Tek terimli açıklamanın standart biçimi. Tek terimli tanımı: ilgili kavramlar, örnekler

Bu derste, tek terimlinin katı bir tanımını vereceğiz, ders kitabından çeşitli örnekleri ele alacağız. Güçleri aynı tabanla çarpma kurallarını hatırlayın. Bir tek terimlinin standart biçiminin, bir tek terimlinin katsayısının ve onun gerçek kısmının bir tanımını verelim. Monomiyaller üzerinde iki temel tipik işlemi ele alalım, yani standart bir forma indirgeme ve içerdiği değişmez değişkenlerin verilen değerleri için bir monomialin belirli bir sayısal değerinin hesaplanması. Monomiali standart forma indirgemek için kuralı formüle edelim. Herhangi bir tek terimli ile tipik problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

Başlık:monomiyaller. Tek terimlilerde aritmetik işlemler

Ders:Tek terimli kavramı. Bir monomiyalin standart formu

Bazı örnekleri düşünün:

3. ;

Verilen ifadelerin ortak özelliklerini bulalım. Her üç durumda da ifade, bir güce yükseltilmiş sayıların ve değişkenlerin ürünüdür. Buna dayanarak verdiğimiz tek terimli tanımı : bir tek terimli, kuvvetlerin ve sayıların bir ürününden oluşan cebirsel bir ifadedir.

Şimdi tek terimli olmayan ifadelere örnekler veriyoruz:

Bu ifadeler ile öncekiler arasındaki farkı bulalım. Örnek 4-7'de toplama, çıkarma veya bölme işlemleri varken, tek terimli olan 1-3. örneklerde bu işlemler yoktur.

İşte birkaç örnek daha:

8 numaralı ifade bir tek terimdir, çünkü bir kuvvet ve bir sayının çarpımıdır, örnek 9 ise bir tek terim değildir.

şimdi öğrenelim monomials üzerinde eylemler .

1. Basitleştirme. 3 numaralı örneği düşünün ;ve örnek #2 /

İkinci örnekte, yalnızca bir katsayı görüyoruz - her değişken yalnızca bir kez gerçekleşir, yani " değişkeni " fakat” tek bir örnekte “” olarak temsil edilir, benzer şekilde “” ve “” değişkenleri yalnızca bir kez oluşur.

3 numaralı örnekte, tam tersine, iki farklı katsayı vardır - ve "" değişkenini iki kez - "" ve "" olarak görüyoruz, benzer şekilde "" değişkeni iki kez ortaya çıkıyor. Yani, bu ifade sadeleştirilmelidir, dolayısıyla şu sonuca varıyoruz: monomialler üzerinde gerçekleştirilen ilk eylem, monomiali standart forma getirmektir. . Bunu yapmak için, Örnek 3'teki ifadeyi standart forma getiriyoruz, sonra bu işlemi tanımlıyoruz ve herhangi bir monomiali standart forma nasıl getireceğimizi öğreniyoruz.

Öyleyse bir örnek düşünün:

Standardizasyon işlemindeki ilk adım her zaman tüm sayısal faktörleri çarpmaktır:

;

Bu eylemin sonucu çağrılacak tek terimli katsayı .

Ardından, dereceleri çarpmanız gerekir. Değişkenin derecelerini çarpıyoruz " x”Çarpıldığında, üslerin toplandığını belirten, aynı tabana sahip kuvvetleri çarpma kuralına göre:

Şimdi güçleri çarpalım de»:

;

İşte basitleştirilmiş bir ifade:

;

Herhangi bir monomial standart forma indirgenebilir. formüle edelim standardizasyon kuralı :

Tüm sayısal faktörleri çarpın;

Ortaya çıkan katsayıyı ilk sıraya koyun;

Tüm dereceleri çarpın, yani harf kısmını alın;

Yani, herhangi bir tek terimli, bir katsayı ve bir harf kısmı ile karakterize edilir. İleriye baktığımızda, aynı harf parçasına sahip tek terimlilerin benzer olarak adlandırıldığını not ediyoruz.

Şimdi kazanman gerekiyor tek terimlileri standart forma indirgeme tekniği . Ders kitabından örnekler düşünün:

Görev: monomiali standart forma getirin, katsayıyı ve harf kısmını adlandırın.

Görevi tamamlamak için, monomiali standart forma getirme kuralını ve derecelerin özelliklerini kullanırız.

1. ;

3. ;

İlk örnek için yorumlar: Öncelikle, bu ifadenin gerçekten bir tek terimli olup olmadığını belirleyelim, bunun için sayıların ve kuvvetlerin çarpma işlemlerini içerip içermediğini ve toplama, çıkarma veya bölme işlemlerini içerip içermediğini kontrol edelim. Yukarıdaki koşul sağlandığı için bu ifadenin tek terimli olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca, monomiali standart forma getirme kuralına göre, sayısal faktörleri çarpıyoruz:

- verilen tek terimlinin katsayısını bulduk;

; ; ; yani, ifadenin gerçek kısmı alınır:;

cevabı yazın: ;

İkinci örnek hakkında yorumlar: Kuralı izleyerek şunları uygularız:

1) sayısal faktörleri çarpın:

2) güçleri çarpın:

Değişkenler ve tek bir kopya halinde sunulurlar, yani hiçbir şeyle çarpılamazlar, değiştirilmeden yeniden yazılırlar, derece çarpılır:

cevabı yazın:

;

Bu örnekte, tek terimli katsayı bire eşittir ve değişmez kısım .

Üçüncü örnekle ilgili yorumlar: aönceki örneklere benzer şekilde, aşağıdaki eylemleri gerçekleştiririz:

1) sayısal faktörleri çarpın:

;

2) güçleri çarpın:

;

cevabı yazın: ;

Bu durumda, tek terimlinin katsayısı "" eşittir ve değişmez kısım .

Şimdi düşünün tek terimlilerde ikinci standart işlem . Tek terimli, belirli sayısal değerler alabilen değişmez değişkenlerden oluşan cebirsel bir ifade olduğundan, hesaplanması gereken bir aritmetik sayısal ifademiz var. Yani, polinomlar üzerinde aşağıdaki işlem belirli sayısal değerlerinin hesaplanması .

Bir örnek düşünün. Tek terimli verilir:

bu tek terimli zaten standart forma indirgenmiştir, katsayısı bire eşittir ve değişmez kısım

Daha önce cebirsel bir ifadenin her zaman hesaplanamayacağını, yani ona giren değişkenlerin herhangi bir değer almayabileceğini söylemiştik. Tek terimli olması durumunda, içerdiği değişkenler herhangi biri olabilir, bu tek terimlinin bir özelliğidir.

Dolayısıyla verilen örnekte, , , , için tek terimlinin değerini hesaplamak gerekiyor.

Bir monomiyalin derecesi

Bir monomial için derecesi kavramı vardır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Bir monomiyalin derecesi standart form, kaydında yer alan tüm değişkenlerin üslerinin toplamıdır; tek terimli girişte değişken yoksa ve sıfırdan farklıysa, derecesi sıfır olarak kabul edilir; sıfır sayısı, derecesi tanımlanmamış bir tek terimli olarak kabul edilir.

Bir tek terimlinin derecesinin tanımı, örnekler vermemizi sağlar. a, 1 olduğundan, tek terimli a'nın derecesi bire eşittir. Tek terimli 5'in derecesi sıfırdır, çünkü sıfır değildir ve gösterimi değişken içermez. Ve 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 çarpımı, tüm a, x ve y değişkenlerinin üslerinin toplamı 2+1+3+2=8 olduğundan, sekizinci dereceden bir tek terimlidir.

Bu arada, standart biçimde yazılmayan bir tek terimlinin derecesi, karşılık gelen standart biçimli tek terimlinin derecesine eşittir. Söylenenleri açıklamak için, tek terimlinin derecesini hesaplıyoruz. 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Standart formdaki bu tek terimli −6·x 8 ·y 4 biçimindedir, derecesi 8+4=12'dir. Böylece, orijinal tek terimlinin derecesi 12'dir.

tek terimli katsayısı

Notasyonunda en az bir değişkene sahip standart formdaki bir monomial, tek bir sayısal faktöre sahip bir üründür - sayısal bir katsayı. Bu katsayıya monomiyal katsayı denir. Yukarıdaki akıl yürütmeyi bir tanım şeklinde formüle edelim.

Tanım.

tek terimli katsayısı standart biçimde yazılmış tek terimlinin sayısal faktörüdür.

Şimdi çeşitli tek terimlilerin katsayılarına örnekler verebiliriz. 5 sayısı tanım gereği tek terimli 5 a 3'ün katsayısıdır, benzer şekilde tek terimli (−2.3) x y z de −2.3 katsayısına sahiptir.

1 ve -1'e eşit tek terimlilerin katsayıları özel ilgiyi hak ediyor. Buradaki nokta, genellikle kayıtta açıkça bulunmamalarıdır. Kayıtlarında sayısal bir faktöre sahip olmayan standart formdaki tek terimlilerin katsayısının bire eşit olduğuna inanılmaktadır. Örneğin, tek terimli a , x z 3 , a t x , vb. katsayı 1'e sahiptir, çünkü a, 1 a, x z 3, 1 x z 3 olarak kabul edilebilir, vb.

Benzer şekilde, standart formdaki girişleri sayısal bir faktöre sahip olmayan ve eksi işaretiyle başlayan tek terimlilerin katsayısı eksi bir olarak kabul edilir. Örneğin, −x , −x 3 y z 3, vb. tek terimlileri. −x=(−1) x olduğundan, −1 katsayısına sahiptir, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 vb.

Bu arada, bir tek terimlinin katsayısı kavramına genellikle standart formun tek terimlileri denir, bunlar harf faktörü olmayan sayılardır. Bu tür tek terimli sayıların katsayıları bu sayılar olarak kabul edilir. Bu nedenle, örneğin, tek terimli 7'nin katsayısı 7'ye eşit kabul edilir.

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - E.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Tek terimler, bir okul cebir dersinin parçası olarak incelenen ana ifade türlerinden biridir. Bu materyalde, size bu ifadelerin ne olduğunu anlatacağız, standart formlarını tanımlayacağız ve örnekler göstereceğiz, ayrıca bir tek terimlinin derecesi ve katsayısı gibi ilgili kavramlarla ilgileneceğiz.

tek terimli nedir

Okul ders kitapları genellikle bu kavramın aşağıdaki tanımını verir:

tanım 1

Monomerler şunları içerir: sayılar, değişkenler ve bunların doğal bir gösterge ile dereceleri ve bunlardan oluşan farklı ürün türleri.

Bu tanımdan yola çıkarak bu tür ifadelere örnekler verebiliriz. Böylece, 2 , 8 , 3004, 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 tüm sayıları tek terimlileri ifade edecektir. Tüm değişkenler, örneğin, x , a , b , p , q , t , y , z de tanım gereği tek terimli olacaktır. Bu aynı zamanda değişkenlerin ve sayıların güçlerini de içerir, örneğin, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 ve 15, 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z vb. gibi ifadeler. Lütfen bir tek terimlinin bir sayı veya değişken veya birkaç tane içerebileceğini ve bunlardan bir polinomun parçası olarak birkaç kez bahsedilebileceğini unutmayın.

Tamsayılar, rasyoneller, doğal sayılar gibi sayı türleri de tek terimlilere aittir. Gerçek ve karmaşık sayıları da buraya ekleyebilirsiniz. Yani 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 gibi ifadeler de tek terimli olacaktır.

Bir tek terimlinin standart biçimi nedir ve bir ifadenin ona nasıl dönüştürüleceği

Çalışmanın rahatlığı için, tüm monomialler önce standart olarak adlandırılan özel bir forma indirgenir. Bunun ne anlama geldiği konusunda spesifik olalım.

tanım 2

Tek terimlinin standart formu buna, sayısal bir faktörün ve farklı değişkenlerin doğal güçlerinin ürünü olduğu bir form diyorlar. Tek terimli katsayı olarak da adlandırılan sayısal faktör, genellikle ilk önce sol taraftan yazılır.

Anlaşılır olması için, standart formda birkaç tek terimliyi seçiyoruz: 6 (bu değişkensiz bir tek terimdir), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Bu aynı zamanda ifadeyi de içerir. x y(burada katsayı 1'e eşit olacaktır), - x 3(burada katsayı - 1).

Şimdi standart forma getirilmesi gereken tek terimlilere örnekler veriyoruz: 4 bir 2 bir 3(burada aynı değişkenleri birleştirmeniz gerekir), 5 x (− 1) 3 y 2(burada soldaki sayısal faktörleri birleştirmeniz gerekir).

Genellikle, bir tek terimlinin harflerle yazılmış birkaç değişkeni olması durumunda, harf faktörleri alfabetik sırayla yazılır. Örneğin, tercih edilen giriş 6 a b 4 c z 2, nasıl b 4 6 bir z 2 c. Ancak, hesaplamanın amacı gerektiriyorsa sıralama farklı olabilir.

Herhangi bir monomial standart forma indirgenebilir. Bunu yapmak için, gerekli tüm özdeş dönüşümleri gerçekleştirmeniz gerekir.

Bir monomial derecesi kavramı

Bir monomial derecesinin eşlik eden kavramı çok önemlidir. Bu kavramın tanımını yazalım.

tanım 3

Bir monomiyalin derecesi, standart biçimde yazılmış, kaydında yer alan tüm değişkenlerin üslerinin toplamıdır. İçinde tek bir değişken yoksa ve tek terimin kendisi 0'dan farklıysa, derecesi sıfır olacaktır.

Tek terimlinin derecelerine örnekler verelim.

örnek 1

Yani, tek terimli a'nın derecesi 1'dir çünkü a = a 1 . Bir tek terimli 7'ye sahipsek, değişkeni olmadığı ve 0'dan farklı olduğu için sıfır dereceye sahip olacaktır. Ve işte giriş 7 a 2 x y 3 bir 2 8. dereceden bir tek terimli olacaktır, çünkü içerdiği değişkenlerin tüm derecelerinin üslerinin toplamı 8'e eşit olacaktır: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standartlaştırılmış tek terimli ve orijinal polinom aynı dereceye sahip olacaktır.

Örnek 2

Bir monomiyalin derecesinin nasıl hesaplanacağını gösterelim 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Standart formda şu şekilde yazılabilir: − 6 x 8 y 4. Dereceyi hesaplıyoruz: 8 + 4 = 12 . Bu nedenle, orijinal polinomun derecesi de 12'ye eşittir.

Tek terimli katsayı kavramı

En az bir değişken içeren standartlaştırılmış bir monomialimiz varsa, bundan tek sayısal faktörlü bir ürün olarak bahsederiz. Bu faktöre sayısal katsayı veya tek terimli katsayı denir. Tanımını yazalım.

tanım 4

Bir tek terimlinin katsayısına, standart biçime indirgenmiş bir tek terimlinin sayısal faktörü denir.

Örneğin, çeşitli tek terimlilerin katsayılarını alalım.

Örnek 3

Yani, ifadede 8 bir 3 katsayı 8 sayısı olacak ve (− 2 , 3) ​​​​x y z yapacaklar − 2 , 3 .

Bir ve eksi bire eşit katsayılara özellikle dikkat edilmelidir. Kural olarak, açıkça belirtilmezler. Sayısal faktörün bulunmadığı standart formun bir monomialinde, örneğin a, x z 3, a t x ifadelerinde katsayının 1 olduğuna inanılmaktadır, çünkü bunlar 1 a, x z 3 - olarak kabul edilebilirler. nasıl 1 x z3 vb.

Benzer şekilde, sayısal bir faktörü olmayan ve eksi işaretiyle başlayan tek terimlilerde - 1 katsayısını düşünebiliriz.

Örnek 4

Örneğin, − x, − x 3 y z 3 ifadeleri, − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 vb. olarak gösterilebildiklerinden böyle bir katsayıya sahip olacaktır.

Bir tek terimlinin tek bir gerçek faktörü yoksa, bu durumda da bir katsayıdan bahsetmek mümkündür. Bu tür tek terimli sayıların katsayıları bu sayıların kendileri olacaktır. Yani, örneğin, tek terimli 9'un katsayısı 9'a eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.