Какво е Питагоровата теорема. Питагорова теорема: квадратът на хипотенузата е сумата от катетите на квадрат

Когато за първи път сте започнали да учите за квадратни корени и как да решавате ирационални уравнения (равенства, съдържащи неизвестно под знака на корена), вероятно сте получили първата представа за практическата му употреба. Умението за извличане на корен квадратен от числа също е необходимо за решаване на задачи по прилагането на Питагоровата теорема. Тази теорема свързва дължините на страните на всеки правоъгълен триъгълник.

Нека дължините на катетите на правоъгълен триъгълник (тези две страни, които се събират под прав ъгъл) се обозначават с буквите и , а дължината на хипотенузата (най-дългата страна на триъгълника, разположена срещу правия ъгъл) ще бъде означена по писмото. Тогава съответните дължини са свързани със следната връзка:

Това уравнение ви позволява да намерите дължината на страната на правоъгълен триъгълник, когато е известна дължината на другите му две страни. Освен това ви позволява да определите дали разглежданият триъгълник е правоъгълен, при условие че дължините на трите страни са известни предварително.

Решаване на задачи с помощта на Питагоровата теорема

За да консолидираме материала, ще решим следните задачи за приложението на Питагоровата теорема.

Така дадено:

Дължината на един от краката е 48, хипотенузата е 80.
Дължината на крака е 84, хипотенузата е 91.

Да стигнем до решението:

а) Заместването на данните в горното уравнение дава следните резултати:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 или b = -64

Тъй като дължината на страната на триъгълник не може да бъде изразена като отрицателно число, втората опция автоматично се отхвърля.

Отговор на първата снимка: b = 64.

б) Дължината на катета на втория триъгълник се намира по същия начин:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 или b = -35

Както в предишния случай, отрицателното решение се отхвърля.

Отговор на втората снимка: b = 35

Дадено ни е:

Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 45 и 55, а на по-големите са 75.
Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 28 и 45, а на по-големите са 53.

Решаваме проблема:

а) Необходимо е да се провери дали сумата от квадратите на дължините на по-малките страни на даден триъгълник е равна на квадрата на дължината на по-голямата:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следователно първият триъгълник не е правоъгълен.

б) Извършва се същата операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следователно вторият триъгълник е правоъгълен триъгълник.

Първо, намерете дължината на най-големия сегмент, образуван от точки с координати (-2, -3) и (5, -2). За целта използваме добре познатата формула за намиране на разстоянието между точките в правоъгълна координатна система:

По същия начин намираме дължината на отсечката, затворена между точките с координати (-2, -3) и (2, 1):

Накрая определяме дължината на сегмента между точки с координати (2, 1) и (5, -2):

Тъй като има равенство:

тогава съответният триъгълник е правоъгълен триъгълник.

Така можем да формулираме отговора на проблема: тъй като сумата от квадратите на страните с най-къса дължина е равна на квадрата на страната с най-голяма дължина, точките са върховете на правоъгълен триъгълник.

Основата (разположена строго хоризонтално), преградата (разположена строго вертикално) и кабелът (опънат диагонално) образуват съответно правоъгълен триъгълник, теоремата на Питагор може да се използва за намиране на дължината на кабела:

Така дължината на кабела ще бъде приблизително 3,6 метра.

Дадено: разстоянието от точка R до точка P (катета на триъгълника) е 24, от точка R до точка Q (хипотенуза) - 26.

И така, ние помагаме на Витя да реши проблема. Тъй като се предполага, че страните на триъгълника, показан на фигурата, образуват правоъгълен триъгълник, можете да използвате Питагоровата теорема, за да намерите дължината на третата страна:

И така, ширината на езерото е 10 метра.

Сергей Валериевич

Питагор е гръцки учен, живял преди около 2500 години (564-473 г. пр.н.е.).

Нека е даден правоъгълен триъгълник, чиито страни а, bи с(фиг. 267).

Нека изградим квадрати от страните му. Площите на тези квадрати са съответно а 2 , b 2 и с 2. Нека докажем това с 2 = а 2 +б 2 .

Да построим два квадрата MKOR и M'K'O'R' (фиг. 268, 269), като за страна на всеки от тях вземем отсечка, равна на сбора от катетите на правоъгълния триъгълник ABC.

След като завършим конструкциите, показани на фигури 268 и 269 в тези квадрати, ще видим, че квадратът MKOR е разделен на два квадрата с площи а 2 и b 2 и четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които е равен на правоъгълен триъгълник ABC. Квадратът M'K'O'R' е разделен на четириъгълник (защрихован е на фигура 269) и четири правоъгълни триъгълника, всеки от които също е равен на триъгълника ABC. Защрихованият четириъгълник е квадрат, тъй като страните му са равни (всяка е равна на хипотенузата на триъгълника ABC, т.е. с), а ъглите са прави линии ∠1 + ∠2 = 90°, откъдето ∠3 = 90°).

По този начин сумата от площите на квадратите, построени върху краката (на фигура 268 тези квадрати са защриховани) е равна на площта на квадрата MKOR без сумата от площите на четири равни триъгълника и площта на квадратът, построен върху хипотенузата (на Фигура 269 този квадрат също е защрихован) е равен на площта на квадрата M'K'O'R', равен на квадрата на MKOR, без сумата от площите на четири подобни триъгълника. Следователно площта на квадрата, изграден върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, изградени върху краката.

Получаваме формулата с 2 = а 2 +б 2, където с- хипотенуза, аи b- катети на правоъгълен триъгълник.

Питагоровата теорема може да се обобщи по следния начин:

Квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите.

От формулата с 2 = а 2 +б 2 можете да получите следните формули:

а 2 = с 2 - b 2 ;

b 2 = с 2 - а 2 .

Тези формули могат да се използват за намиране на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник при дадени две от страните му.

Например:

а) ако са дадени крака а= 4 см, b\u003d 3 cm, тогава можете да намерите хипотенузата ( с):

с 2 = а 2 +б 2 , т.е. с 2 = 4 2 + 3 2 ; с 2 = 25, откъдето с= √25 = 5(cm);

б) ако е дадена хипотенузата с= 17 см и крак а= 8 см, тогава можете да намерите друг крак ( b):

b 2 = с 2 - а 2 , т.е. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, откъдето b= √225 = 15 (cm).

Следствие: Ако в два правоъгълни триъгълника ABC и A 1 B 1 C 1 хипотенуза си с 1 са равни, а катетът bтриъгълник ABC е по-голям от катета b 1 триъгълник A 1 B 1 C 1,

след това крака атриъгълник ABC е по-малък от катета а 1 триъгълник A 1 B 1 C 1 .

Наистина, въз основа на Питагоровата теорема получаваме:

а 2 = с 2 - b 2 ,

а 1 2 = с 1 2 - b 1 2

В написаните формули умалените са равни, а изваждаемото в първата формула е по-голямо от изважданото във втората формула, следователно първата разлика е по-малка от втората,

т.е. а 2 а 1 2 . Където а a 1 .

История

Chu-pei 500-200 пр.н.е. Вляво е надписът: сумата от квадратите на дължините на височината и основата е квадрат на дължината на хипотенузата.

В древната китайска книга Chu-pei ( Английски) (на китайски 周髀算經) се говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5. В същата книга е предложен чертеж, който съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Башара.

Около 400 г. пр.н.е. д., според Прокъл, Платон дава метод за намиране на питагорови тройки, комбинирайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Елементите на Евклид съдържат най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема.

Формулировка

Геометрична формулировка:

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

Алгебрична формулировка:

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през и дължините на краката през и:

И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратна теорема на Питагор:

За всяка тройка от положителни числа и , така че съществува правоъгълен триъгълник с катети и и хипотенуза .

Доказателство за

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигурата.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначаваме основата му с з. Триъгълник ACHподобен на триъгълник ABCна два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC. Въвеждане на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Добавяйки, получаваме

, което трябваше да се докаже

Площни доказателства

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

Подредете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигура 1.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сборът от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и площта на вътрешния квадрат.

Q.E.D.

Доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни.

Разгледайте рисунката вляво. Върху него построихме квадрати от страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ , съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака.

Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK.

Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата по горното свойство). Това равенство е очевидно: триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK, AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD е лесно да се докаже чрез метода на движението: нека завъртим триъгълника CAK на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпаднат (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°).

Аргументът за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен.

Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката. Идеята зад това доказателство е допълнително илюстрирана с анимацията по-горе.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Помислете за чертежа, както се вижда от симетрията, сегментът разрязва квадрата на две еднакви части (тъй като триъгълниците и са равни по конструкция).

Използвайки завъртане обратно на часовниковата стрелка на 90 градуса около точката, виждаме равенството на защрихованите фигури и .

Сега е ясно, че площта на фигурата, която сме засенчили, е равна на сумата от половината площи на малки квадратчета (построени върху краката) и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на големия квадрат (построен върху хипотенузата) плюс площта на оригиналния триъгълник. Така половината от сумата от площите на малките квадрати е равна на половината от площта на големия квадрат и следователно сумата от площите на квадратите, изградени върху краката, е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Следното доказателство, използващо диференциални уравнения, често се приписва на известния английски математик Харди, живял през първата половина на 20 век.

Разглеждайки чертежа, показан на фигурата, и наблюдавайки промяната на страната а, можем да напишем следната връзка за безкрайно малки странични увеличения си а(с помощта на подобни триъгълници):

Използвайки метода на разделяне на променливите, намираме

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата катета

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме

Така стигаме до желания отговор

Лесно се вижда, че квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение (в този случай кракът). Тогава за константата на интегриране, която получаваме

Вариации и обобщения

Подобни геометрични фигури от три страни

Обобщение за подобни триъгълници, площ на зелени фигури A + B = площ на сини C

Питагорова теорема, използваща подобни правоъгълни триъгълници

Обобщение на Питагоровата теорема е направено от Евклид в неговия труд Наченки, разширявайки площите на квадратите отстрани до зони с подобни геометрични форми:

Ако изградим подобни геометрични фигури (вижте Евклидовата геометрия) върху страните на правоъгълен триъгълник, тогава сумата от двете по-малки фигури ще бъде равна на площта на по-голямата фигура.

Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области А, би ° Сизградени от страни с дълж а, bи ° С, ние имаме:

Но според Питагоровата теорема, а 2 + b 2 = ° С 2, тогава А + б = ° С.

Обратно, ако можем да докажем това А + б = ° Сза три подобни геометрични фигури, без да използваме Питагоровата теорема, тогава можем да докажем самата теорема, движейки се в обратна посока. Например началният централен триъгълник може да се използва повторно като триъгълник ° Свърху хипотенузата и два подобни правоъгълни триъгълника ( Аи б), построени върху другите две страни, които се образуват в резултат на разделянето на централния триъгълник по неговата височина. Сумата от двете по-малки площи на триъгълниците тогава очевидно е равна на площта на третата, по този начин А + б = ° Си изпълнявайки предишните доказателства в обратен ред, получаваме Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 .

Косинусова теорема

Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:

където θ е ъгълът между страните аи b.

Ако θ е 90 градуса, тогава cos θ = 0 и формулата е опростена до обичайната Питагорова теорема.

Произволен триъгълник

Към всеки избран ъгъл на произволен триъгълник със страни a, b, cвписваме равнобедрен триъгълник по такъв начин, че равните ъгли при основата му θ да са равни на избрания ъгъл. Да приемем, че избраният ъгъл θ е разположен срещу посочената страна ° С. В резултат на това получихме триъгълник ABD с ъгъл θ, който се намира срещу страната аи партита r. Вторият триъгълник е образуван от ъгъла θ, който е срещу страната bи партита сдълго с, както е показано на снимката. Сабит Ибн Кура твърди, че страните в тези три триъгълника са свързани по следния начин:

Когато ъгълът θ се доближава до π/2, основата на равнобедрения триъгълник намалява и двете страни r и s се припокриват все по-малко. Когато θ = π/2, ADB се превръща в правоъгълен триъгълник, r + с = ° Си получаваме първоначалната Питагорова теорема.

Нека да разгледаме един от аргументите. Триъгълник ABC има същите ъгли като триъгълник ABD, но в обратен ред. (Двата триъгълника имат общ ъгъл при върха B, и двата имат ъгъл θ и също имат същия трети ъгъл, чрез сумата от ъглите на триъгълника) Съответно ABC е подобно на отражението ABD на триъгълник DBA, както е показано в долната фигура. Нека напишем връзката между противоположните страни и съседните на ъгъла θ,

Същото е и отражението на друг триъгълник,

Умножете дробите и добавете тези две съотношения:

Q.E.D.

Обобщение за произволни триъгълници чрез успоредници

Обобщение за произволни триъгълници,
зона на зелено парцел = площсин

Доказателство за тезата, че на фигурата по-горе

Нека направим по-нататъшно обобщение за неправоъгълни триъгълници, като използваме успоредници от три страни вместо квадрати. (квадратите са специален случай.) Горната фигура показва, че за остроъгълен триъгълник площта на успоредника по дългата страна е равна на сбора от успоредниците на другите две страни, при условие че успоредникът по дългата страна е конструирана, както е показано на фигурата (размерите, отбелязани със стрелки, са еднакви и определят страните на долния успоредник). Тази замяна на квадрати с успоредници има ясна прилика с първоначалната Питагорова теорема и се смята, че е формулирана от Папус от Александрия през 4 г. сл. н. е. д.

Долната фигура показва напредъка на доказателството. Нека погледнем лявата страна на триъгълника. Левият зелен успоредник има същата площ като лявата страна на синия успоредник, защото имат една и съща основа bи височина ч. Също така, лявата зелена кутия има същата площ като лявата зелена кутия в горната снимка, защото те имат обща основа (горната лява страна на триъгълника) и обща височина, перпендикулярна на тази страна на триъгълника. Като се аргументираме по подобен начин за дясната страна на триъгълника, доказваме, че долният успоредник има същата площ като двата зелени успоредника.

Комплексни числа

Теоремата на Питагор се използва за намиране на разстоянието между две точки в декартова координатна система и тази теорема е вярна за всички истински координати: разстояние смежду две точки ( а, б) и ( c, d) се равнява

Няма проблеми с формулата, ако комплексните числа се третират като вектори с реални компоненти х + аз г = (х, г). . Например разстоянието смежду 0 + 1 ази 1 + 0 азизчислете като модул на вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или

Въпреки това, за операции с вектори със сложни координати е необходимо да се направи известно подобрение на формулата на Питагор. Разстояние между точки с комплексни числа ( а, b) и ( ° С, д); а, b, ° С, и двсички комплексни, ние формулираме с помощта на абсолютни стойности. Разстояние сна база векторна разлика (а − ° С, b − д) в следната форма: нека разликата а − ° С = стр+i р, където стре истинската част от разликата, ре имагинерната част и i = √(−1). По същия начин нека b − д = r+i с. Тогава:

където е комплексно спрегнатото на . Например разстоянието между точките (а, b) = (0, 1) и (° С, д) = (аз, 0) , изчислете разликата (а − ° С, b − д) = (−аз, 1) и резултатът ще бъде 0, ако не се използват комплексни конюгати. Следователно, използвайки подобрената формула, получаваме

Модулът е дефиниран така:

Стереометрия

Значително обобщение на Питагоровата теорема за тримерното пространство е теоремата на де Гуа, наречена на J.-P. де Гуа: ако тетраедърът има прав ъгъл (както в куб), тогава квадратът на площта на лицето срещу правия ъгъл е равен на сумата от квадратите на площите на другите три лица. Това заключение може да се обобщи като " н-измерна питагорова теорема":

Питагоровата теорема в три измерения свързва диагонала AD с три страни.

Друго обобщение: Питагоровата теорема може да се приложи към стереометрията в следната форма. Помислете за правоъгълна кутия, както е показано на фигурата. Намерете дължината на диагонала BD, като използвате Питагоровата теорема:

където три страни образуват правоъгълен триъгълник. Използвайте хоризонталния диагонал BD и вертикалния ръб AB, за да намерите дължината на диагонала AD, като отново използвате Питагоровата теорема:

или, ако всичко е написано в едно уравнение:

Този резултат е 3D израз за определяне на големината на вектора v(диагонал AD), изразен чрез неговите перпендикулярни компоненти ( v k) (три взаимно перпендикулярни страни):

Това уравнение може да се разглежда като обобщение на Питагоровата теорема за многомерно пространство. Резултатът обаче всъщност не е нищо повече от многократното прилагане на Питагоровата теорема към поредица от правоъгълни триъгълници в последователно перпендикулярни равнини.

векторно пространство

В случай на ортогонална система от вектори има равенство, което се нарича още Питагорова теорема:

Ако - това са проекции на вектора върху координатните оси, тогава тази формула съвпада с евклидовото разстояние - и означава, че дължината на вектора е равна на квадратния корен от сумата от квадратите на неговите компоненти.

Аналогът на това равенство в случай на безкрайна система от вектори се нарича равенство на Парсевал.

Неевклидова геометрия

Питагоровата теорема е извлечена от аксиомите на евклидовата геометрия и всъщност не е валидна за неевклидовата геометрия във формата, в която е написана по-горе. (Тоест Питагоровата теорема се оказва един вид еквивалент на постулата на Евклид за паралелизъм) С други думи, в неевклидовата геометрия отношението между страните на триъгълника задължително ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема . Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник (да речем а, bи ° С), които ограничават октанта (една осма) от единичната сфера, имат дължина π/2, което противоречи на Питагоровата теорема, защото а 2 + b 2 ≠ ° С 2 .

Разгледайте тук два случая на неевклидова геометрия - сферична и хиперболична геометрия; и в двата случая, както и за евклидовото пространство за правоъгълни триъгълници, резултатът, който замества Питагоровата теорема, следва от косинусовата теорема.

Питагоровата теорема обаче остава валидна за хиперболична и елиптична геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието, че сборът от два ъгъла на триъгълник трябва да бъде равен на третия, да речем А+б = ° С. Тогава съотношението между страните изглежда така: сумата от площите на кръгове с диаметри аи bравна на площта на кръг с диаметър ° С.

сферична геометрия

За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус Р(например, ако ъгълът γ в триъгълника е прав) със страни а, b, ° Сотношенията между страните ще изглеждат така:

Това равенство може да се изведе като специален случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:

където cosh е хиперболичният косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:

където γ е ъгълът, чийто връх е срещу страната ° С.

където ж ijсе нарича метричен тензор. Може да бъде функция на позицията. Такива криволинейни пространства включват риманова геометрия като общ пример. Тази формулировка е подходяща и за евклидово пространство, когато се използват криволинейни координати. Например за полярни координати:

векторен продукт

Питагоровата теорема свързва два израза за големината на векторно произведение. Един подход за дефиниране на кръстосано произведение изисква той да отговаря на уравнението:

тази формула използва точковия продукт. Дясната страна на уравнението се нарича детерминанта на Грам за аи b, което е равно на площта на успоредника, образуван от тези два вектора. Въз основа на това изискване, както и на изискването векторното произведение да е перпендикулярно на неговите компоненти аи bследва, че с изключение на тривиалните случаи на 0- и 1-мерно пространство, векторният продукт е дефиниран само в три и седем измерения. Използваме дефиницията на ъгъла в н-измерително пространство:

това свойство на векторното произведение дава неговата стойност в следната форма:

Чрез фундаменталната тригонометрична идентичност на Питагор получаваме друга форма на записване на неговата стойност:

Алтернативен подход за дефиниране на кръстосано произведение използва израз за неговата величина. След това, аргументирайки се в обратен ред, получаваме връзка със скаларното произведение:

Вижте също

Бележки

Историческа тема: Теоремата на Питагор във вавилонската математика
( , стр. 351) стр. 351
( , том I, стр. 144)
Обсъждане на исторически факти е дадено в (, стр. 351) стр. 351
Курт фон Фриц (април 1945 г.). „Откриването на несъизмеримостта от Хипас от Метапонт“. Анали на математиката, втора серия(Анали на математиката) 46 (2): 242–264.
Луис Карол, "Историята с възли", М., Мир, 1985 г., стр. 7
Асгер АбоеЕпизоди от ранната история на математиката. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Предложение на Питагорот Елиша Скот Лумис
на Евклид Елементи: Книга VI, Твърдение VI 31: „В правоъгълните триъгълници фигурата от страната, обхващаща правия ъгъл, е равна на подобните и подобно описани фигури от страните, съдържащи правия ъгъл.“
Лорънс С. Леф цитиран труд. - Образователна поредица на Barron.- P. 326. - ISBN 0764128922
Хауърд Уитли Ивс§4.8:...обобщение на Питагоровата теорема // Велики моменти в математиката (преди 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (пълно име Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 г. сл. н. е.) е лекар, живеещ в Багдад, който пише много за Елементите на Евклид и други математически теми.
Айдън Сайили (март 1960 г.). „Обобщението на Питагоровата теорема от Thâbit ibn Qurra“. Изида 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
Джудит Д. Сали, Пол СалиУпражнение 2.10(ii) // Цитирана работа . - С. 62. - ISBN 0821844032
За подробности за такава конструкция вж Джордж ДженингсФигура 1.32: Обобщена Питагорова теорема // Съвременна геометрия с приложения: със 150 фигури . - 3-то. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
Арлен Браун, Карл М. Пиърсивещ ° С: Норма за произволно н-кортеж ... // Въведение в анализа. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692Вижте също страници 47-50.
Алфред Грей, Елза Абена, Саймън СаламонСъвременна диференциална геометрия на криви и повърхнини с Mathematica. - 3-то. - CRC Press, 2006. - С. 194. - ISBN 1584884487
Раджендра Бхатияматричен анализ. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
Стивън У. Хокинг цитиран труд. - 2005. - С. 4. - ISBN 0762419229

Питагоровата теорема казва:

В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:

a 2 + b 2 = c 2,

аи b- крака, образуващи прав ъгъл.
се хипотенузата на триъгълника.

Формули на Питагоровата теорема

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Доказателство на Питагоровата теорема

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

S = \frac(1)(2)ab

За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:

стр- полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
rе радиусът на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).

След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълник:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Обратна теорема на Питагор:

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен триъгълник. Тоест за всяка тройка положителни числа а, би ° С, така че

a 2 + b 2 = c 2,

има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Доказано е от учения математик и философ Питагор.

Значението на теорематав това, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.

Допълнителен материал:

Питагоровата теорема казва:

В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:

a 2 + b 2 = c 2,

аи b- крака, образуващи прав ъгъл.
се хипотенузата на триъгълника.

Формули на Питагоровата теорема

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Доказателство на Питагоровата теорема

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

S = \frac(1)(2)ab

За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:

стр- полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
rе радиусът на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).

След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълник:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Обратна теорема на Питагор:

a 2 + b 2 = c 2,

има правоъгълен триъгълник с катети аи bи хипотенуза ° С.

Значението на теорематав това, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.

Допълнителен материал: