Skomplikowane korzenie online. Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej

liczby w formie trygonometrycznej.

Formuła Moivre'a

Niech z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) i z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Zapis trygonometryczny liczby zespolonej jest wygodny w użyciu do wykonywania operacji mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi całkowitej i wyciągania pierwiastka potęgi n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin ( 1 +  2)).

Mnożąc dwie liczby zespolone w formie trygonometrycznej ich moduły są mnożone, a ich argumenty dodawane. Dzieląc ich moduły są podzielone, a argumenty odejmowane.

Konsekwencją zasady mnożenia liczby zespolonej jest zasada podniesienia liczby zespolonej do potęgi.

z = r (cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ten stosunek nazywa się według formuły Moivre'a.

Przykład 8.1 Znajdź produkt i iloraz:

oraz

Rozwiązanie

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

Przykład 8.2 Napisz liczbę w formie trygonometrycznej

∙
–I) 7.

Rozwiązanie

Oznaczamy
oraz z 2 =
- i.

r 1 = | z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctan ;

z 1 =
;

r 2 = | z 2 | = √ (√ 3) 2 + (- 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Wyodrębnianie pierwiastka z liczby zespolonej

Definicja. Źródłon-ta potęga liczby zespolonej z (oznacza
) jest liczbą zespoloną w taką, że w n = z. Jeśli z = 0, to
= 0.

Niech z  0, z = r (cos + isin). Oznaczamy w =  (cos + sin), to równanie w n = z można zapisać w postaci

 n (cos (n ) + isin (n )) = r (cos + isin).

Stąd  n = r,

 =

Zatem w k =
·
.

Wśród tych wartości jest dokładnie n różnych wartości.

Zatem k = 0, 1, 2,…, n - 1.

Na płaszczyźnie zespolonej te punkty są wierzchołkami regularnego n-kąta wpisanego w okrąg o promieniu
wyśrodkowany w punkcie O (rysunek 12).

Rysunek 12

Przykład 9.1 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

Przedstawmy tę liczbę w formie trygonometrycznej. Znajdźmy jego moduł i argument.

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej te punkty są wierzchołkami kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu
wyśrodkowany na początku (rysunek 13).

Zdjęcie 13 Zdjęcie 14

Przykład 9.2 Znajdź wszystkie wartości
.

Rozwiązanie.

z = - 64 = 64 (cos + isin);

w k =
, gdzie k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Na płaszczyźnie zespolonej te punkty są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 2 wyśrodkowany w punkcie O (0; 0) - Rysunek 14.

§ 10 Postać wykładnicza liczby zespolonej.

Wzór Eulera

Oznaczamy
= cos  + isin  i
= cos  - isin . Te wskaźniki nazywają się Wzory Eulera .

Funkcjonować
posiada zwykłe właściwości funkcji wykładniczej:

Niech liczba zespolona z będzie zapisana w postaci trygonometrycznej z = r (cos + isin).

Korzystając ze wzoru Eulera, możesz napisać:

z = r
.

Ten wpis nazywa się przykładowy Liczba zespolona. Za jego pomocą otrzymujemy zasady mnożenia, dzielenia, potęgowania i ekstrakcji pierwiastków.

Jeśli z 1 = r 1
oraz z 2 = r 2
?następnie

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, gdzie k = 0, 1,…, n - 1.

Przykład 10.1 Napisz liczbę w formie algebraicznej

z =
.

Rozwiązanie.

Przykład 10.2 Rozwiąż równanie z 2 + (4 - 3i) z + 4 - 6i = 0.

Rozwiązanie.

Dla dowolnych współczynników złożonych równanie to ma dwa pierwiastki z 1 iz 1 (prawdopodobnie zbieżne). Te korzenie można znaleźć za pomocą tego samego wzoru, co w prawdziwym przypadku. Ponieważ
przyjmuje dwie wartości, które różnią się tylko znakiem, wtedy ta formuła ma postać:

Ponieważ –9 = 9 · e  i, to wartości
będą numery:

Następnie
oraz
.

Rozwiązanie.

Poszukiwanymi pierwiastkami równania będą wartości
.

Dla z = –1, mamy r = 1, arg (–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Ćwiczenia

9 Przedstaw liczby:

10 Zapisz liczby w postaci wykładniczej i algebraicznej:

11 Zapisz liczby w postaciach algebraicznych i geometrycznych:

12 Podane liczby

Przedstawiając je w przykładowej formie, znajdź
.

13 Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej, wykonaj następujące czynności:

a)
b)

v)
G)

Niemożliwe jest jednoznaczne wyodrębnienie pierwiastka liczby zespolonej, ponieważ ma ona szereg wartości równych jej mocy.

Liczby zespolone są podnoszone do stopnia postaci trygonometrycznej, dla której obowiązuje wzór Moywarda:

\ (\ z ^ (k) = r ^ (k) (\ cos k \ varphi + i \ sin k \ varphi), \ forall k \ in N \)

Podobnie ten wzór jest używany do obliczenia pierwiastka k liczby zespolonej (nie równej zero):

\ (\ z ^ (\ frac (1) (k)) = (r (\ cos (\ varphi + 2 \ pi n) + i \ sin (\ varphi + 2 \ pi n))) ^ (\ frac ( 1) (k)) = r ^ (\ frac (1) (k)) \ lewo (\ cos \ frac (\ varphi + 2 \ pi n) (k) + i \ sin \ frac (\ varphi + 2 \ pi n) (k) \ prawo), \ forall k> 1, \ forall n \ in N \)

Jeśli liczba zespolona nie jest równa zeru, to pierwiastki stopnia k zawsze istnieją i można je przedstawić na płaszczyźnie zespolonej: będą wierzchołkami k-kąta wpisanego w okrąg o środku i promieniu \ (\ r ^ (\ frac (1) (k)) \)

Przykłady rozwiązywania problemów