Integras para maniquíes: cómo resolver, reglas de cálculo, explicación. Integrales para Teteras: Cómo resolver, reglas de cálculo, explicación de las propiedades de integrales de multiplicación incierta

Estas propiedades se utilizan para implementar las transformaciones integrales para poder llevarla a una de las integrales elementales y la cálculo adicional.

1. El derivado de una integral indefinida es igual a la función Integrand:

2. El diferencial de una integral indefinida es igual a la expresión inicial:

3. Una integral indefinida del diferencial de alguna función es igual a la suma de esta función y constante arbitraria:

4. Se puede hacer un multiplicador permanente para un signo integral:

Y un ≠ 0

5. La integral de la suma (diferencia) es igual a la cantidad (diferencia) de las integrales:

6. La propiedad es una combinación de propiedades 4 y 5:

Y un ≠ 0 b ≠ 0

7. Propiedad de la invariancia de una integral indefinida:

Si, entonces

8. Propiedad:

Si, entonces

De hecho, esta propiedad es un caso de integración especial utilizando un método de reemplazo variable, que se describe con más detalle en la siguiente sección.

Considere un ejemplo:

Al principio, aplicamos la propiedad 5, luego la propiedad 4, luego usamos la tabla de primitiva y obtuvimos el resultado.

El algoritmo de nuestras integrales de calculadora en línea admite todas las propiedades anteriores y encontrará una solución detallada para su integral.

La tarea se resuelve en el cálculo diferencial: bajo las funciones de Anna ƒ (x) encontrar su derivado(o diferencial). El cálculo integrado resuelve el problema inverso: encuentre la función f (x), conociendo su derivado F "(x) \u003d ƒ (x) (o diferencial). La función deseada f (x) se llama la función primitiva ƒ (x).

Función f (x) se llama en forma de predefinidosfunciones ƒ (x) en el intervalo (A; B), si se realiza la igualdad de X є (A; B)

F "(x) \u003d ƒ (x) (o df (x) \u003d ƒ (x) dx).

por ejemplo, la función primitiva y \u003d x 2, x є r, es una función, ya que

Obviamente, cualquier función también será primitiva.

donde c es constante porque

TEPEMA 29. 1. Si la función F (x) es una función primitiva ƒ (x) a (a; b), entonces el conjunto de todos muy primitivas para ƒ (x) está dado por la fórmula F (x) + c , donde C es un número constante.

▲ Función F (x) + C es un primitivo ƒ (x).

De hecho, (f (x) + c) "\u003d f" (x) \u003d ƒ (x).

Sea F (x) algunos otros diferentes de F (X), la función primitiva ƒ (x), es decir, F "(x) \u003d ƒ (x). Entonces para cualquier x є (A; B) tenemos

Y esto significa (ver Corolario 25. 1) que

donde C es un número constante. En consecuencia, f (x) \u003d f (x) + C. ▼

El conjunto de todos los parámetros de las funciones f (x) + C para ƒ (x) llamado incierto integral de la función ƒ (x)y denota el símbolo∫ ƒ (x) dx.

Por lo tanto, por definición

∫ ƒ (x) dx \u003d f (x) + c.

Aquí ƒ (x) llamado desgrapar de la funciónƒ (x) dx - una expresión clarax - integración variable, ∫ -firmar una integral indefinida.

El funcionamiento de encontrar una integral indefinida de una función se llama integrar esta función.

La integral geométricamente indefinida es una familia de curvas "paralelas" y \u003d f (x) + C (una cierta curva de la familia corresponde a cada valor numérico de C corresponde (ver Fig. 166). La gráfica de cada primitiva (curva) se llama curva integral.

¿Existe una integral indefinida para cualquier función?

Hay un teorema que afirma que "cualquier función continua en (A; B) tiene un efecto primitivo en esta brecha", y por lo tanto, y una integral indefinida.

Notamos una serie de propiedades de una integral indefinida que surge de su definición.

1. El diferencial de una integral indefinida es igual a la expresión inicial, y la derivada de una integral incierta es igual a la función Integrand:

d (∫ ƒ (x) dx) \u003d ƒ (x) dh, (∫ ƒ (x) dx) "\u003d ƒ (x).

DeSititive, D (∫ ƒ (X) DX) \u003d D (F (x) + S) \u003d DF (X) + D (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "\u003d (f (x) + c)" \u003d f "(x) +0 \u003d ƒ (x).

Borrado de esta propiedad es la integración correcta se verifica por diferenciación. Por ejemplo, igualdad

∫ (3x 2 + 4) dx \u003d x z + 4x + con

derecha, ya que (x 3 + 4x + s) "\u003d 3x 2 +4.

2. La primera integral de la diffectividad de alguna función es igual a la suma de esta función y constante arbitraria:

∫df (x) \u003d f (x) + c.

En realidad,

3. Se puede hacer un multiplicador permanente para el signo integral:

α ≠ 0 - constante.

En realidad,

(Poner con 1 / a \u003d p.)

4. Una integral indefinida de la cantidad angelizada del número finito de funciones continuas es igual a la cirugía de la suma integral de los términos de las funciones:

Sea F "(x) \u003d ƒ (x) y g" (x) \u003d g (x). Luego

donde c 1 ± c 2 \u003d s.

5. (Invación de la fórmula de integración).

Si un donde u \u003d φ (x) es una función arbitraria que tiene un derivado continuo.

▲ Sea x una variable independiente, ƒ (x): una función continua y f (x): su pico. Luego

Ahora podemos registrar u \u003d f (x), donde f (x) es una función continuamente diferenciable. Considere la función compleja F (u) \u003d f (φ (x)). Debido a la invasibilidad de la forma de la primera función diferencial (ver pág. 160) tenemos

Desde aquí ▼

Por lo tanto, la fórmula para una integral indefinida sigue siendo justa, independientemente de si la variable de integración es una variable independiente o cualquier función que tiene un derivado continuo.

Entonces, de la fórmula. reemplazando x en u (u \u003d φ (x)) obtenemos

En particular,

Ejemplo 29.1. Encontrar integral

donde c \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Ejemplo 29.2. Encuentra una solución integral:

• 29.3. Tabla de integrales básicas indefinidas.

Usando el hecho de que la integración es un efecto, una diferenciación inversa, puede obtener una tabla de integrales básicas al referirse a las fórmulas correspondientes de la diffectividad de cálculo (tabla diferencial) y utilizando las propiedades de una integral indefinida.

por ejemplo, como

d (pecado u) \u003d porque u. du

Se dará la conclusión de una serie de fórmulas de tabla al considerar los principales métodos de integración.

Las integrales en la siguiente tabla se llaman tabular. Deben ser conocidos por corazón. En el cálculo integral, no hay reglas simples y universales para encontrar la primaria de las funciones elementales, como en el cálculo diferencial. Los métodos para encontrar PepperCase (I.E. integración de la función) se reducen a las instrucciones de las recepciones que llevan esta integral (deseada) a la tabla. En consecuencia, debe conocer las integrales de la tabla y poder reconocerlas.

Tenga en cuenta que en la tabla de las integrales principales, la variable de integración se puede denotar como una variable independiente y la función de una variable independiente (la propiedad de la invariancia de la fórmula integrada).

En la justicia de las fórmulas a continuación, es posible asegurarse de que lo opuesto al lado derecho, que sea igual a la expresión inicial en el lado izquierdo de la fórmula.

Probemos, por ejemplo, la justicia de la fórmula 2. La función 1 / U se define y continúa para todos los valores y aparte de cero.

Si u\u003e 0, entonces ln | u | \u003d lnu, entonces por lo tanto

Esley U.<0, то ln|u|=ln(-u). Но Entonces

Entonces, la fórmula 2 es cierta. Angururrosa, considere la fórmula 15:

Integrales de salida de la tabla

¡Amigos! Te invitamos a discutir. Si tiene su propia opinión, envíenos un correo electrónico en los comentarios.

Deja que la función y = f.(x. ) Definido en el segmento [ uNA., b. ], uNA. < b. . Realice las siguientes operaciones:

1) drenar [ uNA., b. ] Puntos uNA. = x. 0 < x. 1 < ... < x. i.- 1 < x. i. < ... < x. nORTE. = b. sobre el nORTE. Segmentos parciales [ x. 0 , x. 1 ], [x. 1 , x. 2 ], ..., [x. i.- 1 , x. i. ], ..., [x. nORTE.- 1 , x. nORTE. ];

2) En cada uno de los segmentos parciales [ x. i.- 1 , x. i. ], i. = 1, 2, ... nORTE.¡Seleccione un punto arbitrario y calcule el valor de la función en este punto: f.(z i. ) ;

3) encontrar trabajos f.(z i. ) · Δ x. i. donde - la longitud del segmento parcial [ x. i.- 1 , x. i. ], i. = 1, 2, ... nORTE.;

4) maquillaje suma integralfunciones y = f.(x. ) en el segmento [ uNA., b. ]:

Desde un punto de vista geométrico, esta cantidad σ es la suma de las áreas de rectángulos, cuyas bases son segmentos parciales [ x. 0 , x. 1 ], [x. 1 , x. 2 ], ..., [x. i.- 1 , x. i. ], ..., [x. nORTE.- 1 , x. nORTE. ] y las alturas son iguales f.(z. 1 ) , f.(z. 2 ), ..., f.(z n. ) En consecuencia (Fig. 1). Denotamos por λ La longitud del mayor segmento parcial:

5) Encontramos el límite de la cantidad integrada cuando λ → 0.

Definición. Si hay una cantidad integrada finita (1) y no depende del método de dividir el segmento [ uNA., b. ] en segmentos parciales, ni por seleccionar puntos z i. en ellos, entonces este límite se llama ciertamente integral de la función y = f.(x. ) en el segmento [ uNA., b. ] Y denota

De este modo,

En este caso, la función. f.(x. ) Llamada integrable sobre el [ uNA., b. ]. Números uNA. y b. referido como la parte inferior y la parte superior de los límites de integración, f.(x. ) - La función Integrand, f.(x. ) dx - una expresión de conciencia, x. - Variable de integración; sección [ uNA., b. ] Se llama intervalo de integración.

Teorema 1.Si la función y = f.(x. ) continuo en el segmento [ uNA., b. ], entonces está integrado en este segmento.

Una cierta integral con los mismos límites de integración es cero:

Si un uNA. > b. , entonces, por definición, creemos.

2. Significado geométrico de una integral específica.

Dejar en el segmento [ uNA., b. ] Función continua no negativa y = f.(x. ) . Trapezo curvilíneollamado a una figura limitada desde la parte superior del horario de la función y = f.(x. ), a continuación, el eje OH, IZQUIERDO Y DERECHO - DIRECTO x \u003d A. y x \u003d B. (Figura 2).

Cierta integral de la función no negativa. y = f.(x. ) desde un punto de vista geométrico es igual al área de trapecio curvilíneo, limitado en la parte superior del gráfico y = f.(x. ), izquierda y derecha - recortes rectos x \u003d A. y x \u003d B. , abajo - el segmento del eje OH.

3. Las propiedades principales de una integral específica.

1. El valor de una integral específica no depende de la designación de la variable de integración:

2. Se puede sacar un multiplicador permanente de un cierto signo integral:

3. Una integral específica de la cantidad algebraica de dos funciones es igual a la suma algebraica de ciertas integrales de estas funciones:

4. Sif y = f.(x. ) integrarse en [ uNA., b. ] I. uNA. < b. < c. T.

5. (teorema promedio). Si la función y = f.(x. ) continuo en el segmento [ uNA., b. ], luego en este segmento hay un punto, tal que

4. Newton Labitsa Fórmula

Teorema 2.Si la función y = f.(x. ) continuo en el segmento [ uNA., b. ] I. F.(x.) - algún tipo de preformado en este segmento, entonces la siguiente fórmula es verdadera:

lo que es llamado laboratorio de fórmula de Newton. Diferencia F.(b.) - F.(uNA.) Es habitual registrar de la siguiente manera:

donde el personaje se llama un signo de sustitución dual.

Por lo tanto, la fórmula (2) se puede escribir en la forma:

Ejemplo 1. Calcular integral

Decisión. Para la función integrada. f.(x. ) = x. 2 primitivas arbitrarias tiene la forma

Dado que en la Fórmula Newton Labnica, puede usar cualquier primitivo, luego para calcular la integral, tomar una primitiva, tener la vista más simple:

5. Reemplazo de la variable en una integral específica.

Teorema 3. Deja que la función y = f.(x. ) continuo en el segmento [ uNA., b. ]. Si un:

1) función x. = φ ( t.) y su derivado φ "( t.) continuo con;

2) Varios valores de función x. = φ ( t.) Cuando sea un segmento [ uNA., b. ];

3) φ ( uNA.) = uNA., φ ( b.) = b.entonces la fórmula es válida

lo que es llamado la fórmula para reemplazar la variable en una integral específica. .

A diferencia de una integral incierta, en este caso. no es necesario Volver a la variable de integración inicial: es suficiente para encontrar nuevos límites de integración α y β (para esto, es necesario resolver relativamente variable t. ecuaciones φ ( t.) = uNA. y φ ( t.) = b.).

En lugar de la sustitución x. = φ ( t.) Puedes usar la sustitución t. = gRAMO.(x. ). En este caso, encontrar nuevos límites de integración por variable. t.simplificado: α \u003d gRAMO.(uNA.) , β = gRAMO.(b.) .

Ejemplo 2.. Calcular integral

Decisión. Presentamos una nueva variable por la fórmula. Erigencia ambas partes de la igualdad en el cuadrado, obtenemos 1 + x \u003d. t. 2 ¡De! x \u003d. t. 2 - 1, dx = (t. 2 - 1)"dt.= 2tDT. . Encontramos nuevos límites de integración. Para hacer esto, sustituiremos los viejos límites en la fórmula. x \u003d. 3 I. x \u003d. 8. Obtenemos: donde t.\u003d 2 y α \u003d 2; ¡De! t.= 3 y β \u003d 3. Entonces

Ejemplo 3. Calcular

Decisión. Permitir u. \u003d ln. x. luego v. = x. . Por fórmula (4)

En este artículo, enumeramos las propiedades básicas de una integral específica. La mayoría de estas propiedades se prueban en función de los conceptos de cierta integral de Riemann y Darbu.

El cálculo de una integral específica se realiza a menudo utilizando las primeras cinco propiedades, por lo que nos referiremos a ellos si es necesario. Las propiedades restantes de una integral específica se utilizan principalmente para evaluar diversas expresiones.

Antes de pasar a las principales propiedades de una integral específica., estamos de acuerdo en que no supera b.

Para la función y \u003d f (x), definida en x \u003d a, la igualdad es justa.

Es decir, el valor de una integral específica con los límites de coincidencia de la integración es cero. Esta propiedad es una consecuencia de determinar la integral de Riemann, ya que en este caso, cada cantidad integral para cualquier partición de la brecha y cualquier selección de puntos es cero, ya que, por lo tanto, la estimación de las sumas integrales es cero.

Para la función integrada en el segmento se realiza. .

En otras palabras, al cambiar los límites superior e inferior de la integración en los lugares, el valor de un cambio integral específico en lo contrario. Esta propiedad de una integral específica también sigue del concepto de la integral de Riemann, solo se debe iniciar la numeración de la división del segmento desde el punto x \u003d b.

Para integrado en el segmento de las funciones y \u003d f (x) y y \u003d g (x).

Evidencia.

Escribimos la cantidad integrada de la función. Para esta división del segmento y esta selección de puntos:

Donde y son las sumas integrales de las funciones y \u003d f (x) y y \u003d g (x) para esta división del segmento, respectivamente.

Moviéndose al límite cuando Obtenemos que, por definición de la integral de Riemann, es equivalente a la aprobación de las propiedades probadas.

Un multiplicador permanente se puede sacar de un cierto signo integral. Es decir, para la función integrada en el segmento y \u003d f (x) y un número arbitrario k, la igualdad es verdadera .

La prueba de esta propiedad de una integral específica es absolutamente similar a la anterior:


Deje que la función y \u003d f (x) se integre en el intervalo x, y y entonces .

Esta propiedad es justa tanto para ni por o.

La prueba se puede realizar confiando en las propiedades anteriores de una integral específica.

Si la función está integrada en el segmento, entonces está integrado y en cualquier segmento interno.

La prueba se basa en la propiedad de DARBOUX: Si agrega nuevos puntos a la división existente del segmento, entonces la cantidad más baja de Darboux no disminuirá, y la parte superior no aumentará.

Si la función y \u003d f (x) está integrada en el segmento y para cualquier valor del argumento, entonces .

Esta propiedad se demuestra a través de la determinación de la integral de Riemann: cualquier cantidad integral para cualquier selección de los puntos de separación del segmento y los puntos no será negativo (no positivo).

Corolario.

Para integrado en el segmento de funciones y \u003d f (x) y y \u003d g (x), las desigualdades son válidas:


Esta declaración significa que está permitido integrar las desigualdades. Usaremos esta consecuencia en la prueba de las siguientes propiedades.

Deje que la función y \u003d f (x) se integre en el segmento, entonces la desigualdad es verdadera .

Evidencia.

Es obvio que . En la propiedad anterior, descubrimos que la desigualdad se puede integrar hasta ahora, por lo que . Esta dual desigualdad se puede escribir como .

Deje que las funciones y \u003d f (x) y y \u003d g (x) se integren en el segmento y para cualquier valor del argumento, entonces dónde y.

La prueba se realiza de manera similar. Dado que M y M son el valor más pequeño y importante de la función y \u003d f (x) en el segmento, entonces . Dominar la doble desigualdad en la función no negativa y \u003d G (x) nos lleva a la siguiente doble desigualdad. Integrándolo en el segmento, llegaremos a la declaración comprobada.

Corolario.

Si toma g (x) \u003d 1, entonces la desigualdad tomará el formulario .

La primera fórmula media.

Deje que la función y \u003d f (x) se integre en el segmento, Y, entonces hay un número que .

Corolario.

Si la función y \u003d f (x) es continua en el segmento, entonces hay un número que .

La primera fórmula del valor promedio en forma generalizada.

Deje que las funciones y \u003d f (x) y y \u003d g (x) integrables en el segmento, Y, y g (x)\u003e 0 por cualquier valor del argumento. Luego hay un número así que .

La segunda fórmula del promedio.

Si está en el segmento, la función y \u003d f (x) es integrable, y y \u003d g (x) monotonía, entonces hay un número que igual .

La solución de integrales es la tarea es ligera, pero solo para los elegidos. Este artículo es para aquellos que quieren aprender a comprender las integrales, pero no saben nada de ellos o casi nada. Integral ... ¿Por qué se necesita? ¿Cómo calcularlo? ¿Cuál es una cierta e integral indefinida?

Si la única aplicación integral conocida por usted es obtener un crochet en forma de un ícono integral, ¡algo útil de los lugares difíciles de alcanzar, ¡y luego la bienvenida! Aprenda a resolver las integrales más simples y de otro tipo y por qué sin ella es imposible hacer en matemáticas.

Estudiamos el concepto « integral »

La integración se conocía en el antiguo Egipto. Por supuesto, no en forma moderna, pero aún así. Desde entonces, las matemáticas escribieron muchos libros sobre este tema. Especialmente distinguido Newton y Leibnitas Pero la esencia de las cosas no ha cambiado.

¿Cómo entender las integrales desde cero? ¡De ninguna manera! Para entender este tema, el conocimiento básico de los fundamentos del análisis matemático aún necesitará. Información sobre lo necesario y para comprender las integrales, ya tenemos en nuestro blog.

Incierto integral

Tengamos algún tipo de función f (x) .

Función integral incierta f (x) Esta característica se llama F (x) , cuyo derivado es igual a la función. f (x) .

En otras palabras, la integral es un derivado por el contrario o primitivo. Por cierto, sobre cómo leer en nuestro artículo.

Existe predictivo para todas las funciones continuas. Además, el signo constante a menudo se agrega a la primaria, ya que los derivados difieren en la constante coincidir. El proceso de encontrar la integral se llama integración.

Ejemplo simple:

Para no calcular constantemente las funciones elementales primitivas, es conveniente conducirlas a la mesa y usar los valores preparados.

Integrales de mesa completa para estudiantes.

Ciertamente integral

Tener un acuerdo con el concepto de integral, estamos tratando con valores infinitos pequeños. La integral ayudará a calcular la figura de la figura, la masa del cuerpo inhomogéneo, pasó bajo el camino de movimiento irregular y mucho más. Debe recordarse que la integral es la suma del número infinitamente grande de términos infinitamente pequeños.

Como ejemplo, imagina un horario de alguna función.

¿Cómo encontrar un área de figuras limitadas por un gráfico de la función? Con la ayuda de la integral! Dividimos el trapecio curvilíneo, limitado por los ejes de coordenadas y el gráfico de la función, en segmentos infinitamente pequeños. Por lo tanto, la cifra se dividirá en columnas delgadas. La suma del área de las columnas será el área del trapecio. Pero recuerde que dicho cálculo dará un resultado ejemplar. Sin embargo, los segmentos más pequeños ya serán, más precisa será el cálculo. Si los reducemos hasta tal punto, la longitud se esforzará por cero, la cantidad de segmentos se esforzará por el área de la figura. Esta es una integral específica que está escrita de la siguiente manera:

Los puntos A y B se llaman límites de integración.

« Integral »

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Propiedades de una incierta integral.

¿Cómo resolver una integral indefinida? Aquí consideraremos las propiedades de una integral incierta, que será útil al resolver ejemplos.

• El derivado de la integral es igual a la función Integrand:

• La constante se puede hacer desde el signo de la integral:

• La integral de la cantidad es igual a la cantidad de integrales. También también para la diferencia:

Propiedades de una integral específica.

• Linealidad:

• El signo integral cambia si se intercambian los límites de integración:

• Para alguna Puntos uNA., b. y de:

Ya hemos descubierto que una cierta integral es el límite de la cantidad. ¿Pero cómo obtener un valor específico al resolver el ejemplo? Para esto, hay una fórmula newton-leibnic:

Ejemplos de soluciones de integrales.

A continuación se verá una integral indefinida y ejemplos con la solución. Sugerimos entender de forma independiente las sutilezas de la solución, y si algo es incomprensible, haga preguntas en los comentarios.

Para asegurar el material, vea el video sobre cómo se resuelven las integrales en la práctica. No desesperes si la integral no se da inmediatamente. Póngase en contacto con su servicio profesional para estudiantes, y cualquier integral triple o curvilínea en una superficie cerrada se convertirá en fuerzas.