Як описати коло при рівнобічній трапеції. Запам'ятовуємо та застосовуємо властивості трапеції

Якщо в трапецію вписано коло, у задачі з'являється кілька шляхів, якими можна повести міркування.

1.У чотирикутник можна вписати коло тоді і лише тоді, коли суми довжин його протилежних сторін дорівнюють. Звідси слідує що якщо в трапецію вписано коло, то сума її підстав дорівнює сумі бічних сторін.

AB+CD=AD+BC

2. Відрізки дотичних, проведених із однієї точки, рівні. Звідси слідує що

3. Висота трапеції дорівнює довжині діаметра вписаного кола або двом її радіусам.

MK - висота трапеції, MK = 2r, де r - радіус вписаної в трапецію кола.

4. Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис кутів трапеції.

Розглянемо базове завдання.

Знайти радіус вписаного в трапецію кола, якщо точка торкання ділить бічну сторону на відрізки довжиною m і n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (як сума внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих AD та BC та січній CD);

2) оскільки точка O — точка перетину бісектрис кутів трапеції, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180º, то у трикутнику COD ∠COD=90º;

4) таким чином, трикутник COD прямокутний, а OF – висота, проведена до гіпотенузи, CF та FD – проекції катета OC та OD на гіпотенузу. Оскільки висота, проведена до гіпотенузи, є між проекціями катетів на гіпотенузу,

Звідси радіус вписаної в трапецію кола виражається через довжини відрізків, як що бічна сторона ділиться точкою дотику, як

Оскільки висота трапеції дорівнює її діаметру, то й висоту трапеції можна виразити через довжини цих відрізків.

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї, наприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Але, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди дорівнюють дев'яноста градусам.

2. Рівностегновий трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті немає необхідності для введення в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами у той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена ​​у вигляді ключового завдання у системі задач.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до боків фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторон, які лежать однією прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу – це задачна технологія їхнього викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а лише за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, яка містить цю основу, дорівнюватиме середньої лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант розв'язання цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ - це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що й розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кут знайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються;

Якщо бічна сторона ділиться точкою торкання відрізки М і М, тоді дорівнює квадратному кореню добутку цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї прикладу. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності з двох кутів. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхньої основи, АБО та СОД у бокових сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АД). Звідси отримуємо, що РВ=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середня гармонійна підстава фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС та АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ та ЇЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, Про та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний до основ. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, що дорівнює середньому геометричному довжини основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Вважаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналів фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ/2-БС/2 = (АТ+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити підстави у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку зі сторін, наприклад, праворуч. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їхню діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки у тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великих зусиль. Зате знання даної властивості дозволить при розв'язанні задач застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А + Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.

Як знайти радіус описаного кола для трапеції?

Залежно від цих умов, зробити це можна різними способами. Готовий формули радіусу описаної при трапеції кола немає.

I. Радіус описаного біля трапеції кола як радіус кола, описаного біля трикутника, вершини якого - вершини трапеції

Описана біля трапеції коло проходить через усі її вершини, отже, є описаною будь-якого з трикутників, вершини яких є вершинами трапеції.

У загальному випадку може бути знайдено за однією з формул

де a - сторона трикутника, α - протилежний їй кут;

або за формулою

де a, b, c – сторони, S – площа трикутника.

Для трапеції ABCD радіус може бути знайдений, наприклад, як радіус кола, описаного біля трикутника ABD:

де синус кута A можна знайти із прямокутного трикутника ABF:

ІІІ. Радіус описаної біля трапеції кола як відстань до точки перетину серединних перпендикулярів

Радіус описаного кола - точка перетину серединних перпендикулярів зі сторін трапеції. (Можна міркувати інакше: у рівнобедреному трикутнику AOD (AO=OD=R) висота ON є також медіаною. Для трикутника BOC – аналогічно).

Якщо відома висота трапеції KN=h, підстави AD=a, BC=b можна позначити ON=x.

Якщо центр кола лежить усередині трапеції, OK=h-x, із прямокутних трикутників ANO та BKO можна виразити

та прирівняти праві частини

Розв'язавши це рівняння щодо x, можна знайти R.

IV. Якщо діагональ трапеції перпендикулярна бічній стороні, центр описаного кола лежить на середині більшої основи і радіус дорівнює половині більшої основи.

Проектна робота «Цікаві властивості трапеції» Виконали: учениці 10 класу Кудзаєва Елліна Баззаєва Діана МКОУ ЗОШ с. М.Батако Керівник: Гагієва А.О. 20.11.2015 року

Мета роботи: Розглянути властивості трапеції, які у шкільному курсі геометрії не вивчаються, але під час вирішення геометричних завдань ЄДІ з розгорнутої частини З 4 необхідно знати і вміти застосовувати саме ці властивості.

Властивості трапеції: Якщо трапеція розділена прямою, паралельною до її підстав, рівним a і в, на дві рівновеликі трапеції. Тоді відрізок до цієї прямої, укладений між бічними сторонами, дорівнює a

Властивість відрізка, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції. Відрізок, паралельний основам, що проходить через точку перетину діагоналей дорівнює: а с

Властивості трапеції: Відрізок прямої, паралельної до основ трапеції, укладений усередині трапеції, розбивається її діагоналями на три частини. Тоді відрізки, що прилягають до боків, рівні між собою. МР=ОК Р М О К

Властивості рівнобедреної трапеції: Якщо в трапецію можна вписати коло, то радіус кола є середнє пропорційне відрізків, на які точка торкання поділяє бічну сторону. О С В А Д. Е О

Властивості рівнобедреної трапеції: Якщо центр описаного кола лежить на підставі трапеції, то її діагональ перпендикулярна бічній стороні О А В С Д

Властивості рівнобедреної трапеції: У рівнобедрену трапецію можна вписати коло, якщо бічна сторона дорівнює її середній лінії. З В А Д h

1)Якщо за умови завдання сказано, що у прямокутну трапецію вписано коло, можна використовувати такі властивості: 1. Сума підстав трапеції дорівнює сумі бічних сторін. 2. Відстань від вершини трапеції до точок торкання вписаного кола дорівнює. 3. Висота прямокутної трапеції дорівнює її меншій бічній стороні і дорівнює діаметру вписаного кола. 4. Центр вписаного кола є точкою перетину бісектрис кутів трапеції. 5. Якщо точка торкання ділить бічну сторону на відрізки m і n, то радіус вписаного кола дорівнює

Властивості прямокутної трапеції, в яку вписано коло: 1) Чотирьохкутник, утворений центром вписаного кола, точками торкання та вершиною трапеції – квадрат, сторона якого дорівнює радіусу. (AMOE та BKOM - квадрати зі стороною r). 2) Якщо в прямокутну трапецію вписано коло, то площа трапеції дорівнює добутку її основ: S=AD*BC

Доказ: Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту: Позначимо CF = m, FD = n. Оскільки відстані від вершин до точок торкання рівні, висота трапеції дорівнює двом радіусам вписаного кола, а

I. Бісектриси кутів при боці трапеції перетинаються під кутом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(як внутрішні односторонні при AD?BC і січній AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(оскільки бісектриси ділять кути навпіл). 3) Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180º, у трикутнику ABK маємо: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, звідси ∠AKB=180-90=90º. Висновок: Бісектриси кутів при боці трапеції перетинаються під прямим кутом. Це твердження застосовується при вирішенні завдань на трапецію, в яку вписано коло.

I I .Точка перетину бісектрис трапеції, що належать до бічної сторони, лежить на середній лінії трапеції. Нехай бісектриса кута ABC перетинає сторону AD у точці S. Тоді трикутник ABS - рівнобедрений з основою BS. Значить, його бісектриса AK є також медіаною, тобто точка K - середина BS. Якщо M і N – середини бічних сторін трапеції, то MN – середня лінія трапеції та MN?AD. Оскільки M і K - середини AB і BS, MK - середня лінія трикутника ABS і MK AS. Оскільки через точку M можна провести лише одну пряму, паралельну даній, точка K лежить на середній лінії трапеції.

ІІІ. Точка перетину бісектрис гострих кутів на підставі трапеції належить іншій підставі. У цьому випадку трикутники ABK та DCK – рівнобедрені з основами AK та DK відповідно. Отже, BC=BK+KC=AB+CD. Висновок: Якщо бісектриси гострих кутів трапеції перетинаються в точці, що належить меншій основі, то менша основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції. У рівнобедреної трапеції в цьому випадку менша основа вдвічі більша від бічної сторони.

I V. Точка перетину бісектрис тупих кутів на підставі трапеції належить іншій підставі. У цьому випадку трикутники ABF та DCF - рівнобедрені з основами BF та CF відповідно. Звідси AD=AF+FD=AB+CD. Висновок: Якщо бісектриси тупих кутів трапеції перетинаються в точці, що належить більшій основі, то більша основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції. У рівнобедреної трапеції в цьому випадку більша основа вдвічі більша від бічної сторони.

Якщо рівнобедрену трапецію зі сторонами а,в,с,d можна вписати і біля неї можна описати кола, то площа трапеції дорівнює

Трапеція – це геометрична фігура з чотирма кутами. При побудові трапеції важливо враховувати, що дві протилежні сторони є паралельними, а дві інші, навпаки, не паралельні щодо один одного. Це слово прийшло в сучасність із Стародавньої Греції і звучало як "трапедіон", що означало "столик", "обідній столик".

Ця стаття розповідає про властивості трапеції, описаної біля кола. Також ми розглянемо види та елементи цієї фігури.

Елементи, види та ознаки геометричної фігури трапеція

Паралельні сторони у цій фігурі називають підставами, а ті, що не паралельні – бічними сторонами. За умови, що бічні сторони однакової довжини, трапеція вважається рівнобедреною. Трапеція, бічні сторони якої лежать перпендикулярно до основи під кутом в 90°, називається прямокутною.

У цієї, здавалося б, нехитрої постаті є чимало властивостей, їй властивих, що підкреслюють її ознаки:

1. Якщо провести середню лінію з боків, то вона буде паралельна основам. Цей відрізок дорівнюватиме 1/2 різниці підстав.
2. При побудові бісектриси з будь-якого кута трапеції утворюється рівносторонній трикутник.
3. З властивостей трапеції, описаної біля кола, відомо, що сума паралельних бічних сторін повинна дорівнювати сумі підстав.
4. При побудові діагональних відрізків, де одна із сторін є основою трапеції, отримані трикутники будуть подібними.
5. При побудові діагональних відрізків, де одна із сторін є бічною, отримані трикутники матимуть рівну площу.
6. Якщо продовжити бічні лінії і побудувати відрізок із центру основи, то утворений кут дорівнюватиме 90°. Відрізок, що з'єднує основи, дорівнюватиме 1/2 їх різниці.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Укласти коло в трапецію можна лише за умови. Ця умова полягає в тому, що сума бічних сторін повинна дорівнювати сумі підстав. Наприклад, при побудові трапеції AFDM можна застосувати AF + DM = FD + AM. Тільки в такому випадку у трапецію можна укласти коло.

Отже, докладніше про властивості трапеції, описаної біля кола:

1. Якщо в трапецію укладено коло, то для того, щоб знайти довжину її лінії, що перетинає фігуру навпіл, необхідно знайти 1/2 суми довжин бічних сторін.
2. При побудові трапеції, описаної біля кола, утворена гіпотенуза тотожна радіусу кола, а висота трапеції за сумісництвом є і діаметром кола.
3. Ще однією властивістю рівнобедреної трапеції, описаної біля кола, є те, що її бічна сторона відразу видно від центру кола під кутом 90°.

Ще трохи про властивості трапеції, укладеної в коло

Тільки рівнобедрена трапеція може бути вписана в коло. Це означає, що потрібно дотриматися умов, за яких побудована трапеція AFDM відповідатиме таким вимогам: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея свідчить, що у трапеції, укладеної в коло, твір діагоналей тотожний і дорівнює сумі помножених протилежних сторін. Це означає, що при побудові кола, описаного біля трапеції AFDM, можна застосувати: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На шкільних іспитах досить часто зустрічаються завдання, які потребують вирішення завдань із трапецією. Багато теорем необхідно запам'ятовувати, але якщо вивчити відразу не вийде - не біда. Найкраще періодично вдаватися до підказки в підручниках, щоб ці знання самі собою, без особливих зусиль вклалися в голові.