Характеристика, показанная на рисунке 1.5 б – это трёхпозиционное реле, в котором дополнительная позиция за счёт нечувствительности. Уравнение такой характеристики

Характеристика, показанная на рисунке 1.5 в – это двухпозиционное реле с гистерезисом. Его ещё называют “реле с памятью”. Оно “помнит” своё предыдущее состояние и в пределах x вх < a сохраняет это своё значение. Уравне-

ние такой характеристики

Характеристика, показанная на рисунке 1.5 г – это трёхпозиционное реле с гистерезисом, в котором дополнительная позиция за счёт зоны нечувствительности. Уравнение такой характеристики

Из приведённых уравнений видно, что при отсутствии петли гистерезиса выходное воздействие реле зависит только от значения х вх или x вых = f (x вх ) .

При наличии петли гистерезиса значение x вых зависит ещё от производной по x вх или x вых = f (x вх ,x & вх ) , где x & вх характеризует наличие “памяти” у реле.

1.4 Анализ методов исследования нелинейных систем

Для решения задач анализа и синтеза нелинейной системы прежде всего необходимо построить ее математическую модель, которая характеризует связь выходных сигналов системы, с сигналами отражающих приложенные к системе воздействия. В результате получаем нелинейное дифференциальное уравнение высокого порядка, иногда с рядом логических соотношений. Современная вычислительная техника позволяет решать любые нелинейные уравнения и потребуется решить невероятно большое количество этих нелинейных дифференциальных уравнений. Затем выбрать наилучшее из них. Но при этом нельзя быть уверенным в том, что выбранное решение действительно оптимальное и неизвестно как улучшить выбранное решение. Поэтому одна из задач теории управления следующая .

Создание таких методов проектирования системы управления, которые позволяют определить наилучшую структуру и оптимальные соотношения параметров системы.

Для выполнения этой задачи нужны такие методы расчета, которые по-

зволяют в достаточно простом виде определяют математические связи параметров нелинейной системы с динамическими показателями процесса управ-

ления. И при этом без нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения. Для решения поставленной задачи нелинейные характеристики реальных элементов системы заменяют некоторыми идеализированными приближенными характеристиками. Расчет нелинейных систем по таким характеристикам дает приближенные результаты, но главное в том, что полученные зависимости позволяют связать структуру и параметры системы с ее динамическими свойствами.

В простейших случаях и в основном для нелинейной системы второго порядка применяется метод фазовых траекторий , который позволяет наглядно показать динамику движения нелинейной системы при различных видах нелинейного звена с учетом начальных условий. Однако по этому методу трудно учесть различные внешние воздействия.

Для системы высокого порядка используется метод гармонической линеаризации . При обычной линеаризации нелинейная характеристика рассматривается как линейная и теряет некоторые свойства. При гармонической линеаризации специфические свойства нелинейного звена сохраняются. Но этот метод является приближенным. Он используется при выполнении ряда условий, которые будут показаны при расчете нелинейной системы по этому методу. Важное свойство этого метода в том, что он непосредственно связывает параметры системы с динамическими показателями процесса регулирования.

Для определения статистической ошибки регулирования при случайных воздействиях используют метод статистической линеаризации . Сущность этого метода в том, что нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным элементом, который одинаково с нелинейным элементом преобразует два первых статистических момента случайной функции: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение). Есть и другие методы анализа нелинейных систем. Например, метод малого параметра в форме Б.В. Булгакова. Асимптотический метод Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова для анализа процесса во времени вблизи периодического решения. Графо-аналитический метод позволяет нелинейную задачу свести к линейной. Метод гармонического баланса , который использовал Л.С. Гольдфарб для анализа устойчивости нелинейных систем по критерию Найквиста. Графоаналитические методы , среди которых наибольшее распространение получил метод Д.А. Башкирова. Из всего многообразия методов исследования в данном учебном пособии будут рассмотрены: метод фазовых траекторий, метод точечных преобразований, метод гармонической линеаризации Е.П. Попова, графо-аналитический метод Л.С. Гольдфарба, критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова, метод статистической линеаризации.

Система считается нелинейной, если её порядок >2 (n>2).

Исследование линейных систем высокого порядка связанно с преодолением значительных математических трудностей, так как несуществует общих методов решения нелинейных уравнений. При анализе движения нелинейных систем применяют методы численного и графического интегрирования, которые позволяют получать только одно частное решение.

Методы исследования разделяются на две группы. Первая группа – это методы основанные на поиске точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая группа – это приближенные методы.

Разработка точных методов важна как с точки зрения получения непосредственных результатов, так и для исследования различных особых режимов и форм динамических процессов нелинейных систем, которые не могут быть выявлены и проанализированы приближенными методами. К точным методам относятся:

1. Прямой метод Ляпунова

2. Методы фазовой плоскости

3. Метод припасовывания

4. Метод точечных преобразований

5. Метод сечений пространства параметров

6. Частотный метод определения абсолютной устойчивости

Для решений многих теоретических и практических задач применяется дискретная и аналоговая вычислительная техника, позволяющая использовать методы математического моделирования в сочетании с полунатурным и натурным моделированием. В этом случае вычислительная техника стыкуется с реальными элементами систем управления, со всеми присущими им нелинейностями.

К приближенным относятся аналитические и графо-аналитические методы, позволяющие заменить нелинейную систему эквивалентной линейной моделью, с последующим использованием для ее иследования методов линейной теории динамических систем.

Существует две группы приближенных методов.

Первая группа основывается на предположение о близости исследуемой нелинейной системы по ее свойствам к линейной. Это методы малого параметра, когда движение системы описывается с помощью степенных рядов относительно некоторого малого параметра, который имеется в уровнениях системы, или который вводится в эти уровнения искусственно.

Вторая группа методов направлены на исследования собственных периодических колебаний системы. Она основывается на предположении близости искомых колебаний системы к гармоническим. Это методы гармонического баланса или гармонической линеализации. При их использовании производится условная замена нелинейного элемента, находящегося под действием гармонического входного сигнала, эквивалентным линейным элементам. Аналитическое обоснование гармонической линеализации основывается на принципе равенства частотных, аплитудных и фазовых выходных переменных, эквивалентного линейного элемента и первой гармоники выходной переменной реального нелинейного элемента.

Наибольший эффект дает разумное сочетание приближенных и точных методов.

Существует точные и приближенные методы исследования нелинейных систем к числу точных методов относятся методы фазовых траекторий, точечных преобразований, частотный метод Попова, метод сечений пространства параметров, метод припасовывания, к приближенным методам относится метод гармонической линеаризации.

Основы метода фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий заключается в том, что поведение исследуемой нелинейной системы рассматривается и описывается не во временной области (в виде уравнений процессов в системе), а в фазовом пространстве системы (в виде фазовых траекторий).

Состояние нелинейной системы автоматического управления характеризуется с использованием фазовых координат системы

задающих вектор состояния системы в фазовом пространстве системы

Y (y1, y2, y3,...yn).

При введении в рассмотрение фазовых координат нелинейное дифференциальное уравнение порядка n для свободного процесса в нелинейной системе

преобразуется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка

В ходе процесса в системе фазовые координаты yi изменяются и вектор состояния системы Y описывает годограф в n– мерном фазовом пространстве системы (рис. 56). Годограф вектора состояния (траектория движения изображающей точки M, соответствующей концу вектора) есть фазовая траектория системы. Вид фазовой траектории однозначно связан с характером процесса в системе. Поэтому о свойствах нелинейной системы можно судить по ее фазовым траекториям.

Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше системы уравнений первого порядка, связывающих фазовые координаты и учитывающих свойства системы, путем исключения времени. Фазовая траектория не отображает время процессов в системе.

Связь между фазовой траекторией y(x) и процессом x(t) поясняет рис. 57. Фазовая траектория построена в фазовых координатах 0XY, где x – выходная величина системы, y – скорость изменения выходной величины (первая производная x’). Переходный процесс x(t) построен в координатах x–t (выходная величина – время).

Метод точечных преобразований поверхностей позволяет определить всевозможные виды движения (свободные колебания) нелинейных динамических систем после любых начальных отклонений. Метод развит для анализа и синтеза движений систем, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (второго, третьего), а также для системы с релейным управлением при учете запаздывания.

Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.

Рис.10.7. Метод точечных преобразований

Частотный метод румынского ученого В.М. Попова, предложенный в 1960 году, решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента. Если в системе управления имеется лишь одна однозначная нелинейность z=f(x), то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(p), т.е. получить расчетную схему рис.7.1.
Ограничений на порядок линейной части не накладывается, т.е. линейная часть может быть любой. Очертание нелинейности может быть неизвестным, но она должна быть обязательно однозначной. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла arctg k (рис. 7.2) она расположена, где к - предельный (наибольший) коэффициент передачи нелинейного элемента.

Рис.7.2. Характеристика нелинейного элемента

Графическая интерпретация критерия В.М.Попова связана с построением а.ф.х. видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
W*(jω) = Re WЛЧ(jω) + Im WЛЧ(jω),
где Re WЛЧ(jω) и Im WЛЧ(jω) - соответственно действительная и мнимая части линейной системы.
Критерий В.М.Попова может быть представлен или в алгебраической, или частотной форме, а также для случаев устойчивой и неустойчивой линейной части. Чаще используется частотная форма.
Формулировка критерия В.М.Попова в случае устойчивой линейной части: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку (, j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой. Условия выполнения теоремы показаны на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Графическая интерпретация критерия В.М. Попова для абсолютно устойчивой нелинейной системы

На рис. 7.3 приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности. Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия и через точку (-) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Критерий целесообразно применять в случаях, когда нелинейность может в процессе работы САУ изменяться, или ее математическое описание неизвестно.

Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочно­линейной статической характеристикой.

линеиная часть

нелинейная часть

Рис. 11.10 Структурная схема нелинейной системы

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траекто­рии этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на сле­дующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец преды­дущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называ­ется линией переключения.

Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следую­щей последовательности:

выбираются или задаются начальные условия;

интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали на­чальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

производится припасовывание начальных условий.

Метод гармонической линеаризации

Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.

• Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.

• Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.

Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические . Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описывают-ся функцией F(x).

Строго говоря линейных систем в природе не существует, все реальные системы нелинейны. Нелинейностью характеристик обладают различные датчики, детекторы, дискриминаторы, усилители, аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, устройства управления и исполнительные устройства.

Общей теории анализа нелинейных систем нет. Учеными разработаны различные методы анализа нелинейных систем, которые позволяют решать задачи анализа при определенных условиях и ограничениях.

Дадим характеристику наиболее распространенным методам анализа нелинейных систем.

Метод фазовой плоскости. Этот метод называют также методом фазовых портретов или фазовых пространств. Этот метод позволяет наглядно с помощью графических построений проанализировать поведение нелинейных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями не выше второго (третьего) порядка.

Метод кусочно-линейной аппроксимации. В этом методе используется кусочно-линейная аппроксимация характеристики нелинейного элемента, система анализируется как линейная при различных значениях сигналов, а затем результаты анализа «сшиваются». Метод отличается высокой трудоемкостью анализа и невысокой точностью результатов, особенно в точках «сшивания».

Метод гармонической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда после нелинейного элемента включен линейный фильтр нижних частот, а входное воздействие гармоническое.

Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в тех случаях, когда в качестве входного сигнала действует стационарный случайный процесс. В этом методе реальный нелинейный элемент заменяется на такой линейный элемент, на выходе которого математическое ожидание и дисперсия процесса такие же, как и на выходе реального нелинейного элемента. Способы определения параметров эквивалентного линейного элемента могут быть различными.

Метод марковских процессов. Этот метод используется при нестационарных случайных входных сигналах, но аналитическое решение удается найти только для систем не выше второго порядка.

Метод моделирования на ЭВМ. Этот метод претендует на универсальность, он не имеет принципиальных ограничений на характер нелинейности и порядок системы. В настоящее время это наиболее распространенный метод анализа нелинейных систем, единственным недостатком метода является отсутствие каких-либо аналитических результатов анализа (в виде формул).

• Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления. [Djv-10.7M ] Под редакцией Ю.И. Топчеева. Коллектив авторов.
  (Москва: Издательство «Машиностроение», 1970. - Серия «Нелинейные системы автоматического управления»)
  Скан: AAW, обработка, формат Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ:
  Предисловие (5).
  Глава I. Теоретические основы метода гармонической линеаризации (Е.П. Попов) (13).
  Глава II. Новая форма гармонической линеаризации для систем управления с нелинейными гистерезисными характеристиками (Е.И. Хлыпало) (58).
  Глава III. Метод гармонической линеаризации, базирующийся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам (А.А. Вавилов) (88).
  Глава IV. Определение амплитудных и фазовых частотных характеристик нелинейных систем (Ю.И. Топчеев) (117).
  Глава V. Приближенные частотные методы анализа качества нелинейных систем управления (Ю.И. Топчеев) (171).
  Глава VI. Повышение точности метода гармонической линеаризации (В.В. Павлов) (186).
  Глава VII. Применение метода гармонической линеаризации к дискретным нелинейным системам управления (С.М. Федоров) (219).
  Глава VIII. Применение асимптотического метода Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова при анализе нелинейных систем управления (А.Д. Максимов) (236).
  Глава IX. Применение гармонической линеаризации к нелинейным самонастраивающимся системам управления (Ю.М. Козлов, С.И. Марков) (276).
  Глава X. Применение метода гармонической линеаризации к нелинейным автоматическим системам с конечными автоматами (М.В. Старикова) (306).
  Глава XI. Приближенный метод исследования колебательных процессов и скользящих режимов в автоматических системах с переменной структурой (М.В. Старикова) (390).
  Глава XII. Приближенное исследование импульсно-релейной системы управления (М.В. Старикова) (419).
  Глава XIII. Определение колебательных процессов в сложных нелинейных системах при различных начальных отклонениях (М.В. Старикова) (419).
  Глава XIV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с периодическими нелинейностями (Л.И. Семенко) (444).
  Глава XV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с двумя нелинейностями (В.М. Хлямов) (467).
  Глава XVI. Амплитудно-фазовые характеристики релейных механизмов с двигателями постоянного и переменного тока, полученные по методу гармонической линеаризации (В.В. Цветков) (485).
  Приложения (518).
  Литература (550).
  Алфавитный указатель (565).

Аннотация издательства: Данная книга входит в состав серии монографий, посвященных нелинейным системам автоматического управления.
В ней систематически, в достаточно полном объеме, изложена теория нелинейных систем автоматического управления, базирующаяся на методе гармонической линеаризации. Главное внимание уделено теоретическим основам метода гармонической линеаризации и его практическим применениям к непрерывным, дискретным, самонастраивающимся системам, а также системам с конечными автоматами и перестраиваемой структурой. Рассмотрены способы повышения точности метода гармонической линеаризации путем учета влияния высших гармоник. Предлагаемые способы иллюстрируются многочисленными примерами.
Книга предназначена для научных работников, инженеров, преподавателей и аспирантов высших учебных заведений, занимающихся вопросами автоматического управления.