Análisis matemático. Análisis matemático, análisis funcional Análisis matemático pdf

El libro de texto es la primera parte de un curso de análisis matemático de tres volúmenes para instituciones de educación superior de la URSS, Bulgaria y Hungría, escrito de conformidad con el acuerdo de cooperación entre las universidades de Moscú, Sofía y Budapest. El libro incluye la teoría de los números reales, la teoría de los límites, la teoría de la continuidad de funciones, el cálculo diferencial e integral de funciones de una variable y sus aplicaciones, el cálculo diferencial de funciones de muchas variables y la teoría de funciones implícitas.

NUMEROS REALES.
En el capítulo anterior, nos aseguramos de que el desarrollo de la teoría de los números reales es necesario para un estudio riguroso y consistente del concepto de límite, que es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático.

La teoría de los números reales que necesitamos, presentada en este capítulo, incluye la definición de operaciones de ordenamiento para la suma y multiplicación de estos números y el establecimiento de las propiedades básicas de estas operaciones, así como la prueba de la existencia de aristas exactas para conjuntos de números delimitados por encima o por debajo.

Al final del capítulo, se da una idea de cuestiones adicionales en la teoría de números reales que no son necesarias para la construcción de la teoría de límites y, en general, el curso del análisis matemático (completitud del conjunto de números reales en el sentido de Hilbert, la construcción axiomática de la teoría de los números reales, la conexión entre varios métodos de introducción de números reales).

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Análisis matemático, continuación del curso, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov B.Kh., Tikhonov A.N., 1987
Análisis matemático, Curso inicial, Parte 1, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl.Kh., 1985
Análisis matemático, Curso inicial, Volumen 1, Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov B.Kh., 1985
Análisis matemático - Ilyin V.A., Sadovnichy V.A., Sendov Bl.Kh. - Continuación del curso

Los siguientes tutoriales y libros.

Transcripción

2 Análisis matemático 1. Completitud: supremum e infimum de un conjunto numérico. El principio de los segmentos anidados. Irracionalidad del teorema del número sobre la existencia del límite de una secuencia monótona. El número e. 3. Equivalencia de definiciones del límite de una función en un punto del lenguaje y en el lenguaje de secuencias. Dos maravillosos límites. 4. Continuidad de una función de una variable en un punto, un punto de discontinuidad y su clasificación. Propiedades de una función que es continua en un segmento. 5. Teoremas de Weierstrass sobre los valores máximo y mínimo de una función continua definida en un segmento. 6. Uniformidad de continuidad. Teorema de Cantor. 7. El concepto de derivada y diferenciabilidad de una función de una variable, diferenciación de una función compleja. 8. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores de funciones de una variable. 9. Estudio de una función mediante derivadas (monotonicidad, extremos, convexidad y puntos de inflexión, asíntotas). 10. Funciones definidas paramétricamente y su diferenciación. 11. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. 12. Regla de L'Hôpital. 13. Fórmula de Taylor con un resto en la forma de Lagrange. 14. Fórmula de Taylor local con resto en forma de Peano. Expansión de funciones elementales básicas mediante la fórmula de Taylor. 15. Un criterio para la integrabilidad de Riemann de una función. Clases de funciones integrables. 16. El teorema sobre la existencia de una antiderivada para toda función continua. Fórmula de Newton-Leibniz. 17. Integración por partes y cambio de variable en integral indefinida. Integración de fracciones racionales. 18. Métodos para el cálculo aproximado de integrales definidas: métodos de rectángulos, trapecios, parábolas. 19. Una integral definida con un límite superior variable; teoremas del valor medio. 20. Aplicaciones geométricas de una integral definida: el área de una figura plana, el volumen de un cuerpo en el espacio. 21. Serie de potencias; expansión de funciones en una serie de potencias. 22. Integrales impropias del tipo I y II. Criterios de convergencia. 23. Las condiciones más simples para la convergencia uniforme y la diferenciación término por término de las series trigonométricas de Fourier. 24. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad en un punto de una función de varias variables. 25. Definición, existencia, continuidad y diferenciabilidad de una función implícita. 26. Una condición necesaria para un extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange. 27. Serie numérica. Criterio de Cauchy para la convergencia de una serie. 28. Prueba de Cauchy para la convergencia de series positivas 29. Prueba de D'Alembert para la convergencia de series positivas 30. Teorema de Leibniz sobre la convergencia de series alternas. 31. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de series de funciones. 32. Condiciones suficientes para la continuidad, integrabilidad y diferenciabilidad de la suma de una serie funcional. 33. La estructura del conjunto de convergencia de una serie funcional arbitraria. La fórmula de Cauchy-Hadamard y la estructura del conjunto de convergencia de una serie de potencias.

3 34. Integral de Riemann múltiple, su existencia. 35. Reducción de una integral múltiple a una repetida. Referencias 1. Kartashev, A.P. Análisis matemático: libro de texto.- 2ª ed., Estereotipo.- SPb .: Lan, p. 2. Kirkinskiy, A.S. Análisis matemático: un libro de texto para universidades.- M .: Proyecto académico, p. 3. Kudryavtsev, L. D. Un curso corto de análisis matemático. Vol. 1, 2. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Análisis armónico: un libro de texto para estudiantes universitarios.- Ed. 3 °, revisado - Moscú: Fizmatlit, p. 4. Análisis matemático. T. 1,2: / ed. V.A.Sadovnichy. - M.: Centro de investigación "RHD", Nikolsky, S.M. El curso de análisis matemático. T. 1, 2.- Ed. 4to, rev. y adicionales - Moscú: Ciencia, p. 6. Ilyin, V.A. Fundamentos del análisis matemático. Parte 1, 2. - Ed. 4to, rev. y adicionales - Moscú: Ciencia, p. Ecuaciones diferenciales. 1. Un teorema de existencia y unicidad para la solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. 2. El teorema de existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden 3. El teorema de la dependencia continua de la solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en parámetros y en los datos iniciales. 4. El teorema de la diferenciabilidad de la solución del problema de Cauchy para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con respecto a parámetros y datos iniciales. 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDO). Propiedades generales. EDO homogéneo. Sistema de decisión fundamental. Vronskian. Fórmula de Liouville. Solución general de una EDO homogénea. 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas. Decisión común. Método de Lagrange de variación de constantes. 7. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes. Construyendo un sistema de decisión fundamental. 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas con coeficientes constantes con inhomogeneidad en forma de cuasipolinomio (casos no resonantes y resonantes). 9. Sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDO). Sistema de decisión fundamental y matriz fundamental. Vronskian. Fórmula de Liouville. La estructura de una solución general a un sistema homogéneo de EDO. 10. Sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. Método de Lagrange de variación de constantes. 11. Sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Construyendo un sistema de decisión fundamental. 12. Sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes con inhomogeneidad en forma de matriz con elementos de cuasipolinomios (casos no resonantes y resonantes). 13. Enunciado de problemas de valores en la frontera para una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Funciones especiales de los problemas de valores en la frontera y sus representaciones explícitas. La función de Green y sus representaciones explícitas. Representación integral

4 soluciones al problema del valor en la frontera. Teorema de existencia y unicidad para la solución de un problema de valores en la frontera. 14. Sistemas autónomos. Propiedades de las soluciones. Puntos singulares de un sistema autónomo lineal de dos ecuaciones. Estabilidad y estabilidad asintótica según Lyapunov. Estabilidad de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales con matriz variable. 15. Estabilidad en la primera aproximación de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Segundo método de Lyapunov. Referencias 1. Samoilenko, A.M. Ecuaciones diferenciales: un curso práctico: un libro de texto para estudiantes universitarios.- Ed. 3º, revisado - Moscú: Escuela superior, p. 2. Agafonov, S.A. Ecuaciones diferenciales: libro de texto.- 4a ed., Revisada.- M .: Editorial de la Universidad Técnica Estatal Bauman de Moscú, p. 3. Egorov, A.I. Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones - Ed. 2do, revisado - Moscú: FIZMATLIT, p. 4. Pontryagin, L.S. Ecuaciones diferenciales ordinarias.- Ed. 6º - Moscú; Izhevsk: Dinámica regular y caótica, p. 5. Tikhonov, A.N. Ecuaciones diferenciales: libro de texto para estudiantes de especialidades físicas y la especialidad "Matemática Aplicada" .- Ed. 4o, p. - Moscú: Fizmatlit, p. 6. Phillips, G. Ecuaciones diferenciales: traducción del inglés / G. Phillips; editado por A.Ya. Khinchin.- 4a ed., P. - Moscú: KomBook, p. Álgebra y teoría de números 1. Definición de grupo, anillo y campo. Ejemplos. Construcción del campo de números complejos. Exponenciación de números complejos. Extrayendo la raíz de números complejos. 2. Álgebra de matrices. Tipos de matrices. Operaciones sobre matrices y sus propiedades. 3. Determinantes de matrices. Definición y propiedades básicas de determinantes. Matrices inversas. 4. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Estudio de SLAE. Método de Gauss. Regla de Cramer. 5. El anillo de polinomios en una variable. Teorema de división con resto. MCD de dos polinomios. 6. Raíces y raíces múltiples de un polinomio. El teorema principal del álgebra (sin prueba). 7. Espacios lineales. Ejemplos. Base y dimensión de espacios lineales. Matriz de transición de una base a la segunda base. 8. Subespacios. Operaciones sobre subespacios. Suma directa de subespacios. Criterios para la suma directa de subespacios. 9. El rango de la matriz. Compatibilidad SLAE. Teorema de Kronecker-Capelli. 10. Espacios euclidianos y unitarios. Conceptos métricos en espacios euclidianos y unitarios. Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky. 11. Sistemas de vectores ortogonales. Proceso de ortogonalización. Bases ortonormales. 12. Subespacios de espacios unitarios y euclidianos. Complemento ortogonal. 13. Operadores lineales en espacios lineales y operaciones sobre ellos. Matriz de operadores lineales. Matrices de operadores lineales en varias bases.

5 14. Imagen y núcleo, rango y defecto de un operador lineal. Dimensiones del kernel y de la imagen. 15. Subespacios invariantes de un operador lineal. Autovectores y autovalores de un operador lineal. 16. Un criterio de diagonalizabilidad de un operador lineal. Teorema de Hamilton-Cayley. 17. Base de Jordan y forma normal de Jordan de la matriz de un operador lineal. 18. Operadores lineales en espacios euclidianos y unitarios. Operadores conjugados, normales y sus propiedades simples. 19. Formas cuadráticas. Formas canónicas y normales de formas cuadráticas. 20. Formas cuadráticas de signo constante, criterio de Sylvester. 21. La razón de divisibilidad en el anillo de números enteros. Teorema de división con resto. MCD y LCM de enteros. 22. Fracciones continuas (continuación). Fracciones adecuadas. 23. Números primos. Tamiz de Eratóstenes. El teorema del infinito de los primos. Descomposición de un número en factores primos 24. Función de Antje. Función multiplicativa. Función de Mobius. Función de Euler. 25. Comparaciones. Propiedades básicas. Sistema de deducción completo. Sistema reducido de deducciones. Teoremas de Euler y Fermat. 26. Comparaciones de primer grado con una desconocida. Sistema de comparación de primer grado. Teorema del resto chino. 27. Comparaciones de cualquier titulación en un módulo compuesto. 28. Comparaciones de segundo grado. Símbolo de Legendre. 29. Raíces primitivas. 30. Índices. Aplicar índices para resolver comparaciones. Referencias 1. Kurosh, A.G. Conferencias sobre álgebra general: libro de texto / A.G. Kurosh. - 2ª ed., Ster. - SPb.: Editorial "Lan", p. 2. Birkhoff, G. Álgebra aplicada moderna: libro de texto / Garrett Birkhoff, Thomas K. Barty; traducción del inglés por Yu.I. Manin. - 2ª ed., P. - San Petersburgo: Lan, p. 3. Ilyin, V.A. Álgebra lineal: libro de texto para estudiantes de especialidades físicas y la especialidad "Matemáticas aplicadas". - Ed. 5th, ster. - Moscú: FIZMATLIT, Kostrikin, A.I. Introducción al álgebra. Parte 1. Fundamentos de álgebra: un libro de texto para estudiantes universitarios de las especialidades "Matemáticas" y "Matemáticas aplicadas" .- Ed. 2do, rev.- Moscú: FIZMATLIT, Vinogradov, I.M. Fundamentos de la teoría de números: libro de texto.- Ed. 11 - San Petersburgo; Moscú; Krasnodar: Lan, pág. 6. Bukhshtab, A.A. Teoría de números: libro de texto - 3ª ed., Estereotipo - San Petersburgo; Moscú; Krasnodar: Lan, pág. Geometría 1. Productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores y sus propiedades. 2. Ecuación de una recta en un plano definido de diversas formas. La posición relativa de dos líneas rectas. El ángulo entre dos líneas rectas. 3. Transformación de coordenadas al pasar de un sistema de coordenadas cartesiano a otro. 4. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. 5. Elipse, hipérbola y parábola y sus propiedades. 6. Clasificación de líneas de segundo orden.

6 7. Ecuación del plano, dada de diferentes formas. La posición relativa de los dos planos. Distancia de un punto a otro. El ángulo entre dos planos. 8. Ecuaciones de una línea recta en el espacio. La posición relativa de dos líneas rectas, una línea recta y un plano. Distancia de un punto a otro. El ángulo entre dos líneas rectas, una línea recta y un plano. 9. Elipsoides, hiperboloides y paraboloides. Generadores rectilíneos de superficies de segundo orden. 10. Superficies de revolución. Superficies cilíndricas y cónicas. 11. Definición de una curva elemental. Métodos para definir una curva. Longitud de la curva (definición y cálculo). 12. Curvatura y torsión de una curva. 13. Acompañante de referencia de una curva suave. Fórmulas de Freinet. 14. La primera forma cuadrática de una superficie lisa y sus aplicaciones. 15. Segunda forma cuadrática de una superficie lisa, curvatura normal de la superficie. 16. Direcciones principales y curvaturas superficiales principales. 17. Líneas de curvatura y líneas asintóticas de la superficie. 18. Curvatura media y gaussiana de la superficie. 19. Espacio topológico. Pantallas continuas. Homeomorfismos. Ejemplos. 20. Característica de Euler de una variedad. Ejemplos. Literatura 1. Nemchenko, K.E. Geometría analítica: libro de texto - Moscú: Eksmo, p. 2. Dubrovin, B.A. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. Vol. 1, 2. Geometría y topología de variedades.- 5ª ed. rev.- Moscú: Editorial URSS, p. 3. Zhafyarov, A. Zh. Geometría. En 2 horas un libro de texto - 2ª edición - Novosibirsk: Editorial de la Universidad de Siberia, p. 4. Efimov N.V. Un curso corto de geometría analítica: un libro de texto para estudiantes de instituciones de educación superior - 13ª edición - Moscú: FIZMATLIT, p. 5. Taimanov, I.A. Conferencias sobre geometría diferencial - Moscú; Izhevsk: Instituto de Investigación en Computación, p. 6. Atanasyan L.S., Bazyrev V.T. Geometría, parte 1.2. Moscú: Knorus, pág. 7. Rashefsky P.S. Curso de geometría diferencial. Moscú: Science, pág. Teoría y métodos de enseñanza de las matemáticas 1. El contenido de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. 2. Principios didácticos de la enseñanza de las matemáticas. 3. Métodos de conocimiento científico. 4. Visibilidad en la enseñanza de las matemáticas. 5. Formas, métodos y medios de control y evaluación de los conocimientos y habilidades de los estudiantes. Normas de marcas. 6. Actividades extraescolares en matemáticas. 7. Conceptos matemáticos y métodos de su formación. 8. Problemas como medio de enseñanza de las matemáticas. 9. Estudio en profundidad de las matemáticas: contenido, métodos y formas de organización de la formación. 10. Tipos de juicios matemáticos: axioma, postulado, teorema.

7 11. Resumen de una lección de matemáticas. 12. Una lección de matemáticas. Tipos de lecciones. Análisis de lecciones. 13. Estudiar matemáticas en una escuela pequeña: contenido, métodos y formas de organización de la formación. 14. Nuevas tecnologías de aprendizaje. 15. Diferenciación de la enseñanza de las matemáticas. 16. Individualización de la enseñanza de las matemáticas. 17. Motivación de la actividad educativa de los escolares. 18. Análisis lógico y didáctico del tema. 19. Enfoque tecnológico de la enseñanza de las matemáticas 20. Humanización y humanización de la enseñanza de las matemáticas. 21. La educación en el proceso de enseñanza de las matemáticas. 22. Metodología para el estudio de transformaciones idénticas. 23. Metodología para el estudio de las desigualdades. 24. Metodología para el estudio de la función. 25. Metodología para el estudio del tema "Ecuaciones y desigualdades con módulo". 26. Métodos para estudiar el tema "Coordenadas cartesianas". 27. Métodos de estudio de poliedros y cuerpos redondos. 28. Métodos para estudiar el tema "Vectores". 29. Técnica para resolver problemas de movimiento. 30. Metodología de resolución de problemas para el trabajo conjunto. 31. Metodología para el estudio del tema "Triángulos" 32. Metodología para el estudio del tema "Círculo y círculo". 33. Técnica de resolución de problemas de aleaciones y mezclas. 34. Métodos para el estudio del tema "Derivada e integral". 35. Metodología para el estudio del tema "Ecuaciones y desigualdades irracionales". 36. Metodología para el estudio del tema "Resolución de ecuaciones y desigualdades con parámetros". 37. Métodos para estudiar los conceptos básicos de trigonometría. 38. Métodos de estudio del tema "Ecuaciones trigonométricas" 39. Métodos de estudio del tema "Desigualdades trigonométricas". 40. Métodos para estudiar el tema "Funciones trigonométricas inversas". 41. Metodología para el estudio del tema "Métodos generales para la resolución de ecuaciones en la asignatura de matemáticas". 42. Métodos para el estudio del tema "Ecuaciones cuadráticas". 43. Métodos para el estudio de los conceptos básicos de estereometría 44. Métodos para el estudio del tema "Fracciones ordinarias". 45. Métodos para estudiar el tema "Uso de la derivada en el estudio de funciones" Referencias 1. Argunov, BI. Curso escolar de matemáticas y métodos de enseñanza - Moscú: Educación, p. 2. Zemlyakov, A.N. Geometría en el 11 ° grado: pautas para el libro de texto. A.V. Pogorelova: una guía para profesores.- 3a ed., Door.- M.: Educación, p. 3. El estudio del álgebra en los grados 7-9: un libro para el maestro / Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, M.V. Tkacheva y otros - 2ª ed. - M .: Educación, p. 4. Latyshev, L.K. Traducción: teoría, práctica y métodos de enseñanza: libro de texto - 3ª ed., P. - Moscú: Academia, p. 5. Métodos y tecnología de la enseñanza de las matemáticas: un curso de conferencias: un libro de texto para estudiantes de las facultades de matemáticas de las instituciones de educación superior que estudian en la dirección (050200) educación física y matemática. - Moscú: Avutarda, pág.

8 6. Roganovsky, N.M. Métodos de enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria: libro de texto - Minsk: Escuela superior, p.

25. Definición, existencia, continuidad y diferenciabilidad de una función implícita. 26. Una condición necesaria para un extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange. 27. Serie numérica. Criterio de Cauchy para la convergencia

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CONTENIDOS PARTE I Conferencias 1 2 Determinantes y matrices Tema 1 1.1. Concepto de matriz. Tipos de matrices ... 19 1.1.1. Definiciones básicas ... 19 1.1.2. Tipos de matrices ... 19 1.2. * Permutaciones y sustituciones ... 21 1.3. *

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4. Anotación al programa de trabajo de la disciplina Autor Fedorov Yu.I., profesor asociado Nombre de la disciplina: B1.B.04 Matemáticas superiores El propósito de dominar la disciplina: - la formación de conocimientos, habilidades, habilidades de dominio superior

1. Propósito y objetivos de la disciplina Análisis matemático El propósito de dominar la disciplina "Análisis matemático" es la formación del conocimiento y la capacidad de los futuros especialistas para aplicar el aparato matemático y matemático.

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ÍNDICE Prefacio ... 15 Capítulo I. ELEMENTOS DE UN ÁLGEBRA LINEAL 1. Matrices ... 16 1.1. Conceptos básicos ... 16 1.2. Acciones sobre matrices ... 17 2. Determinantes ... 20 2.1. Conceptos básicos ... 20 2.2. Propiedades

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Parte 1. - Curso inicial.

El libro de texto es la primera parte de un curso de análisis matemático para instituciones de educación superior de la URSS, Bulgaria y Hungría, escrito de conformidad con un acuerdo de cooperación entre las universidades de Moscú, Sofía y Budapest. El libro incluye la teoría de los números reales, la teoría de los límites, la teoría de la continuidad de funciones, el cálculo diferencial e integral de funciones de una variable y sus aplicaciones, el cálculo diferencial de funciones de muchas variables y la teoría de funciones implícitas.

Parte 2. - Continuación del curso.

El libro de texto es la segunda parte (parte 1 - 1985) del curso de análisis matemático, escrito de acuerdo con el programa unificado adoptado en la URSS y la NRB. El libro trata sobre la teoría de series numéricas y funcionales, la teoría de integrales múltiples, curvilíneas y de superficie, la teoría de campos (incluidas las formas diferenciales), la teoría de integrales en función de un parámetro y la teoría de series e integrales de Fourier. La peculiaridad del libro son tres niveles de presentación claramente diferenciados entre sí: ligero, básico y avanzado, lo que permite su uso tanto por estudiantes de universidades técnicas con un estudio en profundidad del análisis matemático, como por estudiantes de la departamentos de mecánica y matemáticas de las universidades.

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Parte 1. - Curso inicial.

TABLA DE CONTENIDO
Prólogo del editor de títulos ... 5
Prefacio a la segunda edición 6
Prefacio a la primera edición 6
Capítulo 1. CONCEPTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 10
Capítulo 2. NÚMEROS REALES 29
§ 1. El conjunto de números representables por fracciones decimales infinitas y su orden 29
1. Propiedades de los números racionales (29). 2. Insuficiencia de números racionales para medir los segmentos del eje numérico (31). 3. Ordenar un conjunto de posiciones decimales infinitas
fracciones (34)
§ 2. Acotado por encima (o por debajo) de conjuntos de números representables por fracciones decimales infinitas .... 40 1. Conceptos básicos (40). 2. Existencia de rostros exactos (41).
§ 3. Aproximación de números representables por infinitas fracciones decimales por números racionales 44
§ 4. Operaciones de suma y multiplicación. Descripción del conjunto de números reales 46
1. Definición de operaciones de suma y multiplicación. Descripción del concepto de números reales (46). 2. Existencia y unicidad de la suma y el producto de números reales (47).
§ 5. Propiedades de los números reales 50
1. Propiedades de los números reales (50). 2. Algunas relaciones de uso frecuente (52). 3. Algunos conjuntos concretos de números reales (52).
§ 6. Cuestiones adicionales en la teoría de números reales. .54 1. Completitud del conjunto de números reales (54). 2. Introducción axiomática del conjunto de números reales (57).
§ 7. Elementos de la teoría de conjuntos. 59
1. El concepto de conjunto (59). 2. Operaciones sobre conjuntos (60). 3. Conjuntos contables e incontables. Segmento incontable. Cardinalidad de conjunto (61). 4. Propiedades de las operaciones sobre conjuntos. Establecer mapeo (65).
CAPÍTULO 3. TEORÍA DE LOS LÍMITES. 68
§ 1. Secuencia y su límite 68.
1. El concepto de secuencia. Operaciones aritméticas sobre sucesiones (68). 2. Secuencias acotadas, ilimitadas, infinitesimales e infinitamente grandes (69). 3. Propiedades básicas de las secuencias infinitesimales (73). 4. Secuencias convergentes y sus propiedades (75).
§ 2. Secuencias monótonas 83
1. El concepto de secuencia monótona (83). 2. El teorema de la convergencia de una secuencia acotada monótona (84). 3. El número e (86). 4. Ejemplos de secuencias monótonas convergentes (88).
§ 3. Secuencias arbitrarias 92
1. Puntos límite, límites superior e inferior de la secuencia (92). 2. Ampliación de los conceptos de punto límite y límites superior e inferior (99). 3. Criterio de Cauchy para la convergencia de la secuencia (102).
§ 4. Límite (o valor límite) de una función 105
1. Los conceptos de variable y función (105). 2. El límite de la función según Heine y Cauchy (109). 3. Criterio de Cauchy para la existencia del límite de función (115). 4. Operaciones aritméticas sobre funciones que tienen un límite (118). 5. Funciones infinitesimales e infinitamente grandes (119).
§ 5. Definición general del límite de una función sobre la base ... 122
Capítulo 4. CONTINUIDAD DE FUNCIÓN 127
§ 1. El concepto de continuidad de una función 127
1. Definición de continuidad de función (127). 2. Operaciones aritméticas sobre funciones continuas (131). 3. Función compuesta y su continuidad (132).
§ 2. Propiedades de las funciones monótonas 132
1. Funciones monótonas (132). 2. El concepto de función inversa (133).
§ 3. Las funciones elementales más simples 138
1. Función exponencial (138). 2. Función logarítmica (145). 3. Función de potencia (146). 4. Funciones trigonométricas (147). 5. Funciones trigonométricas inversas (154). 6. Funciones hiperbólicas (156).
§ 4. Dos límites notables 158
1. El primer límite notable (158). 2. El segundo límite notable (159).
§ 5. Puntos de discontinuidad de una función y su clasificación. ... ... ... 162 1. Clasificación de puntos de discontinuidad de una función (162). 2. Sobre puntos de discontinuidad de una función monótona (166).
§ 6. Propiedades locales y globales de funciones continuas. 167 1. Propiedades locales de funciones continuas (167). 2. Propiedades globales de funciones continuas (170). 3. El concepto de continuidad uniforme de una función (176). 4. El concepto de módulo de continuidad de una función (181).
§ 7. El concepto de compacidad de un conjunto 184
1. Conjuntos abiertos y cerrados (184). 2. Sobre los cubrimientos de un juego por un sistema de juegos abiertos (184). 3. El concepto de compacidad de un conjunto (186).
CAPÍTULO 5. CÁLCULO DIFERENCIAL 189
§ 1. El concepto de derivada 189
1. Incrementar la función. La forma de diferencia de la condición de continuidad (189). 2. Determinación de la derivada (190). 3. El significado geométrico de la derivada (192).
§ 2. El concepto de diferenciabilidad de una función 193
1. Definición de diferenciabilidad de función (193). 2. Diferenciabilidad y continuidad 195 3. El concepto de diferencial de una función (196).
§ 3. Diferenciación de una función compuesta y una función inversa 197 1. Diferenciación de una función compuesta (197). 2. Diferenciación de la función inversa (199). 3. Invarianza de la forma del primer diferencial (200). 4. Aplicación del diferencial para establecer fórmulas aproximadas (201).
§ 4. Diferenciación de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones 202
§ 5. Derivadas de las funciones elementales más simples. ... ... 205 1. Derivadas de funciones trigonométricas (205). 2. Derivada de la función logarítmica (207). 3. Derivadas de funciones trigonométricas inversas y exponenciales (208). 4. Derivada de la función de potencia (210). 5. Tabla de derivadas de las funciones elementales más simples (210). 6. Tabla de diferenciales de las funciones elementales más simples (212). 7. Derivada logarítmica. Derivada de la función exponencial (212).
§ 6. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores. ... ... 215 1. El concepto de derivada de n-ésimo orden (213). 2.ª derivadas de algunas funciones (214). 3. Fórmula de Leibniz para la enésima derivada del producto de dos funciones (216). 4. Diferenciales de órdenes superiores (218).
§ 7. Diferenciación de una función dada paramétricamente. 220 *
§ 8. Derivada de una función vectorial 222
Capítulo 6. TEOREMAS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES DIFERENCIADAS 224
§ 1. Aumento (disminución) de una función en un punto. Extremo local 224
§ 2. Teorema del cero de la derivada 226
§ 3. Fórmula de incrementos finitos (fórmula de Lagrange). ... 227 § 4. Algunas consecuencias de la fórmula de Lagrange ... 229 "1. La constancia de una función que tiene una derivada cero en un intervalo (229). 2. Condiciones de monotonicidad de una función en el intervalo (230). 3. Ausencia de discontinuidades del primer tipo y discontinuidades removibles en la derivada (231). 4. Derivación de algunas desigualdades (233). § 5. Fórmula generalizada para incrementos finitos (fórmula de Cauchy). ... 234
§ 6. Revelación de incertidumbres (regla de L'Hôpital). ... ... 235
1. Revelación de incertidumbre del formulario (235). Divulgación de incertidumbre - (240). 3. Revelación de otros tipos de incertidumbres (243).
! § 7. Fórmula de Taylor “245
§ 8. Varias formas del resto. Fórmula de Maclaurin 248
1. Término restante en forma de Lagrange, Cauchy y Peano (248).
2. Otra forma de la fórmula de Taylor (250). 3. Fórmula de Maclaurin (251).
§ 9. Estimación del remanente. Descomposición de algunas funciones elementales. ... ... ... ... 251
1. Estimación del término restante para una función: arbitraria (251). 2. Expansión según la fórmula de Maclaurin de algunas funciones elementales (252).
1 § 10. Ejemplos de aplicaciones de la fórmula de Maclaurin 256.
1. Cálculo del número e en una computadora (256). 2. Prueba de la irracionalidad del número e (257). 3. Cálculo de los valores de funciones trigonométricas (258). 4. Estimación asintótica de funciones elementales y cálculo de límites (259).
Capítulo 7. INVESTIGAR FUNCIONES GRÁFICAS Y ENCONTRAR VALORES EXTREMOS 262
§ 1. Encontrar puntos estacionarios 262
1. Criterios de monotonicidad de una función (262). 2. Encontrar puntos estacionarios (262). 3. La primera condición suficiente para un extremo (264). 4. La segunda condición suficiente para un extremo "(265). 5. La tercera condición suficiente para un extremo (267). 6. El extremo de una función que no es diferenciable en un punto dado (268). 7. Esquema general para encontrar extremos (270).
§ 2. Convexidad de la gráfica de una función 271
§ 3. Puntos de inflexión 273
1. Determinación del punto de inflexión. Condición necesaria de inflexión (273). 2. La primera condición suficiente para la inflexión (276). 3. Algunas generalizaciones de la primera condición de inflexión suficiente (276). 4. Segunda condición de inflexión suficiente (277). 5. La tercera condición de inflexión suficiente (278).
§ 4. Asíntotas de la gráfica de una función 279
§ 5. Trazar una función 281
§ 6. Máximo y mínimo global de una función en un segmento.
Extremo del borde 284
1. Encontrar los valores máximo y mínimo de la función definida en el segmento (284). 2. Extremo del borde (286). 3. Teorema de Darboux (287). Adición. Un algoritmo para encontrar los valores extremos de una función utilizando solo los valores de esta función. ... ... 288
Capítulo 8. FUNCIÓN PRIMARIA E INTEGRAL INDEFINIDA 291
§ 1. El concepto de una antiderivada de una función y una integral indefinida 291 1. El concepto de una antiderivada de una función (291). 2. Integral indefinida (292). 3. "Propiedades básicas de la integral indefinida (293). 4. Tabla de integrales indefinidas básicas (294).
§ 2. Métodos básicos de integración 297
1, Integración de sustitución de variables (sustitución) (297).
2. Integración por partes (300).
§ 3. Clases de funciones integrables en funciones elementales. 303 1. Breve información sobre números complejos (304). 2. Breve información sobre las raíces de polinomios algebraicos (307). 3. Descomposición de un polinomio algebraico con coeficientes reales en el producto de factores irreducibles (311). 4. Descomposición de una fracción racional regular en la suma de las fracciones más simples (312). 5. Integrabilidad de la fracción racional en funciones elementales (318). 6. Integrabilidad en funciones elementales de algunas expresiones trigonométricas e irracionales (321).
§ 4. Integrales elípticas, 327
Capítulo 9. INTEGRAL ESPECÍFICO DE RIEMAN 330
§ 1. Definición de integral. Integrabilidad. ... ... ... ... 330 § 2. Sumas superior e inferior y sus propiedades. ... ... ... ... 334 1. Determinación de las sumas superior e inferior (334). 2. Propiedades básicas de las sumas superior e inferior (335). § 3. Teoremas sobre las condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de funciones. Clases de funciones integrables. ... ... 339
1. Condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad (339).
2. Clases de funciones integrables (341).
"§ 4. Propiedades de una integral definida. Estimaciones para integrales. Teoremas del valor medio. 347
1. Propiedades de la integral (347). 2. Estimaciones para integrales (350).
§ 5. Antiderivada de una función continua. Reglas de integración 357
1. Antiderivada (357). 2. La fórmula básica del cálculo integral (359). 3. Reglas importantes para calcular integrales definidas (360). 4. El resto de la fórmula de Taylor en forma integral (362).
§ 6. Desigualdad por sumas e integrales 365
1. Desigualdad de Jung (365). 2. Desigualdad de Hölder para las sumas (366). 3. Desigualdad de Minkowski para las sumas (367). 4. Desigualdad de Hölder para integrales (367). 5. Desigualdad de Minkowski para integrales (368).
§ 7. Información adicional sobre la integral de Riemann definida 369
1. Límite de sumas integrales sobre la base del filtro (369).
2. Criterio de integrabilidad de Lebesgue (370).
Apéndice 1. Integrales impropias 370
§ 1. Integrales impropias del primer tipo 371
1. El concepto de integral impropia de primer tipo (371).
2. El criterio de Cauchy para la convergencia de una integral impropia del primer tipo. Criterios suficientes para la convergencia (373). 3. Convergencia absoluta y condicional de integrales impropias (375). 4. Cambio de variables bajo el signo de integral impropia y fórmula de integración por partes (378).
§ 2. Integrales impropias de segundo tipo 379
§ 3. El significado principal de la integral impropia. 382
Apéndice 2. Stieltjes Integral 384
1. Definición de la integral de Stieltjes y condiciones para su existencia (384). 2. Propiedades de la integral de Stieltjes (389).
Capítulo 10. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE CIERTO INTEGRAL 391
§ 1. La longitud de arco de una curva 391
1. El concepto de curva simple (391). 2. El concepto de curva parametrizable (392). 3. La longitud del arco de la curva. El concepto de curva rectificable (394). 4. Criterio de rectificabilidad de una curva. Calcule la longitud del arco de una curva (397). 5. Diferencial de arco (402). 6. Ejemplos (403).
! § 2. El área de una figura plana 405
1. El concepto de límite de un conjunto y una figura plana (405).
2. El área de una figura plana (406). 3. El área es curva
sector trapezoidal y curvo (414). 4. Ejemplos de cálculo de áreas (416).
§ 3. Volumen de un cuerpo en el espacio 418
1. Volumen corporal (418). 2. Algunas clases de cuerpos en cubos (419). 3. Ejemplos (421).
Capítulo 11. MÉTODOS APROXIMADOS PARA CALCULAR LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN Y LOS INTEGRALES DEFINITIVOS ...
§ 1. Métodos aproximados para calcular las raíces de ecuaciones. ... 422 1. El método de la bifurcación (422). 2. Método de iteraciones (423). 3. Métodos de acordes y tangentes (426).
§ 2. Métodos aproximados para calcular integrales definidas 431 1. Observaciones introductorias (431). 2. Método de los rectángulos (434).
3. El método del trapecio (436). 4. Método de la parábola (438).
Capítulo 12. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ... 442
§ 1. El concepto de función de m variables 442
1. El concepto de coordenadas m-dimensionales y espacios euclidianos de jugador (442). 2. Conjuntos de puntos del espacio euclidiano m-dimensional (445). 3. El concepto de función de m variables (449).
§ 2. El límite de una función de m variables 451
1. Secuencias de puntos en el espacio Em (451). 2. Propiedad de una secuencia acotada de puntos Em (454). 3. Límite de la función de m variables (455). 4. Funciones infinitesimales de m variables (458). 5. Límites repetidos (459).
§ 3. Continuidad de una función de m variables 460
1. El concepto de continuidad de una función de m variables (460).
2. Continuidad de una función de m variables en una variable (462). 3. Propiedades básicas de funciones continuas de varias variables (465).
§ 4. Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables 469
1. Derivadas parciales de funciones de varias variables (469). 2. Diferenciabilidad de una función de varias variables (470). 3. El significado geométrico de la condición diferenciable para una función de dos variables (473). 4. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad (474). 5. El diferencial de una función de varias variables (476). 6. Diferenciación de una función compleja (476). 7. Invarianza de la forma del primer diferencial (480). 8. Derivada direccional. Gradiente (481).
§ 5. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores. 485 1. Derivadas parciales de órdenes superiores (485). 2. Diferenciales de órdenes superiores (490). 3. Fórmula de Taylor con resto en Lagrange y forma integral 497 4. Fórmula de Taylor con resto de Peano (500).
6. Extremo local de una función de m variables .... 504 1. El concepto de un extremo de una función de m variables. Condiciones necesarias para un extremo 504 2. Condiciones suficientes para un extremo local de una función de m variables (506). 3. El caso de una función de dos variables (512).
Apéndice 1. Método de gradiente para encontrar el extremo de una función fuertemente convexa 514
1. Conjuntos convexos y funciones convexas (515). 2. Existencia de un mínimo para una función fuertemente convexa y unicidad de un mínimo para una función estrictamente convexa (521).
3. Hallar el mínimo de una función fuertemente convexa (526).
Apéndice 2. Espacios métricos normativos. ... 535
Espacios métricos. 1. Definición de espacio métrico. Ejemplos (535). 2. Conjuntos abiertos y cerrados (538). 3. Producto directo de espacios métricos (540). 4. En todas partes conjuntos densos y perfectos (541). 5. Convergencia. Asignaciones continuas 543 6. Compacidad (545). 7. Base de espacio (548).
Propiedades de los espacios métricos 550
Espacios topológicos 558
1. Definición de un espacio topológico. Espacio topológico de Hausdorff. Ejemplos (558). 2. Un comentario sobre los espacios topológicos (562).
Espacios lineales normativos, operadores lineales 564
1. Definición de espacio lineal. Ejemplos (564).
2. Espacios normalizados. Espacios banach.
Ejemplos (566). 3. Operadores en espacios lineales y normativos (568). 4. Espacio de operadores (569).
5. Tarifa del operador (569). 6. El concepto de espacio de Hilbert (572).
Apéndice 3. Cálculo diferencial en espacios lineales normativos. 574
1. El concepto es diferenciable. Diferenciabilidad fuerte y débil en espacios lineales normativos 575
2. Fórmula de Lagrange de incrementos finitos (581).
3. La conexión entre diferenciabilidad débil y fuerte (584). 4. Diferenciabilidad de funcionales (587). 5. Integral de funciones abstractas (587). 6. La fórmula de Newton-Leibniz para funciones abstractas (589). 7. Derivadas de segundo orden (592). 8. Mapeo del espacio euclidiano m-dimensional en n-dimensional (595). 9. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores (598). 10. Fórmula de Taylor para mapear un espacio normado con otro (599).
Investigación del extremo de funcionales en normalizado
espacios. 602
1. Condición necesaria para un extremo (602). 2. Condiciones suficientes para un extremo (605).
Capítulo 13. Funciones implícitas 609
§ 1. Existencia y diferenciabilidad de una función definida implícitamente 610
1. Teorema sobre la existencia y diferenciabilidad de una función implícita (610). 2. Cálculo de derivadas parciales de una función implícitamente dada (615). 3. Puntos singulares de una superficie y una curva plana (617). 4. Condiciones que aseguran la existencia de la función inversa (618) para la función y =) (x).
§ 2. Funciones implícitas definidas por un sistema de funciones
ecuaciones 619
1. El teorema de la solubilidad del sistema de ecuaciones funcionales (619). 2. Cálculo de derivadas parciales de funciones determinadas implícitamente mediante el sistema de ecuaciones funcionales (624). 3. Mapeo uno a uno de dos conjuntos de espacio m-dimensional (625).
§ 3. Dependencia de funciones 626
1. El concepto de dependencia funcional. Condición suficiente para la independencia (626). 2. Matrices funcionales y sus aplicaciones (628).
§ 4. Extremo condicional. 632
1. El concepto de un extremo condicional (632). 2. El método de los multiplicadores de Lagrange indefinidos (635). 3. Suficiente. condiciones (636). 4. Ejemplo (637).
Apéndice 1. Mapeos de espacios de Banach. Un análogo del teorema de la función implícita 638
1. Teorema sobre la existencia y diferenciabilidad de una función implícita (638). 2. El caso de los espacios de dimensión finita (644). 3. Puntos singulares de una superficie en el espacio de n dimensiones. Mapeo inverso (647). 4. Extremo condicional en el caso de mapeos de espacios normativos (651).

Parte 2. - Continuación del curso.

TABLA DE CONTENIDO
Prólogo 5
CAPÍTULO 1. NÚMERO DE SERIE 7
§ 1. El concepto de serie numérica 7
1. Hileras convergentes y divergentes (7). 2. El criterio de Cauchy para la convergencia de series (10)
§ 2. Serie con términos no negativos 12 "
1. Condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie con términos no negativos (12). 2. Signos de comparación (13). 3. Los signos de d'Alembert y Cauchy (16). 4. Criterio de Cauchy integral - McLauren (21). 5, signo de Raabe (24). 6. Falta de series de comparación universales (27)
§ 3. Series absoluta y condicionalmente convergentes 28
1. Los conceptos de serie convergente absoluta y condicional (28). 2. Sobre la permutación de los términos de la serie condicionalmente convergente (30). 3. Sobre la permutación de los términos de la serie absolutamente convergente (33)
§ 4. Criterios para la convergencia de series arbitrarias 35
§ 5. Operaciones aritméticas sobre series convergentes 41
§ 6. Obras sin fin 44
1. Conceptos básicos (44). 2. Conexión entre convergencia de productos infinitos y series (47). 3. Expansión de la función sen x en un producto infinito (51)
§ 7. Métodos generalizados de suma de series divergentes .... 55
1. Método de Cesaro (método de medias aritméticas) (56). 2. Método de suma de Poisson-Abel (57)
§ 8. Una teoría elemental de series dobles y repetidas 59
CAPÍTULO 2. SECUENCIAS FUNCIONALES Y SERIES 67
§ 1. Los conceptos de convergencia en un punto y convergencia uniforme en un conjunto 67
1. Conceptos de secuencia funcional y serie funcional (67). 2. Convergencia de una secuencia funcional (serie funcional) en un punto y en un conjunto (69). 3. Convergencia uniforme en el plató (70). 4. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de la secuencia (serie) (72)
§ 2. Criterios suficientes para la convergencia uniforme de secuencias funcionales y series 74
§ 3. Transición por término hasta el límite 83
§ 4. Integración término por término y diferenciación término por término de secuencias funcionales y series 87
1. Integración término por término (87). 2. Diferenciación de términos (90). 3. Convergencia media (94)
§ 5. Equicontinuidad de una secuencia de funciones ... 97
§ 6. Serie de potencias 102
1. Serie de potencias y su región de convergencia (102). 2. Continuidad de la suma de las series de potencias (105). 3. Integración término por término y diferenciación término por término de la serie de potencias (105)
§ 7. Ampliación de funciones en series de potencia 107
1. Ampliación de una función en una serie de potencias (107). 2. Ampliación de algunas funciones elementales en la serie de Taylor (108). 3. Conceptos elementales de las funciones de una variable compleja (PO). 4. Teorema de Weierstrass sobre la aproximación uniforme de una función continua por polinomios (112)
CAPÍTULO 3. INTEGRALES DOBLES Y n-MÚLTIPLES 117
§ 1. Definición y condiciones para la existencia de una integral doble. ... ... 117
1. Definición de integral doble para un rectángulo (117).
2. Condiciones para la existencia de una integral doble para un rectángulo (119). 3. Definición y condiciones para la existencia de una integral doble para una región arbitraria (121). 4. Definición general de integral doble (123)
"§ 2. Propiedades básicas de la integral doble 127
§ 3. Reducción de una integral doble a una integral simple repetida. ... ... 129 1. El caso de un rectángulo (129). 2. El caso de una región arbitraria (130)
§ 4. Integrales triples y nupciales 133
§ 5. Cambio de variables en la integral de n pliegues 138
§ 6. Cálculo de volúmenes de cuerpos n-dimensionales 152
§ 7. Un teorema sobre la integración término por término de secuencias funcionales y series 157
$ 8. Integrales impropias múltiples 159
1. El concepto de múltiples integrales impropias (159). 2. Dos criterios para la convergencia de integrales impropias de funciones no negativas (160). 3. Integrales impropias de funciones alternas (161). 4. Valor principal de múltiples integrales impropias (165)
CAPÍTULO 4. INTEGRALES CURVAS-LINEALES 167
§ 1. Los conceptos de integrales curvilíneas de primer y segundo tipo. ... ... 167
§ 2. Condiciones para la existencia de integrales curvilíneas 169
CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE SUPERFICIE 175
§ 1. Los conceptos de superficie y su área 175
1. El concepto de superficie (175). 2. Lemas auxiliares (179).
3. Superficie (181)
§ 2. Integrales de superficie 185
CAPÍTULO 6. TEORÍA DE CAMPO. FÓRMULAS BÁSICAS DE ANÁLISIS INTEGRAL 190
§ 1. Notación. Bases biortogonales. Invariantes de un operador lineal 190
1. Notación (190). 2. Bases biortogonales en el espacio E "(191). 3. Transformaciones de bases. Covariantes y contravariantes del vector (192). 4. Invariantes de un operador lineal. Divergencia y rizo (195). 5. Expresiones para el divergencia y curvatura de un operador lineal en una base ortonormal (Ш8)
§ 2. Campos escalares y vectoriales. Operadores diferenciales de análisis vectorial 198
!. Campos escalares y vectoriales 198 2. Divergencia, rotor y derivada direccional del campo vectorial (203). 3. Algunas otras fórmulas de análisis vectorial (204). 4. Observaciones finales (206)
§ 3. Fórmulas integrales básicas de análisis 207
1. Fórmula de Green (207). 2. Fórmula Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Fórmula de Stokes (214)
§ 4. Condiciones para la independencia de una integral curvilínea en el plano del camino de integración 218
§ 5. Algunos ejemplos de aplicaciones de la teoría de campos 222
1. Expresión del área de una región plana en términos de la integral curvilínea (222). 2. Expresión del volumen en términos de la integral de superficie (223)
Suplemento del Capítulo 6. Formas diferenciales en el espacio euclidiano 225
§ 1. Formas polilineales alternas de signos 225
1. Formas lineales (225). 2. Formas bilineales (226). 3. Formas polilineales (227). 4. Formas multilineales alternas (228). 5. Producto externo de formas alternas (228). 6. Propiedades del producto externo de formas alternas (231). 7. Base en el espacio de formas alternas (233)
§ 2. Formas diferenciales 235
1. Notación básica (235). 2. Diferencial externo (236). 3. Propiedades del diferencial externo (237;)
§ 3. Mapeos diferenciables 2391
1. Definición de asignaciones diferenciables (239). 2. Propiedades de la pantalla φ * (240)
§ 4. Integración de formas diferenciales 243
1. Definiciones (243). 2. Circuitos diferenciados (245). 3. La fórmula de Stokes (248). 4. Ejemplos (250)
CAPÍTULO 7. INTEGRALES SEGÚN PARÁMETROS 252
§ 1. La convergencia de una función de dos variables al límite en otra variable, uniforme en una variable 252
1. Conexión de la convergencia uniforme en una variable de una función de dos variables al límite en la otra variable con la convergencia uniforme de la secuencia funcional (252). 2. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una función al límite (254). 3. Aplicaciones del concepto de aspiración uniforme a la función límite (254)
§ 2. Integrales propias según el parámetro 256
1. Propiedades de la integral en función del parámetro (256). 2. El caso en el que los límites de integración dependen del parámetro (257)
§ 3. Integrales impropias dependiendo de un parámetro 259
1. Integrales impropias del primer tipo, según el parámetro (260). 2. Integrales impropias del segundo tipo, según el parámetro (266)
§ 4. Aplicación de la teoría de integrales en función de un parámetro al cálculo de algunas integrales impropias 267
§ 5. Integrales de Euler 271
a la función Γ (272). 2. Función B (275). 3. Conexión entre integrales de Euler (277). 4. Ejemplos (279)
§ 6. Fórmula de Stirling 280
§ 7. Integrales múltiples según parámetros 282
1. Múltiples integrales propias según los parámetros (282).
2. Integrales múltiples incorrectas según el parámetro (283)
CAPÍTULO 8. SERIE FOURIER 287
§ 1. Sistemas ortonormales y serie general de Fourier 287
1. Sistemas ortonormales (287). 2. El concepto de la serie general de Fourier (292)
§ 2. Sistemas ortonormales cerrados y completos 295
§ 3. Cerramiento del sistema trigonométrico y consecuencias del mismo. ... 298 1. Aproximación uniforme de una función continua mediante polinomios trigonométricos (298). 2. Prueba de la cerrazón del sistema trigonométrico (301). 3. Consecuencias del cierre del sistema trigonométrico (303)
§ 4. Las condiciones más simples para la convergencia uniforme y la diferenciación término por término de una serie de Fourier trigonométrica 304
1. Observaciones introductorias (304). 2. Las condiciones más simples para la convergencia absoluta y uniforme de la serie trigonométrica de Fourier (306).
3. Las condiciones más simples para la diferenciación término por término de una serie trigonométrica de Fourier (308)
§ 5. Condiciones más precisas para la convergencia uniforme y condiciones para la convergencia en un punto dado 309>
1. Módulo de continuidad de funcionamiento. Clases de Hölder (309). 2. Expresión de la suma parcial de la serie trigonométrica de Fourier (311). 3. Sentencias auxiliares (314). 4. El principio de localización (317). 5. Convergencia uniforme de la serie trigonométrica de Fourier para una función de la clase de Hölder (319). 6. Sobre la convergencia de la serie trigonométrica de Fourier de una función de Hölder a trozos (325). 7. Sumabilidad de la serie trigonométrica de Fourier de una función continua por el método de las medias aritméticas (329). 8. Observaciones finales (331)
§ 6. Serie de Fourier trigonométrica múltiple 332
1. Conceptos de series de Fourier trigonométricas múltiples y sus sumas parciales rectangulares y esféricas (332). 2. Módulo de continuidad y clases de Hölder para una función de N variables (334). 3. Condiciones para la convergencia absoluta de múltiples series trigonométricas de Fourier (335)
CAPÍTULO 9. TRANSFORMACIÓN FOURIER 33 "
§ 1. Representación de una función por la integral de Fourier 339
1. Declaraciones auxiliares (340). 2. El teorema principal. Fórmula de inversión (342). 3. Ejemplos (347)
§ 2. Algunas propiedades de la transformada de Fourier 34 &
§ 3. Integral de Fourier múltiple 352

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Teoría.

NUEVO. Natanzon S.M. Un curso corto de análisis matemático. 2004 año. 98 páginas djvu. 1,2 Mb.
Esta publicación es una breve transcripción de un curso de conferencias impartidas por el autor para estudiantes de primer año de la Universidad Independiente de Moscú en los años académicos 1997-1998 y 2002-2003.

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NUEVO. E.B. Boronina. Análisis matemático. Notas de lectura. 2007 año. 160 páginas pdf. 2,1 Mb.
Este libro está escrito para estudiantes técnicos que deseen prepararse para el examen de análisis matemático. El contenido de este libro es totalmente coherente con el programa del curso "Análisis matemático", cuyo examen se ofrece en la mayoría de las instituciones de educación superior en Rusia. El programa ayuda a encontrar de forma rápida y sin dificultades innecesarias la respuesta necesaria a la pregunta planteada.
Las preguntas fueron recopiladas por el autor en base a su experiencia personal, teniendo en cuenta los requisitos de los profesores.

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Arkhipov, Sadovnichy, Chubarikov. Conferencias sobre análisis matemático. Análisis tutorial. 1999 año. 635 págs. Djvu. 5,2 MB.
El libro es un libro de texto sobre el curso de análisis matemático y está dedicado al cálculo diferencial e integral de funciones de una y varias variables. Se basa en conferencias impartidas por los autores en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. M.V. Lomonosov. El libro de texto propone un nuevo enfoque para la presentación de una serie de conceptos básicos y teoremas de análisis, así como del contenido mismo del curso. Para estudiantes de universidades, universidades pedagógicas y universidades con estudio en profundidad de matemáticas

A.P. Aksenov Análisis matemático. (Serie de Fourier. Integral de Fourier. Suma de series divergentes.) Libro de texto. 1999 año. 86 páginas PDF 1,2 Mb.
El manual corresponde a la norma estatal de la disciplina "Análisis Matemático" de la dirección de formación de grado 510200 "Matemática Aplicada e Informática".
Contiene una presentación de material teórico de acuerdo al programa actual sobre los temas: "Serie de Fourier", "Integral de Fourier", "Suma de series divergentes". Se dan numerosos ejemplos. Se presenta la aplicación de los métodos de Cesaro y Abel-Poisson en la teoría de series. Se considera la cuestión del análisis armónico de funciones dadas empíricamente.
Está destinado a estudiantes de la Facultad de Física y Mecánica de las especialidades 010200, 010300, 071100, 210300, así como a profesores que imparten clases prácticas.

Aksenov. Análisis matemático. (Integrales en función de un parámetro. Integrales dobles. Integrales curvilíneas.) Libro de texto SPb. año 2000. 145 págs. PDF. Tamaño 2,3 Mb. djvu.
El manual corresponde a la norma estatal de la disciplina "Análisis Matemático" de la dirección de formación de grado 510200 "Matemática Aplicada e Informática". Contiene una presentación de material teórico de acuerdo con el programa actual sobre los temas: "Integrales en función de un parámetro, propias e impropias", "Integrales dobles", "Integrales curvilíneas de primer y segundo tipo", "Cálculo de las áreas de superficies curvas, dadas tanto ecuaciones explícitas como paramétricas "," Integrales de Euler (función Beta y función Gamma) ". Desmontó una gran cantidad de ejemplos y problemas (un total de 47).

De Bruyne. Métodos asintóticos en análisis. 245 páginas djvu. 1,6 Mb.
El libro contiene una presentación elemental de una serie de métodos utilizados en el análisis para obtener fórmulas asintóticas. La importancia de los métodos descritos en el libro, la claridad y accesibilidad de la presentación hacen que este libro sea muy valioso para que todos los principiantes se familiaricen con tales métodos. El libro es de indudable interés también para quienes ya están familiarizados con esta área de análisis.

Stefan Banach. Cálculo diferencial e integral. 1966 año. 437 págs. Djvu. 7,7 Mb.
Stefan Banach es uno de los más grandes matemáticos del siglo XX. Este libro fue concebido por él como un manual para un conocimiento inicial del tema. Mientras tanto, el autor logró iluminar magistralmente casi todo el material básico del cálculo diferencial e integral en un libro de pequeño volumen, sin asustar al lector con escrupuloso rigor de presentación.
El libro se distingue por su sencillez y brevedad de presentación. Contiene muchos ejemplos bien elegidos, así como problemas de solución independiente. Diseñado para estudiantes de colegios técnicos (especialmente cursos por correspondencia), institutos pedagógicos, así como para trabajadores técnicos y de ingeniería que deseen refrescar su memoria sobre los hechos básicos del cálculo diferencial e integral.
Al preparar la segunda edición, se tuvo en cuenta la experiencia de enseñar este libro en algunas instituciones de educación técnica superior; a este respecto, se han realizado algunas adiciones al libro y se han corregido algunos lugares del texto. Esto acercó el libro al nivel de los libros de texto modernos sobre análisis matemático e hizo posible su uso en las universidades técnicas.

B.M. Budak, S.V. Fomin. Múltiplos y rangos. Libro de texto.1965. 606 págs. Djvu. 4,6 Mb.
Para Phys.-Mat. facultades de universidades.
¡¡¡RECOMENDAR!!!. Especialmente para FÍSICOS.

Viosagmir I.A. Matemáticas superiores para tontos. Límite de función. 2011. 95 págs. Pdf. 6,1 Mb.
Les doy la bienvenida a mi primer libro sobre límites de funciones. Esta es la primera parte de mi futura serie "Matemáticas superiores para principiantes". El título del libro ya debería decirte mucho sobre él, pero es posible que no lo entiendas en absoluto. Este libro no está dedicado a los "tontos", sino a todos aquellos que tienen dificultades para entender lo que hacen los profesores en sus libros. Estoy seguro de que me comprendes. Yo mismo he estado y estoy en tal situación que simplemente tengo que leer la misma frase varias veces. ¿Esto es normal? Creo que no.
Entonces, ¿en qué se diferencia mi libro de todos los demás? En primer lugar, este es un lenguaje normal, no “abstruso”; en segundo lugar, aquí se han analizado muchos ejemplos que, por cierto, sin duda le serán de utilidad; en tercer lugar, el texto tiene una diferencia significativa entre sí: las cosas principales están resaltadas con ciertos marcadores y, finalmente, mi objetivo es solo uno: su comprensión. Solo se requiere una cosa de ti: deseo y habilidad. "¿Habilidades?" - usted pregunta. ¡Sí! Capacidad para recordar y comprender.

V.N. Gorbuzov. Análisis matemático: integrales en función de parámetros. Uch. tolerancia. 2006 año. 496 páginas PDF. 1,6 Mb.
Se presenta el cálculo diferencial e integral de funciones dadas por ciertas integrales impropias que dependen de parámetros. Está dirigido a estudiantes universitarios que cursan las especialidades de matemáticas y física, así como a estudiantes de especialidades técnicas con un programa extendido en matemáticas.

Dorogovtsev A.Ya. Análisis matemático. Un curso corto de forma moderna. Segunda edicion. 2004 año. 560 páginas djvu. 5,1 MB.
El libro contiene una breve y al mismo tiempo bastante completa en términos de cobertura de la presentación material del curso moderno de análisis matemático. El libro está diseñado principalmente para estudiantes de universidades y universidades técnicas y está destinado al estudio inicial del curso. Se ofrece una presentación modernizada de varias secciones: funciones de varias variables, integrales múltiples, integrales sobre múltiples, una explicación de la fórmula de Stokes, etc. El material teórico está ilustrado por una gran cantidad de ejercicios y ejemplos. ... Para estudiantes universitarios, profesores de matemáticas, ingenieros y trabajadores técnicos.

Egorov V.I., Salimova A.F. Integrales definidas y múltiples. Elementos de la teoría de campos. 2004 año. 256 páginas djvu. 1,6 Mb.
La publicación presenta la teoría y las principales aplicaciones de integrales definidas y múltiples, así como elementos de la teoría de campo. El material está adaptado al programa moderno de educación matemática en instituciones de educación técnica superior, para su uso en sistemas de capacitación en computación. El libro está destinado a estudiantes de universidades técnicas. También puede ser útil para profesores, ingenieros, científicos.
Libro claramente impreso. Todos los enunciados de la teoría se muestran mediante ejemplos. Lo recomiendo como literatura adicional para comprender el material.

Evgrafov. Estimaciones asintóticas y funciones completas. 320 páginas djvu. 3,2 Mb.
El libro está dedicado a la presentación de varios métodos de estimaciones asintóticas (método de Laplace, método del punto de silla, teoría de los residuos) utilizados en la teoría de funciones completas. Los métodos se ilustran principalmente sobre la base de esta teoría. Se supone que el lector no conoce los hechos principales de la teoría de funciones completas; su presentación se incluye orgánicamente en la estructura del libro. Se ha añadido un capítulo sobre las asintóticas de los mapeos conformes a la 3ª edición. El libro está diseñado para un amplio contingente de lectores, desde estudiantes hasta trabajadores científicos, tanto matemáticos como especialistas aplicados.

ME GUSTARÍA. Zel'dovich, I.M. Yaglom. Matemáticas superiores para físicos y técnicos novatos. 1982 año. 514 págs. Djvu. 12,3 Mb.
Este libro es una introducción al cálculo. Junto con la presentación de los inicios de la geometría analítica y el análisis matemático (cálculo diferencial e integral), el libro contiene los conceptos de potencia y series trigonométricas y las ecuaciones diferenciales más simples, y también toca una serie de apartados y temas de la física (mecánica y teoría de oscilaciones, teoría de circuitos eléctricos, desintegración radiactiva, láseres, etc.). El libro está dirigido a lectores interesados en las aplicaciones de las ciencias naturales de las matemáticas superiores, profesores de universidades y colegios técnicos, así como futuros físicos e ingenieros.

Zeldovich, Yaglom. El libro consta de tres partes: 1. Elementos de matemáticas superiores. Contiene: Funciones y gráficos (50 páginas) (, Qué es una derivada (50 páginas), Qué es una integral (20 páginas), Cálculo de derivadas (20 páginas), Técnica de integración (20 páginas), Serie, ecuaciones diferenciales elementales ( 35 páginas), Investigación de funciones, varios problemas de geometría (55 páginas). 2. Aplicaciones de las matemáticas superiores a algunas cuestiones de física y tecnología (160 páginas). Contiene: Desintegración radiactiva y fisión de núcleos, Mecánica, Oscilaciones, Movimiento térmico de moléculas, distribución de la densidad del aire en la atmósfera, absorción y emisión de luz, láseres, circuitos eléctricos y movimientos oscilatorios en ellos 3. Temas adicionales de matemáticas superiores (50 páginas). Contiene: Números complejos, Qué funciones necesita la física, Maravilloso Función delta de Dirac, Algunas aplicaciones de la función de variable compleja y las funciones delta 4. Apéndices, Respuestas, Direcciones, Soluciones Truncado, ¿qué tipo de libro? Puede volverse loco leyendo una tabla de contenido. ESTE LIBRO ES SOBRE CÓMO UTILIZAR LAS MATEMÁTICAS. Por cierto, estudiándolo, inevitablemente, también aprenderá física. Súper. djvu, 500 páginas Tamaño 8,7 MB.

Zorich V.A. Análisis matemático. En 2 partes. Libro de texto. 1 - 1997, 2 - 1984. 567 + 640 páginas djvu. 9,6 + 7,4 Mb.
Libro de texto universitario para estudiantes de especialidades físicas y matemáticas. Puede ser útil para estudiantes de facultades y universidades con formación matemática avanzada, así como para especialistas en matemáticas y sus aplicaciones. El libro refleja la conexión entre el curso de análisis clásico y los cursos matemáticos modernos (álgebra, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, complejo y análisis funcional).
La primera parte incluyó: una introducción al análisis (símbolos lógicos, conjunto, función, número real, límite, continuidad); cálculo diferencial e integral de una función de una variable; cálculo diferencial de funciones de varias variables.
La segunda parte del tutorial incluye las siguientes secciones: Integral multivariante. Formas diferenciales y su integración. Series e integrales en función de un parámetro (incluidas series y transformadas de Fourier, así como expansiones asintóticas).

Manuales de resolución de problemas.

NUEVO. Sadovnnichaya I.V., Khoroshilova E.V. La integral definida: teoría y práctica de la computación. 2008 año. 528 págs. Djvu. 2,7 Mb.
La publicación está dedicada a los aspectos teóricos y prácticos del cálculo de integrales definidas, así como a los métodos de su estimación, propiedades y aplicaciones a la solución de diversos problemas geométricos y físicos. El libro contiene secciones dedicadas a métodos para calcular integrales propias, propiedades de integrales impropias, aplicaciones geométricas y físicas de una integral definida, así como algunas generalizaciones de la integral de Riemann: integrales de Lebesgue y Stieltjes.
La presentación del material teórico se apoya en un gran número (más de 220) ejemplos analizados del cálculo, estimación y estudio de las propiedades de integrales definidas; al final de cada párrafo, hay tareas para una solución independiente (más de 640, la inmensa mayoría - con soluciones).
El propósito del manual es ayudar al alumno durante el transcurso del tema "La integral definida" en las clases magistrales y prácticas. Un estudiante puede contactarlo para obtener información de antecedentes sobre el problema que ha surgido. El libro también puede ser útil para los profesores y para todos los que quieran estudiar este tema con suficiente detalle y amplitud.

NUEVO. Khoroshilova E.V. Análisis matemático: integral indefinida. (para ayudar con los ejercicios prácticos). 2007 año. 184 págs. Djvu. 822 Kb.
El libro proporciona información teórica básica sobre integrales indefinidas, considera la mayoría de las técnicas y métodos de integración conocidos y varias clases de funciones integrables (indicando los métodos de integración). La presentación del material se apoya en una gran cantidad de ejemplos analizados de cálculo de integrales (más de 200 integrales), al final de cada párrafo hay problemas de solución independiente (más de 200 problemas con respuestas).
El manual contiene los siguientes párrafos: "El concepto de integral indefinida", "Métodos básicos de integración", "Integración de fracciones racionales", "Integración de funciones irracionales", "Integración de funciones trigonométricas", "Integración de funciones hiperbólicas, exponenciales , logarítmicas y otras funciones trascendentales ". El libro está destinado a dominar la teoría de la integral indefinida en la práctica, desarrollando las habilidades de integración práctica, consolidando el curso de las clases magistrales, utilizándola en seminarios y durante la preparación de tareas. El propósito del manual es ayudar al estudiante a dominar diversas técnicas y métodos de integración.
Para estudiantes universitarios, incluidas las especialidades matemáticas, que estudian cálculo integral como parte de un curso de análisis matemático.

NUEVO. V.F. Butuzov, N. Ch. Krutitskaya, G.N. Medvedev, A.A. Shishkin. Análisis matemático en preguntas y tareas: Libro de texto. tolerancia. 5ta ed., Rev. 2002 año. 480 páginas djvu. 3,8 Mb.
El manual cubre todas las secciones del curso de análisis matemático de funciones de una y varias variables. Para cada tema, se resume la información teórica básica y se sugieren preguntas de prueba; proporciona soluciones para tareas estándar y no estándar; Se dan tareas y ejercicios para el trabajo independiente con respuestas e instrucciones. Cuarta edición 2001
Para estudiantes universitarios.

AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. Burtsev. Métodos para la resolución de problemas de examen de análisis matemático del 2º semestre del 1º curso. 2010 año. pdf, 56 págs. 275 Kb.
Variantes de tareas para cuatro anteriores. del año.

Vinogradova IA et al.Problemas y ejercicios de análisis matemático (parte 1). 1988 año. djvu, 416 págs. 5,0 Mb.
La colección se compila sobre la base de lecciones en el curso de análisis matemático en el primer año de la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú y refleja la experiencia de enseñar en el Departamento de Análisis Matemático. Consta de dos partes, correspondientes al semestre I y II. En cada parte, los ejercicios de cálculo y los problemas teóricos se destacan por separado. La primera parte incluye la construcción de croquis de gráficas de funciones, cálculo de límites, cálculo diferencial de funciones de una variable real, problemas teóricos. La segunda parte: integral indefinida, integral de Riemann definida, cálculo diferencial de funciones de varias variables, problemas teóricos. En los capítulos que contienen ejercicios computacionales, cada párrafo está precedido por instrucciones metodológicas detalladas. Contienen todas las definiciones utilizadas en esta sección, la formulación de los teoremas principales, la derivación de algunas relaciones necesarias, se dan soluciones detalladas de problemas típicos y se llama la atención sobre los errores que se encuentran con frecuencia. La mayoría de los problemas y ejercicios son diferentes de los problemas contenidos en el conocido libro de problemas de BP Demidovich. Ambas partes de la colección incluyen alrededor de 1800 ejercicios de cálculo y 350 problemas teóricos.

Vinogradova I. A. et al.Problemas y ejercicios de análisis matemático (parte 2). 1991 año. djvu, 352 pág. 3,2 Mb.
El libro de problemas corresponde al curso de análisis matemático presentado en el segundo año, y contiene las siguientes secciones: integrales dobles y triples y sus aplicaciones geométricas y físicas, integrales curvilíneas y superficiales de primer y segundo tipo. Se proporciona la información teórica necesaria, algoritmos típicos adecuados para resolver clases enteras de problemas, se dan instrucciones metodológicas detalladas.

Vinogradov y col. Ed. Sadovnichy. Tareas y ejercicios de análisis matemático. 51 páginas PDF. 1,9 Mb.
La sección sobre gráficos se considera con gran detalle. 35 páginas están ocupadas por los ejemplos considerados.

Zheltukhin. Integrales indefinidas: métodos de cálculo. 2005 año. Tamaño 427 Kb. PDF, 80 páginas, una guía útil que se puede utilizar como referencia. No solo presenta todos los métodos para calcular integrales, sino que también ofrece muchos ejemplos para cada regla. Recomendar.

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Zaporozhets. Una guía para resolver problemas en análisis matemático. 4ª ed. 460 páginas djvu. 7,7 Mb.
Cubre todas las secciones desde el estudio de funciones hasta la resolución de ecuaciones diferenciales. Un libro útil.

Kalinin, Petrova, Kharin. Integrales indefinidas y definidas. 2005 año. PDF de 230 páginas. 1,2 Mb.
Finalmente, los matemáticos comenzaron a escribir libros para físicos y otros estudiantes de especialidades técnicas, y no para ellos mismos. Lo recomiendo si quieres aprender a calcular, no probar lemas y teoremas.

Kalinin, Petrova. Integrales múltiples, curvilíneas y de superficie. Tutorial. 2005 año. PDF de 230 páginas. 1,2 Mb.
Este tutorial proporciona ejemplos de cómo calcular varias integrales.

Kaplan. Clases prácticas de matemáticas superiores. Geometría analítica, cálculo diferencial, cálculo integral, integración de ecuaciones diferenciales. En 2 archivos en un archivo. General 925 p. Djvu. 6,9 Mb.
Se consideran ejemplos de resolución de problemas a lo largo del curso de matemáticas generales.

K.N. Lungu, etc. Colección de problemas en matemáticas superiores. Parte 2 para el segundo curso. 2007 año. djvu, 593 páginas 4,1 Mb.
Series e integrales. Análisis vectorial y complejo. Ecuaciones diferenciales. Teoría de probabilidad. Cálculo operacional. Este no es solo un libro de problemas, sino también un tutorial. Puede usarlo para aprender a resolver problemas.

Lungu, Makarov. Matemáticas avanzadas. Guía para la resolución de problemas. Parte 1. Año 2005. Tamaño 2.2 Mb. djvu, 315 págs.

I A. Granate. Cálculo diferencial e integral en ejemplos y problemas (Funciones de una variable). 1970 año. djvu. 400 páginas 11,3 MB.
El libro es un libro de texto para resolver problemas de análisis matemático (funciones de una variable). Contiene breves introducciones teóricas, soluciones a ejemplos típicos y tareas para una solución independiente. Además de tareas de carácter algorítmico y computacional, contiene muchas tareas que ilustran la teoría y contribuyen a su asimilación más profunda, desarrollando el pensamiento matemático independiente de los estudiantes. El propósito del libro es enseñar a los estudiantes a resolver problemas de forma independiente en el curso de análisis matemático.

D.T. Escritura. Matemáticas superiores 100 preguntas del examen. 1999 año. djvu. 304 págs. 9,3 MB.
Este manual está destinado principalmente a los estudiantes que se preparan para el examen de matemáticas de primer año superior. Contiene las respuestas a las preguntas del examen oral, expuestas de forma concisa y accesible. El manual puede ser útil para todas las categorías de estudiantes que estudian matemáticas superiores en un volumen u otro. Contiene el material necesario sobre 10 secciones del curso de matemáticas superiores, que suelen ser estudiadas por los estudiantes en el primer año de una universidad (escuela técnica). Las respuestas a 108 preguntas del examen (con subpárrafos, mucho más) se acompañan, por regla general, de la resolución de los ejemplos y problemas correspondientes.

Sobol B.V., Mishnyakov N.T., Porksheyan V.M. Taller de matemáticas superiores. 2006 año. 630 páginas djvu. 5,4 Mb.
El libro incluye todas las secciones del curso estándar de matemáticas superiores para una amplia gama de especialidades en instituciones de educación superior.
Cada capítulo (la sección correspondiente del curso) contiene material de referencia, así como las disposiciones teóricas básicas necesarias para la resolución de problemas. Una característica distintiva de esta publicación es una gran cantidad de problemas con soluciones, lo que le permite usarla no solo para estudios en el aula, sino también para el trabajo independiente de los estudiantes. Las tareas se presentan por tema, sistematizadas por métodos de solución. Cada capítulo se completa con un conjunto de tareas de auto-resolución, provistas de respuestas.
La exhaustividad de la presentación del material y la relativa compacidad de esta publicación permiten recomendarla a docentes y estudiantes de instituciones de educación superior, así como a estudiantes de institutos de formación superior que quieran sistematizar sus conocimientos y habilidades en esta materia.

E.P. Sulyandziga, G.A. Ushakov. PRUEBAS MATEMÁTICAS: LÍMITE, DERIVADO, ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA. Uch. tolerancia. año 2009. pdf, 127 págs. 1,1 Mb.
Este tutorial se puede considerar como una colección de tareas. Las tareas cubren temas tradicionales: los fundamentos del análisis matemático: una función, su límite y su derivada. Hay tareas sobre los conceptos básicos del álgebra lineal y la geometría analítica. Dado que el límite y la derivada de una función son más difíciles, y además, estos temas son fundamentales para el cálculo integral, se les presta la mayor atención: se analizan en detalle las soluciones de problemas típicos. El material recopilado en el libro de texto se utilizó repetidamente en ejercicios prácticos.
Para estudiantes de primer año de todas las universidades.

T. 1. Cálculo diferencial e integral de funciones de una variable.

T. 2. Filas. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables.

T. 3. Análisis de armónicos. Elementos de análisis funcional.

M.: Avutarda; Volúmen 1- 2003, 704; vol. 2- 2004, 720s.; vol. 3- 2006, 351 s.

El libro de texto corresponde al nuevo plan de estudios para universidades. En el libro de texto se presta especial atención a la presentación de métodos cualitativos y analíticos, también refleja algunas aplicaciones geométricas del análisis. Está dirigido a estudiantes universitarios tanto de física como de matemáticas, y de especialidades de ingeniería y física de colegios técnicos, así como a estudiantes de otras especialidades para una formación matemática en profundidad.

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Volumen 1. Tabla de contenido
Prólogo 3
Introducción 7
Capítulo 1
Cálculo diferencial de funciones de una variable
§ 1. Conjuntos y funciones. Símbolos lógicos 13
1.1. Conjuntos. Establecer operaciones 13
1,2 *. Funciones 16
1.3 *. Conjuntos finitos y números naturales.
1.4. Agrupaciones de elementos de un conjunto finito 29
1.5. Símbolos lógicos 33
§ 2. Números reales 35
2.1. Propiedades de los números reales 35
2,2 *. Propiedades de la suma y la multiplicación 39
2,3 *. Pedido de propiedades 47
2,4 *. Propiedad de continuidad de los números reales 51
2,5 *. Secciones en el conjunto de números reales 52
2.6 *. Potencias racionales de números reales 58
2.7. Fórmula binomial Newton 60

§ 3. Conjuntos de números 63
3.1. Recta numérica ampliada 63
3.2. Intervalos de números reales. Barrio 64
3.3. Sets limitados e ilimitados 68
3.4. Límites superior e inferior de conjuntos de números 70
3,5 *. Propiedades aritméticas superior e inferior ... 75
3.6. Principio de Arquímedes 78
3.7. Principio de línea anidada 80
3.8 *. Unicidad de un campo ordenado continuo ... 85
§ 4. Límite de una secuencia numérica 92
4.1. Determinación del límite de una secuencia numérica 92
4.2. Unicidad del límite de una secuencia numérica ... 100
4.3. Pasar al límite de las desigualdades 101
4.4. Delimitación de las secuencias convergentes 107
4.5. Secuencias monótonas 108
4.6. Teorema de Bolzano-Weierstrass 113
4.7. Criterio de Cauchy para la convergencia de una secuencia 115
4.8. Secuencias infinitesimales 118
4.9. Limitar propiedades asociadas con operaciones aritméticas en secuencias 120
4.10. Visualización de números reales con fracciones decimales infinitas 133
4.11 *. Conjuntos contables e incontables 141
4.12 *. Límites de secuencia superior e inferior 149
§ 5. Límite y continuidad de funciones 153
5.1. Funciones válidas 153
5.2. Métodos para configurar funciones 156
5.3. Funciones elementales y su clasificación 160
5.4. Primera definición del límite de una función 162
5.5. Funciones continuas 172
5.6. La condición para la existencia del límite de una función.
5.7. Segunda definición del límite de función 179
5.8. Límite de una función en la unión de conjuntos 184
5.9. Límites a un lado y continuidad a un lado ... 185
5.10. Propiedades de límite de función 189
5.11. Funciones infinitesimales e infinitamente grandes 194
5.12. Varias formas de continuidad de la grabación
5.13. Clasificación de puntos de interrupción de funciones 202
5.14. Límites de las funciones monótonas 204
5.15. Criterio de Cauchy para la existencia del límite de una función 210
5.16. El límite y la continuidad de la composición de funciones 212
§ 6. Propiedades de funciones continuas en intervalos 216
6.1. Delimitación de funciones continuas. Accesibilidad de valores extremos 216
6.2. Valores intermedios de funciones continuas 218
6.3. Funciones inversas 221
6.4. Continuidad uniforme. Módulo de continuidad ... 228
§ 7. Continuidad de las funciones elementales 235
7.1. Polinomios y funciones racionales 235
7.2. Funciones exponenciales, logarítmicas y de potencia. ... 236
7.3. Funciones trigonométricas y trigonométricas inversas 246
7.4. Continuidad de funciones elementales 248
§ 8. Comparación de funciones. Cálculo de límites 248
8.1. Algunos límites notables 248
8.2. Comparación de funciones 253
8.3. Funciones equivalentes 264
8.4. Método de resaltar la parte principal de una función y su aplicación al cálculo de límites 267
§ 9. Derivada y diferencial 271
9.1. Definición de la derivada 271
9.2. Función diferencial 274
9.3. El significado geométrico de la derivada y diferencial ... 280
9.4. El significado físico de la derivada y diferencial 284
9.5. Reglas de cálculo de derivadas relacionadas con operaciones aritméticas en funciones 288
9.6. Derivada de la función inversa 291
9,7. Derivada y diferencial de una función compuesta 294
9,8. Funciones hiperbólicas y sus derivadas 301
§10. Derivadas y diferenciales de orden superior 304
10.1. Derivadas de orden superior 304
10.2. Derivadas de orden superior de la suma y productos de funciones 306
10.3. Derivadas de orden superior de funciones complejas, funciones inversas y funciones dadas por
10.4. Diferenciales de orden superior 311
§once. Teoremas del valor medio para funciones diferenciables 313
11.1 Teorema de Fermat

11.2. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy sobre valores medios. ... 316
§12. Revelación de incertidumbres según la Regla 327 de L'Hôpital
12.1 Incertidumbres de la forma 0/0
12.2 Incertidumbres de algún tipo ----

12.3. Generalización de la regla 337 de L'Hôpital
§ 13. Fórmula de Taylor 339
13.1. Derivación de la fórmula de Taylor 339
13.2. Polinomio de Taylor como polinomio de mejor aproximación de una función en una vecindad de un punto dado 344
13.3. Fórmulas de Taylor para elemental básico
13.4. Cálculo de límites mediante la fórmula de Taylor (método de partición principal) 351
§ 14. Investigación del comportamiento de funciones 353
14.1. Monotonicidad de una función 353
14.2. Hallar los valores más grande y más pequeño de una función 356
14.3. Puntos de inflexión y abultamiento 365
14.5. Funciones de trazado 377
§ 15. Función vectorial 387
15.1. El concepto de límite y continuidad para una función vectorial 387
15.2. Derivada y diferencial de una función vectorial 391
§ 16. Longitud de la curva 397
16.3. Orientación curva. Arco de una curva. La suma de las curvas. Curvas implícitas 408
16.4. La tangente a la curva. El significado geométrico de la derivada de una función vectorial 411
16.7. El significado físico de la derivada de una función vectorial ... 425
§17. Curvatura y torsión de una curva 426
17.1. Dos lemas. Componentes de velocidad radial y transversal 426
17.2. Determinación de la curvatura de una curva y su cálculo 430
17.3. Normal principal. Plano de contacto 434
17.4. Centro de curvatura y evolución de la curva 436
17,5. Fórmulas para curvatura y evolución de una curva plana ... 437
17.6. Evolvente 444
17,7. Torsión de la curva espacial 447
17,9. Fórmulas de torsión 451
Capitulo 2
Cálculo integral de funciones de una variable
§Dieciocho. Definiciones y propiedades de una integral indefinida 453
18.1. Antiderivada e integral indefinida 453
18.2. Propiedades básicas de la integral 456
18.3. Integrales tabulares 458
18.4. Integración por sustitución (sustitución de variable) 461
18,5. Integración por partes 464
18,6 *. Generalización del concepto de antiderivada 467
§ 19. Alguna información sobre números complejos y polinomios. ... 473
19.1. Números complejos 473
19,2 *. Teoría formal de números complejos 481
19.3. Algunos conceptos de análisis en el campo de los números complejos 482
19.4. Factorizar polinomios 486
19,5 *. Máximo común divisor de polinomios 490
19.6. Descomposición de fracciones racionales regulares en elementales 495
§ 20. Integración de fracciones racionales 503
20.1. Integración de fracciones racionales elementales ... 503
20.2. Caso general 506
20,3 *. Método Ostrogradsky 508
§21. Integración de algunas irracionalidades 514
21.1. Observaciones preliminares 514
21.2. Integrales de la forma \ R \ X, [^ jf, ..., (^ if]<** 515
21.3. Integrales de la forma \ Ux, Jax2 + bx + c) dx. Sustituciones de Euler 518
21.4. Integrales de binomios diferenciales 522
21,5. Integrales de la forma) n "" Jax2 + bx + c
§ 22. Integración de algunas funciones trascendentales ... 526
22.1. Integrales tipos JR (sen x, cosx) dx 526
22.2. Integrales de la forma Jsinm x cos "x dx 528
22.3. Integrales de la forma Jsin ax cos | 3x dx 530
22.4. Integrales de funciones trascendentales calculadas por integración por partes. ... 530
22,5. Integrales de la forma J.R (sh x, ch x) dx 532
22.6. Observaciones sobre integrales no expresadas en términos de funciones elementales 532
§ 23. La integral definida 533
23.1. Definición de la integral de Riemann 533
23,2 *. Criterio de Cauchy para la existencia de una integral 539
23.3. Delimitación de una función integrable 541
23.4. Sumas Darboux superior e inferior. Integrales de Darboux superior e inferior 543
23,5. Condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad. ... 547
23,6. Integrabilidad de funciones continuas y monótonas. 548
23,7 *. Criterios para la integrabilidad de Darboux y Riemann 551
23,8 *. Fluctuación de funciones 556
23,9 *. Criterio de integrabilidad Dubois-Reymond 563
23,10 *. Criterio de integrabilidad de Lebesgue 566
§ 24. Propiedades de funciones integrables 570
24.1. Propiedades de la integral definida 570
24.2. El primer teorema del valor medio para una integral definida 583
§25. Integral definida con límites variables
25.1. Continuidad integral a lo largo del límite superior
25.2. Diferenciabilidad de la integral sobre el límite superior de integración. La existencia de una antiderivada para una función continua 588
25.3. Fórmula 591 de Newton-Leibniz
25,4 *. La existencia de una antiderivada generalizada. Fórmula de Newton-Leibniz para antiderivada generalizada. ... 592
§26. Fórmulas de cambio de variable en integral e integración por partes 596
26.1. Reemplazo variable 596
26.2. Integración por partes 600
26,3 *. El segundo teorema del valor medio para un cierto
26,4. Integrales de funciones vectoriales 606
§27. Medida de juegos abiertos planos 608
27.1. Determinación de la medida (área) de un conjunto abierto 608
27.2. Propiedades de la medida de conjuntos abiertos 612
§28. Algunas aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida 618
28.1. Cálculo de área 618
28,2 *. Desigualdades integrales de Hölder y Minkowski ... 625
28.3. El volumen de un cuerpo de revolución 630
28,4. Cálculo de la longitud de una curva 632
28,5. Superficie de revolución 637
28,6. Trabajo de poder 640
28,7. Cálculo de momentos estáticos y coordenadas del centro de gravedad de una curva 641
§ 29. Integrales impropias 644
29.1. Definición de integrales impropias 644
29.2. Fórmulas de cálculo integral para integrales impropias 652
29.3. Integrales impropias de funciones no negativas 657
29,4. Criterio de Cauchy para la convergencia de integrales impropias. 665
29,5. Integrales absolutamente convergentes 666
29,6. Investigación de la convergencia de integrales 671
29,7. Comportamiento asintótico de integrales con límites variables de integración 677
Asunto y índice nominal 685
Índice de símbolos básicos 695

Volumen 2. Tabla de contenido
Prólogo 3
Capítulo 3

Filas
§ 30. Serie de números 5
30.1. Definición de una serie y su convergencia 5
30.2. Propiedades de la serie convergente 9
30.3. Criterio de Cauchy para la convergencia de la serie 11
30.4. Filas con miembros no negativos 13
30,5. Criterio de comparación para series con miembros no negativos. Método de resaltar la parte principal de un miembro de la serie 16
30.6. Pruebas de D'Alembert y Cauchy para series con términos no negativos 20
30,7. Criterio integral para la convergencia de series con términos no negativos 23
30,8 *. Desigualdades de Hölder y Minkowski para sumas finitas e infinitas 25
30,9. Hileras alternas 27
30.10. Filas convergiendo absolutamente. Aplicación de series absolutamente convergentes al estudio de la convergencia
30.11. Pruebas de D'Alembert y Cauchy para la serie 38 de números arbitrarios
30.12. Filas convergentes que no convergen absolutamente. Teorema de Riemann 39
30.13. Abel transform. Criterios de convergencia para Dirichlet y Abel 43
30,14 *. Comportamiento asintótico de los restos de series convergentes y sumas parciales de series divergentes 48
30.15. Sumabilidad de series por el método de las medias aritméticas 52
§ 31. Obras sin fin 53
31.1. Definiciones basicas. Las propiedades más simples de los productos infinitos 53
31.2. Criterio de Cauchy para la convergencia de productos infinitos 57
31.3. Trabajos sin fin con válidos
31,4. Piezas infinitas absolutamente convergentes ... 62
31,5 *. La función Zeta de Riemann y 65 números primos
§ 32. Secuencias funcionales y series 67
32.1. Convergencia de secuencias funcionales
32.2. Convergencia uniforme de secuencias funcionales 71
32,3. Serie funcional de convergencia uniforme 79
32,4. Propiedades de series y secuencias uniformemente convergentes 90
§ 33. Serie de potencias 100
33.1. Radio de convergencia y círculo de convergencia de una serie de potencias 100
33,2 *. Fórmula de Cauchy-Hadamard para el radio de convergencia
33.3. Funciones analíticas 110
33,4. Funciones analíticas en dominio real ... 112
33,5. Ampliación de funciones en series de potencia. Diferentes formas de escribir el resto de la fórmula de Taylor. ... 116
33,6. Expansión de funciones elementales en una serie de Taylor ... 121
33,7. Métodos para ampliar funciones en Power Series 131
33,8. Fórmula de Sterling 138
33,9 *. Fórmula y series de Taylor para funciones vectoriales 141
33,10 *. Potencia asintótica Serie 143
33,11 *. Propiedades de la serie de potencias asintóticas 149
§ 34. Serie múltiple 153
34.1. Serie de números múltiples 153
34.2. Serie funcional múltiple 162
Capítulo 4
Cálculo diferencial de funciones de varias variables
§ 35. Espacios multidimensionales 165
35.1. Proximidad de puntos. Límites de secuencia
35.2. Diferentes tipos de juegos 178
35,4. Espacios vectoriales multidimensionales 203
§ 36. Límite y continuidad de funciones de varias variables
36.1. Funciones de muchas variables 210
36.2. Mapeos. Límite de asignaciones 212
36,3. Continuidad de las asignaciones en el punto 218
36,4. Propiedades del límite de visualización 220
36,5. Límites repetidos 221
36,6. El límite y la continuidad de la composición de las asignaciones ... 223
36,7. Asignaciones continuas de conjuntos compactos 226
36,8. Continuidad uniforme 229
36,9. Asignaciones continuas de conjuntos conectados por ruta 233
36.10. Propiedades de las asignaciones continuas 235
§ 37. Derivadas parciales. Diferenciabilidad de funciones de varias variables 240
37,1. Derivadas parciales y diferenciales parciales .... 240
37.2. Diferenciabilidad de funciones en el punto 244
37,3. Diferenciar una función compleja 253
37,4. Invarianza de la forma del primer diferencial con respecto a la elección de variables. Reglas de cálculo diferencial 256
37,5. El significado geométrico de derivadas parciales y diferencial total 262
37,6. Función de degradado 265
37,7. Derivada direccional 265
37,8. Un ejemplo de estudio de funciones de dos variables ... 271

§ 38. Derivadas parciales y diferenciales de órdenes superiores 273
38.1. Derivadas parciales de órdenes superiores 273
38.2. Diferenciales de orden superior 277
§ 39. Fórmula de Taylor y serie de Taylor para funciones de varias variables 281
39,1. Fórmula de Taylor para funciones de varias variables. ... 281
39.2. Fórmula de incrementos finitos para funciones de varias variables 291
39,3. Estimación del resto de la fórmula de Taylor en todo el dominio de definición de la función 292
39,4. Convergencia uniforme en el parámetro de una familia de funciones 295
39,5. Observaciones sobre la serie de Taylor para funciones de varias variables 298
§ 40. Extremos de funciones de varias variables 299
40.1. Condiciones necesarias para un extremo 299
40.2. Condiciones suficientes para un extremo estricto 302
40.3. Observaciones sobre Extrema en los sets 308
§ 41. Funciones implícitas. Vistas 309
41,1. Funciones implícitas definidas por una ecuación. ... 309
41.2. Establecer el arte 316
41,3. Funciones implícitas definidas por un sistema de ecuaciones 317
41,4. Mapeos vectoriales 328
41,5. Asignaciones lineales 329
41,6. Asignaciones diferenciables 335
41,7. Asignaciones con jacobiano distinto de cero. Principio de preservación de áreas 344
41,8. Funciones implícitas definidas por una ecuación en la que se violan las condiciones de unicidad. Puntos singulares de curvas planas 349
41,9. Reemplazo de variables 360
§ 42. Dependencia de funciones 363
42,1. Concepto de dependencia de funciones. Una condición necesaria para la dependencia de funciones 363
42.2. Condiciones suficientes para la dependencia de funciones 365
§ 43. Extremum condicional 371
43.1. El concepto de un extremo condicional 371
43.2. Método del multiplicador de Lagrange para encontrar los puntos del extremo condicional 376
43,3 *. Interpretación geométrica del método de Lagrange 379
43,4 *. Puntos estacionarios de la función de Lagrange 381
43,5 *. Condiciones suficientes para los puntos del extremo condicional 388
CAPÍTULO 5
Cálculo integral de funciones de varias variables
§ 44. Integrales múltiples 393
44.1. El concepto de volumen en el espacio n-dimensional (medida de Jordan). Conjuntos medibles 393
44.2. Conjuntos de medida cero 414
44,3. Definición de integrales múltiples 417
44,4. La existencia de una integral 424
44,5 *. Sobre la integrabilidad de funciones discontinuas 431
44,6. Propiedades de la integral múltiple 434
44,7 *. Criterios para la integrabilidad de las funciones de Riemann y Darboux
§ 45. Reducción de una integral múltiple a una repetida 451
45,1. Reducción de una integral doble a una integral repetida 451
45.2. Generalización al caso n-dimensional 459
45,3 *. Desigualdad integral de Minkowski generalizada. ... 462
45,4. Volumen de la bola i-dimensional 464
45,5. Medir la independencia de la elección del sistema de coordenadas ... 465

45,6 *. Fórmulas de Newton-Leibniz y Taylor 466
§ 46. Cambio de variables en integrales múltiples 469
46.1. Asignaciones lineales de conjuntos medibles 469
46.2. Propiedades métricas de diferenciables
46,3. La fórmula para el cambio de variables en una integral múltiple ... 482
46,4. El significado geométrico del valor absoluto del jacobiano del mapeo 490
46,5. Coordenadas curvilíneas 491
§ 47. Integrales curvilíneas 494
47.1. Integrales curvilíneas del primer tipo 494
47.2. Integrales curvilíneas de segundo tipo 498
47,3. Ampliando la clase de transformaciones admisibles
47,4. Integrales curvilíneas sobre lisas a trozos
47,5. Stieltjes Integral 505
47,6 *. Existencia de la integral de Stieltjes 507
47,7. Generalización del concepto de integral curvilínea de segundo tipo 514
47,9. Calcular áreas usando líneas curvas
47.10. El significado geométrico del signo del jacobiano del mapeo de área plana 525
47.11. Condiciones para la independencia de la integral curvilínea del camino de integración 529
§ 48. Integrales múltiples impropias 539
48.1. Definiciones básicas 539
48.2. Integrales impropias de funciones no negativas 542
48,3. Integrales incorrectas de funciones
§ 49. Algunas aplicaciones geométricas y físicas de integrales múltiples 550
49.1. Cálculo de áreas y volúmenes 550
49.2. Aplicaciones físicas de múltiples integrales 551
§ 50. Elementos de la teoría de superficies 553
50,1. Funciones vectoriales de varias variables 553
50.2. Superficies elementales 555
50,3. Superficies elementales equivalentes. Superficies definidas paramétricamente 557
50,4. Superficies implícitas 567
50,5. Plano tangente y normal a la superficie 567
50,6. Representaciones explícitas de superficies 574
50,7. La primera forma cuadrática de la superficie 578
50,8. Curvas en la superficie, calculando sus longitudes y ángulos entre ellas 580
50,9. Superficie 581
50.10. Orientación de superficie lisa 584
50.11. Unión de superficies 588
50.12. Superficies orientadas y no orientadas 592
50.13. Otro enfoque para la orientación de la superficie ... 593
50,14. Curvatura de curvas sobre una superficie. Segunda forma cuadrática de la superficie 598
50.15. Propiedades de la segunda forma de superficie cuadrática ... 601
50,16. Secciones de superficie plana 602
50.17. Secciones de superficie normal 605
50,18. Curvaturas principales. Fórmula de Euler 607
50.19. Cálculo de curvaturas principales 611
50.20. Clasificación de puntos de superficie 613
§ 51. Integrales de superficie 617
51.1. Definición y propiedades de las integrales de superficie ... 617
51.2. Fórmula para representar una integral de superficie del segundo tipo como una integral doble 621
51,3. Integrales de superficie como límites de sumas integrales 623
51,4. Integrales de superficie sobre superficies lisas a trozos 626
51,5. Generalización del concepto de integral de superficie del segundo tipo 626
§ 52. Campos escalares y vectoriales 631
52.2. Sobre la invariancia de los conceptos de gradiente, divergencia
52,3. Fórmula de Gauss-Ostrogradsky. Definición geométrica de divergencia 640
52,4. Fórmula de Stokes. Definición geométrica de un vórtice. ... 647
52,5. Campos de vector solenoidal 653
52,6. Campos de vectores potenciales 655
§ 53. Integrales propias dependiendo de un parámetro 663
53,1. Determinación de integrales en función de un parámetro; su continuidad e integrabilidad con respecto a un parámetro. ... ... 663
53.2. Diferenciación de integrales según
§ 54. Integrales impropias dependiendo de un parámetro 668
54.1. Definiciones basicas. Convergencia uniforme de integrales en función de un parámetro 668
54,2 *. Un criterio para la convergencia uniforme de integrales 674
54,3. Propiedades de integrales impropias dependiendo
54,4. Aplicación de la teoría de integrales en función de un parámetro al cálculo de integrales definidas 682
54,5. Integrales de Euler 686
54,6. Funciones de valor complejo de un argumento real 691
54,7 *. Comportamiento asintótico de la función gamma 694
54,8 *. Serie asintótica 698
54,9 *. Expansión asintótica de una función gamma incompleta 702
54.10. Observaciones sobre múltiples integrales dependiendo
Índice de sujeto-nominal 706
Índice de símbolos básicos 713

Volumen 3. CONTENIDO
Capítulo 7

Series de Fourier. Integral de Fourier
§ 55. Serie trigonométrica de Fourier 4
55,1. Determinación de la serie de Fourier. Declaración de los principales
55.2. La tendencia de los coeficientes de Fourier a cero 10
55,3. Integral de Dirichlet. Principio de localización 15
55,4. Convergencia de la serie de Fourier en el punto 19
55,5 *. Convergencia de la serie de Fourier para funciones que satisfacen la condición de Hölder 31
55,6. Suma de series de Fourier por el método de medias aritméticas 34
55,7. Aproximación de funciones continuas por polinomios 40
55,8. Completitud de un sistema trigonométrico y un sistema de potencias enteras no negativas de x en el espacio de funciones continuas 43
55,9. Propiedad mínima de las sumas de Fourier. La desigualdad de Bessel y la igualdad de Parseval 45
55.10. La naturaleza de la convergencia de la serie de Fourier. Diferenciación término por término de la serie de Fourier 48
55.11. Integración término por término de la serie de Fourier 53
55.12. Serie de Fourier en el caso de un intervalo arbitrario 56
55.13. Notación compleja de la serie de Fourier 57
55,14. Expansión del logaritmo en una serie de potencias en el dominio complejo 58
55.15. Suma de series trigonométricas 59
§ 56. La integral de Fourier y la transformada de Fourier 61
56,1. Representación de funciones en forma de integral de Fourier 61
56.2. Diferentes tipos de escritura de la fórmula de Fourier 70
56,3. El valor principal de la integral 71
56,4. Notación compleja de la integral de Fourier 72
56,5. Transformada de Fourier 73
56,6. Integrales de Laplace 76
56,7. Propiedades de la transformada de Fourier de funciones absolutamente integrables 77
56,8. Transformada de Fourier de derivadas 78
56,9. Convolución y transformada de Fourier 80
56.10. Derivada de la transformada de Fourier de la función 83
Capítulo 8

Espacios funcionales
§ 57. Espacios métricos 85
57,1. Definiciones y ejemplos 85
57.2. Espacios completos 91
57,3. Asignaciones de espacio métrico 97
57,4. El principio de mapeo de contracciones 101
57,5. Finalización de espacios métricos 105
57.6. Compacto 110
57.7. Asignaciones continuas de conjuntos 122
57,8. Conjuntos conectados 124
57,9. Criterio de Arzela para la compacidad de los sistemas de funciones 124
§ 58. Lineal normalizado y seminormalizado
58.1. Espacios lineales 128
58.2. Norma y seminorm 141
58.3. Ejemplos de normalizados y semi-normalizados
58,4. Propiedades de los espacios semi-normalizados 150
58,5. Propiedades de los espacios normativos 154
58,6. Operadores lineales 162
58,7. Mapeos bilineales de normalizados
58.8. Mapeos diferenciables de espacios lineales normativos 175
58,9. Fórmula de incremento final 180
58.10. Derivadas de orden superior 182
58.11. Fórmula de Taylor 184
§ 59. Espacios lineales con producto escalar 186
59,1. Productos escalares y casi escalares 186
59.2. Ejemplos de espacios lineales con producto escalar 191
59,3. Propiedades de espacios lineales con producto escalar. Espacios de Hilbert 193
59,4. Espacio factorial 198
59,5. Espacio L2 202
59,6. Espacios lp 214
§ 60. Bases ortonormales y sus expansiones 217
60.1. Sistemas ortonormales 217
60.2. Ortogonalización 221
60.3. Sistemas completos. Completitud del sistema trigonométrico y el sistema de polinomios de Legendre 224
60,5. Existencia de una base en espacios de Hilbert separables. Isomorfismo de espacios de Hilbert separables 239
60,6. Ampliación de funciones con cuadrado integrable en una serie de Fourier 243
60,7. Descomposiciones de suma directa ortogonal de espacios de Hilbert 248
60,8. Funcionales de los espacios de Hilbert 254
60,9 *. Transformada de Fourier de funciones integrables al cuadrado. Teorema de Plancherel 257
§ 61. Funciones generalizadas 266
61,1. Consideraciones generales 266
61.2. Espacios lineales con convergencia. Funcionales. Espacios asociados 272
61,3. Definición de funciones genéricas. Ver espacios "277
61,4. Diferenciación de funciones generalizadas 283
61,5. El espacio de funciones básicas S y el espacio de funciones generalizadas S "287
61,6. Transformada de Fourier en el espacio S 290
61,7. Transformada de Fourier de funciones generalizadas 293
Adición
§ 62. Algunas cuestiones de cálculos aproximados 301
62,1. Aplicación de la fórmula de Taylor para el cálculo aproximado de los valores de funciones e integrales 301
62.2. Resolver ecuaciones 305
62,3. Interpolación de funciones 311
62,4. Fórmulas de cuadratura 314
62,5. Error de fórmulas de cuadratura 317
62,6. Cálculo aproximado de derivadas 321
§ 63. Partición de un conjunto en clases de elementos equivalentes 323
§ 64. Límite de filtro 325
64,1. Espacios topológicos 326
64.2. Filtros 328
64,4. Límite de visualización del filtro 335
Índice de sujeto y nominal 340
Índice de símbolos básicos 346