Общая арифметика. Значение слова «арифметика

Что такое "арифметика"? Как правильно пишется данное слово. Понятие и трактовка.

арифметика искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под "арифметикой" во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики. По-видимому, наибольшую трудность у древних вычислителей вызывала работа с дробями. Об этом можно судить по папирусу Ахмеса (называемому также папирусом Ринда), древнеегипетскому сочинению по математике, датируемому примерно 1650 до н.э. Все дроби, упоминаемые в папирусе, за исключением 2/3, имеют числители, равные 1. Трудность обращения с дробями заметна и при изучении древневавилонских клинописных табличек. И древние египтяне, и вавилоняне, по-видимому, производили вычисления с помощью некоторой разновидности абака. Наука о числах получила у древних греков существенное развитие начиная с Пифагора, около 530 до н.э. Что же касается непосредственно техники вычисления, то в этой области греками было сделано гораздо меньше. Жившие позднее римляне, напротив, практически не внесли никакого вклада в науку о числе, зато исходя из нужд быстро развивавшихся производства и торговли усовершенствовали абак как счетное устройство. О зарождении индийской арифметики известно очень мало. До нас дошли лишь некоторые более поздние работы о теории и практике операций с числами, написанные уже после того, как индийская позиционная система была усовершенствована посредством включения в нее нуля. Когда в точности это произошло, нам достоверно неизвестно, но именно тогда были заложены основы для наших наиболее распространенных арифметических алгоритмов (см. также ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ). Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан аль-Хорезми около 825. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени аль-Хорезми дошел до нас в слове "алгоризм", которое при дальнейшем смешении с греческим словом аритмос превратилось в термин "алгоритм". Индо-арабская арифметика стала известна в Западной Европе в основном благодаря сочинению Л.Фибоначчи Книга абака (Liber abaci, 1202). Метод абацистов предлагал упрощения, подобные использованию нашей позиционной системы, во всяком случае для сложения и умножения. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня. Один из первых учебников арифметики, автор которого нам неизвестен, вышел в Тревизо (Италия) в 1478. В нем речь шла о расчетах при совершении торговых сделок. Этот учебник стал предшественником многих появившихся впоследствии учебников арифметики. До начала 17 в. в Европе было опубликовано более трехсот таких учебников. Арифметические алгоритмы за это время были существенно усовершенствованы. В 16-17 вв. появились символы арифметических операций, такие как =, +, -, *, "корень" и /. Принято считать, что десятичные дроби изобрел в 1585 С.Стевин, логарифмы - Дж. Непер в 1614, логарифмическую линейку - У. Оутред в 1622. Современные аналоговые и цифровые вычислительные устройства были изобретены в середине 20 в. См. также МАТЕМАТИКА; МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ; ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ; РЯДЫ. Механизация арифметических вычислений. С развитием общества росла и потребность в более быстрых и точных вычислениях. Эта потребность вызвала к жизни четыре замечательных изобретения: индо-арабские числовые обозначения, десятичные дроби, логарифмы и современные вычислительные машины. На самом деле простейшие счетные устройства существовали до появления современной арифметики, ибо в древности элементарные арифметические операции производились на абаке (в России с этой целью использовались счеты). Простейшим современным вычислительным устройством можно считать логарифмическую линейку, представляющую собой две скользящие одна вдоль другой логарифмические шкалы, что позволяет производить умножение и деление, суммируя и вычитая отрезки шкал. Изобретателем первой механической суммирующей машины принято считать Б.Паскаля (1642). Позднее в том же столетии Г. Лейбниц (1671) в Германии и С. Морленд (1673) в Англии изобрели машины для выполнения умножения. Эти машины стали предшественницами настольных вычислительных устройств (арифмометров) 20 в., позволявших быстро и точно производить операции сложения, вычитания, умножения и деления. В 1812 английский математик Ч. Бэббидж приступил к созданию проекта машины для вычисления математических таблиц. Хотя работа над проектом продолжалась долгие годы, она так и осталась незавершенной. Тем не менее проект Бэббиджа послужил стимулом к созданию современных электронных вычислительных машин, первые образцы которых появились около 1944. Быстродействие этих машин поражало воображение: с их помощью за минуты или часы удавалось решить задачи, ранее требовавшие многих лет непрерывных вычислений даже с применением арифмометров. Суть дела можно пояснить на примере конкретной арифметической задачи, например, вычисления числа p (отношения длины окружности к ее диаметру). Первые систематические попытки вычисления p встречаются у Архимеда (ок. 240 до н.э.). Используя весьма несовершенную систему счисления, он после долгих трудов сумел вычислить p с точностью, эквивалентной в нашей современной системе счисления двум знакам после запятой. Используя метод Архимеда, Л.ван Цейлен (1540-1610), посвятив этому значительную часть жизни, сумел вычислить p с точностью 35 знаков после запятой. В 1873 после пятнадцати лет работы У.Шенкс получил значение p с 707 знаками, но позднее выяснилось, что начиная с 528-го знака в его вычисления вкрались ошибки. В 1958 компьютер фирмы ИБМ вычислил за 40 секунд 707 знаков числа p и, продолжая далее вычисления, получил за 100 минут 10000 знаков. См. также КОМПЬЮТЕР; ЧИСЛО ПИ. Целые положительные числа. Основой наших представлений о числах являются интуитивные понятия множества, соответствия между множествами и бесконечной последовательности различимых знаков или звуков. Знакомая всем нам последовательность символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... есть не что иное, как бесконечная последовательность различимых знаков и бесконечная последовательность различимых звуков (или слов) "один", "два", "три", "четыре", "пять", "шесть", "семь", "восемь", "девять", "десять", "одиннадцать", "двенадцать", ..., соответствующих определенным символам. Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 ("восемь") элементов. Символ 8 указывает на "число" предметов в исходном множестве. Это число есть символ, или ярлык, приписываемый данному множеству. Этот же ярлык приписывается всем тем и только тем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с данным множеством. Однозначное определение ярлыка для любого заданного конечного множества называется "пересчитыванием" элементов данного множества, а сами ярлыки получили название натуральных или целых положительных чисел (см. также ЧИСЛО; МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ). Пусть A и B - два конечных множества, не имеющие общих элементов, и пусть A содержит n элементов, а B содержит m элементов. Тогда множество S, состоящее из всех элементов множеств A и B, взятых вместе, является конечным множеством, содержащим, скажем, s элементов. Например, если А состоит из элементов {a, b, c}, множество В - из элементов {x, y}, то множество S = A + B и состоит из элементов {a, b, c, x, y}. Число s называется суммой чисел n и m, и мы записываем это так: s = n + m. В этой записи числа n и m называются слагаемыми, операция нахождения суммы - сложением. Символ операции "+" читается как "плюс". Множество P, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй - из множества B, является конечным множеством, содержащим, скажем, p элементов. Например, если, как и прежде, A = {a, b, c}, B = {x, y}, то P = AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)}. Число p называется произведением чисел a и b, и мы записываем это так: p = a*b или p = a*b. Числа a и b в произведении называются множителями, операция нахождения произведения - умножением. Символ операции ґ читается как "умноженное на". Можно показать, что из этих определений следуют приводимые ниже фундаментальные законы сложения и умножения целых чисел: - закон коммутативности сложения: a + b = b + a; - закон ассоциативности сложения: a + (b + c) = (a + b) + c; - закон коммутативности умножения: a*b = b*a; - закон ассоциативности умножения: a*(b*c) = (a*b)*c; - закон дистрибутивности: aґ(b + c)= (a*b) + (a*c). Если a и b - два положительных целых числа и если существует положительное целое число c, такое, что a = b + c, то мы говорим, что a больше b (это записывается так: a > b), или что b меньше a (это записывается так: b b, либо a

Арифметикой называется тот раздел математики, предметом изучения которого являются числа, их свойства и отношения.

Ее название имеет греческое происхождение: на языке древней Эллады слово «аритмос » (его еще произносят как «арифмос ») означает «число ».

Арифметика изучает правила вычислений и простейшие свойства чисел. В том ее разделе, который называется теория чисел (или высшая арифметика), изучаются свойства отдельных целых чисел.

Арифметика самым тесным образом связана с теорией чисел, алгеброй и геометрией, и является одной из главных математических наук, а также самой древней из них.

Основными предметами арифметики являются действия над числами, их свойства, а также числовые множества. Кроме того, в арифметике изучаются такие вопросы, как происхождение и развитие понятия чисел, измерения и техника счета.

Действия над числами, являющиеся предметом изучения арифметики, – это сложение, вычитание, деление и умножение. К ним также можно отнести и такие операции, как извлечение корня, возведение в степень и решение различных численных уравнений.

Кроме того, исторически сложилось так, что к арифметическим действиям относят, помимо умножения, удвоение; помимо деления, деление с остатком и на два; счет; вычисление суммы геометрической и арифметической прогрессий. При этом все арифметические действия имеют собственную иерархию, в которой высшую ступень занимает извлечение корней и возведение в степень, более низкую – умножение и деление, и далее – сложение и вычитание.

Следует заметить, что те измерения и математические расчеты, которые находят широкое практическое применение (например, проценты, пропорции и т.п.) относятся к так называемой низшей арифметике, а понятие числа и его логический анализ – к арифметике теоретической.

Арифметика находится в очень тесной связи с алгеброй, основным предметом изучения которой являются различные операции с числами, не учитывающие их свойства и особенности. При этом извлечение корней и возведение в степень представляют собой техническую часть алгебры.

Поскольку в повседневной жизни арифметика используется практически повсеместно, то определенные познания в этой науке необходимы абсолютно всем. На протяжении жизни такие операции, как счет, вычисление объемов, площадей, скорости, временных промежутков и протяженностей приходится выполнять очень часто.

Для освоения любой профессии необходимо владеть основными арифметическими знаниями, и особенно это касается тех специальностей, которые связаны с экономикой, техникой и естественными науками.

Арифметика – самый основной, базовый раздел математики. Возникновению она обязана потребностям людей в счете.

Ментальная арифметика

Что называется ментальной арифметикой? Ментальная арифметика – это метод обучения быстрому счету, пришедший из древности.

В настоящее время, в отличии от предыдущего, преподаватели стараются не только обучить детей скорости счета, но и стараются развить мышление.

Сам процесс обучения строится на использовании и развитии обоих полушарий мозга. Главное – уметь их использовать вместе, потому что они дополняют друг друга.

Действительно, левое полушарие отвечает за логику, речь и рациональность, а правое – за воображение.

В программу обучения входит обучение работы и использование такого инструмента, как абакус .

Абакус – главный инструмент в изучении ментальной арифметики, потому что ученики учатся работать с ними, перебирать костяшки и осознавать суть счета. Со временем абакус стает вашим воображением, а обучаемые представляют их, опираются на эти знания и решают примеры.

Отзывы о данных методах обучения весьма положительные. Есть один минус – обучение платное, а его позволить могут не все. Поэтому путь гения зависит от материального положения.

Математика и арифметика

Математика и арифметика тесно связанные понятия, а вернее арифметика – раздел математики , работающий с числами и вычислениями (действиями с числами).

Арифметика – основной раздел, а значит и основа математики. Основа математики – важнейшие понятия и операции, составляющие базу, на которой строятся все последующие знания. В число главных операций входят: сложение , вычитание , умножение , деление .

Арифметика, как правило, изучается в школе с самого начала обучения, то есть. с первого класса. Дети осваивают базу математики.

Сложение – это арифметическое действие, в процессе которого складываются два числа, а их результатом будет новое – третье.

a + b = c .

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого из первого числа вычитается второе число, а итогом будет третье.

Формула сложения выражается так: a - b = c .

Умножение – это действие, в итоге которого находится сумма одинаковых слагаемых.

Формула такого действия имеет вид: a1+a2+…+an=n*a .

Деление – это разбивание на равные части какого-либо числа или переменной.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Обучение арифметике

Обучение арифметике производится в стенах школы. С первого класса дети начинают изучение базового и главного раздела математики – арифметики.

Сложение чисел

Арифметика 5 класс

В пятом классе школьник начинают изучение таких тем как: дробные числа, смешанные числа. Информацию про операции с этими числами вы можете найти в наших статьях по соответствующим операциям.

Дробное число – это отношение двух чисел друг к другу или же числителя к знаменателю. Дробное число можно заменить операцией деления. Например, ¼ = 1:4.

Смешанное число – это дробное число, только с выделенной целой частью. Целая часть выделяется при условии, что числитель больше знаменателя. Например, была дробь: 5/4, ее можно преобразовать, путем выделения целой части: 1целая и ¼.

Примеры для тренировки:

Задание №1 :

Задание №2 :

Арифметика 6 класс

В 6ом классе появляется тема преобразования дробей в строчную запись. Что это значит? Например, дана дробь ½, она будет равна 0,5. ¼ = 0.25.

Примеры могут составляться в таком стиле: 0.25+0.73+12/31.

Примеры для тренировки:

Задание №1 :

Задание №2 :

Игры для развития устного счета и скорости счета

Существуют прекрасные игры, способствующие развитию счета, помогающие развивать математические способности и математическое мышление, устный счет и скорость счета! Можно играть и развиваться! Вам интересно? Прочтите краткие статьи об играх и обязательно попробуйте себя.

Игра «Быстрый счет»

Игра «быстрый счет» поможет вам ускорить устный счет. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ да или нет на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Игра «Математические сравнения»

Игра «Математические сравнения» потребует от вас сравнения двух чисел на время. То есть вам предстоит выбрать как можно быстрее одно из двух чисел. Помните, что время ограничено, а чем больше вы ответите верно, тем лучше будут развиваться ваши математические способности! Попробуем?

Игра «Быстрое сложение»

Игра «Быстрое сложение» - отличный тренажер быстрого счета. Суть игры: дано поле 4x4, то есть. 16 чисел, а над полем семнадцатое число. Ваша цель: при помощи шестнадцати чисел составить 17, пользуясь операцией сложения. Например, над полем у вас написано число 28, то в поле вам надо найти 2 таких числа, которые в сумме дадут число 28. Вы готовы попробовать свои силы? Тогда вперед, тренироваться!

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

Что такое арифметика? Когда человечество начало использовать числа и работать с ними? Куда уходят корни таких обыденных понятий, как числа, сложение и умножение, которые человек сделал неотделимой частью своей жизни и мировоззрения? Древнегреческие умы восхищались такими науками, как и геометрия, как прекраснейшими симфониями человеческой логики.

Возможно, арифметика не так глубока, как другие науки, но что было бы с ними, забудь человек элементарную таблицу умножения? Привычное нам логическое мышление, использующие цифры, дроби и другие инструменты, нелегко давалось людям и долгое время было недоступно для наших предков. Фактически до развития арифметики ни одна область человеческого знания не была по-настоящему научной.

Арифметика - это азбука математики

Арифметика - это наука о числах, с которой любой человек начинает знакомство с увлекательным миром математики. Как говорил М. В. Ломоносов, арифметика - это врата учености, открывающие нам путь к миропознанию. А ведь он прав, разве познание мира можно отделить от знания цифр и букв, математики и речи? Возможно, в былые времена, но не в современном мире, где бурное развитие науки и техники диктует свои законы.

Слово "арифметика" (греч. "арифмос") греческого происхождения, обозначает "число". Она изучает число и все что может быть с ними связано. Это мир чисел: различные действия над числами, числовые правила, решение задач, которые связаны с умножением, вычитанием и т. д.

Основной объект арифметики

Основа арифметики - это целое число, свойства и закономерности которого рассматриваются в высшей арифметике или По сути, от того, насколько верный подход взят в рассмотрении такого небольшого блока, как натуральное число, зависит прочность всего здания - математики.

Поэтому на вопрос о том, что такое арифметика, можно ответить просто: это наука о числах. Да, о привычной семерке, девятке и всем этом разнообразном сообществе. И подобно тому, как и хороших, и самых посредственных стихов не напишешь без элементарной азбуки, без арифметики не решить даже элементарной задачи. Вот почему все науки продвинулись только после развития арифметики и математики, будучи до этого всего лишь набором предположений.

Арифметика - наука-фантом

Что такое арифметика - натуральная наука или фантом? На самом деле, как рассуждали древнегреческие философы, ни чисел, ни фигур в реальности не существует. Это всего лишь фантом, который создается в человеческом мышлении при рассматривании окружающей среды с ее процессами. В самом деле, Нигде вокруг мы не видим ничего подобного, что можно было бы назвать числом, скорее, число - это способ человеческого разума изучать мир. А может быть, это изучение нас самих изнутри? Об этом спорят философы много веков подряд, поэтому дать исчерпывающий ответ мы не беремся. Так или иначе, арифметике удалось настолько прочно занять свои позиции, что в современном мире никто не может считаться социально адаптированным без знания ее основ.

Как появилось натуральное число

Конечно, основной объект, которым оперирует арифметика, - натуральное число, такое, как 1, 2, 3, 4, …, 152... и т.д. Арифметика натуральных чисел является результатом счета обычных предметов, например, коров на лугу. Все-таки определение "много" или "мало" когда-то перестало устраивать людей, и пришлось изобретать более совершенные техники счета.

Но настоящий прорыв случился, когда человеческая мысль дошла до того, что можно одним и тем же числом «два» обозначить и 2 килограмма, и 2 кирпича, и 2 детали. Дело в том, что нужно абстрагироваться от форм, свойств и смысла предметов, тогда можно производить некоторые действия с этими предметами в виде натуральных чисел. Так родилась арифметика чисел, которая дальше развивалась и ширилась, занимая все большие позиции в жизни общества.

Такие углубленные понятия числа, как ноль и отрицательное число, дроби, обозначения чисел цифрами и другими способами, имеют богатейшую и интереснейшую историю развития.

Арифметика и практичные египтяне

Два древнейших спутника человека в исследовании окружающего мира и решении бытовых задач - это арифметика и геометрия.

Считается, что история арифметики берет свое начало на Древнем Востоке: в Индии, Египте, Вавилоне и Китае. Так, папирус Ринда египетского происхождения (назван так, поскольку принадлежал одноименному владельцу), датируемый XX в. до н.э, кроме других ценных данных содержит разложение одной дроби на сумму дробей с разными знаменателями и числителем, равным единице.

Например: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Но в чем смысл такого сложного разложения? Дело в том, что египетский подход не терпел абстрагированных размышлений о числах, наоборот, вычисления производились только с практической целью. То есть египтянин станет заниматься таким делом, как расчеты, исключительно для того, чтобы построить гробницу, например. Нужно было высчитать длину ребра сооружения, и это заставляло садиться человека за папирус. Как видно, египетский прогресс в расчетах был вызван, скорее массовым, строительством, нежели любовью к науке.

По этой причине расчеты, найденные на папирусах, нельзя назвать размышлениями на тему дробей. Скорее всего, это практическая заготовка, которая помогала в дальнейшем решать задачи с дробями. Древние египтяне, не знавшие таблицы умножения, производили довольно длинные вычисления, разложенные на множество подзадач. Возможно, это одна из таковых подзадач. Нетрудно заметить, что расчеты с такими заготовками весьма трудоемки и малоперспективны. Может быть, по этой причине мы не видим большого вклада Древнего Египта в развитие математики.

Древняя Греция и философская арифметика

Многие знания Древнего Востока были успешно освоены древними греками, известными любителями отвлеченных, абстрактных и философских размышлений. Практика их интересовала не меньше, но лучших теоретиков и мыслителей найти сложно. Это пошло на пользу науке, поскольку в арифметику невозможно углубиться, не разорвав ее с реальностью. Конечно, можно умножать 10 коров и 100 литров молока, но далеко продвинуться не удастся.

Мыслящие глубоко греки оставили значительный след в истории, и их труды дошли до нас:

Евклид и «Начала».
Пифагор.
Архимед.
Эратосфен.
Зенон.
Анаксагор.

И, конечно, превращающие все в философию греки, а особенно продолжатели дела Пифагора, настолько были увлечены числами, что считали их таинством гармонии мира. Числа настолько были изучены и исследованы, что некоторым из них и их парам приписывали особые свойства. Например:

Совершенные числа - те, которые равны сумме всех своих делителей, кроме самого числа (6=1+2+3).
Дружественные числа - это такие числа, одно из которых равно сумме всех делителей второго, и наоборот (пифагорейцы знали только одну такую пару: 220 и 284).

Греки, считавшие, что науку нужно любить, а не быть с ней ради выгоды, достигли больших успехов, исследуя, играя и складывая числа. Нужно отметить, что не все их изыскания нашли широкое применение, некоторые из них остались лишь "для красоты".

Восточные мыслители Средневековья

Точно так же и в Средние века арифметика своим развитием обязана восточным современникам. Индийцы передали нам цифры, которые мы активно используем, такое понятие как "нуль", и позиционный вариант привычный современному восприятию. От Аль-каши, который в 15 веке работал в Самарканде, мы унаследовали без которых трудно представить современную арифметику.

Во многом знакомство Европы с достижениями Востока стало возможно благодаря труду итальянского ученого Леонардо Фибоначчи, который написал произведение "Книга абака", знакомящее с восточными новшествами. Оно стало краеугольным камнем развития алгебры и арифметики, исследовательской и научной деятельности в Европе.

Российская арифметика

И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году - это была книга об арифметике Леонтия Магницкого. Долгое время она оставалась единственным учебным руководством по математике. Она содержит начальные моменты алгебры и геометрии. Цифры, которые использовал в примерах первый в России учебник арифметики, арабские. Хотя арабские цифры встречались и ранее, на гравюрах, датирующихся 17 веком.

Сама книга украшена изображениями Архимеда и Пифагора, а на первом листе - образ арифметики в виде женщины. Она сидит на престоле, под ней написано на иврите слово, обозначающее имя Бога, а на ступенях, которые ведут к престолу, начертаны слова «деление», «умножение», «сложение» и т. д. Можно только представить, какое значение предавали таким истинам, которые сейчас считаются обыденным явлением.

Учебник из 600 страниц описывает как основы вроде таблицы сложения и умножения, так и приложения к навигационным наукам.

Не удивительно, что автор выбрал изображения греческих мыслителей для своей книги, ведь он и сам был пленен красотой арифметики, говоря: «Арифметика есть числительница, есть художество честное, независтное… ». Такой подход к арифметике вполне обоснован, ведь именно ее повсеместное внедрение можно считать началом бурного развития научной мысли в России и общего образования.

Непростые простые числа

Простое число - это такое натуральное число, которое имеет только 2 положительных делителя: 1 и само себя. Все остальные числа, не считая 1, называют составными. Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, и все другие, которые не имеют прочих делителей, кроме числа 1 и себя самого.

Что же касается числа 1, то оно на особом счету - существует уговор, что его нужно считать ни простым, ни составным. Простое на первый взгляд простое число таит множество неразгаданных тайн внутри себя.

Теорема Евклида говорит, что простых чисел бесконечное множество, а Эратосфен придумал специальное арифметическое «решето», которое отсеивает непростые числа, оставляя только простые.

Ее суть в том чтобы подчеркивать первое невычеркнутое число, а в последующем вычеркивать те, которые ему кратны. Многократно повторяем эту процедуру - и получаем таблицу простых чисел.

Основная теорема арифметики

Среди наблюдений о простых числах нужно особым образом упомянуть основную теорему арифметики.

Основная теорема арифметики гласит, что любое целое число, большее 1, либо является простым, либо его можно разложить на произведение простых чисел с точностью до порядка следования сомножителей, причем единственным образом.

Основная теорема арифметики доказывается достаточно громоздко, да и понимание ее уже не похоже на простейшие основы.

На первый взгляд простые числа - элементарное понятие, однако это не так. Физика также некогда считала атом элементарным, пока не нашла внутри него целую вселенную. Простым числам посвящен прекрасный рассказ математика Дона Цагира «Первые пятьдесят миллионов простых чисел».

От «трех яблочек» до дедуктивных законов

Что поистине можно назвать армированным фундаментом всей науки - это законы арифметики. Еще в детстве все сталкиваются с арифметикой, изучая количество ножек и ручек у кукол, количество кубиков, яблочек и т. д. Так мы изучаем арифметику, которая дальше переходит в более сложные правила.

Вся наша жизнь знакомит нас с правилами арифметики, которые стали для простого человека наиболее полезными из всего, что дает наука. Изучение чисел - это "арифметика-малышка", которая знакомит человека с миром чисел в виде цифр еще в раннем детстве.

Высшая арифметика - дедуктивная наука, которая изучает законы арифметики. Большинство из них нам известно, хотя, возможно, мы и не знаем их точных формулировок.

Закон сложения и умножения

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в виде суммы a+b, которая также будет числом натуральным. Касательно сложения действуют следующие законы:

Коммутативный , который говорит, что от перестановки слагаемых местами сумма не изменяется, или a+b= b+a.
Ассоциативный , который говорит, что сумма не зависит от способа группировки слагаемых местами, или a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Правила арифметики, такие, как сложение, - одни из элементарных, но их используют все науки, не говоря уже о повседневной жизни.

Два любых натуральных числа a и b могут быть выражены в произведении a*b или a*b, которое также является числом натуральным. К произведению применимы те же коммутативные и ассоциативные законы, что и к сложению:

a*b= b* a;
a*(b*c)= (a* b)* c.

Интересно, что существует закон, который объединяет сложение и умножение, называемый также распределительным, или дистрибутивным законом:

a(b+c)= ab+ac

Этот закон фактически учит нас работать со скобками, раскрывая их, тем самым мы можем работать уже с более сложными формулами. Это именно те законы, которые будут вести нас по причудливому и непростому миру алгебры.

Закон арифметического порядка

Закон порядка человеческая логика использует каждый день, сверяя часы и считая купюры. И, тем не менее, и его нужно оформить в виде конкретных формулировок.

Если мы имеем два натуральных числа a и b, то возможны следующие варианты:

a равно b, или a=b;
a меньше b, или a < b;
a больше b, или a > b.

Из трех вариантов справедливым может быть только один. Основной закон, который управляет порядком, говорит: если a < b и b < c, то a< c.

Существуют также и законы, связывающие порядок с действиями умножения и сложения: если a< b, то a + c < b+c и ac< bc.

Законы арифметики учат нас работать с числами, знаками и скобками, превращая все в стройную симфонию чисел.

Позиционные и непозиционные системы исчисления

Можно сказать, что числа - это математический язык, от удобства которого зависит многое. Существует множество систем исчисления, которые, как и алфавиты разных языков, отличаются между собой.

Рассмотрим системы счисления с точки зрения влияния позиции на количественное значение цифры на этой позиции. Так, например, римская система является непозиционной, где каждое число кодируется определенным набором специальных символов: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Они равны, соответственно, числам 1/ 5/10/50/100/500/1000. В такой системе цифра не изменяет своего количественного определения в зависимости от того, на какой она стоит позиции: первой, второй и т. д. Чтобы получить другие числа, нужно сложить базовые. Например:

DCC=700.
CCM=800.

Более привычная для нас система счисления с использованием арабских цифр является позиционной. В такой системе разряд числа определяет количество цифр, например, трехразрядные числа: 333, 567 и т.д. Вес любого разряда зависит от позиции, на которой находится та или иная цифра, например цифра 8 на второй позиции имеет значение 80. Это характерно для десятичной системы, существуют и другие позиционные системы, например двоичная.

Двоичная арифметика

Двоичная арифметика работает с двоичным алфавитом, который состоит всего из 0 и 1. А использование этого алфавита называется двоичной системой исчисления.

Отличие двоичной арифметики от десятичной в том, что значимость позиции слева больше не в 10, а в 2 раза. Двоичные числа имеют вид 111, 1001 и т. д. Как понимать такие числа? Итак, рассмотрим число 1100:

Первая цифра слева - 1*8=8, помня о том, что четвертая цифра, а значит, ее нужно умножить на 2, получаем позицию 8.
Вторая цифра 1*4=4 (позиция 4).
Третья цифра 0*2=0 (позиция 2).
Четвертая цифра 0*1=0 (позиция 1).
Итак, наше число 1100=8+4+0+0=12.

То есть при переходе на новый разряд слева его значимость в двоичной системе умножается на 2, а в десятичной - на 10. Такая система имеет один минус: это слишком большой рост разрядов, которые необходимы для записи чисел. Примеры представления десятичных чисел в виде двочиных можно посмотреть в следующей таблице.

Десятичные числа в двоичном виде изображены ниже.

Используются также и восьмеричная, и шестнадцатеричная системы исчисления.

Эта загадочная арифметика

Что такое арифметика, «дважды два» или неизведанные тайны чисел?Как видим, арифметика, может, и кажется на первый взгляд простой, но ее неочевидная легкость обманчива. Ее можно изучать и детям вместе с тетушкой Совой из мультика «Арифметика-малышка», а можно погрузиться в глубоко научные изыскания чуть ли не философского порядка. В истории она прошла путь от счета предметов до поклонения красоте чисел. Одно только точно известно: с установлением основных постулатов арифметики вся наука может опираться на ее крепкое плечо.

С одной стороны это очень простой вопрос. С другой, школьники, да и многие взрослые, часто путают арифметику и математику и толком не знают в чем же разница между этими двумя предметами. Математика — это наиболее обширное понятие, которое включает в себя любые действия с числами. Арифметика же лишь один из разделов математики. К арифметике относятся знакомство с цифрами, простой счет и операции с числами. Раньше в школах уроки назывались именно арифметикой и лишь со временем стали носить название математика, которая плавно перетекает в алгебру. По сути алгебра начинается тогда, когда в примерах появляются неизвестные числа и вместо них используются буквы. То есть по-простому операции с x и y .

Термин «арифметика» произошел от греческого слова «arithmos» , что означает «число». В 14-15 веках данный термин переводился в Англии не совсем верно — «the metric art», что по сути означало «метрическое искусство», подходящее больше для геометрии, нежели простого счета и несложных действий с числами.

Одна из причин, почему в школах не используется понятие «арифметика» заключается в том, что даже на уроках в начальных классах помимо цифр изучают также геометрические формы и единицы измерения (сантиметр, метр и т.д.), а это уже выходит за пределы обычного счета. Тем не менее, обучение ментальной арифметике происходит в жизни ребенка в какой-то степени само собой, в процессе знакомства с окружающим миром. Термин «ментальная арифметика» означает умение считать в уме. Согласитесь, каждый из нас в какой-то момент жизни учится этому и не только благодаря школьным урокам.

Сегодня есть целые методики для развития у детей навыков скоростного счета в уме. Например, особенно популярно древнее Абакус обучение, в основе которого лежит умение считать на специальных счетах (отличаются от обычных с десятками). Abacus в переводе с английского и есть «счеты» , потому и название методики звучит так же. Японцы же эту методику называют Соробан обучение, т.к. на их языке «счеты» называются именно «soroban».

В арифметике используются четыре элементарные операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Причем неважно целые числа используются в примере или же десятичные и дроби. Знакомить ребенка с цифрами можно еще с раннего детства, причем делать это непринужденно и в игре. В этом родителям поможет не только воображение, но и множество специальных развивающих материалов, найти которые можно в любом магазине.

По современным требованиям к первому классу ребенок должен уже считать минимум в пределе десяти (а лучше до 20), а также осуществлять со знакомыми цифрами основные операции — складывать их и вычитать. Важно также, чтобы ребенок мог сравнивать, какое из чисел больше, какое меньше, а какие числа равны. Таким образом, можно сказать, что именно арифметику ребенок должен знать еще до поступления в школу.

Такие требования предъявляются не только в России, но и во всем мире, т.к. темп жизни ускоряется, а объем знаний ежедневно увеличивается. То, что достаточно было знать в школьной программе еще 20-30 лет назад, сегодня занимает не более 50% преподаваемой учителями информации. Как бы там ни было, арифметика всегда останется основой основ для изучения цифр и счета, а также первоначальным уровнем математики, без которого невозможно изучить более сложные задания и умения.