Prostokątny trapez równoramienny. Co to jest trapez

1. Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych trapezowych jest równy połowie różnicy bazowej
2. Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i odcinki przekątnych do punktu ich przecięcia są podobne
3. Trójkąty utworzone przez odcinki przekątnych trapezu, których boki leżą po bokach trapezu - równe (mają taką samą powierzchnię)
4. Jeśli przedłużysz boczne boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, to przecinają się one w jednym punkcie z linią prostą łączącą punkty środkowe podstaw
5. Odcinek łączący podstawy trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest podzielony przez ten punkt w proporcji równej stosunkowi długości podstaw trapezu
6. Odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu i poprowadzony przez punkt przecięcia przekątnych jest podzielony przez ten punkt na pół, a jego długość jest równa 2ab / (a ​​+ b), gdzie a i b są podstawami trapezu

Właściwości odcinka łączącego punkty środkowe przekątnych trapezowych

Łączymy punkty środkowe przekątnych trapezu ABCD, w wyniku czego mamy odcinek LM.
Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych trapezowych, leży na linii środkowej trapezu.

Ten segment równolegle do podstawy trapezu.

Długość odcinka łączącego punkty środkowe przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy jego podstaw.

LM = (AD - BC) / 2
lub
LP = (a-b) / 2

Właściwości trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu

Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i punkt przecięcia przekątnych trapezu - są podobne.
Trójkąty BOC i AOD są podobne. Ponieważ kąty BOC i AOD są pionowe, są równe.
Kąty OCB i OAD są wewnętrzne poprzecznie na prostych równoległych AD i BC (podstawy trapezu są do siebie równoległe) i na siecznej AC, a zatem są sobie równe.
Z tego samego powodu kąty OBC i ODA są równe (skrzyżowanie wewnętrzne).

Ponieważ wszystkie trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, te trójkąty są podobne.

Co z tego wynika?

Aby rozwiązać problemy w geometrii, podobieństwo trójkątów wykorzystuje się w następujący sposób. Jeśli znamy wartości długości dwóch odpowiadających sobie elementów podobnych trójkątów, wówczas znajdujemy współczynnik podobieństwa (dzielimy jeden przez drugi). Stąd długości wszystkich innych elementów odnoszą się do siebie dokładnie taką samą wartością.

Właściwości trójkątów leżących na boku i przekątnych trapezu

Rozważ dwa trójkąty leżące po bokach trapezu AB i CD. Są to trójkąty AOB i COD. Pomimo tego, że rozmiary poszczególnych boków tych trójkątów mogą być zupełnie inne, ale obszary trójkątów utworzonych przez boki i punkt przecięcia przekątnych trapezu są, to znaczy, że trójkąty są równej wielkości.

Jeśli przedłużysz boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, wówczas punkt przecięcia boków będzie wyrównać z linią prostą, która przechodzi przez punkty środkowe podstaw.

W ten sposób każdy trapez można przedłużyć do trójkąta. W której:

• Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu o wspólnym wierzchołku na przecięciu wysuniętych boków bocznych są podobne
• Linia prosta łącząca punkty środkowe podstaw trapezu jest jednocześnie medianą skonstruowanego trójkąta

Właściwości linii łączącej podstawy trapezowe

Jeśli narysujesz segment, którego końce leżą na podstawach trapezu, który leży w punkcie przecięcia przekątnych trapezu (KN), to stosunek jego segmentów składowych od boku podstawy do punkt przecięcia przekątnych (KO/ON) będzie równy stosunkowi podstaw trapezu(BC / AD).

KO / ON = BC / AD

Ta właściwość wynika z podobieństwa odpowiednich trójkątów (patrz wyżej).

Własności linii równoległej do podstaw trapezu

Jeśli narysujesz odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu, będzie miał następujące właściwości:

• Zadana odległość (KM) dzieli punkt przecięcia przekątnych trapezowych na pół
• Długość segmentu przechodząca przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i równolegle do podstaw jest równa KM = 2ab / (a ​​+ b)

Wzory do znajdowania przekątnych trapezu

a, b- podstawa trapezu

Płyta CD- boczne boki trapezu

d1 d2- przekątne trapezowe

α β - kątowniki o większej podstawie trapezu

Wzory do znajdowania przekątnych trapezu przez podstawy, boki i kąty u podstawy

Pierwsza grupa wzorów (1-3) odzwierciedla jedną z głównych właściwości przekątnych trapezowych:

1. Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów boków plus dwukrotność iloczynu jego podstaw. Tę właściwość przekątnych trapezu można udowodnić jako osobne twierdzenie

2 ... Ta formuła jest uzyskiwana poprzez konwersję poprzedniej formuły. Kwadrat drugiej przekątnej jest przerzucany przez znak równości, po czym pierwiastek kwadratowy jest wyciągany z lewej i prawej strony wyrażenia.

3 ... Ten wzór na znalezienie długości przekątnej trapezowej jest podobny do poprzedniego, z tą różnicą, że inna przekątna pozostaje po lewej stronie wyrażenia

Kolejna grupa wzorów (4-5) ma podobne znaczenie i wyraża podobny stosunek.

Grupa wzorów (6-7) pozwala znaleźć przekątną trapezu, jeśli znana jest większa podstawa trapezu, jedna strona i kąt przy podstawie.

Wzory do znajdowania przekątnych trapezu pod względem wysokości

Zadanie.
Przekątne trapezu ABCD (AD | | BC) przecinają się w punkcie O. Znajdź długość podstawy BC trapezu, jeśli podstawa ma AD = 24 cm, długość AO = 9 cm, długość OC = 6 cm.

Rozwiązanie.
Rozwiązanie tego problemu pod względem ideologicznym jest absolutnie identyczne z poprzednimi problemami.

Trójkąty AOD i BOC są podobne w trzech rogach - AOD i BOC są pionowe, a pozostałe kąty są równe parami, ponieważ tworzą je przecięcie jednej prostej i dwóch równoległych.

Ponieważ trójkąty są do siebie podobne, wszystkie ich wymiary geometryczne są ze sobą powiązane, tak jak wymiary geometryczne odcinków AO i OC znane nam z zadania. To jest

AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / pne
BC = 24 * 6/9 = 16

Odpowiedź: 16 cm

Zadanie .
W trapezie ABCD wiadomo, że AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Znajdź obszar trapezu.

Rozwiązanie .
Aby znaleźć wysokość trapezu od wierzchołków mniejszej podstawy B i C, obniżamy dwie wysokości do większej podstawy. Ponieważ trapez jest nierówny, oznaczamy długość AM = a, długość KD = b ( nie mylić z notacją we wzorze znalezienie obszaru trapezu). Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, a pominęliśmy dwie wysokości prostopadłe do większej podstawy, to MBCK jest prostokątem.

Znaczy
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Trójkąty DBM i ACK są prostokątne, więc ich kąty proste tworzą wysokości trapezu. Oznaczmy wysokość trapezu przez h. Następnie przez twierdzenie Pitagorasa

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
oraz
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Bierzemy pod uwagę, że a = 16 - b, to w pierwszym równaniu
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Podstawmy wartość kwadratu wysokości w drugim równaniu otrzymanym z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Więc KD = 12
Gdzie
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Znajdź obszar trapezu przez jego wysokość i połowę sumy podstaw
, gdzie a b jest podstawą trapezu, h jest wysokością trapezu
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2

Odpowiedź: powierzchnia trapezu wynosi 80 cm2.

Trapez to szczególny przypadek czworoboku, w którym jedna para boków jest równoległa. Termin „trapez” pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, oznaczającego „stół”, „stół”. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom trapezu i jego właściwościom. Ponadto dowiemy się, jak obliczyć poszczególne elementy tego Na przykład przekątną trapezu równoramiennego, linię środkową, obszar itp. Materiał jest prezentowany w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępny formularz.

Informacje ogólne

Najpierw zastanówmy się, czym jest czworokąt. Ten kształt jest szczególnym przypadkiem wielokąta o czterech bokach i czterech wierzchołkach. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywane są przeciwległymi. To samo można powiedzieć o dwóch niesąsiadujących ze sobą bokach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i deltoid.

Wróćmy więc do trapezów. Jak powiedzieliśmy, ta figura ma dwie równoległe strony. Nazywane są bazami. Pozostałe dwie (nierównoległe) to boki. W materiałach egzaminów i różnych testów często można znaleźć zadania związane z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od ucznia wiedzy, której program nie przewiduje. Szkolny kurs geometrii wprowadza studentów we właściwości kątów i przekątnych oraz linii środkowej trapezu równoramiennego. Ale oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma inne cechy. Ale o nich trochę później ...

Rodzaje trapezu

Istnieje wiele rodzajów tej figury. Najczęściej jednak zwyczajowo bierze się pod uwagę dwa z nich - równoramienne i prostokątne.

1. Trapez prostokątny to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw. Jego dwa kąty są zawsze równe dziewięćdziesięciu stopniom.

2. Trapez równoramienny to figura geometryczna o równych bokach. Oznacza to, że kąty u podstaw są również równe parami.

Główne zasady metodyki badania właściwości trapezu

Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. W zasadzie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego toku geometrii. Można je otwierać i formułować w procesie rozwiązywania różnych problemów (lepszych niż systemowe). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy powierzyć uczniom w tym czy innym momencie procesu edukacyjnego. Co więcej, każda właściwość trapezu może być reprezentowana jako zadanie kluczowe w systemie zadaniowym.

Drugą zasadą jest tak zwana organizacja spiralna badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danej figury geometrycznej. Ułatwia to uczącym się ich zapamiętywanie. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno poprzez badanie podobieństwa, jak i następnie za pomocą wektorów. A jednakowy rozmiar trójkątów sąsiadujących z bokami figury można udowodnić, stosując nie tylko właściwości trójkątów o równych wysokościach narysowanych na bokach leżących na jednej linii prostej, ale także za pomocą wzoru S = 1/2 (ab * sinα). Ponadto można pracować na wpisanym trapezie lub trójkącie prostokątnym na opisanym trapezie itp.

Wykorzystanie „pozaprogramowych” cech figury geometrycznej w treści kursu szkolnego jest technologią zadaniową do ich nauczania. Stałe odwoływanie się do badanych właściwości przy przekazywaniu innych tematów pozwala studentom na głębsze zrozumienie trapezu i zapewnia sukces w rozwiązywaniu przydzielonych zadań. Przejdźmy więc do studiowania tej wspaniałej postaci.

Elementy i właściwości trapezu równoramiennego

Jak już zauważyliśmy, ta figura geometryczna ma równe boki. Jest również znany jako regularny trapez. I dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Osobliwością tej figury jest to, że ma równe nie tylko boki i kąty u podstawy, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Ze wszystkich znanych trapezów tylko wokół równoramiennego można opisać okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwnych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworokąta. Następną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od góry podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na linię prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.

Teraz zastanówmy się, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważ rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.

Rozwiązanie

Zazwyczaj czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Przyjmiemy, że ich rozmiar jest równy X, a rozmiary podstaw są równe Y i Z (odpowiednio mniejsze i większe). Aby przeprowadzić obliczenia, należy narysować wysokość N. od kąta B. W wyniku otrzymujemy trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB to przeciwprostokątna, a BN i AH to nogi. Obliczamy rozmiar nogi AH: od większej podstawy odejmujemy mniejszą, a wynik dzielimy przez 2. Piszemy to w postaci wzoru: (ZY)/2 = F. Teraz obliczamy kąt ostry trójkąta, używamy funkcji cos. Otrzymujemy następujący zapis: cos (β) = X / F. Teraz obliczamy kąt: β = arcos (X / F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.

Istnieje również drugie rozwiązanie tego problemu. Na początek obniżamy wysokość N. od narożnika Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Otrzymujemy: BN = √ (X2-F2). Następnie korzystamy z funkcji trygonometrycznej tg. W rezultacie mamy: β = arctan (BN / F). Znaleziono ostry róg. Następnie definiujemy w taki sam sposób, jak w pierwszej metodzie.

Własność przekątnych trapezu równoramiennego

Najpierw zapiszmy cztery zasady. Jeśli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:

Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;

Jego wysokość i linia środkowa są równe;

Środek koła to punkt, w którym się przecinają;

Jeżeli bok boczny jest podzielony przez punkt styku na segmenty H i M, to jest równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu tych segmentów;

Czworobok, który tworzą punkty styku, wierzchołek trapezu i środek koła wpisanego, jest kwadratem o boku równym promieniowi;

Powierzchnia figury jest równa iloczynowi podstaw i iloczynu połowy sumy podstaw do jej wysokości.

Podobny trapez

Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego.Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te przylegające do podstaw są podobne, a boki boczne są równe. To stwierdzenie można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez przekątne. Pierwszą część tego stwierdzenia potwierdza znak podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej skorzystać z poniższej metody.

Dowód twierdzenia

Przyjmujemy, że figura ABSD (BP i BS to podstawy trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AS. Punktem ich przecięcia jest O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u podstawy dolnej, BOS - u podstawy górnej, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BFB mają wspólną wysokość, jeśli segmenty BO i OD są ich podstawami. Otrzymujemy, że różnica między ich obszarami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dlatego PSOD = PBOS / K. Podobnie trójkąty BFB i AOB mają wspólną wysokość. Za ich podstawy przyjmujemy segmenty SB i OA. Otrzymujemy PBOS / PAOB = SO / OA = K i PAOB = PBOS / K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.

Aby skonsolidować materiał, uczniom zaleca się znalezienie relacji między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony swoimi przekątnymi, rozwiązując następujący problem. Wiadomo, że obszary trójkątów biofeedbacku i AOD są równe, konieczne jest znalezienie obszaru trapezu. Ponieważ PSOD = PAOB, oznacza to, że PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Z podobieństwa trójkątów BFB i AOD wynika, że ​​BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Dlatego PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Otrzymujemy PSOD = √ (PBOS * PAOD). Wtedy PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

Właściwości podobieństwa

Kontynuując rozwijanie tego tematu, możesz udowodnić inne ciekawe cechy trapezów. Tak więc za pomocą podobieństwa można udowodnić właściwość odcinka, który przechodzi przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległej do podstaw. Aby to zrobić, rozwiążemy następujący problem: konieczne jest znalezienie długości odcinka RK, który przechodzi przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BFB wynika, że ​​AO / OS = AD / BS. Z podobieństwa trójkątów AOR i ASB wynika, że ​​AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Stąd otrzymujemy, że RO = BS * PIEKŁO / (BS + PIEKŁO). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOK i DBS wynika, że ​​OK = BS * HELL / (BS + HELL). Stąd otrzymujemy, że RO = OK i RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do ​​podstaw i łączący oba boki, jest podzielony na pół przez punkt przecięcia. Jego długość jest średnią harmoniczną podstawy figury.

Rozważmy następującą jakość trapezu, która nazywa się właściwością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcie przedłużenia boków bocznych (E), a także punkty środkowe podstaw (T i G) leżą zawsze na tej samej linii. Łatwo to udowodnić metodą podobieństwa. Powstałe trójkąty BES i AED są podobne, aw każdym z nich mediany ET i EZ dzielą kąt w wierzchołku E na równe części. W konsekwencji punkty E, T i Ж leżą na jednej prostej. W ten sam sposób na jednej prostej leżą punkty T, O i Z. Wszystko to wynika z podobieństwa trójkątów BFB i AOD. Z tego wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty - E, T, O i F - będą leżeć na jednej linii prostej.

Używając takich trapezów, możesz poprosić uczniów o znalezienie długości odcinka (LF), który dzieli figurę na dwie podobne. Ten segment musi być równoległy do ​​podstaw. Ponieważ otrzymane trapezy ALPD i LBSF są podobne, to BS / LF = LF / BP. Wynika z tego, że LF = √ (BS * PIEKŁO). Otrzymujemy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.

Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na segmencie, który dzieli trapez na dwie równej wielkości figury. Zakładamy, że trapez ABSD jest podzielony przez odcinek ЕН na dwa podobne. Z wierzchołka B spada wysokość, którą dzieli odcinek EH na dwie części - B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 i PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS + EH) * B1 = (HELL + EH) * B2 i drugie (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Wynika z tego, że B2 / B1 = (BS + EH) / (HELL + EH) i BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Otrzymujemy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwa równe rozmiary jest równa średniej kwadratowej długości podstaw: ((BS2 + AD2) / 2).

Ustalenia podobieństwa

W ten sposób udowodniliśmy, że:

1. Odcinek łączący punkty środkowe boków bocznych w trapezie jest równoległy do ​​BP i BS i jest równy średniej arytmetycznej BS i BP (długość podstawy trapezu).

2. Linia przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do HELL i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb HELL i BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).

3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i BP.

4. Element dzielący figurę na dwa równe rozmiary ma długość średniej kwadratowej liczby BP i BS.

Aby skonsolidować materiał i zrozumieć połączenie między rozważanymi segmentami, uczeń musi je zbudować dla określonego trapezu. Potrafi z łatwością wyświetlić linię środkową i odcinek przechodzący przez punkt O - przecięcie przekątnych figury - równolegle do podstaw. Ale gdzie będą znajdować się trzecia i czwarta? Ta odpowiedź doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanego związku między średnimi.

Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych trapezowych

Rozważ następującą właściwość tego rysunku. Zakładamy, że odcinek MH jest równoległy do ​​podstaw i dzieli przekątne na pół. Punkty przecięcia będą nazwane Ш i Ш. Odcinek ten będzie równy połowie różnicy baz. Przyjrzyjmy się temu bliżej. MSh - środkowa linia trójkąta ABS, jest równa BS / 2. MCh to środkowa linia trójkąta ABD, równa BP / 2. Następnie otrzymujemy, że SHSH = MSH-MSH, zatem SHSH = PIEKŁO / 2-BS / 2 = (PIEKŁO + VS) / 2.

Środek ciężkości

Przyjrzyjmy się, jak ten element jest zdefiniowany dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Konieczne jest dodanie dolnej do górnej podstawy - po obu stronach, na przykład po prawej stronie. I wydłuż dolny o długość górnego w lewo. Następnie łączymy je przekątną. Punkt przecięcia tego odcinka ze środkową linią figury jest środkiem ciężkości trapezu.

Wpisane i opisane trapezy

Wymieńmy cechy takich kształtów:

1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.

2. Trapez można opisać wokół koła pod warunkiem, że suma długości ich podstaw jest równa sumie długości boków.

Wpisane konsekwencje koła:

1. Wysokość opisywanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.

2. Boczna strona opisywanego trapezu jest obserwowana od środka koła pod kątem prostym.

Pierwsza konsekwencja jest oczywista, ale aby udowodnić drugą, należy ustalić, że kąt SOD jest właściwy, co w rzeczywistości również nie będzie trudne. Ale znajomość tej właściwości pozwoli ci użyć trójkąta prostokątnego podczas rozwiązywania problemów.

Teraz skonkretyzujmy te konsekwencje dla trapezu równoramiennego wpisanego w okrąg. Otrzymujemy, że wysokość jest średnią geometryczną podstawy figury: H = 2R = √ (BS * HELL). Ćwicząc podstawową technikę rozwiązywania zadań na trapezy (zasada trzymania dwóch wysokości), student musi rozwiązać następujące zadanie. Zakładamy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Konieczne jest znalezienie segmentów AT i TD. Korzystając z opisanej powyżej formuły, nie będzie to trudne.

Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od góry B do podstawy ciśnienia krwi. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS + HELL = 2AB lub AB = (BS + HELL) / 2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + PIEKŁO) * BN / 2, BN = 2R. Otrzymujemy PABSD = (BS + HELL) * R, z tego wynika, że ​​R = PABSD / (BS + HELL).

Wszystkie wzory na linię środkową trapezu

Teraz pora przejść do ostatniego elementu tego geometrycznego kształtu. Zastanówmy się, jaka jest środkowa linia trapezu (M):

1. Przez podstawy: M = (A + B) / 2.

2. Przez wysokość, podstawę i narożniki:

M = A-H* (ctgα + ctgβ) / 2;

M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:

M = D1 * D2 * sina/2H = D1 * D2 * sinp/2H.

4. Przez obszar i wysokość: M = P / N.

trapez Jest czworokątem z dwoma równoległymi bokami, które są podstawami i dwoma nierównoległymi bokami, które są bokami.

Istnieją również nazwy takie jak równoramienny lub równoramienny.

Jest trapezem, którego boczne rogi są proste.

Elementy trapezowe

a, b - podstawa trapezu(a równoległa do b),

m, n - boki boczne trapez,

d 1, d 2 - przekątne trapez,

h - wzrost trapez (odcinek łączący podstawy i jednocześnie do nich prostopadły),

MN - Środkowa linia(segment łączący środki boków).

Obszar trapezowy

1. Połowa sumy podstaw a, b i wysokości h: S = \ frac (a + b) (2) \ cdot h
2. Przez środkową linię MN i wysokość h: S = MN \ cdot h
3. Przez przekątne d 1, d 2 i kąt (\ sin \ varphi) między nimi: S = \ frac (d_ (1) d_ (2) \ sin \ varphi) (2)

Właściwości trapezowe

Środkowa linia trapezu

Środkowa linia równolegle do podstaw, równy ich połowie sumy i dzieli każdy segment końcami znajdującymi się na liniach prostych zawierających podstawy (na przykład wysokość figury) na pół:

MN || a, MN || b, MN = \ frac (a + b) (2)

Suma kątów trapezu

Suma kątów trapezu przy każdej stronie jest 180 ^ (\ circ):

\ alfa + \ beta = 180 ^ (\ ok)

\ gamma + \ delta = 180 ^ (\ okrąg)

Trójkąty trapezowe równopowierzchniowe

Równy, to znaczy o równych powierzchniach, to odcinki przekątnych i trójkątów AOB i DOC utworzone przez boki boczne.

Podobieństwo uformowanych trójkątów trapezowych

Podobne trójkąty to AOD i COB, które tworzą ich podstawy i odcinki linii.

\ trójkąt AOD \ sim \ trójkąt COB

Współczynnik podobieństwa k znajduje się za pomocą wzoru:

k = \ frac (AD) (BC)

Co więcej, stosunek pól tych trójkątów jest równy k^ (2).

Stosunek długości segmentów i podstaw

Każdy odcinek łączący podstawy i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezowych jest podzielony przez ten punkt w stosunku:

\ frac (OX) (OY) = \ frac (BC) (AD)

Dotyczy to wysokości z samymi przekątnymi.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie do celów informacyjnych i mogą nie przedstawiać wszystkich opcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cel lekcji:

• nauczanie- wprowadzić pojęcie trapezu, zapoznać się z rodzajami trapezów, zbadać właściwości trapezu, nauczyć uczniów stosowania wiedzy zdobytej w procesie rozwiązywania problemów;
• rozwój- rozwój umiejętności komunikacyjnych uczniów, rozwój umiejętności przeprowadzania eksperymentu, uogólniania, wyciągania wniosków, rozwijania zainteresowania tematem.
• edukacyjny- edukowanie uwagi, tworzenie sytuacji sukcesu, radości z samodzielnego pokonywania trudności, rozwijanie u uczniów potrzeby wyrażania siebie poprzez różnego rodzaju prace.

Formy pracy: frontalny, łaźnia parowa, grupa.

Forma organizacji zajęć dla dzieci: umiejętność słuchania, budowania dyskusji, wyrażania myśli, pytania, dodawania.

Ekwipunek: komputer, projektor multimedialny, ekran. Na stołach uczniów: wycięty materiał do narysowania trapezu dla każdego ucznia na biurku; karty z zadaniami (wydruki rysunków i zadań z konspektu lekcji).

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny

Pozdrawiam, sprawdzam gotowość miejsca pracy do lekcji.

II. Aktualizacja wiedzy

• rozwój umiejętności klasyfikowania obiektów;
• wyróżnienie głównych i drugorzędnych cech w klasyfikacji.

Rozważa się rysunek 1.

Następnie przychodzi omówienie rysunku.
- Z czego wykonana jest ta figura geometryczna? Chłopaki znajdują odpowiedź na zdjęciach: [z prostokąta i trójkątów].
- Jakie powinny być trójkąty tworzące trapez?
Wszystkie opinie są słuchane i omawiane, wybierana jest jedna opcja: [trójkąty muszą być prostokątne].
- Jak składają się trójkąty i prostokąty? [Aby przeciwległe boki prostokąta pokrywały się z odnogą każdego z trójkątów].
- Co wiesz o przeciwległych bokach prostokąta? [Są równoległe].
- Czyli w tym czworoboku będą boki równoległe? [Tak].
- Ile tu tego jest? [Dwa].
Po dyskusji nauczyciel demonstruje „królową lekcji” – trapez.

III. Wyjaśnienie nowego materiału

1. Definicja elementów trapezowych, trapezowych

• nauczyć uczniów definiowania trapezu;
• nazwij jego elementy;
• rozwój pamięci skojarzeniowej.

- Teraz spróbuj podać pełną definicję trapezu. Każdy uczeń zastanawia się nad odpowiedzią na pytanie. W parach wymieniają poglądy, przygotowują jedną odpowiedź na pytanie. Odpowiedź ustną udziela jeden uczeń z 2-3 par.
[Trapez to czworobok, w którym dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe].

- Jak nazywają się boki trapezu? [Boki równoległe nazywane są podstawami trapezu, a pozostałe dwa nazywane są bokami].

Nauczyciel proponuje składać trapezy z wyciętych figur. Uczniowie pracują w parach, dodają figurki. Dobrze, jeśli pary uczniów są na różnych poziomach, wtedy jeden z uczniów jest konsultantem i pomaga koledze w razie trudności.

- Zbuduj trapez w zeszytach, zapisz nazwy boków trapezu. Zadawaj pytania dotyczące rysunku sąsiadowi, słuchaj jego odpowiedzi, podawaj opcje odpowiedzi.

Odniesienie historyczne

"Trapez"- greckie słowo, które w starożytności oznaczało „stół” (po grecku „trapedzion” oznacza stół, stół jadalny. Figura geometryczna została nazwana tak przez jej zewnętrzne podobieństwo do małego stolika.
W „Elementach” (gr. Στοιχεῖα, łac. Elementa) - głównym dziele Euklidesa, napisanym około 300 pne. NS. i poświęcony systematycznej konstrukcji geometrii) termin „trapez” jest używany nie we współczesnym, ale w innym sensie: dowolny czworokąt (nie równoległobok). „Trapez” w naszym znaczeniu znajduje się po raz pierwszy u starożytnego greckiego matematyka Posidoniusa (I wiek). W średniowieczu trapez nazywano według Euklidesa dowolnym czworobokiem (nie równoległobokiem); dopiero w XVIII wieku. to słowo nabiera współczesnego znaczenia.

Konstruowanie trapezu z jego określonych elementów. Chłopaki wykonują zadania na karcie nr 1.

Uczniowie muszą konstruować trapezy w różnych lokalizacjach i stylach. W kroku 1 musisz zbudować prostokątny trapez. W paragrafie 2 możliwe staje się zbudowanie trapezu równoramiennego. W punkcie 3 trapez będzie „leżeć na boku”. W paragrafie 4 rysunek przewiduje budowę takiego trapezu, w którym jedna z podstaw okazuje się niezwykle mała.
Uczniowie „zaskakują” nauczyciela różnymi figurami o jednym wspólnym imieniu – trapezie. Nauczyciel demonstruje możliwe opcje konstruowania trapezów.

Problem 1... Czy dwa trapezy będą równe, dla których odpowiednio jedna z podstaw i dwa boki są równe?
Omów rozwiązanie problemu w grupach, udowodnij poprawność rozumowania.
Jeden uczeń z grupy rysuje rysunek na tablicy, wyjaśnia tok rozumowania.

2. Rodzaje trapezu

• rozwój pamięci ruchowej, umiejętność łamania trapezu na dobrze znane figury niezbędne do rozwiązywania problemów;
• rozwój umiejętności uogólniania, porównywania, podawania definicji przez analogię, stawiania hipotez.

Rozważ postać:

- Jaka jest różnica między trapezoidami pokazanymi na rysunku?
Chłopaki zauważyli, że rodzaj trapezu zależy od typu trójkąta po lewej stronie.
- Dokończ zdanie:

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli ...
Trapez nazywa się równoramiennymi, jeśli ...

3. Właściwości trapezu. Własności trapezu równoramiennego.

• postawienie, przez analogię z trójkątem równoramiennym, hipotezy o właściwości trapezu równoramiennego;
• rozwój umiejętności analitycznych (porównaj, postaw hipotezę, udowodnij, zbuduj).

• Odcinek łączący punkty środkowe przekątnych jest równy połowie różnicy podstaw.
• Trapez równoramienny ma takie same kąty u każdej podstawy.
• Trapez równoramienny ma równe przekątne.
• W trapezie równoramiennym wysokość obniżona od góry do większej podstawy dzieli go na dwa segmenty, z których jeden jest równy połowie sumy podstaw, a drugi - połowie różnicy podstaw.

Cel 2. Wykazać, że w trapezie równoramiennym: a) kąty przy każdej podstawie są równe; b) przekątne są równe. Aby udowodnić te właściwości trapezu równoramiennego, przywołujemy kryteria równości trójkątów. Uczniowie wykonują zadanie w grupach, dyskutują, zapisują rozwiązanie w zeszycie.
Jeden uczeń z grupy przeprowadza korektę przy tablicy.

4. Ćwicz dla uwagi

5. Przykłady wykorzystania kształtów trapezowych w życiu codziennym:

• we wnętrzach (sofy, ściany, podwieszane sufity);
• w projektowaniu krajobrazu (granice trawników, sztuczne zbiorniki, kamienie);
• w branży modowej (odzież, obuwie, dodatki);
• w projektowaniu przedmiotów codziennego użytku (lampy, naczynia, wykorzystujące kształty trapezowe);
• w architekturze.

Praktyczna praca(według opcji).

- W jednym układzie współrzędnych skonstruuj trapezy równoramienne dla danych trzech wierzchołków.

Opcja 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) i (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3) , (...; ...).
Opcja 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) i (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (…;…).

- Określ współrzędne czwartego wierzchołka.
Rozwiązanie jest recenzowane i komentowane przez całą klasę. Uczniowie wskazują współrzędne czwartego znalezionego punktu i ustnie próbują wyjaśnić, dlaczego dane warunki definiują tylko jeden punkt.

Zabawne zadanie. Dodaj trapez z: a) czterech trójkątów prostokątnych; b) trzech trójkątów prostokątnych; c) dwóch trójkątów prostokątnych.

IV. Zadanie domowe

• edukacja prawidłowej samooceny;
• stworzenie sytuacji „sukcesu” dla każdego ucznia.

s.44, znać definicję, elementy trapezu, jego rodzaje, znać właściwości trapezu, umieć je udowodnić, №388, №390.

V. Podsumowanie lekcji. Pod koniec lekcji dzieci otrzymują Ankieta, co pozwala na introspekcję, ocenę jakościową i ilościową lekcji .

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które mogą posłużyć do identyfikacji konkretnej osoby lub do skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy zostawiasz prośbę na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i zgłaszać wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym wydarzeniu promocyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych ważnych społecznie powodów.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej osobie trzeciej – następcy prawnemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i nadużyciem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szacunek dla Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby upewnić się, że Twoje dane osobowe są bezpieczne, przekazujemy naszym pracownikom zasady poufności i bezpieczeństwa oraz ściśle monitorujemy wdrażanie środków poufności.