4х мірний куб. Кіберкуб - перший крок у четвертий вимір

Зображення є проекцією (перспективою) чотиривимірного куба на тривимірний простір.

Згідно з Оксфордським словником, слово «tesseract» було придумано і почало використовуватися в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (1853—1907) у його книзі «Нова ера думки». Пізніше деякі люди назвали ту саму постать «тетракубом».

Геометрія

Звичайний тессеракт у евклідовому чотиривимірному просторі визначається як опукла оболонка крапок (±1, ±1, ±1, ±1). Інакше кажучи, він може бути представлений у вигляді наступної множини:

Тессеракт обмежений вісьмома гіперплощинами, перетин яких із самим тессерактом задає його тривимірні грані (які є звичайними кубами). Кожна пара непаралельних тривимірних граней перетинається, утворюючи двовимірні грані (квадрати), і таке інше. Остаточно, тессеракт має 8 тривимірними гранями, 24 двовимірними, 32 ребрами та 16 вершинами.

Популярний опис

Спробуємо уявити, як виглядатиме гіперкуб, не виходячи з тривимірного простору.

У одновимірному «просторі» — лінії — виділимо відрізок АВ довжиною L. На двовимірної площині з відривом L від АВ намалюємо паралельний йому відрізок DC і з'єднаємо їх кінці. Вийде квадрат ABCD. Повторивши цю операцію із площиною, отримаємо тривимірний куб ABCDHEFG. А зсунувши куб у четвертому вимірі (перпендикулярно першим трьом) на відстань L, ми отримаємо гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ua/1/13/Побудова_тессеракту.PNG

Одновимірний відрізок АВ є стороною двовимірного квадрата ABCD, квадрат — стороною куба ABCDHEFG, який, у свою чергу, буде стороною чотиривимірного гіперкуба. Відрізок прямий має дві граничні точки, квадрат – чотири вершини, куб – вісім. У чотиривимірному гіперкубі, таким чином, виявиться 16 вершин: 8 вершин вихідного куба і 8 зрушеного в четвертому вимірі. Він має 32 ребра - по 12 дають початкове і кінцеве положення вихідного куба, і ще 8 ребер "намалюють" вісім його вершин, що перемістилися в четвертий вимір. Ті ж міркування можна виконати і для граней гіперкуба. У двовимірному просторі вона одна (сам квадрат), у куба їх 6 (по дві грані від квадрата, що перемістився, і ще чотири опишуть його сторони). Чотиривимірний гіперкуб має 24 квадратні грані — 12 квадратів вихідного куба у двох положеннях та 12 квадратів від дванадцяти його ребер.

Аналогічним чином можна продовжити міркування для гіперкубів більшої кількості вимірювань, але набагато цікавіше подивитися, як для нас, мешканців тривимірного простору, виглядатиме чотиривимірний гіперкуб. Скористаємося для цього вже знайомим методом аналогій.

Розгортка тесеракту

Візьмемо дротяний куб ABCDHEFG і подивимось на нього одним оком з боку грані. Ми побачимо і можемо намалювати на площині два квадрати (ближню та далеку його грані), з'єднані чотирма лініями – бічними ребрами. Аналогічним чином чотиривимірний гіперкуб у просторі трьох вимірювань буде виглядати як два кубічні «ящики», вставлені один в одного і з'єднані вісьмома ребрами. При цьому самі «ящики» — тривимірні грані — проектуватимуться на «наш» простір, а лінії, що їх з'єднують, простягнуться у четвертому вимірі. Можна спробувати уявити собі куб над проекції, а просторовому зображенні.

Подібно до того, як тривимірний куб утворюється квадратом, зрушеним на довжину грані, куб, зрушений у четвертий вимір, сформує гіперкуб. Його обмежують вісім кубів, які в перспективі виглядатимуть як досить складна фігура. Її частина, що залишилася в нашому просторі, намальована суцільними лініями, а те, що пішло в гіперпростір, пунктирними. Сам же чотиривимірний гіперкуб складається з нескінченної кількості кубів, подібно до того, що тривимірний куб можна «нарізати» на нескінченну кількість плоских квадратів.

Розрізавши шість граней тривимірного куба, можна розкласти його на плоску фігуру — розгортку. Вона матиме по квадрату з кожного боку вихідної грані плюс ще один - грань, протилежну їй. А тривимірна розгортка чотиривимірного гіперкуба складатиметься з вихідного куба, шести кубів, що «виростають» із нього, плюс ще одного — кінцевої «гіперграні».

Властивості тесеракта є продовженням властивостей геометричних фігур меншої розмірності в чотиривимірний простір.

Проекції

На двовимірний простір

Ця структура складна для уяви, але можна спроектувати тессеракт у двовимірні або тривимірні простори. Крім того, проектування на площину дозволяє легко зрозуміти розташування вершин гіперкубу. Таким чином, можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини в межах тесеракту, але які ілюструють структуру зв'язку вершин, як у таких прикладах:


На тривимірний простір

Проекція тесеракта на тривимірний простір являє собою два вкладені тривимірні куби, відповідні вершини яких з'єднані між собою відрізками. Внутрішній та зовнішній куби мають різні розміри у тривимірному просторі, але у чотиривимірному просторі це рівні куби. Для розуміння рівності всіх кубів тессеракта була створена модель тессеракта, що обертається.

Шість усічених пірамід по краях тесеракту - це зображення рівних шести кубів.
Стереопара

Стереопара тесеракт зображується як дві проекції на тривимірний простір. Таке зображення тесеракта розроблялося з метою уявити глибину, як четвертий вимір. Стереопара розглядається так, щоб кожне око бачив лише одне з цих зображень, виникає стереоскопічна картина, яка відтворює глибину тесеракту.

Розгортка тесеракту

Поверхня тесеракт може бути розгорнута у вісім кубів (аналогічно тому, як поверхня куба може бути розгорнута в шість квадратів). Існує 261 різна розгортка тесеракту. Розгортки тесеракту можуть бути підраховані нанесенням на граф з'єднаних кутів.

Тессеракт у мистецтві

У Едвін А. «Нова Рівнина Абботта», гіперкуб виступає оповідачем.
В одному епізоді «Пригод Джиммі Нейтрона»: «Хлопчик-геній» Джиммі винаходить чотиривимірний гіперкуб, ідентичний фолдбоксу з роману «Дорога слави» 1963 року Хайнлайна.
Роберт Е. Хайнлайн згадував гіперкуби, принаймні, у трьох науково-фантастичних оповіданнях. У «Будинку чотирьох вимірів» («Будинок, який збудував Тіл») (1940) він описав будинок, побудований як розгортка тесеракту.
У романі «Дорога слави» Хайнлайна описано гіперрозмірний посуд, який був зсередини більшим, ніж зовні.
Розповідь Генрі Каттнера "Mimsy Were the Borogoves" описує розвиваючу іграшку для дітей з далекого майбутнього, за будовою схожу на тесеракт.
У романі Алекса Гарленда (1999) термін «тессеракт» використовується для тривимірної розгортки чотиривимірного гіперкуба, а не гіперкуба безпосередньо. Це метафора, покликана показати, що система, що пізнає, повинна бути ширшою за пізнавану.
Сюжет фільму "Куб 2: Гіперкуб" зосереджується на восьми незнайомцях, спійманих у пастку в "гіперкубі", або мережі пов'язаних кубів.
Телесеріал "Андромеда" використовує тессеракт-генератори як пристрій змови. Вони передусім призначені, щоб керувати простором та часом.
Картина "Розп'яття на хресті" (Corpus Hypercubus) Сальвадора Далі (1954)
Комікси «Nextwave comic book» зображують засіб пересування, що включає 5 зон тессеракта.
В альбомі Voivod Nothingface одна з композицій названа «У моєму гіперкубі».
У романі Ентоні Пірса "Маршрут Куба" одна з орбітальних місяців Міжнародної асоціації розвитку називається тесерактом, який був стиснутий у 3 виміри.
У серіалі «Школа „Чорна діра“» у третьому сезоні є серія «Тессеракт». Лукас натискає на секретну кнопку і школа починає складатися як математичний тесеракт.
Термін "тессеракт" і похідний від нього термін "тесувати" зустрічається в повісті Мадлен Л'Енгл "Складка часу"

У геометрії гіперкуб- це n-мірна аналогія квадрата ( n= 2) та куба ( n= 3). Це замкнута опукла постать, що складається з груп паралельних ліній, розташованих на протилежних краях фігури, і з'єднаних один з одним під прямим кутом.

Ця фігура також відома під назвою тесеракт(Tesseract). Тессеракт відноситься до куба, як куб відноситься до квадрата. Більш формально, тессеракт може бути описаний як правильний опуклий чотиривимірний політоп (багатогранник), межа якого складається з восьми кубічних осередків.

Згідно з Окфордським словником англійської мови, слово "tesseract" було придумано в 1888 році Чарльзом Говардом Хінтоном (Charles Howard Hinton) і використано в його книзі "Нова ера думки" ("A New Era of Thought"). Слово було утворено від грецького "τεσσερες ακτινες" ("чотири промені"), є у вигляді чотири осі координат. Крім цього, у деяких джерелах, цю ж фігуру називали тетракубом(Tetracube).

n-мірний гіперкуб також називається n-кубом.

Точка - це гіперкуб розмірності 0. Якщо зрушити точку на одиницю довжини, вийде відрізок одиничної довжини - гіперкуб розмірності 1. Далі, якщо зрушити відрізок на одиницю довжини в напрямку перпендикулярному напрямку відрізка вийде куб - гіперкуб розмірності 2. Зсув квадрат на одиницю довжини в напрямку Перпендикулярна площині квадрата, виходить куб - гіперкуб розмірності 3. Цей процес може бути узагальнений на будь-яку кількість вимірювань. Наприклад, якщо зрушити куб на одиницю довжини четвертому вимірі, вийде тессеракт.

Сімейство гіперкубів є одним з небагатьох правильних багатогранників, які можуть бути представлені у будь-якому вимірі.

Елементи гіперкубу

Гіперкуб розмірності nмає 2 n"сторон" (одномірна лінія має 2 точки; двомірний квадрат - 4 сторони; тривимірний куб - 6 граней; чотиривимірний тесеракт - 8 осередків). Кількість вершин (точок) гіперкубу дорівнює 2 n(Наприклад, для куба - 2 3 вершин).

Кількість m-мірних гіперкубів на кордоні n-куба одно

Наприклад, на кордоні гіперкуба знаходяться 8 кубів, 24 квадрати, 32 ребра та 16 вершин.

Проекція на площину

Формування гіперкуба може бути представлене в такий спосіб:

• Дві точки A та B можуть бути з'єднані, утворюючи відрізок AB.
• Два паралельні відрізки AB і CD можуть бути з'єднані, утворюючи квадрат ABCD.
• Два паралельні квадрати ABCD і EFGH можуть бути з'єднані, утворюючи куб ABCDEFGH.
• Два паралельні куби ABCDEFGH і IJKLMNOP можуть бути з'єднані, утворюючи гіперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Останню структуру нелегко уявити, але можна зобразити її проекцію на двовимірний або тривимірний простір. Більше того, проекції на двомірну площину можуть бути кориснішими можливістю перестановки позицій спроектованих вершин. У цьому випадку можна отримати зображення, які більше не відображають просторові відносини елементів усередині тесеракту, але ілюструють структуру з'єднань вершин, як на прикладах нижче.

На першій ілюстрації показано, як у принципі утворюється тессеракт шляхом з'єднання двох кубів. Ця схема схожа на схему створення куба із двох квадратів. На другій схемі показано, що всі ребра тесеракта мають однакову довжину. Ця схема також змушують шукати з'єднані один з одним куби. На третій схемі вершини тесеракта розташовані відповідно до відстаней уздовж граней щодо нижньої точки. Ця схема цікава тим, що вона використовується як базова схема для мережевої топології з'єднання процесорів при організації паралельних обчислень: відстань між будь-якими двома вузлами не перевищує 4 довжин ребер і існує багато різних шляхів для врівноваження навантаження.

Гіперкуб у мистецтві

Гіперкуб з'явився в науково-фантастичній літературі з 1940 року, коли Роберт Хайнлайн в оповіданні "Будинок, який збудував Тіл" ("And He Built a Crooked House") описав будинок, збудований за формою розгортки тесеракту. У оповіданні цей Далі цей будинок згортається, перетворюючись на чотиривимірний тесеракт. Після цього гіперкуб з'являється у багатьох книгах та новелах.

У фільмі "Куб 2: Гіперкуб" розповідається про вісім людей, замкнених у мережі гіперкубів.

На картині Сальвадора Далі "Розп'яття" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) зображено Ісуса розп'ятого на розгортці тесеракта. Цю картину можна побачити у Музеї Мистецтв (Metropolitan Museum of Art) у Нью-Йорку.

Висновок

Гіперкуб - один із найпростіших чотиривимірних об'єктів, на прикладі якого можна побачити всю складність і незвичайність четвертого виміру. І те, що виглядає неможливим у трьох вимірах, можливо у чотирьох, наприклад, неможливих фігур. Так, наприклад, бруски неможливого трикутника у чотирьох вимірах будуть з'єднані під прямими кутами. І ця фігура виглядатиме так з усіх точок огляду, і не спотворюватиметься на відміну від реалізацій неможливого трикутника у тривимірному просторі (див.

Почнемо з пояснення, що таке чотиривимірне простір.

Це – одномірний простір, тобто просто вісь OX. Будь-яка точка на ній характеризується однією координатою.

Тепер проведемо вісь OY перпендикулярно до осі OX. Ось і вийшов двовимірний простір, тобто площина XOY. Будь-яка точка на ній характеризується двома координатами - абсцисою та ординатою.

Проведемо вісь OZ перпендикулярно до осей OX і OY. Вийде тривимірний простір, в якому будь-яка точка має абсцис, ординат і аплікат.

Логічно, що четверта вісь, OQ, повинна бути перпендикулярною до осей OX, OY і OZ одночасно. Але ми не можемо точно збудувати таку вісь, і тому залишається тільки спробувати уявити її собі. Кожна точка в чотиривимірному просторі має чотири координати: x, y, z і q.

Тепер побачимо, як з'явився чотиривимірний куб.

На зображенні зображена фігура одновимірного простору - лінія.

Якщо зробити паралельне перенесення цієї лінії вздовж осі OY, а потім з'єднати відповідні кінці двох ліній, що вийшли, вийде квадрат.

Аналогічно, якщо зробити паралельне перенесення квадрата вздовж осі OZ і з'єднати відповідні вершини, то вийде куб.

А якщо зробити паралельне перенесення куба вздовж осі OQ і з'єднати вершини двох цих кубів, ми отримаємо чотиривимірний куб. До речі, він називається тесеракт.

Щоб намалювати куб на площині, потрібно його спроектувати. Наочно це виглядає так:

Припустимо, що в повітрі над поверхнею висить каркасна моделькуба, тобто як би "зроблена з дроту", а над нею - лампочка. Якщо увімкнути лампочку, обвести олівцем тінь від куба, а потім вимкнути лампочку, то на поверхні буде зображено проекцію куба.

Перейдемо до трохи складнішого. Ще раз подивіться на малюнок із лампочкою: як бачите, всі промені зійшлися в одній точці. Вона називається точкою сходуі використовується для побудови перспективної проекції(А буває і паралельна, коли всі промені паралельні один одному. Результат - не створюється відчуття об'єму, але вона легша, і при тому якщо точка сходу досить сильно віддалена від об'єкта, що проектується, то різниця між цими двома проекціями мало помітна). Щоб спроектувати дану точку на дану площину, використовуючи точку сходу, потрібно провести пряму через точку сходу і дану точку, а потім знайти точку перетину прямої і площини, що вийшла. А для того, щоб спроектувати складнішу фігуру, скажімо, куб, потрібно спроектувати кожну його вершину, а потім відповідні точки з'єднати. Слід зауважити, що алгоритм проекції простору на підпростірможна узагальнити для випадку 4D->3D, а не лише 3D->2D.

Як я вже казав, ми не можемо собі точно уявити, як виглядає вісь OQ, як і тесеракт. Зате ми можемо отримати обмежене уявлення про нього, якщо спроектуємо його на об'єм, а потім намалюємо це на екрані комп'ютера!

Тепер поговоримо про проекцію тесеракту.

Зліва знаходиться проекція куба на площину, а праворуч - тесеракта на об'єм. Вони досить схожі: проекція куба виглядає як два квадрати, маленький і великий, один усередині іншого, і відповідні вершини яких з'єднані лініями. А проекція тесеракта виглядає як два куби, маленький і великий, один усередині іншого, і які відповідні вершини з'єднані. Але ми всі бачили куб, і можемо з упевненістю сказати, що і маленький квадрат, і великий, і чотири трапеції зверху, знизу, праворуч і ліворуч від маленького квадрата, насправді є квадратами, причому рівними. І у тесеракта теж саме. І великий куб, і маленький куб, і шість усічених пірамід з боків від маленького куба - це куби, причому рівні.

Моя програма вміє не тільки малювати проекцію тесеракта на об'єм, а й обертати його. Розглянемо, як це робиться.

Спершу я вам розповім, що таке обертання паралельно площині.

Уявіть, що куб обертається навколо осі OZ. Тоді кожна з його вершин описує коло навколо осі OZ.

А коло – фігура плоска. І площини кожного з цих кіл паралельні між собою, і в даному випадку паралельні площині XOY. Тобто ми можемо говорити не тільки про обертання навколо осі OZ, а ще й про обертання паралельно площині XOY. можемо говорити про обертання навколо прямої лише тоді, коли маємо справу з тривимірним простором. У двовимірному все обертається навколо крапки, у чотиривимірному - навколо площини, у п'ятивимірному просторі ми говоримо про обертання навколо об'єму. І якщо обертання навколо точки ми можемо собі уявити, то обертання навколо площини та обсягу – щось немислиме. А якщо говоритимемо про обертання паралельно площині, то тоді в будь-якому n-мірному просторі точка може обертатися паралельно площині.

Багато хто з вас, ймовірно, чув про матрицю повороту. Помноживши точку на неї, отримаємо точку, повернуту паралельно площині на кут фі. Для двовимірного простору вона виглядає так:

Як множити: ікс точки, повернутої на кут фі = косинус кута фі*ікс первісної точки мінус синус кута фі*гравець початкової точки;
гравець точки, повернутої на кут фі=синус кута фі*ікс первісної точки плюс косинус кута фі*ігр початкової точки.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, де Xa і Ya - абсциса та ордината точки, яку потрібно повернути, Xa` і Ya` - абсциса та ордината вже повернутої точки

Для тривимірного простору ця матриця узагальнюється так:

Обертання паралельно площині XOY. Як бачимо, координата Z не змінюється, а змінюються лише X та Y
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa+cosф*Ya+Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (по суті, Za`=Za)

Обертання паралельно площині XOZ. Нічого нового,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (по суті, Ya ` = Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

І третя матриця.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (по суті, Xa`=Xa)
Ya` = Xa * 0 + cosф * Ya - sinф * Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

А для четвертого виміру вони виглядають так:


Думаю, ви вже зрозуміли, що на що множити, тому зайвий раз не буду розписувати. Зате зауважу, що вона робить те саме, що й матриця для повороту паралельно площині в тривимірному просторі! І та, і це змінюють лише ординату і аплікату, інші координати не чіпають, тому її можна використовувати й у тривимірному випадку, просто не звертаючи уваги на четверту координату.

А ось із формулою проекції не все так просто. Скільки я не читав форумів, мені не підійшов жоден із способів проекції. Паралельна мені не підходила, тому що проекція не виглядатиме об'ємною. В одних формулах проекції для знаходження точки потрібно вирішити систему рівнянь (а я не знаю, як навчити комп'ютер їх вирішувати), інші я просто не зрозумів ... Загалом, я вирішив придумати свій спосіб. Розглянемо при цьому проекцію 2D->1D.

pov означає "Point of view" (точка зору), ptp означає "Point to project" (точка, яку потрібно спроектувати), а ptp` - це точка, що шукається на осі OX.

Кути povptpB і ptpptp`A рівні як відповідні (пунктирна лінія паралельна осі OX, пряма povptp – січна).
Ікс точки ptp` дорівнює іксу точки ptp мінус довжина відрізка ptp`A. Цей відрізок можна знайти з трикутника ptpptp`A: ptp`A = ptpA/тангенс кута ptpptp`A. Ми можемо знайти цей тангенс із трикутника povptpB: тангенс кута ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Відповідь: Xptp`=Xptp-Yptp/тангенс кута ptpptp`A.

Я не став детально розписувати цей алгоритм тут, тому що там купа окремих випадків, коли формула дещо змінюється. Кому це цікаво – подивіться у вихідниках програми, там все розписано у коментарях.

Для того, щоб спроектувати точку тривимірного простору на площину, просто розглянемо дві площини - XOZ та YOZ, і для кожної з них вирішимо це завдання. У разі чотиривимірного простору потрібно розглянути три площини: XOQ, YOQ і ZOQ.

І нарешті про програму. Вона діє так: ініціалізувати шістнадцять вершин тесеракта -> залежно від введених користувачем команд повернути його -> спроецировать на об'єм -> залежно від введених користувачем команд повернути його проекцію -> спроектувати на площину -> намалювати.

Проекції та повороти я написав сам. Вони працюють за формулами, які я щойно описав. Бібліотека OpenGL малює лінії, а також займається змішуванням кольорів. А координати вершин тесеракту обчислюються таким чином:

Координати вершин лінії з центром на початку координат і довжиною 2 - (1) та (-1);
- " - " - квадрата - " - " - і ребром довжиною 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) та (-1; -1);
- " - " - куба - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Як можна було помітити, квадрат - одна лінія над віссю OY і одна лінія під віссю OY; куб - це один квадрат спереду від площини XOY, один за нею; Тессеракт - це один куб по той бік об'єму XOYZ, і один - по цю. Але куди легше сприйняти це чергування одиниць та мінус одиниць, якщо їх записати у стовпчик

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

У першому стовпчику один і мінус один чергуються. У другому стовпці спочатку йде два плюси, потім два мінуси. У третьому – чотири плюс одиниці, а потім чотири мінус одиниці. То були вершини куба. У тесеракта їх вдвічі більше, і тому потрібно було написати цикл для їхнього оголошення, інакше дуже легко заплутатися.

Моя програма також вміє малювати анагліф. Щасливі володарі 3D-окулярів можуть спостерігати стереоскопічну картинку. У малюванні картинки немає нічого хитрого, просто малюється дві проекції на площину для правого та лівого очей. Натомість програма стає набагато наочнішою і цікавішою, а головне - дає краще уявлення про чотиривимірний світ.

Менш значні функції - підсвічування однієї з граней червоним, щоб краще можна було розглянути повороти, а так само дрібні зручності - регуляція координат точок-«очей», збільшення та зменшення швидкості повороту.

Архів із програмою, вихідником та інструкцією користування.

Як тільки я стала в змозі після операції читати лекції, перше ж питання, яке задали студенти:

Коли ви намалюєте 4-мірний куб? Ільяс Абдульхаєвич нам обіцяв!

Я пам'ятаю, що мої дорогі френди іноді люблять хвилинку математичного лікнепу. Тому шматочок своєї лекції для математиків я напишу тут. І постараюся без занудства. Лекцію в якихось моментах читаю суворіше, звичайно.

Давайте спочатку домовимося. 4-мірний, а тим більше 5-6-7- і взагалі k-мірний простір нам у чуттєвих відчуттях не дано.
"Ми убогі, бо лише тривимірні," - як казав мій викладач у недільній школі, який першим і розповів мені, що таке 4-мірний куб. Недільна школа була, звісно, ​​вкрай релігійна - математична. На той раз ми ось вивчали гіпер-куби. За тиждень до цього мат.індукцію, через тиждень після цього гамільтонові цикли в графах - відповідно, це 7 клас.

Ми не можемо 4-мірний куб доторкнутися, понюхати, почути або побачити. Що ми можемо з ним зробити? Ми можемо його собі уявити! Тому що наш мозок набагато складніша, ніж наші очі та руки.

Отже, щоб зрозуміти, що таке 4-мірний куб, давайте зрозуміємо спочатку те, що нам доступно. Що таке тривимірний куб?

Добре Добре! Я не прошу у вас чіткого математичного визначення. Просто уявіть собі найпростіший і звичайнісінький тривимірний куб. Уявили?

Добре.
Для того, щоб зрозуміти, як узагальнити 3-мірний куб в 4-мірний простір, давайте зрозуміємо, що ж таке 2-мірний куб. Так це просто - це квадрат!

У квадрата 2 координати. У куба три. Крапки квадрата - точки з двома координатами. Перша від 0 до 1. І друга від 0 до 1. У точок куба три координати. І кожна – будь-яке число від 0 до 1.

Логічно собі уявити, що 4-мірний куб - це така штука, яка має 4 координати і все від 0 до 1.

/* Тут же логічно уявити собі 1-мірний куб, який не що інше як простий відрізок від 0 до 1. */

Так, стоп, а як малювати 4-мірний куб? Адже ми не можемо на площині намалювати 4-мірний простір!
Але ж 3-мірний простір ми теж не малюємо на площині, ми малюємо його проекціюна 2-мірну площину малюнка. Третю координату (z) ми маємо під кутом, уявляючи собі, що вісь із площини малюнка йде "до нас".

Тепер зрозуміло, як же малювати 4-мірний куб. Так само, як третю вісь ми розташували під деяким кутом, візьмемо четверту вісь і теж розташуємо під деяким кутом.
І – вуаля! - Проекція 4-мірного куба на площину.

Що? Що це взагалі? Чую я завжди шепіт із задніх парт. Давайте я докладніше поясню, що це за мішанина ліній.
Дивіться спочатку на тривимірний куб. Що ми зробили? Ми взяли квадрат та протягнули його по третій осі (z). Це як багато паперових квадратів, склеєних у стопку між собою.
З 4-мірним кубом те саме. Давайте четверту вісь для зручності і для сайнс-фікшн називатимемо "вісь часу". Нам треба взяти звичайний тривимірний куб і протягнути його у час від часу "зараз" до часу "через годину".

У нас є куб "зараз". На малюнку він рожевий.

А тепер тягнемо його вздовж четвертої осі - вздовж осі часу (я її показала зеленим). І отримуємо куб майбутнього – блакитний.

Кожна вершина "куба зараз" у часі залишає слід - відрізок. Той, хто з'єднує її теперішню з нею ж майбутньою.

Коротше, без лірики: намалювали два однакові 3-мірні куби і з'єднали відповідні вершини.
Так само, як робили з 3-мірним кубом (намалювали 2 однакові 2-мірні куби і з'єднали вершини).

Щоб намалювати 5-мірний куб, вам доведеться намалювати дві копії 4-мірного куба (4-мірний куб із п'ятою координатою 0 і 4-мірний куб із п'ятою координатою 1) і з'єднати відповідні вершини ребрами. Щоправда, на площині вийде така мішанина ребер, що щось зрозуміти буде майже неможливо.

Коли ми уявили 4-мірний куб і навіть змогли його намалювати, можна його по-різному дослідити. Не забуваючи досліджувати його і в умі, і за картинкою.
Наприклад. 2-мірний куб обмежений із 4 сторін 1-мірними кубами. Це логічно: по кожній із 2 координат у нього є і початок, і кінець.
3-мірний куб обмежений із 6 сторін 2-мірними кубами. По кожній із трьох координат у нього є початок і кінець.
Отже, 4-мірний куб має бути обмежений вісьмома 3-мірними кубами. По кожній із 4 координат - з двох сторін. На малюнку вище ми явно бачимо 2 грані, що обмежують його координатою "час".

Ось тут - два кубики (вони трохи косі тому, що у них дві розмірності спроектовані на площину під кутом), що обмежують наш гіпер-куб ліворуч і праворуч.

Неважко також помітити "верхній" і "нижній".

Найскладніше - зрозуміти візуально, де "передній" та "задній". Передній починається від передньої грані "куба зараз" і до передньої грані "куба майбутнього" - він рудий. Задній відповідно, фіолетовий.

Їх найважче помітити, бо під ногами плутаються інші куби, які обмежують гіпер-куб за іншою спроектованою координатою. Але зауважте, що куби таки різні! Ось ще раз картинка, де виділено "куб зараз" та "куб майбутнього".

Звичайно, можна спроектувати 4-мірний куб у 3-мірний простір.
Перша можлива просторова модель зрозуміло, як виглядає: треба взяти 2 каркаси куба і з'єднати їх відповідні вершини новим рубом.
У мене такої моделі зараз немає. На лекції я студентам показую трохи іншу 3-мірну модель 4-мірного куба.

Знаєте, як куб проектують на площину так.
Наче ми дивимося на куб зверху.

Близька грань, зрозуміло, велика. А далека грань виглядає меншою, ми її бачимо крізь ближню.

Ось так само можна проектувати 4-мірний куб. Куб зараз більше, куб майбутнього ми бачимо на віддалі, тому він виглядає менше.

З іншого боку. З боку вершини.

Прямо рівно з боку грані:

З боку ребра:

І останній ракурс, несиметричний. З розділу "ти ще скажи, що я йому між ребер заглядав".

Ну, а далі можна вигадувати всяке. Наприклад, як буває розгортка 3-мірного куба на площину (це як треба вирізати аркуш паперу, щоб при згортанні отримати куб), так само буває розгортка 4-мірного куба в простір. Це як слід вирізати шматок дерева, щоб згортаючи його в 4-мірному просторі ми отримали тесеракт.

Можна вивчати не просто 4-мірний куб, а взагалі n-мірні куби. Наприклад, чи правда, що радіус сфери, описаної навколо n-вимірного куба менше, ніж довжина ребра цього куба? Або питання простіше: а скільки вершин у n-мірного куба? А скільки ребер (1-мірних граней)?

Еволюція людського мозку проходила у тривимірному просторі. Тому нам складно уявити собі простору з розмірністю понад три. Фактично людський мозок не може уявити геометричні об'єкти з розмірністю більше трьох. І в той же час ми легко уявляємо собі геометричні об'єкти з розмірністю не тільки три, але і з розмірністю два і один.

Відмінність і аналогія між одновимірним і двовимірним просторами, а також відмінність і аналогія між двовимірним і тривимірним просторами дозволяють нам трохи відкрити ширму таємничості, яка відгороджує нас від просторів більшої розмірності. Щоб зрозуміти, як використовується ця аналогія, розглянемо дуже простий чотиривимірний об'єкт – гіперкуб, тобто чотиривимірний куб. Нехай для визначеності, скажімо, ми хочемо вирішити конкретне завдання, а саме, порахувати кількість квадратних граней чотиривимірного куба. Весь розгляд далі буде дуже несуворим, без усіляких доказів, суто за аналогією.

Щоб зрозуміти, як будується гіперкуб із звичайного куба, треба спочатку подивитися, як будується звичайний куб із звичайного квадрата. Для оригінальності викладу цього матеріалу будемо тут звичайний квадрат називати СубКубом (і не плутатимемо його з суккубом).

Щоб побудувати куб із субкуба, треба протягнути субкуб у напрямку перпендикулярному до площини субкуба у напрямку третього виміру. При цьому з кожної сторони первісного субкуба виросте субкуб, який є бічною двовимірною гранню куба, які обмежать з чотирьох сторін тривимірний об'єм куба, по дві перпендикулярно кожному напрямку в площині субкуба. І вздовж нової третьої осі теж є два субкуби, що обмежують тривимірний об'єм куба. Це та двовимірна грань, де спочатку знаходився наш субкуб і та двовимірна грань куба, куди субкуб прийшов наприкінці будівництва куба.

Те, що Ви зараз прочитали, викладено дуже докладно і з масою уточнень. І не просто. Зараз ми зробимо такий фокус, замінимо у попередньому тексті деякі слова формально таким чином:
куб -> гіперкуб
субкуб -> куб
площина -> обсяг
третього -> четвертого
двовимірної -> тривимірної
чотирьох -> шести
тривимірний -> чотиривимірний
дві -> три
площині -> просторі

В результаті отримуємо наступний осмислений текст, який вже не здається надто докладним.

Щоб побудувати гіперкуб із куба, треба протягнути куб у напрямку перпендикулярному об'єму куба у напрямку четвертого виміру. При цьому з кожної сторони первісного куба виросте куб, який є бічною тривимірною гранню гіперкуба, які обмежать з шести сторін чотиривимірний об'єм гіперкуба, по три перпендикулярно кожному напрямку в просторі куба. І вздовж нової четвертої осі також є два куби, що обмежують чотиривимірний об'єм гіперкуба. Це та тривимірна грань, де спочатку був наш куб і та тривимірна грань гіперкуба, куди куб прийшов під кінець будівництва гіперкуба.

Чому в нас така впевненість, що ми отримали правильний опис побудови гіперкубу? Та тому що такою самою формальною заміною слів ми отримуємо опис побудови куба з опису побудови квадрата. (Перевірте це самі.)

Ось тепер зрозуміло, що якщо з кожної сторони куба має вирости ще один тривимірний куб, то, отже, з кожного ребра початкового куба має вирости грань. Усього у куба ребер 12, отже, з'явиться додатково 12 нових граней (субкубів) у тих 6 кубів, які обмежують чотиривимірний об'єм по трьох осях тривимірного простору. І залишилися ще два куби, які обмежують цей чотиривимірний об'єм знизу та зверху вздовж четвертої осі. У кожному із цих кубів є по 6 граней.

Разом отримуємо, що гиперкуб має 12+6+6=24 квадратних граней.

На наступному малюнку показано логічну будову гіперкуба. Це як би проекція гіперкуба на тривимірний простір. При цьому виходить тривимірний каркас із ребер. На малюнку, звісно, ​​Ви бачите проекцію цього каркаса ще й на площину.

На цьому каркасі внутрішній куб це як би початковий куб, з якого почалося побудова і обмежує чотиривимірний об'єм гіперкуба по четвертій осі знизу. Ми цей початковий куб простягаємо вгору вздовж четвертої осі виміру і переходить у зовнішній куб. Отже, зовнішній і внутрішній куби з цього малюнка обмежують гіперкуб по четвертій осі вимірювання.

А між цими двома кубами видно ще 6 нових кубів, які стикаються загальними гранями з першими двома. Ці шість кубів обмежують наш гіперкуб по трьох осях тривимірного простору. Як бачите, вони стикаються не лише з першими двома кубами, які на цьому тривимірному каркасі внутрішній та зовнішній, але вони ще стикаються один з одним.

Можна прямо на малюнку порахувати і переконатися, що гіперкуб дійсно має 24 грані. Але виникає таке питання. Цей каркас гіперкуба в тривимірному просторі заповнений вісьмома тривимірними кубами без жодних просвітів. Щоб із цієї тривимірної проекції гіперкуба зробити справжній гіперкуб, треба вивернути цей каркас навиворіт так, щоб усі 8 кубів обмежували 4-мірний об'єм.

Робиться це так. Запрошуємо в гості мешканця чотиривимірного простору та просимо його допомогти нам. Він вистачає внутрішній куб цього каркаса і зрушує його у напрямку четвертого виміру, який перпендикулярний нашому тривимірному простору. Ми в нашому тривимірному просторі сприймаємо це так, начебто весь внутрішній каркас зник і залишився тільки каркас зовнішнього куба.

Далі наш чотиривимірний помічник пропонує свою допомогу в пологових будинках по безболісних пологах, але наших вагітних жінок лякає перспектива того, що немовля просто зникне з живота і опиниться в паралельному тривимірному просторі. Тому чотиримерцю ввічливо відмовляють.

А ми спантеличуємося питанням, чи не розклеїлися деякі з наших кубів при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт. Адже якщо якісь тривимірні куби, що оточують гіперкуб, стикаються своїми гранями з сусідами на каркасі, то вони також стикатимуться цими ж гранями, якщо чотиримерець виверне каркас навиворіт.

Знову звернемося до аналогії з просторами меншої розмірності. Порівняйте зображення каркаса гіперкуба з проекцією тривимірного куба на площину, показану на наступному малюнку.

Мешканці двовимірного простору побудували на площині каркас проекції куба на площину та запросили нас, тривимірних мешканців, вивертати цей каркас навиворіт. Ми беремо чотири вершини внутрішнього квадрата і зрушуємо їх перпендикулярно до площини. Двовимірні жителі у своїй бачать повне зникнення всього внутрішнього каркаса, і вони залишається лише каркас зовнішнього квадрата. При такій операції всі квадрати, які стикалися своїми ребрами, продовжують, як і раніше, торкатися тими самими ребрами.

Тому ми сподіваємося, що і логічна схема гіперкуба також не буде порушена при вивертанні каркаса гіперкубу навиворіт, а кількість квадратних граней гіперкуба при цьому не збільшиться і буде як і раніше 24. Це, звичайно ж, ніякий не доказ, а суто здогад за аналогією .

Після всього прочитаного тут, Ви вже легко зможете намалювати логічні каркаси п'ятивимірного куба і підрахувати, яке у нього число вершин, ребер, граней, кубів і гіперкубів. Це зовсім не важко.