Геометричний сенс поняття похідної. Геометричний сенс похідної

Похідної функції f (x) у точці х0 називається межа (якщо вона існує) відношення прирощення функції в точці х0 до збільшення аргументу Δх, якщо приріст аргументу прагне нуля і позначається f '(x0). Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Похідна функції має такий фізичний сенс: похідна функції у заданій точці – швидкість зміни функції у заданій точці.

Геометричний сенс похідної. Похідна у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту, що стосується графіку функції y=f(x) у цій точці.

Фізичний сенс похідної.Якщо точка рухається вздовж осі х та її координата змінюється за законом x(t), то миттєва швидкість точки:

Поняття диференціала, його характеристики. Правила диференціювання. приклади.

Визначення.Диференціалом функції в деякій точці x називається головна, лінійна частина збільшення функції. Диференціал функції y = f (x) дорівнює добутку її похідної на збільшення незалежної змінної x (аргументу).

Це записується так:

або

Або ж


Властивості диференціалу
Диференціал має властивості, аналогічні до похідної:





До основним правилам диференціюваннявідносять:
1) винесення постійного множника за знак похідної
2) похідна суми, похідна різниці
3) похідна робота функцій
4) похідна приватного двох функцій (похідна дробу)

приклади.
Доведемо формулу: За визначенням похідної маємо:

Довільний множник можна виносити за знак граничного переходу (це відомо з властивостей межі), тому

Наприклад:Знайти похідну функції
Рішення:Скористаємося правилом винесення множника за похідний знак :

Досить часто доводиться спочатку спрощувати вид диференційованої функції, щоб скористатися таблицею похідних та правилами знаходження похідних. Наступні приклади наочно це підтверджують.

Формули диференціювання. Застосування диференціала у наближених обчисленнях. приклади.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях дозволяє використовувати диференціал для наближених обчислень значень функції.
Приклади.
За допомогою диференціалу вирахувати приблизно
Для обчислення даного значення застосуємо формулу з теорії
Введемо на розгляд функцію, а задану величину представимо у вигляді
тоді Обчислимо

Підставляючи все у формулу, остаточно отримаємо
Відповідь:

16. Правило Лопіталя для розкриття невизначеності виду 0/0 Або ∞/∞. приклади.
Межа відносини двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин дорівнює межі відношення їх похідних.

1)

17. Зростання та спадання функції. Екстремум функції. Алгоритм дослідження функції на монотонність та екстремум. Приклади.

Функція зростаєна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок цього інтервалу, пов'язаних ставленням, справедлива нерівність. Тобто, більшого значення аргументу відповідає більше значення функції, і її графік йде «знизу вгору». Демонстраційна функція зростає на інтервалі

Аналогічно, функція зменшуєтьсяна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок даного інтервалу, таких, що , справедлива нерівність . Тобто, більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, та її графік йде «згори донизу». Наша убуває на інтервалах убуває на інтервалах .

ЕкстремумиТочку називають точкою максимуму функції y=f(x), якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїта позначають .
Точку називають точкою мінімуму функції y=f(x), якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїта позначають .
Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.
Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.

Щоб досліджувати функцію на монотонність, скористайтеся наступною схемою:
- Знайдіть область визначення функції;
- Знайдіть похідну функції та область визначення похідної;
- Знайдіть нулі похідної, тобто. значення аргументу, у яких похідна дорівнює нулю;
- на числовому промені позначте загальну частину області визначення функції та області визначення її похідної, а на ній – нулі похідної;
- визначте знаки похідної на кожному з отриманих проміжків;
- за знаками похідної визначте, у яких проміжках функція зростає, але в яких спадає;
- Запишіть відповідні проміжки через точку з комою.

Алгоритм дослідження безперервної функції y = f(x) на монотонність та екстремуми:
1) Знайти похідну f′(x).
2) Знайти стаціонарні (f '(x) = 0) та критичні (f '(x) не існує) точки функції y = f(x).
3) Відзначити стаціонарні і критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на проміжках, що виходять.
4) Зробити висновки про монотонність функції та її точки екстремуму.

18. Випуклість функції. Точки перегину. Алгоритм дослідження функції на опуклість (Увігнутість) Приклади.

опуклою внизна інтервалі Х, якщо її графік розташований не нижче за дотичну до нього в будь-якій точці інтервалу Х.

Диференційована функція називається опуклою вгоруна інтервалі Х, якщо її графік розташований не вище від дотичної до нього в будь-якій точці інтервалу Х.

Крапка формула називається точкою перегину графікафункції y=f(x), якщо в даній точці існує дотична до графіка функції (вона може бути паралельна осі Оу) і існує така околиця точки формула, в межах якої ліворуч і праворуч від точки М графік функції має різні напрями опуклості.

Знаходження інтервалів на опуклість:

Якщо функція y=f(x) має кінцеву другу похідну на інтервалі Х і якщо виконується нерівність (), то графік функції має опуклість, спрямовану вниз (вгору) на Х.
Ця теорема дозволяє знаходити проміжки увігнутості і опуклості функції, потрібно лише області визначення вихідної функції вирішити нерівності і.

Приклад: З'ясувати проміжки, на яких графік функції має опуклість спрямовану вгору та опуклість спрямовану вниз. має опуклість спрямовану вгору та опуклість спрямовану вниз.
Рішення:Областю визначення цієї функції є безліч дійсних чисел.
Знайдемо другу похідну.

Область визначення другої похідної збігається з областю визначення вихідної функції, тому, щоб з'ясувати інтервали увігнутості та опуклості, достатньо вирішити відповідно. Отже, функція опукла вниз на інтервалі формула та опукла вгору на інтервалі формула.

19) Асимптоти функції. приклади.

Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції, якщо хоча б одне з граничних значень або одно або.

Зауваження.Пряма не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція безперервна у точці . Тому вертикальні асимптоти слід шукати у точках розриву функції.

Пряма називається горизонтальною асимптотоюграфіка функції, якщо хоча б одне з граничних значень або рівне.

Зауваження.Графік функції може мати лише праву горизонтальну асимптоту або лише ліву.

Пряма називається похилою асимптотоюграфіка функції , якщо

ПРИКЛАД:

Завдання.Знайти асимптоти графіка функції

Рішення.Область визначення функції:

а) вертикальні асимптоти: пряма – вертикальна асимптота, оскільки

б) горизонтальні асимптоти: знаходимо межу функції на нескінченності:

тобто горизонтальних асимптотів немає.

в) похилі асимптоти:

Отже, похила асимптота: .

Відповідь.Вертикальна асимптота - пряма.

Похила асимптота - пряма.

20) Загальна схема дослідження функції та побудова графіка. приклад.

a.
Знайти ОДЗ та точки розриву функції.

b. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

2. Провести дослідження функції за допомогою першої похідної, тобто знайти точки екстремуму функції та інтервали зростання та спадання.

3. Дослідити функцію за допомогою похідної другого порядку, тобто знайти точки перегину графіка функції та інтервали його опуклості та увігнутості.

4. Знайти асимптоти графіка функції: а) вертикальні; b) похилі.

5. З проведеного дослідження побудувати графік функції.

Зауважимо, що перед побудовою графіка корисно встановити, чи ця функція не є парною або непарною.

Згадаймо, що функція називається парною, якщо при зміні символу аргументу значення функції не змінюється: f(-x) = f(x)і функція називається непарною, якщо f(-x) = -f(x).

І тут досить досліджувати функцію і побудувати її графік при позитивних значеннях аргументу, які належать ОДЗ. При негативних значеннях аргументу графік добудовується на підставі, що для парної функції він симетричний щодо осі Ой, а для непарної щодо початку координат.

приклади.Дослідити функції та побудувати їх графіки.

Область визначення функції D(у)= (–∞; +∞).Точок розриву немає.

Перетин з віссю Ox: x = 0,у= 0.

Функція непарна, отже, можна досліджувати її лише на проміжку , а її аргумент у одиницях [x], то похідна (швидкість) вимірюється в одиницях .

Завдання 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, де x t t= 9с.

Знаходимо похідну
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Таким чином, ми отримали залежність швидкості від часу. Щоб знайти швидкість у заданий момент часу, потрібно підставити його значення отриману формулу:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 · 9 - 48 = 60.

Відповідь: 60

Зауваження: Переконаємося, що не помилилися із розмірністю величин. Тут одиниця виміру відстані (функції) [x] = метр, одиниця виміру часу (аргументу функції) [t] = секунда, отже одиниця виміру похідної = [м/с], тобто. похідна дає швидкість якраз у тих одиницях, які згадані у питанні завдання.

Завдання 7

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t= 3с.

Знаходимо похідну
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Підставляємо заданий момент часу в отриману формулу
x“(3) = −4·3 3 + 18·3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Відповідь: 59

Завдання 8

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = t 2 − 13t+ 23, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 3 м/с?

Знаходимо похідну
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Прирівнюємо швидкість, задану отриманою формулою, значення 3 м/с.
2t − 13 = 3.
Розв'язавши це рівняння, визначимо, у який час рівність є вірною.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Відповідь: 8

Завдання 9

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, де x- Відстань від точки відліку в метрах, t- час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Знаходимо похідну
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Складаємо та рівняння:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Це квадратне рівняння, яке можна вирішити через дискримінант або теорему Вієта. Тут, на мою думку, другим способом легше:
t 1 + t 2 = 6; t 1 · t 2 = −7.
Легко здогадатися, що t 1 = −1; t 2 = 7.
У відповідь поміщаємо лише позитивний корінь, т.к. час може бути негативним.