Теория на фракталите. Невероятният свят на фракталите

Общинска бюджетна образователна институция

"Сиверска средно училище № 3"

Изследвания

математика.

Свърши работата

ученик от 8 клас

Емелин Павел

научен съветник

учител по математика

Тупицина Наталия Алексеевна

стр. Сиверски

2014 година

Математиката е пълна с красота и хармония,

Просто трябва да видите тази красота.

Б. Манделброт

Въведение

Глава 1. Историята на възникването на фракталите _______ 5-6 стр.

Глава 2. Класификация на фракталите.____________________6-10стр.

геометрични фрактали

Алгебрични фрактали

Стохастични фрактали

Глава 3. "Фрактална геометрия на природата" ______ 11-13стр.

Глава 4. Приложение на фракталите _______________13-15стр.

Глава 5 Практическа работа __________________ 16-24стр.

Заключение________________________________25.стр

Списък с литература и интернет ресурси _______ 26 стр.

Въведение

математика,

ако го погледнеш правилно,

отразява не само истината,

но и несравнима красота.

Бертран Ръсел

Думата "фрактал" е нещо, за което много хора говорят в наши дни, от учени до гимназисти. Появява се на корицата на много учебници по математика, научни списания и кутии с компютърен софтуер. Цветни изображения на фрактали днес могат да бъдат намерени навсякъде: от пощенски картички, тениски до снимки на работния плот на персонален компютър. И така, какви са тези цветни форми, които виждаме наоколо?

Математиката е най-старата наука. На повечето хора изглеждаше, че геометрията в природата е ограничена до такива прости форми като линия, кръг, многоъгълник, сфера и т.н. Както се оказа, много природни системи са толкова сложни, че използването само на познати обекти с обикновена геометрия за моделирането им изглежда безнадеждно. Как например да се изгради модел на планинска верига или корона на дървета по отношение на геометрията? Как да опишем разнообразието от биологично разнообразие, което наблюдаваме в света на растенията и животните? Как да си представим цялата сложност на кръвоносната система, състояща се от много капиляри и съдове и доставяща кръв до всяка клетка на човешкото тяло? Представете си структурата на белите дробове и бъбреците, наподобяващи дървета с разклонена корона по структура?

Фракталите са подходящо средство за изследване на поставените въпроси. Често това, което виждаме в природата, ни интригува с безкрайното повторение на един и същ модел, увеличен или намален няколко пъти. Например, едно дърво има клони. Тези клони имат по-малки клони и т.н. Теоретично елементът "вилица" се повтаря безкрайно много пъти, като става все по-малък и по-малък. Същото може да се види и при гледане на снимка на планински терен. Опитайте да увеличите малко планинската верига --- ще видите планините отново. Така се проявява свойството на самоподобие, характерно за фракталите.

Изучаването на фракталите разкрива прекрасни възможности, както в изучаването на безкраен брой приложения, така и в областта на математиката. Използването на фрактали е много широко! В крайна сметка тези предмети са толкова красиви, че се използват от дизайнери, художници, с помощта на тях много елементи от дървета, облаци, планини и т.н. се рисуват в графики. Но фракталите дори се използват като антени в много мобилни телефони.

За много хаолози (учени, които изучават фрактали и хаос) това не е просто нова област на знанието, която съчетава математика, теоретична физика, изкуство и компютърни технологии – това е революция. Това е откриването на нов тип геометрия, геометрията, която описва света около нас и която може да се види не само в учебниците, но и в природата и навсякъде в безграничната вселена..

В работата си също реших да се „докосна“ до света на красотата и реших за себе си...

Обективен: създаване на обекти, които са много подобни на природата.

Изследователски методиКлючови думи: сравнителен анализ, синтез, моделиране.

Задачи:

запознаване с концепцията, историята на възникване и изследване на Б. Манделброт,

Г. Кох, В. Серпински и др.;

запознаване с различни видове фрактални множества;

изучаване на научно-популярна литература по този въпрос, запознаване с

научни хипотези;

намиране на потвърждение на теорията за фракталността на околния свят;

изследване на използването на фрактали в други науки и в практиката;

провеждане на експеримент за създаване на свои собствени фрактални изображения.

Основен въпрос на работата:

Покажете, че математиката не е сух, бездушен предмет, тя може да изрази духовния свят на човек поотделно и в обществото като цяло.

Предмет на изследване: Фрактална геометрия.

Обект на изследване: фрактали в математиката и в реалния свят.

Хипотеза: Всичко, което съществува в реалния свят, е фрактал.

Изследователски методи: аналитичен, търсене.

Уместностна заявената тема се определя преди всичко от предмета на изследване, който е фракталната геометрия.

Очаквани резултати:В хода на работата ще мога да разширя познанията си в областта на математиката, да видя красотата на фракталната геометрия и да започна да работя върху създаването на свои собствени фрактали.

Резултатът от работата ще бъде създаването на компютърна презентация, бюлетин и книжка.

Глава 1

Б Енуа Манделброт

Терминът "фрактал" е въведен от Беноа Манделброт. Думата идва от латинското "fractus", което означава "счупен, разбит".

Фрактал (лат. fractus - смачкан, счупен, счупен) - термин, означаващ сложна геометрична фигура със свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло.

Математическите обекти, за които се отнася, се характеризират с изключително интересни свойства. В обикновената геометрия линията има едно измерение, повърхността има две измерения, а пространствената фигура е триизмерна. Фракталите, от друга страна, не са линии или повърхности, а, ако можете да си го представите, нещо между тях. С увеличаване на размера обемът на фрактала също се увеличава, но неговото измерение (експонента) не е цяло число, а дробна стойност и следователно границата на фракталната фигура не е линия: при голямо увеличение става ясна че е замъглено и се състои от спирали и къдрици, повтарящи в малко мащаба на самата фигура. Такава геометрична закономерност се нарича инвариантност на мащаба или самоподобие. Тя е тази, която определя дробното измерение на фракталните фигури.

Преди появата на фракталната геометрия науката се занимаваше със системи, съдържащи се в три пространствени измерения. Благодарение на Айнщайн стана ясно, че триизмерното пространство е само модел на реалността, а не самата реалност. Всъщност нашият свят е разположен в четириизмерен пространствено-времеви континуум.
Благодарение на Манделброт стана ясно как изглежда едно четириизмерно пространство, образно казано, фракталното лице на Хаоса. Беноа Манделброт открива, че четвъртото измерение включва не само първите три измерения, но и (това е много важно!) интервалите между тях.

Рекурсивната (или фракталната) геометрия замества евклидовата. Новата наука е в състояние да опише истинската природа на телата и явленията. Евклидовата геометрия се занимаваше само с изкуствени, въображаеми обекти, принадлежащи към три измерения. Само четвъртото измерение може да ги превърне в реалност.

Течност, газ, твърдо вещество са трите обичайни физически състояния на материята, които съществуват в триизмерния свят. Но какво е измерението на струята дим, облаците или по-скоро техните граници, непрекъснато размити от турбулентното движение на въздуха?

По принцип фракталите се класифицират в три групи:

Алгебрични фрактали

Стохастични фрактали

геометрични фрактали

Нека разгледаме по-отблизо всеки един от тях.

Глава 2. Класификация на фракталите

геометрични фрактали

Беноа Манделброт предложи фрактален модел, който вече се е превърнал в класика и често се използва за демонстриране както на типичен пример за самия фрактал, така и за демонстриране на красотата на фракталите, което също привлича изследователи, художници и хора, които просто се интересуват.

Именно с тях започва историята на фракталите. Този тип фрактали се получават чрез прости геометрични конструкции. Обикновено при конструирането на тези фрактали се процедира по следния начин: взема се "семе" - аксиома - набор от сегменти, на базата на които ще бъде изграден фракталът. Освен това, набор от правила се прилага към това "семе", което го превръща в някаква геометрична фигура. Освен това към всяка част от тази фигура отново се прилага същия набор от правила. С всяка стъпка фигурата ще става все по-сложна и ако извършим (поне в ума) безкраен брой трансформации, ще получим геометричен фрактал.

Фракталите от този клас са най-визуалните, защото веднага се виждат самоподобието във всякаква скала на наблюдение. В двумерния случай такива фрактали могат да бъдат получени чрез задаване на прекъсната линия, наречена генератор. В една стъпка от алгоритъма всеки от сегментите, които съставляват прекъснатата линия, се заменя с генератор на прекъсната линия, в съответния мащаб. В резултат на безкрайното повторение на тази процедура (или по-точно при преминаване до границата) се получава фрактална крива. С привидната сложност на получената крива, нейната обща форма се дава само от формата на генератора. Примери за такива криви са: крива на Кох (фиг.7), крива на Пеано (фиг.8), крива на Минковски.

В началото на 20-ти век математиците търсят криви, които нямат допирателна в нито една точка. Това означаваше, че кривата рязко промени посоката си и освен това с изключително висока скорост (производната е равна на безкрайност). Търсенето на тези криви е предизвикано не само от празния интерес на математиците. Факт е, че в началото на 20-ти век квантовата механика се развива много бързо. Изследователят М. Браун скицира траекторията на суспендираните частици във вода и обяснява това явление по следния начин: произволно движещи се течни атоми удрят суспендирани частици и по този начин ги привеждат в движение. След подобно обяснение на брауновското движение учените бяха изправени пред задачата да намерят крива, която най-добре да показва движението на брауновските частици. За да направите това, кривата трябваше да отговаря на следните свойства: да няма допирателна в нито една точка. Математикът Кох предложи една такава крива.

ДА СЕ кривата на Кох е типичен геометричен фрактал. Процесът на неговото изграждане е следният: вземаме един сегмент, разделяме го на три равни части и заменяме средния интервал с равностранен триъгълник без този сегмент. В резултат на това се образува прекъсната линия, състояща се от четири връзки с дължина 1/3. На следващата стъпка повтаряме операцията за всяка от четирите получени връзки и така нататък ...

Граничната крива е крива на Кох.

Снежинка Кох.Извършвайки подобна трансформация на страните на равностранен триъгълник, можете да получите фрактално изображение на снежинка на Кох.

т
Друг прост представител на геометричен фрактал е площад Серпински.Изграден е съвсем просто: Квадратът е разделен от прави линии, успоредни на страните му, на 9 равни квадрата. Централният площад се отстранява от площада. Получава се комплект, състоящ се от 8 оставащи квадрата от "първи ранг". Правейки същото с всеки от квадратите от първи ранг, получаваме набор от 64 квадрата от втори ранг. Продължавайки този процес за неопределено време, получаваме безкрайна последователност или квадрат на Сиерпински.

Алгебрични фрактали

Това е най-голямата група фрактали. Алгебричните фрактали са получили името си, защото са изградени с помощта на прости алгебрични формули.

Те се получават чрез нелинейни процеси в н-мерни пространства. Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко стабилни състояния. Състоянието, в което се намира динамичната система след определен брой итерации, зависи от нейното първоначално състояние. Следователно всяко стабилно състояние (или, както се казва, атрактор) има определена област от начални състояния, от които системата непременно ще изпадне в разглежданите крайни състояния. По този начин фазовото пространство на системата е разделено на атракционни зониатрактори. Ако фазовото пространство е двуизмерно, тогава чрез оцветяване на областите на привличане с различни цветове може да се получи цветен фазов портреттази система (итеративен процес). Чрез промяна на алгоритъма за избор на цвят можете да получите сложни фрактални модели с фантастични многоцветни модели. Изненада за математиците беше способността да генерират много сложни структури с помощта на примитивни алгоритми.

Като пример разгледайте множеството на Манделброт. Изграден е с помощта на комплексни числа.

Част от границата на множеството на Манделброт, увеличена 200 пъти.

Множеството на Манделброт съдържа точки, които по време набезкраен броят на повторенията не отива до безкрайност (точки, които са черни). Точки, принадлежащи на границата на множеството(тук възникват сложни структури) отиват до безкрайност в краен брой итерации, а точките, лежащи извън множеството, отиват до безкрайност след няколко итерации (бял фон).

П



Пример за друг алгебричен фрактал е множеството Джулия. Има 2 разновидности на този фрактал.Изненадващо, множествата на Джулия се формират по същата формула като множеството на Манделброт. Комплектът Джулия е изобретен от френския математик Гастон Джулия, на когото е кръстен комплектът.

И
интересен факт, някои алгебрични фрактали поразително наподобяват изображения на животни, растения и други биологични обекти, в резултат на което се наричат ​​биоморфи.

Стохастични фрактали

Друг добре познат клас фрактали са стохастичните фрактали, които се получават, ако някой от неговите параметри бъде произволно променен в итерационен процес. Това води до обекти, много подобни на естествените – асиметрични дървета, разчленени брегови линии и т.н.

Типичен представител на тази група фрактали е "плазмата".

д
За конструирането му се взема правоъгълник и се определя цвят за всеки негов ъгъл. След това се намира централната точка на правоъгълника и се боядисва в цвят, равен на средноаритметичната стойност на цветовете в ъглите на правоъгълника плюс някакво произволно число. Колкото по-голямо е произволното число, толкова по-„разкъсана“ ще бъде картината. Ако приемем, че цветът на точката е височината над морското равнище, вместо плазма ще получим планинска верига. Именно на този принцип се моделират планините в повечето програми. С помощта на алгоритъм, подобен на плазма, се изгражда карта на височината, към нея се прилагат различни филтри, прилага се текстура и фотореалистичните планини са готови.

Е
Ако разгледаме този фрактал в секция, ще видим, че този фрактал е обемен и има „грапавост“, точно поради тази „грапавост“ има много важно приложение на този фрактал.

Да приемем, че искате да опишете формата на планина. Обикновените фигури от евклидовата геометрия няма да помогнат тук, защото не отчитат топографията на повърхността. Но когато комбинирате конвенционална геометрия с фрактална геометрия, можете да получите самата „грапавост“ на планината. Плазма трябва да се нанесе върху обикновен конус и ще получим релефа на планината. Такива операции могат да се извършват с много други обекти в природата, благодарение на стохастичните фрактали, самата природа може да бъде описана.

Сега нека поговорим за геометричните фрактали.

.

Глава 3 "Фракталната геометрия на природата"

Защо геометрията често се нарича "студена" и "суха"? Една от причините е неспособността й да опише формата на облак, планина, брегова линия или дърво. Облаците не са сфери, планините не са конуси, бреговата линия не са кръгове, дърво кората не е гладка, но сложността е на съвсем различно ниво. Броят на различни дължини на природни обекти за всякакви практически цели е безкраен."

(БеноаМанделброт "Фракталната геометрия на природата" ).

ДА СЕ Красотата на фракталите е двойна: тя радва окото, както свидетелства поне световната изложба на фрактални изображения, организирана от група бременски математици под ръководството на Пейтген и Рихтер. По-късно експонатите на тази грандиозна изложба са запечатани в илюстрациите към книгата „Красотата на фракталите” на същите автори. Но има и друг, по-абстрактен или възвишен аспект на красотата на фракталите, отворен, според Р. Файнман, само за умствения поглед на теоретика, в този смисъл фракталите са красиви с красотата на труден математически проблем. Беноа Манделброт посочи на своите съвременници (и, вероятно, на потомците си) жалък пропуск в Елементите на Евклид, според който, без да забелязва пропуска, в продължение на почти две хилядолетия човечеството разбира геометрията на околния свят и усвоява математическата строгост на презентация. Разбира се, и двата аспекта на красотата на фракталите са тясно свързани помежду си и не се изключват, а взаимно се допълват, въпреки че всеки от тях е самодостатъчен.

Фракталната геометрия на природата, според Манделброт, е реална геометрия, която отговаря на определението за геометрия, предложено в „Програмата на Ерланген“ на Ф. Клайн. Факт е, че преди появата на неевклидовата геометрия, N.I. Лобачевски - Л. Боляй, имаше само една геометрия - тази, която беше изложена в "Началата", и въпросът какво е геометрията и коя от геометриите е геометрията на реалния свят не възникна и не можеше възникват. Но с появата на още една геометрия възникна въпросът какво е геометрия като цяло и коя от многото геометрии съответства на реалния свят. Според Ф. Клайн геометрията изучава такива свойства на обекти, които са инвариантни при трансформации: Евклидови - инварианти на групата движения (трансформации, които не променят разстоянието между които и да е две точки, т.е. представляващи суперпозиция на паралелни транслации и завъртания с или без промяна в ориентацията) , геометрия на Лобачевски-Боляй - инварианти на групата на Лоренц. Фракталната геометрия се занимава с изследване на инвариантите на групата от самоафинни трансформации, т.е. свойства, изразени от силовите закони.

Що се отнася до съответствието с реалния свят, фракталната геометрия описва много широк клас природни процеси и явления и следователно можем, следвайки Б. Манделброт, с право да говорим за фракталната геометрия на природата. Нови - фракталните обекти имат необичайни свойства. Дължините, площите и обемите на някои фрактали са равни на нула, други се обръщат към безкрайност.

Природата често създава невероятни и красиви фрактали, с перфектна геометрия и такава хармония, че просто замръзвате от възхищение. А ето и техните примери:

морски черупки

Светкавицавъзхищавайки се на красотата им. Фракталите, създадени от мълния, не са случайни или редовни.

фрактална форма подвидове карфиол(Brassica cauliflora). Този специален вид е особено симетричен фрактал.

П папратсъщо е добър пример за фрактал сред флората.

паунивсеки е известен с цветното си оперение, в което са скрити плътни фрактали.

Лед, замръзванена прозорците, това също са фрактали

ОТНОСНО
t увеличено изображение брошура, преди клони на дървета- можете да намерите фрактали във всичко

Фракталите са навсякъде и навсякъде в природата около нас. Цялата вселена е изградена според изненадващо хармонични закони с математическа прецизност. Възможно ли е след това да мислим, че нашата планета е произволен съединител от частици? Едва ли.

Глава 4

Фракталите намират все повече приложения в науката. Основната причина за това е, че те описват реалния свят понякога дори по-добре от традиционната физика или математика. Ето няколко примера:

ОТНОСНО
са дните на най-мощните приложения на фракталите компютърна графика. Това е фрактална компресия на изображения. Съвременната физика и механика тепърва започват да изучават поведението на фракталните обекти.

Предимствата на алгоритмите за фрактална компресия на изображения са много малкият размер на пакетирания файл и краткото време за възстановяване на изображението. Фрактално опакованите изображения могат да бъдат мащабирани без появата на пикселизация (лошо качество на изображението - големи квадрати). Но процесът на компресиране отнема много време и понякога продължава с часове. Алгоритъмът за фрактално опаковане със загуби ви позволява да зададете ниво на компресия, подобно на jpeg формата. Алгоритъмът се основава на търсене на големи парчета от изображението, подобни на някои малки парчета. И само кое парче е подобно на което се записва в изходния файл. При компресиране обикновено се използва квадратна решетка (парчетата са квадрати), което води до лек ъгъл при възстановяване на картината, шестоъгълната мрежа е без такъв недостатък.

Iterated разработи нов формат на изображения, "Sting", който съчетава фрактална и "вълнова" (като jpeg) компресия без загуби. Новият формат ви позволява да създавате изображения с възможност за последващо висококачествено мащабиране, а обемът на графичните файлове е 15-20% от обема на некомпресираните изображения.

По механика и физикафракталите се използват поради уникалното свойство да повтарят очертанията на много природни обекти. Фракталите ви позволяват да приближавате дървета, планински повърхности и пукнатини с по-висока точност от приближения с линейни сегменти или многоъгълници (със същото количество съхранени данни). Фракталните модели, подобно на естествените обекти, имат "грапавост" и това свойство се запазва при произволно голямо увеличение на модела. Наличието на единна мярка върху фракталите дава възможност да се приложи интеграция, теория на потенциала, да се използват вместо стандартни обекти в вече изследваните уравнения.

т
Фракталната геометрия също се използва за проектиране на антенни устройства. Това е използвано за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава живее в центъра на Бостън, където монтирането на външни антени върху сградите е забранено. Коен изряза форма на крива на Кох от алуминиево фолио и след това го залепи върху лист хартия, преди да го прикрепи към приемник. Оказа се, че такава антена работи не по-лошо от конвенционалната. И въпреки че физическите принципи на такава антена не са проучени досега, това не попречи на Коен да създаде собствена компания и да създаде тяхното серийно производство. В момента американската компания “Fractal Antenna System” разработи нов тип антена. Сега можете да спрете да използвате изпъкнали външни антени в мобилни телефони. Така наречената фрактална антена се намира директно върху основната платка вътре в устройството.

Има и много хипотези за използването на фрактали – например лимфната и кръвоносната система, белите дробове и много други също имат фрактални свойства.

Глава 5. Практическа работа.

Първо, нека се съсредоточим върху фракталите "Огърлица", "Победа" и "Квадрат".

Първо - "Огърлица"(фиг. 7). Кръгът е инициаторът на този фрактал. Този кръг се състои от определен брой еднакви кръгове, но с по-малки размери, а самият той е един от няколкото кръга, които са еднакви, но с по-големи размери. Така че процесът на обучение е безкраен и може да се осъществява както в една посока, така и в обратна посока. Тези. фигурата може да бъде увеличена, като се вземе само една малка дъга, или може да се намали, като се разгледа нейната конструкция от по-малки.

ориз. 7.

Фрактал "Огърлица"

Вторият фрактал е "победа"(фиг. 8). Той получи това име, защото външно прилича на латинската буква „V“, тоест „победа“-победа. Този фрактал се състои от определен брой малки „v“, които образуват едно голямо „V“, а в лявата половина, в която малките са поставени така, че левите им половини да образуват една права линия, е изградена дясната част по същия начин. Всяко от тези "v" е изградено по същия начин и продължава това до безкрайност.

Фиг.8. Фрактал "Победа"

Третият фрактал е "Квадрат" (фиг. 9). Всяка от страните му се състои от един ред клетки, оформени като квадрати, чиито страни също представляват редове клетки и т.н.

Фиг. 9. Фрактал "Квадрат"

Фракталът е наречен "Роза" (фиг. 10), поради външната му прилика с това цвете. Изграждането на фрактал е свързано с изграждането на поредица от концентрични окръжности, чийто радиус се променя пропорционално на дадено съотношение (в този случай R m / R b = ¾ = 0,75.). След това във всяка окръжност се вписва правилен шестоъгълник, чиято страна е равна на радиуса на окръжността, описана около него.

Ориз. 11. Фрактал "Роза*"

След това се обръщаме към правилния петоъгълник, в който рисуваме диагоналите му. След това, в петоъгълника, получен в пресечната точка на съответните сегменти, отново рисуваме диагонали. Нека продължим този процес до безкрайност и да получим фрактала "Пентаграма" (фиг. 12).

Нека въведем елемент на креативност и нашият фрактал ще приеме формата на по-визуален обект (фиг. 13).

Р
е 12. Фрактал "Пентаграма".

Ориз. 13. Фрактал "Пентаграм *"

Ориз. 14 фрактал "Черна дупка"

Експеримент №1 "Дърво"

Сега, когато разбрах какво е фрактал и как да го изградя, се опитах да създам свои собствени фрактални изображения. В Adobe Photoshop създадох малка подпрограма или действие, особеността на това действие е, че повтаря действията, които правя, и така получавам фрактал.

Като начало създадох фон за нашия бъдещ фрактал с резолюция 600 на 600. След това начертах 3 линии на този фон - основата на нашия бъдещ фрактал.

ОТСледващата стъпка е да напишете скрипта.

дублиран слой ( слой > дубликат) и променете типа на смесване на " Екран" .

да го наречем" fr1". Дублирайте този слой (" fr1") още 2 пъти.

Сега трябва да преминем към последния слой (fr3) и го обединете два пъти с предишния ( ctrl+e). Намалете яркостта на слоя ( Изображение > Настройки > Яркост/контраст , яркост 50% ). Отново слейте с предишния слой и отрежете ръбовете на целия чертеж, за да премахнете невидимите части.

Като последна стъпка копирах това изображение и го поставих в намален размер и завъртях. Ето и крайния резултат.

Заключение

Тази работа е въведение в света на фракталите. Разгледахме само най-малката част от това какво представляват фракталите, на базата на какви принципи са изградени.

Фракталната графика не е просто набор от самоповтарящи се изображения, тя е модел на структурата и принципа на всяко същество. Целият ни живот е представен от фрактали. Цялата природа около нас се състои от тях. Трябва да се отбележи, че фракталите се използват широко в компютърните игри, където терените често са фрактални изображения, базирани на триизмерни модели на сложни набори. Фракталите значително улесняват рисуването на компютърна графика, с помощта на фрактали се създават много специални ефекти, различни приказни и невероятни картини и др. Също така с помощта на фрактална геометрия се рисуват дървета, облаци, брегове и всякаква друга природа. Фракталната графика е необходима навсякъде, а развитието на "фракталните технологии" е една от най-важните задачи днес.

В бъдеще смятам да се науча как да изграждам алгебрични фрактали, когато изучавам комплексните числа по-подробно. Също така искам да се опитам да изградя моето фрактално изображение на езика за програмиране Pascal, използвайки цикли.

Трябва да се отбележи използването на фрактали в компютърните технологии, в допълнение към простото изграждане на красиви изображения на компютърен екран. Фракталите в компютърните технологии се използват в следните области:

1. Компресирайте изображения и информация

2. Скриване на информация в изображението, в звука, ...

3. Криптиране на данни с помощта на фрактални алгоритми

4. Създаване на фрактална музика

5. Системно моделиране

В нашата работа не са дадени всички области на човешкото познание, където теорията на фракталите е намерила своето приложение. Искаме само да кажем, че не е изминала повече от една трета от век от възникването на теорията, но през това време фракталите за много изследователи се превърнаха в внезапна ярка светлина в нощта, която освети неизвестни досега факти и закономерности в конкретни области с данни. Използвайки теорията на фракталите, те започват да обясняват еволюцията на галактиките и развитието на клетката, появата на планините и образуването на облаци, движението на цените на фондовата борса и развитието на обществото и семейството. Може би в началото тази страст към фракталите беше дори твърде бурна и опитите да се обясни всичко с помощта на теорията на фракталите бяха неоправдани. Но без съмнение тази теория има право на съществуване и съжаляваме, че напоследък някак си беше забравена и остана дело на елита. При подготовката на тази работа за нас беше много интересно да намерим приложения на ТЕОРИЯТА в ПРАКТИКАТА. Защото много често има усещането, че теоретичното знание стои отделно от реалността на живота.

Така концепцията за фракталите става не само част от "чистата" наука, но и елемент от човешката култура. Фракталната наука е все още много млада и има голямо бъдеще пред нея. Красотата на фракталите далеч не е изчерпана и тепърва ще ни даде много шедьоври – тези, които радват окото, и тези, които доставят истинско удоволствие на ума.

10. Литература

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фрактали и мултифрактали. RHD 2001 г .

Витолин Д. Използването на фрактали в компютърната графика. // Компютърен свят-Русия.-1995

Манделброт Б. Самоафинни фрактални множества, "Фракталите във физиката". М.: Мир 1988

Манделброт Б. Фрактална геометрия на природата. - М.: "Институт за компютърни изследвания", 2002.

Морозов A.D. Въведение в теорията на фракталите. Нижни Новгород: Нижегородско издателство. университет 1999г

Paytgen H.-O., Richter P.H. Красотата на фракталите. - М.: "Мир", 1993 г.

Интернет ресурси

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Фракталите са известни от почти век, добре са проучени и имат многобройни приложения в живота. Това явление обаче се основава на много проста идея: безкраен брой фигури по красота и разнообразие могат да бъдат получени от сравнително прости структури, като се използват само две операции - копиране и мащабиране.

Какво общо имат едно дърво, морски бряг, облак или кръвоносни съдове в ръката ни? На пръв поглед може да изглежда, че всички тези обекти нямат нищо общо. Всъщност обаче има едно свойство на структурата, което е присъщо на всички изброени обекти: те са самоподобни. От клона, както и от ствола на дърво, се отклоняват по-малки израстъци, от тях - още по-малки и т.н., тоест клонът е подобен на цялото дърво. Кръвоносната система е устроена по подобен начин: артериолите се отклоняват от артериите, а от тях - най-малките капиляри, през които кислородът навлиза в органи и тъкани. Нека разгледаме сателитни снимки на морския бряг: ще видим заливи и полуострови; нека го разгледаме, но от птичи поглед: ще видим заливи и носове; сега си представете, че стоим на плажа и гледаме в краката си: винаги ще има камъчета, които стърчат повече във водата от останалите. Тоест, бреговата линия остава подобна на себе си, когато се увеличи. Американският математик Беноа Манделброт (макар и израснал във Франция) нарече това свойство на обектите фракталност, а самите такива обекти - фрактали (от лат. fractus - счупен).

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Обикновено фракталът е геометрична фигура, която удовлетворява едно или повече от следните свойства: Има сложна структура на всяко ниво на увеличение (за разлика например от права линия, всяка част от която е най-простата геометрична фигура - отсечка от линия ). Той е (приблизително) себеподобен. Той има дробно хаусдорфово (фрактално) измерение, което е по-голямо от топологичното. Може да се изгради с рекурсивни процедури.

Геометрия и алгебра

Изучаването на фракталите в началото на 19-ти и 20-ти век е било по-скоро епизодично, отколкото систематично, тъй като по-ранните математици са изучавали главно „добри“ обекти, които могат да бъдат изучавани с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас изгражда пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше изцяло абстрактна и трудна за разбиране. Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох измисли непрекъсната крива, която няма допирателна никъде и е доста лесно да се начертае. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Една вариация на тази крива се нарича снежинка на Кох.

Идеите за самоподобие на фигурите бяха подхванати от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. е публикувана статията му „Равнински и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, в която е описан друг фрактал - C-кривата на Леви. Всички горепосочени фрактали могат условно да бъдат отнесени към един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази посока започват в началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Жулия и Пиер Фату. През 1918 г. са публикувани почти двеста страници от мемоарите на Джулия, посветени на итерации на сложни рационални функции, в които са описани множествата на Джулия – цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството Манделброт. Тази работа беше отличена с наградата на Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите предмети. Въпреки факта, че тази работа направи Джулия известна сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена. Отново вниманието се насочи към него едва половин век по-късно с появата на компютрите: именно те направиха видими богатството и красотата на света на фракталите.

Фрактални размери

Както знаете, размерът (брой измервания) на геометрична фигура е броят на координатите, необходими за определяне на позицията на точка, лежаща върху тази фигура.
Например, позицията на точка върху крива се определя от една координата, на повърхност (не непременно равнина) от две координати, в триизмерно пространство от три координати.
От по-обща математическа гледна точка, измерението може да се дефинира по следния начин: увеличаването на линейните размери, да речем, два пъти, за едномерни (от топологична гледна точка) обекти (сегмент) води до увеличаване на размера ( дължина) с коефициент два, за двуизмерен (квадрат) същото увеличение на линейните размери води до увеличаване на размера (площта) с 4 пъти, за триизмерен (куб) - с 8 пъти. Тоест, „реалната“ (т.нар. Хаусдорфова) размерност може да се изчисли като съотношението на логаритъма на увеличението на „размера“ на обекта към логаритъма на увеличението на неговия линеен размер. Тоест за сегмент D=log (2)/log (2)=1, за равнина D=log (4)/log (2)=2, за обем D=log (8)/log (2 )=3.
Нека сега изчислим размерността на кривата на Кох, за чието изграждане единичният сегмент се разделя на три равни части и средният интервал се заменя с равностранен триъгълник без този сегмент. С увеличаване на линейните размери на минималния сегмент три пъти, дължината на кривата на Кох се увеличава в log (4) / log (3) ~ 1,26. Тоест размерността на кривата на Кох е дробна!

Наука и изкуство

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт "Фракталната геометрия на природата", в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по това време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. Манделброт постави основния акцент в своето изложение не върху тежките формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на компютърно генерирани илюстрации и исторически истории, с които авторът умело размива научния компонент на монографията, книгата се превръща в бестселър, а фракталите стават известни на широката публика. Техният успех сред нематематиците се дължи до голяма степен на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които дори ученик в гимназията може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, дори се появи цяла тенденция в изкуството - фрактално рисуване и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Схема за получаване на кривата на Кох

Война и мир

Както бе отбелязано по-горе, един от природните обекти, които имат фрактални свойства, е бреговата линия. С него, или по-скоро, с опит за измерване на дължината му е свързана една интересна история, която е в основата на научната статия на Манделброт и е описана и в книгата му "Фракталната геометрия на природата". Говорим за експеримент, поставен от Луис Ричардсън, много талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от посоките на неговото изследване е опитът да се намери математическо описание на причините и вероятността от въоръжен конфликт между две държави. Сред параметрите, които той взе предвид, беше дължината на общата граница между двете враждуващи страни. Когато събира данни за числени експерименти, той установява, че в различни източници данните за общата граница на Испания и Португалия се различават значително. Това го доведе до следното откритие: дължината на границите на страната зависи от владетеля, с който ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга ще бъде границата. Това се дължи на факта, че при по-голямо увеличение става възможно да се вземат предвид все повече и повече завои на брега, които преди това бяха игнорирани поради грапавостта на измерванията. И ако при всяко увеличение се отварят неотчетени по-рано завои на линии, тогава се оказва, че дължината на границите е безкрайна! Вярно е, че всъщност това не се случва - точността на нашите измервания има краен предел. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.

Конструктивни (геометрични) фрактали

Алгоритъмът за изграждане на конструктивен фрактал в общия случай е следният. На първо място, имаме нужда от две подходящи геометрични фигури, нека ги наречем основата и фрагмента. На първия етап се изобразява основата на бъдещия фрактал. След това някои от частите му се заменят с фрагмент, взет в подходящ мащаб - това е първата итерация на конструкцията. След това в получената фигура някои части отново се променят на фигури, подобни на фрагмент и т. н. Ако продължите този процес за неопределено време, тогава в лимита ще получите фрактал.

Помислете за този процес, като използвате примера на кривата на Кох (вижте страничната лента на предишната страница). Всяка крива може да се вземе за основа на кривата на Кох (за снежинката на Кох това е триъгълник). Но ние се ограничаваме до най-простия случай - сегмент. Фрагмент е прекъсната линия, показана в горната част на фигурата. След първата итерация на алгоритъма, в този случай оригиналният сегмент ще съвпада с фрагмента, след което всеки от съставните му сегменти ще бъде заменен с прекъсната линия, подобна на фрагмента, и т. н. Фигурата показва първите четири стъпки от този процес.

Езикът на математиката: динамични (алгебрични) фрактали

Фракталите от този тип възникват при изследването на нелинейни динамични системи (оттук и името). Поведението на такава система може да се опише със сложна нелинейна функция (полином) f(z). Нека вземем някаква начална точка z0 на комплексната равнина (виж страничната лента). Сега разгледайте такава безкрайна последователност от числа в комплексната равнина, всяко от които се получава от предишната: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). В зависимост от началната точка z0, такава последователност може да се държи различно: да се стреми към безкрайност като n -> ∞; сближават се до някаква крайна точка; приемат циклично редица фиксирани стойности; възможни са по-сложни варианти.

Комплексни числа

Комплексното число е число, състоящо се от две части - реално и въображаемо, тоест формалната сума x + iy (x и y тук са реални числа). аз е т.нар. имагинерна единица, тоест число, което отговаря на уравнението i^ 2 = -1. Над комплексните числа се дефинират основните математически операции - събиране, умножение, деление, изваждане (само операцията за сравнение не е дефинирана). За показване на комплексни числа често се използва геометрично представяне - на равнината (нарича се сложно), реалната част се начертава по оста на абсцисата, а въображаемата част по оста на ординатата, докато комплексното число ще съответства на точка с декартови координати x и y.

По този начин всяка точка z от комплексната равнина има свой собствен характер на поведение по време на итерациите на функцията f (z) и цялата равнина е разделена на части. Освен това точките, лежащи на границите на тези части, имат следното свойство: за произволно малко изместване естеството на тяхното поведение се променя драстично (такива точки се наричат ​​точки на бифуркация). И така, се оказва, че набори от точки, които имат един специфичен тип поведение, както и набори от точки на бифуркация, често имат фрактални свойства. Това са множествата на Джулия за функцията f(z).

семейство дракони

Променяйки основата и фрагмента, можете да получите зашеметяващо разнообразие от конструктивни фрактали.
Освен това подобни операции могат да се извършват в триизмерно пространство. Примери за обемни фрактали са "гъбата на Менгер", "пирамидата на Серпински" и др.
Семейството дракони също се отнася към конструктивните фрактали. Понякога те се наричат ​​с името на откривателите като "драконите на Хейвей-Хартер" (те наподобяват китайски дракони по своята форма). Има няколко начина за конструиране на тази крива. Най-простият и най-очевидният от тях е следният: трябва да вземете достатъчно дълга лента хартия (колкото по-тънка е хартията, толкова по-добре) и да я огънете наполовина. След това отново го огънете наполовина в същата посока като първия път. След няколко повторения (обикновено след пет или шест сгъвания лентата става твърде дебела, за да бъде внимателно огъната допълнително), трябва да изправите лентата назад и да се опитате да оформите ъгли от 90˚ при гънките. Тогава извивката на дракона ще се окаже в профил. Разбира се, това ще бъде само приблизително, както всички наши опити да изобразим фрактални обекти. Компютърът ви позволява да изобразите много повече стъпки в този процес и резултатът е много красива фигура.

Множеството на Манделброт е конструирано малко по-различно. Да разгледаме функцията fc (z) = z 2 +c, където c е комплексно число. Нека построим последователност от тази функция с z0=0, в зависимост от параметъра c тя може да се отклонява до безкрайност или да остане ограничена. Освен това всички стойности на c, за които тази последователност е ограничена, образуват множеството на Манделброт. Тя е проучена подробно от самия Манделброт и други математици, които откриват много интересни свойства на това множество.

Вижда се, че дефинициите на множествата Джулия и Манделброт са сходни помежду си. Всъщност тези две групи са тясно свързани. А именно, множеството на Манделброт са всички стойности на комплексния параметър c, за който е свързано множеството на Джулия fc (z) (множество се нарича свързано, ако не може да бъде разделено на две непресичащи се части, с някои допълнителни условия).

фрактали и живот

В наши дни теорията на фракталите се използва широко в различни области на човешката дейност. В допълнение към чисто научен обект за изследване и вече споменатото фрактално рисуване, фракталите се използват в теорията на информацията за компресиране на графични данни (тук се използва основно свойството за самоподобие на фракталите - в края на краищата, за да се запомни малък фрагмент на чертеж и трансформации, с които можете да получите останалите части, отнема много по-малко памет, отколкото за съхранение на целия файл). Чрез добавяне на произволни смущения към формулите, които определят фрактала, могат да се получат стохастични фрактали, които много правдоподобно предават някои реални обекти - релефни елементи, повърхността на водните тела, някои растения, което се използва успешно във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-голяма прилика на симулирани обекти с реални. В радиоелектрониката през последното десетилетие започнаха да произвеждат антени, които имат фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват доста висококачествено приемане на сигнал. Икономистите използват фрактали, за да опишат кривите на валутните колебания (това свойство е открито от Манделброт преди повече от 30 години). С това ще завършим тази кратка екскурзия в света на фракталите, удивителен по красота и разнообразие.

Най-гениалните открития в науката могат радикално да променят човешкия живот. Измислената ваксина може да спаси милиони хора, създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „укротим“ електричеството – и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и открития, на които малко хора придават значение, въпреки че те също оказват голямо влияние върху живота ни.

Едно от тези „незабележими“ открития са фракталите. Вероятно сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава тя и колко интересни неща се крият в този термин?

Всеки човек има естествено любопитство, желание да опознава света около себе си. И в този стремеж човек се опитва да се придържа към логиката в преценките. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери логиката на случващото се и да изведе някаква закономерност. Най-големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел там, където не трябва да бъде. Въпреки това дори в хаоса може да се намери връзка между събитията. И тази връзка е фрактал.

Нашата малка дъщеря, на четири години и половина, сега е на онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?“ много пъти повече от броя на отговорите, които възрастните имат време да дадат. Не толкова отдавна, гледайки клон, издигнат от земята, дъщеря ми изведнъж забеляза, че този клон, с възли и клони, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?”, за който родителите трябваше да търсят просто обяснение, което детето може да разбере.

Приликата на единичен клон с цяло дърво, открито от дете, е много точно наблюдение, което още веднъж свидетелства за принципа на рекурсивното самоподобие в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски раковини, "къщата" на охлюв, кората и короната на дърветата, кръвоносната система и т.н. - произволните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани с фрактален алгоритъм.

⇡ Беноа Манделброт: бащата на фракталната геометрия

Самата дума "фрактал" се появи благодарение на брилянтния учен Беноа Б. Манделброт.

Самият той измисля термина през 70-те години на миналия век, заимствайки думата fractus от латински, където тя буквално означава „счупен“ или „смазан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най-често се използва за означаване на графично представяне на структура, която е подобна на себе си в по-голям мащаб.

Математическата основа за възникването на теорията на фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но може да се развие само с появата на изчислителните устройства. В началото на научната си кариера Беноа работи в изследователския център на IBM. По това време служителите на центъра работеха по предаване на данни от разстояние. В хода на изследванията учените се сблъскаха с проблема с големите загуби, произтичащи от шумови смущения. Беноа се изправи пред трудна и много важна задача - да разбере как да предскаже появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод е неефективен.

Разглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт обърна внимание на един странен модел - графиките на шума в различни мащаби изглеждаха еднакво. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали това е графика на шума за един ден, седмица или час. Струва си да промените мащаба на графиката и картината се повтаряше всеки път.

Приживе Беноа Манделброт многократно казваше, че не се занимава с формули, а просто си играе с картинки. Този човек мислеше много образно и превеждаше всяка алгебрична задача в областта на геометрията, където според него правилният отговор винаги е очевиден.

Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В крайна сметка осъзнаването на същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате чертежи и да мислите за значението на странните модели на завихряне.

Фрактален модел няма идентични елементи, но има сходство във всякакъв мащаб. По-рано беше просто невъзможно да се изгради такова изображение с висока степен на детайлност ръчно, изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на самоподобието, тогава те бяха споменати в трудовете на Лайбниц и Георг Кантор.

Една от първите рисунки на фрактал е графична интерпретация на множеството Манделброт, която се ражда от изследванията на Гастон Морис Джулия.

Гастон Джулия (винаги маскирана - нараняване от Първата световна война)

Този френски математик се чудеше как би изглеждал набор, ако бъде конструиран от проста формула, повторена чрез обратна връзка. Ако е обяснено „на пръсти“, това означава, че за определено число намираме нова стойност с помощта на формулата, след което я заместваме отново във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма последователност от числа.

За да получите пълна представа за такъв набор, трябва да направите огромно количество изчисления - стотици, хиляди, милиони. Беше просто невъзможно да се направи ръчно. Но когато на разположение на математиците се появиха мощни изчислителни устройства, те успяха да хвърлят нов поглед върху формулите и изразите, които отдавна предизвикваха интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класическия фрактал. След като обработи последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа прехвърли резултатите в графика. Ето какво получи той.

Впоследствие това изображение беше оцветено (например, един от начините за оцветяване е по броя на повторенията) и се превърна в едно от най-популярните изображения, създавани някога от човека.

Както казва древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес, „Не можеш да влезеш в една и съща река два пъти“. Той е най-подходящ за тълкуване на геометрията на фракталите. Колкото и подробно да разглеждаме фракталното изображение, винаги ще виждаме подобен модел.

Тези, които желаят да видят как би изглеждало изображение на пространството на Манделброт, когато се увеличи многократно, могат да го направят, като качат анимиран GIF.

⇡ Лорън Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите скоро намери практическо приложение. Тъй като е тясно свързана с визуализацията на себеподобни образи, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи за конструиране на необичайни форми, са художниците.

Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar, Лорен С. Карпентър, започва работа в Boeing Computer Services през 1967 г., което е едно от подразделенията на известната корпорация, занимаваща се с разработването на нови самолети.

През 1977 г. създава презентации с прототипи на летящи модели. Лорън беше отговорна за разработването на изображения на проектирания самолет. Той трябваше да създаде снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент бъдещият основател на Pixar Animation Studios дойде с творческата идея да използва изображение на планини като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с толкова сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за триизмерни графики. През 1978 г. Лорън случайно видяла книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, случайност и измерение“ в магазин. В тази книга вниманието му беше привлечено от факта, че Беноа даде много примери за фрактални форми в реалния живот и доказа, че те могат да бъдат описани с математически израз.

Тази аналогия е избрана от математика неслучайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се изправи пред цяла вълна от критики. Основното, за което колегите му го упрекват, е безполезността на разработваната теория. „Да“, казаха те, „това са красиви снимки, но нищо повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност." Имаше и такива, които по принцип вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте изглеждаха на мнозина като нещо твърде сложно и неизследвано, за да им се вярва напълно. Манделброт се опита да намери очевидно приложение на теорията на фракталите, но като цяло нямаше нужда да прави това. Последователите на Беноа Манделброт през следващите 25 години се оказаха от голяма полза за такова "математическо любопитство", а Лорън Карпентър беше една от първите, приложили фракталния метод на практика.

След като изучава книгата, бъдещият аниматор сериозно изучава принципите на фракталната геометрия и започва да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да визуализира реалистично изображение на планинската система на своя компютър. С други думи, с помощта на формули той рисува напълно разпознаваем планински пейзаж.

Принципът, който Лорън използва, за да постигне целта си, беше много прост. Тя се състоеше в разделяне на по-голяма геометрична фигура на малки елементи, а те от своя страна бяха разделени на подобни по-малки фигури.

Използвайки по-големи триъгълници, Карпентър ги раздели на четири по-малки и след това повтаря тази процедура отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той успява да стане първият художник, който използва фрактален алгоритъм в компютърната графика за изграждане на изображения. Веднага след като стана известно за извършената работа, ентусиасти от цял ​​свят подхванаха тази идея и започнаха да използват фракталния алгоритъм за симулиране на реалистични природни форми.

Едно от първите 3D визуализации, използващи фракталния алгоритъм

Само няколко години по-късно Лорън Карпентър успява да приложи постиженията си в много по-голям проект. Аниматорът ги базира на двуминутно демо, Vol Libre, което се излъчи по Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.

Анимацията е изобразена на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation при тактова честота от пет мегахерца и всеки кадър е отнел около половин час за рисуване.

Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава същите 3D пейзажи за втория игрален филм от сагата Star Trek. В „Гневът на Хан“ Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фрактална повърхност.

В момента всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват същия принцип на генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на алгоритъм за моделиране на фрактална повърхност и текстура.

⇡ Фрактални антени: по-малко е по-добре, но по-добре

През последния половин век животът се промени бързо. Повечето от нас приемат напредъка в съвременните технологии за даденост. Всичко, което прави живота по-удобен, свиквате много бързо. Рядко някой си задава въпросите „Откъде дойде това?“ и "Как работи?". Микровълновата фурна загрява закуската - добре, страхотно, смартфонът ви позволява да говорите с друг човек - страхотно. Това ни изглежда като очевидна възможност.

Но животът може да бъде съвсем различен, ако човек не търси обяснение за случващите се събития. Вземете например мобилните телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те се намесиха, увеличиха размера на устройството, в крайна сметка често се счупиха. Вярваме, че те са потънали в забвение завинаги и отчасти заради това... фрактали.

Фракталните рисунки очароват със своите шарки. Те определено приличат на изображения на космически обекти – мъглявини, галактически купове и т.н. Ето защо е съвсем естествено, че когато Манделброт изрази своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикаха повишен интерес сред изучаващите астрономия. Един такъв любител на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, се вдъхновява от идеята за ​​практическо приложение на придобитите знания. Вярно, той го направи интуитивно и случайността изигра важна роля в неговото откритие. Като радиолюбител, Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най-висока чувствителност.

Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, който беше известен по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Въпреки това, собственикът на апартамента в центъра на Бостън, който Натан нае, беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира с различни форми на антени, опитвайки се да постигне максимален резултат с минималния размер. След като се запали с идеята за фрактални форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най-известните фрактали от тел - „снежинката на Кох“. Шведският математик Хелге фон Кох измисли тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на сегмента на три части и замяна на средния сегмент с равностранен триъгълник без страна, съвпадаща с този сегмент. Определението е малко трудно за разбиране, но цифрата е ясна и проста.

Има и други разновидности на "кривата на Кох", но приблизителната форма на кривата остава подобна

Когато Натан свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещият професор в Бостънския университет разбра, че антена, направена по фрактален модел, има висока ефективност и покрива много по-широк честотен диапазон в сравнение с класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива може значително да намали геометричните размери. Нейтън Коен дори разработи теорема, доказваща, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да й се придаде формата на самоподобна фрактална крива.

Авторът патентова откритието си и основа фирма за разработване и проектиране на фрактални антени Fractal Antenna Systems, с право вярвайки, че в бъдеще, благодарение на неговото откритие, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по-компактни.

По принцип това се случи. Вярно е, че и до днес Нейтън води дело с големи корпорации, които незаконно използват неговото откритие за производство на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече постигнаха мирно споразумение с изобретателя на фракталната антена.

⇡ Фрактални измерения: умът не разбира

Беноа заимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.

Последният, подобно на много други известни математици, много обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това води до изненадващи резултати. Така, например, деветгодишният племенник на Едуард Каснер измисли вече добре познатата дума "гугол", обозначаваща единица със сто нули. Но обратно към фракталите. Американският математик обичаше да пита колко е дълга бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на събеседника, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измерите дължината на картата със счупени сегменти, тогава резултатът ще бъде неточен, тъй като бреговата линия има голям брой неравности. И какво ще стане, ако измерите възможно най-точно? Ще трябва да вземете предвид дължината на всяка неравност – ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скален перваз, камък върху него, песъчинка, атом и т.н. Тъй като броят на неравностите клони към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност с всяка нова нередност.

Колкото по-малка е мярката при измерване, толкова по-голяма е измерената дължина

Интересното е, че следвайки подканите на Едуард, децата са били много по-бързи от възрастните в изричането на правилния отговор, докато последните са имали проблеми с приемането на такъв невероятен отговор.

Използвайки този проблем като пример, Манделброт предложи да се използва нов подход към измерванията. Тъй като бреговата линия е близка до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър, така нареченото фрактално измерение.

Какво е обичайното измерение е ясно за всеки. Ако размерът е равен на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, три - обем. Такова разбиране на размерността в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталната размерност в математиката може условно да се разглежда като "грапавост". Колкото по-висока е грапавостта на кривата, толкова по-голяма е нейната фрактална размерност. Крива, която според Манделброт има фрактална размерност, по-висока от нейната топологична размерност, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измеренията.

В момента учените откриват все повече области за прилагане на фракталната теория. С помощта на фрактали можете да анализирате колебанията в цените на акциите, да изследвате всички видове естествени процеси, като например колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, например за компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на компютъра си, не е нужно да имате докторска степен.

⇡ Фрактал в браузъра

Може би един от най-лесните начини да получите фрактален модел е да използвате онлайн векторния редактор от млад талантлив програмист Тоби Шахман. Инструментариумът на този прост графичен редактор се основава на същия принцип на самоподобие.

На ваше разположение са само две прости форми - квадрат и кръг. Можете да ги добавите към платното, да мащабирате (за да мащабирате по една от осите, задръжте клавиша Shift) и да завъртите. Припокривайки се на принципа на булевите операции за събиране, тези най-прости елементи образуват нови, по-малко тривиални форми. Освен това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтаря генерирането на тези изображения за неопределено време. На всеки етап от работата върху фрактал можете да се върнете към всеки компонент на сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Това е много забавно, особено като се има предвид, че единственият инструмент, от който се нуждаете, за да бъдете креативни, е браузърът. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, ви съветваме да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.

⇡ XaoS: фрактали за всеки вкус

Много графични редактори имат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са второстепенни и не ви позволяват да прецизирате генерирания фрактален модел. В случаите, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, XaoS кросплатформен редактор ще дойде на помощ. Тази програма дава възможност не само да се изгради самоподобен образ, но и да се извършват различни манипулации с него. Например, в реално време можете да „вървите“ през фрактал, като промените неговия мащаб. Анимирано движение по фрактал може да бъде запазено като XAF файл и след това възпроизведено в самата програма.

XaoS може да зареди произволен набор от параметри, както и да използва различни филтри за последваща обработка на изображения - добавя ефект на замъглено движение, изглажда резки преходи между фрактални точки, симулира 3D изображение и т.н.

⇡ Фрактален Zoomer: компактен фрактален генератор

В сравнение с други генератори на фрактални изображения, той има няколко предимства. Първо, той е доста малък по размер и не изисква инсталация. Второ, той реализира възможността за дефиниране на цветовата палитра на картината. Можете да избирате нюанси в цветови модели RGB, CMYK, HVS и HSL.

Също така е много удобно да използвате опцията за произволен избор на цветови нюанси и функцията за обръщане на всички цветове на картината. За да регулирате цвета, има функция за цикличен избор на нюанси - когато съответният режим е включен, програмата анимира изображението, като циклично променя цветовете върху него.

Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малко количество. Всеки назначен филтър може да бъде отменен по всяко време.

⇡ Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор

Когато се използва терминът "фрактал", той най-често означава плоско двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата могат да се намерят както примери за плоски фрактални форми, да речем, геометрията на мълнията, така и триизмерни триизмерни фигури. Фракталните повърхности могат да бъдат 3D, а една много графична илюстрация на 3D фрактали в ежедневието е глава зеле. Може би най-добрият начин да видите фракталите е в Romanesco, хибрид от карфиол и броколи.

И този фрактал може да се яде

Програмата Mandelbulb3D може да създава триизмерни обекти с подобна форма. За да получат 3D повърхност с помощта на фракталния алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Найландър, преобразуваха набора на Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности с различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.

Може да изглежда като растение, може да прилича на странно животно, планета или нещо друго. Този ефект се засилва от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който дава възможност за получаване на реалистични отражения, изчисляване на прозрачността и сенките, симулиране на ефекта на дълбочината на полето и т.н. Mandelbulb3D има огромно количество настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да избирате фона и нивото на детайлност на моделирания обект.

Fractal editor Incendia поддържа двойно изглаждане на изображения, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактали и има отделен модул за редактиране на основни форми.

Приложението използва фрактални скриптове, с които можете самостоятелно да опишете нови типове фрактални структури. Incendia има редактори за текстури и материали и двигател за изобразяване, който ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата има опция за запазване на буфера по време на дългосрочно изобразяване, поддържа се създаване на анимация.

Incendia ви позволява да експортирате фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма Geometrica - специален инструмент за настройка на експортирането на фрактална повърхност към триизмерен модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност, да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с 3D редактори като Blender, 3ds max и други.

Напоследък работата по проекта Incendia донякъде се забави. В момента авторът търси спонсори, които да му помогнат да разработи програмата.

Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, няма значение. Използвайте библиотеката с параметри, намираща се в папката INCENDIA_EX\parameters. С помощта на PAR файлове можете бързо да намерите най-необичайните фрактални форми, включително анимирани.

⇡ Слухово: как пеят фракталите

Обикновено не говорим за проекти, върху които току-що се работи, но в този случай трябва да направим изключение, това е много необичайно приложение. Проект, наречен Aural, излезе със същия човек като Incendia. Вярно е, че този път програмата не визуализира фракталния набор, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се имат предвид необичайните свойства на фракталите. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии с помощта на фрактални алгоритми, тоест всъщност е аудио синтезатор-секвенсор.

Последователността от звуци, издавани от тази програма, е необичайна и ... красива. Може да е полезен за писане на модерни ритми и според нас е особено подходящ за създаване на саундтраци за интрота на телевизионни и радио програми, както и "примки" на фонова музика за компютърни игри. Рамиро все още не е предоставил демонстрация на програмата си, но обещава, че когато го направи, за да работи с Aural, няма да има нужда да изучава теорията на фракталите - просто си поиграйте с параметрите на алгоритъма за генериране на последователност от ноти . Чуйте как звучат фракталите и.

Фрактали: музикална пауза

Всъщност фракталите могат да помогнат за писането на музика дори без софтуер. Но това може да бъде направено само от някой, който наистина е пропит с идеята за естествена хармония и в същото време не се е превърнал в нещастен „нерд“. Има смисъл да вземем примера от музикант на име Джонатан Култън, който, наред с други неща, пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други художници, Колтън публикува всички свои произведения под лиценз Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предвижда безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведение на други, както и неговото модифициране (създаване на производни произведения), за да го адаптирате към вашите нужди.

Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фракталите.

⇡ Заключение

Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е случайност, а идеална форма, която фракталите ни помагат да разпознаем. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Подредено е много логично и ако някъде не виждаме шаблони, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по-добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерите проектират високоговорители под формата на черупка, създават антени с геометрия на снежинка и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още пазят много тайни и много от тях тепърва ще бъдат открити от човек.

Вече писахме за това как абстрактната математическа теория на хаоса намери приложение в различни науки – от физика до икономика и политически науки. Сега ще дадем друг подобен пример - теорията на фракталите. Няма строго определение на понятието "фрактал" дори в математиката. Казват нещо подобно, разбира се. Но „обикновеният човек“ не разбира това. Какво ще кажете например за тази фраза: „Фракталът е множество с дробна Хаусдорфова размерност, която е по-голяма от топологичната“. Въпреки това те, фракталите, ни заобикалят и помагат да разберем много явления от различни сфери на живота.

Как започна всичко

Дълго време никой освен професионалните математици не се интересуваше от фракталите. Преди появата на компютрите и свързания с тях софтуер. Всичко се промени през 1982 г., когато излезе книгата на Беноа Манделброт "Фракталната геометрия на природата". Тази книга се превърна в бестселър не толкова поради простото и разбираемо представяне на материала (въпреки че това твърдение е много относително – човек, който няма професионално математическо образование, няма да разбере нищо в него), а поради дадени компютърни илюстрации на фрактали, които са наистина хипнотизиращи. Нека разгледаме тези снимки. Те наистина си заслужават.

И има много такива снимки. Но какво общо има цялото това великолепие с нашия истински живот и това, което ни заобикаля в природата и ежедневния свят? Оказва се най-пряко.

Но първо, нека кажем няколко думи за самите фрактали, като геометрични обекти.

Какво е фрактал, с прости думи

Първо. Как са изградени те, фракталите. Това е доста сложна процедура, която използва специални трансформации в сложната равнина (не е нужно да знаете какво е). Единственото важно нещо е, че тези трансформации се повтарят (както се казва в математиката, итерации). Именно в резултат на това повторение възникват фрактали (тези, които видяхте по-горе).

Второ. Фракталът е самоподобна (точно или приблизително) структура. Това означава следното. Ако донесете микроскоп на някоя от представените снимки, като увеличите изображението, например, 100 пъти, и погледнете фрагмент от фрактално парче, което е паднало в окуляра, ще откриете, че е идентично с оригиналното изображение. Ако вземете по-силен микроскоп, който увеличава изображението 1000 пъти, ще откриете, че част от фрагмента от предишното изображение, попаднала в окуляра, има същата или много подобна структура.

Това води до много важно заключение за това, което следва. Фракталът има изключително сложна структура, която се повтаря в различни мащаби. Но колкото повече навлизаме в устройството му, толкова по-сложно става като цяло. И количествените оценки на свойствата на оригиналната картина може да започнат да се променят.

Сега ще оставим абстрактната математика и ще преминем към нещата около нас - така, изглежда, просто и разбираемо.

Фрактални обекти в природата

Бреговата линия

Представете си, че снимате остров, като Великобритания, от околоземна орбита. Ще получите същото изображение като на географската карта. Плавните очертания на брега, от всички страни - морето.

Намирането на дължината на бреговата линия е много лесно. Вземете обикновен конец и внимателно го поставете по границите на острова. След това измерете дължината му в сантиметри и умножете полученото число по мащаба на картата - в един сантиметър има няколко километра. Ето резултата.

А сега следващият експеримент. Летите в самолет от птичи поглед и снимате бреговата линия. Оказва се картина, подобна на снимки от сателит. Но това крайбрежие е разчленено. На вашите снимки се появяват малки заливи, заливи, парчета земя, стърчащи в морето. Всичко това е вярно, но не може да се види от спътника. Структурата на бреговата линия става все по-сложна.

Да кажем, след като се пристигнахте у дома, сте направили подробна карта на бреговата линия въз основа на вашите снимки. И ние решихме да измерим дължината му с помощта на същата нишка, като я изложихме стриктно според новите данни, които сте получили. Новата стойност на дължината на бреговата линия ще надвишава старата. И значимо. Това е интуитивно ясно. В крайна сметка сега вашата нишка трябва да обикаля бреговете на всички заливи и заливи, а не само по крайбрежието.

Забележка. Намалихме мащаба и нещата станаха много по-сложни и объркващи. Като фрактали.

А сега за още една итерация. Вървите по същия бряг. И оправете релефа на бреговата линия. Оказва се, че бреговете на заливите и заливите, които сте заснели от самолета, изобщо не са толкова гладки и прости, колкото си мислехте на снимките си. Те имат сложна структура. И така, ако картографирате тази „пешеходна“ брегова линия тук, тя става още по-дълга.

Да, в природата няма безкрайности. Но е съвсем ясно, че бреговата линия е типичен фрактал. Той остава същият, но структурата му става все по-сложна, когато се вгледате по-отблизо (помислете за примера с микроскоп).

Това наистина е невероятно явление. Свикнали сме с факта, че всеки геометричен обект, ограничен по размер в равнина (квадрат, триъгълник, кръг), има фиксирана и крайна дължина на границите си. Но тук всичко е различно. Дължината на бреговата линия в границата се оказва безкрайна.

дърво

Нека си представим дърво. Обикновено дърво. Някаква рехава липа. Нека погледнем багажника й. около корена. Това е леко деформиран цилиндър. Тези. има много проста форма.

Да вдигнем очи нагоре. От ствола започват да излизат клони. Всеки клон, в началото си, има същата структура като ствола - цилиндрична, по отношение на геометрията. Но структурата на цялото дърво се е променила. Стана много по-сложно.

Сега нека разгледаме тези клони. От тях се простират по-малки клони. В основата си имат същата леко деформирана цилиндрична форма. Като същия багажник. И тогава от тях се отклоняват много по-малки клони. И т.н.

Дървото се възпроизвежда на всяко ниво. В същото време структурата му непрекъснато става все по-сложна, но остава подобна на себе си. Не е ли фрактал?

Циркулация

Тук е човешката кръвоносна система. Освен това има фрактална структура. Има артерии и вени. Според един от тях кръвта идва към сърцето (вените), според други идва от него (артериите). И тогава кръвоносната система започва да прилича на същото дърво, за което говорихме по-горе. Съдовете, като запазват структурата си, стават по-тънки и по-разклонени. Те проникват в най-отдалечените части на нашето тяло, доставят кислород и други жизненоважни компоненти до всяка клетка. Това е типична фрактална структура, която се възпроизвежда във все по-малки мащаби.

Речни дренажи

„От далече река Волга тече дълго време.“ На географска карта това е такава синя криволичеща линия. Е, основните притоци са маркирани. Добре, Кама. Ами ако намалим? Оказва се, че тези притоци са много по-големи. Не само близо до самата Волга, но и близо до Ока и Кама. И те имат свои притоци, само че по-малки. И тези имат своите. Появява се структура, която е изненадващо подобна на човешката кръвоносна система. И отново възниква въпросът. Какъв е обхватът на цялата тази водна система? Ако измерите дължината само на основния канал, всичко е ясно. Можете да го прочетете във всеки учебник. Ами ако всичко се измерва? Отново в лимита се получава безкрайност.

Нашата Вселена

Разбира се, в мащаба от милиарди светлинни години, тя, Вселената, е подредена еднакво. Но нека го разгледаме по-отблизо. И тогава ще видим, че в него няма хомогенност. Някъде има галактики (звездни купове), някъде има празнота. Защо? Защо разпределението на материята се подчинява на неправилни йерархични закони. И какво се случва вътре в галактиките (още едно намаляване на мащаба). Някъде има повече звезди, някъде по-малко. Някъде има планетни системи, както в нашата Слънчева система, но някъде не.

Тук не се ли проявява фракталната същност на света? Сега, разбира се, има огромна разлика между общата теория на относителността, която обяснява появата на нашата Вселена и нейната структура, и фракталната математика. Но кой знае? Може би всичко това някой ден ще бъде доведено до "общ знаменател" и ще погледнем на космоса около нас с напълно други очи.

По практически въпроси

Могат да се цитират много такива примери. Но да се върнем на по-прозаичните неща. Да вземем например икономиката. Изглежда, и тук фрактали. Оказва се, много. Пример за това са фондовите пазари.

Практиката показва, че икономическите процеси често са хаотични и непредвидими. Съществуващите до днес математически модели, които се опитваха да опишат тези процеси, не отчитаха един много важен фактор – способността на пазара да се самоорганизира.

Тук на помощ идва теорията за фракталите, които притежават свойствата на „самоорганизация”, възпроизвеждайки се на ниво различни мащаби. Разбира се, фракталът е чисто математически обект. И в природата, и в икономиката те не съществуват. Но има концепция за фрактални явления. Те са фрактали само в статистически смисъл. Въпреки това симбиозата на фракталната математика и статистика дава възможност за получаване на достатъчно точни и адекватни прогнози. Този подход е особено ефективен при анализа на фондовите пазари. И това не са "поняти" на математиците. Експертните данни показват, че много участници на фондовите пазари харчат много пари, за да плащат на специалисти в областта на фракталната математика.

Какво дава теорията на фракталите? Той постулира обща, глобална зависимост на ценообразуването от случилото се в миналото. Разбира се, на местно ниво процесът на ценообразуване е случаен. Но произволните скокове и спадове в цените, които могат да възникнат моментално, имат особеността да се събират в клъстери. Които се възпроизвеждат в голям мащаб от време. Следователно, анализирайки това, което е било някога, можем да предвидим колко дълго ще продължи тази или онази тенденция на развитие на пазара (растеж или спад).

Така в глобален мащаб този или онзи пазар се "възпроизвежда". Приемане на случайни флуктуации, причинени от маса външни фактори във всеки конкретен момент от времето. Но световните тенденции продължават.

Заключение

Защо светът е подреден според фракталния принцип? Отговорът може би е, че фракталите като математически модел имат свойството на самоорганизация и самоподобие. Освен това всяка от техните форми (вижте снимките в началото на статията) е произволно сложна, но живее свой собствен живот, развивайки подобни на себе си форми. Не е ли така устроен нашият свят?

И ето го обществото. Изниква някаква идея. В началото доста абстрактно. И тогава „прониква в масите“. Да, по някакъв начин се променя. Но като цяло е запазен. И се превръща на ниво повечето хора в целево обозначение на жизнения път. Тук е същият СССР. Следващият конгрес на КПСС прие следващите знакови решения и всичко тръгна надолу. В по-малък мащаб. Градски комитети, партийни комитети. И така нататък за всеки човек. повтаряща се структура.

Разбира се, фракталната теория не ни позволява да прогнозираме бъдещи събития. А това едва ли е възможно. Но много неща, които ни заобикалят, и това, което се случва в ежедневието ни, ни позволява да гледаме с напълно различни очи. В съзнание.

Попаднах на споменаване на „Теорията на фракталите“ в сериала „Йеремия“ и се заинтересувах от тази доста елегантна теория, която съвременните метафизици използват, за да докажат съществуването на Бог. Теорията на фракталите има много млада възраст. Появява се в края на шейсетте години на пресечната точка на математиката, компютърните науки, лингвистиката и биологията. По това време компютрите все повече навлизат в живота на хората, учените започват да ги използват в своите изследвания и броят на потребителите на компютри расте. За масовото използване на компютрите стана необходимо да се улесни процеса на комуникация между човек и машина. Ако в самото начало на компютърната ера няколко потребителски програмисти самоотвержено въвеждаха команди в машинни кодове и получаваха резултати под формата на безкрайни ленти хартия, тогава с масивния и натоварен режим на използване на компютри се наложи да се измисли програмиране език, който би бил разбираем за машината и в същото време би бил лесен за научаване и използване. Тоест потребителят ще трябва да въведе само една команда и компютърът ще я разложи на по-прости и вече ще ги изпълни. За да се улесни писането на преводачи, теорията на фракталите възниква на пресечната точка на компютърните науки и лингвистиката, което позволява стриктно да се уточни връзката между алгоритмичните езици. И датският математик и биолог А. Линденмеер излезе с една такава граматика през 1968 г., която той нарече L-система, която според него също моделира растежа на живите организми, по-специално образуването на храсти и клони в растенията.

Фрактал (лат. fractus - смачкан, счупен, счупен) е сложна геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена е от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло. В по-широк смисъл фракталите се разбират като набори от точки в евклидовото пространство, които имат дробна метрична размерност (по смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрична размерност, строго по-голяма от топологичната. Фрактална форма на подвида карфиол (Brassica cauliflora). Фракталът е безкрайно себеподобна геометрична фигура, всеки фрагмент от която се повтаря при намаляване на мащаба.

Беноа Манделброт с право може да се счита за баща на фракталите. Манделброт е изобретателят на термина "фрактал". Манделброт
написа: „Аз измислих думата „фрактал“, като взех за основа латинското прилагателно „fractus“, което означава неправилен, рекурсивен,
фрагментарни. Първото определение на фракталите е дадено и от Б. Манделброт. Фигурата показва само класическия фрактален модел - комплектът на Манделброт.

Говорейки примитивно, фракталната теория е способността на хаотичните структури да се самоорганизират в система. Атракторът е набор от състояния (по-точно точки от фазовото пространство) на динамична система, към които тя клони във времето. Най-простите варианти на атрактора са атрактивна фиксирана точка (например в задачата за махало с триене) и периодична траектория (пример са самовъзбуждащи се трептения в положителна обратна връзка), но има и много по-сложни примери. Някои динамични системи винаги са хаотични, но в повечето случаи хаотично поведение се наблюдава само когато параметрите на динамичната система принадлежат на някакво специално подпространство.

Най-интересни са случаите на хаотично поведение, когато голям набор от начални условия води до промяна в орбитите на атрактора. Лесен начин да се демонстрира хаотичен атрактор е да се започне от точка в областта на привличане на атрактора и след това да се начертае последващата му орбита. Поради състоянието на топологична транзитивност, това е подобно на картографирането на картината на пълен краен атрактор. Например, в система, описваща махало, пространството е двуизмерно и се състои от данни за позицията и скоростта. Можете да начертаете позициите на махалото и неговата скорост. Положението на махалото в покой ще бъде точка, а един период на трептене ще изглежда като обикновена затворена крива на графиката. Графика под формата на затворена крива се нарича орбита. Махалото има безкраен брой такива орбити, образувайки на външен вид колекция от вложени елипси.

Повечето видове движение се описват с прости атрактори, които са ограничени цикли. Хаотичното движение се описва от странни атрактори, които са много сложни и имат много параметри. Например, една проста триизмерна метеорологична система е описана от известния атрактор на Лоренц, една от най-известните диаграми на хаотичните системи, не само защото е една от първите, но и защото е една от най-сложните. Друг такъв атрактор е картата на Рьослер, която има двоен период, подобно на логистичната карта. Странни атрактори се появяват и в двете системи, както в непрекъснати динамични системи (като системата на Лоренц), така и в някои дискретни (напр. карти на Хенон). Някои дискретни динамични системи се наричат ​​системи на Джулия по произход. Както странните атрактори, така и системите Джулия имат типична рекурсивна фрактална структура. Теоремата на Поанкаре-Бендиксон доказва, че странен атрактор може да възникне в непрекъсната динамична система само ако има три или повече измерения. Това ограничение обаче не работи за дискретни динамични системи. Дискретните дву- и дори едномерни системи могат да имат странни атрактори. Движението на три или повече тела, изпитващи гравитационно привличане при определени начални условия, може да се окаже хаотично движение.

И така, свойството на хаотичните системи да се самоорганизират с помощта на неправилни атрактори, според някои математици, е недоказуемо доказателство за съществуването на Бог и Неговата енергия за създаване на всички неща. Мистерия!