Trapezoide rectangular isósceles. Que es un trapezoide

1. El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales trapezoidales es igual a la mitad de la diferencia de base
2. Los triángulos formados por las bases del trapezoide y por los segmentos de las diagonales hasta el punto de su intersección son similares
3. Triángulos formados por los segmentos de las diagonales trapezoidales, cuyos lados se encuentran en los lados laterales del trapezoide - iguales (tienen la misma área)
4. Si extiende los lados laterales del trapezoide hacia la base más pequeña, entonces se cruzan en un punto con la línea recta que conecta los puntos medios de las bases.
5. El segmento que conecta las bases del trapezoide y pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide se divide por este punto en una proporción igual a la relación de las longitudes de las bases del trapezoide.
6. Un segmento paralelo a las bases del trapezoide y dibujado a través del punto de intersección de las diagonales se divide por este punto por la mitad, y su longitud es igual a 2ab / (a ​​+ b), donde ayb son las bases. del trapezoide

Propiedades del segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales trapezoidales

Conectamos los puntos medios de las diagonales del trapezoide ABCD, como resultado de lo cual tenemos un segmento LM.
El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales trapezoidales, se encuentra en la línea media del trapezoide.

Este segmento paralelo a la base del trapezoide.

La longitud del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales del trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de sus bases.

LM = (AD - BC) / 2
o
LM = (a-b) / 2

Propiedades de los triángulos formados por las diagonales de un trapezoide

Triángulos que están formados por las bases del trapezoide y el punto de intersección de las diagonales del trapezoide - son similares.
Los triángulos BOC y AOD son similares. Dado que los ángulos BOC y AOD son verticales, son iguales.
Los ángulos OCB y OAD son internos transversales en las líneas paralelas AD y BC (las bases del trapezoide son paralelas entre sí) y la línea secante AC, por lo tanto, son iguales.
Los ángulos OBC y ODA son iguales por la misma razón (entrecruzamiento interno).

Dado que los tres ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos correspondientes del otro triángulo, estos triángulos son similares.

¿Qué se sigue de esto?

Para resolver problemas de geometría, la similitud de triángulos se usa de la siguiente manera. Si conocemos los valores de las longitudes de dos elementos correspondientes de triángulos similares, entonces encontramos el coeficiente de similitud (dividimos uno por el otro). De ahí que las longitudes de todos los demás elementos se relacionen entre sí con exactamente el mismo valor.

Propiedades de los triángulos que se encuentran a los lados y las diagonales de un trapezoide

Considere dos triángulos que se encuentran en los lados laterales del trapezoide AB y CD. Estos son los triángulos AOB y COD. A pesar de que los tamaños de los lados individuales de estos triángulos pueden ser completamente diferentes, pero las áreas de los triángulos formados por los lados y el punto de intersección de las diagonales del trapezoide son, es decir, los triángulos tienen el mismo tamaño.

Si extiende los lados del trapezoide hacia la base más pequeña, entonces el punto de intersección de los lados será alinearse con una línea recta que pasa por los puntos medios de las bases.

Por lo tanto, cualquier trapezoide puede extenderse a un triángulo. Donde:

• Los triángulos formados por las bases de un trapezoide con un vértice común en la intersección de los lados laterales extendidos son similares
• La línea recta que conecta los puntos medios de las bases del trapezoide es, al mismo tiempo, la mediana del triángulo construido.

Propiedades de la línea que conecta las bases trapezoidales

Si dibuja un segmento, cuyos extremos se encuentran en las bases del trapezoide, que se encuentra en el punto de intersección de las diagonales del trapezoide (KN), entonces la relación de sus segmentos constituyentes desde el lado de la base hasta el punto de intersección de las diagonales (KO / ON) será igual a la relación de las bases del trapezoide(BC / AD).

KO / ON = BC / AD

Esta propiedad se deriva de la similitud de los triángulos correspondientes (ver arriba).

Propiedades de una línea paralela a las bases de un trapezoide

Si dibuja un segmento paralelo a las bases del trapezoide y pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide, entonces tendrá las siguientes propiedades:

• Distancia preestablecida (KM) divide el punto de intersección de las diagonales trapezoidales por la mitad
• Longitud del segmento pasando por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y paralelo a las bases es igual a KM = 2ab / (a ​​+ b)

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide

a, b- la base del trapezoide

CD- lados laterales del trapezoide

d1 d2- diagonales trapezoidales

α β - ángulos con una base más grande del trapezoide

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide a través de las bases, lados y ángulos en la base.

El primer grupo de fórmulas (1-3) refleja una de las principales propiedades de las diagonales trapezoidales:

1. La suma de los cuadrados de las diagonales de un trapezoide es igual a la suma de los cuadrados de los lados más el doble del producto de sus bases. Esta propiedad de las diagonales de un trapezoide se puede demostrar como un teorema separado

2 ... Esta fórmula se obtiene convirtiendo la fórmula anterior. El cuadrado de la segunda diagonal pasa por el signo igual, después de lo cual se extrae la raíz cuadrada de los lados izquierdo y derecho de la expresión.

3 ... Esta fórmula para encontrar la longitud de una diagonal trapezoidal es similar a la anterior, con la diferencia de que se deja otra diagonal en el lado izquierdo de la expresión.

El siguiente grupo de fórmulas (4-5) tiene un significado similar y expresa una proporción similar.

El grupo de fórmulas (6-7) le permite encontrar la diagonal del trapezoide si se conocen la base más grande del trapezoide, un lado y el ángulo en la base.

Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide en términos de altura

Tarea.
Las diagonales del trapezoide ABCD (AD | | BC) se cruzan en el punto O. Encuentre la longitud de la base BC del trapezoide si la base es AD = 24 cm, longitud AO = 9cm, longitud OC = 6 cm.

Solución.
La solución a este problema en términos de ideología es absolutamente idéntica a los problemas anteriores.

Los triángulos AOD y BOC son similares en tres ángulos: AOD y BOC son verticales, y los otros ángulos son iguales en pares, ya que están formados por la intersección de una línea recta y dos líneas paralelas.

Dado que los triángulos son similares, todas sus dimensiones geométricas están relacionadas entre sí, como dimensiones geométricas de los segmentos AO y OC que conocemos del planteamiento del problema. Es decir

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / AC
BC = 24 * 6/9 = 16

Respuesta: 16 cm

Tarea .
En el trapezoide ABCD, se sabe que AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Calcula el área del trapezoide.

Solución.
Para encontrar la altura del trapezoide desde los vértices de la base más pequeña B y C, bajamos dos alturas a la base más grande. Dado que el trapezoide es desigual, denotamos la longitud AM = a, la longitud KD = b ( no confundir con la notación en la fórmula encontrar el área del trapezoide). Dado que las bases del trapezoide son paralelas y omitimos dos alturas perpendiculares a la base más grande, entonces MBCK es un rectángulo.

Medio
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Los triángulos DBM y ACK son rectangulares, por lo que sus ángulos rectos están formados por las alturas del trapezoide. Denotemos la altura del trapezoide por h. Entonces por el teorema de Pitágoras

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
y
h 2 + (24 - segundo) 2 = 13 2

Tenemos en cuenta que a = 16 - b, luego en la primera ecuación
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Sustituyamos el valor del cuadrado de la altura en la segunda ecuación obtenida por el Teorema de Pitágoras. Obtenemos:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Entonces KD = 12
Dónde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Encuentra el área del trapezoide a través de su altura y la mitad de la suma de las bases.
, donde a b es la base del trapezoide, h es la altura del trapezoide
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2

Respuesta: el área del trapezoide es de 80 cm 2.

Un trapezoide es un caso especial de cuadrilátero en el que un par de lados es paralelo. El término "trapecio" proviene de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "mesa". En este artículo veremos los tipos de trapezoides y sus propiedades. Además, descubriremos cómo calcular los elementos individuales de este Por ejemplo, la diagonal de un trapezoide isósceles, la línea central, el área, etc. El material se presenta en el estilo de la geometría popular elemental, es decir, en un formulario de fácil acceso.

Información general

Primero, averigüemos qué es un cuadrilátero. Esta forma es un caso especial de un polígono con cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero que no son adyacentes se denominan opuestos. Lo mismo puede decirse de dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadrángulos son paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapezoide y deltoides.

Entonces, volvamos a los trapezoides. Como dijimos, esta figura tiene dos lados paralelos. Se llaman bases. Los otros dos (no paralelos) son los lados. En los materiales de los exámenes y diversas pruebas, muy a menudo se pueden encontrar tareas relacionadas con los trapecios, cuya solución a menudo requiere que el estudiante tenga conocimientos que no están previstos por el programa. El curso de geometría de la escuela presenta a los estudiantes las propiedades de los ángulos y las diagonales, así como la línea media de un trapezoide isósceles. Pero además de esto, la figura geométrica mencionada tiene otras características. Pero sobre ellos un poco más tarde ...

Tipos de trapezoide

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, la mayoría de las veces se acostumbra considerar dos de ellos: isósceles y rectangular.

1. Un trapezoide rectangular es una figura en la que uno de los lados laterales es perpendicular a las bases. Sus dos ángulos son siempre iguales a noventa grados.

2. Un trapezoide isósceles es una figura geométrica con lados iguales. Esto significa que los ángulos en las bases también son iguales por pares.

Los principios fundamentales de la metodología para estudiar las propiedades de un trapezoide.

El principio fundamental es el uso del llamado enfoque de tareas. De hecho, no es necesario introducir nuevas propiedades de esta figura en el curso teórico de geometría. Se pueden abrir y formular en el proceso de resolución de varios problemas (mejor que los del sistema). Al mismo tiempo, es muy importante que el docente sepa qué tareas deben asignarse a los estudiantes en un momento u otro del proceso educativo. Además, cada propiedad del trapezoide se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es la llamada organización en espiral del estudio de las propiedades "notables" del trapezoide. Esto implica un retorno en el proceso de aprendizaje a las características individuales de una figura geométrica dada. Esto hace que sea más fácil para los alumnos memorizarlos. Por ejemplo, la propiedad de cuatro puntos. Se puede demostrar tanto estudiando la similitud como posteriormente utilizando vectores. Y el tamaño igual de los triángulos adyacentes a los lados laterales de la figura se puede demostrar aplicando no solo las propiedades de los triángulos con alturas iguales dibujadas a los lados que se encuentran en una línea recta, sino también usando la fórmula S = 1/2 (ab * sinα). Además, puede trabajar en un trapezoide inscrito o un triángulo rectángulo en un trapezoide descrito, etc.

El uso de características "extracurriculares" de una figura geométrica en el contenido de un curso escolar es una tarea tecnológica para enseñarlas. La apelación constante a las propiedades estudiadas al aprobar otros temas permite a los estudiantes obtener una comprensión más profunda del trapezoide y asegura el éxito en la resolución de las tareas asignadas. Entonces, pongámonos a estudiar esta maravillosa figura.

Elementos y propiedades de un trapezoide isósceles

Como ya hemos señalado, esta figura geométrica tiene lados iguales. También se conoce como trapezoide regular. ¿Y por qué es tan notable y por qué recibió ese nombre? Las peculiaridades de esta figura incluyen el hecho de que tiene iguales no solo los lados y ángulos en las bases, sino también las diagonales. Además, la suma de los ángulos de un trapezoide isósceles es 360 grados. ¡Pero eso no es todo! De todos los trapezoides conocidos, solo alrededor de un isósceles se puede describir un círculo. Esto se debe al hecho de que la suma de los ángulos opuestos de esta figura es 180 grados, y solo bajo esta condición se puede describir un círculo alrededor de un cuadrilátero. La siguiente propiedad de la figura geométrica considerada es que la distancia desde la parte superior de la base hasta la proyección de la parte superior opuesta en la línea recta que contiene esta base será igual a la línea central.

Ahora descubramos cómo encontrar los ángulos de un trapezoide isósceles. Considere una solución a este problema, siempre que se conozcan las dimensiones de los lados de la figura.

Solución

Por lo general, el cuadrilátero generalmente se denota con las letras A, B, C, D, donde BS y AD son las bases. En un trapezoide isósceles, los lados son iguales. Supondremos que su tamaño es igual a X, y los tamaños de las bases son iguales a Y y Z (más pequeños y más grandes, respectivamente). Para realizar el cálculo, es necesario dibujar la altura H desde el ángulo B. El resultado es un triángulo rectángulo ABN, donde AB es la hipotenusa y BN y AN son los catetos. Calculamos el tamaño del cateto AH: restamos el más pequeño de la base más grande y dividimos el resultado entre 2. Lo escribimos en la forma de la fórmula: (ZY) / 2 = F. Ahora, para calcular el ángulo agudo del triángulo, usamos la función cos. Obtenemos el siguiente registro: cos (β) = X / F. Ahora calculamos el ángulo: β = arcos (X / F). Además, conociendo un ángulo, podemos determinar el segundo, para ello realizamos una operación aritmética elemental: 180 - β. Todos los ángulos están definidos.

También hay una segunda solución a este problema. Al principio, bajamos la altura de N. desde la esquina Calcule el valor del cateto BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Obtenemos: BN = √ (X2-F2). A continuación, usamos la función trigonométrica tg. Como resultado, tenemos: β = arctan (BN / F). Se ha encontrado una esquina afilada. Además, definimos de la misma manera que en el primer método.

Propiedad de las diagonales de un trapezoide isósceles

Primero, escribamos cuatro reglas. Si las diagonales en un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces:

La altura de la figura será igual a la suma de las bases dividida por dos;

Su altura y línea media son iguales;

El centro del círculo es el punto en el que se cruzan;

Si el lado lateral está dividido por el punto de tangencia en los segmentos H y M, entonces es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;

El cuadrilátero, que está formado por los puntos de contacto, el vértice del trapezoide y el centro del círculo inscrito, es un cuadrado cuyo lado es igual al radio;

El área de la figura es igual al producto de las bases por el producto de la mitad de la suma de las bases por su altura.

Trapezoide similar

Este tema es muy conveniente para estudiar las propiedades de éste, por ejemplo, las diagonales dividen un trapezoide en cuatro triángulos, y los adyacentes a las bases son semejantes y los laterales son iguales. Esta declaración se puede llamar una propiedad de los triángulos en los que un trapezoide se divide por sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se prueba mediante el signo de semejanza en dos ángulos. Para probar la segunda parte, es mejor utilizar el método siguiente.

Prueba del teorema

Aceptamos que la figura del ABSD (BP y BS son las bases del trapezoide) está dividida por las diagonales del VD y AS. El punto de su intersección es O. Obtenemos cuatro triángulos: AOS - en la base inferior, BOS - en la base superior, ABO y SOD en los lados laterales. Los triángulos SOD y BFB tienen una altura común si los segmentos BO y OD son sus bases. Obtenemos que la diferencia entre sus áreas (P) es igual a la diferencia entre estos segmentos: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Por lo tanto, PSOD = PBOS / K. Asimismo, los triángulos BFB y AOB tienen una altura común. Tomamos los segmentos SB y OA por sus bases. Obtenemos PBOS / PAOB = SO / OA = K y PAOB = PBOS / K. De esto se deduce que PSOD = PAOB.

Para consolidar el material, se aconseja a los estudiantes que encuentren una conexión entre las áreas de los triángulos resultantes, en las que se divide el trapezoide por sus diagonales, resolviendo el siguiente problema. Se sabe que las áreas de los triángulos de biorretroalimentación y AOD son iguales; es necesario encontrar el área del trapezoide. Dado que PSOD = PAOB, significa que PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. De la similitud de los triángulos BFB y AOD se deduce que BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Por lo tanto, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Obtenemos PSOD = √ (PBOS * PAOD). Entonces PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

Propiedades de similitud

Continuando con el desarrollo de este tema, puede probar otras características interesantes de los trapezoides. Entonces, con la ayuda de la similitud, se puede probar la propiedad de un segmento que pasa por un punto formado por la intersección de las diagonales de esta figura geométrica, paralela a las bases. Para ello resolveremos el siguiente problema: es necesario hallar la longitud del segmento RK que pasa por el punto O. De la similitud de los triángulos AOD y BFB se deduce que AO / OS = AD / BS. De la similitud de los triángulos AOR y ASB, se deduce que AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). De aquí obtenemos que RO = BS * HELL / (BS + HELL). De manera similar, de la similitud de los triángulos DOK y DBS, se deduce que OK = BS * HELL / (BS + HELL). De aquí obtenemos que RO = OK y RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). El segmento que pasa por el punto de intersección de las diagonales, paralelo a las bases y conecta los dos lados, se divide en dos por el punto de intersección. Su longitud es la media armónica de la base de la figura.

Considere la siguiente calidad trapezoidal, que se llama propiedad de cuatro puntos. Los puntos de intersección de las diagonales (O), la intersección de la extensión de los lados laterales (E), así como los puntos medios de las bases (T y G) siempre se encuentran en la misma línea. Esto se prueba fácilmente mediante el método de similitud. Los triángulos resultantes BES y AED son similares, y en cada uno de ellos las medianas ET y EZ dividen el ángulo en el vértice E en partes iguales. En consecuencia, los puntos E, T y Ж se encuentran en una línea recta. De la misma manera, los puntos T, O y Zh están ubicados en una línea recta, todo esto se deriva de la similitud de los triángulos BFB y AOD. De esto concluimos que los cuatro puntos, E, T, O y F, estarán en una línea recta.

Usando tales trapezoides, puede pedirles a los estudiantes que encuentren la longitud del segmento (LF) que divide la figura en dos similares. Este segmento debe ser paralelo a las bases. Dado que los trapecios obtenidos ALPD y LBSF son similares, BS / LF = LF / BP. De ello se deduce que LF = √ (BS * HELL). Obtenemos que el segmento que divide el trapezoide en dos similares tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad de similitud. Se basa en un segmento que divide el trapezoide en dos figuras de igual tamaño. Suponemos que el trapezoide ABSD está dividido por el segmento ЕН en dos similares. Desde el vértice B, se elimina la altura, que está dividida por el segmento EH en dos partes: B1 y B2. Obtenemos: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (INFIERNO + EH) * B2 / 2 y PABSD = (BS + INFIERNO) * (B1 + B2) / 2. A continuación, componimos un sistema, cuya primera ecuación es (BS + EH) * B1 = (INFIERNO + EH) * B2 y la segunda (BS + EH) * B1 = (BS + INFIERNO) * (B1 + B2) / 2. De ello se deduce que B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) y BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Obtenemos que la longitud del segmento que divide el trapezoide en dos tamaños iguales es igual a la raíz cuadrada media de las longitudes de las bases: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Hallazgos de similitud

Así, hemos demostrado que:

1. El segmento que conecta los puntos medios de los lados laterales en el trapezoide es paralelo a BP y BS y es igual a la media aritmética de BS y BP (la longitud de la base del trapezoide).

2. La línea que pasa por el punto O de la intersección de las diagonales paralelas a HELL y BS será igual a la media armónica de los números de HELL y BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).

3. El segmento que divide el trapezoide en otros similares tiene la longitud de la media geométrica de las bases de BS y BP.

4. El elemento que divide la figura en dos tamaños iguales tiene la longitud de los números cuadrados medios de BP y BS.

Para consolidar el material y comprender la conexión entre los segmentos considerados, el estudiante debe construirlos para un trapezoide específico. Puede mostrar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto O, la intersección de las diagonales de la figura, paralela a las bases. Pero, ¿dónde se ubicarán el tercero y el cuarto? Esta respuesta llevará al alumno a descubrir la relación deseada entre promedios.

El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales trapezoidales.

Considere la siguiente propiedad de esta figura. Suponemos que el segmento MH es paralelo a las bases y divide las diagonales por la mitad. Los puntos de intersección se llamarán Ш y Ш. Este segmento será igual a la media diferencia de las bases. Echemos un vistazo más de cerca a esto. MSh: la línea media del triángulo ABS, es igual a BS / 2. MCh es la línea media del triángulo ABD, es igual a BP / 2. Entonces obtenemos que SHSH = MSH-MSH, por lo tanto, SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

El centro de gravedad

Veamos cómo se define este elemento para una figura geométrica dada. Para hacer esto, es necesario extender las bases en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Es necesario agregar el inferior a la base superior, a cualquier lado, por ejemplo, a la derecha. Y extiende el inferior a lo largo del superior hacia la izquierda. A continuación, los conectamos con una diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea media de la figura es el centro de gravedad del trapezoide.

Trapezoides inscritos y descritos

Enumeremos las características de tales formas:

1. Un trapezoide puede inscribirse en un círculo solo si es isósceles.

2. Un trapecio se puede describir alrededor de un círculo, siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de los lados laterales.

Consecuencias del círculo inscrito:

1. La altura del trapecio descrito es siempre igual a dos radios.

2. El lado lateral del trapezoide descrito se observa desde el centro del círculo en ángulo recto.

La primera consecuencia es obvia, pero para demostrar la segunda es necesario establecer que el ángulo del SOD es correcto, lo que, de hecho, tampoco será difícil. Pero el conocimiento de esta propiedad le permitirá utilizar un triángulo rectángulo al resolver problemas.

Ahora concretemos estas consecuencias para un trapezoide isósceles inscrito en un círculo. Obtenemos que la altura es la media geométrica de la base de la figura: H = 2R = √ (BS * INFIERNO). Mientras practica la técnica básica de resolución de problemas para trapezoides (el principio de sostener dos alturas), el estudiante debe resolver la siguiente tarea. Suponemos que BT es la altura de la figura isósceles del ABSD. Es necesario encontrar los segmentos AT y TD. Usando la fórmula descrita anteriormente, no será difícil hacer esto.

Ahora descubramos cómo determinar el radio de un círculo usando el área del trapezoide descrito. Bajamos la altura desde la parte superior B hasta la base de la presión arterial. Dado que el círculo está inscrito en el trapezoide, entonces BS + INFIERNO = 2AB o AB = (BS + INFIERNO) / 2. Del triángulo ABN encontramos sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + INFIERNO) * BN / 2, BN = 2R. Obtenemos PABSD = (BS + INFIERNO) * R, se deduce que R = PABSD / (BS + INFIERNO).

Todas las fórmulas para la línea media de un trapezoide

Ahora es el momento de pasar al último elemento de esta forma geométrica. Averigüemos a qué es igual la línea media del trapezoide (M):

1. Por las bases: M = (A + B) / 2.

2. A través de altura, base y esquinas:

M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. A través de la altura, las diagonales y el ángulo entre ellas. Por ejemplo, D1 y D2 son las diagonales de un trapezoide; α, β - ángulos entre ellos:

M = D1 * D2 * senα / 2H = D1 * D2 * senβ / 2H.

4. A través del área y la altura: M = P / N.

Trapezoide Es un cuadrilátero con dos lados paralelos que son bases y dos lados no paralelos que son lados laterales.

También hay nombres como isósceles o isósceles.

Es un trapezoide cuyas esquinas laterales son rectas.

Elementos de trapecio

a, b - base del trapezoide(un paralelo ab),

m, n - lados laterales trapecio,

d 1, d 2 - diagonales trapecio,

h - altura trapecio (un segmento que conecta las bases y al mismo tiempo perpendicular a ellas),

MN - linea intermedia(un segmento que conecta los puntos medios de los lados).

Área del trapecio

1. La mitad de la suma de las bases a, by la altura h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. A través de la línea media MN y la altura h: S = MN \ cdot h
3. A través de las diagonales d 1, d 2 y el ángulo (\ sin \ varphi) entre ellas: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

Propiedades trapezoides

La línea media del trapezoide.

linea intermedia paralelo a las bases, igual a su media suma y divide cada segmento con los extremos ubicados en líneas rectas que contienen las bases (por ejemplo, la altura de la figura) por la mitad:

MN || a, MN || B, MN = \ frac (a + b) (2)

La suma de los ángulos del trapezoide

La suma de los ángulos del trapezoide adyacente a cada lado es 180 ^ (\ circ):

\ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ)

\ gamma + \ delta = 180 ^ (\ circ)

Triángulos trapezoidales de igual área

Igual, es decir, que tienen áreas iguales, son los segmentos de las diagonales y los triángulos AOB y DOC formados por los lados laterales.

Similitud de triángulos trapezoidales formados

Triángulos similares son AOD y COB, que están formados por sus bases y segmentos de línea.

\ triángulo AOD \ sim \ triángulo COB

Coeficiente de similitud k se encuentra mediante la fórmula:

k = \ frac (AD) (BC)

Además, la razón de las áreas de estos triángulos es igual a k ^ (2).

Relación de longitudes de segmentos y bases

Cada segmento que conecta las bases y pasa por el punto de intersección de las diagonales trapezoidales se divide por este punto en la relación:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Esto será cierto para la altura con las propias diagonales.

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas son solo para fines informativos y es posible que no representen todas las opciones de presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

El propósito de la lección:

• enseñando- introducir el concepto de trapezoide, familiarizarse con los tipos de trapecios, estudiar las propiedades de un trapecio, enseñar a los estudiantes a aplicar los conocimientos adquiridos en el proceso de resolución de problemas;
• desarrollando- el desarrollo de las cualidades comunicativas de los estudiantes, el desarrollo de la capacidad para realizar un experimento, generalizar, sacar conclusiones, desarrollar interés en el tema.
• educativo- educar la atención, crear una situación de éxito, alegría de superar las dificultades por sí mismos, desarrollar la necesidad de autoexpresión de los estudiantes a través de varios tipos de trabajo.

Formas de trabajo: frontal, baño de vapor, grupo.

Forma de organización de las actividades infantiles: la capacidad de escuchar, entablar una discusión, expresar un pensamiento, pregunta, adición.

Equipo: computadora, proyector multimedia, pantalla. En las mesas de los estudiantes: corte material para dibujar un trapezoide para cada estudiante en el escritorio; tarjetas con asignaciones (impresiones de dibujos y asignaciones del esquema de la lección).

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizativo

Saludos, comprobando la preparación del lugar de trabajo para la lección.

II. Actualización de conocimientos

• desarrollo de habilidades para clasificar objetos;
• destacando las características principales y secundarias en la clasificación.

Se considera la figura 1.

Luego viene la discusión del dibujo.
- ¿De qué está hecha esta figura geométrica? Los chicos encuentran la respuesta en las imágenes: [de un rectángulo y triángulos].
- ¿Cuáles deberían ser los triángulos que forman un trapezoide?
Todas las opiniones son escuchadas y discutidas, se elige una opción: [los triángulos deben ser rectangulares].
- ¿Cómo se componen los triángulos y los rectángulos? [Para que los lados opuestos del rectángulo coincidan con el cateto de cada uno de los triángulos].
- ¿Qué sabes sobre los lados opuestos del rectángulo? [Son paralelos].
- Entonces, ¿en este cuadrilátero habrá lados paralelos? [Sí].
- ¿Cuántos hay? [Dos].
Después de la discusión, el maestro demuestra la "reina de la lección": el trapezoide.

III. Explicación del nuevo material

1. Definición de trapezoides, elementos trapezoides

• enseñar a los estudiantes a definir un trapezoide;
• nombrar sus elementos;
• desarrollo de la memoria asociativa.

- Ahora intente dar una definición completa de trapezoide. Cada alumno reflexiona sobre la respuesta a la pregunta. Intercambian opiniones en parejas, preparan una única respuesta a una pregunta. La respuesta oral la da un alumno de 2 a 3 parejas.
[Un trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos].

- ¿Cómo se llaman los lados del trapezoide? [Los lados paralelos se llaman bases del trapezoide y los otros dos se llaman lados].

El profesor propone doblar trapecios a partir de formas cortadas. Los estudiantes trabajan en parejas, suman figuras. Es bueno si las parejas de estudiantes son de diferentes niveles, entonces uno de los estudiantes es un consultor y ayuda a un amigo en caso de dificultad.

- Construye un trapezoide en cuadernos, escribe los nombres de los lados del trapezoide. Haga preguntas sobre el dibujo a su vecino, escuche sus respuestas, diga sus opciones de respuestas.

Referencia histórica

"Trapecio"- la palabra griega, que en la antigüedad significaba "mesa" (en griego "trapedzion" significa una mesa, una mesa de comedor. La figura geométrica se llamaba así por su semejanza externa con una mesa pequeña.
En los "Elementos" (griego Στοιχεῖα, lat. Elementa) - la obra principal de Euclides, escrita alrededor del 300 a. C. NS. y dedicado a la construcción sistemática de la geometría) el término "trapezoide" no se usa en el moderno, sino en otro sentido: cualquier cuadrilátero (no un paralelogramo). "Trapecio" en nuestro sentido se encuentra por primera vez en el antiguo matemático griego Posidonio (siglo I). En la Edad Media, un trapecio se llamaba, según Euclides, cualquier cuadrilátero (no un paralelogramo); sólo en el siglo XVIII. esta palabra adquiere un significado moderno.

Construyendo un trapezoide a partir de sus elementos especificados. Los chicos realizan tareas en la tarjeta número 1.

Los estudiantes deben construir trapezoides en una amplia variedad de ubicaciones y estilos. En el paso 1, debe construir un trapezoide rectangular. En el párrafo 2, es posible construir un trapezoide isósceles. En el punto 3, el trapezoide estará "acostado de lado". En el párrafo 4, el dibujo prevé la construcción de dicho trapezoide, en el que una de las bases resulta ser inusualmente pequeña.
Los alumnos "sorprenden" al profesor con diferentes figuras que tienen un nombre común: trapezoide. El profesor demuestra las posibles opciones para la construcción de trapecios.

Problema 1... ¿Serán iguales dos trapecios, para los cuales, respectivamente, una de las bases y dos lados son iguales?
Discuta la solución del problema en grupos, pruebe la corrección del razonamiento.
Un alumno del grupo dibuja en la pizarra y explica la línea de razonamiento.

2. Tipos de trapezoide

• desarrollo de la memoria motora, la capacidad de romper el trapezoide en figuras conocidas necesarias para resolver problemas;
• desarrollo de habilidades para generalizar, comparar, dar una definición por analogía, plantear hipótesis.

Considere la figura:

- ¿Cuál es la diferencia entre los trapezoides que se muestran en la figura?
Los chicos notaron que el tipo de trapezoide depende del tipo de triángulo ubicado a la izquierda.
- Completa la oración:

Un trapezoide se llama rectangular si ...
Un trapezoide se llama isósceles si ...

3. Propiedades del trapezoide. Propiedades de un trapezoide isósceles.

• planteando, por analogía con un triángulo isósceles, una hipótesis sobre la propiedad de un trapezoide isósceles;
• desarrollo de habilidades analíticas (comparar, formular hipótesis, probar, construir).

• El segmento que conecta los puntos medios de las diagonales es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
• Un trapezoide isósceles tiene los mismos ángulos en cualquier base.
• Un trapezoide isósceles tiene diagonales iguales.
• En un trapezoide isósceles, la altura bajada desde la parte superior a la base más grande lo divide en dos segmentos, uno de los cuales es igual a la mitad de la suma de las bases, el otro, la mitad de la diferencia de las bases.

Objetivo 2. Demuestre que en un trapezoide isósceles: a) los ángulos en cada base son iguales; b) las diagonales son iguales. Para probar estas propiedades de un trapezoide isósceles, recordamos los criterios para la igualdad de triángulos. Los estudiantes realizan la tarea en grupos, discuten, escriben la solución en un cuaderno.
Un alumno del grupo realiza la prueba en la pizarra.

4. Ejercicio para llamar la atención

5. Ejemplos de la aplicación de formas trapezoidales en la vida cotidiana:

• en interiores (sofás, paredes, falsos techos);
• en el diseño del paisaje (bordes de césped, embalses artificiales, piedras);
• en la industria de la moda (ropa, calzado, complementos);
• en el diseño de artículos cotidianos (lámparas, platos, con formas trapezoidales);
• en arquitectura.

Trabajo practico(por opciones).

- En un sistema de coordenadas, construya trapezoides isósceles para los tres vértices dados.

Opción 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) y (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3), (...; ...).
Opción 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) y (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (...; ...).

- Determinar las coordenadas del cuarto vértice.
La solución es revisada y comentada por toda la clase. Los estudiantes indican las coordenadas del cuarto punto encontrado y tratan de explicar verbalmente por qué las condiciones dadas definen solo un punto.

Una tarea entretenida. Agregue un trapezoide de: a) cuatro triángulos rectángulos; b) de tres triángulos rectángulos; c) de dos triángulos rectángulos.

IV. Tarea

• educación de la autoestima correcta;
• creando una situación de "éxito" para cada estudiante.

p.44, conocer la definición, elementos del trapezoide, sus tipos, conocer las propiedades del trapezoide, poder probarlas, №388, №390.

V. Resumen de la lección. Al final de la lección, se les da a los niños cuestionario, que permite la introspección, para dar una evaluación cualitativa y cuantitativa de la lección .

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