Последовательность - высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.

Последовательность

Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого - натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.

Натуральная последовательность

Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока - это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый - 1, второй - 2, четыреста пятьдесят первый - 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:

∑ = 0,5 n × (n+1).

Расчет суммы натурального ряда

Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

и суммы натурального ряда, равной 120.

Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.

Последовательность квадратов

Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n 2 , следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n 2: первый - 1, второй - 2 2 = 4, третий - 3 2 = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.

Расчет суммы квадратного ряда

В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n 2 , после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

а также сумму, равную 385.

Кубический ряд

Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n 3 . Таким образом, первый член ряда равен 1 3 = 1, второй - 2 3 = 8, третий - 3 3 = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле:

∑ = (0,5 n × (n+1)) 2

Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.

Расчет суммы кубического ряда

Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.

Последовательность нечетных чисел

Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n - 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй - 2×2 − 1 = 3, третий - 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:

Рассмотрим пример.

Вычисление суммы нечетных чисел

Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно.

Прямоугольные числа

Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат - 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.

Обратная последовательность

Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Сумма ряда дробей определяется по формуле:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.

Сумма прямоугольного и обратного ему ряда

Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.

Ряд произведений трех последовательных чисел

Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.

Обратная последовательность

Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.

Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему

Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.

Заключение

Основные понятия и определения

Пусть задана бесконечная числовая последовательность :

, … (1.1)

В прошлом году мы определяли числовую последовательность как функцию натурального аргумента. Это означает, что каждый член последовательности является функцией своего номера п : . В дальнейшем иногда будем рассматривать и п , равное нулю, поэтому числовую последовательность будем определять как функцию целочисленного аргумента (от слов «целое число»).

Определение 1. Выражение

(1.2)

называется бесконечным числовым рядом , или, короче, рядом . Члены последовательности ,… называются членами ряда ; выражение с индексом п - общим членом ряда .

Отличить последовательность от ряда просто: члены последовательности пишутся через запятую, члены ряда соединены знаками плюс.

Таким образом, понятие ряда является обобщением суммирования на случай бесконечного числа слагаемых.

Ряд считается заданным, если известна (задана) формула его общего члена. Общий член ряда (1.2) совпадает с общим членом последовательности (1.1) и также является функцией целочисленного аргумента n , т.е. . Например, если задан общий член в виде

, (1.3)

то, полагая в этой формуле n = 1, 2, 3,..., можно найти любой член ряда, а тем самым и весь ряд:

- члены последовательности или члены ряда,

(1.4)

Числовой ряд.

Определение. Сумма n первых членов ряда называется n- ой частичной суммой ряда и обозначается символом :

Можно записать так: .

В частности,

Составим из всех частичных сумм ряда (1.2) числовую последовательность :

(1.7)

Она называется последовательностью частичных сумм. Как всякая числовая последовательность, она может иметь предел, т.е. сходиться, или не иметь предела, т.е. расходиться. Предел последовательности частичных сумм, если он существует, будем обозначать буквой S .

Определение. Ряд называется сходящимся (ряд сходится ), если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда , т.е.

. (1.8)

Для сходящегося ряда, имеющего сумму S, можно формально записать равенство:

Ряд, не имеющий суммы (1.8), называют расходящимся . В частности, если , то говорят, что ряд расходится к , и в этом случае используют символическое равенство

.

Замечание. Из равенства (1.6) следует, что любой член ряда можно представить как разность частичных сумм и :

. (1.10)

Изобразим геометрически последовательность частичных сумм. На рис.1.1,а и б ряд сходится, на рис.1.1,в - расходится.

Рис.1.1

Замечание 3. Иногда номер члена ряда начинается с нуля: .

Примеры числовых рядов. Вычисление суммы ряда

Пример 1 º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Здесь , .

Данный ряд расходится Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Пример 2 º.

Как обычно, чередование знаков + и - задается с помощью степени (-1). Здесь последовательность частичных сумм имеет вид:

т.е. значение частичной суммы зависит от чётности номера п :

Таким образом, чётные и нечётные частичные суммы стремятся к двум различным пределам:

чётные к нулю, нечётные - к единице:

Рис.1.2

Следовательно, последовательность не имеет предела, и данный ряд расходится.

Пример 3 º.

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Это арифметическая прогрессия с разностью . Напомним, что название «арифметическая» происходит оттого, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:

.

В данной прогрессии , а последовательность частичных сумм имеет вид:

Пример 6º.

.

Вывод будет дан ниже. Здесь в знаменателе только нечётные числа.

Пример 7º.

. Вывод будет дан ниже.

Пример 8º.

Вывод будет дан ниже. Сумма ряда равна числу е - основанию натурального логарифма.

Сумму ряда вычислить не всегда легко и даже не всегда возможно. Поэтому в теории рядов чаще решается более простая задача - выяснение, сходится ряд или расходится. Это называется исследованием сходимости ряда.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ»  РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Числовые ряды

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители : Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Корниенко Л.И.

Москва 2005 введение

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета № 14 специальностей 071000, 130200, 220200.

1. Основные понятия

Пусть u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , …  бесконечная числовая последовательность. Выражение
называетсябесконечным числовым рядом , числа u 1 , u 2 , u 3 , …, u n  членами ряда;
называется общим членом ряда. Ряд часто записывают в сокращенном (свернутом) виде:

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через и называютn -й частичной суммой ряда :

Ряд называется сходящимся , если его n -я частичная сумма при неограниченном возрастанииn стремится к конечному пределу, т.е. если
Числоназываютсуммой ряда .

Если же n -я частичная сумма ряда при
не стремится к конечному пределу, то ряд называютрасходящимся .

Пример 1. Найти сумму ряда
.

Решение. Имеем
. Так как:

,

Следовательно,

Так как
, то ряд сходится и его сумма равна
.

2. Основные теоремы о числовых рядах

Теорема 1. Если сходится ряд
то сходится и рядполучаемый из данного ряда отбрасыванием первых
членов (этот последний ряд называют
-м остатком исходного ряда). И наоборот, из сходимости
-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорема 2. Если сходится ряд
и суммой его является число, то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 3. Если сходятся ряды

имеющие соответственно суммыS и Q, то сходится и ряд причем сумма последнего ряда равна
.

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда) . Если ряд
сходится, то
, т.е. при
предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Следствие 1. Если
, то ряд расходится.

Следствие 2. Если
, то определить сходимость или расходимость ряда с помощью необходимого признака сходимости нельзя. Ряд может как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Находим общий член ряда
. Так как:

т.е.
, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).

3. Признаки сходимости рядов с положительными членами

3.1. Признаки сравнения

Признаки сравнения основаны на сравнении сходимости заданного ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Для сравнения используются ниже перечисленные ряды.

Ряд
составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму

Ряд
составленный из членов возрастающей геометрической прогрессии, является расходящимся.

Ряд
является расходящимся.

Ряд
называется рядом Дирихле. При>1 ряд Дирихле сходится, при <1- расходится.

При =1 ряд
называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Теорема. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е.
(n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенствo
выполняется не при всех, а лишь начиная с некоторого номераn = N , т.е. для всех n  N .

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда
составленного из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так как этот ряд сходится, то сходится и заданный ряд.

Теорема. Второй признак сравнения (предельная форма признака сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел
, то оба рядаиодновременно сходятся или расходятся.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним ряд с гармоническим рядом
Найдем предел отношения общих членов рядов:

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и заданный ряд.

Пусть задана последовательность чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Выражение R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… называют бесконечным рядом , или просто рядом , а числа R 1 , R 2 , R 3 ,… - членами ряда . При этом имеют в виду, что накопление суммы ряда начинается с первых его членов. Сумма S n = называется частичной суммой ряда : при n=1 – первой частичной суммой, при n=2 – второй частичной суммой и так далее.

Называется ряд сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет предел, и расходящимся – в противном случае. Понятие суммы ряда можно расширить , и тогда некоторые расходящиеся ряды также будут обладать суммами. Именно расширенное понимание суммы ряда будет использовано при разработке алгоритмов при следующей постановке задачи: накопление суммы следует выполнять до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине больше заданной величины ε.

В общем случае все или часть членов ряда могут быть заданы выражениями, зависящими от номера члена ряда и переменных. Например,

Тогда возникает вопрос, как минимизировать объём вычислений - вычислять значение очередного члена ряда по общей формуле члена ряда (в приведённом примере её представляет выражение под знаком суммы), по рекуррентной формуле (её вывод представлен ниже) или использовать рекуррентные формулы лишь для частей выражения члена ряда (см. ниже).

Вывод рекуррентной формулы для вычисления члена ряда

Пусть требуется найти ряд чисел R 1 , R 2 , R 3 ,…, последовательно вычисляя их по формулам

,
, …,

Для сокращения вычислений в данном случае удобно воспользоваться рекуррентной формулой вида
, позволяющей вычислить значение R N при N>1, зная значение предыдущего члена ряда R N-1 , где
- выражение, которое можно получить после упрощения отношения выражения в формуле (3.1) для N к выражению для N-1:

Таким образом, рекуррентная формула примет вид
.

Из сравнения общей формулы члена ряда (3.1) и рекуррентной (3.2) видно, что рекуррентная формула значительно упрощает вычисления. Применим ее для N=2, 3 и 4 зная, что
:

Способы вычисление значения члена ряда

Для вычисления значения члена ряда, в зависимости от его вида, может оказаться предпочтительнее использование либо общей формулы члена ряда, либо рекуррентной формулы, либо смешанного способа вычисления значения члена ряда , когда для одной или нескольких частей члена ряда используются рекуррентные формулы, и затем их значения подставляются в общую формулу члена ряда. Например, - для ряда проще вычислять значение члена ряда
по его общей формуле
(сравните с
- рекуррентной формулой); - для ряда
лучше воспользоваться рекуррентной формулой
; - для ряда следует применить смешанный способ, вычисляя A N =X 3N по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при A 1 =1 и B N =N! - также по рекуррентной формуле
, N=2, 3,… при B 1 =1, а затем – член ряда
- по общей формуле, которая примет вид
.

Пример 3.2.1 выполнения задания

Вычислить с точностью ε для 0 o  X  45 o

используя рекуррентную формулу для вычисления члена ряда:

,

точное значение функции cos X,

абсолютную и относительную ошибки приближенного значения.

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}

K=Pi/180; //Коэффициент для перевода из градусов в радианы

Eps: Extended =1E-8;

X: Extended =15;

R, S, Y, D: Extended;

{$IFNDEF DBG} //Операторы, не используемые при отладке

Write("Введите требуемую точность: ");

Write("Введите значение угла в градусах: ");

D:=Sqr(K*X); //Перевод X в радианы и возведение в квадрат

//Задание начальных значений переменным

//Цикл для вычисления членов ряда и накопления их суммы.

//Выполнять, пока модуль очередного члена ряда больше Eps.

while Abs(R)>Eps do

if N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Вывод результатов вычислений:

WriteLn(N:14," = Число шагов, за которое достигнута",

"заданная точность");

WriteLn(S:14:11," = Приближенное значение функции");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Точное значение функции");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Абсолютная ошибка");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = Относительная ошибка");

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять - сходится ли ряд, также показывает - какие признаки сходимости срабатывают, а какие - нет.

Также умеет определять сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание