İfadenin özdeş dönüşümü olarak adlandırılan şey. İfade dönüştürme
İfadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem "ana"dır.
Yani, harfler yerine bazı (herhangi bir) sayı yerine koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem çarpma ise, o zaman bir ürünümüz olur (ifade çarpanlara ayrılır).
Son eylem toplama veya çıkarma ise, bu ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla indirgenemeyeceği) anlamına gelir.
Kendiniz düzeltmek için birkaç örnek:
Örnekler:
Çözümler:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Bunun gibi birimleri “azaltmak” hala yeterli değildi:
İlk adım, çarpanlara ayırmak olmalıdır:
4. Kesirlerde toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak bir paydaya getirmek.
Sıradan kesirlerin toplanması ve çıkarılması iyi bilinen bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları toplar / çıkarırız.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve aralarında asaldır, yani ortak bölenleri yoktur. Bu nedenle, bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacaktır:
2. Burada ortak payda:
3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve sonra - olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi oldukça başka bir konudur, örneğin:
Basitten başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirler ile aynıdır: ortak bir payda buluruz, her kesri eksik faktörle çarpar ve payları toplar / çıkarırız:
şimdi payda varsa benzerlerini getirebilir ve çarpanlara ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harf içerir
Harfsiz ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
Öncelikle ortak çarpanları belirliyoruz;
Sonra tüm ortak çarpanları bir kez yazıyoruz;
ve bunları yaygın olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için önce bunları basit çarpanlara ayırırız:
Ortak faktörleri vurguluyoruz:
Şimdi ortak çarpanları bir kez yazıyoruz ve onlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) tüm faktörleri ekliyoruz:
Bu ortak paydadır.
Mektuplara geri dönelim. Paydalar tam olarak aynı şekilde verilir:
Paydaları faktörlere ayırırız;
ortak (özdeş) çarpanları belirlemek;
tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
Bunları ortak olanlarla değil, diğer tüm faktörlerle çarpıyoruz.
Yani, sırayla:
1) paydaları faktörlere ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani ortak payda burada. İlk kesir, ikincisi - ile çarpılmalıdır:
Bu arada, bir numara var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, sadece hepsi farklı göstergelerle. Ortak payda şöyle olacaktır:
ölçüde
ölçüde
ölçüde
derece olarak.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Kesirlerin paydaları aynı nasıl yapılır?
Bir kesrin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde, bir kesrin pay ve paydasından aynı sayının çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmez. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrenildi?
Yani, başka bir sarsılmaz kural:
Kesirleri ortak paydaya getirdiğinizde sadece çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
İşte ve çoğaltın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere "temel çarpanlar" adı verilir.
Örneğin, temel bir faktördür. - fazla. Ama - hayır: faktörlere ayrıştırılır.
Peki ya ifade? İlköğretim mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
("" konusundaki çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla, harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Ve biz de onlarla aynı şeyi yapacağız.
Her iki paydanın da bir çarpanı olduğunu görüyoruz. Güçteki ortak paydaya gidecek (nedenini hatırlıyor musun?).
Çarpan temeldir ve ortak noktaları yoktur, bu da ilk kesrin basitçe onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Bu paydaları panik içinde çarpmadan önce, onları nasıl çarpanlarına ayıracağınızı mı düşünmeniz gerekiyor? Her ikisi de şunları temsil eder:
İyi! O zamanlar:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi, paydaları çarpanlarına ayırıyoruz. İlk paydada, onu basitçe parantezlerden çıkardık; ikincisinde - karelerin farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız, zaten çok benzerler ... Ve gerçek şu ki:
Öyleyse yazalım:
Yani, şöyle çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesrin önündeki işaret tam tersine değişti. Dikkat edin, bunu sık sık yapmanız gerekecek.
Şimdi ortak bir paydaya getiriyoruz:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamalıyız - küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının "toplamın karesi" formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünür:
A, toplamın sözde tamamlanmamış karesidir: içindeki ikinci terim, birinci ve sonun çarpımıdır, iki katına çıkmış ürünü değildir. Toplamın eksik karesi, küp farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Ya zaten üç kesir varsa?
Evet aynısı! Her şeyden önce, paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olacağız:
Dikkat edin: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz, kesrin önündeki işaret tam tersi olur. İkinci parantezdeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters çevrilir. Sonuç olarak, o (kesirin önündeki işaret) değişmedi.
İlk paydayı tam olarak ortak paydaya yazarız ve sonra henüz yazılmamış olan tüm faktörleri ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa) ekleriz. Yani, şöyle gider:
Hmm ... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: kesirleri nasıl ekleyeceğinizi biliyorsunuz, değil mi? Bu nedenle, ikilinin bir kesir haline geldiğinden emin olmalısınız! Unutmayın: kesir bir bölme işlemidir (aniden unuttuysanız, pay paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda, sayının kendisi değişmeyecek, ancak bir kesire dönüşecektir:
Tam olarak ne gerekli!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Neyse, işin en zor kısmı artık bitti. Ve önümüzde en basit, ama aynı zamanda en önemlisi:
prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Unutmayın, böyle bir ifadenin değerini göz önünde bulundurarak:
saydın mı?
İşe yaramalı.
O yüzden hatırlatırım.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölme işlemidir. Aynı anda birkaç çarpma ve bölme varsa, bunları herhangi bir sırayla yapabilirsiniz.
Son olarak toplama ve çıkarma işlemi yapıyoruz. Yine, herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade düzensiz olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantez içindeki ifadeyi değerlendirir, sonra çarpar veya böleriz.
Parantez içinde başka parantezler varsa ne olur? Bir düşünelim: parantez içinde bir ifade yazıyor. Bir ifadeyi değerlendirirken yapılacak ilk şey nedir? Bu doğru, parantezleri hesaplayın. Pekala, anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra diğer her şeyi.
Dolayısıyla, yukarıdaki ifade için eylemlerin sırası aşağıdaki gibidir (geçerli eylem kırmızı ile vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, hepsi basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil, değil mi?
Hayır, aynı! Sadece aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan işlemleri yapmak gerekir: benzerini getirmek, kesirler ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma eylemi olacaktır (kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırma için i kullanmanız veya ortak faktörü parantezlerden çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız, bir ifadeyi bir ürün veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Önce parantez içindeki ifadeyi sadeleştiriyoruz. Burada kesirler farkımız var ve amacımız onu bir çarpım veya bölüm olarak göstermek. Böylece, kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır, buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hala hatırlıyor musunuz?).
2) Şunları elde ederiz:
Kesirlerin çarpımı: daha kolay ne olabilir?
3) Şimdi kısaltabilirsiniz:
Peki hepsi bu. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Önce kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Her şeyden önce, prosedürü tanımlayalım.
Önce parantez içindeki kesirleri ekleyelim, iki kesir yerine bir tane çıkacak.
Daha sonra kesirlere bölme işlemi yapacağız. Son kesir ile sonucu ekliyoruz.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi mevcut eylemi kırmızı ile renklendirerek tüm süreci göstereceğim:
1. Benzeri varsa hemen getirilmelidir. Hangi anda benzerlerimiz olursa, onları hemen getirmeniz tavsiye edilir.
2. Aynı şey kesirleri azaltmak için de geçerlidir: azaltmak için bir fırsat doğar doğmaz kullanılmalıdır. İstisna, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirlerdir: şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözmeniz için bazı görevler:
Ve en başında söz verdi:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.
Şimdi öğrenmeye devam edin!
İFADE DÖNÜŞÜMÜ. ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Temel sadeleştirme işlemleri:
- benzerlerini getirmek: benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- çarpanlara ayırma: parantez içindeki ortak çarpanın çıkarılması, uygulanması vb.
- kesir azaltma: bir kesrin payı ve paydası, kesrin değerinin değişmediği sıfır olmayan aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydada ortak çarpanlar varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: sadece çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerde toplama ve çıkarma:
; - Kesirlerde çarpma ve bölme:
;
kimlik dönüşümleri
1. Kimlik kavramı. Ana özdeş dönüşüm türleri ve çalışmalarının aşamaları.
İfadelerin ve formüllerin çeşitli dönüşümlerinin incelenmesi, okul matematiği dersinde çalışma süresinin en küçük bölümünü kaplar. Aritmetik işlemlerin özelliklerine dayanan en basit ^ "" oluşumları zaten ilkokuldadır. Ancak dönüşümleri gerçekleştirmek için beceri ve yeteneklerin oluşumu üzerindeki ana yük, okul cebiri 1> kursu tarafından karşılanır:
gerçekleştirilen dönüşümlerin sayısında keskin bir artışla, çeşitlilikleri;
bunları doğrulamak ve uygulanabilirlik koşullarını netleştirmek için faaliyetlerin karmaşıklığı ile;
i) genelleştirilmiş özdeşlik, özdeş dönüşüm, eşdeğer dönüşüm, mantıksal sonuç kavramlarının tahsisi ve incelenmesi ile.
Özdeş dönüşümler çizgisi, temel okulun cebir dersinde aşağıdaki gelişimi alır:
,4 b sınıfları - parantezlerin açılması, benzer terimlerin getirilmesi, çıkarılması - M (parantez içinden Chsho faktörü;
7 Sınıf - tamsayı ve kesirli ifadelerin özdeş dönüşümleri;
H sınıfı - dörtlü kök içeren ifadelerin özdeş dönüşümleri;
( > sınıf- rasyonel üslü bir derece içeren trigonometrik ifadelerin ve mmrizhsny'nin özdeş dönüşümleri.
Özdeş dönüşümler çizgisi cebir dersinin önemli ideolojik çizgilerinden biridir. Bu nedenle, 5-6. sınıflarda matematik öğretimi, niKiiM tarafından, bu sınıflardaki öğrencilerin en basit özdeş dönüşümlerin becerilerini ("özdeş olarak farklı dönüşümler" terimini kullanmadan) kazanacakları şekilde inşa edilmiştir. Bu beceriler, benzer terimleri azaltmak, parantezleri açmak ve parantez içine koymak, parantezlerden bir faktör çıkarmak vb. için bir alıştırma yaparken oluşur. Sayısal ve alfabetik ifadelerin en basit dönüşümleri de dikkate alınır. Bu öğrenme düzeyinde, doğrudan aritmetik işlemlerin yasaları ve özellikleri temelinde gerçekleştirilen dönüşümlerde uzmanlaşılır.
Aritmetik işlemlerin özelliklerinin ve yasalarının aktif olarak kullanıldığı ve aynı dönüşüm becerilerinin oluşturulduğu 5-6. sınıflardaki ana görev türleri şunları içerir:
çalışılan sayısal kümelerin sayıları üzerinde eylemler gerçekleştirmek için algoritmaların doğrulanması;
sayısal bir ifadenin değerlerini en rasyonel şekilde hesaplamak;
belirtilen eylemleri gerçekleştirmeden sayısal ifadelerin değerlerini karşılaştırmak;
literal ifadelerin sadeleştirilmesi;
iki değişmez ifadenin değerlerinin eşitliğinin kanıtı, vb.
153 sayısını bit terimlerinin toplamı olarak ifade edin; iki sayının farkı, iki sayının çarpımı olarak.
27 sayısını üç özdeş çarpanın çarpımı olarak ifade ediniz.
Aynı sayının farklı gösterim biçimlerinde temsili üzerine yapılan bu alıştırmalar, özdeş dönüşümler kavramının özümsenmesine katkıda bulunur. Başlangıçta, bu temsiller gelecekte keyfi olabilir - amaçlı. Örneğin, bit terimlerinin toplamı olarak gösterim, bir "sütun"a doğal sayıların eklenmesine ilişkin kuralları açıklamak için kullanılır, "uygun" sayıların toplamı veya farkı olarak gösterim, çeşitli ürünlerin hızlı hesaplamalarını gerçekleştirmek için kullanılır ve faktörlerin bir ürünü olarak temsil, çeşitli kesirli ifadeleri basitleştirmek için kullanılır.
928 36 + 72 36 ifadesinin değerini bulun.
Bu ifadenin değerini hesaplamanın rasyonel yolu, toplama ile ilgili olarak çarpmanın dağıtım yasasının kullanımına dayanmaktadır: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
Okul matematik dersinde, alfanümerik ifadelerin ve formüllerin dönüşümlerinin uygulanmasında ustalaşmanın aşağıdaki aşamaları ayırt edilebilir.
sahne. Cebirin başlangıçları. Bu aşamada, bölünmemiş bir dönüşüm sistemi kullanılır; formülün bir veya her iki parçası üzerinde eylem gerçekleştirme kuralları ile temsil edilir.
Örnek vermek. Denklemleri Çöz:
a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; içinde) 6 (2 - 4y) + 5y = 3 (1 - Zu).
Çözümün genel fikri, bu formülleri birkaç kural yardımıyla sadeleştirmektir. ilk görevde sadeleştirme, özdeşlik uygulanarak sağlanır: 5x- sevgili= (5 - 3)x. Bu özdeşliğe dayalı kimlik dönüşümü, verilen denklemi eşdeğer bir urshshomie'ye dönüştürür. 2 kere - 2.
ikinci denklemçözümü için sadece özdeş değil, aynı zamanda paranoyak bir dönüşüm gerektirir; bu nedenle, denklemin terimlerini, değiştirilmiş bir şık ile denklemin bir bölümünden diğerine aktarmak için ||n hakkını kullanır. b) gibi basit bir görevi çözerken, dönüşümlerde her iki mon da kullanılır - hem özdeş hem de eşdeğer. Bu önerme, üçüncüsü gibi daha hantal görevler için de kullanılır.
İlk aşamanın köstebek, en basit denklemlerin nasıl hızlı bir şekilde çözüleceğini, fonksiyonları tanımlayan formülleri basitleştirmeyi, eylemlerin özelliklerine dayalı olarak rasyonel hesaplamaları yapmayı öğretmektir.
baştankara. Belirli dönüşüm türlerinin uygulanması için becerilerin oluşumuII eğim Kimlik ve kimlik dönüşümü kavramları shn "sbra 7 sınıfında açıkça tanıtılmaktadır. Bu nedenle, örneğin, Yu. N. Makarychev'in "Cebir 7" np" ders kitabında özdeş olarak eşit ifadeler kavramı tanıtılmaktadır: değişkenler, casus aynı şekilde eşit" sonra kimlik kavramı: “Değişkenlerin herhangi bir değeri için eşleştirilen bir eşitlik denir. Kimlik."
11 örnek verilmiştir:
Ders kitabında A.G. Mordkovich "Cebir 7" hemen ve rafine bir kimlik kavramı verilir: "Kimlik doğru eşitlik mi izin verilen herhangi bir şey için kurucu değişkenlerinin değerleri.
Özdeş bir dönüşüm kavramını tanıtırken, her şeyden önce, özdeş dönüşümleri incelemenin yararı göz ardı edilmelidir. Bunu yapmak için, ifadelerin anlamını bulmak için çeşitli alıştırmaları düşünebilirsiniz.
liiiipiiMep, ne zaman 37.1x + 37,ly ifadesinin değerini bulun x= 0.98, y = 0.02. Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, 37.1l + 37.1 ifadesi de 37.1(x +) ifadesi ile hesaplanabilir y), aynı ona eşittir. Aşağıdaki alıştırmanın daha da etkileyici solucan 1 çözümü: ifadenin değerini bulun
() - (a-6) _ p r i. a) q = z > ^ = 2; B) fakat = 121, B - 38; c) a = 2.52, b= 1 -.
ab 9
Yapılan dönüşümlerden sonra, bu ifadenin değer kümesinin tek bir 4 sayısından oluştuğu ortaya çıkıyor.
Yu.N. Makarychev'in “Cebir 7” ders kitabında, bir kimlik dönüşümü kavramının tanıtımı bir örnek dikkate alınarak motive edilir: “x = 2.3 için xy-da ifadesinin değerini bulmak için; y = 0.8; z = 0.2, 3 eylem gerçekleştirmeniz gerekir: hu - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11 Kuron cebirine ve analizin başlangıcına özgü bir tür dönüşüme dikkat etmek gerekir. Bunlar, içeren ifadelerin dönüşümleridir. ön geçişler, Ve farklılaşma ve entegrasyon kurallarına dayalı dönüşümler. Bu "analitik" dönüşümler ile "cebirsel" dönüşümler arasındaki temel fark, değişkenlerin kimliklerde geçtiği kümenin doğasında yatmaktadır. Cebirsel kimliklerde, değişkenler sayı alanları ve analitik kümelerde bu kümeler belirli gezinir birçok fonksiyon.Örneğin, toplamı türevlendirme kuralı: (Z "+g)" burada / ve g, kümeler boyunca çalışan değişkenlerdir.
Ben ancak ortak bir tanım alanına sahip türevlenebilir işlevler. Dışa doğru, bu dönüşümler cebirsel tipteki dönüşümlere benzer, bu nedenle bazen "sınır cebiri", "farklılaşma cebiri" derler.
Cebir okul dersinde çalışılan özdeşlikler ve cebir dersinin cebirsel mayriali ve analizin başlangıçları şu şekilde ayrılabilir: iki sınıf.
Birincisi, indirgenmiş çarpmanın kimliklerinden oluşur, adil
av
iioGom değişmeli halka ve kimlikler - =-,a* 0, herhangi birinde adil
Om alanı.
İkinci sınıf, aritmetik ifadeleri ve temel temel işlevleri birbirine bağlayan kimliklerin yanı sıra temel öğelerin bileşimlerinden oluşur.hhixfonksiyonlar. Bu sınıfın kimliklerinin çoğu, aynı zamanda, güç, üstel ve logaritmik fonksiyonların çeşitli sayısal grupların izomorfizmleri olduğu gerçeğinden oluşan ortak bir matematiksel temele sahiptir. Örneğin, bir ifade vardır: Gerçek sayıların toplam grubunun / pozitif gerçek sayıların çarpımsal grubuna, altında o biriminin belirli bir sayıya eşlendiği benzersiz bir sürekli izomorfik eşlemesi vardır. bir> 0, bir f 1; bu eşleme, taban ile karşılıklı bir fonksiyon tarafından verilir. fakat:/(X)= fakat. Güç ve logaritmik fonksiyonlar için benzer iddialar vardır.
Her iki sınıfın kimliklerini incelemek için kullanılan metodolojinin birçok ortak özelliği vardır. Genel olarak, okul matematik dersinde incelenen kimlik dönüşümleri şunları içerir:
kök ve derece içeren ifadelerin kesirli üslerle dönüşümleri;
sınıra kadar pasajlar içeren ifadelerin dönüşümleri ve türev alma ve bütünleşme kurallarına dayalı dönüşümler.
Bu sonuç, ifade kullanılarak yalnızca iki eylem gerçekleştirilerek elde edilebilir. x (y-z), ifadeye eşit olarak eşittir xy-xz:x(y-z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
İfadeyi değiştirerek hesaplamaları basitleştirdik xy-xz özdeş eşit ifade x (y - z).
Bir ifadenin, kendisine eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine denir. kimlik dönüşümü ya da sadece ifade dönüşümü.
Bu aşamada çeşitli dönüşüm türlerinin geliştirilmesi, kısaltılmış çarpma formüllerinin tanıtılmasıyla başlar. Ardından, üstel, güç, logaritmik, trigonometrik gibi çeşitli temel işlev sınıflarıyla bir güce yükseltme işlemiyle ilişkili dönüşümleri ele alıyoruz. Bu dönüşüm türlerinin her biri, dikkatin karakteristik özelliklerinin özümsenmesine odaklandığı bir çalışma aşamasından geçer.
Malzeme birikimi ile, özdeş ve eşdeğer dönüşüm kavramlarını ayırt etmek ve bu temelde tanıtmak mümkün hale gelir.
Aynı dönüşüm kavramının cebir okul dersinde tam bir genellemede değil, sadece ifadelere uygulamada verildiğine dikkat edilmelidir. Dönüşümler iki sınıfa ayrılır: özdeş dönüşümler ifade dönüşümleridir ve eşdeğer - formül dönüşümleri. Formülün bir bölümünü basitleştirmeye ihtiyaç duyulduğunda, bu formülde, uygulanan özdeş dönüşüm için bir argüman görevi gören bir ifade vurgulanır. Örneğin, denklemler 5x - Zx - 2 ve 2x = 2 sadece eşdeğer değil, aynı kabul edilir.
Cebir ders kitaplarında Sh.A. Alimova ve diğerleri, kimlik kavramı 7-8. sınıflarda ve sadece 9. sınıfta “Trigonometrik kimlikler” konusunda 1. problemi çözerken açık bir şekilde tanıtılmamıştır. afkk, ile < eZ , eşitlik 1 + ctg 2 a = -\-» geçerlidir, bu kavram tanıtılır. Burada öğrencilere günahın ne olduğu anlatılıyor. fakat
belirtilen eşitlik “a'nın tüm kabul edilebilir değerleri için geçerlidir, yani. öyle ki sol ve sağ kısımları mantıklı. Böyle eşitliklere denir kimlikler, ve bu tür eşitlikleri kanıtlama sorunlarına kimlikleri kanıtlama sorunları denir.
III aşama. İntegral bir dönüşüm sisteminin organizasyonu (sentez).
Bu aşamanın temel amacı, çeşitli eğitim görevlerini çözmede kullanıma uygun, esnek ve güçlü bir cihaz oluşturmaktır.
Dönüşüm çalışmasının ikinci aşamasının konuşlandırılması, temel okuldaki tüm cebir kursu boyunca gerçekleşir. Üçüncü aşamaya geçiş, belirli dönüşüm türlerine göre parçalar halinde öğrenilen, zaten bilinen materyalin kavranması sırasında dersin son tekrarı sırasında gerçekleştirilir.
Cebir sırasında ve analizin başlangıcında, temel olarak zaten oluşturulmuş olan integral bir dönüşüm sistemi kademeli olarak geliştirilmeye devam ediyor. Buna bazı yeni dönüşüm türleri de eklenir (örneğin, trigonometrik ve logaritmik işlevlerle ilgili olanlar), ancak yalnızca onu zenginleştirir, yeteneklerini genişletir, ancak yapısını değiştirmez.
Bu yeni dönüşümleri pratik olarak incelemek için kullanılan metodoloji, cebir dersinde kullanılandan farklı değildir.
Cebir derslerine ve analizin başlangıcına özgü bir tür dönüşüme dikkat etmek gerekir. Bunlar, içeren ifadelerin dönüşümleridir. geçişleri sınırla, Ve farklılaşma ve entegrasyon kurallarına dayalı dönüşümler. Bu "analitik" dönüşümler ile "cebirsel" dönüşümler arasındaki temel fark, değişkenlerin özdeşliklerde içinden geçtiği kümenin karakterinde yatmaktadır. Cebirsel kimliklerde, değişkenler sayı alanları analitik kümelerdeyken belirli birçok fonksiyon. Örneğin, toplam farklılaşma kuralı: ( F + G )" = F + G "; burada sıçmak - ortak bir tanım alanı ile çarpan türevlenebilir işlevler aracılığıyla çalışan değişkenler. Dışa doğru, bu dönüşümler cebirsel tipteki dönüşümlere benzer, bu nedenle bazen "sınır cebiri", "farklılaşma cebiri" derler.
Cebir okul dersinde çalışılan özdeşlikler ve cebir dersinin cebirsel materyali ve analizin başlangıçları şu şekilde ayrılabilir: iki sınıf.
Birincisi, indirgenmiş çarpmanın kimliklerinden oluşur, adil
herhangi bir değişmeli halka ve kimlik - \u003d -, a * 0, herhangi birinde geçerli
ac s
İkinci sınıf, aritmetik işlemleri ve temel temel işlevleri birbirine bağlayan kimliklerin yanı sıra temel işlevlerin bileşimlerinden oluşur. Bu sınıfın kimliklerinin çoğu, aynı zamanda, güç, üstel ve logaritmik fonksiyonların çeşitli sayısal grupların izomorfizmleri olduğu gerçeğinden oluşan ortak bir matematiksel temele sahiptir. Örneğin, bir ifade vardır: Gerçek sayıların toplam grubunun, altında belirli bir sayıya eşlendiği pozitif gerçek sayıların çarpımsal grubuna benzersiz bir sürekli izomorfik eşlemesi vardır. bir> 0, bir f 1; bu eşleme, i tabanına sahip üstel fonksiyon tarafından verilir: / (x) = a*. Güç ve logaritmik fonksiyonlar için benzer iddialar vardır.
Her iki sınıfın kimliklerini incelemek için kullanılan metodolojinin birçok ortak özelliği vardır. Genel olarak, okul matematik dersinde incelenen kimlik dönüşümleri şunları içerir:
cebirsel ifadelerin dönüşümleri;
kök ve kuvvet içeren ifadelerin kesirli üslerle dönüştürülmesi;
trigonometrik ifadelerin dönüşümleri;
güçler ve logaritmalar içeren ifadelerin dönüştürülmesi;
limit geçişleri içeren ifadelerin dönüşümleri ve kurala dayalı dönüşümler, türev ve integrasyon.
2. Özdeş dönüşümlerin incelenmesinde görev sisteminin organizasyonunun özellikleri
Herhangi bir görev sistemini organize etmenin temel ilkesi, onları sunmaktır. basitten karmaşığa Öğrencilerin uygulanabilir zorlukların üstesinden gelme ve problem durumları yaratma ihtiyacını dikkate alarak. Bu temel ilke, bu eğitim materyalinin özellikleriyle ilgili olarak somutlaştırmayı gerektirir. Konuyla ilgili bir alıştırma sistemine bir örnek verelim: "Toplamın karesi ve
iki sayının farkı.
Ben la bu temel egzersiz sistemi biter. Böyle bir sistem, temel malzemenin asimilasyonunu sağlamalıdır.
Aşağıdaki alıştırmalar (17-19), öğrencilerin tipik hatalara odaklanmasına ve ilgi ve yaratıcı yeteneklerinin gelişimine katkıda bulunmasına olanak tanır.
Her durumda, sistemdeki alıştırma sayısı daha az veya daha fazla olabilir, ancak uygulama sırası aynı olmalıdır.
Matematik metodolojisindeki çeşitli görev sistemlerini tanımlamak için şu kavramı da kullanın: egzersiz döngüsü. Alıştırma döngüsü, çalışmanın çeşitli yönlerinin ve materyali düzenleme yöntemlerinin bir dizi alıştırmada birleştirilmesiyle karakterize edilir. Özdeş dönüşümlerle ilgili olarak, bir döngü fikri aşağıdaki gibi verilebilir.
Bir alıştırma döngüsü, onunla doğal bir bağlantı içinde olan diğer kimliklerin etrafında gruplandırıldığı bir kimliğin incelenmesiyle bağlantılıdır. "Döngüyü birlikte durdurun yönetici gerektiren görevleri içerir. tanımak-< ii içinde ne de dikkate alınan kimliğin uygulanabilirliği. İncelenen kimlik, çeşitli sayısal alanlarda hesaplamalar yapmak için kullanılır.
Her döngüdeki görevler aşağıdakilere bölünmüştür: iki grup. İLE ilk kimlikle ilk tanışma sırasında tamamlanan görevleri içerir. Bir konu tarafından birleştirilmiş birkaç derste gerçekleştirilirler. İkinci grup egzersiz, incelenen kimliği çeşitli uygulamalarla birleştirir. Bu gruptaki alıştırmalar genellikle farklı konulara dağılmıştır.
Döngünün açıklanan yapısı, belirli dönüşüm türlerini uygulamak için becerilerin oluşum aşamasını ifade eder. Son aşamada - (Sentezden sonra döngüler değiştirilir. İlk önce, her iki shdapia grubu birleştirilir, "açılmamış" döngü , ve ilk gruptan ifadeler veya yürütmenin karmaşıklığı açısından en basit olanı yazın. Kalan görev türleri daha zor hale gelir. İkincisi, farklı kimliklerle ilgili döngülerin birleşmesi vardır, bu nedenle, bir veya başka bir kimliğin uygulanabilirliğini tanımak için eylemlerin rolü artar.
Bir döngünün somut bir örneğini ele alalım.
Örnek vermek. x kimliği için iş döngüsü -y 2 = (x-y)(x + y).
Bu döngünün ilk görev grubunun yürütülmesi şu şekilde gerçekleşir:
koşullar. Öğrenciler, özdeşliğin formüle edilmesiyle (veya daha doğrusu iki formülle) yeni tanışmışlardır: “İki ifadenin karelerinin farkı, bu ifadelerin toplamının ve farkının çarpımına eşittir” ve “Toplamın çarpımı. ve iki ifadenin farkı, bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir”), formül şeklinde yazılması, ispat . Bunu takiben, bu kimliğe dayalı bir dönüşümün kullanımına ilişkin birkaç örnek verilmiştir. Son olarak, öğrenciler egzersizleri kendi başlarına yapmaya başlarlar.
İlk görev grubu
İkinci görev grubu
(Her grubun görevleri bir multimedya projektörü kullanılarak öğrencilere sunulabilir)
Bu görev türleri sisteminin metodik bir analizini yapalım.
a0 görevi, incelenen kimliğin yapısını düzeltmeyi amaçlar. Bu, harflerin (x ve y) diğer harflerle kimlik gösteriminde. Bu tür görevler, sözlü ifade ile kimliğin sembolik biçimi arasındaki ilişkiyi netleştirmenizi sağlar.
Görev a 2) bu kimliğin sayısal sistemle bağlantısını kurmaya odaklanmıştır. Burada dönüştürülen ifade tamamen değişmez değil, alfasayısaldır. Gerçekleştirilen eylemleri tanımlamak için kavramı kullanmak gerekir. ikame kimlik numarasına göre harfler. Beceri Geliştirme
ikame işleminin kullanılması ve fikrinin derinleştirilmesi, r 2) tipi görevlerin yerine getirilmesinde gerçekleştirilir.
Kimliğe hakim olmanın bir sonraki adımı, görev a) ile gösterilmektedir. Yeni görevde, dönüşüm için önerilen ifade, karelerin bölünmesi biçiminde değildir; dönüşüm ancak o zaman mümkün olur. h(n1k, 121 sayısının bir sayının karesi olarak gösterilebileceğini fark edecektir.Böylece bu görev bir adımda değil iki adımda gerçekleştirilir: şeritteiiiu bu ifadeyi kareler farkının mdf'sine indirgeme olasılığının kabul edilmesi, ikincide kimlik kullanılarak bir dönüşüm gerçekleştirilir.
Kimliğe hakim olmanın ilk aşamalarında, her adım kaydedilir:
I "I / s 2 \u003d 11 2 - & 2 \u003d (11 - £) (11 + ile), gelecekte bazı tanıma işlemleri öğrenciler tarafından sözlü olarak yapılmaktadır.
Örneğin dd)'de bu özdeşlik ile tek terimli eylemlerle ilgili diğer kimlikler arasında bağlantı kurulması gerekir; e 3) kareler farkı için özdeşlik iki kez uygulanmalıdır; c) öğrenciler, irrasyonel sayılar alanına erişim sağlayarak belirli bir psikolojik engeli aşmak zorunda kalacaklar.
b) türü görevler, ürünü değiştirme becerilerini geliştirmeyi amaçlar (,v - y)(x + y) farka x 2 - 2 . c) tipi görevler de benzer bir rol oynar. d) tipindeki örneklerde, dönüşüm yönlerinden birinin seçilmesi gerekir.
Genel olarak, ilk grubun görevleri, kimliğin yapısına hakim olmaya, en basit en önemli durumlarda ikame işlemlerine ve kimlik tarafından gerçekleştirilen dönüşümlerin tersine çevrilebilirliği hakkındaki fikirlere,
İlk göz önüne alındığında tarafımızca açıklanan ana özellikler ve hedefler | döngünün görevlerinin kalıntıları, kimlik kullanımının süngülerini oluşturan herhangi bir alıştırma döngüsüne atıfta bulunur. Yeni tanıtılan herhangi bir peri-im kimliği için, döngüdeki görev grubu burada açıklanan özellikleri korumalıdır; tek fark görev sayısındadır.
1 Döngüdeki ikinci görev grubu, birincisinden farklı olarak, bu belirli kimliğin özelliklerinin mümkün olan en eksiksiz şekilde kullanılmasını ve değerlendirilmesini amaçlamaktadır. Bu grubun görevleri, kareler farkı için özdeşliği kullanma konusunda önceden oluşturulmuş becerileri varsayar (en basit durumlarda); tsi'ye göre, bu grubun görevleri, matematik dersinin diğer konularıyla ilgili materyallerin kullanımıyla birlikte, çeşitli durumlarda çeşitli uygulamalarını göz önünde bulundurarak kimlik anlayışını derinleştirmektir.
Görev l'in çözümünü düşünün):
x 3 - 4x \u003d 15 o x 3 - 9x \u003d 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) \u003d 5 (3 -x) öküz \u003d 3 veya \{\ 1-3) = -5. denklem x(x + 3) = -5'in gerçek kökü yoktur, bu nedenle \ 3 denklemin tek köküdür.
Kareler farkı için özdeşliğin kullanımının, örneğin çözümünde n ve I bölümünün bir parçası olduğunu görüyoruz, dönüşümleri gerçekleştirmek için önde gelen fikir.
Temel işlevler için kimliklerle ilişkili görev döngüleri, kendi özelliklerine sahiptir, bunun nedeni, İlk önce. karşılık gelen kimlikler, işlevsel malzeme çalışması ile bağlantılı olarak incelenir ve, /u>-“touykh, ilk grubun kimliklerinden daha sonra ortaya çıkarlar ve
özdeş dönüşümleri gerçekleştirmek için önceden oluşturulmuş becerileri kullanmak. Temel fonksiyonlarla ilişkili kimlik dönüşümlerinin kullanımının önemli bir kısmı irrasyonel ve aşkın denklemlerin çözümüne düşer. Kimliklerin asimilasyonu ile ilgili döngüler yalnızca en basit denklemleri içerir, ancak burada zaten bu tür denklemleri çözme yöntemine hakim olmak için çalışma yapılması tavsiye edilir: bilinmeyeni cebirsel bir denklemle değiştirerek onu azaltmak.
Bu çözüm için adım sırası aşağıdaki gibidir:
a) bir fonksiyon bulun<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
b) ikame yapmak de= cp(x) ve F(y) = 0 denklemini çözün;
c) denklemlerin her birini çöz <р(х) = nerede (en k ), F(y) = 0 denkleminin kökleri kümesidir.
Temel işlevli kimlikler incelenirken dikkate alınması gereken yeni bir konu, tanım alanının dikkate alınmasıdır. İşte üç görevin örnekleri:
a) y \u003d 4 log 2 x fonksiyonunu çizin.
b) lg denklemini çözün x + lg (x - 3) = 1.
c) lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( formülü hangi kümededir? x 2 - 25) bir kimlik mi?
Öğrencilerin a) görevini çözerken yaptıkları tipik bir hata eşitliği kullanmaktır. fakat 1. hariç tutma koşulu b > 0. Bu durumda, sonuç olarak, istenen grafiğin doğru cevap - parabolün sağ dalı - yerine bir parabol formuna sahip olduğu ortaya çıkıyor. Görev b)'de, fonksiyonların tanım alanlarını hesaba katmak gerektiğinde karmaşık denklem ve eşitsizlik sistemlerini elde etmek için kaynaklardan biri ve görev c)'de - hazırlık alıştırması olarak hizmet edebilecek bir alıştırma gösterilir.
Bu görevleri birleştiren fikir - bir fonksiyonun tanım alanını inceleme ihtiyacı, ancak dışsal biçimde heterojen olan bu tür görevlerin karşılaştırılmasıyla ortaya çıkarılabilir. Bu fikrin matematik için önemi çok büyüktür. Temel işlev sınıflarının her biri için birkaç alıştırma döngüsü için temel oluşturabilir.
Sonuç olarak, okuldaki özdeş dönüşümlerin incelenmesinin büyük önem taşıdığını not ediyoruz. Eğitim değeri. Bazı hesaplamaları yapabilme, hesaplamaları yapabilme, uzun süre bir nesneyi takip etmek için aralıksız bir dikkatle, zihinsel veya fiziksel emek alanında çalışsalar da, çok çeşitli mesleklerden insanlar için gereklidir. "İfadelerin özdeş dönüşümleri" bölümünün özelliği, öğrencilerde bu önemli mesleki açıdan önemli becerileri geliştirmek için geniş fırsatlar sunacak şekildedir.
Orijinal ifadeyi oluşturan sayılar ve ifadeler, kendilerine eşit olan ifadelerle değiştirilebilir. Orijinal ifadenin böyle bir dönüşümü, ona özdeş bir ifadeye yol açar.
Örneğin, 3+x ifadesinde, 3 sayısı 1+2 toplamı ile değiştirilebilir; bu, orijinal ifadeyle aynı olan (1+2)+x ifadesiyle sonuçlanır. Başka bir örnek: 1+a 5 ifadesinde, a 5'in derecesi, buna eşit, örneğin a·a 4 biçimindeki bir ürünle değiştirilebilir. Bu bize 1+a·a 4 ifadesini verecektir.
Bu dönüşüm kuşkusuz yapaydır ve genellikle daha ileri bir dönüşüm için bir hazırlıktır. Örneğin, 4·x 3 +2·x 2 toplamında, derecenin özellikleri dikkate alınarak, 4·x 3 terimi 2·x 2 ·2·x çarpımı olarak gösterilebilir. Böyle bir dönüşümden sonra, orijinal ifade 2·x 2 ·2·x+2·x 2 biçimini alacaktır. Açıkçası, sonuçtaki toplamdaki terimler 2 x 2 ortak faktörüne sahiptir, bu nedenle aşağıdaki dönüşümü - parantezleri gerçekleştirebiliriz. Ondan sonra şu ifadeye geleceğiz: 2 x 2 (2 x+1) .
Aynı sayıyı toplama ve çıkarma
Bir ifadenin başka bir yapay dönüşümü, aynı sayının veya ifadenin aynı anda toplanması ve çıkarılmasıdır. Böyle bir dönüşüm özdeştir, çünkü aslında sıfır eklemeye eşdeğerdir ve sıfır eklemek değeri değiştirmez.
Bir örnek düşünün. x 2 +2 x ifadesini alalım. Buna bir tane ekler ve bir tane çıkarırsanız, bu gelecekte başka bir özdeş dönüşüm gerçekleştirmenize izin verecektir - binomun karesini seçin: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliyografya.
- Cebir: ders kitabı 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - E.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
Bir güce binom yükseltmek
Binom, iki terimi olan bir polinomdur. Önceki derslerde, iki terimliyi ikinci ve üçüncü kuvvetlere yükselttik, böylece kısaltılmış çarpma formüllerini elde ettik:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + B 2
(a + B) 3 = a 3 + 3a 2 B + 3ab 2 + B 3
Ancak iki terimli yalnızca ikinci ve üçüncü güçlere değil, aynı zamanda dördüncü, beşinci veya daha yüksek güçlere de yükseltilebilir.
Örneğin, bir binom oluşturalım a+b dördüncü dereceye kadar:
(a+b) 4
Bu ifadeyi bir iki terimlinin bir ürünü olarak temsil ediyoruz. a+b ve aynı binomun küpü
(a+b)(a+b) 3
faktör ( a+b) 3, iki ifadenin toplamının küp formülünün sağ tarafı ile değiştirilebilir. Sonra şunu elde ederiz:
(a+b)(a 3 + 3a 2 B + 3ab 2 + B 3)
Ve bu polinomların olağan çarpımıdır. Hadi yürütelim:
Yani, bir binom oluştururken a+b dördüncü kuvvete polinom a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 + 4ab 3 + B 4
(a+b) 4 = a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 + 4ab 3 + B 4
Bir iki terimlinin inşası a+b dördüncü güce göre, bunu da yapabilirsiniz: ifadeyi temsil edin ( a+b) 4 güçlerin bir ürünü olarak (a+b) 2 (a+b) 2
(a+b) 2 (a+b) 2
Ama ifade ( a+b) 2 eşittir a 2 + 2ab + B 2 . ifadede yerine koyalım (a+b) 2 (a+b) 2 polinom toplam kareler a 2 + 2ab + B 2
(a 2 + 2ab + B 2)(a 2 + 2ab + B 2)
Ve bu yine polinomların olağan çarpımıdır. Hadi yürütelim. Daha önce olduğu gibi aynı sonucu alacağız:
Bir güce üç terimli yükseltmek
Üç terimli, üç terimi olan bir polinomdur. Örneğin, ifade a+b+c bir üç terimlidir.
Bazen sorun, bir güce üç terimli yükseltmek için ortaya çıkabilir. Örneğin, üç terimlinin karesini alalım a+b+c
(a+b+c) 2
Parantez içindeki iki terim parantez içine alınabilir. Örneğin, toplamı sonuçlandırıyoruz a+ B parantez içinde:
((a+b) + C) 2
Bu durumda, miktar a+b tek üye olarak kabul edilecektir. O zaman bir üç terimli değil, iki terimli bir kare aldığımız ortaya çıkıyor. toplam a+b ilk üye olacak ve üye C- ikinci üye. Ve zaten bir binomun nasıl kareleneceğini biliyoruz. Bunu yapmak için, iki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanabilirsiniz:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + B 2
Bu formülü örneğimize uygulayalım:
Aynı şekilde dört veya daha fazla terimden oluşan bir polinomun karesini alabilirsiniz. Örneğin, polinomun karesini alalım a+b+c+d
(a+b+c+d) 2
Polinomu iki ifadenin toplamı olarak temsil ediyoruz: a+b Ve c + d. Bunu yapmak için bunları parantez içine alın:
((a+b) + (c + d)) 2
Şimdi iki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanıyoruz:
Bir kare trinomialden tam kare seçimi
Problem çözmede faydalı olabilecek bir diğer özdeşlik dönüşümü, bir kare trinomialden tam karenin seçilmesidir.
Bir kare trinom, ikinci dereceden bir trinomdur. Örneğin, aşağıdaki üç terimler karedir:
Bu tür üç terimlilerden bir tam kare çıkarma fikri, orijinal kare üç terimliyi bir ifade olarak temsil etmektir ( a+b) 2 + C, nerede ( a+b) 2 tam kare ve C- bazı sayısal veya gerçek ifadeler.
Örneğin, üç terimliden tam kareyi seçiyoruz. 4x 2 + 16x+ 19 .
İlk önce formun bir ifadesini oluşturmanız gerekir. a 2 + 2ab+ B 2 . Bunu bir trinomialden inşa edeceğiz 4x 2 + 16x+ 19 . İlk olarak, hangi üyelerin değişken rolünü oynayacağına karar verelim. a Ve B
Değişkenin rolü açük oynayacak 2 x, üç terimlinin ilk teriminden beri 4x 2 + 16x+ 19 , yani 4 x 2 ise 2 elde edilir x Meydan:
(2x) 2 = 4x 2
yani değişken a eşittir 2 x
a = 2x
Şimdi orijinal üç terimliye dönüyoruz ve hemen 16 ifadesine dikkat ediyoruz. x. Bu ifade, birinci ifadenin çarpımının iki katıdır. a(bizim durumumuzda 2 x) ve ikinci henüz bilinmeyen ifade B. Geçici olarak yerine soru işareti koyun:
2×2 x × ? = 16x
2 × 2 ifadesine yakından bakmak x × ? = 16x , üyenin sezgisel olarak netleşir B bu durumda 4 sayısıdır, çünkü 2 × 2 ifadesi x 4'e eşittir x, ve 16 almak için x 4 ile çarpmak gerekiyor x 4 tarafından.
2×2 x × 4 = 16x
Bundan, değişkenin B 4'e eşittir
B = 4
Yani tam karemiz ifade olacak (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Şimdi hepimiz üç terimliden tam kareyi çıkarmaya hazırız. 4x 2 + 16x+ 19 .
Yani, orijinal üç terimliye geri dönelim 4x 2 + 16x+ 19 ve elde ettiğimiz tam kareyi dikkatlice içine yerleştirmeye çalışın (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
4x 2 + 16x+ 19 =
4 yerine x 2 yazın (2 x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x×4
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Ve şimdilik, üye 19'u olduğu gibi yeniden yazıyoruz:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19
Şimdi elde ettiğimiz polinomun (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 orijinal üç terimli ile aynı değil 4x 2 + 16x+ 19 . Polinomu getirerek bunu doğrulayabilirsiniz. (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 standart görünüme:
(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19
bir polinom elde ettiğimizi görüyoruz. 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 ama çıkmalıydı 4x 2 + 16x+ 19 . Bunun nedeni, 4 2 teriminin, üç terimden tam bir kare düzenlemek için orijinal üç terime yapay olarak eklenmesidir. 4x 2 + 16x+ 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
şimdi ifade (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 daraltılabilir, yani formda yazılabilir ( a+b) 2. Bizim durumumuzda, ifadeyi alırız (2 x+ 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Kalan terimler -4 2 ve 19 eklenebilir. -4 2, -16'dır, dolayısıyla -16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3
Anlamına geliyor, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3
Örnek 2. Bir kare üç terimliden tam bir kare seçin x 2 + 2x+ 2
İlk olarak, formun bir ifadesini oluşturuyoruz a 2 + 2 ab+b 2. Değişkenin rolü a bu durumda x oynar çünkü x 2 = x 2 .
Orijinal üç terimli 2'nin bir sonraki terimi x ilk ifadenin çift çarpımı şeklinde yeniden yazın (bu bizim x) ve ikinci ifade B(1 olacak).
2× x× 1 = 2 x
Eğer B= 1 , o zaman ifade tam kare olacaktır x 2 + 2x+ 1 2 .
Şimdi orijinal kare üç terimliye geri dönelim ve içine tam bir kare yerleştirelim. x 2 + 2x+ 1 2
x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1
Bir önceki örnekte olduğu gibi, üye B(bu örnekte, 1'dir), orijinal üç terimin değerini korumak için eklemeden hemen sonra çıkarıldı.
Aşağıdaki sayısal ifadeyi göz önünde bulundurun:
9 + 6 + 2
Bu ifadenin değeri 17'dir.
9 + 6 + 2 = 17
Bu sayısal ifadede bir tam kare seçmeye çalışalım. Bunu yapmak için önce formun bir ifadesini oluşturuyoruz. a 2 + 2ab+ B 2 . Değişkenin rolü a bu durumda 3 sayısı oynar, çünkü 9 + 6 + 2 ifadesinin ilk terimi, yani 9, 3 2 olarak gösterilebilir.
İkinci terim 6'yı birinci terim 3 ile ikinci terimin 1 çift çarpımı olarak temsil ediyoruz.
2 x 3 x 1 = 6
bu bir değişken B bire eşit olacaktır. O zaman 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 ifadesi tam kare olacaktır. Bunu orijinal ifadede uygulayalım:
− 1 2 + 2
Tam kareyi daraltırız ve -1 2 ve 2 terimlerini ekleriz:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Sonuç (3 + 1) 2 + 2 , bu da hala 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Diyelim ki elimizde bir kare ve iki dikdörtgen var. Kenarları 3 cm olan kare, kenarları 2 cm ve 3 cm olan dikdörtgen ve kenarları 1 cm ve 2 cm olan dikdörtgen
Her şeklin alanını hesaplayın. Karenin alanı 3 2 = 9 cm 2, pembe dikdörtgenin alanı 2 × 3 = 6 cm 2 olacak, leylak olanın alanı 1 × 2 = 2 cm olacak. 2
Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamını yazın:
9 + 6 + 2
Bu ifade, bir kare ve iki dikdörtgenin tek bir şekilde birleşimi olarak anlaşılabilir:
Daha sonra alanı 17 cm2 olan bir rakam elde edilir. Gerçekten de, sunulan şekil 1 cm kenarlı 17 kare içermektedir.
Mevcut şekilden bir kare oluşturmaya çalışalım. Ve mümkün olan en büyük kare. Bunu yapmak için pembe ve leylak dikdörtgenden parçalar kullanacağız.
Mevcut şekilden mümkün olan en büyük kareyi oluşturmak için sarı kareyi değiştirmeden bırakabilir ve pembe dikdörtgenin yarısını sarı karenin altına yapıştırabilirsiniz:
Tam bir kare oluşmadan önce bir santimetre karenin daha eksik olduğunu görüyoruz. Leylak dikdörtgenden alabiliriz. O halde leylak dikdörtgenden bir kare alıp oluşan büyük kareye ekleyelim:
Şimdi geldiğimiz noktaya daha yakından bakalım. Yani, şeklin sarı kısmında ve önceki sarı kareyi esasen arttıran pembe kısımda. Bu, karenin 3 cm'ye eşit bir kenarı olduğu ve bu kenar 1 cm artırıldığı ve sonuçta alanda bir artışa neden olduğu anlamına gelmiyor mu?
(3 + 1) 2
(3 + 1) 2 ifadesi 16'dır çünkü 3 + 1 = 4 ve 4 2 = 16 . Aynı sonuç, iki ifadenin toplamının karesi formülü kullanılarak da elde edilebilir:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Gerçekten de, elde edilen kare 16 kare içerir.
Lila dikdörtgenden kalan bir kare, ortaya çıkan büyük kareye eklenebilir. Sonuçta, başlangıçta tek bir rakamla ilgiliydi:
(3 + 1) 2 + 1
Mevcut bir büyük kareye küçük bir kare eklemek, (3 + 1) 2 + 1 ifadesiyle açıklanır. Bu da 9 + 6 + 2 ifadesinden tam karenin seçimi.
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
(3 + 1) 2 + 1 ifadesi, 9 + 6 + 2 ifadesi gibi, 17'ye eşittir. Gerçekten de, ortaya çıkan şeklin alanı 17 cm2'dir.
Örnek 4. Kare üçlü terimden tam kare seçimini yapalım x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1
Bazı örneklerde, bir ifade oluştururken a 2 + 2ab+ B 2 değişkenlerin değerlerini hemen belirlemek mümkün değildir a Ve B .
Örneğin, bir kare üç terimliden tam kare çıkarma işlemini gerçekleştirelim. x 2 + 3x+ 2
değişken a karşılık gelir x. İkinci Üye 3 x birinci ifade ile ikinci ifadenin çift çarpımı olarak temsil edilemez. Bu durumda ikinci terim 2 ile çarpılmalı ve orijinal polinomun değerinin değişmemesi için hemen 2'ye bölünmelidir.
Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
kimlikler. İfadelerin kimlik dönüşümleri. 7. sınıf.
x=5 ve y=4'teki ifadelerin değerini bulun 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 x=6 ve y=5'teki ifadeler 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33
SONUÇ: Aynı sonucu aldık. Dağılım özelliğinden, genel olarak, değişkenlerin herhangi bir değeri için, 3(x + y) ve 3x + 3y ifadelerinin değerlerinin eşit olduğunu takip eder. 3(x+y) = 3x+3y
Şimdi 2x + y ve 2xy ifadelerini düşünün. x=1 ve y=2 için eşit değerler alırlar: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 x=3 için y=4 ifade değerleri farklıdır 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24
SONUÇ: 3(x+y) ve 3x+3y ifadeleri özdeştir, ancak 2x+y ve 2xy ifadeleri aynı şekilde eşit değildir. Tanım: Değişkenlerin herhangi bir değeri için değerleri eşit olan iki ifadenin aynı olduğu söylenir.
KİMLİK 3(x+y) ve 3x+3y eşitliği, x ve y'nin tüm değerleri için geçerlidir. Bu tür eşitliklere kimlik denir. Tanım: Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan bir eşitliğe kimlik denir. Gerçek sayısal eşitlikler de özdeşlik olarak kabul edilir. Biz zaten kimliklerle tanıştık.
Kimlikler, sayılar üzerindeki eylemlerin temel özelliklerini ifade eden eşitliklerdir. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Diğer kimlik örnekleri verilebilir: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Bir ifadenin, kendisine eşit başka bir ifadeyle değiştirilmesine kimlik dönüşümü veya basitçe ifade dönüşümü denir.
Benzer terimleri getirmek için katsayılarını toplamanız ve sonucu ortak harf kısmı ile çarpmanız gerekir. Örnek 1. Benzer terimler veriyoruz 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x
Parantezlerin önünde artı işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılabilir. Örnek 2. 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c ifadesindeki parantezleri genişletin
Parantezlerden önce eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti değiştirilerek parantezler çıkarılabilir. Örnek 3. a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c ifadesindeki parantezleri açalım
Ödev: s. 5, No. 91, 97, 99 Ders için teşekkürler!
Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar
"İfadeler ve ifadelerin dönüştürülmesi" bölümünde öğrencileri sınava hazırlama yöntemleri
Bu proje, öğrencileri 9. sınıftaki devlet sınavlarına ve daha sonra 11. sınıftaki birleşik devlet sınavına hazırlamak amacıyla geliştirilmiştir...
Yükleniyor...