Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами [г, (р) , где г - расстояние точки от начала координат, а (р - угол, который составляет радиус - вектор этой точки с положительным направлением оси Ох. Положительным направлением изменения угла (р считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: х = г cos ср,у = г sin (р ,

получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

z - r{sin (p + i sin

где г

Xі + у2 , (р - аргумент комплексного числа, который находят из

л X . у у

формул cos (р - -, sin^9 = - или в силу того, что tg(p - -, (p-arctg

Заметим, что при выборе значений ср из последнего уравнения необходимо учитывать знаки х и у.

Пример 47. Записать в тригонометрической форме комплексное число 2 = -1 + л/З / .

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа:

= yj 1 + 3 = 2 . Угол ср найдем из соотношений cos (р = -, sin(p = - . Тогда

получим cos(p = -,suup

у/з г~

• - -. Очевидно, точка z = -1 + V3-/ находится
• 2 к 3

во второй четверти: (р = 120°

Подставляя

2 к. . cos--h; sin

в формулу (1) найденные 27Г Л

Замечание. Аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2п. Тогда через сп^ г обозначают

значение аргумента, заключенное в пределах (р 0 %2 Тогда

А)^г = + 2кк .

Используя известную формулу Эйлера е, получаем показательную форму записи комплексного числа.

Имеем г = г{со^(р + і?,п(р)=ге,

Действия над комплексными числами

• 1. Сумма двух комплексных чисел г, = Х] + у х / и г 2 - х 2 +у 2 / определяется согласно формуле г! +2 2 = (х, +^2) + (^1 + ^2)‘ г
• 2. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число г = г х - г 2 , если г 2 +г = г х,

является разностью комплексных чисел 2, и г 2 . Тогда г = (х, - х 2 ) + (у, - у 2) /.

• 3. Произведение двух комплексных чисел г х = х, +у, -г и 2 2 = х 2 + У2 ‘ г определяется ПО формуле
• *1*2 =(* +У "0(Х 2 + Т 2 -0= Х 1 Х 2 У 1 2 -1 +х У2 " * + У 1 У 2 " ^ =

= {хх 2 ~УУ 2)+{ Х У2 + Х 2У)-"-

В частности, г-г = (х + у-г)(х-у /)= х 2 +у 2 .

Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем:

• 1^ 2 - Г х е 1 = }Г 2 е > = Г]Г 2 cOs{(P + ср 2) + isin
• 4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная

умножению, т.е. число г-- называется частным от деления г! на г 2 ,

если г х - 1 2 ? 2 . Тогда

Х + Ті _ (*і + ІУ 2 ~ 1 У2) х 2 + ІУ2 ( 2 + ^У 2){ 2 ~ 1 У 2 )

х,х 2 + /у,х 2 - іх х у 2 - і 2 у х у 2 (х х х 2 + у х у 2 )+ /(- х,у 2 + Х 2 У])

2 2 х 2 +У 2

1 е

і(р г

• - 1У е "(1 Фг) - И.сОї{(Р -ср 1)+ І - (р -,)] >2 >2
• 5. Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах.

Действительно, если г = ге 1 то

={ге,) = г п е т = г" (со8 пср+іьт гкр).

Формула г" =г п (cosn(p+is n(p) называется формулой Муавра.

6. Извлечение корня п- й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень п, п- 1,2,3,... т.е. комплексное число = у[г называется корнем п- й степени из комплексного числа

г, если г = г х . Из этого определения следует, что г - г" , а г х = л/г. (р-пср х, а ср^-ср/п , что следует из формулы Муавра, записанной для числа = г/*+ іьіпп(р).

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2ж. Поэтому = (р + 2пк , а аргумент числа г, зависящий от к, обозначим (р к и бу

дем вычислять по формуле (р к = - + . Ясно, что существует п ком-

плексных чисел, п -я степень которых равна числу 2. Эти числа имеют один

и тот же модуль, равный у[г, а аргументы этих чисел получаются при к = 0, 1, п - 1. Таким образом, в тригонометрической форме корень и-й степени вычисляют по формуле:

(р + 2кп . . ср + 2кп

, к = 0, 1, 77-1,

.(р+2ктг

а в показательной форме - по формуле л[г - у[ге п

Пример 48. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме:

а) (1-/Ч/2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (з + /) = (1 - Зл/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 +л/2)-(5 +Зл/2)/;

Пример 49. Возвести число г = Уз - / в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа г.

Г = л/3 + 1 =2, С08 (р - -, 5ІІ7 (р =

• (1 - 2/Х2 + /)
• (з-,)

О - 2.-Х2 + о

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (з-О " (з-О

З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-і) ’з+/
• 9 + 1 з_±.
• 5 2 1 "

Отсюда о- -, а г = 2

Муавра получим: і -2

/ ^ _ 7Г, . ?Г

• -СШ--ІБІП -

• --Ь / -

= -(л/З +г)= -2 .

Пример 50. Найти все значения

Решение, г = 2, а ср найдем из уравнении соь(р = -,зт--.

Эта точка 1 - /д/з находится в четвертой четверти, т.е. ф = --. Тогда

• 1 - 2
• ( ( УГ Л

Значения корня находим из выраже

V1 - /л/з = л/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 кк
• 3 . . 3

С08--1- і 81П-

При к - 0 имеем 2 0 = л/2

Можно найти значения корня из числа 2, представив число в показа

-* К/ 3 + 2 кл

При к = 1 имеем еще одно значение корня:

• 7Г. 7Г _
• ---ь27г ---ь2;г
• 3 . . з

7Г . . 7Г Л -С05- + 181П - 6 6

• --Н -

со? - 7Г + /5Ш - Я"

л/3__т_

тельной форме. Так как г= 2, а ср = , то г = 2е 3 , а у[г = у/2е 2

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi .

Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z 2 ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

Легко показать, что

Примеры .

1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R .

(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i .

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;

если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p .

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Таким образом: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).

Рисунок 3

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).

Рисунок 4

Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку .

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о , то ;

3.1. Полярные координаты

На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .

Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .

Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.

Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.

На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .

Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:

3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:

Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .

Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что

.

При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что

Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. 1) считаем модуль: ;

2) ищем φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .

Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:

Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;

1) ;

2) ; φ – в 4 четверти:

3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;