Uygunsuz integrallerin yakınsaklığı ve diverjansı. uygun olmayan integraller

Yakınsama için uygun olmayan integralleri inceleme örnekleri

örnek 1
.

Böylece, bu integral a> 1 için yakınsar ve 1 sterlin için uzaklaşır.

Örnek 2 Yakınsama için araştırın. İntegrali tanım gereği hesaplıyoruz:
.

Böylece, bu integral bir<1 и расходится при a³1.

Örnek 3 Yakınsama için araştırma yapın .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Eşdeğer bir fonksiyon kullanarak (n> 0'dan beri) ilk integral I1'in yakınsamasını araştırıyoruz ve integral m> -1 için yakınsamaktadır (örnek 2). Benzer şekilde, I2 integrali için:

m + n için integral yakınsar<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 ve m + n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Örnek 4 Yakınsama için araştırın.

İntegrant sonsuz büyük olabilir (eğer m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

x®0 için arctgx »x olduğundan, I1 integrali m + 1> -1, yani m> -2 için yakınsayan integrale eşdeğerdir (örnek 1).

Birinci tür I2'nin uygun olmayan integralindeki integral için bir eşdeğer seçiyoruz:

arctgx'ten beri »p / 2 for x® ¥. Bu nedenle, ikinci karşılaştırma kriterine göre, I2 integrali m + n için yakınsayacaktır.<-1, и расходится в противном случае.

I1 ve I2 integrallerinin yakınsaklığı için koşulları birleştirerek, orijinal integralin yakınsaklığı için koşulları elde ederiz: m> -2 ve m + n<-1 одновременно.

Yorum Yap.Örnek 2-4'te, yakınsama için gerekli ve yeterli koşulları sağlayan, parametrelerin değerleri üzerinde belirli bir koşul altında yakınsama kurmuş, integralin diverjansını kanıtlamamasına izin veren 2 karşılaştırma kriteri kullanılmıştır. elde edilen yakınsama koşulları ihlal edilmiştir.

Örnek 5 Yakınsama için araştırın.

Bu integral, integralin p için sonsuza gidebileceği tekil bir 0 noktası içerir.<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

I1 integrali ikinci türden uygun olmayan bir integraldir ve integral x®0 için xp (x®0 için e-x ®1) fonksiyonuna eşdeğerdir, yani I1 p> -1 için yakınsar (Örnek 1).

I2 integrali, birinci türden uygun olmayan bir integraldir. Üstel bir fonksiyon içermemesi için integrale eşdeğer bir fonksiyon bulmak mümkün değildir. Bu nedenle, önceki örneklerde olduğu gibi karşılaştırma özelliği 2'yi kullanamazsınız. Aşağıdaki iyi bilinen gerçeği kullandığımız ilk karşılaştırma kriterini uygulayalım:

a> 0 ve herhangi bir p için. Bundan ve xpe-ax fonksiyonunun sürekli olması gerçeğinden, bu fonksiyonun sınırlı olduğu sonucu çıkar, yani xpe-ax olacak şekilde bir M> 0 sabiti vardır.< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Yani, integral I2 herhangi bir p için yakınsar.

Böylece, orijinal integral p> -1 için yakınsar.

Örnek 6 Yakınsama için araştırın.

Değişkeni değiştirelim: t = lnx ve

İntegral, Örnek 5'teki gibi ikiye bölünmüştür. I1 integrali, Örnek 5'teki I1 integraline tamamen eşdeğerdir ve bu nedenle, q için yakınsar.<1.

I2 integralini düşünün. Sağlanan 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения ve a = (1-p) / 2.).

Böylece, I2 p>1 için yakınsar. Bununla birlikte, kullanılan yakınsama kriteri yakınsama için sadece yeterli koşulları verdiğinden, bu integralin yakınsaklığı çalışmasının sonu değildir. Bu nedenle, 1-p £ 0 için yakınsamayı incelemek gerekir.

p=1 durumunu ele alalım. O zaman I2 integrali eşdeğerdir, bu q> 1 için yakınsar (bu durumda I1 integralinin ıraksadığına dikkat edin) ve aksi halde ıraksar.

P için<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что 1-p> 0 için ve bu nedenle, bazı A> 1'den başlayarak, T- QE(1- P) T³ M = sabit> 0. O zaman integral I2 tahmini karşılar

,

Sağ taraftaki integralin ayrıldığı yer, bu da integral I2'nin diverjansını kanıtlıyor.

Elde edilen sonuçları özetlersek, orijinal integralin q için yakınsadığını buluruz.<1 и p>1, aksi takdirde integral ıraksar.

Örnek 6 Mutlak ve koşullu yakınsama için araştırma yapın.

Orijinal integrali ikiye bölelim:

.

yakınsama. I1 integrali şuna eşittir: , yani, p için yakınsar<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Ters türev sin (x) sınırlı olduğundan ve x sonsuza eğiliminde olduğu için 1 / xp fonksiyonu monoton olarak sıfıra eğilimli olduğundan, I2 integrali p> 0 için Dirichlet-Abel kriteri civarında yakınsar.

p £ 0 için integralin ıraksadığını gösterelim. Bunun için Cauchy kriterini veya daha doğrusu onun olumsuzluğunu kullanırız.

.

Aşağıdaki miktarları R1 ve R2 olarak alıyoruz: R1 = 2pk ve R2 = 2pk + p/2, sonra

, p> 0 için.

Böylece, integral 0'da yakınsar

mutlak yakınsama I1 integralinin mutlak yakınsaması zaten belirlenmiştir; I2'nin mutlak yakınsamasını düşünün. İntegrali yukarıdan tahmin edelim:

, yani, integral p> 1 için yakınsar.

p £ 1 için sapmayı kanıtlamak için, integrali aşağıdan tahmin ediyoruz

.

Fonksiyonlar farkının son integralini integrallerin farkına böldük

.

Her iki integral de yakınsarsa, farkın integrali de yakınsar, eğer integrallerden biri uzaklaşır ve diğeri yakınsarsa, farkın integrali uzaklaşır. Her iki integralin diverjansı durumunda, farkın integralinin yakınsaması daha fazla çalışmaya tabidir. Açıklanan vakaların ikincisi ile ilgileniyoruz.

p'de sapmalar (örnek 1)<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p> 0 (bkz. Yakınsama), bu nedenle integral aşağıdan ıraksayan bir integral ile tahmin edilir, yani ıraksa.

Parametrenin bu değerleri için integral ayrıldığından p³1 durumuyla ilgilenmiyoruz.

Böylece, orijinal integral kesinlikle 0'da yakınsar.

Teorem 12.11 (yanlış integralleri karşılaştırma testi). f (x) ve g (x) fonksiyonları [a, α>) aralığında sürekli olsun ve üzerindeki 0 sabiti)? (X) koşulunu sağlasın. Sonra integralin yakınsaklığından

integralin yakınsamasını takip eder

ve tam tersi, integralin (12.63) diverjansı, integralin (12.64) diverjansından kaynaklanır.

Kanıt. Notasyonu tanıtalım:

İşlev P (K) azalmaz; gerçekten, eğer ve Z 2, ardından

J düzeltmek) dx> 0 ve ardından

Bir dizi değer alalım (/? „) ->“>; daha sonra fonksiyonun karşılık gelen değer dizisi (F(Rn)) monotondur ve azalmaz. İntegralin (12.63) yakınsamasına izin verin, ardından dizi (67 ( r o)) sınırlıdır; ama sonra dizi de sınırlıdır (F(/? „))) Ve dolayısıyla Teorem 7.13 sayesinde yakınsar. Bu nedenle, bir sınır var F (R) NS r- + «>, yani integral (12.64) yakınsaktır.

Şimdi teoremin ikinci kısmını ispatlıyoruz; integralin (12.64) ıraksamasına izin verin. İntegralin (12.63) yakınsadığını varsayarsak, o zaman yukarıda kanıtlananla, bu koşulla çelişen integral (12.64) de yakınsamalıdır. Teorem ispatlandı. ?

Yorum Yap. Benzer bir karşılaştırma kriteri, ikinci türden uygunsuz integraller için de geçerlidir. f(x) fonksiyonları ve G (NS) yarı aralıkta sürekli [a> b) ve tekil noktanın bazı komşuluklarındaki tüm noktalar için B Tamamlandı

koşullar 0 (x), daha sonra Jg (x) dx integralinin yakınsaklığından şunu çıkar:

J / (x) dx integralinden ve J / (x) dx integralinin diverjansından,

integral Jg (x) dx.

Uygun olmayan integrallerin yakınsaklığını araştırma örneklerini ele alalım.

Örnek 27. T. ^ -.

X 3 (1 + e L)

Çözüm. Bu integraldeki integrali fonksiyonla karşılaştıralım.

Dg. Açıktır ki -r- -

NS r * (1 + 0 x J

tane J-jdx yakınsar; bu nedenle, karşılaştırma kriteri sayesinde, verilen NS

integral.

Örnek 28. I-.

Çözüm. Bu integralin integralini 1 / x fonksiyonuyla karşılaştırarak,

1 aralığında (1 + In x) / x> 1 / x olduğunu görüyoruz

Dolayısıyla bu integral karşılaştırma kriterine göre de farklılık göstermektedir.

Sonuç olarak, birinci türden uygun olmayan bir integralin yakınsaması için Cauchy kriterini kanıtsız olarak veriyoruz.

12.10.4. Uygunsuz integrallerin mutlak ve koşullu yakınsaklığı

Tanım 5. Uygun olmayan bir integrale J/(x)dx denir kesinlikle

yakınsak eğer J | / (x) | dx integrali yakınsarsa.

Tanım 6. Uygun olmayan bir integral J/(x)dx'e denir koşullu olarak benzer

ölme yakınsarsa ve J | / (x) | dx integrali uzaklaşırsa.

İntegralin mutlak yakınsaklığının, belirli integralin tahmini 3 ve Cauchy kriteri sayesinde yakınsamasını ifade ettiğine dikkat edin.

Teorem 12.13 (Dirichlet - Abel testi *). f(x) fonksiyonunun sürekli olmasına ve sınırlı bir ters türevine sahip olmasına izin verin. F(x) [a, α>) aralığında ve g(x) fonksiyonunun bu aralıkta sürekli türevi vardır, x -> © o olarak artmaz ve sıfıra yönelir. Daha sonra uygunsuz integral

yakınsar.

Kanıt. J / (x) g (x) dx integraline parçalara göre entegrasyon uyguluyoruz

keyfi bir segmentte RR" ile birlikte [ a, °°). Sahibiz:

Teorem 12.12. Uygun olmayan integralin (12.64) yakınsak olması için, herhangi bir ε> 0 için böyle bir sayının bulunması gerekli ve yeterlidir. A> 0, herhangi biri için R " ve /? "daha büyük A, eşitsizlik:

Teoremin hipotezi ile (x) sınırlı, yani |F(x) | K. g (x) fonksiyonu artmaz ve x - »«> olarak sıfıra yönelir, dolayısıyla. g (x)> 0, bir g "(x)

Abel Niels Henrik (1802-1829) - Norveçli matematikçi.

Teoremin hipotezi ile, g (x) - »0 olarak x -> © ° olduğundan, keyfi bir e> 0 sayısı için sayı bulunabilir bir>öyle ki için R "> L eşitsizlik g (R ") Bunu tahminde (12.68) değiştirerek, şunu elde ederiz:

bu, integralin (12.66) yakınsaması için Cauchy kriterine karşılık gelir. Teorem ispatlandı. ?

Uygun olmayan integrallerin yakınsaklığı için Dirichlet - Abel kriterini kullanma örneklerini ele alalım.

Örnek 29. f ^^ dx, a> 0.

Çözüm. f (x) = günah x koyarız, g (x)= l / x "; teoremin tüm koşullarının sağlandığını, yani bu integralin yakınsadığını doğrulamak kolaydır. a> 1 için bu integral

ral kesinlikle yakınsar. Gerçekten, | günah x / xP 1 / d L, integral J (l / x e) dx

yakınsar, yani karşılaştırma kriterine göre (Teorem 12.11), verilen integral de mutlak yakınsaktır.

Örnek 30. Jsin х 2 dx - Fresnel integrali, о

Çözüm. Bu integrali bir toplam olarak temsil ediyoruz:

sin x 2 (0, 1J, (12.69)'daki ilk integral var) aralığında sürekli bir fonksiyon olduğu için (12.69)'un sağ tarafındaki uygunsuz integralin yakınsaklığını netleştirmek için f (x) koyduk = x günah x 2, G(x) = 1 / x. Sonra f (x) fonksiyonu için ters türev (x) = -cosx2 /!| 1, «>) aralığında sınırlıdır ve # (x) pozitiftir, x -» oo olarak sıfıra eğilimlidir ve (1, © o) üzerinde sürekli türevi vardır. Dolayısıyla, Dirichlet - Abel kriterine göre, (12.69) 'deki ikinci integral yakınsar, yani. Fresnel integrali de yakınsar.

Bildiğiniz gibi, integrali bulmak oldukça zor bir iş olabilir. Uygun olmayan integrali hesaplamaya başlamak ve yolun sonunda ayrıldığını bulmak büyük bir hayal kırıklığı olurdu. Bu nedenle, bir tür fonksiyon için ciddi hesaplamalar yapmadan, uygunsuz bir integralin yakınsaması veya sapması hakkında bir sonuca varılmasına izin veren yöntemler ilgi çekicidir. Aşağıda ele alınacak olan birinci ve ikinci karşılaştırma teoremleri, uygunsuz yakınsaklık integrallerinin araştırılmasına büyük ölçüde yardımcı olur.

f(x) 0 olsun. Daha sonra fonksiyonlar

t veya -d değişkenlerinde monoton olarak artmaktadır (q> 0 aldığımız için, -d soldan sıfıra meyillidir). Artan argümanlarla, F 1 (t) ve F 2 (-e) fonksiyonları yukarıdan sınırlı kalırsa, bu karşılık gelen uygunsuz integrallerin yakınsadığı anlamına gelir. Bu, negatif olmayan fonksiyonların integralleri için ilk karşılaştırma teoreminin temelidir.

x? A'da f (x) ve g (x) fonksiyonu için aşağıdaki koşullar sağlansın:

• 1) 0? F (x)? G (x);
• 2) f (x) ve g (x) fonksiyonları süreklidir.

O zaman integralin yakınsaması, integralin yakınsamasını, integralin diverjansı ise uzaklaşmayı ifade eder.

0? F (x)? G (x) ve fonksiyonlar sürekli olduğundan,

Hipotez olarak, integral yakınsar, yani. sonlu bir değere sahiptir. Dolayısıyla integral de yakınsar.

Şimdi integralin uzaklaşmasına izin verin. İntegralin yakınsadığını varsayalım, ancak o zaman integralin yakınsaması gerekir, bu da koşulla çelişir. Varsayımımız yanlış, integral ayrılıyor.

İkinci türden uygun olmayan integraller için karşılaştırma teoremi.

Aralıktaki f (x) ve g (x) fonksiyonları için x> +0 için sınırsız artıralım. Bunun için x> +0 için eşitsizlik<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Birinci türden uygun olmayan integraller için karşılaştırma teoremi.

f(x) ve g(x) fonksiyonu aralıkta olsun ve integrasyon aralığı sonludur, yani sonsuz değil sayılarla sınırlıdır. Bazı görevler bu kısıtlamalardan vazgeçme ihtiyacına yol açar. Uygunsuz integraller bu şekilde ortaya çıkar.

Uygunsuz integralin geometrik anlamı oldukça basit bir şekilde ortaya çıkıyor. Fonksiyonun grafiğinin olduğu durumda y = F(x) eksenin üstünde Öküz, belirli integral, eğri tarafından sınırlanan eğri bir yamuğun alanını ifade eder. y = F(x) , apsis ve koordinatlar x = a , x = B... Buna karşılık, uygun olmayan integral, çizgiler arasında çevrelenmiş sınırsız (sonsuz) eğrisel bir yamuğun alanını ifade eder. y = F(x) (aşağıdaki resimde - kırmızı), x = a ve apsis.

Uygun olmayan integraller, diğer sonsuz aralıklar için benzer şekilde tanımlanır:

Sonsuz eğrisel bir yamuğun alanı sonlu bir sayı olabilir ve bu durumda uygun olmayan integrale yakınsak denir. Alan sonsuz olabilir ve bu durumda uygun olmayan integrale ıraksak denir.

Uygun olmayan integralin kendisi yerine integralin limitini kullanmak. Uygun olmayan integrali hesaplamak için belirli integralin limitini kullanmak gerekir. Bu sınır varsa ve sonluysa (sonsuza eşit değilse), o zaman uygun olmayan integrale yakınsak ve aksi halde ıraksak denir. Değişkenin limit işaretinin altında ne eğilim gösterdiği, birinci türden mi yoksa ikinci türden bir uygunsuz integralle mi uğraştığımıza bağlıdır. Bunu şimdi öğreneceğiz.

Birinci türden uygun olmayan integraller - sonsuz limitli ve yakınsaklıklı

Sonsuz üst limitli uygunsuz integraller

Bu nedenle, uygun olmayan integralin temsili, integralin üst sınırının sonsuz olması bakımından olağan belirli integralden farklıdır.

Tanım. Sürekli bir fonksiyonun integralinin sonsuz üst limiti olan uygunsuz integral F(x) arasında a önce ∞ integralin üst limiti ile bu fonksiyonun integralinin limiti B ve entegrasyon alt sınırı a entegrasyonun üst sınırının süresiz olarak artması şartıyla, yani

.

Bu sınır varsa ve sonsuz değil de bir sayıya eşitse, o zaman uygun olmayan bir integral yakınsak olarak adlandırılır, ve limitin eşit olduğu sayı değeri olarak alınır. Aksi halde uygun olmayan bir integrale ıraksak denir ve buna hiçbir önem atfedilmiyor.

Örnek 1. Uygun olmayan integrali hesaplayın(eğer yakınsarsa).

Çözüm. Uygunsuz integralin tanımına dayanarak, buluruz

Limit var olduğundan ve 1'e eşit olduğundan, bu uygun olmayan integral yakınsar ve 1'e eşittir.

Sonraki örnekte, integral, örnek 1'dekiyle hemen hemen aynıdır, yalnızca x'in derecesi iki değil, alfa harfidir ve sorun, yakınsama için uygun olmayan integrali incelemektir. Yani, soru cevaplanmaya devam ediyor: Bu uygunsuz integral hangi alfa değerlerinde birleşiyor ve hangi değerlerde ayrılıyor?

Örnek 2. Uygun olmayan integrali inceleyin(entegrasyonun alt sınırı sıfırdan büyüktür).

Çözüm. Önce varsayalım, sonra

Ortaya çıkan ifadede, limite geçiyoruz:

Sağ taraftaki limitin var olduğunu ve sıfıra eşit olduğunu görmek kolaydır, yani ve yokken, yani, yani.

İlk durumda, yani gerçekleşir. eğer, o zaman ve yok.

Çalışmamızın sonucu şu şekildedir: uygun olmayan integral yakınsar ve uzaklaşır NS .

Newton-Leibniz formülünün uygunsuz integralin çalışılan formuna uygulanması , buna çok benzeyen aşağıdaki formülü türetebilirsiniz:

.

Bu genelleştirilmiş Newton-Leibniz formülüdür.

Örnek 3. Uygun olmayan integrali hesaplayın(eğer yakınsarsa).

Bu integralin limiti mevcuttur:

Orijinal integrali ifade eden toplamı oluşturan ikinci integral:

Bu integralin limiti de mevcuttur:

.

İki sonsuz limitli orijinal uygunsuz integralin değeri olan iki integralin toplamını buluyoruz:

İkinci tür uygunsuz integraller - sınırsız fonksiyonların ve bunların yakınsaklığının

fonksiyon olsun F(x) segmentinde verilen a önce B ve üzerinde sınırsız. Bu noktada fonksiyonun sonsuza gittiğini varsayalım. B , segmentin diğer tüm noktalarında ise süreklidir.

Tanım. Fonksiyonun yanlış integrali F(x) gelen segmentte a önce B integralin üst limiti ile bu fonksiyonun integralinin limiti C eğer çabalarken C NS B fonksiyon süresiz olarak artar ve noktada x = B fonksiyon tanımlanmadı, yani

.

Bu sınır varsa, ikinci türün uygun olmayan integraline yakınsak, aksi halde ıraksak denir.

Newton-Leibniz formülünü kullanarak türetiyoruz.