Jak rozwiązać redukcję ułamków do wspólnego mianownika. Zamiana ułamków na nowy mianownik – reguła i przykłady

• Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku
• Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
• Zrozumienie NOC
• Zamiana ułamków na ten sam mianownik
• Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek?

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku

Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, dodaj ich liczniki i pozostaw mianownik bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tym samym mianowniku, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik taki sam, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, należy dodać ich całe części osobno, a następnie dodać ich części ułamkowe i zapisać wynik ułamkiem mieszanym,

Przykład 1:

Przykład 2:

Jeśli podczas dodawania części ułamkowych uzyskano nieprawidłowy ułamek, wybierz z niego całą część i dodaj ją do całej części, na przykład:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw doprowadzić je do tego samego mianownika, a następnie postępować tak, jak wskazano na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem wielu ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego z ułamków, dodatkowe czynniki znajdują się, dzieląc LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy dowiemy się, czym jest LCM.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwójki (LCM) to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez obie liczby bez reszty. Czasami LCM można znaleźć ustnie, ale częściej, zwłaszcza przy pracy z dużymi liczbami, trzeba znaleźć LCM na piśmie za pomocą następującego algorytmu:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

1. Uwzględnij te liczby
2. Weź największe rozszerzenie i zapisz te liczby jako produkt
3. Wybierz w pozostałych dekompozycjach liczby, które nie występują w największym rozkładzie (lub występują w nim mniejszą liczbę razy) i dodaj je do produktu.
4. Pomnóż wszystkie liczby w produkcie, to będzie LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4 Zamiana ułamków na ten sam mianownik

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy zmniejszamy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki... Możesz je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniej frakcji, na przykład:

Tak więc, aby zredukować ułamki do jednego wskaźnika, najpierw musisz znaleźć LCM (czyli najmniejszą liczbę podzielną przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, a następnie dodać dodatkowe czynniki do liczników ułamków. Możesz je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (LCM) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie należy pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5 Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek?

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, a otrzymasz ułamek mieszany, na przykład:

Jeśli dodamy liczbę całkowitą i ułamek mieszany, dodamy tę liczbę do całego ułamka, na przykład:

Symulator 1

Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku.

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery zadań)

Ukończono 0 z 20 pytań

Informacja

Ten test sprawdza możliwość dodawania ułamków o tym samym mianowniku. W takim przypadku należy przestrzegać dwóch zasad:

• Jeśli wynik jest niepoprawnym ułamkiem, musisz go przekonwertować na liczbę mieszaną.
• Jeśli ułamek można anulować, należy go skrócić, w przeciwnym razie zostanie policzona błędna odpowiedź.

Już wcześniej przystępowałeś do testu. Nie możesz go ponownie uruchomić.

Test się ładuje...

Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.

Aby rozpocząć ten, musisz wykonać następujące testy:

wyniki

Prawidłowe odpowiedzi: 0 z 20

Twój czas:

Czas się skończył

Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0)

1. Z odpowiedzią
2. Oznaczono jako oglądane

Początkowo chciałem uwzględnić metody wspólnego mianownika w akapicie Dodawanie i odejmowanie ułamków. Ale informacji było tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu wspólne mianowniki dotyczą nie tylko ułamków liczbowych), że lepiej zbadać ten problem osobno.

Załóżmy więc, że mamy dwie ułamki o różnych mianownikach. I chcemy mieć pewność, że mianowniki będą takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa właściwość ułamka, która, przypomnijmy, brzmi tak:

Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli dobierzesz odpowiednie współczynniki, mianowniki ułamków się wyrównają - proces ten nazywamy redukcją wspólnego mianownika. A wymagane liczby, „wyrównujące” mianowniki, nazywane są dodatkowymi czynnikami.

Dlaczego w ogóle trzeba łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem? Oto tylko kilka powodów:

1. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
2. Porównanie frakcji. Czasami zamiana na wspólny mianownik znacznie ułatwia to zadanie;
3. Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty są w rzeczywistości typowymi wyrażeniami zawierającymi ułamki.

Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb, które po pomnożeniu przez równe mianowniki ułamków. Rozważymy tylko trzy z nich - w porządku rosnącym złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie krzyżowe

Najłatwiejszy i najbezpieczniejszy sposób na zagwarantowanie wyrównania mianowników. Pójdziemy dalej: pomnóż pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Rozważ mianowniki sąsiednich ułamków jako dodatkowe czynniki. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą konkretną metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, ponieważ mianowniki mnoży się „z wyprzedzeniem”, a w efekcie można uzyskać bardzo duże liczby. To jest cena za niezawodność.

Metoda wspólnych dzielników

Ta technika pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest rzadko używana. Metoda jest następująca:

1. Zanim przejdziesz dalej (czyli metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest dzielony przez drugi.
2. Liczba uzyskana w wyniku takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla frakcji o niższym mianowniku.
3. W tym przypadku ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażeń:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny przez drugi bez reszty, stosujemy metodę współczynników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że drugi ułamek nigdy nie został przez nic pomnożony. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Nawiasem mówiąc, nie bez powodu wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś ciekawy, spróbuj policzyć je w poprzek. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie znacznie więcej.

Na tym polega siła metody wspólnych dzielników, ale powtarzam, że można ją zastosować tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest podzielny przez drugi bez reszty. Co jest dość rzadkie.

Najmniej powszechna wielokrotna metoda

Kiedy łączymy ułamki ze wspólnym mianownikiem, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „krzyżowej”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest w porządku, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96.

Najmniejsza liczba podzielna przez każdy z mianowników nazywana jest ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność aib jest oznaczona przez LCM (a; b). Na przykład LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Jeśli znajdziesz taką liczbę, całkowita ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażeń:

Zauważ, że 234 = 117 · 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a dzielnik 117 jest wspólny. Zatem LCM (234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 · 3; 20 = 5 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Dlatego LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz przenosimy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak pomocne było rozłożenie na czynniki oryginalnych mianowników:

1. Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
2. Z powstałego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 = 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Aby oszacować, jak kolosalne zyski daje najmniej powszechna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady za pomocą metody krzyżowej. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarze będą zbędne.

Nie myśl, że tak złożonych ułamków nie będzie w prawdziwych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Jedynym problemem jest to, jak znaleźć to właśnie NOC. Czasami wszystko można znaleźć w kilka sekund, dosłownie „na oko”, ale ogólnie jest to złożone zadanie obliczeniowe, które wymaga osobnego rozważenia. Nie poruszymy tego tutaj.

Jak sprowadzić ułamki algebraiczne (wymierne) do wspólnego mianownika?

1) Jeśli mianowniki ułamków są wielomianami, musisz wypróbować jeden ze znanych sposobów.

2) Najmniejszy wspólny mianownik (LCN) składa się z ze wszystkich czynniki uwzględnione w najwspanialszy stopień.

Najmniejszy wspólny mianownik liczb jest ustnie poszukiwany jako najmniejsza liczba podzielna przez pozostałe liczby.

3) Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, nowy mianownik należy podzielić przez stary.

4) Licznik i mianownik pierwotnego ułamka mnoży się przez dodatkowy czynnik.

Rozważ przykłady redukcji ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.

Aby znaleźć wspólny mianownik dla liczb, wybierz większą liczbę i sprawdź, czy jest podzielna przez mniejszą. 15 nie jest podzielne przez 9. Pomnóż 15 przez 2 i sprawdź, czy otrzymana liczba jest podzielna przez 9. 30 nie jest podzielne przez 9. Pomnóż 15 przez 3 i sprawdź, czy otrzymana liczba jest podzielna przez 9. 45 jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​wspólnym mianownikiem tych liczb jest 45.

Na najniższy wspólny mianownik składają się wszystkie czynniki wzięte w największym stopniu. Tak więc wspólnym mianownikiem tych ułamków jest 45 pne (zwykle pisze się litery w kolejności alfabetycznej).

Aby znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, nowy mianownik należy podzielić przez stary. 45bc: (15b) = 3c, 45bc: (9c) = 5b. Licznik i mianownik każdego ułamka mnożymy przez dodatkowy czynnik:

Najpierw szukamy wspólnego mianownika dla liczb: 8 przez 6 nie jest podzielne, 8 ∙ 2 = 16 przez 6 nie jest podzielne, 8 ∙ 3 = 24 przez 6 jest podzielne. Każda ze zmiennych musi być raz zawarta we wspólnym mianowniku. Od stopni bierzemy stopień z dużym wykładnikiem.

Zatem wspólnym mianownikiem tych ułamków jest 24a³bc.

Aby znaleźć dodatkowy czynnik dla każdego ułamka, musisz podzielić nowy mianownik przez stary: 24a³bc: (6a³c) = 4b, 24a³bc: (8a²bc) = 3a.

Dodatkowy czynnik mnoży się przez licznik i mianownik:

Wymagane są wielomiany w mianownikach tych ułamków. Mianownik pierwszego ułamka to pełny kwadrat różnicy: x²-18x + 81 = (x-9) ²; w drugim mianowniku - różnica kwadratów: x²-81 = (x-9) (x + 9):

Na wspólny mianownik składają się wszystkie czynniki wzięte w największym stopniu, czyli równe (x-9) ² (x + 9). Znajdź dodatkowe czynniki i pomnóż je przez licznik i mianownik każdego ułamka:

W tym artykule wyjaśniono, jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika i jak znaleźć najniższy wspólny mianownik. Podano definicje, podano regułę sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważono przykłady praktyczne.

Co to jest redukcja wspólnego mianownika?

Wspólne ułamki mają licznik na górze i mianownik na dole. Jeśli ułamki mają ten sam mianownik, mówi się, że mają wspólny mianownik. Na przykład ułamki 11 14, 17 14, 9 14 mają ten sam mianownik 14. Innymi słowy, sprowadza się je do wspólnego mianownika.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, zawsze można je sprowadzić do wspólnego mianownika za pomocą prostych czynności. Aby to zrobić, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez pewne dodatkowe czynniki.

Oczywiście ułamki 4 5 i 3 4 nie są doprowadzone do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, musisz doprowadzić je do mianownika 20, używając dodatkowych współczynników 5 i 4. Jak dokładnie to zrobić? Pomnóż licznik i mianownik liczby 4 5 przez 4 i pomnóż licznik i mianownik liczby 3 4 przez 5. Zamiast ułamków 4 5 i 3 4 otrzymujemy odpowiednio 16 20 i 15 20.

Wspólny mianownik ułamków

Doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika polega na pomnożeniu liczników i mianowników ułamków przez takie czynniki, że wynikiem są identyczne ułamki o tym samym mianowniku.

Wspólny mianownik: definicja, przykłady

Jaki jest wspólny mianownik?

Wspólny mianownik

Wspólnym mianownikiem ułamków jest dowolna liczba dodatnia, która jest wspólną wielokrotnością wszystkich podanych ułamków.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem zbioru ułamków będzie liczba naturalna podzielna równomiernie przez wszystkie mianowniki tych ułamków.

Zakres liczb naturalnych jest nieskończony, a zatem z definicji każdy zestaw zwykłych ułamków ma nieskończony zestaw wspólnych mianowników. Innymi słowy, istnieje nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności wszystkich mianowników pierwotnego zbioru ułamków.

Wspólny mianownik dla wielu ułamków jest łatwy do znalezienia za pomocą definicji. Niech będą ułamki 1 6 i 3 5. Wspólnym mianownikiem ułamków jest dowolna dodatnia wspólna wielokrotność 6 i 5. Te dodatnie wspólne wielokrotności to 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 i tak dalej.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 1. Wspólny mianownik

Czy ułamek 1 3, 21 6, 5 12 można sprowadzić do wspólnego mianownika, którym jest 150?

Aby dowiedzieć się, czy tak jest, należy sprawdzić, czy 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników ułamków, czyli liczb 3, 6, 12. Innymi słowy, liczba 150 musi być podzielna przez 3, 6, 12 bez reszty. Sprawdźmy:

150 ÷ ​​​​3 = 50, 150 ÷ ​​​​6 = 25, 150 ÷ ​​​​12 = 12, 5

Stąd 150 nie jest wspólnym mianownikiem tych ułamków.

Najmniejszy wspólny mianownik

Najmniejszą liczbę naturalną ze zbioru wspólnych mianowników zbioru ułamków nazywamy najmniejszym wspólnym mianownikiem.

Najmniejszy wspólny mianownik

Najniższy wspólny mianownik ułamka to najmniejsza liczba spośród wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.

Najmniejszym wspólnym dzielnikiem danego zbioru liczb jest najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). LCM wszystkich mianowników ułamków jest najniższym wspólnym mianownikiem tych ułamków.

Jak znaleźć najniższy wspólny mianownik? Znalezienie go sprowadza się do znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności ułamków. Weźmy przykład:

Przykład 2. Znajdź najmniej wspólny mianownik

Znajdź najniższy wspólny mianownik dla ułamków 1 10 i 127 28.

Poszukujemy LCM o numerach 10 i 28. Rozłóżmy je na czynniki pierwsze i uzyskajmy:

10 = 2 5 28 = 2 2 7 H O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140

Jak sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika

Istnieje zasada, która wyjaśnia, jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Reguła składa się z trzech punktów.

Zasada redukcji ułamków do wspólnego mianownika

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
2. Znajdź dodatkowy czynnik dla każdej frakcji. Aby znaleźć czynnik, musisz podzielić najniższy wspólny mianownik przez mianownik każdego ułamka.
3. Pomnóż licznik i mianownik przez znaleziony dodatkowy czynnik.

Rozważmy zastosowanie tej zasady na konkretnym przykładzie.

Przykład 3. Redukcja ułamków do wspólnego mianownika

Są ułamki 3 14 i 5 18. Sprowadźmy je do najniższego wspólnego mianownika.

Z reguły najpierw znajdujemy LCM mianowników ułamków.

14 = 2 7 18 = 2 3 3 H O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126

Obliczamy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Dla 3 14 dodatkowy mnożnik wyniesie 126 ÷ 14 = 9, a dla ułamka 5 18 dodatkowy mnożnik wyniesie 126 ÷ 18 = 7.

Mnożymy licznik i mianownik ułamków przez dodatkowe czynniki i otrzymujemy:

3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.

Zmniejszenie wielu ułamków do najniższego wspólnego mianownika

Zgodnie z rozważaną zasadą do wspólnego mianownika można sprowadzić nie tylko pary ułamków, ale także większą ich liczbę.

Podajmy jeszcze jeden przykład.

Przykład 4. Redukcja ułamków do wspólnego mianownika

Zmniejsz ułamki 3 2, 5 6, 3 8 i 17 18 do najniższego wspólnego mianownika.

Obliczmy LCM mianowników. Znajdujemy LCM trzech lub więcej liczb:

HOC (2, 6) = 6 HOC (6, 8) = 24 HOC (24, 18) = 72 HOC (2, 6, 8, 18) = 72

Dla 3 2 dodatkowy mnożnik 72 ÷ 2 = 36, dla 5 6 dodatkowy mnożnik 72 ÷ 6 = 12, dla 3 8 dodatkowy mnożnik 72 ÷ 8 = 9, ostatecznie dla 17 18 dodatkowy mnożnik 72 ÷ 18 = 4.

Mnożymy ułamki przez dodatkowe czynniki i przechodzimy do najniższego wspólnego mianownika:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Jak zamienić ułamki na wspólny mianownik

Jeśli zwykłe ułamki mają te same mianowniki, to mówią, że te ułamki są doprowadzone do wspólnego mianownika.

Przykład 1

Na przykład ułamki $ \ frac (3) (18) $ i $ \ frac (20) (18) $ mają ten sam mianownik. Mówi się, że mają wspólny mianownik 18 dolarów. Ułamki $ \ frac (1) (29) $, $ \ frac (7) (29) $ i $ \ frac (100) (29) $ również mają ten sam mianownik. Mówi się, że mają wspólny mianownik 29 USD.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, można je zredukować do wspólnego mianownika. Aby to zrobić, musisz pomnożyć ich liczniki i mianowniki przez pewne dodatkowe czynniki.

Przykład 2

Jak zredukować dwa ułamki $ \ frac (6) (11) $ i $ \ frac (2) (7) $ do wspólnego mianownika.

Decyzja.

Pomnóż ułamki $ \ frac (6) (11) $ i $ \ frac (2) (7) $ przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 7 $ i 11 $ i sprowadź je do wspólnego mianownika $ 77 $:

$ \ frac (6 \ cdot 7) (11 \ cdot 7) = \ frac (42) (77) $

$ \ frac (2 \ cdot 11) (7 \ cdot 11) = \ frac (22) (77) $

W ten sposób, redukcja ułamków do wspólnego mianownika nazywa się mnożeniem licznika i mianownika tych ułamków przez dodatkowe czynniki, co w rezultacie pozwala uzyskać ułamki o tych samych mianownikach.

Wspólny mianownik

Definicja 1

Dowolna dodatnia wspólna wielokrotność wszystkich mianowników pewnego zbioru ułamków nazywa się wspólny mianownik.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem danych ułamków jest dowolna liczba naturalna, którą można podzielić przez wszystkie mianowniki danych ułamków.

Definicja implikuje nieskończony zestaw wspólnych mianowników dla danego zestawu ułamków.

Przykład 3

Znajdź wspólne mianowniki ułamków $ \ frac (3) (7) $ i $ \ frac (2) (13) $.

Decyzja.

Te ułamki mają mianowniki odpowiednio 7 i 13 USD. Dodatnie wspólne wielokrotności 2 $ i 5 $ są równe 91, 182, 273, 364 $ itd.

Każda z tych liczb może być użyta jako wspólny mianownik ułamków $ \ frac (3) (7) $ i $ \ frac (2) (13) $.

Przykład 4

Określ, czy ułamki $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ i $ \ frac (11) (9) $ można sprowadzić do wspólnego mianownika $ 252 $.

Decyzja.

Aby ustalić, jak sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika 252 $, musisz sprawdzić, czy liczba 252 $ jest wspólną wielokrotnością mianowników 2 $, 7 $ i 9 $. W tym celu dzielimy liczbę 252 $ przez każdy z mianowników:

$ \ frac (252) (2) = 126, $ $ \ frac (252) (7) = 36 $, $ \ frac (252) (9) = 28 $.

Liczba 252 $ jest podzielna przez wszystkie mianowniki, tj. jest wspólną wielokrotnością 2 $, 7 $ i 9 $. Stąd podane ułamki $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ i $ \ frac (11) (9) $ można sprowadzić do wspólnego mianownika $ 252 $.

Odpowiedź: możesz.

Najmniejszy wspólny mianownik

Definicja 2

Spośród wszystkich wspólnych mianowników danych ułamków można wyróżnić najmniejszą liczbę naturalną, która nazywa się najniższy wspólny mianownik.

Dlatego LCM jest najmniejszym dodatnim wspólnym mianownikiem danego zbioru liczb, to LCM mianowników danych ułamków jest najmniejszym wspólnym mianownikiem tych ułamków.

Dlatego, aby znaleźć najniższy wspólny mianownik ułamków, musisz znaleźć LCM mianowników tych ułamków.

Przykład 5

Podano ułamki $ \ frac (4) (15) $ i $ \ frac (37) (18) $. Znajdź ich najniższy wspólny mianownik.

Decyzja.

Mianowniki tych ułamków to 15 USD i 18 USD. Znajdź najmniej wspólny mianownik jako LCM liczb 15 $ i 18 $. W tym celu używamy rozkładu liczb na czynniki pierwsze:

15 $ = 3 \ cdot 5 $, 18 $ = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 $

$LCM (15, 18) = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 = 90 $.

Odpowiedź: 90 $.

Zasada redukcji ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika

Najczęściej przy rozwiązywaniu problemów z algebry, geometrii, fizyki itp. zwyczajowo redukuje się zwykłe ułamki do najniższego wspólnego mianownika, a nie do żadnego wspólnego mianownika.

Algorytm:

1. Korzystając z LCM mianowników danych ułamków, znajdź najniższy wspólny mianownik.
2. 2.Oblicz dodatkowy współczynnik dla podanych ułamków. Aby to zrobić, znaleziony najniższy wspólny mianownik musi zostać podzielony przez mianownik każdego ułamka. Wynikowa liczba będzie dodatkowym czynnikiem tego ułamka.
3. Pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez dodatkowy znaleziony czynnik.

Przykład 6

Znajdź najmniejszy wspólny mianownik ułamków $ \ frac (4) (16) $ i $ \ frac (3) (22) $ i skróć do niego oba ułamki.

Decyzja.

Użyjmy algorytmu redukcji ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika.

Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność 16 $ i 22 $:

Podzielmy mianowniki na czynniki pierwsze: 16 $ = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, $ 22 = 2 \ cdot 11 $.

$LCM (16, 22) = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 11 = 176 $.

Obliczmy dodatkowe współczynniki dla każdego ułamka:

$ 176 \ div 16 = 11 $ - dla ułamka $ \ frac (4) (16) $;

$ 176 \ div 22 = 8 $ - dla ułamka $ \ frac (3) (22) $.

Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków $ \ frac (4) (16) $ i $ \ frac (3) (22) $ przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 11 $ i 8 $. Otrzymujemy:

$ \ frac (4) (16) = \ frac (4 \ cdot 11) (16 \ cdot 11) = \ frac (44) (176) $

$ \ frac (3) (22) = \ frac (3 \ cdot 8) (22 \ cdot 8) = \ frac (24) (176) $

Obie frakcje są sprowadzane do najniższego wspólnego mianownika 176 $.

Odpowiedź: $ \ frac (4) (16) = \ frac (44) (176) $, $ \ frac (3) (22) = \ frac (24) (176) $.

Czasami, aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik, trzeba przeprowadzić szereg czasochłonnych obliczeń, które mogą nie uzasadniać celu rozwiązania problemu. W takim przypadku możesz użyć najprostszego sposobu - sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, który jest iloczynem mianowników tych ułamków.