4 x boyutlu şekiller. dört boyutlu küp

Bakalar Maria

Dört boyutlu bir küp (tesseract) kavramını, yapısını ve bazı özelliklerini tanıtma yöntemleri incelenir.Dört boyutlu bir küp, üç boyutlu yüzlerine paralel hiper düzlemlerle kesiştiğinde hangi üç boyutlu nesnelerin elde edildiği sorusu, ana köşegenine dik hiper düzlemlerin yanı sıra incelenmiştir. Araştırma için kullanılan çok boyutlu analitik geometri aparatı göz önünde bulundurulur.

İndirmek:

Ön izleme:

Giriş ………………………………………………………………… .2

Ana kısım ………………………………………………………… ..4

Sonuçlar ………… .. ……………………………………………………… ..12

Kaynaklar ……………………………………………………… ..13

Tanıtım

Dört boyutlu uzay, uzun zamandır hem profesyonel matematikçilerin hem de bu bilimin peşinden gitmekten uzak insanların ilgisini çekmiştir. Dördüncü boyuta olan ilgi, üç boyutlu dünyamızın dört boyutlu uzaya “dalmış” olduğu varsayımından kaynaklanıyor olabilir, tıpkı bir düzlemin üç boyutlu uzaya “batırılması”, düz bir çizginin bir düzleme “batırılması” gibi. düzlem ve bir nokta düz bir çizgi üzerindedir. Ayrıca, dört boyutlu uzay, modern görelilik kuramında (uzay-zaman veya Minkowski uzayı olarak adlandırılan) önemli bir rol oynar ve özel bir durum olarak da düşünülebilir.boyutlu Öklid uzayı (için).

Dört boyutlu bir küp (tesseract), mümkün olan maksimum boyuta sahip dört boyutlu uzayın bir nesnesidir (tıpkı sıradan bir küpün üç boyutlu uzayın bir nesnesi olması gibi). Ayrıca doğrudan ilgi konusu olduğuna dikkat edin, yani doğrusal programlamanın optimizasyon problemlerinde (dört değişkenli doğrusal bir fonksiyonun minimum veya maksimumunun bulunduğu bir alan olarak) görünebilir ve ayrıca dijital mikro elektronikte (ne zaman elektronik saat göstergesinin çalışmasını programlama). Ek olarak, dört boyutlu bir küpü inceleme süreci, mekansal düşünme ve hayal gücünün gelişimine katkıda bulunur.

Bu nedenle, dört boyutlu bir küpün yapısının ve spesifik özelliklerinin incelenmesi oldukça önemlidir. Unutulmamalıdır ki, yapı açısından dört boyutlu küp oldukça iyi çalışılmıştır. Çok daha fazla ilgi çekici olan, bölümlerinin çeşitli hiper düzlemlerle karakteridir. Bu nedenle, bu çalışmanın ana amacı, tesseract'ın yapısını incelemek ve ayrıca dört boyutlu bir küp, üç boyutlu bir küpten birine paralel hiper düzlemler tarafından kesilirse hangi üç boyutlu nesnelerin elde edileceği sorusunu açıklığa kavuşturmaktır. boyutlu yüzler veya ana köşegenine dik hiper düzlemler tarafından. Dört boyutlu uzayda bir hiperdüzlem, üç boyutlu bir alt uzaydır. Düzlemdeki düz bir çizginin tek boyutlu bir hiperdüzlem olduğunu, üç boyutlu uzaydaki bir düzlemin iki boyutlu bir hiperdüzlem olduğunu söyleyebiliriz.

Belirlenen hedef, çalışmanın hedeflerini belirledi:

1) Çok boyutlu analitik geometrinin temel gerçeklerini inceleyin;

2) 0'dan 3'e kadar boyutlarda küp oluşturma özelliklerini inceleyin;

3) Dört boyutlu bir küpün yapısını inceleyin;

4) Dört boyutlu bir küpü analitik ve geometrik olarak tanımlar;

5) Üç boyutlu ve dört boyutlu küplerin tarama ve merkezi izdüşüm modellerini yapar.

6) Çok boyutlu analitik geometri aygıtını kullanarak, dört boyutlu bir küpün, üç boyutlu yüzlerinden birine paralel hiper düzlemler veya ana köşegenine dik hiper düzlemler tarafından kesişmesinden kaynaklanan üç boyutlu nesneleri tanımlayın.

Bu şekilde elde edilen bilgiler, tesseract'ın yapısının daha iyi anlaşılmasını sağlayacağı gibi, çeşitli boyutlardaki küplerin yapı ve özelliklerinde de derin bir analoji ortaya koymayı mümkün kılacaktır.

Ana bölüm

İlk olarak, bu çalışma sırasında kullanacağımız matematiksel aparatı tanımlıyoruz.

1) Vektör koordinatları: eğer, sonra

2) Normal vektörlü bir hiperdüzlemin denklemi Burada formu var

3) Uçaklar ve paraleldir ancak ve ancak

4) İki nokta arasındaki mesafe şu şekilde belirlenir:, sonra

5) Vektörler için diklik koşulu:

Öncelikle dört boyutlu bir küpü nasıl tanımlayabileceğinizi öğrenelim. Bu iki şekilde yapılabilir - geometrik ve analitik.

Geometrik atama yöntemi hakkında konuşursak, burada sıfır boyuttan başlayarak küp oluşturma sürecini izlemeniz önerilir. Sıfır boyutlu bir küp bir noktadır (bu arada, bir noktanın sıfır boyutlu bir top rolünü de oynayabileceğini unutmayın). Daha sonra, birinci boyutu (apsis ekseni) tanıtıyoruz ve karşılık gelen eksende birbirinden 1 uzaklıkta olan iki noktayı (iki sıfır boyutlu küp) işaretliyoruz. Ortaya çıkan segment tek boyutlu bir küptür. Hemen karakteristik bir özelliği not edelim: Tek boyutlu bir küpün (bölüm) sınırı (uçları) iki sıfır boyutlu küptür (iki nokta). Ardından, ikinci boyutu (ordinat ekseni) ve düzlemde tanıtıyoruzuçları birbirinden 1 uzaklıkta olan iki tek boyutlu küp (iki bölüm) oluşturuyoruz (aslında, bölümlerden biri diğerinin dik bir izdüşümüdür). Segmentlerin karşılık gelen uçlarını birleştirerek bir kare elde ederiz - iki boyutlu bir küp. Yine, iki boyutlu bir küpün (kare) sınırının dört tek boyutlu küp (dört doğru parçası) olduğuna dikkat edin. Son olarak, üçüncü boyutu (uygulama ekseni) tanıtıyoruz ve uzayda çiziyoruz.iki kare, biri diğerinin dik izdüşümü olacak şekilde (karelerin karşılık gelen köşeleri birbirinden 1 uzaklıktayken). İlgili köşeleri bölümlere bağlarız - üç boyutlu bir küp elde ederiz. Üç boyutlu bir küpün sınırının altı adet iki boyutlu küp (altı kare) olduğunu görüyoruz. Tarif edilen yapılar, aşağıdaki kalıbı ortaya çıkarmayı mümkün kılar: her adımdaboyutlu küp "hareket eder, iz bırakır"e mesafe 1'de ölçüm, hareket yönü ise kübe dik. Dört boyutlu bir küp kavramına gelmemizi sağlayan bu sürecin biçimsel devamıdır. Yani, üç boyutlu küpü dördüncü boyut yönünde (küpe dik) 1 mesafede hareket ettirelim. Bir öncekine benzer şekilde hareket ederek, yani küplerin karşılık gelen köşelerini birleştirerek elde edeceğiz. dört boyutlu bir küp. Unutulmamalıdır ki, uzayımızda böyle bir yapı geometrik olarak imkansızdır (çünkü üç boyutludur), ancak burada mantıksal açıdan herhangi bir çelişki ile karşılaşmıyoruz. Şimdi dört boyutlu küpün analitik tanımına geçelim. Aynı zamanda benzetme yoluyla resmi olarak elde edilir. Dolayısıyla sıfır boyutlu bir birim küpün analitik özelliği aşağıdaki gibidir:

Tek boyutlu bir birim küpün analitik özelliği aşağıdaki gibidir:

İki boyutlu bir birim küpün analitik özelliği aşağıdaki gibidir:

Üç boyutlu bir birim küpün analitik görevi aşağıdaki gibidir:

Dört boyutlu bir küpün analitik bir temsilini vermek artık çok kolay, yani:

Gördüğünüz gibi, dört boyutlu bir küpü tanımlamanın hem geometrik hem de analitik yöntemlerinde analoji yöntemi kullanılmıştır.

Şimdi, analitik geometri aparatını kullanarak, dört boyutlu bir küpün yapısının ne olduğunu bulacağız. İlk olarak, içinde hangi öğelerin bulunduğunu bulalım. Burada yine bir benzetme kullanabilirsiniz (bir hipotez ileri sürmek için). Tek boyutlu bir küpün sınırı noktalardır (sıfır boyutlu küpler), iki boyutlu küp - bölümler (tek boyutlu küpler), üç boyutlu küp - kareler (iki boyutlu yüzler). Tesseract'ın sınırının üç boyutlu küpler olduğu varsayılabilir. Bunu kanıtlamak için köşeler, kenarlar ve yüzler ile ne kastedildiğini açıklayalım. Köşe noktalarına küpün köşeleri diyelim. Yani, köşelerin koordinatları sıfır veya bir olabilir. Böylece küpün boyutu ile köşe sayısı arasında bir ilişki bulunur. Birleşimsel çarpım kuralını uyguluyoruz - tepe noktasından beriboyutlu küp tam olarakher biri sıfıra veya bire eşit olan koordinatlar (diğerlerinden bağımsız olarak), o zaman toplamdazirveler. Böylece, herhangi bir tepe noktasında, tüm koordinatlar sabittir ve eşit olabilir. veya ... Tüm koordinatları sabitlersek (her birini eşitleyerek veya , diğerlerinden bağımsız olarak), biri hariç, küpün kenarlarını içeren düz çizgiler elde ederiz. Bir öncekine benzer şekilde, tam olarak orada olduğunu sayabilirsiniz.bir şeyler. Ve şimdi tüm koordinatları sabitlersek (her birini eşitleyerek veya , diğerlerinden bağımsız olarak), bazı ikisi hariç, iki boyutlu küp yüzleri içeren düzlemler elde ederiz. Kombinatoryal kuralı kullanarak, tam olarak orada olduğunu buluruz.bir şeyler. Ayrıca, benzer şekilde - tüm koordinatları sabitlemek (her birini eşit olarak koymak) veya , diğerlerinden bağımsız olarak), bazı üç hariç, üç boyutlu küp yüzleri içeren hiperdüzlemler elde ederiz. Aynı kuralı kullanarak sayılarını hesaplıyoruz - tam olarakvesaire. Bu çalışmamız için yeterli olacaktır. Elde edilen sonuçları dört boyutlu bir küpün yapısına, yani koyduğumuz tüm türetilmiş formüllere uygulayalım.... Bu nedenle, dört boyutlu bir küpün: 16 köşesi, 32 kenarı, 24 iki boyutlu yüzü ve 8 üç boyutlu yüzü vardır. Açıklık için, tüm unsurlarını analitik olarak tanımlayalım.

Dört boyutlu küpün köşeleri:

Dört boyutlu küpün kenarları ():

4B küpün 2B yüzleri (benzer kısıtlamalar):

Dört boyutlu bir küpün üç boyutlu yüzleri (benzer kısıtlamalar):

Artık dört boyutlu küpün yapısı ve atama yöntemleri yeterince eksiksiz bir şekilde açıklandığına göre, ana amacın uygulanmasına geçeceğiz - küpün çeşitli bölümlerinin doğasını netleştirmek. Bir küpün bölümlerinin onun üç boyutlu yüzlerinden birine paralel olduğu temel durumla başlayalım. Örneğin, yüze paralel hiperdüzlemlerle bölümlerini düşünün.Analitik geometriden, bu tür herhangi bir bölümün denklem tarafından verileceği bilinmektedir.İlgili bölümleri analitik olarak ayarlayalım:

Gördüğünüz gibi, bir hiper düzlemde yatan üç boyutlu birim küpün analitik görevi elde edildi.

Bir benzetme kurmak için, üç boyutlu bir küpün kesitini düzleme göre yazıyoruz. Alırız:

Bu bir düzlemde uzanan bir kare... Analoji açıktır.

Dört boyutlu bir küpün hiper düzlemlerle bölümleritamamen benzer sonuçlar verir. Bunlar aynı zamanda hiper düzlemlerde yatan birim üç boyutlu küpler olacaktır. sırasıyla.

Şimdi dört boyutlu bir küpün bölümlerini ana köşegenine dik hiper düzlemlerle ele alacağız. Önce bu problemi üç boyutlu bir küp için çözelim. Üç boyutlu bir küp belirlemek için yukarıda açıklanan yöntemi kullanarak, ana köşegen olarak, örneğin uçları olan bir parçanın alınabileceği sonucuna varır. ve ... Bu nedenle, ana köşegenin vektörünün koordinatları olacaktır.... Bu nedenle, ana köşegene dik olan herhangi bir düzlemin denklemi şu şekilde olacaktır:

Parametre değişikliğinin sınırlarını belirleyin... Çünkü , daha sonra bu eşitsizlikleri terim terim toplayarak şunu elde ederiz:

Veya .

eğer, o zaman (kısıtlamalar nedeniyle). Benzer şekilde, eğer, sonra . Dolayısıyla, için ve için kesme düzlemi ve küpün tam olarak bir ortak noktası vardır ( ve sırasıyla). Şimdi şunları not edelim. Eğer(yine değişken kısıtlamalar nedeniyle). Karşılık gelen düzlemler aynı anda üç yüzü keser, çünkü aksi takdirde kesme düzlemi bunlardan birine paralel olacaktır, bu durum her koşulda geçerli değildir. Eğer, o zaman düzlem küpün tüm yüzlerini keser. Eğer, sonra düzlem yüzleri keser... İlgili hesaplamaları sunalım.

İzin vermek sonra uçakçizgiyi geçiyorüstelik düz bir çizgide. Üstelik kenar. Köşe düzlem düz bir çizgide kesişir, ve

İzin vermek sonra uçakçizgiyi geçer:

üstelik düz kenar.

üstelik düz kenar.

üstelik düz kenar.

üstelik düz kenar.

üstelik düz kenar.

üstelik düz kenar.

Bu sefer, art arda ortak uçlara sahip altı bölüm elde edilir:

İzin vermek sonra uçakçizgiyi geçiyorüstelik düz bir çizgide. Köşe düzlem düz bir çizgide kesişir, Dahası. Köşe düzlem düz bir çizgide kesişir, ve ... Yani, ikili ortak uçları olan üç segment elde edilir:Böylece parametrenin belirtilen değerleri içindüzlem, küpü köşeleri olan düzgün bir üçgende kesecek

Bu nedenle, burada bir küp ana köşegenine dik bir düzlemle kesiştiğinde elde edilen düzlem şekillerin ayrıntılı bir açıklamasıdır. Ana fikir aşağıdaki gibiydi. Düzlemin hangi yüzlerle kesiştiğini, onları hangi kümeler boyunca kestiğini, bu kümelerin nasıl birbirine bağlı olduğunu anlamak gerekir. Örneğin, düzlemin, ikili ortak uçları olan bölümler boyunca tam olarak üç yüzü kestiği ortaya çıkarsa, bölüm bir eşkenar üçgendi (bu, bölümlerin uzunluklarının doğrudan hesaplanmasıyla kanıtlanmıştır), köşeleri bunlardır. bölümlerin sonları.

Aynı aparatı ve aynı kesitleri araştırma fikrini kullanarak, aşağıdaki gerçekler tamamen benzer bir şekilde elde edilebilir:

1) Dört boyutlu birim küpün ana köşegenlerinden birinin vektörünün koordinatları vardır.

2) Dört boyutlu bir küpün ana köşegenine dik olan herhangi bir hiperdüzlem şu şekilde yazılabilir:.

3) Sekant hiperdüzleminin denkleminde, parametre0 ile 4 arasında değişebilir;

4) için ve kesen hiperdüzlem ve dört boyutlu küpün bir ortak noktası vardır ( ve sırasıyla);

5) Ne zaman bölümde düzenli bir tetrahedron elde edilecektir;

6) Ne zaman bölümde bir oktahedron elde edilecektir;

7) Ne zaman bölümde düzenli bir tetrahedron elde edilecektir.

Buna göre, burada hiperdüzlem, değişkenlerin kısıtlamaları nedeniyle üzerinde üçgen bir bölgenin ayırt edildiği düzlem boyunca tesseract ile kesişir (analoji - düzlem, küpün kısıtlamaları nedeniyle üzerinde düz bir çizgide kesişir). değişkenler, bir segment seçildi). 5. durumda, hiperdüzlem, tesseract'ın tam olarak dört üç boyutlu yüzünü keser, yani, ikili ortak yanlara sahip dört üçgen elde edilir, başka bir deyişle, bir tetrahedron oluşturur (hesaplanabileceği gibi, doğrudur). Durum 6'da, hiperdüzlem tesseract'ın tam olarak sekiz üç boyutlu yüzünü keser, yani ardışık olarak ortak kenarları olan sekiz üçgen elde edilir, başka bir deyişle bir oktahedron oluşturur. Durum 7) durum 5) ile tamamen benzerdir.

Söylenenleri somut bir örnekle açıklayalım. Yani, hiperdüzlem tarafından dört boyutlu küpün kesitini araştırıyoruz.Değişkenlerin sınırlamaları nedeniyle, bu hiperdüzlem aşağıdaki üç boyutlu yüzlerle kesişir: Köşe bir uçakta kesişirDeğişkenlerin sınırlamaları nedeniyle, elimizde:Köşeleri olan üçgen bir bölge elde ediyoruzDaha öte,bir üçgen elde ederizBir hiperdüzlem bir yüzle kesiştiğindebir üçgen elde ederizBir hiperdüzlem bir yüzle kesiştiğindebir üçgen elde ederizBöylece, tetrahedronun köşeleri aşağıdaki koordinatlara sahiptir:... Bu tetrahedronun gerçekten doğru olduğunu hesaplamak kolaydır.

sonuçlar

Böylece, bu araştırma sürecinde, çok boyutlu analitik geometrinin temel gerçekleri incelendi, 0'dan 3'e kadar olan boyutlarda küp oluşturma özellikleri incelendi, dört boyutlu bir küpün yapısı incelendi, dört boyutlu bir küp incelendi. Analitik ve geometrik olarak tanımlanan, üç boyutlu ve dört boyutlu küplerin süpürme ve merkezi izdüşüm modelleri yapıldı, dört boyutlu bir küpün üç boyutlu yüzlerinden birine paralel hiper düzlemlerle kesişmesinden kaynaklanan üç boyutlu nesneler veya ana köşegenine dik hiper düzlemler tarafından.

Çalışma, farklı boyutlardaki küplerin yapısı ve özelliklerinde derin bir analoji ortaya çıkarmayı mümkün kıldı. Kullanılan analoji tekniği araştırmada uygulanabilir, örneğin,boyutlu küre veyaboyutlu simpleks. Yani,boyutlu bir küre bir dizi nokta olarak tanımlanabilirkürenin merkezi olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıkta boyutsal uzay. Daha öte,boyutlu simpleks parçası olarak tanımlanabilirminimum sayı ile sınırlı boyutsal uzayboyutlu hiper düzlemler. Örneğin, tek boyutlu bir simpleks bir segmenttir (iki noktayla sınırlanan tek boyutlu bir alanın bir parçası), iki boyutlu bir simpleks bir üçgendir (iki boyutlu bir alanın üç düz çizgiyle sınırlanan bir parçası), üç boyutlu bir simpleks bir tetrahedrondur (dört düzlemle sınırlanmış üç boyutlu bir uzayın parçası). Nihayet,boyutlu simpleks bir parça olarak tanımlanırboyutlu uzay, sınırlıboyut hiper düzlemi.

Bazı bilim alanlarında tesseratın sayısız uygulamasına rağmen, bu çalışmanın hala büyük ölçüde matematiksel bir çalışma olduğunu unutmayın.

bibliyografya

1) Bugrov Y.S., Nikolsky S.M.Yüksek matematik, v.1 –M.: Bustard, 2005 - 284 s.

2) Kuantum. Dört boyutlu küp / Düzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) Miktar. Nasıl çizilir ölçülen küp / Demidovich N.B., No. 8, 1974.

geometride hiperküp- bu n karenin boyutlu analojisi ( n= 2) ve küp ( n= 3). Şeklin zıt kenarlarında bulunan ve birbirine dik açılarla bağlanan paralel çizgi gruplarından oluşan kapalı, dışbükey bir şekildir.

Bu rakam olarak da bilinir teserakt(teserakt). Bir küp bir kareye atıfta bulunurken Tesseract bir küpü ifade eder. Daha resmi olarak, bir tesseract, sınırı sekiz kübik hücreden oluşan düzenli bir dışbükey dört boyutlu politop (politop) olarak tanımlanabilir.

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, tesseract 1888'de Charles Howard Hinton tarafından icat edildi ve A New Era of Thought adlı kitabında kullanıldı. Sözcük Yunanca "τεσσερες ακτινες" ("dört ışın") kelimesinden oluşturulmuştur, dört koordinat ekseni vardır. Ayrıca bazı kaynaklarda aynı rakama tetraküp(tetraküp).

n-boyutlu hiperküp de denir n-küp.

Nokta, 0 boyutlu bir hiperküptür. Bir noktayı uzunluk birimiyle hareket ettirirseniz, birim uzunlukta bir segment elde edersiniz - boyut 1 hiperküp. doğru parçasına doğru, bir küp elde edersiniz - 2 boyutlu bir hiperküp. Bir kareyi karenin düzlemine dik yönde bir birim uzunluk kaydırarak, bir küp elde edilir - 3 boyutlu bir hiperküp. Bu işlem herhangi bir sayıda boyuta genellenebilir. Örneğin, bir küpü dördüncü boyutta bir birim uzunlukta hareket ettirirseniz, bir tesseract elde edersiniz.

Hiperküp ailesi, herhangi bir boyutta temsil edilebilen birkaç düzenli çokyüzlüden biridir.

hiperküp öğeleri

boyut hiperküp n 2 tane var n"kenarlar" (tek boyutlu çizginin 2 noktası vardır; iki boyutlu kare - 4 kenar; üç boyutlu küp - 6 yüz; dört boyutlu mozaik - 8 hücre). Hiperküpün köşe (nokta) sayısı 2'dir. n(örneğin, bir küp için - 2 3 köşe).

Miktar m-sınırdaki boyutlu hiperküpler n-küp eşittir

Örneğin, bir hiperküpün kenarlığı 8 küp, 24 kare, 32 kenar ve 16 köşe içerir.

Düzlem projeksiyonu

Bir hiperküpün oluşumu şu şekilde temsil edilebilir:

• Bir AB doğru parçası oluşturmak için iki A ve B noktası bağlanabilir.
• AB ve CD iki paralel doğru parçası bir kare ABCD oluşturacak şekilde bağlanabilir.
• ABCDEFGH küpünü oluşturmak için iki paralel kare ABCD ve EFGH bağlanabilir.
• ABCDEFGH ve IJKLMNOP olmak üzere iki paralel küp ABCDEFGHIJKLMNOP hiperküpünü oluşturmak için bağlanabilir.

İkinci yapıyı hayal etmek kolay değildir, ancak projeksiyonunu 2B veya 3B uzaya yansıtmak mümkündür. Ayrıca, bir 2B düzlem üzerine yapılan projeksiyonlar, yansıtılan köşelerin konumlarını yeniden düzenleyebilmek suretiyle daha faydalı olabilir. Bu durumda, artık tesseract içindeki öğelerin uzamsal ilişkilerini yansıtmayan, ancak aşağıdaki örneklerde olduğu gibi tepe bağlantılarının yapısını gösteren görüntüler elde edebilirsiniz.

İlk çizim, prensipte, iki küpün birleştirilmesiyle bir tesseratın nasıl oluşturulduğunu gösterir. Bu diyagram, iki kare küp oluşturma şemasına benzer. İkinci diyagram, tesseratın tüm kenarlarının aynı uzunluğa sahip olduğunu göstermektedir. Bu şema ayrıca sizi birbirine bağlı küpleri aramaya zorlar. Üçüncü diyagramda, tesseratın köşeleri, alt noktaya göre kenarlar boyunca mesafelere göre yerleştirilmiştir. Bu şema, paralel hesaplama düzenlenirken işlemcileri birbirine bağlayan ağ topolojisi için temel bir şema olarak kullanılması bakımından ilginçtir: herhangi iki düğüm arasındaki mesafe 4 kenar uzunluğunu aşmaz ve yükü dengelemenin birçok farklı yolu vardır.

sanatta hiperküp

Hiperküp, 1940'tan beri bilim kurgu literatüründe, Robert Heinlein'in "Ve Çarpık Bir Ev İnşa Etti" hikayesinde, bir tesseract taraması şeklinde inşa edilmiş bir evi anlattığında ortaya çıktı. Hikayede, bu Ayrıca, bu ev çökerek dört boyutlu bir tesserata dönüşüyor. Bundan sonra, hiperküp birçok kitap ve romanda yer alır.

"Küp 2: Hiperküp" filmi, bir hiperküp ağında mahsur kalan sekiz kişinin hikayesini anlatıyor.

Salvador Dali'nin "Çarmıha Gerilme" ("Çarmıha Gerilme (Corpus Hypercubus)", 1954) adlı tablosu, İsa'nın bir tesseract taramasında çarmıha gerildiğini gösteriyor. Bu tablo New York Metropolitan Museum of Art'ta görülebilir.

Çözüm

Hiperküp, örneğinde dördüncü boyutun tüm karmaşıklığını ve olağandışılığını görebileceğiniz en basit dört boyutlu nesnelerden biridir. Ve üç boyutta imkansız görünen, muhtemelen dörtte, örneğin imkansız rakamlar. Böylece, örneğin, dört boyutta imkansız bir üçgenin çubukları dik açılarda bağlanacaktır. Ve bu şekil, tüm açılardan böyle görünecek ve üç boyutlu uzayda imkansız üçgenin gerçekleştirilmesinden farklı olarak bozulmayacaktır (bkz.

İnsan beyninin evrimi üç boyutlu uzayda gerçekleşti. Bu nedenle, boyutları üçten büyük olan uzayları hayal etmemiz zor. Aslında insan beyni, üçten büyük boyutlu geometrik nesneleri hayal edemez. Aynı zamanda, sadece üç boyutlu değil, aynı zamanda iki ve bir boyutlu geometrik nesneleri kolayca hayal edebiliriz.

Tek boyutlu ve iki boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji ile iki boyutlu ve üç boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji, bizi daha büyük boyutlu alanlardan ayıran gizem perdesini biraz açmamıza izin verir. Bu benzetmenin nasıl kullanıldığını anlamak için çok basit bir dört boyutlu nesneyi düşünün - bir hiperküp, yani dört boyutlu bir küp. Kesinlik adına, belirli bir sorunu çözmek istediğimizi, yani dört boyutlu bir küpün kare yüzlerinin sayısını saymak istediğimizi varsayalım. Aşağıdaki tüm değerlendirme, herhangi bir kanıt olmaksızın, yalnızca analoji yoluyla çok gevşek olacaktır.

Sıradan bir küpten hiperküpün nasıl yapıldığını anlamak için önce sıradan bir kareden sıradan bir küpün nasıl yapıldığını görmelisiniz. Bu materyalin sunumunun özgünlüğü için, burada sıradan bir kareye Alt Küp diyeceğiz (ve onu bir succubus ile karıştırmayacağız).

Bir alt küpten bir küp oluşturmak için, alt küpü üçüncü boyut yönünde alt küpün düzlemine dik yönde germeniz gerekir. Bu durumda, küpün yanal iki boyutlu bir yüzü olan orijinal alt küpün her iki yanından bir alt küp büyüyecektir; bu, küpün üç boyutlu hacmini dört kenardan sınırlayacaktır; alt küpün düzlemi. Ve yeni üçüncü eksen boyunca, küpün üç boyutlu hacmini sınırlayan iki alt küp de var. Bu, alt küpümüzün orijinal olarak yerleştirildiği iki boyutlu yüz ve küpün yapımının sonunda alt küpün geldiği iki boyutlu yüzdür.

Az önce okuduklarınız aşırı derecede ayrıntılı ve birçok açıklama ile ortaya konmuştur. Ve sıradan değil. Şimdi bu numarayı yapacağız, önceki metindeki bazı kelimeleri resmi olarak şu şekilde değiştireceğiz:
küp -> hiperküp
alt küp -> küp
düzlem -> hacim
üçüncü -> dördüncü
iki boyutlu -> üç boyutlu
dört -> altı
üç boyutlu -> dört boyutlu
iki -> üç
uçak -> uzay

Sonuç olarak, artık fazla ayrıntılı görünmeyen aşağıdaki anlamlı metni elde ederiz.

Bir küpten hiperküp oluşturmak için, küpü dördüncü boyut yönünde küpün hacmine dik yönde germeniz gerekir. Bu durumda, hiperküpün yanal üç boyutlu yüzü olan orijinal küpün her iki yanından bir küp büyüyecektir; bu, hiperküpün dört boyutlu hacmini altı kenardan sınırlayacaktır, her yöne üç diktir. küpün uzayı. Ve yeni dördüncü eksen boyunca, hiperküpün dört boyutlu hacmini sınırlayan iki küp de var. Bu, küpümüzün orijinal olarak yerleştirildiği üç boyutlu yüz ve hiperküpün yapımının sonunda küpün geldiği hiperküpün üç boyutlu yüzü.

Hiperküp yapımının doğru tanımını aldığımızdan neden bu kadar eminiz? Çünkü tam olarak aynı biçimsel kelimelerin yer değiştirmesi, küpün yapısının tanımını karenin yapısının açıklamasından alırız. (Kendiniz kontrol edin.)

Şimdi, küpün her iki yanından başka bir üç boyutlu küpün büyümesi gerekiyorsa, ilk küpün her bir kenarından bir yüz büyümesi gerektiği açıktır. Toplamda, bir küpün 12 kenarı vardır; bu, üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca dört boyutlu hacmi sınırlayan bu 6 küpte ek 12 yeni yüzün (alt küpler) görüneceği anlamına gelir. Ve hala bu dört boyutlu hacmi dördüncü eksen boyunca aşağıdan ve yukarıdan sınırlayan iki küp var. Bu küplerin her birinin 6 yüzü vardır.

Toplamda, hiperküpün 12 + 6 + 6 = 24 kare yüzü olduğunu elde ederiz.

Bir sonraki resim bir hiperküpün mantıksal yapısını göstermektedir. Bir hiperküpün üç boyutlu bir uzaya yansıması gibi. Bu, nervürlerden yapılmış üç boyutlu bir çerçeve ile sonuçlanır. Şekilde elbette bu çerçevenin düzleme izdüşümünü de görebilirsiniz.

Bu çerçevede, iç küp, deyim yerindeyse, yapının başladığı ve hiperküpün dört boyutlu hacmini alttan dördüncü eksen boyunca sınırlayan ilk küptür. Bu ilk küpü dördüncü ölçüm ekseni boyunca uzatıyoruz ve dış küpün içine geçiyor. Dolayısıyla bu şekildeki dış ve iç küpler hiperküpü dördüncü boyut ekseni boyunca sınırlar.

Ve bu iki küp arasında, ilk ikisi ile ortak yüzleri olan 6 yeni küp daha görünüyor. Bu altı küp, hiperküpümüzü üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca sınırlar. Görüldüğü gibi bu üç boyutlu çerçeve üzerinde sadece iç ve dış olan ilk iki küp ile temas halinde değiller, hala birbirleriyle temas halindeler.

Şekilde doğru bir şekilde hesaplayabilir ve hiperküpün gerçekten 24 yüzü olduğundan emin olabilirsiniz. Ama bu soru ortaya çıkıyor. 3B uzaydaki bu hiperküp iskeleti, boşluksuz sekiz 3B küple doldurulur. Bir hiperküpün bu üç boyutlu izdüşümünden gerçek bir hiperküp yapmak için, 8 küpün tamamı 4 boyutlu hacmi sınırlayacak şekilde bu çerçeveyi tersyüz etmek gerekir.

Bu böyle yapılır. Dört boyutlu uzayın bir sakinini ziyaret etmeye davet ediyoruz ve ondan bize yardım etmesini istiyoruz. Bu iskeletin iç küpünü alır ve onu bizim üç boyutlu uzayımıza dik olan dördüncü boyut yönünde kaydırır. Üç boyutlu uzayımızda, sanki tüm iç çerçeve kaybolmuş ve sadece dış küpün çerçevesi kalmış gibi algılarız.

Ayrıca, dört boyutlu asistanımız doğum hastanelerinde ağrısız doğum için yardım sunuyor, ancak hamile kadınlarımız bebeğin karınlarından kaybolacağı ve paralel bir üç boyutlu uzaya gideceği ihtimalinden korkuyor. Bu nedenle, dörtlü kibarca reddedilir.

Ve hiperküpün çerçevesi ters çevrildiğinde bazı küplerimizin çözülüp çözülmediği sorusu bizi şaşırttı. Ne de olsa, hiperküpü çevreleyen bazı üç boyutlu küpler yüzleriyle çerçevedeki komşularına dokunursa, dört boyutlu çerçeveyi ters çevirirse, aynı yüzlere de dokunurlar mı?

Tekrar alt boyutlu uzaylarla analojiye dönelim. Hiperküpün tel kafes görüntüsünü, üç boyutlu küpün aşağıdaki resimde gösterilen düzleme izdüşümü ile karşılaştırın.

İki boyutlu uzayın sakinleri, küpün düzlemdeki izdüşümünün bir çerçevesini düzlem üzerine inşa ettiler ve biz üç boyutlu sakinleri bu çerçeveyi tersyüz etmeye davet ettiler. İç karenin dört köşesini alıyoruz ve onları düzleme dik olarak hareket ettiriyoruz. Aynı zamanda, iki boyutlu sakinler tüm iç çerçevenin tamamen kaybolduğunu görürler ve sadece dış karenin çerçevesine sahiptirler. Böyle bir işlemle kenarlarıyla temas halinde olan tüm kareler eskisi gibi aynı kenarlara dokunmaya devam eder.

Bu nedenle, hiperküpün çerçevesi ters çevrildiğinde de hiperküpün mantıksal şemasının ihlal edilmeyeceğini ve hiperküpün kare yüzlerinin sayısının artmayacağını ve 24'e eşit kalacağını umuyoruz. , bir kanıt değil, tamamen benzetme yoluyla bir tahmin ...

Buradaki her şeyi okuduktan sonra, beş boyutlu bir küpün mantıksal tel kafeslerini kolayca çizebilir ve kaç tane köşesi, kenarı, yüzü, küpü ve hiperküpü olduğunu hesaplayabilirsiniz. Hiç de zor değil.

Avengers filmlerinin hayranıysanız, "Tesseract" kelimesini duyduğunuzda aklınıza gelen ilk şey, sonsuz güç içeren Sonsuzluk Taşı'nın küp şeklindeki şeffaf kabıdır.

Marvel Universe hayranları için Tesseract, insanları yalnızca Dünya'dan değil, diğer gezegenlerden de çılgına çeviren parlak mavi bir küptür. Bu yüzden tüm Yenilmezler, Dünyalıları Tesseract'ın aşırı yıkıcı güçlerinden korumak için bir araya geldi.

Ancak şunu söylemek gerekir: Tesseract gerçek bir geometrik kavramdır, daha doğrusu 4B'de var olan bir formdur. Bu sadece Avengers'tan bir mavi küp değil... gerçek bir konsept.

Tesseract 4 boyutlu bir nesnedir. Ama bunu ayrıntılı olarak açıklamadan önce, en baştan başlayalım.

boyut nedir?

Uzayda sırasıyla iki boyutlu veya üç boyutlu nesneleri temsil eden 2B ve 3B terimlerini herkes duymuştur. Ama bu boyutlar nelerdir?

Ölçüm basitçe gidebileceğiniz yöndür. Örneğin, bir kağıda çizgi çiziyorsanız, sola / sağa (x ekseni) veya yukarı / aşağı (y ekseni) gidebilirsiniz. Böylece kağıt iki boyutludur diyoruz, çünkü sadece iki yönde yürüyebilirsiniz.

3D'de bir derinlik hissi var.

Şimdi, gerçek dünyada, yukarıda belirtilen iki yöne (sol / sağ ve yukarı / aşağı) ek olarak, /'den de gidebilirsiniz. Bu nedenle, 3B uzaya bir derinlik hissi eklenir. Bu nedenle gerçek hayatın 3 boyutlu olduğunu söylüyoruz.

Bir nokta 0 boyutu temsil edebilir (herhangi bir yönde hareket etmediği için), çizgi 1 boyutu (uzunluk), kare 2 boyutu (uzunluk ve genişlik) temsil eder ve bir küp 3 boyutu (uzunluk, genişlik ve yükseklik) temsil eder. ).

Bir 3B küp alın ve her yüzü (şu anda kare olan) bir küple değiştirin. Ve bu yüzden! Aldığınız şekil tesseract.

tesseract nedir?

Basitçe söylemek gerekirse, bir tesseract 4 boyutlu uzayda bir küptür. Ayrıca bir küpün 4D analogu olduğunu da söyleyebilirsiniz. Her yüzün bir küp olduğu 4 boyutlu bir şekildir.

İşte boyutları kavramsallaştırmanın basit bir yolu: kare iki boyutludur; bu nedenle, köşelerinin her birinin birbirinden 90 derecelik bir açıyla uzanan 2 çizgisi vardır. Küp 3B'dir, yani her bir köşesinde ondan aşağı inen 3 çizgi vardır. Benzer şekilde, tesseract 4B bir şekildir, bu nedenle her köşede ondan uzanan 4 çizgi vardır.

Bir tesseract hayal etmek neden zor?

Biz insanlar nesneleri üç boyutlu olarak görselleştirmek için evrimleştiğimizden, 4D, 5D, 6D vb. gibi ekstra boyutlara giren herhangi bir şey bize pek mantıklı gelmiyor, çünkü onlara hiç sahip olamayız. Beynimiz uzayda 4. boyutu anlayamaz. Sadece bunu düşünemiyoruz.

Ancak, çok boyutlu uzaylar kavramını görselleştiremiyor olmamız, onun var olamayacağı anlamına gelmez.

Matematiksel olarak, bir tesseract tamamen doğru bir formdur. Aynı şekilde, daha yüksek boyutlardaki tüm formlar, yani 5D ve 6D de matematiksel olarak makuldür.

Nasıl bir küp 2B uzayda 6 kareye genişletilebiliyorsa, bir tesseract 3B uzayda 8 küp haline getirilebilir.

Şaşırtıcı ve anlaşılmaz, değil mi?

Yani tesseract, sadece Avengers filmlerinde savaşılan parlak mavi küp değil, matematiksel olarak kesinlikle makul olan "gerçek bir kavramdır".

Ameliyattan sonra ders verebilecek duruma gelir gelmez öğrencilerin sorduğu ilk soru:

Bize ne zaman 4 boyutlu bir küp çizeceksiniz? İlyas Abdulkhaevich bize söz verdi!

Değerli arkadaşlarımın bazen bir matematik eğitim programından hoşlandıklarını hatırlıyorum. Bu nedenle, burada matematikçiler için dersimden bir parça yazacağım. Ve sıkılmadan deneyeceğim. Bazı noktalarda dersi daha sıkı okuyorum elbette.

Önce anlaşalım. 4-boyutlu, hatta daha çok 5-6-7- ve genellikle k-boyutlu uzay bize duyusal duyumlarda verilmez.
Bana 4 boyutlu bir küpün ne olduğunu ilk söyleyen Pazar okulu öğretmenim, “Mutsuzuz çünkü sadece üç boyutluyuz” dedi. Pazar okulu elbette son derece dindardı - matematik. Bu sefer hiper-küpleri inceledik. Ondan bir hafta önce, matematiksel tümevarım, ondan bir hafta sonra, grafiklerde Hamilton döngüleri - sırasıyla, bu 7. sınıftır.

4D küplere dokunamayız, koklayamayız, duyamayız veya göremeyiz. Bununla ne yapabiliriz? Bunu hayal edebiliyoruz! Çünkü beynimiz gözlerimizden ve ellerimizden çok daha karmaşıktır.

O halde 4 boyutlu bir küpün ne olduğunu anlamak için önce bizim için neyin mevcut olduğunu anlayalım. 3 boyutlu küp nedir?

tamam tamam! Sizden net bir matematiksel tanım istemiyorum. Sadece en basit ve en yaygın üç boyutlu küpü hayal edin. sundunuz mu?

İyi.
3 boyutlu bir küpün 4 boyutlu bir uzaya nasıl genelleştirileceğini anlamak için, 2 boyutlu bir küpün ne olduğunu bulalım. Çok basit - bu bir kare!

Karenin 2 koordinatı vardır. Küpte üç tane var. Bir karenin noktaları iki koordinatlı noktalardır. Birincisi 0'dan 1'e, ikincisi 0'dan 1'e. Küpün noktalarının üç koordinatı var. Ve her biri 0'dan 1'e kadar herhangi bir sayıdır.

4 boyutlu bir küpün 4 koordinatlı ve 0'dan 1'e kadar her şeye sahip bir şey olduğunu hayal etmek mantıklıdır.

/ * 0'dan 1'e kadar basit bir segmentten başka bir şey olmayan 1 boyutlu bir küp hayal etmek de mantıklıdır. * /

Peki, dur, 4 boyutlu bir küpü nasıl çizersin? Ne de olsa bir düzlemde 4 boyutlu uzay çizemeyiz!
Ama aynı zamanda bir düzlemde 3 boyutlu uzay çizmiyoruz, onu çiziyoruz. projeksiyonçizimin 2 boyutlu düzlemine. Üçüncü koordinatı (z) bir açıyla konumlandırıyoruz, çizim düzleminden eksenin "bize doğru" gittiğini hayal ediyoruz.

Şimdi 4 boyutlu bir küpün nasıl çizileceği oldukça açık. Üçüncü ekseni belirli bir açıyla yerleştirdiğimiz gibi, dördüncü ekseni de belirli bir açıyla konumlandırın.
Ve işte! - 4 boyutlu bir küpün bir düzlem üzerine izdüşümü.

Ne? Bu da nedir? Her zaman arka masalardan bir fısıltı duyuyorum. Bu satır karmaşasının ne olduğunu daha detaylı açıklayayım.
Önce üç boyutlu kübe bakın. Ne yaptık? Bir kare aldık ve üçüncü eksen (z) boyunca sürükledik. Bir yığın halinde birbirine yapıştırılmış çok sayıda kağıt kare gibidir.
4 boyutlu bir küp ile aynı. Kolaylık ve bilim kurgu amaçlı dördüncü eksene "zaman ekseni" diyelim. Sıradan bir üç boyutlu küp almamız ve "şimdi" zamanından "bir saat içinde" zamana sürüklememiz gerekiyor.

Şimdi bir küpümüz var. Resimde pembedir.

Ve şimdi onu dördüncü eksen boyunca - zaman ekseni boyunca (yeşil renkle gösterdim) sürüklüyoruz. Ve geleceğin küpünü alıyoruz - mavi.

"Şimdi küpünün" her köşesi zaman içinde bir iz bırakır - bir segment. Şimdisini geleceğiyle birleştiriyor.

Kısacası, sözler olmadan: iki özdeş 3 boyutlu küp çizdik ve karşılık gelen köşeleri birleştirdik.
3 boyutlu küpte yaptığımız gibi (2 özdeş 2 boyutlu küp çizin ve köşeleri birleştirin).

5 boyutlu bir küp çizmek için, 4 boyutlu küpün iki kopyasını (beşinci koordinatı 0 olan 4 boyutlu bir küp ve beşinci koordinatı 1 olan 4 boyutlu bir küp) çizmeniz ve ilgili köşeleri birbirine bağlamanız gerekir. kenarlar. Doğru, uçakta öyle bir karışıklık ortaya çıkacak ki, hiçbir şeyi anlamak neredeyse imkansız olacak.

4 boyutlu bir küp hayal ettiğimizde ve hatta onu çizmeyi başardığımızda, onu herhangi bir şekilde keşfedebiliriz. Hem akılda hem de resimde keşfetmeyi unutmayın.
Örneğin. 2 boyutlu bir küp, 4 tarafından 1 boyutlu küplerle sınırlandırılmıştır. Bu mantıklıdır: 2 koordinatın her biri için hem başlangıcı hem de sonu vardır.
3 boyutlu bir küp 2 boyutlu küplerle 6 kenardan sınırlandırılmıştır. Üç koordinatın her biri için bir başlangıcı ve bir sonu vardır.
Bu, 4 boyutlu bir küpün sekiz adet 3 boyutlu küple sınırlandırılması gerektiği anlamına gelir. 4 koordinatın her birinde - her iki tarafta. Yukarıdaki resimde, onu "zaman" koordinatı boyunca bağlayan 2 yüzü açıkça görüyoruz.

İşte hiper-küpümüzü sola ve sağa sınırlayan iki küp (bir düzleme açılı olarak yansıtılan 2 boyuta sahip oldukları için biraz eğikler).

"Üst" ve "alt" ı fark etmek de kolaydır.

En zor şey, "ön" ve "arka"nın nerede olduğunu görsel olarak anlamaktır. Ön taraf "şimdi küpünün" ön yüzünden başlar ve "gelecek küpünün" ön yüzüne kadar - kırmızıdır. Arka sırasıyla mor.

Fark edilmesi en zor olanlardır çünkü diğer küpler ayaklarınızın altına dolanır ve bu da hiperküpü farklı bir öngörülen koordinatta sınırlar. Ancak küplerin hala farklı olduğuna dikkat edin! İşte "şimdi küp" ve "geleceğin küpü"nün vurgulandığı başka bir resim.

4 boyutlu bir küpü 3 boyutlu uzaya yansıtmak elbette mümkündür.
İlk olası uzamsal model neye benzediği açıktır: 2 küp iskeleti almanız ve ilgili köşelerini yeni bir kenarla birleştirmeniz gerekir.
Şimdi böyle bir modelim yok. Derste öğrencilere 4 boyutlu bir küpün biraz farklı 3 boyutlu bir modelini gösteriyorum.

Küpün böyle bir uçağa nasıl yansıtıldığını bilirsiniz.
Sanki yukarıdan bir kübe bakıyoruz.

En yakın çizgi elbette büyük. Ve uzaktaki kenar daha küçük görünüyor, onu yakındakinden görüyoruz.

4 boyutlu bir küpü bu şekilde yansıtabilirsiniz. Küp şimdi daha büyük, geleceğin küpünü uzaktan görüyoruz, bu yüzden daha küçük görünüyor.

Diğer tarafta. Üst taraftan.

Yüzün yanından düz:

Kaburganın yanından:

Ve son açı, asimetrik. "Bana kaburgalarının arasına baktığımı da söylüyorsun" bölümünden.

O zaman her şeyi bulabilirsin. Örneğin, bir düzlemde 3 boyutlu bir küpün süpürülmesi olduğu için (katlarken bir küp elde etmek için bir kağıt yaprağını bu şekilde kesmeniz gerekir), ayrıca 4 boyutlu bir küpün süpürmesi de vardır. uzayın içine. Bu, 4 boyutlu uzayda katlayarak bir tesseract elde etmek için bir tahta parçasını kesmek gibidir.

Yalnızca 4 boyutlu bir küpü değil, genellikle n boyutlu küpleri de inceleyebilirsiniz. Örneğin, n-boyutlu bir küpün çevresini saran bir kürenin yarıçapının, bu küpün kenar uzunluğundan küçük olduğu doğru mu? Veya burada daha basit bir soru var: n-boyutlu bir küpün kaç köşesi var? Kaç kenar (1 boyutlu yüzler)?