Evidencia de un trapecio inaccesible y rectangular. Trapecio

En este artículo, lo intentaremos en la medida de lo posible para reflejar plenamente las propiedades del trapecio. En particular, hablaremos sobre los signos generales y las propiedades del trapecio, así como las propiedades del trapecio inscrito y el círculo inscrito en el trapecio. Afectamos las propiedades de un trapecio inaccesible y rectangular.

Un ejemplo de resolver el problema utilizando las propiedades consideradas lo ayudará a descomponerse por los lugares en mi cabeza y es mejor recordar el material.

Trapeze y todo todo

Para empezar, es brevemente, recuerda lo que es un trapecio y qué otros conceptos están conectados con él.

Por lo tanto, el trapecio: la figura-cuadrilátero, dos de los lados de los cuales son paralelos entre sí (esta es la base). Y dos no son paralelos, estos son los lados.

En el trapecio, la altura se puede bajar, perpendicular a los terrenos. Se realizaron la línea media y diagonal. Y también de cualquier ángulo de trapecio es posible llevar a cabo el bisector.

Acerca de varias propiedades asociadas con todos estos elementos y sus combinaciones, hablaremos ahora.

Propiedades de diagonales trapezo.

Para ser más claro mientras lee, bazete a una hoja de acklace y pase la diagonal en ella.

1. Si encuentra la mitad de cada una de las diagonales (denotamos estos puntos x y t) y conéctelos, resulta un segmento. Una de las propiedades de las diagonales del trapecio se encuentra en el hecho de que el segmento de HT se encuentra en la línea media. Y su longitud se puede obtener separando la diferencia en las bases para dos: Ht \u003d (a - b) / 2.
2. Antes de nosotros, todo el mismo trapecio acme. Las diagonales se intersecan en el punto de O. Miramos los triángulos de OO y el COI formado por los segmentos de diagonales junto con las bases del trapecio. Estos triángulos son similares. La relación de semejanza K Triangles se expresa a través de la proporción de las bases del trapezoide: k \u003d AE / km.
   La proporción de las áreas de triángulos, y el COI se describe por el coeficiente K2.
3. Todo el mismo trapecio, las mismas diagonales que se cruzan en el punto O. Solo esta vez consideraremos los triángulos que cortan las diagonales formados junto con los lados del trapecio. El área de los triángulos de AKO y EMO son iguales; sus cuadrados son los mismos.
4. Otra propiedad del trapecio incluye la construcción de diagonales. Entonces, si continúas los lados de la AK y yo en la dirección de una base más pequeña, antes o más tarde, cruzarán a algún punto. Además, a través de la mitad de las bases del trapecio pasará directamente. Se cruza los cimientos en los puntos X y T.
   Si ahora extendemos la HT directa, se conectará juntos el punto de intersección de las diagonales del trapezoide, el punto en el que la continuación del lado y la mitad de las bases X y T.
5. A través del punto de intersección de las diagonales, llevamos a cabo un segmento que conecta la base del trapecio (T se encuentra en una base más pequeña del CM, X, en la AE más grande). El punto de intersección de diagonales divide este segmento en la siguiente proporción: Entonces / oh \u003d km / ae.
6. Y ahora a través del punto de intersección de diagonales, llevaremos a cabo las bases paralelas del trapezoid (A y B) del segmento. El punto de intersección se dividirá en dos partes iguales. Puedes encontrar la longitud del segmento por la fórmula. 2AB / (A + B).

Propiedades de la línea media.

Línea media en el trapecio paralelo a sus terrenos.

1. La longitud de la línea media del trapecio se puede calcular si las longitudes de la base están plegadas y para dividirlas por la mitad: m \u003d (a + b) / 2.
2. Si pasa a través de ambas bases un trapecio de ningún segmento (altura, por ejemplo), la línea media se dividirá en dos partes iguales.

Propiedad Bisector Trapezium

Elige cualquier ángulo del trapecio y swivectris. Tomemos, por ejemplo, el ángulo de nuestro trapecio Acme. Después de hacer la construcción, puede asegurarse fácilmente de que el bisector se corte de la base (o su continuación en la parte posterior de la figura en sí) del segmento de la misma longitud que el lado lateral.

Propiedades de las esquinas del trapecio.

1. ¿Qué pasa con los dos pares del lado adyacente hacia el lado de las esquinas que no eligió, la suma de los ángulos en el par es siempre 180 0: α + β \u003d 180 0 y γ + δ \u003d 180 0.
2. Conecte la mitad de las bases del segmento trapezoidal TX. Ahora mira las esquinas en las bases del trapecio. Si la suma de los ángulos en cualquiera de ellos es 90 0, la longitud del segmento TX es fácil de calcular sobre la base de la diferencia en las longitudes de la base, a la mitad: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Si a través del lado del ángulo del trapecio para llevar a cabo líneas rectas paralelas, separan el lado del ángulo en segmentos proporcionales.

Las propiedades de un equilibrio (igual) trapezo.

1. En un trapecio de equilibrio, los ángulos son iguales a cualquiera de los terrenos.
2. Ahora construye un trapecio nuevamente para imaginar de qué se trata. Mire cuidadosamente sobre la base de AE: la parte superior de la base opuesta m se proyecta en una especie en una línea recta que contiene AE. La distancia desde la parte superior A hasta el punto de proyección del vértice M y la línea promedio de un trapecio equificable es igual.
3. Algunas palabras sobre la propiedad de las diagonales de un trapecio equificable, sus longitudes son iguales. Así como los mismos ángulos de inclinación de estas diagonales a la base del trapecio.
4. Solo se puede describir un trapecio de equilibrio en la circunferencia, ya que la suma de los ángulos opuestos del cuadrángulo 180 0 es un requisito previo para esto.
5. A partir del párrafo anterior, la propiedad de un trapecio de equilibrio sigue, si puede describir el círculo cerca del trapecio, es una ecuantiable.
6. De las características de un trapecio de equilibrio, la altura de los flujos de trapecio: si sus diagonales se intersecan en ángulos rectos, la longitud de la altura es igual a la mitad de la cantidad de los terrenos: h \u003d (a + b) / 2.
7. Nuevamente, gaste el segmento de TX a través de la mitad de las bases del trapecio, en un trapecio de equilibrio, es perpendicular a los terrenos. Y al mismo tiempo TX: el eje de la simetría de un trapecio en vigas.
8. Esta vez omite a una base mayor (lo denotamos a) la altura del vértice opuesto del trapecio. Resulta dos segmentos. La longitud de uno se puede encontrar si las longitudes de la base están plegadas y divididas por la mitad: (A + B) / 2. El segundo que obtendremos cuando, desde una base más grande, la más pequeña y la diferencia resultante se divide en dos: (A - B) / 2.

Las propiedades del trapecio incluido en el círculo.

Una vez, se trataba del trapecio inscrito en el círculo, nos centraremos en este tema. En particular, donde el centro del círculo está ubicado en relación con el trapecio. Aquí también se recomienda no ser perezoso para tomar un lápiz en las manos y dibujar algo sobre lo que se discutirá a continuación. Así que entenderás más rápido y recordarás mejor.

1. La ubicación del centro del círculo está determinada por el ángulo de inclinación de la diagonal trapezoide a su lado. Por ejemplo, una diagonal puede salir del vértice de un trapecio en ángulo recto hacia un lado. En este caso, la base más grande cruza el centro del círculo descrito exactamente en el medio (R \u003d ½ae).
2. La diagonal y el lado pueden ocurrir bajo un ángulo agudo, entonces el centro del círculo está dentro del trapecio.
3. El centro del círculo descrito puede estar más allá de los trapezoides, para su base grande, si entre la diagonal trapezoide y el lado es un ángulo estúpido.
4. El ángulo formado por la diagonal y la base grande del trapecio ACME (ángulo inscrito) es la mitad de ese ángulo central, que lo corresponde: Mayo \u003d ½m..
5. Brevemente sobre dos formas de encontrar el radio del círculo descrito. Primero del método: mira con cuidado a su dibujo, ¿qué ves? Puede notar fácilmente que la diagonal rompe el trapecio en dos triángulos. El radio se puede encontrar a través de la relación entre el lado del triángulo al seno del ángulo opuesto, multiplicado por dos. Por ejemplo, R \u003d AE / 2 * SINAME. De manera similar, la fórmula se puede pintar por cualquiera de los lados de ambos triángulos.
6. Método del segundo: Encontramos el radio del círculo descrito a través del área del triángulo formado por la diagonal, el lado y la base del trapecio: R \u003d am * me * ae / 4 * s.

Las propiedades del trapecio descrito cerca del círculo.

Puede ingresar un circuito en un trapecio si se observa una condición. Más sobre esto a continuación. Y juntos esta combinación de figuras tiene una serie de propiedades interesantes.

1. Si se inscribe un círculo en el trapecio, la longitud de su línea media se puede encontrar fácilmente plegando la longitud de los lados y dividiendo la cantidad obtenida por la mitad: m \u003d (C + D) / 2.
2. A Acme Trapezium se describe cerca de la circunferencia, la suma de las longitudes de la base es igual a la suma de las longitudes de los lados: AK + ME \u003d KM + AE.
3. Desde esta propiedad de la base del trapecio implica una declaración inversa: el círculo se puede ingresar en ese trapecio, la suma de las bases de las cuales es igual a la suma de los lados.
4. El punto de tocar el círculo con un radio de R, inscrito en el trapecio, rompe el lado por dos segmentos, llamemos a A y B. El radio del círculo puede ser calculado por la fórmula: r \u003d √ab.
5. Y una propiedad más. Para no confundirse, este ejemplo también se dibuja. Tenemos un trapecio de AKME viejo, descrito cerca del círculo. Estaba en diagonalmente la intersección en el punto de O. Los triángulos de la AOK y los lados formados por los cortes de diagonales y lados son rectangulares.
   Las alturas de estos triángulos, bajadas en hipotenuses (es decir, los lados del trapecio) coinciden con el radio del círculo inscrito. Y la altura del trapecio, coincide con el diámetro del círculo inscrito.

Propiedades de un trapecio rectangular.

Llame a un trapecio rectangular, uno de los rincones de los cuales es directo. Y sus propiedades surgen de esta circunstancia.

1. Un trapecio rectangular tiene uno de los lados laterales perpendiculares a los terrenos.
2. La altura y el lado del trapecio, adyacentes a la esquina recta, son iguales. Esto le permite calcular el área del trapecio rectangular (fórmula general S \u003d (A + B) * H / 2) No solo a través de la altura, sino también a través del lado lateral, adyacente a la esquina directa.
3. Para trapecio rectangular, las propiedades generales de las diagonales de trapecio son relevantes anteriormente.

Evidencia de algunas propiedades de trapecio.

Igualdad de ángulos sobre la base de un trapecio inaccesible:

• Probablemente ya se ha adivinado que nuevamente necesitará un trapecio akme, dibuje una trapecia igualmente desagradable. Gastar desde el vértice del MT recto MT paralelo al lado de la AK (MT || AK).

El cuadrilátero resultante AKMT - Parallelogram (AK || MT, KM || AT). Dado que yo \u003d ka \u003d mt, Δ MTA es una presidencia y metanfetamina \u003d MTT.

AK || MT, por lo tanto, MTA \u003d KAE, MET \u003d MTA \u003d KA.

Desde donde Akm \u003d 180 0 - Met \u003d 180 0 - Kate \u003d KME.

Q.E.D.

Ahora, sobre la base de la propiedad de un trapecio de equilibrio (igualdad de diagonales), probamos que akme trapezium es un equilibrio:

• Para empezar, pasaremos directamente MX - MX || Ke Obtenemos un paralelogramo de KMCH (Base - MX || ke y km || ex).

Δamh es un desperdicio, ya que am \u003d ke \u003d mx, y max \u003d mea.

Mx || Ke, kea \u003d musgo, por lo tanto, mayo \u003d musgo.

Hemos resultado que los triángulos de AKE y EMA son iguales entre sí, porque am \u003d ke y AE, el lado común de dos triángulos. Así como MAY \u003d MOSS. Podemos concluir que AK \u003d IU, y por lo tanto, sigue y que el trapecio AKME es un desperdicio.

Tarea de repetición

La base de trapecio ACME es de 9 cm y 21 cm, el lado lateral de 8 cm, forma un ángulo de 150 0 con una base más pequeña. Se requiere encontrar un área de trapecio.

Solución: desde la parte superior para bajar la altura hasta una base mayor del trapecio. Y comencemos a considerar las esquinas del trapecio.

Los ángulos de AEM y Kahn son unilaterales. Y esto significa, en la cantidad que dan 180 0. Por lo tanto, kan \u003d 30 0 (basado en las propiedades de los ángulos del trapezoide).

Ahora consideramos el ΔAmp rectangular (supongo que este momento es obvio para los lectores sin evidencia adicional). A partir de eso encontraremos la altura de la trapecio de KN, en un triángulo, es un catéter, que se encuentra frente al ángulo de 30 0. Por lo tanto, kn \u003d ½av \u003d 4 cm.

El área del trapecio se encuentra por la fórmula: S Acme \u003d (km + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Palabra después

Si estudias cuidadosamente y cuidadosamente este artículo, no tenía un lápiz con un lápiz en manos de dibujar un trapecio para todas las propiedades dadas y desmontarlas en la práctica, el material debía entenderse bien.

Por supuesto, hay mucha información aquí, diversa y en lugares incluso confusos: no es tan difícil confundir las propiedades del trapecio descrito con las propiedades inscritas. Pero tú mismo se aseguró de que la diferencia sea enorme.

Ahora tienes un resumen detallado de todas las propiedades comunes del trapecio. Así como propiedades específicas y signos de los trapezoides de un aislado y rectangular. Son muy convenientes de usar para prepararse para el control y los exámenes. ¡Pruébalo tú mismo y comparte un enlace con amigos!

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La sección contiene tareas de geometría (planificación de la sección) sobre trapeces. Si no ha encontrado soluciones a la tarea, escriba sobre el foro. El curso ciertamente será complementado.

Trapecio. Definición, fórmulas y propiedades.

El trapecio (de Dr.-griego. Τραπέιι - - "Tabla"; τράπεζα - "Mesa, comida") - un cuadriloso, en el que exactamente un par de lados opuestos es paralelo.

El trapecio es un quadrín, que tiene un paralelo paralelo.

Nota. En este caso, el paralelogramo es una caja trapezoidal privada.

Las partes opuestas paralelas se llaman las bases del trapecio, y las otras dos son de lado.

El trapecio es:

- versátil ;

- igualólogo;

- rectangular

.
Las flores rojas y marrones indican los lados laterales, verde y azul, la base del trapecio.

A - Igualdad (un equificable, igual) trapecio
B - trapecio rectangular
C - un trapecio versátil

En un trapecio versátil, todos los lados de diferentes longitudes, y la base es paralela.

Los lados son iguales, y la base es paralela.

En la base es paralelo, un lado es perpendicular a las bases, y el segundo lado lateral está inclinado a las bases.

Propiedades del trapecio

• Línea media trapezo Paralelamente a los terrenos e igual a su mitad.
• Cortar la conexión de las diagonales intermedias.Es igual a la mitad de la diferencia en la base y las mentiras en la línea media. Su longitud
• Líneas rectas paralelas que cruzaron las partes de cualquier ángulo de trapezoides, reducen el lado del ángulo los segmentos proporcionales (ver teorema de Falez)
• Punto de intersección de diagonales de trapecio.El punto de intersección de la continuación de sus lados laterales y la mitad de las bases se encuentran en una línea recta (ver también las propiedades del cuadrángulo)
• Triángulos acostados en los jardines. Los trapezoides cuyos vértices son el punto de intersección de sus diagonales son similares. La proporción de áreas de tales triángulos es igual al cuadrado de la relación de las bases del trapecio.
• Triángulos acostados en los lados. Los trapezoides cuyos vértices son el punto de intersección de sus diagonales son iguales (iguales en el área)
• En un trapecio puedes entrar en el círculoSi la suma de las longitudes de la base del trapecio es igual a la suma de las longitudes de sus lados laterales. La línea media en este caso es igual a la suma del lado de los lados, dividida por 2 (ya que la línea promedio del trapecio es igual a la base de la base)
• Corte la base paralela y pasando por el punto de intersección de diagonales, se divide por la última a la mitad y es igual al producto duplicado de las bases divididas por la cantidad de 2AB / (A + B) (Fórmula Burakova)

Esquinas del trapecio

Esquinas del trapecio hay agudo, recto y estúpido..
Solo hay dos ángulos rectos.

Trapezismo rectangular tiene dos esquinas directas, y otros dos son afilados y estúpidos. Otros tipos de trapezoes son: dos esquinas afiladas y dos estúpidas.

Las estúpidas esquinas del trapecio pertenecen a lo más pequeño. bajo la longitud de la base, y agudo - mayor Base.

Cualquier trapecio puede ser considerado como un tronco de trungleque tiene una línea transversal paralela a la base del triángulo.
Importante. Tenga en cuenta que de esta manera (trapecio adicional al triángulo) puede resolver algunas tareas sobre el trapezoide y algunos teoremas están probados.

Cómo encontrar fiestas y trapeces diagonales.

Encontrar los lados y diagonales del trapecio se realizan utilizando las fórmulas a continuación:

Las fórmulas especificadas aplican la notación como en la figura.

a menos de las bases del trapecio.
B - Más de las bases del trapecio.
C, d - lado
H 1 H 2 - DIAGONAL

La suma de los cuadrados de las diagonales del trapecio es igual al doble producto de la base del trapecio más la suma de los cuadrados del lado de los lados (Fórmula 2)

Polígono - parte de un plano delimitado por una línea quebrada cerrada. Las esquinas del polígono se denotan por los puntos de los picos de los rotos. Los vértices de las esquinas del polígono y las tapas del polígono son los puntos coincidentes.

Definición. El paralelogramo es un cuadrilátero, que tiene paralelo a los partidos opuestos.

Propiedades del paralelogramo

1. Las partes opuestas son iguales.
En la Fig. once Ab = CD; ANTES DE CRISTO. = ANUNCIO.

2. Los ángulos opuestos son iguales (dos afilados y dos ángulos estúpidos).
En la Fig. 11 ∠ UNA. = ∠C.; ∠B. = ∠D..

3 diagonales (cortes, conectando dos vértices opuestos) se intersecan y el punto de intersección se divide por la mitad.

En la Fig. 11 segmentos Ao. = JEFE.; Bo. = SOBREDOSIS..

Definición. El trapecio es un cuadrángulo, que tiene dos partes opuestas paralelas, y otras dos, no.

Lados paralelos llámalo cuenca, y otras dos partes - oblicuo.

Tipos de trapecio

1. Trapeciodonde los lados no son iguales,
llamada versátil (Fig. 12).

2. El trapecio, que tiene los lados son iguales, llamados igualmente (Fig. 13).

3. El trapecio, que un lado es una esquina recta con las bases, se llama rectangular (Fig. 14).

El segmento que conecta los lados del medio del trapezoide (Fig. 15) se llama la línea central del trapezoide ( MINNESOTA.). La línea media del trapecio es paralela a los terrenos y es igual a la mitad de la mitad.

El trapecio se puede llamar un triángulo truncado (Fig. 17), por lo tanto, los nombres del trapecio son similares a los nombres de los triángulos (los triángulos son versátiles, iguales, rectangulares).

Paralelogramo cuadrado y trapecio.

Regla. Pollograma cuadrado Es igual al producto de su lado a la altura realizado a este lado.

Trapecio - Este es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, que son terrenos y dos lados no paralelos, que son partes laterales.

También hay tales nombres como igualoboca o igualdad.

- Este es un trapecio, que tiene las esquinas con el lado de la recta.

Elementos de trapecio.

a, b - fundación de un trapecio. (Un paralelo b),

m, n - lados laterales trapecio

d 1, d 2 - diagonal trapecio

h - altura Trapezium (bases de conexión del segmento y al mismo tiempo perpendicular a ellos)

Mn - linea intermedia (Cortar la conexión de los lados mediados).

Trapecio cuadrado

1. A la mitad de las bases A, B y altura H: S \u003d \\ FRAC (A + B) (2) \\ CDOT H
2. A través de la línea media mn y altura h: s \u003d mn \\ cdot h
3. A través de los diagonales D 1, D 2 y el ángulo (\\ Sin \\ Varphi) entre ellos: S \u003d \\ frac (D_ (1) D_ (2) \\ Sin \\ Varphi) (2)

Propiedades del trapecio

Línea media trapezo

linea intermedia Paralelamente a los terrenos, igual a la mitad de la mitad y separa cada segmento con los extremos, ubicados en directo, que contienen bases, (por ejemplo, la altura de la figura) por la mitad:

Mn || a, mn || B, Mn \u003d \\ frac (A + B) (2)

La suma de las esquinas del trapecio.

La suma de las esquinas del trapecio.Adyacente a cada lado, igual a 180 ^ (\\ CIRC):

\\ Alpha + \\ Beta \u003d 180 ^ (\\ CIRC)

\\ Gamma + \\ Delta \u003d 180 ^ (\\ CIRC)

Triangles isométricos trapezium

IsométricoEs decir, tener áreas iguales, son cortes de diagonales y triángulos AOB y DOC formados por lados laterales.

Como triángulos trapezoides formados

Triángulos similares Son AOD y COB, que están formados por sus bases y segmentos de diagonales.

\\ Triangle aod \\ sim \\ triangle mb

Coeficiente de similitud K se encuentra junto a la fórmula:

k \u003d \\ frac (anuncio) (bc)

Además, la proporción de las áreas de estos triángulos es K ^ (2).

La proporción de longitudes de segmentos y bases.

Cada segmento que conecta las bases y que pasa a través del punto de intersección de las diagonales del trapecio se divide en este punto en relación con:

\\ FRAC (OX) (OY) \u003d \\ FRAC (BC) (AD)

Será justo y para la altura con las diagonales.

1. El segmento que conecta la mitad de las diagonales del trapecio es igual a la mitad de la diferencia.
2. Triángulos formados por las bases de los trapezoides y segmentos de diagonales hasta el punto de su intersección, como
3. Triángulos formados por los segmentos de las diagonales de trapecio, cuyos lados se encuentran en los lados laterales del trapezoide - areométrico (tienen la misma área)
4. Si extiendes los lados del trapecio hacia una base más pequeña, cruzarán en un momento con una línea recta que conectará la mitad de las bases.
5. Cortar la conexión de la base del trapecio, y pasar a través del punto de intersección de las diagonales del trapezoide, divide este punto en proporción igual a la relación de las bases del trapecio.
6. Corte, bases paralelas de trapecio, y gastadas sobre la intersección de diagonales, divide este punto por la mitad, y su longitud es 2AB / (A + B), donde A y B - la base del trapecio

Propiedades de Segate que conectan la mitad de las diagonales del trapecio.

Conecte la mitad de las diagonales del trapezoide ABCD, como resultado de lo cual aparece el segmento LM.
Cortar conectando la mitad de las diagonales del trapecio, se encuentra en la línea media del trapecio..

Este corte paralelo a los terrenos del trapecio..

La longitud del segmento que conecta la mitad de las diagonales diagonales es igual a la alteza de sus bases.

Lm \u003d (ad - bc) / 2
o
Lm \u003d (a-b) / 2

Propiedades de los triángulos formados por diagonales trapezo.

Triángulos, que están formados por los terrenos de trapezoide y el punto de intersección de las diagonales del trapecio. son similares.
Los triángulos BOC y AOD son similares. Debido a que los ángulos BOC y AOD son verticales, son iguales.
Los ángulos OPE y OAD son subidas internas que se encuentran con un anuncio directo paralelo y BC (la base del trapecio es paralela entre ellos) y la AC directa segura, por lo tanto, son iguales.
Los ángulos de OBC y ODA son iguales por la misma razón (cierres internos que se encuentran).

Dado que los tres ángulos de un triángulo son iguales a las esquinas apropiadas de otro triángulo, entonces estos triángulos son similares.

¿Qué sigue de esto?

Para resolver los problemas de geometría, la similitud de los triángulos se usa de la siguiente manera. Si conocemos las longitudes de las longitudes de los dos elementos relevantes de tales triángulos, entonces encontramos la relación de semejanza (divida una cosa). Desde donde se corresponden la longitud de todos los demás elementos en el mismo significado.

Propiedades de triángulos acostados en el lado y diagonales del trapecio.

Considere dos triángulos en los lados laterales del trapezoide AB y CD. Estos son AOB y triángulos de bacalao. A pesar de que el tamaño de los partidos individuales en estos triángulos puede ser completamente diferente, pero cuadrado de triángulos formados por lados laterales y punto de intersección de diagonales de trapecio son igualesEs decir, los triángulos son iguales.

Si extiendes los lados del trapecio hacia una base más pequeña, el punto de intersección de las partes será coincidir con una línea recta que pasa a través de la mitad de las bases.

Por lo tanto, cualquier trapecio se puede completar al triángulo. Donde:

• Los triángulos formados por los terrenos de trapezoides con el vértice total en el punto de intersección de los lados laterales extendidos son similares
• Directamente, conectar la mitad de las bases del trapecio, es, al mismo tiempo, el triángulo mediano construido.

Corte las propiedades que conectan la base del trapecio.

Si pasa un segmento, los extremos de los cuales se encuentran en los terrenos del trapecio, que se encuentra en el punto de intersección de las diagonales del trapecio (KN), luego la relación de los componentes de sus segmentos desde el lado de la base hasta la intersección. Punto de diagonales (ko / on) será igual a la proporción de las bases del trapecio. (BC / AD).

Ko / on \u003d bc / ad

Esta propiedad se desprende de la similitud de los triángulos respectivos (ver arriba).

Corte las propiedades, paralelas a las bases del trapecio.

Si pasa un segmento, paralela a las bases del trapezoide y pasando por el punto de intersección de las diagonales de trapecio, entonces tendrá las siguientes propiedades:

• Corte especificado (km) divide el punto de intersección de las diagonales de trapecio por la mitad.
• Corte de longitudPasar por el punto de intersección de las diagonales de las bases trapezoides y paralelas es igual a KM \u003d 2AB / (A + B)

Fórmulas para encontrar diagonales.

a, b. - La fundación del trapecio.

cD. - lados laterales del trapecio

d1 D2. - Trapezium diagonal

α β - ángulos con una base más grande

Fórmulas que encuentran diagonales de trapecio a través de bases, lados laterales y ángulos en la base.

El primer grupo de fórmulas (1-3) refleja una de las propiedades principales de las diagonales del trapezoide:

1. La suma de los cuadrados de las diagonales del trapecio es igual a la suma de los cuadrados del lado del lado más un producto dos veces de sus bases. Esta propiedad de las diagonales del trapecio puede ser probada como un teorema separado.

2 . Esta fórmula se obtiene al convertir la fórmula anterior. El cuadrado de la segunda diagonal está exagerado a través del signo de la igualdad, después de lo cual la raíz cuadrada se extrae de la izquierda y derecha de la expresión.

3 . Esta fórmula para encontrar la longitud de la diagonal del trapezoide es similar a la anterior, con la diferencia de que otra diagonal se deja en la parte izquierda de la expresión

El siguiente grupo de fórmulas (4-5) es similar en significado y expresa una proporción similar.

Un grupo de fórmulas (6-7) le permite encontrar una diagonal del trapecio, si se conoce una base mayor del trapecio, un lado y ángulo en la base.

Fórmulas encontrando diagonales de trapecio a través de la altura.

Nota. En esta lección, se da la solución de la geometría de trapecios. Si no encontró la solución a la tarea de geometría que le interesa, haga una pregunta sobre el foro.

Una tarea.
Diagonal del ABCD Trapezoid (AD |

Decisión.
La solución de esta tarea en la ideología es absolutamente idéntica a las tareas anteriores.

Los triángulos AOD y BOC son similares en tres esquinas: AOD y BOC son verticales, y las esquinas restantes están en pares, porque están formadas por la intersección de una línea recta y dos líneas rectas paralelas.

Dado que los triángulos son similares, todas sus dimensiones geométricas se encuentran entre sí, como los tamaños geométricos conocidos por nosotros bajo la condición de la tarea de segmentos AO y OC. Es decir

AO / OC \u003d AD / BC
9/6 \u003d 24 / aC
BC \u003d 24 * 6/9 \u003d 16

Respuesta: 16 cm

Una tarea .
En el trapecio ABCD, se sabe que AD \u003d 24, SUN \u003d 8, AC \u003d 13, BD \u003d 5√17. Encuentra el cuadrado del trapecio.

Decisión .
Para encontrar la altura del trapecio de los picos de una base más pequeña B y C, a mayor la base dos alturas. Dado que el trapecio no es igual, luego denotamos la longitud am \u003d a, la longitud kd \u003d b ( no debe confundirse con las designaciones en la fórmula. Buscando un área de trapecio). Dado que la base del trapecio es paralela, y bajamos dos alturas perpendiculares a mayor base, entonces MBCK es un rectángulo.

Entonces
Ad \u003d am + bc + kd
A + 8 + B \u003d 24
A \u003d 16 - b

Los triángulos DBM y ACK son rectangulares, por lo que sus ángulos directos están formados por las alturas del trapezoide. Denota la altura del trapecio a través de H. Luego, por el teorema de Pitágora.

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
y
H 2 + (24 - B) 2 \u003d 13 2

Tenga en cuenta que A \u003d 16 - B, luego en la primera ecuación
H 2 + (24 - 16 + B) 2 \u003d 425
H 2 \u003d 425 - (8 + B) 2

Sustituamos el valor del cuadrado de la altura en la segunda ecuación obtenida en el teorema de Pitágoras. Obtenemos:
425 - (8 + B) 2 + (24 - B) 2 \u003d 169
- (64 + 16B + B) 2 + (24 - B) 2 \u003d -256
-64 - 16B - B 2 + 576 - 48B + B 2 \u003d -256
-64b \u003d -768
B \u003d 12.

Así, kd \u003d 12
De
H 2 \u003d 425 - (8 + B) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
H \u003d 5.

Encuentra el cuadrado del trapecio a través de su altura y la mitad de los terrenos.
donde una b es la base del trapecio, h - la altura del trapecio
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Respuesta: El área del trapecio es de 80 cm 2.