Намерете стойността на производната на функцията в точката x0. Намерете стойността на производната на функцията в точката x0 Уравнението на допирателната към графиката на функцията

В задача B9 е дадена графика на функция или производна, от която се изисква да се определи една от следните величини:

1. Стойността на производната в дадена точка x 0,
2. Високи или ниски точки (екстремни точки),
3. Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).

Функциите и производните, представени в тази задача, са винаги непрекъснати, което значително опростява решението. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, тя е напълно по силите дори на най-слабите ученици, тъй като тук не се изискват задълбочени теоретични познания.

За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно условието на задача B9, за да не правите глупави грешки: понякога се срещат доста обемни текстове, но има малко важни условия, които влияят на хода на решението.

Изчисляване на стойността на производната. Метод с две точки

Ако за задачата е дадена графика на функцията f(x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0 , и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

1. Намерете две "адекватни" точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете координатите правилно - това е ключовата точка на решението и всяка грешка тук води до грешен отговор.
2. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
3. Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Още веднъж отбелязваме: точките A и B трябва да се търсят точно по допирателната, а не върху графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки, в противен случай проблемът е формулиран неправилно.

Разгледайте точките A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

От последния пример можем да формулираме правилото: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на контакт е равна на нула. В този случай дори не е нужно да изчислявате нищо - просто погледнете графиката.

Изчисляване на високи и ниски точки

Понякога вместо графика на функция в задача B9 се дава производна графика и се изисква да се намери точката на максимум или минимум на функцията. В този сценарий двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

1. Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точката x 0 се нарича минимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

За да намерите максималните и минималните точки на графиката на производната, е достатъчно да изпълните следните стъпки:

1. Преначертайте графиката на производната, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, допълнителните данни само пречат на решението. Затова отбелязваме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
2. Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. Обратно, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
3. Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, има минимална точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−5; 5]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.

Да се ​​освободим от ненужната информация - ще оставим само границите [−5; 5] и нулите на производната x = −3 и x = 2.5. Обърнете внимание и на знаците:

Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана върху отсечката [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нулите на производната x = −1.7 и x = 5. Обърнете внимание на знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана върху отсечката [−6; четири]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), които принадлежат на интервала [−4; 3].

От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от отсечката [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нулите на производната вътре в него. А именно точките x = −3,5 и x = 2. Получаваме:

На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в нея знакът на производната се променя от плюс на минус.

Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е формулиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките "без определено място на пребиваване" не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, с цели точки такъв трик няма да работи.

Намиране на интервали на нарастване и намаляване на функция

В такъв проблем, подобно на точките на максимум и минимум, се предлага да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява от графиката на производната. Първо, нека дефинираме какво е възходящо и низходящо:

1. Функция f(x) се нарича нарастваща върху отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
2. Функция f(x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тези. по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Ние формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:

1. За да нараства непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f'(x) ≥ 0.
2. За да намалява непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f'(x) ≤ 0.

Приемаме тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на нарастване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на точки на екстремум:

1. Премахнете цялата излишна информация. На оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че оставяме само тях.
2. Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f'(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f'(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът има ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на новата диаграма.
3. Сега, след като знаем поведението на функцията и ограничението, остава да изчислим търсената стойност в задачата.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана върху отсечката [−3; 7.5]. Намерете интервалите на намаляваща функция f(x). В отговора си напишете сумата от цели числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, преначертаваме графиката и маркираме границите [−3; 7.5], както и нулите на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−10; четири]. Намерете интервалите на нарастваща функция f(x). В отговора си запишете дължината на най-големия от тях.

Да се ​​отървем от излишната информация. Оставяме само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път се оказаха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Забележете знаците на производната и получете следната картина:

Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f'(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Тъй като се изисква да се намери дължината на най-големия от интервалите, в отговор записваме стойността l 2 = 5.

Пример 1

Справка: Следните начини за отбелязване на функция са еквивалентни: В някои задачи е удобно да обозначите функцията като „играч“, а в някои като „ef от x“.

Първо намираме производната:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

, , пълно функционално изследванеи т.н.

Пример 3

Изчислете производната на функцията в точката . Нека първо намерим производната:

Е, това е съвсем друг въпрос. Изчислете стойността на производната в точката:

В случай, че не разбирате как е намерена производната, върнете се към първите два урока от темата. Ако има затруднения (неразбиране) с аркутангенса и неговите значения, непременно изучаване на методическия материал Графики и свойства на елементарни функции- последният параграф. Защото има още достатъчно арктангенси за студентската възраст.

Пример 4

Изчислете производната на функцията в точката .

Уравнението на допирателната към графиката на функцията

За да консолидираме предишния параграф, помислете за проблема с намирането на допирателната към функционална графикав този момент. Срещнахме тази задача в училище и я има и в курса по висша математика.

Помислете за "демонстрационен" елементарен пример.

Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката с абсцисата. Веднага ще дам готово графично решение на проблема (на практика в повечето случаи това не е необходимо):

Строгата дефиниция на допирателната е дадена от дефиниции на производната на функция, но засега ще усвоим техническата част на въпроса. Със сигурност почти всеки интуитивно разбира какво е допирателна. Ако обясните "на пръстите", тогава допирателната към графиката на функцията е прав, което се отнася до графиката на функцията в единствениятточка. В този случай всички близки точки на правата линия са разположени възможно най-близо до графиката на функцията.

Приложено към нашия случай: при , допирателната (стандартна нотация) докосва графиката на функцията в една точка.

И нашата задача е да намерим уравнението на права линия.

Производна на функция в точка

Как да намерим производната на функция в точка? Две очевидни точки на тази задача следват от формулировката:

1) Необходимо е да се намери производната.

2) Необходимо е да се изчисли стойността на производната в дадена точка.

Пример 1

Изчислете производната на функция в точка

Помощ: Следните начини за отбелязване на функция са еквивалентни:


В някои задачи е удобно да обозначите функцията като „играч“, а в някои като „ef от x“.

Първо намираме производната:

Надявам се, че мнозина вече са се адаптирали да намират такива производни устно.

На втората стъпка изчисляваме стойността на производната в точката:

Малък пример за загряване за независимо решение:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

Пълно решение и отговор в края на урока.

Необходимостта да се намери производната в дадена точка възниква при следните задачи: конструиране на допирателна към графиката на функция (следващ абзац), изследване на функция за екстремум , изследване на функцията за инфлексия на графиката , пълно функционално изследване и т.н.

Но разглежданата задача се намира в контролните работи и сама по себе си. И като правило в такива случаи функцията се дава доста сложна. В тази връзка разгледайте още два примера.

Пример 3

Изчисляване на производната на функция в точка .
Нека първо намерим производната:

Производната по принцип се намира и търсената стойност може да бъде заменена. Но всъщност не искам да правя нищо. Изразът е много дълъг и стойността на "x" е дробна. Затова се опитваме да опростим нашата производна колкото е възможно повече. В този случай нека се опитаме да сведем последните три термина до общ знаменател: в точка .

Това е пример за „направи си сам“.

Как да намеря стойността на производната на функцията F(x) в точката Ho? Как да го решим като цяло?

Ако формулата е дадена, намерете производната и заместете X-нула вместо X. броя
Ако говорим за b-8 USE, графика, тогава трябва да намерите тангенса на ъгъла (остър или тъп), който образува допирателна към оста X (използвайки умствената конструкция на правоъгълен триъгълник и определяйки тангенса на ъгълът)

Тимур Адилходжаев

Първо, трябва да вземете решение за знака. Ако точката x0 е в долната част на координатната равнина, тогава знакът в отговора ще бъде минус, а ако е по-висок, тогава +.
Второ, трябва да знаете какво е танге в правоъгълен правоъгълник. И това е съотношението на противоположната страна (крак) към съседната страна (също крак). Обикновено има няколко черни петна върху картината. От тези белези правите правоъгълен триъгълник и намирате tange.

Как да намерим стойността на производната на функцията f x в точката x0?

В общия случай, за да се намери стойността на производната на функция по някаква променлива във всяка точка, е необходимо да се диференцира дадената функция по тази променлива. Във вашия случай от променливата X. В получения израз вместо X поставете стойността на x в точката, за която трябва да намерите стойността на производната, т.е. във вашия случай заменете нула X и изчислете получения израз.

Е, желанието ви да разберете този въпрос, според мен, несъмнено заслужава +, който поставям с чиста съвест.

Такава формулировка на проблема за намиране на производната често се поставя, за да се фиксира материалът върху геометричния смисъл на производната. Предложена е графика на определена функция, напълно произволна и незададена с уравнение, като се изисква да се намери стойността на производната (не самата производна!) в посочената точка X0. За целта се конструира допирателна към дадената функция и се намират точките на нейното пресичане с координатните оси. Тогава уравнението на тази допирателна се съставя във формата y=kx+b.

В това уравнение коефициентът k и ще бъде стойността на производната. остава само да се намери стойността на коефициента b. За да направим това, намираме стойността на y при x \u003d o, нека бъде равна на 3 - това е стойността на коефициента b. Заместваме стойностите на X0 и Y0 в оригиналното уравнение и намираме k - нашата стойност на производната в тази точка.