Найдите математическое ожидание случайной величины заданной. Формула математического ожидания

Характеристики ДСВ и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, СКО

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пример. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание.

Решение:

9.2 Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Решение:

9.3 Дисперсия дискретной случайной величины

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Поэтому применяется другой способ.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания .

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.

Решение: .

9.4 Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

9.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно, такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго.

Определение4.1: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения x 1, x 2, … x n , вероятности которых соответственно равны p 1, p 2, … p n . Тогда математическое ожидание M (X ) случайной величины X определяется равенством

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .

Eсли дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то

,

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример. Найти математическое ожидание числа появлений события A в одном испытании, если вероятность события A равна p .

Решение: Случайная величина X – число появлений события A имеет распределение Бернулли, поэтому

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .

Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 ,…, m k раз значение x k , причем m 1 + m 2 + …+ m k = n . Тогда сумма всех значений, принятых X , равна x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной, будет

Отношение m i / n - относительная частота W i значения x i приближенно равно вероятности появления события p i , где , поэтому

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .

Свойства математического ожидания

Свойство1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

Свойство2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

Определение4.2: Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы .

Определение4.3: Несколько случайных величин называют взаимно независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Свойство3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Пример. Вычислим математическое ожидание биномиальной случайной величины X – числа наступления события A в n опытах.

Решение: Общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Введем случайные величины X i – число появлений события в i -ом испытании, которые являются Бернуллиевскими случайными величинами с математическим ожиданием , где . По свойству математического ожидания имеем

Таким образом, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np .

Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и,следовательно, искомое математическое ожидание

Математическое ожидание - это, определение

Мат ожидание - это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр .

Мат ожидание - это среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Мат ожидание - это мера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Мат ожидание случайной величины x обозначается M(x) .

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это

Мат ожидание - это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Мат ожидание - это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Мат ожидание - это в теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть спекулянт, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных спекулянтов это иногда называется «преимуществом спекулянта » (если оно положительно для спекулянта) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для спекулянта).

Математическое ожидание (Population mean) - это

Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия .

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w) , находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р Х величины X :

где - множество всех возможных значений X .

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р Х . Например , если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная борелевская функция Х , то:

Если F(x) - функция распределения X , то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

при этом интегрируемость X в смысле (* ) соответствует конечности интеграла

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х k , k=1, 2 , . , и вероятностями , то

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х) , то

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

Свойства математического ожидания случайной величины.

• Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

C - постоянная;

• M=C.M[X]

• Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

• Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

если сходится ряд:

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

1. По очереди перемножаем пары: x i на p i .

2. Складываем произведение каждой пары x i p i .

Напрмер , для n = 4 :

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$