Функция плотности нормально распределенной случайной величины. Нормальное распределение и его параметры

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

где - функция распределения величины .

Найдем функцию распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины равна:

Отсюда находим функцию распределения

. (6.3.3)

Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной

и приведем его к виду:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:

;

и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции

. (6.3.5)

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .

Условимся называть функцию нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины на участок от до . Согласно формуле (6.3.1)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения, функция обладает свойствами:

3. - неубывающая функция.

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами относительно начала координат следует, что

Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения как для положительных, так и для отрицательных аргументов.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):

Учитывая свойство (6.3.8) функции и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

. (6.3.10)

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

По формуле (6.3.7) находим:

(6.3.11)

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т.д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%), получим три числа, которые легко запомнить:

0,34; 0,14; 0,02.

Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивания (с точностью до долей процента) укладывается на участке .

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал её практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .

Пример 1. Случайная величина , распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонения ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).

Решение. Ошибка измерения есть случайная величина , подчиненная нормальному закону с параметрами и . Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от до . По формуле (6.3.7) имеем:

Пользуясь таблицами функции (приложение, табл. 1), найдем:

; ,

Пример 2. Найти ту же вероятность, что и в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет.

Решение. По формуле (6.3.10), полагая , найдем:

Пример 3. По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднее квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.

В теории вероятностей рассматривается достаточно большое количество разнообразных законов распределения. Для решения задач, связанных с построением контрольных карт, представляют интерес лишь некоторые из них. Важнейшим из них является нормальный закон распределения , который применяется для построения контрольных карт, используемых при контроле по количественному признаку , т.е. когда мы имеем дело с непрерывной случайной величиной. Нормальный закон распределения занимает среди других законов распределения особое положение. Это объясняется тем, что, во-первых, наиболее часто встречается на практике, и, во-вторых, он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Что касается второго обстоятельства, то в теории вероятностей доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, могут быть представлены как сумма весьма большего числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, независящей от остальных. Нормальный закон проявляется в тех случаях, когда случайная переменная Х является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину Х влияет незначительно, и нельзя указать, какой именно влияет в большей степени, чем остальные.

Нормальное распределение (распределение Лапласа–Гаусса ) – распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х такое, что плотность распределения вероятностей при - ¥ <х< + ¥ принимает действительное значение:

Ехр (3)

То есть, нормальное распределение характеризуется двумя параметрами m и s, где m - математическое ожидание; s- стандартное отклонение нормального распределения.

Величина s 2 – это дисперсия нормального распределения.

Математическое ожидание m характеризует положение центра распределения, а стандартное отклонение s (СКО) является характеристикой рассеивания (рис. 3).

f(x) f(x)

Рисунок 3 – Функции плотности нормального распределения с:

а) разными математическими ожиданиями m; б) разными СКО s .

Таким образом, значением μ определяется положением кривой распределения на оси абсцисс. Размерность μ - та же, что и размерность случайной величины X . С ростом математического ожидания mобе функции сдвигается параллельно вправо. С убывающей дисперсией s 2 плотность все больше концентрируется вокруг m, в то время как функция распределения становится все более крутой.

Значением σ определяется форма кривой распределения. Поскольку площадь под кривой распределения должна всегда оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределения становится более плоской. На рис. 3.1 показаны три кривые при разных σ: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.

Рисунок 3.1 – Функции плотности нормального распределения с разными СКО s .

Функция распределения (интегральная функция) имеет вид (рис. 4):

(4)

Рисунок 4 – Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции нормального распределения

Особенно важно то линейное преобразование нормально распределенной случайной переменной Х , после которого получается случайная переменная Z с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Такое преобразование называется нормированием:

Его можно провести для каждой случайной переменной. Нормирование позволяет все возможные варианты нормального распределения свести к одному случаю: m = 0, s = 1.

Нормальное распределение с m = 0, s = 1 называется нормированным нормальным распределением (стандартизованным) .

Стандартное нормальное распределение (стандартное распределение Лапласа–Гаусса или нормированное нормальное распределение) – это распределение вероятностей стандартизованной нормальной случайной величины Z , плотность распределения которой равна:

при - ¥ <z < + ¥

Значения функции Ф(z) определяется по формуле:

(7)

Значения функции Ф(z) и плотности ф(z) нормированного нормального распределения рассчитаны и сведены в таблицы (табулированы). Таблица составлена только для положительных значений z поэтому:

Ф (–z) = 1 –Ф (z) (8)

С помощью этих таблиц можно определить не только значения функции и плотности нормированного нормального распределения для заданного z , но и значения функции общего нормального распределения, так как:

; (9)

. 10)

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х , подчиненной нормальному закону с параметрами m и s, на определенный участок. Таким участком может быть, например, поле допуска на параметр от верхнего значения U до нижнего L .

Вероятность попадания в интервал от х 1 до х 2 можно определить по формуле:

Таким образом, вероятность попадания случайной величины (значение параметра) Х в поле допуска определяется формулой

Можно найти вероятность того, что случайная переменная Х окажется в пределах μ k s. Полученные значения для k =1,2 и 3 следующие (также смотрим рис. 5):

Таким образом, если какое-либо значение появляется за пределами трехсигмового участка, в котором находятся 99,73% всех возможных значений, а вероятность появления такого события очень мала (1:270), следует считать, что рассматриваемое значение оказалось слишком маленьким или слишком большим не из-за случайного варьирования, а из-за существенной помехи в самом процессе, способной вызывать изменения в характере распределения.

Участок, лежащий внутри трехсигмовых границ, называют также областью статистического допуска соответствующей машины или процесса.

Файл примера

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции MS EXCEL НОРМ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения .

Нормальное распределение (также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения Нормального распределения (англ. Normal distribution ) во многих областях науки вытекает из теории вероятностей.

Определение : Случайная величина x распределена по нормальному закону , если она имеет :

Нормальное распределение зависит от двух параметров: μ (мю) - является , и σ ( сигма) - является (среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра плотности вероятности нормального распределения , а σ - разброс относительно центра (среднего).

Примечание : О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про , а в файле примера на листе Влияние параметров можно с помощью понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название - NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через N (μ; σ 2).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с μ=0 и σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности .

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА) вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется стандартного нормального распределения .

В MS EXCEL для вычисления квантилей используют функцию НОРМ.СТ.ОБР() и НОРМ.ОБР() .

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% - в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

= НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% - именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

= 2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание : Если установить опцию Случайное рассеивание ( Random Seed ), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции Случайное рассеивание может запутать. Лучше было бы ее перевести как Номер набора со случайными числами .

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ . Оценку для μ можно сделать с использованием функции СРЗНАЧ() , а для σ – с использованием функции СТАНДОТКЛОН.В() , см. .

Примечание : Для генерирования массива чисел, распределенных по нормальному закону , можно использовать формулу =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ) . Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х (или ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна , то мы знаем , т.е. μ. Чтобы найти нужно использовать . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x) .

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.

4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

5) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность

(х – а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

В этих точках значение функции равно .

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной . Уравнение нормированной кривой:

Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, s), т.е. Х ~ N(m, s). Параметры m и s совпадают с основными характеристиками распределения: m = m X , s = s Х = . Если СВ Х ~ N(0, 1), то она называется стандартизованной нормальной величиной . ФР стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x) . С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, s):

P(x 1 £ X < x 2) = Ф - Ф .

При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х) , то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.

Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P(|X - m X | < e) = 2×Ф(e/s) - 1.

Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как m 1 = 0).

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей .

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

2) Ф(-х ) = - Ф(х );

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм .

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм .

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Построим график:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Лекция 8 Закон больших чисел (Раздел 2)

План лекции

Центральная предельная теорема (общая формулировка и частная формулировка для независимых одинаково распределенных случайных величин).

Неравенство Чебышева.

Закон больших чисел в форме Чебышева.

Понятие частоты события.

Статистическое понимание вероятности.

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклонения от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел .

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ – общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (часто использующееся на практике, например, при использовании частоты встречаемости какого-либо качества респондента в выборке как выборочной оценки соответствующей вероятности).

Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.

Центральная предельная теорема (ЦПТ) (в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если попарно независимые СВ X 1 , X 2 , ..., X n , ... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками M = m и D = s 2 , то при n ® ¥ закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n×m, ).

Следствие. Если в условии теоремы СВ , то при n ® ¥ закон распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(m, s/ ).

Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределения СВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(n×p, ).

Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n ® ¥ и фиксированном значении p неограниченно приближается к нормальному закону N(p, ).

Замечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределения такой СВ является биноминальный закон. Тогда при n ® ¥ биноминальный закон имеет два предельных распределения:

n распределение Пуассона (при n ® ¥ и l = n×p = const);

n распределение Гаусса N(n×p, ) (при n ® ¥ и p = const).

Пример. Вероятность “успеха” в одном испытании всего лишь p = 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать, что наблюдаемая частота “успеха” в испытаниях по схеме Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на e = 0,01?

Решение. Для сравнения решим задачу двумя способами.

по сравнению с другими видами распределений. Главной особенностью этого распределения является то, что к этому закону стремятся все другие законы распределений при бесконечном повторении количества испытаний. Как получается это распределение?

Представим себе, что, взяв ручной динамометр, Вы расположились в самом людном месте Вашего города. И каждому, кто проходит мимо, Вы предлагаете измерить свою силу, сжав динамометр правой или левой рукой. Показания динамометра Вы аккуратно за-писываете. Через некоторое время, при достаточно большом количестве испытаний, Вы нанесли на ось абсцисс показания динамометра, а на ось ординат – количество людей, кото-рые "выжали" это показание. Полученные точки соединили плавной линией. В результате получается кривая, изображенная на рис.9.8 . Вид этой кривой не будет особо изменяться при увеличении времени опыта. Более того, с некоторого момента новые значения будут только уточнять кривую, не изменяя ее формы.

Рис. 9.8.

Теперь переместимся с нашим динамометром в атлетический зал и повторим эксперимент. Теперь максимум кривой сместится вправо, левый конец будет несколько затянут, в то время как правый конец ее будет более крутой (рис.9.9).

Рис. 9.9.

Заметим, что максимальная частота для второго распределения (точка В) будет ниже, чем максимальная частота первого распределения (точка А). Это можно объяснить тем, что общее количество людей, посещающих атлетический зал, будет меньше, чем количество людей, которое прошли возле экспериментатора в первом случае (в центре города в достаточно людном месте). Максимум сместился вправо, так как атлетические залы посещают физически более сильные люди по сравнению с общим фоном.

И, наконец, посетим школы, детские сады и дома престарелых с той же целью: выявить силу рук посетителей этих мест. И опять кривая распределения будет иметь похожую форму, но теперь, очевидно, более крутым будет ее левый конец, а правый более затянут. И как во втором случае, максимум (точка С) будет ниже точки А (рис.9.10).

Рис. 9.10.

Это замечательное свойство нормального распределения – сохранять форму кривой плотности распределения вероятностей (рис. 8 – 10) было замечено и описано в 1733 году Муавром, а затем исследовано Гауссом.

В научных исследованиях, в технике, в массовых явлениях или экспериментах, когда речь идет о многократно повторяющихся случайных величинах при неизменных условиях опыта, говорят, что результаты испытаний испытывают случайное рассеяние, подчиняющееся закону нормальной кривой распределения

(21)

Где - это наиболее часто встречающееся событие. Как правило, в формулу (21) вместо параметра ставят . Причем, чем длин-нее экспериментальный ряд, тем меньше параметр будет отличаться от математического ожидания. Площадь под кривой (рис.9.11) при-нимается равной единице. Площадь , отвечающая какому-либо интервалу оси абсцисс, численно равна вероятности попадания случайного результата в данный интервал .

Рис. 9.11.

Функция нормального распределения имеет вид

(22)

Заметим, что нормальная кривая (рис.9.11) симметрична относительно прямой и асимптотически приближается к оси ОХ при .

Вычислим математическое ожидание для нормального закона

(23)

Свойства нормального распределения

Рассмотрим основные свойства этого важнейшего распределения.

Свойство 1 . Функция плотности нормального распределения (21) определения на всей оси абсцисс.

Свойство 2 . Функция плотности нормального распределения (21) больше нуля для любого из области определения ().

Свойство 3 . При бесконечном увеличении (уменьшении) функция распределения (21) стремится к нулю .

Свойство 4 . При функция распределения , заданная (21), имеет наибольшее значение , равное

(24)

Свойство 5 . График функции (рис.9.11) симметричен относительно прямой .

Свойство 6 . График функции (рис.9.11) имеет по две точки перегиба симметричные относительно прямой :

(25)

Свойство 7 . Все нечетные центральные моменты равны нулю. Заметим, что используя свойство 7, определяют асимметрию функции по формуле . Если , то делают вывод , что исследуемое распределение симметрично относительно прямой . Если , то говорят, что ряд смещен вправо (более пологая правая ветвь графика или затянута). Если , тогда считают, что ряд смещен влево (более пологая левая ветвь графика рис.9.12).

Рис. 9.12.

Свойство 8 . Эксцесс распределения равен 3. Часто на практике вычисляют и по близости этой величины к нулю определяют степень "сжатия" или "размытости" графика (рис.9.13). А так как связан с , то, в конечном итоге характеризует степень рассеяния частоты данных. А так как определяет