежну силу.

Для шанувальників Всесвіту Marvel Тессеракт — це синій куб, що світиться, від якого люди з не тільки Землі, але й інших планет теж божеволіють. Ось чому всі месники об'єдналися, щоб захистити Землян від надзвичайно руйнівних сил Тессеракта.

Проте слід сказати таке: Тессеракт — це фактичне геометричне поняття, точніше, форма, що існує в 4D. Це не просто синій куб від Месників… це реальна концепція.

Тессеракт - це об'єкт у 4 вимірах. Але перш ніж ми докладно пояснимо його, почнемо з самого початку.

Що таке «вимірювання»?

Кожна людина чула терміни 2D та 3D, представляючи відповідно двовимірні або тривимірні об'єкти простору. Але що є ці виміри?

Вимірювання це просто напрямок, в якому ви можете піти. Наприклад, якщо ви малюєте лінію на аркуші паперу, ви можете йти або вліво/вправо (по осі x), або у напрямку вгору/вниз (вісь y). Таким чином, ми говоримо, що папір двовимірний, тому що ви можете йти тільки у двох напрямках.

У 3D є відчуття глибини.

Тепер, у реальному світі, крім згаданих вище двох напрямків (ліворуч/праворуч і вгору/вниз), ви також можете піти «в/з». Отже, у 3D-просторі додається відчуття глибини. Тому ми говоримо, що реальне життя тривимірне.

Точка може представляти 0 вимірів (оскільки вона не переміщається в будь-якому напрямку), лінія представляє 1 вимір (довжина), квадрат представляє 2 виміри (довжина та ширина), а куб представляє 3 виміри (довжина, ширина та висота).

Візьміть 3D-куб і замініть кожну його грань (яка є квадратом) кубом. І ось! Форма, яку ви отримуєте, — це тесеракт.

Що таке тесеракт?

Простіше кажучи, тесеракт – це куб у 4-мірному просторі. Ви також можете сказати, що це 4D аналог куба. Це 4D-форма, де кожна грань є кубом.

Ось простий спосіб концептуалізації розмірів: квадрат – двомірний; тому кожен з його кутів має 2 лінії, що відходять під кутом 90 градусів один до одного. Куб - 3D, тому кожен з його кутів має 3 лінії, що сходять з нього. Аналогічним чином, тессеракт є 4D-форму, тому кожен кут має 4 лінії, що відходять від нього.

Чому важко уявити собі тесеракт?

Оскільки ми, як люди, еволюціонували, щоб візуалізувати об'єкти у трьох вимірах, все, що входить до додаткових вимірів, таких як 4D, 5D, 6D тощо, не має для нас великого сенсу, тому що ми взагалі не можемо їх уявити. Наш мозок не може зрозуміти 4-го виміру у просторі. Ми просто не можемо про це думати.

Однак тільки тому, що ми не можемо візуалізувати концепцію багатовимірних просторів, це не означає, що вона не може бути.

Математично, тесеракт – абсолютно точна форма. Аналогічно, всі форми у вищих вимірах, тобто 5D і 6D, також математично правдоподібні.

Подібно до того, як куб може бути розгорнутий на 6 квадратів у 2D-просторі, тесеракт можна розгорнути у 8 кубів у 3D-просторі.

Дивно і незрозуміло, чи не так?

Отже, тессеракт — це «реальна концепція», яка абсолютно правдоподібна математично, а не лише сяючий синій куб, за який борються у фільмах про Месників.

Як тільки я стала в змозі після операції читати лекції, перше ж питання, яке задали студенти:

Коли ви намалюєте 4-мірний куб? Ільяс Абдульхаєвич нам обіцяв!

Я пам'ятаю, що мої дорогі френди іноді люблять хвилинку математичного лікнепу. Тому шматочок своєї лекції для математиків я напишу тут. І постараюся без занудства. Лекцію в якихось моментах я читаю суворіше, звісно.

Давайте спочатку домовимось. 4-мірний, а тим більше 5-6-7- і взагалі k-мірний простір нам у чуттєвих відчуттях не дано.
"Ми убогі, бо лише тривимірні," - як казав мій викладач у недільній школі, який першим і розповів мені, що таке 4-мірний куб. Недільна школа була, звісно, ​​вкрай релігійна - математична. На той раз ми ось вивчали гіпер-куби. За тиждень до цього мат.індукцію, через тиждень після цього гамільтонові цикли в графах - відповідно, це 7 клас.

Ми не можемо 4-мірний куб доторкнутися, понюхати, почути або побачити. Що ми можемо з ним зробити? Ми можемо його уявити! Тому що наш мозок набагато складніший, ніж наші очі й руки.

Отже, для того щоб зрозуміти, що таке 4-мірний куб, давайте зрозуміємо спочатку те, що нам доступно. Що таке 3-мірний куб?

Добре Добре! Я не прошу у вас чіткого математичного визначення. Просто уявіть собі найпростіший і звичайний тривимірний куб. Уявили?

Добре.
Для того, щоб зрозуміти, як узагальнити 3-мірний куб в 4-мірний простір, давайте зрозуміємо, що ж таке 2-мірний куб. Так це просто - це квадрат!

У квадрата 2 координати. У куба три. Крапки квадрата - точки з двома координатами. Перша від 0 до 1. І друга від 0 до 1. У точок куба три координати. І кожна – будь-яке число від 0 до 1.

Логічно уявити, що 4-мірний куб - це така штука, у якої 4 координати і всі від 0 до 1.

/* Тут же логічно уявити собі 1-мірний куб, який не що інше як простий відрізок від 0 до 1. */

Так, стоп, а як малювати 4-мірний куб? Адже ми не можемо на площині намалювати 4-мірний простір!
Але ж 3-мірний простір ми теж не малюємо на площині, ми малюємо його проекціюна 2-мірну площину малюнка. Третю координату (z) ми маємо під кутом, уявляючи собі, що вісь із площини малюнка йде "до нас".

Тепер абсолютно ясно, як малювати 4-мірний куб. Так само, як третю вісь ми розташували під деяким кутом, візьмемо четверту вісь і теж розташуємо під деяким кутом.
І – вуаля! - Проекція 4-мірного куба на площину.

Що? Що це взагалі? Чую я завжди шепіт із задніх парт. Давайте я докладніше поясню, що це за мішанина ліній.
Дивіться спочатку на тривимірний куб. Що ми зробили? Ми взяли квадрат і протягли його по третій осі (z). Це як багато паперових квадратів, склеєних у стопку між собою.
З 4-мірним кубом те саме. Давайте четверту вісь для зручності і для сайнс-фікшн називатимемо "вісь часу". Нам треба взяти звичайний тривимірний куб і протягнути його у час від часу "зараз" до часу "через годину".

У нас є куб "зараз". На малюнку він рожевий.

А тепер тягнемо його вздовж четвертої осі - вздовж осі часу (я її показала зеленим). І отримуємо куб майбутнього – блакитний.

Кожна вершина "куба зараз" у часі залишає слід - відрізок. З'єднує її теперішню з нею ж майбутньою.

Коротше, без лірики: намалювали два однакові 3-мірні куби і з'єднали відповідні вершини.
Так само, як робили з 3-мірним кубом (намалювали 2 однакові 2-мірні куби і з'єднали вершини).

Щоб намалювати 5-мірний куб, вам доведеться намалювати дві копії 4-мірного куба (4-мірний куб із п'ятою координатою 0 і 4-мірний куб із п'ятою координатою 1) і з'єднати відповідні вершини ребрами. Щоправда, на площині вийде така мішанина ребер, що зрозуміти щось буде майже неможливо.

Коли ми уявили 4-мірний куб і навіть змогли його намалювати, можна його по-різному досліджувати. Не забуваючи досліджувати його і в умі, і за картинкою.
Наприклад. 2-мірний куб обмежений із 4 сторін 1-мірними кубами. Це логічно: по кожній із 2 координат у нього є і початок, і кінець.
3-мірний куб обмежений із 6 сторін 2-мірними кубами. По кожній із трьох координат у нього є початок та кінець.
Отже, 4-мірний куб має бути обмежений вісьмома 3-мірними кубами. По кожній із 4 координат - з двох сторін. На малюнку вище ми очевидно бачимо 2 грані, що обмежують його за координатою "час".

Ось тут - два кубики (вони трохи косі тому, що у них дві розмірності спроектовані на поверхню під кутом), що обмежують наш гіпер-куб ліворуч і праворуч.

Неважко так само помітити "верхній" та "нижній".

Найскладніше - зрозуміти візуально, де "передній" та "задній". Передній починається від передньої грані "куба зараз" і до передньої грані "куба майбутнього" - він рудий. Задній відповідно, фіолетовий.

Їх найважче помітити, тому що під ногами плутаються інші куби, які обмежують гіперкуб по іншій спроектованій координаті. Але зауважте, що куби таки різні! Ось ще раз картинка, де виділено "куб зараз" та "куб майбутнього".

Звичайно, можна спроектувати 4-мірний куб у 3-мірний простір.
Перша можлива просторова модель зрозуміло, як виглядає: треба взяти 2 каркаси куба і з'єднати їх відповідні вершини новим рубом.
У мене такої моделі зараз немає. На лекції я студентам показую трохи іншу 3-мірну модель 4-мірного куба.

Знаєте, як куб проектують на площину так.
Начебто ми дивимось на куб зверху.

Ближня грань, зрозуміло, велика. А дальня грань виглядає меншою, ми її бачимо крізь ближню.

Так само можна проектувати 4-мірний куб. Куб зараз більше, куб майбутнього ми бачимо на віддалі, тому він виглядає менше.

З іншого боку. З боку вершини.

Прямо рівно з боку грані:

З боку ребра:

І останній ракурс, несиметричний. З розділу "ти скажи, що я йому між ребер заглядав".

Ну, а далі можна вигадувати всяке. Наприклад, як буває розгортка 3-мірного куба на площину (це як треба вирізати аркуш паперу, щоб при згортанні отримати куб), так само буває розгортка 4-мірного куба в простір. Це як слід вирізати шматок дерева, щоб згортаючи його в 4-мірному просторі ми отримали тессеракт.

Можна вивчати не просто 4-мірний куб, а взагалі n-мірні куби. Наприклад, чи правда, що радіус сфери, описаної навколо n-мірного куба менше, ніж довжина ребра цього куба? Або ось простіше питання: а скільки вершин у n-мірного куба? А скільки ребер (1-мірних граней)?