Parametryczne równanie samolotu przechodzącego przez punkt. Samolot i bezpośrednio w przestrzeni: równanie ogólne i parametryczne

– równanie ogólne Samoloty w kosmosie

Normalny samolot wektorowy

Normalny wektor samolotu nazywa się niezerowy wektor, ortogonalny dla każdego wektora leżącego w samolocie.

Równanie samolotu przechodzącego przez spin standardowego wektora normalnego

- równanie samolotu przechodzącego przez punkt M0 z danym wektorem normalnego

Przewodnik Wektory Samolot.

Dwa niekarnie wektorowe, równoległe samoloty, zadzwońmy na wektory przewodnika samolotu

Parametryczne równania samolotu

- Parametryczne równanie wektora samolotu

- Parametryczne równanie płaszczyzny we współrzędnych

Równanie płaszczyzny przez określony punkt i dwa wektora przewodnika

-Fixed Punkt

- Po prostu punkt lol.

- Kompletny, co oznacza ich mieszaną pracę wynosi 0.

Równanie samolotu przechodzącego przez trzy wartości zadane

- równanie samolotu przez trzy punkty

Równanie samolotu w segmentach

- równanie samolotu w segmentach

Dowód

Dla dowodów używamy, że nasza płaszczyzna przechodzi przez A, B, C i normalny wektor

Zastąp współrzędne punktu i wektornus równanie płaszczyzny z normalnym wektorem

Podzielniemy wszystko i dostajemy

Tak to idzie.

Normalne równanie samolotu

- Kąt między normalnym wektorem do samolotu z widokiem O.

- Kąt między normalnym wektorem do samolotu pochodzącego z O.

- Odległość od początku współrzędnych do samolotu.

Dowód lub jakiś rodzaj huff

Znak jest naprzeciwko D.

Podobny do reszty cosonii. Koniec.

Odległość od punktu do samolotu

Punkt s, samolot

- zorientowana odległość od punktu samolotu

Jeśli TSI Oh leżąc na różnych stronach samolotu

Jeśli Tosi leżą w jedną stronę

Multiply onn.

Wzajemna lokalizacja dwóch bezpośrednich w przestrzeni

Kąt między samolotami

Podczas skrzyżowania powstają dwie pary pionowych dwuosobowych kątów, najmniejszy jest kątem między samolotami.

Bezpośrednio w przestrzeni

Bezpośrednio w przestrzeni, można zapytać jako

Skrzyżowanie dwóch samolotów:

Równania parametryczne są bezpośrednim

- równanie parametryczne bezpośredni w formie wektorowej

- równanie parametryczne bezpośrednio we współrzędnych

Równanie kanoniczne.

- Równanie kanoniczne bezpośrednio.

Równanie bezpośredniego przechodzenia przez dwie wartości zadane

- równanie kanoniczne bezpośredni w formie wektorowej;

Wzajemna lokalizacja dwóch bezpośrednich w przestrzeni

Wzajemna lokalizacja prosta i samolotu w przestrzeni

Kąt między prostym a płaszczyzną

Odległość od punktu do bezpośredniego miejsca

wektor kierujący w naszym prostym.

- arbitralny punkt należący do tego bezpośredniego

- Wskazuje, do którego szukamy na odległość.

Odległość między dwoma biegami

Odległość między dwoma równoległą prostymi

M1 - punkt należący do pierwszego bezpośredniego

M2 - punkt należący do drugiego bezpośredniego

Krzywe i powierzchnie drugiego rzędu

Elipsa nazywana jest wieloma punktami samolotu, ilość odległości, z których aż do dwóch określonych punktów (ostrości) jest wartością stałej.

Równanie elipsy kanonicznej.

Wymień dalej

Podzielamy przez

Właściwości elipsy

Przekraczanie z osiami współrzędnych

Symetria w odniesieniu do

Rozpoczęcie współrzędnych

Elipsa jest krzywą leżącej w ograniczonej części samolotu

Elipsa można uzyskać z kółku, rozciągając go lub kompresję.

Parametryczne równanie elipsy:

- Direccess.

Hiperbola

Hiperbola nazywana jest wieloma punktami płaszczyzny, dla której moduł różnicy odległości do 2x określonych punktów (ostrość) jest stała (2a)

Zrób to samo co z elipsy, którą dostajemy

Wymieniamy

DELIMA.

Właściwości hiperboli

;

- Direccess.

Asymptota

Asymptotta jest prosta, do której krzywa jest nieograniczona zbliża się, usuwając w nieskończoności.

Parabola

Właściwości parabootę.

Relacja elipsy, hiperboli i paraboli.

Związek między tymi krzywymi ma wyjaśnienie algebraiczne: wszystkie z nich są podane przez równania drugiego stopnia. W każdym układzie współrzędnych równanie tych krzywych ma formę: AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F \u003d 0, gdzie A, B, C, D, E, F - numery

Konwertuj prostokątne systemy współrzędnych kartezjańskich

Równoległy transfer układu współrzędnych

-O 'W starej układzie współrzędnych

- pojawiają się punkty w starym układzie współrzędnych

-Camets wskazuje w nowym systemie współrzędnych

Współrzędne punktu w nowym systemie współrzędnych.

Obróć w prostokątnym systemie współrzędnych kartezjańskich

-Nowiany układ współrzędnych.

Matryca przejścia ze starej podstawy do nowego

- (W pierwszej kolumnie JA.’ , pod drugim - jOT.’ ) Podstawa macierz przejściowy JA.,jOT.do bazy JA.’ ,jOT.’

Generał

1 opcja

Obróć układ współrzędnych

Opcja 2

Obróć układ współrzędnych
Równoległy transfer pochodzenia współrzędnych

Ogólne równanie linii drugiego rzędu i jego przywiązanie do kanoniki

– ogólny formularz Równania krzywej drugiego rzędu

Klasyfikacja krzywych drugiego rzędu

Elipsoida

Sekcje Ellipsoid.

- Ellipse.

Elipsoidy rotacji.

Ellipsoidy obrotu są spłaszczone lub wydłużone sferoidy, w zależności od obrotu.

Hiperboloid jednooczny

Sekcje hiperboloidu jednorazowego

- Hiperbole z prawidłową osią

- Hiperbole z prawidłową osą Och

Okazuje się elipsy z dowolnym h. Tak to idzie.

Hiperboloidy jednorazowe obrotu

Jednostopniowany hiperboloid obrotowy można uzyskać przez obracanie hiperboli wokół jego wyimaginowanej osi.

Duży hiperboloid

Sekcje dwufakowego hiperboloidu

- Hiperbola z działaniem. Axoz.

- Hiperbole z prawidłową osią

Stożek

- Para przecinająca się bezpośrednio

Eliptyczny paraboloid.

- Parabola.

Obrót

Jeśli eliptyczna paraboloid jest powierzchnią obrotu utworzonego przez obrót paraboli wokół jego osi symetrii.

Hiperboliczny paraboloid.

Parabola

- Parabola.

h\u003e 0 Hyperbole z prawidłową osią równoległą OH

h.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Pod cylindrą, zrozumiemy powierzchnię, która zostanie uzyskana podczas przemieszczania się bezpośrednio w przestrzeni, która nie zmienia jej kierunku, jeśli bezpośrednie porusza się w stosunku do Oz, równania cylindra jest przekrojem poprzecznym Planexoy.

Cylinder eliptyczny

Cylinder hiperboliczny

Cylinder paraboliczny.

Prosty kształtowanie powierzchni drugiego zamówienia

Prosty, w pełni leżący na powierzchni, nazywane są formowanie powierzchni prostych.

Powierzchnia rotacji

Fuck You Loch.

Pokaz

Pokaznazywamy regułą, za pomocą którego każdy element zestawu A jest umieszczony zgodnie z jednym lub większą liczbą elementów zestawu. Jeśli wszyscy są ustawione przez jedyny element zestawu, wtedy nazywa się mapowanie senblycious.Inaczej wielowarstwowy.

Konwersjazestawy nazywane są wzajemnie ważnym wyświetlaniem zestawu na siebie

Iniekcja

Wstrzyknięcie lub wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zestawu i ustawienia

(różne elementy odpowiadają różnym elementom b) na przykład y \u003d x ^ 2

Znaczenie

Nawiązanie lub mapowanie zestawu i wielu

Dla każdego jest co najmniej jeden A (na przykład zatokę)

Każdy element zestawu B odpowiada tylko jednym elementem zestawu A. (na przykład y \u003d x)

Jednym z akapitów Temat "Równanie bezpośredniego na płaszczyźnie" jest kwestią wytwarzania równań parametrycznych bezpośrednio na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Poniżej opisano zasadę kompilacji takich równań z pewnymi znanymi danymi. Pokazujemy, jak z równań parametrycznych, aby przejść do równań innego typu; Przeanalizujemy rozwiązanie typowych zadań.

Specyficzne bezpośrednie można zdefiniować, jeśli określisz punkt, który należy do tej linii prostej, a bezpośredni wektor bezpośredni.

Przypuśćmy, że otrzymujemy prostokątny układ współrzędnych o x Y. A także określone bezpośrednie i wskazujące punkty leżące na nim m 1 (x 1, y 1) i wektor prowadzący określonego bezpośredniego A → \u003d (A X, A Y) . Dajemy opis określonego bezpośredniego A przy użyciu równań.

Używamy dowolnego punktu m (x, y) i dostać wektor M 1 m →; Obliczam współrzędne współrzędnymi punktami zasad i końcem: m 1 m → \u003d (x - x 1, y - y 1). Opisujemy wynik: Direct jest ustawiony przez wiele punktów M (X, Y), przechodzi przez punkt M 1 (x 1, Y 1) i ma wektor przewodnika A → \u003d (A X, A Y) . Określony zestaw określa bezpośrednio, gdy wektory M 1 m → \u003d (X - X 1, Y - Y 1) i → \u003d (X, A Y) są kolinearne.

Istnieje niezbędny i wystarczający stan dla współczesności wektorów, które w tym przypadku wektory M 1 m → \u003d (x - x 1, Y - Y 1) i A → \u003d (AX, AY) można zapisać w formularzu równania:

M 1 m → \u003d λ · A →, gdzie λ jest pewnym prawidłowym numerem.

Definicja 1.

Równanie M 1 m → \u003d λ · A → nazywa się równaniem parametrów wektora do prostego.

W formie współrzędnej ma formularz:

M 1 m → \u003d λ · A → ⇔ x - x 1 \u003d λ · A x Y - Y 1 \u003d λ · A Y ⇔ X \u003d X 1 + A X · λ Y \u003d Y 1 + A Y · λ

Równania otrzymanego systemu X \u003d X 1 + A X · λ Y \u003d Y1 + A Y · · λ są nazwą równań parametrów bezpośrednio na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Istota nazwy jest następująca: Współrzędne wszystkich punktów są możliwe do określenia przez równania parametryczne na płaszczyźnie forma X \u003d X 1 + AX \u200b\u200b· λ Y \u003d Y 1 + AY · λ, gdy istnieją rozszerzone wartości Parametru λ

Zgodnie z powyższym równania parametryczne są proste na płaszczyźnie X \u003d X 1 + AX \u200b\u200bλ Y \u003d Y 1 + A · λ, definiują linię prostą, która jest podawana w prostokątnym układzie współrzędnych, przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1) i ma wektor przewodnika A → \u003d (A X, A Y) . Dlatego też, jeśli podano współrzędne niektórych punktów bezpośrednich i współrzędnych jej wektora przewodnika, możliwe jest natychmiastowe napisanie równań parametrycznych określonych bezpośrednich.

Przykład 1.

Konieczne jest wykonanie równań parametrycznych bezpośrednio na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych, jeśli określono punkt M 1 (2, 3) i jej wektor przewodnika A → \u003d (3, 1).

Decyzja

Na podstawie danych źródłowych otrzymujemy: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, A X \u003d 3, A Y \u003d 1. Równania parametryczne będą przyjrzeć się:

x \u003d x 1 + A X · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + 1 · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Ilustrować:

Odpowiedź: X \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ

Należy zauważyć: Jeśli wektor A → \u003d (X, A Y) służy bezpośrednio wektora prowadzącego, a punkty M 1 (x 1, Y 1) i M2 (x 2, Y2) należą do tego prosty, możliwe jest określenie go poprzez określenie przez równania parametryczne formularza: x \u003d x 1 + AX \u200b\u200b· λ y \u003d y 1 + ay · λ, jak również w tej opcji: x \u003d x 2 + topór · λ y \u003d y 2 + ay λ.

Na przykład otrzymujemy wektor przewodnika A → \u003d (2, - 1), jak również punkty M 1 (1, - 2) i M2 (3, - 3) należące do tej linii prostej. Następnie równania parametryczne są bezpośrednio zdefiniowane: X \u003d 1 + 2 · λ Y \u003d - 2 - λ lub x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 3 - λ.

Należy zwrócić uwagę na ten fakt: jeśli A → \u003d (A X, A Y) - kieruj wektor przewodnika, a następnie wektor przewodnik Willomb i którykolwiek z wektory μ · A → \u003d (μ · A X, μ · A Y), gdzie μ ε R, μ ≠ 0.

Zatem proste i na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można określić za pomocą równań parametrycznych: x \u003d x 1 + μ · x · λ y \u003d y 1 + μ · · · λ o dowolnej wartości μ, innej niż zero.

Przypuśćmy, prosty A jest ustawiony przez równania parametryczne X \u003d 3 + 2 · λ Y \u003d - 2 - 5 · λ. Następnie A → \u003d (2, - 5) - wektor bezpośredni bezpośredni. A także którykolwiek z wektorów μ · A → \u003d (μ · 2, μ5) \u003d 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 stanie się wektor przewodnika dla określonego bezpośredniego. Dla jasności uważamy za określony wektor - 2 · a → \u003d (- 4, 10), odpowiada μ \u003d - 2. W tym przypadku określone bezpośrednie można również określić za pomocą równań parametrycznych X \u003d 3 - 4 λ λ \u003d - 2 + 10 · λ.

Przejście od równań parametrycznych bezpośrednio na płaszczyźnie do innych równania określonego bezpośredniego iz powrotem

W celu rozwiązania pewnych problemów, stosowanie równań parametrycznych nie jest najbardziej optymalną opcją, istnieje potrzeba przetłumaczenia równań parametrycznych do linii prostej w równaniu bezpośrednich gatunków. Rozważmy, jak to zrobić.

Parametryczne równania bezpośredniej formy X \u003d X 1 + A X · λ Y \u003d Y 1 + A Y · · λ będzie odpowiadać równaniu kanoniczne bezpośrednio na płaszczyźnie X - X 1 A X \u003d Y - Y 1 A Y.

Dozwolone każdym z równań parametrycznych w stosunku do parametru λ, utożsamiamy odpowiednie części uzyskanych równości i otrzymujemy równanie kanoniczne określonego bezpośredniego:

x \u003d x 1 + A x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 A y

Nie należy go mylić, jeśli X lub y będzie zero.

Przykład 2.

Konieczne jest przeprowadzenie przejścia z równań parametrycznych prosto X \u003d 3 Y \u003d - 2 - 4 · λ do równania kanonicznego.

Decyzja

Zapisujemy równania parametryczne w następującym formularzu: X \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ

Wyraź parametr λ w każdym z równań: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ ⇔ λ \u003d x - 3 0 λ \u003d y + 2 - 4

Zrównujemy odpowiednie części systemu równań i uzyskać wymagane równanie kanoniczne bezpośrednio na płaszczyźnie:

x - 3 0 \u003d Y + 2 - 4

Odpowiedź: X - 3 0 \u003d Y + 2 - 4

W przypadku, gdy konieczne jest napisanie równania bezpośredniej postaci A X + B Y + C \u003d 0, podczas gdy równania parametryczne są ustawione na płaszczyznę, konieczne jest najpierw przeniesienie przejścia do równania kanonicznego, a następnie do równania ogólnego bezpośredniego. Piszemy całą sekwencję działań:

x \u003d x 1 + topór · λ y \u003d y 1 + ay λ λ λ \u003d x - x 1 topór λ \u003d y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay · (x - x 1) \u003d AX · (Y - Y 1) ⇔ AX + przez + C \u003d 0

Przykład 3.

Konieczne jest bezpośrednio rejestrowanie równania ogólnego, jeśli określone są równania parametryczne: x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ

Decyzja

Aby rozpocząć, przeprowadzamy przejście do równania kanonicznego:

x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 3 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 3

Uzyskana proporcja jest identyczna z równością - 3 · (x + 1) \u003d 2 ° C. Odkryjemy wsporniki i otrzymamy równanie linii ogólnej: - 3 · x + 1 \u003d 2 · y ⇔ 3 x + 2 Y + 3 \u003d 0.

Odpowiedź: 3 x + 2 Y + 3 \u003d 0

Po powyższej logiki działań, w celu uzyskania równania bezpośredniego z współczynnikiem kątowym, równania są proste w segmentach lub równaniu normalnym, konieczne jest uzyskanie równania linii ogólnej, ale przeprowadzić dalsze przejście od niego.

Teraz uważaj odwrotnie: rejestrowanie równań parametrycznych bezpośrednio z inną określoną formą równań tej linii prostej.

Najłatwiejsze przejście: od równania kanonicznego do parametrycznego. Pozwól kanonicznym równaniu formy: x - x 1 A x \u003d y - x 1 A Y. Każdy z relacji tej równości przyjmie równy parametr λ:

x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y

Dozwolone uzyskane równania w stosunku do zmiennych X i Y:

x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ

Przykład 4.

Konieczne jest rejestrowanie równań parametrycznych bezpośrednio, jeśli równanie kanoniczne jest znane płaszczyźnie: X - 2 5 \u003d Y - 2 2

Decyzja

Zrównoważamy części znanego równania do parametru λ: X - 2 5 \u003d Y - 2 2 \u003d λ. Od uzyskanej równości otrzymujemy równania parametryczne bezpośrednio: X - 2 5 \u003d Y - 2 \u003d λ ⇔ λ \u003d X - 2 5 λ \u003d Y - 2 5 ⇔ x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Odpowiedź: X \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ

Gdy konieczne jest przeprowadzenie przejścia do równań parametrycznych z danego wspólnego równania linii prostej, konieczne jest bezpośrednie równanie z współczynnikiem kątowym lub równaniem prostym w segmentach, początkowe równanie jest konieczne do prowadzenia do kanoniki i po przeprowadzenie przejścia do równań parametrycznych.

Przykład 5.

Konieczne jest napisanie równań parametrycznych do linii prostej ze znanym całkowitym równaniem do tego prostego: 4 x - 3 Y - 3 \u003d 0.

Decyzja

Określone ogólne równanie jest przekształcane w równanie formy kanonicznej:

4 x - 3 y - 3 \u003d 0 ⇔ 4 x \u003d 3 Y + 3 ⇔ ⇔ 4 x \u003d 3 Y + 1 3 ⇔ x 3 \u003d Y + 1 3 4

Uczyniamy obie część równości parametru λ i otrzymujemy wymagane równania parametryczne bezpośredni:

x 3 \u003d Y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x 3 \u003d λ + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

Odpowiedź: x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ

Przykłady i zadania z parametrycznymi równań bezpośrednich na płaszczyźnie

Rozważ najczęściej rodzaje zadań przy użyciu równań parametrycznych bezpośrednio na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych.

W zadaniach pierwszego typu, podano współrzędne punktów należących do równań lub nie bezpośrednich równań parametrycznych.

Rozwiązanie takich zadań opiera się na poniższym fakcie: liczby (X, Y), określone z równań parametrycznych X \u003d X 1 + AX \u200b\u200bλ Y \u003d Y 1 + AY λ z pewną prawidłową wartością λ są współrzędnymi Punkt należący do linii prostej, która opisuje te równania parametryczne.

Przykład 6.

Konieczne jest określenie współrzędnych punktu, który leży na bezpośrednim określonym parametrycznym równaniu X \u003d 2 - 1 6 λ λ \u003d - 1 + 2 · λ w λ \u003d 3.

Decyzja

Zastępujemy pod danymi równaniami parametrycznymi znaną wartość λ \u003d 3 i wdrożyć obliczenie pożądanych współrzędnych: x \u003d 2 - 1 6 · 3 Y \u003d - 1 + 2 · 3 ⇔ x \u003d 1 1 2 Y \u003d 5

Odpowiedź: 1 1 2 , 5

Następne zadanie jest również możliwe: pozwól, aby jakiś punkt M 0 (x 0, Y 0) był podany w płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych i trzeba ustalić, czy ten punkt należy do bezpośrednio opisanych równania parametryczne X \u003d X 1 + AX \u200b\u200b· λ y \u003d y 1 + ay · λ.

Aby rozwiązać takie zadanie, konieczne jest zastąpienie współrzędnych danego punktu do znanych równań parametrycznych bezpośrednio. Jeśli zostanie ustalona, \u200b\u200bże \u200b\u200bta wartość parametru λ \u003d λ 0 jest możliwa, przy którym oba równania parametryczne będą poprawne, a następnie określony punkt należący do określonego bezpośredniego.

Przykład 7.

Punkty M 0 (4, - 2) i N 0 (- 2, 1). Konieczne jest określenie, czy należą one do bezpośredniego zdefiniowanego parametrycznego równań X \u003d 2 · λ y \u003d - 1 - 1 2 · λ.

Decyzja

Zastępujemy współrzędne punktu M 0 (4, - 2) do określonych równań parametrycznych:

4 \u003d 2 · λ - 2 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d 2 λ \u003d 2 ⇔ λ \u003d 2

Wnioskujemy, że punkt M 0 należy do danej linii prostej, ponieważ odpowiada wartości λ \u003d 2.

2 \u003d 2 · λ 1 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d - 1 λ \u003d - 4

Oczywiście nie ma takiego parametru λ, który odpowiada punktu n 0. Innymi słowy, określony bezpośrednie nie przechodzi przez punkt n 0 (- 2, 1).

Odpowiedź:punkt M 0 należy do danej linii prostej; Punkt n 0 nie należy do określonego bezpośredniego.

W obiektach drugiego typu konieczne jest wykonanie równań parametrycznych bezpośrednio na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Najprostszym przykładem takiego zadania (ze znanymi współrzędnymi punktem bezpośredniego i przewodnika) uznano powyżej powyżej. Teraz analizujemy przykłady, w których najpierw musisz znaleźć współrzędne wektora prowadnicy, a następnie napisać równania parametryczne.

Przykład 8.

Podano punkt M 1 1 2, 2 3. Konieczne jest wykonanie równań parametrycznych bezpośrednich przechodzących przez ten punkt i równoległe Direct X 2 \u003d Y - 3 - 1.

Decyzja

Pod warunkiem problemu jest proste, równanie, z których musimy być przed nami, równolegle do bezpośredniego X 2 \u003d Y - 3 - 1. Następnie, jak wekld przewodnika, bezpośredni punkt przechodzący jest możliwy do użycia wektora przewodnika Direct X 2 \u003d Y - 3 - 1, który jest zapisany w postaci: A → \u003d (2, - 1). Teraz wiadomo wszystkie niezbędne dane w celu skompilowania pożądanych równań parametrycznych:

x \u003d x 1 + topór · λ y \u003d y 1 + ay λ λ ⇔ x \u003d 1 2 + 2 · λ y \u003d 2 3 + (- 1) λ λ x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.

Odpowiedź: X \u003d 1 2 + X · λ y \u003d 2 3 - λ.

Przykład 9.

Ustawiony jest punkt M 1 (0, - 7). Konieczne jest rejestrowanie równań parametrów linii prostej, przechodząc przez ten punkt prostopadły do \u200b\u200blinii 3 x - 2 Y - 5 \u003d 0.

Decyzja

Jako bezpośrednie wektory, którego równanie musi być wykonane, możliwe jest podjęcie normalnej linii wektorowej 3 x - 2 Y - 5 \u003d 0. Jego współrzędne (3, - 2). Piszemy wymagane równania parametryczne bezpośredni:

x \u003d x 1 + A X · λ Y \u003d Y 1 + A Y · λ ⇔ x \u003d 0 + 3 · λ y \u003d - 7 + (- 2) λ λ x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ

Odpowiedź: x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · ·

W zadaniach trzeciego typu przejście od równań parametrycznych danego bezpośredniego do innych typów równań, które są określane. Uważaliśmy, że rozwiązanie takich przykładów powyżej, dajemy kolejny.

Przykład 10.

Dana jest podawana na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych, określona przez równania parametryczne X \u003d 1 - 3 4 ° C \u003d - 1 + λ. Konieczne jest znalezienie współrzędnych dowolnego normalnego wektor tej linii prostej.

Decyzja

Aby określić pożądane współrzędne wektora normalnego, wykonaj przejście od równań parametrycznych do całkowitego równań:

x \u003d 1 - 3 4 λ λ \u003d - 1 + λ ⇔ λ \u003d x - 1 - 3 4 λ \u003d Y + 1 1 ⇔ X - 1 - 3 4 \u003d Y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 \u003d - 3 4 · Y + 1 ⇔ x + 3 4 Y - 1 4 \u003d 0

Współczynniki zmiennych X i Y dają nam wymagane współrzędne wektora normalnego. Zatem normalny wektor prosty X \u003d 1 - 3 4 λ λ \u003d - 1 + λ ma współrzędne 1, 3 4.

Odpowiedź: 1 , 3 4 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

Do tej pory uważaliśmy równanie powierzchni w przestrzeni z osi współrzędnych X, Y, Z wyraźnie formularza lub w formularzu ukryte

Możesz napisać równania powierzchni w postaci parametrycznej, wyrażając współrzędne swoich punktów w postaci funkcji dwóch niezależnych zmiennych parametrów i

Załóżmy, że funkcje te są jednoznaczne, ciągłe i mają ciągłe pochodne do drugiego rzędu w pewnym zakresie zmian parametrów.

Jeśli zastąpimy te wyrażenia współrzędnych przez U i V do lewej części równania (37), wówczas musimy uzyskać tożsamość w stosunku do obu i V. zróżnicowanie tej tożsamości na niezależnej zmiennej i V, będziemy mieli

Biorąc pod uwagę te równania jako dwa jednorodne równania względne i stosując algebraiczny lemat wspomniany, otrzymujemy

gdzie k jest pewnym współczynnikiem proporcjonalności.

Wierzymy, że mnożnik do i co najmniej jedną z różnic w odpowiednich częściach tych ostatnich formuł różni się od zera.

Oznacz na zwięzłość napisane trzy różnice w następujący sposób:

Jak wiadomo, równanie samolotu stycznego do naszej powierzchni w niektórych jej punkcie (X, Y, Z) można zapisać w formie

lub, zastępując wartości proporcjonalne, możemy przepisać równanie płaszczyzny stycznej jako:

Współczynniki tego równania są znane jako proporcjonalne do konstrukcji cosinowych normalnych do powierzchni.

Pozycja punktu zmiennego M na powierzchni charakteryzuje się wartościami parametrów i V, a parametry te są zwykle nazywane współrzędnymi punktami powierzchni lub parametrów współrzędnych.

Podając parametry i V Wartości ciągłych, otrzymujemy dwie rodziny linii na powierzchni, które nazywamy liniami powierzchniowo współrzędnych: linie współrzędnych, wzdłuż których tylko V zmienia się, a linie współrzędnych, które tylko zmieniają i. Te dwie rodziny linii współrzędnych dają siatkę współrzędnej na powierzchni.

Jako przykład, rozważ sferę z centrum na początku współrzędnych i promień R. Parametryczne równania takiej kuli można zapisać w formie

Współrzędna, linie są w tym przypadku, oczywiście parallels i południk naszej kuli.

Picie osi współrzędnych, możemy scharakteryzować powierzchnię przez zmienną promień-wektor biegnącym ze stałego punktu naszej powierzchni. Prywatne pochodne z tych parametrów wektorowych promień zostaną uwzględnione, oczywiście, wektory mające na celu koordynowanie linii. Stanowiąc te wektory na osiach

według i od tego można go zobaczyć, że współczynniki w równaniu samolotu stycznej (39) istotą składnika produktu wektorowego Ten produkt wektorowy jest wektor, prostopadle do styczników, które is E. Wektor kierowany przez powierzchnię normalną. Plac długości tego wektora jest oczywiste, oczywiście, produkt skalarny wektor na sobie, czyli po prostu mówiąc, kwadrat tego wektora 1). W przyszłości odgrywa znaczącą rolę pojedynczego wektora normalnego do powierzchni, którą możemy oczywiście pisać w formie

Zmieniając kolejność czynników w pisemnym produkcie wektorowym, dostajemy dla wektora (40) przeciwny kierunek. Będziemy nadal naprawić procedurę dla mnożników w przyszłości, tj. Na pewno naprawimy kierunek normalnej powierzchni.

Weź jakiś punkt M i spędzić dowolną krzywą (L), leżąc na powierzchni przez ten punkt. Ta krzywa, ogólnie rzecz biorąc, nie jest linią współrzędnej, a wzdłuż go zostanie zmieniona, a także v. Kierunek styczna do tej krzywej zostanie określony przez wektor, jeśli zakłada się, że wzdłuż (L) w sąsiedztwie punktu V Parametr jest funkcją pochodnej. Można go zauważyć, że kierunek stycznego do krzywej spędzonej na powierzchni w dowolnym momencie M o tej krzywej jest dość scharakteryzowany wartością w tym momencie. Przy określaniu płaszczyzny stycznej i wycofanie równania (39), wierzyliśmy, że funkcje (38) w rozpatrywanym punkcie i jego otoczeniu są ciągłe prywatne pochodne i że co najmniej jeden z współczynników równania (39) różni się od zero w rozważanym punkcie.

Każde równanie pierwszego stopnia w stosunku do współrzędnych x, y, z

AX + przez + CZ + D \u003d 0 (3.1)

określa płaszczyznę i odwrotnie: dowolna płaszczyzna może być reprezentowana przez równanie (3.1), która jest nazywana płaszczyzna równania.

Wektor n. (A, B, C), ortogonalny samolot, zwany normalny wektor Samolot. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C są jednocześnie równe 0.

Specjalne przypadki równania (3.1):

1. D \u003d 0, AX + przez + CZ \u003d 0 - Płaszczyzna przechodzi przez pochodzenie współrzędnych.

2. C \u003d 0, AX + przez + D \u003d 0 - płaszczyzna równoległa do osi Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, AX + przez \u003d 0 - Płaszczyzna przechodzi przez oś OZ.

4. B \u003d C \u003d 0, AX + D \u003d 0 - Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny OYZ.

Równania płaszczyzn współrzędnych: X \u003d 0, Y \u003d 0, Z \u003d 0.

Bezpośrednio w przestrzeni Można zapytać:

1) Jako linia przecięcia dwóch samolotów, tj. System równań:

A 1 x + B 1 Y + C1 Z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B2 Y + C2 Z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) dwa z własnych punktów M 1 (x 1, Y1, Z 1) i M2 (x 2, Y2, Z2), a następnie bezpośredni, przez nich przechodzą, otrzymuje równania:

3) punkt m 1 (x 1, y 1, z 1), do tego należący i wektor zA.(m, n, p), jest kolinia. Następnie Direct jest określony przez równania:

Równania (3.4) są nazywane równania kanoniczne bezpośrednią.

Wektor zA. nazywa bezpośredni wektor bezpośrednia.

Równania parametryczne są bezpośrednimuzyskamy, równoznajemy każdy z parametrów relacji (3.4) T:

x \u003d x 1 + Mt, Y \u003d Y 1 + NT, Z \u003d Z 1 + P t. (3.5)

System rozwiązywania (3.2) jako system równań liniowych stosunkowo nieznanych x. i y., przyjdź do równań bezpośredni prognozy lub zmniejszone równania są bezpośrednim :

x \u003d MZ + A, Y \u003d NZ + B. (3.6)

Z równań (3.6) można udać się na równania kanoniczne, znajdując z. Z każdego równania i wyrównania uzyskanych wartości:

Od wspólnych równań (3.2) można przenieść do kanonicznego i innego sposobu, jeśli znajdziesz jakiś punkt tej linii prostej i jej wektora przewodnika n.= [n. 1 , n. 2] gdzie. n. 1 (A 1, B 1, C1) i n. 2 (A 2, B2, C2) - normalne wektory ustalonych płaszczyzn. Jeśli jeden z wyznaczników m, n. lub r. W równaniach (3.4) Okazuje się być zero, a następnie cyfra odpowiedniej frakcji należy umieścić w równym zero, tj. system

odpowiednik systemu; Taki bezpośrednie jest prostopadle do osi Och.

System jest równoważny z systemem X \u003d X 1, Y \u003d Y1; Bezpośrednia osi równoległa Oz.

Przykład 1.15.. Zarejestruj się równania samolotu, wiedząc, że punkt A (1, -1.3) służy jako podstawa prostopadle przeprowadzonego z pochodzenia współrzędnych do tej płaszczyzny.

Decyzja.Pod warunkiem wektora zadań OA. (1, -1.3) jest normalną płaszczyzną wektorową, a następnie jego równanie można napisać jako
X-Y + 3Z + D \u003d 0. Uzbiornik współrzędnych punktu A (1, -1,3), który należy do płaszczyzny, znajdujemy D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D \u003d 0 þ D \u003d -11. Tak, X-Y + 3Z-11 \u003d 0.

Przykład 1.16.. Uzyskaj równanie płaszczyzny przechodzącego przez oś Oz i samolotem 2x + Y-Z-7 \u003d 0 kąt 60 o.

Decyzja.Płaszczyzna przechodząca przez oś Oz ustawiona jest przez AX + o \u003d 0 równania, w którym A i jednocześnie nie ma zastosowania do zera. Niech N.
Równe 0, A / BX + Y \u003d 0. Zgodnie z cosiną formułą kąta między dwoma płaszczyznami

Rozwiązywanie równania kwadratowego 3M 2 + 8m - 3 \u003d 0, znajdź korzenie
M 1 \u003d 1/3, M2 \u003d -3, z miejsca, w którym otrzymujemy dwa samoloty 1 / 3x + Y \u003d 0 i -3x + Y \u003d 0.

Przykład 1.17.Wykonuj równania kanoniczne bezpośredni:
5x + Y + Z \u003d 0, 2x + 3Y - 2Z + 5 \u003d 0.

Decyzja.Równania kanoniczne Bezpośrednie mają formularz:

gdzie m, n, r - Direct Wektory bezpośrednie współrzędne, x 1, y 1, z 1 - współrzędne dowolnego punktu należącego do linii prostej. Bezpośrednio jako linia skrzyżowania dwóch samolotów. Aby znaleźć punkt należący do linii, napraw jeden ze współrzędnych (najłatwiejszy sposób umieszczenia, na przykład, x \u003d 0), a wynikowy system został rozwiązany jako system równań liniowych z dwoma nieznanych. Niech X \u003d 0, następnie Y + Z \u003d 0, 3Y - 2Z + 5 \u003d 0, z którego Y \u003d -1, Z \u003d 1. Współrzędne punktu M (x 1, Y1, Z 1) należące do tej linii, znaleźliśmy: M (0, -1,1). Bezpośredni wektor bezpośredni łatwy do znalezienia, znajomość normalnych wektorów samolotów źródłowych n. 1 (5,1,1) i n. 2 (2,3, -2). Następnie

Równania kanoniczne Bezpośrednio mają formularz: x / (- 5) \u003d (y + 1) / 12 \u003d
\u003d (Z - 1) / 13.

Wektor i równania płaskie parametryczne. Niech R 0 i R będzie odpowiednio wektory promieni o pkt m 0 i m. Następnie M 0 M \u003d R - R 0 i stan (5.1) przynależności punktu M o powierzchni przechodzącej przez punkt M 0 prostopadle wektor bezelowy n (Rys. 5.2, A) można przypisać za pomocą scalar Praca jako związek

n (R - R 0) \u003d 0, (5.4)

który jest nazywany wektor równanie samolotu.

Stały samolot w przestrzeni odpowiada zestawowi wektorów równolegle do niego, tj. przestrzeń V2. Wybierz w tej przestrzeni podstawa E 1, E 2, I.E. Kilka nieistotnych wektorów równolegle do rozważanej płaszczyzny i punkt M 0 na płaszczyźnie. Jeśli punkt M należy do płaszczyzny, jest to równoznaczne z faktem, że jest równoległy z wektora M 0 m (Rys. 5.2, B), tj. Należy do określonej przestrzeni V2. Oznacza to, że jest rozkład wektora M 0 m w podstawie E 1, E 2, I.E. Istnieją liczby T1 i T2, dla których M 0 M \u003d T 1 E 1 + T 2 E 2. Odzyskiwanie lewej części tego równania przez promień Vectors R 0 i R, odpowiednio m 0 i M, otrzymujemy równanie parametryczne wektora płaszczyzny

r \u003d R0 + T1 E 1 + T2 E 2, T 1, T 1 ∈ R. (5.5)

Przenieść się z równości wektorów w (5,5) do ich równości współrzędne, oznaczać przez (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) współrzędne punktu M 0, M i przez 1x; E 1Y; E 1Z), (E 2X; E 2Y; E 2Z) Współrzędne wektory E 1, E 2. Równowaga ta sama nazwa współrzędne R i R 0 + T 1 E 1 + T 2 E 2, otrzymujemy parametryczne równania samolotu

Samolot przechodzący przez trzy punkty. Przypuśćmy, że trzy punkty M 1, M2 i M 3 nie leżą na jednej linii prostej. Następnie znajduje się pojedyncza płaszczyzna π, którą te punkty należą. Znajdujemy równanie tej płaszczyzny, formułowanie kryterium akcesoriów dowolnego punktu M o tej płaszczyźnie Π. Następnie napisz to kryterium przez współrzędne punktów. Określone kryterium jest opisem płaszczyzny π jako wielu z tych punktów, dla których wektory M 1 m2, M 1 M 3 i M 1 m compliannas.. Kryterium towarzysza trzech wektorów jest równość zero mieszana praca (Patrz 3.2). Mieszany produkt jest obliczany za pomocą determinant trzeciego rzęduktórych wiersze są współrzędnymi wektory orkonformowana baza. Dlatego, jeśli (xi; yx i; zx i) - współrzędne punktów MX I, I \u003d 1, 2, 3, A (X; Y; Z) - współrzędne punktu M, a następnie M 1 M \u003d (x - x 1; yy 1; z 1), M 1 m2 \u003d (x 2 -X 1; Y2 -Y 1; Z 2 -Z 1), M 1 m 3 \u003d (x 3 -X 1; Y 3 -Y 1; Z 3 -Z 1) i stan równości zero mieszanego produktu tych wektorów jest

Obliczając determinant, otrzymujemy liniowy W stosunku do X, Y, Z równanieto jest ogólne równanie dla pożądanej płaszczyzny. Na przykład, jeśli rozkładać wyznacznik dla pierwszej linii, Dostaję

Ta równość po obliczaniu determinantów i ujawniania nawiasów przekształca się na ogólne równanie płaszczyzny.

Należy pamiętać, że współczynniki z zmiennych w ostatnim równaniu zbiegają się ze współrzędnymi praca wektorowa M 1 m 2 × M 1 m 3. Ten produkt wektorowy, będący produktem dwóch non -ollinar wektory, równoległej płaszczyzny π, daje niezerowe wektor, prostopadły π, tj. jej normalny wektor. Więc pojawienie się współrzędnych produktu wektorowego jako współczynniki ogólnego równania samolotu jest dość naturalne.

Rozważ następny prywatny przypadek samolotu przechodzącego przez trzy punkty. Punkty M 1 (A; 0; 0), M2 (0; B; 0), M 3 (0; 0; C), ABC ≠ 0, nie leżą na jednej prostej i ustawić samolot, który odetka na Osie segmentów koordynuje niezerową długość (rys. 5.3). Tutaj, pod "długościami długości", znaczenie niezerowe współrzędnych wektorów promienia pkt m i, I \u003d 1,2,3 jest rozumieć.

Ponieważ m 1 m2 \u003d (-a; b; 0), m 1 m 3 \u003d (-a; 0; c), m 1 m \u003d (x-a; y; z), a następnie równanie (5.7)

Obliczył determinant, znajdziemy BC (X - A) + ACE + ABZ \u003d 0, dzielimy uzyskane równanie na ABC i przesunąć wolnego członka na prawą stronę,

x / A + Y / B + Z / C \u003d 1.

To równanie jest nazywane równanie samolotu w segmentach.

Przykład 5.2. Znajdź ogólne równanie płaszczyzny, które przechodzi przez punkt o współrzędnych (1; 1; 2) i odetek od osi segmentów o tej samej długości od osi.

Równanie płaszczyzny w segmentach zapewniło, że odcina się z osi segmentów współrzędnych o równej długości, powiedzmy ≠ 0, ma wygląd X / A + Y / B + Z / C \u003d 1. To równanie musi spełnić Współrzędne (1; 1; 2) znany punkt na płaszczyźnie, tj. Równość wynosi 4 / A \u003d 1. Dlatego, A \u003d 4 i pożądane równanie wynosi X + Y + Z - 4 \u003d 0.

Normalne równanie płaszczyzny. Rozważ trochę płaszczyzny π w przestrzeni. Napraw dla niej jednostka normalna wektor n, skierowany z rozpoczęcie współrzędnych "W kierunku samolotu" i oznaczamy odległość od początku o układu współrzędnych do płaszczyzny π (rys. 5.4). Jeśli płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych, a następnie p \u003d 0 i jako kierunek normalnego wektora N, możesz wybrać dowolny z dwóch możliwych.

Jeśli punkt M należy do płaszczyzny π, to jest to równoważne faktu ortogonalny projekcja wektora Om. w kierunku Wektor n równy p, tj. Warunek nom \u003d pr n om \u003d p, od wektor długości n jest równy jeden.

Oznaczają współrzędne punktu m przez (x; y; z) i niech n \u003d (cosα; cosβ; cosγ) (przypomnij sobie, że dla jednego wektora n to przewodniki Cosinees.cOSα, COSβ, COSγ są jednocześnie jego współrzędnymi w tym samym czasie). Przypominając produkt skalarny w równości nom \u003d p w formie współrzędnej, otrzymujemy normalne równanie samolotu

xCOSα + Ycosbeta; + ZCOSγ - P \u003d 0.

Podobnie, przypadek bezpośredniego samolotu, ogólne równanie płaszczyzny w przestrzeni można przekształcić w normalne równanie do mnożnika racjonowania.

Do równania płaszczyzny AX + przez + CZ + D \u003d 0, współczynnik normalizujący jest numerem ± √ (A 2 + B2 + C2), którego znak jest wybrany przez przeciwny znak D. przez wartość bezwzględną , Normalizujący mnożnik jest długością normalnego wektora (A; B; C) płaszczyzny, a znak odpowiada pożądanym kierunku urządzenia normalnego wektora płaszczyzny. Jeśli samolot przechodzi przez pochodzenie układu współrzędnych, tj. D \u003d 0, a następnie znak mnożnika normalizacji można wybrać dowolną.