Стандартна форма на мономиално обяснение. Дефиниция на моном: свързани понятия, примери

В този урок ще дадем строга дефиниция на моном, ще разгледаме различни примери от учебника. Припомнете си правилата за умножение на степени с една и съща основа. Нека дадем дефиниция на стандартната форма на монома, коефициента на монома и неговата буквална част. Нека разгледаме две основни типични операции върху мономи, а именно привеждане до стандартна форма и изчисляване на конкретна числена стойност на мономи за дадени стойности на включените в него буквални променливи. Нека формулираме правилото за редуциране на монома до стандартния вид. Нека се научим как да решаваме типични задачи с всякакви мономи.

Тема:мономи. Аритметични действия върху мономи

Урок:Концепцията за моном. Стандартна форма на моном

Помислете за някои примери:

3. ;

Нека намерим общи черти за дадените изрази. И в трите случая изразът е произведение на числа и променливи, повдигнати на степен. Въз основа на това ние даваме дефиниция на моном : мономът е алгебричен израз, който се състои от произведение на степени и числа.

Сега даваме примери за изрази, които не са мономи:

Нека намерим разликата между тези изрази и предишните. Състои се в това, че в примери 4-7 има операции събиране, изваждане или деление, докато в примери 1-3, които са мономи, тези операции не са.

Ето още няколко примера:

Израз номер 8 е моном, тъй като е произведение на степен и число, докато пример 9 не е моном.

Сега нека разберем действия върху мономи .

1. Опростяване. Помислете за пример #3 ;и пример #2 /

Във втория пример виждаме само един коефициент - , всяка променлива се среща само веднъж, тоест променливата " а” се представя в единичен случай, като „”, по подобен начин променливите „” и „” се срещат само веднъж.

В пример № 3, напротив, има два различни коефициента - и , виждаме променливата "" два пъти - като "" и като "", по същия начин променливата "" се среща два пъти. Тоест, този израз трябва да бъде опростен, така стигаме до първото действие, извършено върху мономи, е да се доведе мономът до стандартната форма . За да направим това, привеждаме израза от Пример 3 в стандартната форма, след което дефинираме тази операция и се научаваме как да приведем всеки моном в стандартната форма.

Така че помислете за пример:

Първата стъпка в операцията по стандартизация винаги е да се умножат всички числени фактори:

;

Резултатът от това действие ще бъде извикан мономиален коефициент .

След това трябва да умножите градусите. Умножаваме степените на променливата " х”според правилото за умножение на степени с една и съща основа, което гласи, че при умножаване показателите се събират:

Сега нека умножим правомощията при»:

;

Ето един опростен израз:

;

Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. Да формулираме правило за стандартизация :

Умножете всички числени фактори;

Поставете получения коефициент на първо място;

Умножете всички степени, т.е. получете буквената част;

Тоест всеки моном се характеризира с коефициент и буквена част. Гледайки напред, отбелязваме, че мономите, които имат една и съща буквена част, се наричат ​​подобни.

Сега трябва да печелите техника за редуциране на мономи до стандартна форма . Помислете за примери от учебника:

Задача: приведете монома в стандартната форма, назовете коефициента и буквената част.

За да изпълним задачата, използваме правилото за привеждане на монома към стандартната форма и свойствата на степените.

1. ;

3. ;

Коментари по първия пример: Като начало, нека определим дали този израз наистина е моном, за това проверяваме дали съдържа операции за умножение на числа и степени и дали съдържа операции за събиране, изваждане или деление. Можем да кажем, че този израз е моном, тъй като горното условие е изпълнено. Освен това, съгласно правилото за привеждане на монома в стандартната форма, ние умножаваме числените фактори:

- намерихме коефициента на дадения моном;

; ; ; т.е. получава се буквалната част на израза:;

запишете отговора: ;

Коментари по втория пример: Следвайки правилото, ние изпълняваме:

1) умножете числови фактори:

2) умножете правомощията:

Променливите и са представени в едно копие, тоест не могат да бъдат умножени с нищо, те се пренаписват без промени, степента се умножава:

запишете отговора:

;

В този пример мономиалният коефициент е равен на едно, а буквалната част е .

Коментари към третия пример: аподобно на предишните примери, ние извършваме следните действия:

1) умножете числови фактори:

;

2) умножете правомощията:

;

изпишете отговора: ;

В този случай коефициентът на монома е равен на "", а буквалната част .

Сега помислете втора стандартна операция върху мономи . Тъй като мономът е алгебричен израз, състоящ се от буквални променливи, които могат да приемат конкретни числени стойности, имаме аритметичен числов израз, който трябва да бъде изчислен. Тоест, следната операция върху полиноми е изчисляване на тяхната специфична числена стойност .

Помислете за пример. Мономът е даден:

този моном вече е редуциран до стандартна форма, неговият коефициент е равен на единица и буквалната част

По-рано казахме, че алгебричен израз не винаги може да бъде изчислен, т.е. променливите, които влизат в него, може да не приемат никаква стойност. В случай на моном, променливите, включени в него, могат да бъдат всякакви, това е характеристика на монома.

И така, в дадения пример се изисква да се изчисли стойността на монома за , , , .

Степен на монома

За монома съществува понятието степен. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Степен на мономастандартната форма е сумата от експонентите на всички променливи, включени в неговия запис; ако няма променливи в мономиалния запис и той е различен от нула, тогава неговата степен се счита за нула; числото нула се счита за моном, чиято степен не е дефинирана.

Дефиницията на степента на монома ни позволява да дадем примери. Степента на монома a е равна на едно, тъй като a е a 1 . Степента на монома 5 е нула, тъй като той е различен от нула и записът му не съдържа променливи. И произведението 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 е моном от осма степен, тъй като сумата от показателите на всички променливи a, x и y е 2+1+3+2=8.

Между другото, степента на моном, който не е записан в стандартна форма, е равна на степента на съответния моном в стандартна форма. За да илюстрираме казаното, изчисляваме степента на монома 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Този моном в стандартна форма има формата −6·x 8 ·y 4 , степента му е 8+4=12 . Така степента на първоначалния моном е 12 .

Мономен коефициент

Моном в стандартна форма, имащ поне една променлива в своето обозначение, е продукт с един числен фактор - числен коефициент. Този коефициент се нарича мономиален коефициент. Нека формализираме горното разсъждение под формата на определение.

Определение.

Мономен коефициенте числовият фактор на монома, записан в стандартна форма.

Сега можем да дадем примери за коефициентите на различни мономи. Числото 5 е коефициентът на монома 5 a 3 по дефиниция, подобно на монома (−2,3) x y z има коефициента −2,3 .

Специално внимание заслужават коефициентите на мономи, равни на 1 и −1. Въпросът тук е, че те обикновено не присъстват изрично в записа. Смята се, че коефициентът на мономи от стандартната форма, които нямат числов фактор в своя запис, е равен на единица. Например мономи a , x z 3 , a t x и т.н. имат коефициент 1, тъй като a може да се разглежда като 1 a, x z 3 като 1 x z 3 и т.н.

По същия начин, коефициентът на мономи, чиито записи в стандартния формуляр нямат числов фактор и започват със знак минус, се счита за минус едно. Например мономите −x , −x 3 y z 3 и т.н. имат коефициент −1, тъй като −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3и т.н.

Между другото, концепцията за коефициента на монома често се нарича мономи от стандартната форма, които са числа без буквени множители. Коефициентите на такива мономи-числа се считат за тези числа. Така, например, коефициентът на монома 7 се счита за равен на 7.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Мономите са един от основните типове изрази, изучавани като част от училищния курс по алгебра. В тази статия ще ви кажем какво представляват тези изрази, ще дефинираме тяхната стандартна форма и ще покажем примери, както и ще се занимаваме със свързани понятия, като степента на монома и неговия коефициент.

Какво е моном

Училищните учебници обикновено дават следното определение на това понятие:

Определение 1

Мономерите включватчисла, променливи, както и техните степени с натурален показател и различни видове продукти, съставени от тях.

Въз основа на това определение можем да дадем примери за такива изрази. И така, всички числа 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 ще се отнасят за мономи. Всички променливи, например x, a, b, p, q, t, y, z също ще бъдат мономи по дефиниция. Това включва и степените на променливи и числа, например 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 и t 15, както и изрази като 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z и т.н. Моля, имайте предвид, че един моном може да включва или едно число или променлива, или няколко, и те могат да бъдат споменати няколко пъти като част от един полином.

Такива видове числа като цели, рационални, естествени също принадлежат към мономи. Тук можете също да включите реални и комплексни числа. Така че изрази като 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 също ще бъдат мономи.

Каква е стандартната форма на моном и как да преобразуваме израз към нея

За удобство на работа всички мономи първо се редуцират до специална форма, наречена стандартна. Нека уточним какво означава това.

Определение 2

Стандартната форма на мономате го наричат ​​такава форма, в която е продукт на числов фактор и естествени степени на различни променливи. Числовият коефициент, наричан още мономиален коефициент, обикновено се записва първо от лявата страна.

За по-голяма яснота избираме няколко монома от стандартната форма: 6 (това е моном без променливи), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Това включва и израза x y(тук коефициентът ще бъде равен на 1), − x 3(тук коефициентът е - 1).

Сега даваме примери за мономи, които трябва да бъдат доведени до стандартна форма: 4 а а 2 а 3(тук трябва да комбинирате същите променливи), 5 x (− 1) 3 y 2(тук трябва да комбинирате числените фактори отляво).

Обикновено, в случай, че един моном има няколко променливи, написани с букви, буквените фактори се записват по азбучен ред. Например предпочитаният запис 6 a b 4 c z 2, как b 4 6 a z 2 c. Редът обаче може да е различен, ако целта на изчислението го изисква.

Всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма. За да направите това, трябва да извършите всички необходими идентични трансформации.

Концепцията за степента на монома

Съпътстващото понятие за степента на монома е много важно. Нека напишем определението на това понятие.

Определение 3

Степен на монома, записано в стандартна форма, е сумата от показателите на всички променливи, които са включени в неговия запис. Ако в него няма нито една променлива и самият моном е различен от 0, тогава неговата степен ще бъде нула.

Нека дадем примери за степени на монома.

Пример 1

И така, моном a има степен 1, защото a = a 1 . Ако имаме моном 7, тогава той ще има нулева степен, тъй като няма променливи и е различен от 0. И ето влизането 7 a 2 x y 3 a 2ще бъде моном от 8-ма степен, тъй като сумата от експонентите на всички степени на включените в него променливи ще бъде равна на 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Стандартизираният моном и оригиналният полином ще имат една и съща степен.

Пример 2

Нека покажем как се изчислява степента на моном 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. В стандартна форма може да се запише като − 6 x 8 y 4. Изчисляваме степента: 8 + 4 = 12 . Следователно степента на първоначалния полином също е равна на 12 .

Концепцията за мономиален коефициент

Ако имаме стандартизиран моном, който включва поне една променлива, тогава говорим за него като за продукт с един числен фактор. Този фактор се нарича числов коефициент или мономиален коефициент. Нека напишем определението.

Определение 4

Коефициентът на монома е численият фактор на монома, приведен до стандартна форма.

Вземете, например, коефициентите на различни мономи.

Пример 3

И така, в израза 8 а 3коефициентът ще бъде числото 8, а в (− 2 , 3) ​​​​x y zте ще − 2 , 3 .

Особено внимание трябва да се обърне на коефициентите, равни на едно и минус едно. По правило те не са изрично посочени. Смята се, че в монома от стандартната форма, в който няма числов фактор, коефициентът е 1, например в изразите a, x z 3, a t x, тъй като те могат да се разглеждат като 1 a, x z 3 - как 1 x z 3и т.н.

По същия начин, в мономи, които нямат числов фактор и започват със знак минус, можем да разгледаме коефициента - 1.

Пример 4

Например, изразите − x, − x 3 y z 3 ще имат такъв коефициент, тъй като могат да бъдат представени като − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 и т.н.

Ако един моном изобщо няма нито един буквален множител, тогава е възможно да се говори за коефициент и в този случай. Коефициентите на такива мономи-числа ще бъдат самите тези числа. Така, например, коефициентът на монома 9 ще бъде равен на 9.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter