Pisagor teoremi nedir. Pisagor teoremi: hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamıdır

Kare kökleri ve irrasyonel denklemleri (kökün işareti altında bilinmeyen içeren eşitlikler) nasıl çözeceğinizi ilk öğrenmeye başladığınızda, muhtemelen pratik kullanımı hakkında ilk fikri aldınız. Sayıların karekökünü çıkarma yeteneği, Pisagor teoreminin uygulanmasıyla ilgili problemleri çözmek için de gereklidir. Bu teorem, herhangi bir dik üçgenin kenar uzunlukları ile ilgilidir.

Bir dik üçgenin (dik açıda birleşen iki kenar) bacaklarının uzunlukları ve harfleriyle gösterilsin ve hipotenüsün uzunluğu (üçgenin dik açının karşısında bulunan en uzun kenarı) gösterilsin. mektupla. Daha sonra karşılık gelen uzunluklar aşağıdaki bağıntıyla ilişkilendirilir:

Bu denklem, diğer iki kenarının uzunluğunun bilinmesi durumunda bir dik üçgenin kenar uzunluğunu bulmanızı sağlar. Ayrıca, üç kenarın uzunluklarının önceden bilinmesi şartıyla, dikkate alınan üçgenin dik açılı olup olmadığını belirlemenizi sağlar.

Pisagor teoremini kullanarak problem çözme

Malzemeyi pekiştirmek için Pisagor teoreminin uygulanması için aşağıdaki problemleri çözeceğiz.

Yani verilen:

1. Bacaklardan birinin uzunluğu 48, hipotenüs 80'dir.
2. Bacağın uzunluğu 84, hipotenüs 91'dir.

Gelelim çözüme:

a) Verileri yukarıdaki denklemde yerine koymak aşağıdaki sonuçları verir:

48 2 + B 2 = 80 2

2304 + B 2 = 6400

B 2 = 4096

B= 64 veya B = -64

Bir üçgenin kenar uzunluğu negatif bir sayı olarak ifade edilemediğinden ikinci seçenek otomatik olarak atılır.

İlk resme cevap: B = 64.

b) İkinci üçgenin ayağının uzunluğu aynı şekilde bulunur:

84 2 + B 2 = 91 2

7056 + B 2 = 8281

B 2 = 1225

B= 35 veya B = -35

Önceki durumda olduğu gibi, negatif çözüm atılır.

İkinci resmin cevabı: B = 35

Bize verildi:

1. Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 45 ve 55, büyük kenarları 75'tir.
2. Üçgenin küçük kenar uzunlukları sırasıyla 28 ve 45, büyük kenar uzunlukları 53'tür.

Sorunu çözüyoruz:

a) Verilen bir üçgenin küçük kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamının, büyük olanın uzunluğunun karesine eşit olup olmadığını kontrol etmek gerekir:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Bu nedenle, ilk üçgen bir dik üçgen değildir.

b) Aynı işlem gerçekleştirilir:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Bu nedenle, ikinci üçgen bir dik üçgendir.

İlk olarak, (-2, -3) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalardan oluşan en büyük doğru parçasının uzunluğunu bulun. Bunu yapmak için, dikdörtgen bir koordinat sistemindeki noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için iyi bilinen formülü kullanırız:

Benzer şekilde, (-2, -3) ve (2, 1) koordinatlarına sahip noktalar arasındaki doğru parçasının uzunluğunu buluruz:

Son olarak, (2, 1) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalar arasındaki segmentin uzunluğunu belirleriz:

Eşitlik olduğu için:

o zaman karşılık gelen üçgen bir dik üçgendir.

Böylece sorunun cevabını formüle edebiliriz: En kısa kenarların karelerinin toplamı en uzun kenarın karesine eşit olduğundan, noktalar bir dik üçgenin köşeleridir.

Taban (kesinlikle yatay olarak yerleştirilmiş), pervaz (kesinlikle dikey olarak yerleştirilmiş) ve kablo (çapraz olarak gerilmiş) sırasıyla bir dik üçgen oluşturur, Pisagor teoremi kablonun uzunluğunu bulmak için kullanılabilir:

Böylece kablonun uzunluğu yaklaşık 3,6 metre olacaktır.

Verilen: R noktasından P noktasına (üçgenin ayağı) olan mesafe 24, R noktasından Q noktasına (hipotenüs) - 26'dır.

Bu yüzden Vitya'nın sorunu çözmesine yardım ediyoruz. Şekilde gösterilen üçgenin kenarlarının bir dik üçgen oluşturduğu varsayıldığından, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz:

Yani havuzun genişliği 10 metredir.

Sergey Valerievich

Pisagor, yaklaşık 2500 yıl önce (MÖ 564-473) yaşamış bir Yunan bilim adamıdır.

Kenarları olan bir dik üçgen verilsin fakat, B Ve itibaren(Şek. 267).

Kenarlarına kareler yapalım. Bu karelerin alanları sırasıyla fakat 2 , B 2 ve itibaren 2. bunu kanıtlayalım itibaren 2 = bir 2 +b 2 .

Her birinin kenarını ABC dik üçgeninin bacaklarının toplamına eşit bir doğru parçası alarak iki MKOR ve M'K'O'R' karesi oluşturalım (Şek. 268, 269).

Bu karelerde Şekil 268 ve 269'da gösterilen yapıları tamamladıktan sonra, MKOR karesinin alanları olan iki kareye ayrıldığını göreceğiz. fakat 2 ve B 2 ve her biri ABC dik üçgenine eşit olan dört eşit dik üçgen. M'K'O'R' karesi bir dörtgen (Şekil 269'da gölgelendirilmiştir) ve her biri aynı zamanda ABC üçgenine eşit olan dört dik üçgene bölünmüştür. Gölgeli dörtgen bir karedir, çünkü kenarları eşittir (her biri ABC üçgeninin hipotenüsüne eşittir, yani. itibaren) ve açılar ∠1 + ∠2 = 90° düz çizgilerdir, bu nedenle ∠3 = 90°).

Böylece, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamı (Şekil 268'de bu kareler gölgeli), dört eşit üçgenin alanları toplamı olmadan MKOR karesinin alanına eşittir ve ​​hipotenüs üzerine inşa edilen kare (Şekil 269'da bu kare de gölgelenmiştir) alanlarının toplamı olmadan M'K'O'R' karesinin alanına eşittir, MKOR karesine eşittir. dört benzer üçgen. Dolayısıyla bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanı, ayaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.

formülü alıyoruz itibaren 2 = bir 2 +b 2, nerede itibaren- hipotenüs, fakat Ve B- bir dik üçgenin bacakları.

Pisagor teoremi şu şekilde özetlenebilir:

Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

formülden itibaren 2 = bir 2 +b 2 aşağıdaki formülleri alabilirsiniz:

fakat 2 = itibaren 2 - B 2 ;

b2 = itibaren 2 - fakat 2 .

Bu formüller, iki kenarı verilen bir dik üçgenin bilinmeyen tarafını bulmak için kullanılabilir.

Örneğin:

a) bacaklar verilirse fakat= 4 cm, B\u003d 3 cm, o zaman hipotenüsü bulabilirsiniz ( itibaren):

itibaren 2 = bir 2 +b 2, yani itibaren 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25 ile, nereden itibaren= √25 = 5(cm);

b) hipotenüs verilirse itibaren= 17 cm ve bacak fakat= 8 cm, sonra başka bir bacak bulabilirsiniz ( B):

B 2 = itibaren 2 - fakat 2, yani B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, nereden B= √225 = 15 (cm).

Sonuç: Eğer iki dik üçgen ABC ve A 1 B 1 C 1 hipotenüs ise itibaren Ve itibaren 1 eşittir ve bacak B ABC üçgeni uzun bacaktan büyüktür B 1 üçgen A 1 B 1 C 1,

sonra bacak fakat ABC üçgeni ayaktan küçüktür fakat 1 üçgen A 1 B 1 C 1 .

Gerçekten de, Pisagor teoremine dayanarak şunu elde ederiz:

fakat 2 = itibaren 2 - B 2 ,

fakat 1 2 = itibaren 1 2 - B 1 2

Yazılı formüllerde eksiler eşittir ve birinci formülde çıkan, ikinci formülde çıkandan daha büyüktür, dolayısıyla birinci fark ikinciden küçüktür,

yani fakat 2 ve 1 2 . Neresi fakat bir 1.

Tarih

Chu-pei 500-200 M.Ö. Soldaki yazıt: yükseklik ve taban uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesidir.

Eski Çin kitabında Chu-pei ( ingilizce) (Çince 周髀算經), kenarları 3, 4 ve 5 olan bir Pisagor üçgeninden bahseder. Aynı kitapta, Başara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biriyle çakışan bir çizim önerilmiştir.

MÖ 400 civarında. e., Proclus'a göre Plato, cebir ve geometriyi birleştiren Pisagor üçlülerini bulmak için bir yöntem verdi. MÖ 300 civarında. e. Euclid's Elements, Pisagor teoreminin en eski aksiyomatik kanıtını içerir.

ifade

Geometrik formülasyon:

Teorem başlangıçta aşağıdaki gibi formüle edildi:

Cebirsel formülasyon:

Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve bacakların uzunluklarını ve ve:

Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha temeldir, alan kavramını gerektirmez. Yani, ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve sadece bir dik üçgenin kenarlarının uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.

Ters Pisagor teoremi:

Kanıt

Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kaydedilmiştir. Muhtemelen, Pisagor teoremi, bu kadar etkileyici sayıda kanıtı olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik ancak teoremin geometri için temel önemi ile açıklanabilir.

Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunların en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin, diferansiyel denklemleri kullanarak).

Benzer üçgenler aracılığıyla

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle şekil alanı kavramını kullanmaz.

İzin vermek ABC dik açılı üçgen var C. Bir yükseklik çizelim C ve tabanını ile belirtmek H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC. Notasyonun tanıtılması

alırız

eşdeğer nedir

ekleyerek, elde ederiz

Alan kanıtları

Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değildir. Hepsi, ispatı Pisagor teoreminin ispatından daha karmaşık olan alanın özelliklerini kullanır.

Denklik Yoluyla Kanıt

1. Dört eşit dik üçgeni Şekil 1'de gösterildiği gibi düzenleyin.
2. Kenarları olan dörtgen C karedir çünkü iki dar açının toplamı 90° ve doğru açı 180°'dir.
3. Tüm şeklin alanı, bir yandan bir kenarı (a + b) olan bir karenin alanına, diğer yandan dört üçgenin alanlarının toplamına ve alanın toplamına eşittir. iç kare.

Q.E.D.

Öklid'in kanıtı

Öklid'in ispatı fikri şu şekildedir: hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarısının alanlarının toplamına eşit olduğunu ve sonra da alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir.

Soldaki çizimi düşünün. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler oluşturduk ve C dik açısının tepe noktasından AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.

DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanıyoruz: Verilen ile aynı yükseklik ve tabana sahip bir üçgenin alanı dikdörtgen, verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının, sırayla AHJK dikdörtgeninin alanının yarısına eşit olan AHK üçgeninin (gösterilmemiştir) alanına eşit olduğu takip edilir.

Şimdi ACK üçgeninin alanının da DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu ispatlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özellik ile BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşit olduğu için). Bu eşitlik açıktır: üçgenler iki kenarda ve aralarındaki açıda eşittir. Yani - AB=AK, AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90 ° döndürelim, o zaman düşünülen iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının çakışacağı açıktır. (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle).

BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliği hakkındaki argüman tamamen benzerdir.

Böylece hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı olduğunu ispatlamış olduk. Bu kanıtın ardındaki fikir, yukarıdaki animasyonla daha da gösterilmektedir.

Leonardo da Vinci'nin Kanıtı

İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.

Çizimi düşünün, simetriden görülebileceği gibi, segment kareyi iki özdeş parçaya böler (çünkü üçgenler ve yapımda eşittir).

Nokta etrafında saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak, gölgeli şekillerin eşitliğini görüyoruz ve .

Şimdi, gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, küçük karelerin (bacaklar üzerine inşa edilmiş) alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan, büyük karenin (hipotenüs üzerine inşa edilmiş) alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. Böylece küçük karelerin alanlarının toplamının yarısı büyük karenin alanının yarısına eşittir ve bu nedenle ayaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı inşa edilen karenin alanına eşittir. hipotenüs üzerinde.

Sonsuz küçük yöntemle ispat

Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki kanıt, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.

Şekilde gösterilen çizimi göz önünde bulundurarak ve kenardaki değişimi gözlemleyerek a, sonsuz küçük yan artışlar için aşağıdaki bağıntıyı yazabiliriz itibaren Ve a(benzer üçgenler kullanarak):

Değişkenleri ayırma yöntemini kullanarak buluruz.

Her iki bacağın artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için daha genel bir ifade

Bu denklemi entegre ederek ve başlangıç ​​koşullarını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece istenilen cevaba ulaşmış oluyoruz.

Son formüldeki ikinci dereceden bağımlılığın, üçgenin kenarları ve artışlar arasındaki doğrusal orantı nedeniyle ortaya çıktığını, toplamın ise farklı bacakların artışından bağımsız katkılardan kaynaklandığını görmek kolaydır.

Bacaklardan birinin (bu durumda bacak) bir artış yaşamadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir. Sonra integrasyon sabiti için elde ederiz

Varyasyonlar ve Genellemeler

Üç tarafta benzer geometrik şekiller

Benzer üçgenler için genelleme, yeşil rakamların alanı A + B = mavi C alanı

Benzer dik üçgenler kullanarak Pisagor teoremi

Pisagor teoreminin bir genellemesi Öklid tarafından eserinde yapılmıştır. Başlangıçlar, kenarlardaki karelerin alanlarını benzer geometrik şekillerin alanlarına genişleterek:

Bir dik üçgenin kenarlarında benzer geometrik şekiller oluşturursak (bkz. Öklid geometrisi), daha küçük iki şeklin toplamı daha büyük şeklin alanına eşit olacaktır.

Bu genellemenin ana fikri, böyle bir geometrik şeklin alanının, doğrusal boyutlarından herhangi birinin karesiyle ve özellikle herhangi bir kenar uzunluğunun karesiyle orantılı olmasıdır. Bu nedenle, alanlarla benzer rakamlar için A, B Ve C uzunluk ile yanlarda inşa a, B Ve C, sahibiz:

Ancak Pisagor teoremine göre, a 2 + B 2 = C 2, o zaman A + B = C.

Tersine, eğer bunu kanıtlayabilirsek A + B = C Pisagor teoremini kullanmadan benzer üç geometrik şekil için, ters yönde hareket ederek teoremin kendisini ispatlayabiliriz. Örneğin, başlangıç ​​merkezi üçgeni bir üçgen olarak yeniden kullanılabilir. C hipotenüs üzerinde ve iki benzer dik üçgen ( A Ve B) merkezi üçgenin yüksekliğine bölünmesi sonucu oluşan diğer iki kenar üzerine inşa edilmiştir. Üçgenlerin iki küçük alanının toplamı o zaman açıkça üçüncünün alanına eşittir, bu nedenle A + B = C ve önceki ispatları ters sırada yaparak Pisagor teoremini a 2 + b 2 = c 2 elde ederiz.

kosinüs teoremi

Pisagor teoremi, keyfi bir üçgende kenarların uzunluklarını ilişkilendiren daha genel kosinüs teoreminin özel bir halidir:

θ kenarlar arasındaki açıdır a Ve B.

θ 90 derece ise, o zaman çünkü θ = 0 ve formül her zamanki Pisagor teoremine göre basitleştirilir.

keyfi üçgen

Kenarları olan rastgele bir üçgenin seçilen herhangi bir köşesine a, b, c Tabanındaki eşit açılar seçilen açıya eşit olacak şekilde bir ikizkenar üçgen çiziyoruz. Seçilen θ açısının gösterilen kenarın karşısında olduğunu varsayalım. C. Sonuç olarak, kenarın karşısında yer alan θ açılı bir ABD üçgeni elde ettik. a ve partiler r. İkinci üçgen, kenarın karşısındaki θ açısı tarafından oluşturulur. B ve partiler itibaren uzun s, resimde gösterildiği gibi. Sabit İbn Kurra, bu üç üçgendeki kenarların birbiriyle ilişkili olduğunu şu şekilde ifade etmiştir:

θ açısı π/2'ye yaklaştıkça, ikizkenar üçgenin tabanı küçülür ve iki kenar r ve s giderek daha az örtüşür. θ = π/2 olduğunda, ADB bir dik üçgene dönüşür, r + s = C ve ilk Pisagor teoremini elde ederiz.

Argümanlardan birine bakalım. ABC üçgeni, ABD üçgeni ile aynı açılara sahiptir, ancak ters sıradadır. (İki üçgenin B tepe noktasında ortak bir açısı vardır, her ikisi de θ açısına sahiptir ve ayrıca üçgenin açılarının toplamı ile aynı üçüncü açıya sahiptir) Buna göre ABC, gösterildiği gibi DBA üçgeninin ABD yansımasına benzer. alt rakamda. Karşılıklı kenarlar ile θ açısına komşu olanlar arasındaki ilişkiyi yazalım,

Başka bir üçgenin yansıması da öyle,

Kesirleri çarpın ve şu iki oranı ekleyin:

Q.E.D.

Paralelkenarlar aracılığıyla keyfi üçgenler için genelleme

keyfi üçgenler için genelleme,
yeşil alan arsa = alan Mavi

Yukarıdaki şekildeki tezin kanıtı

Dikdörtgen olmayan üçgenler için, kareler yerine üç tarafta paralelkenar kullanarak bir genelleme daha yapalım. (kareler özel bir durumdur.) Üstteki şekil, bir dar üçgen için uzun kenardaki paralelkenarın alanının, uzun kenardaki paralelkenarın diğer iki kenardaki paralelkenarların toplamına eşit olduğunu göstermektedir. yan şekilde gösterildiği gibi oluşturulur (oklarla işaretlenen boyutlar aynıdır ve alt paralelkenarın kenarlarını belirler). Karelerin paralelkenarlarla değiştirilmesi, ilk Pisagor teoremine açık bir benzerlik gösterir ve MS 4'te İskenderiyeli Pappus tarafından formüle edildiğine inanılır. e.

Alttaki şekil ispatın ilerlemesini gösterir. Üçgenin sol tarafına bakalım. Soldaki yeşil paralelkenar, aynı tabana sahip oldukları için mavi paralelkenarın sol tarafıyla aynı alana sahiptir. B ve yükseklik H. Ayrıca, ortak bir tabana (üçgenin sol üst tarafı) ve üçgenin o tarafına dik ortak bir yüksekliğe sahip oldukları için soldaki yeşil kutu üstteki resimdeki soldaki yeşil kutuyla aynı alana sahiptir. Üçgenin sağ tarafı için benzer şekilde tartışarak, alt paralelkenarın iki yeşil paralelkenarla aynı alana sahip olduğunu kanıtlıyoruz.

Karışık sayılar

Pisagor teoremi, Kartezyen koordinat sisteminde iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için kullanılır ve bu teorem tüm gerçek koordinatlar için geçerlidir: mesafe s iki nokta arasında ( bir, b) Ve ( c, d) eşittir

Karmaşık sayılar gerçek bileşenlere sahip vektörler olarak ele alınırsa formülde herhangi bir sorun yoktur. x + ben = (x, y). . Örneğin, mesafe s 0 + 1 arasında i ve 1 + 0 i vektör modülü olarak hesapla (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), veya

Ancak karmaşık koordinatlara sahip vektörlerle işlemler için Pisagor formülünde belirli bir iyileştirme yapılması gerekir. Karmaşık sayılarla noktalar arasındaki mesafe ( a, B) Ve ( C, D); a, B, C, Ve D hepsi karmaşık, mutlak değerler kullanarak formüle ediyoruz. Mesafe s vektör farkına dayalı (a − C, B − D) aşağıdaki formda: fark olsun a − C = P+ben Q, nerede P farkın gerçek kısmı, Q sanal kısımdır ve i = √(−1). Aynı şekilde, izin ver B − D = r+ben s. O zamanlar:

'nin karmaşık eşleniği nerede? Örneğin, noktalar arasındaki mesafe (a, B) = (0, 1) Ve (C, D) = (i, 0) , farkı hesapla (a − C, B − D) = (−i, 1) ve karmaşık eşlenikler kullanılmamışsa sonuç 0 olur. Bu nedenle, geliştirilmiş formülü kullanarak,

Modül şu şekilde tanımlanır:

stereometri

Üç boyutlu uzay için Pisagor teoreminin önemli bir genellemesi, J.-P'den sonra adlandırılan de Gua'nın teoremidir. de Gua: Bir tetrahedron dik açıya sahipse (bir küpte olduğu gibi), o zaman dik açının karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir. Bu sonuç şu şekilde özetlenebilir: " n-boyutlu Pisagor teoremi":

Üç boyutlu Pisagor teoremi AD köşegenini üç kenarla ilişkilendirir.

Başka bir genelleme: Pisagor teoremi, stereometriye aşağıdaki biçimde uygulanabilir. Şekilde gösterildiği gibi dikdörtgen bir kutu düşünün. Pisagor teoremini kullanarak köşegen BD'nin uzunluğunu bulun:

burada üç kenar bir dik üçgen oluşturur. AD köşegeninin uzunluğunu bulmak için yatay köşegen BD'yi ve dikey kenar AB'yi kullanın, yine Pisagor teoremini kullanarak:

veya her şey tek bir denklemde yazılırsa:

Bu sonuç, vektörün büyüklüğünü belirlemek için bir 3B ifadedir. v(diyagonal AD) dikey bileşenleri cinsinden ifade edilir ( v k) (birbirine dik üç kenar):

Bu denklem, çok boyutlu bir uzay için Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak görülebilir. Bununla birlikte, sonuç aslında Pisagor teoreminin art arda dik düzlemlerde bir dizi dik üçgene tekrar tekrar uygulanmasından başka bir şey değildir.

vektör alanı

Bir ortogonal vektör sistemi durumunda, Pisagor teoremi olarak da adlandırılan bir eşitlik gerçekleşir:

Eğer - bunlar vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleriyse, bu formül Öklid mesafesiyle örtüşür - ve vektörün uzunluğunun bileşenlerinin karelerinin toplamının kareköküne eşit olduğu anlamına gelir.

Sonsuz bir vektör sistemi durumunda bu eşitliğin benzerine Parseval eşitliği denir.

Öklidyen olmayan geometri

Pisagor teoremi Öklid geometrisinin aksiyomlarından türetilmiştir ve aslında yukarıda yazıldığı şekliyle Öklid dışı geometri için geçerli değildir. (Yani, Pisagor teoremi, Öklid'in paralellik postulatına bir tür eşdeğer olarak çıkıyor) Başka bir deyişle, Öklid olmayan geometride, üçgenin kenarları arasındaki oran, zorunlu olarak Pisagor teoreminden farklı bir biçimde olacaktır. . Örneğin, küresel geometride, bir dik üçgenin üç tarafı da (diyelim ki a, B Ve C) birim kürenin oktanını (sekizde biri) bağlayan π/2 uzunluğa sahiptir, bu Pisagor teoremi ile çelişir çünkü a 2 + B 2 ≠ C 2 .

Burada Öklidyen olmayan geometrinin iki durumunu ele alalım - küresel ve hiperbolik geometri; her iki durumda da, dik üçgenler için Öklid uzayına gelince, Pisagor teoreminin yerini alan sonuç kosinüs teoreminden gelir.

Bununla birlikte, eğer üçgenin dik açılı olması şartı yerine, üçgenin iki açısının toplamının üçüncüye eşit olması şartı ile değiştirilirse, Pisagor teoremi hiperbolik ve eliptik geometri için geçerli kalır. A+B = C. O zaman kenarlar arasındaki oran şuna benzer: çapları olan dairelerin alanlarının toplamı a Ve Bçapı olan bir dairenin alanına eşit C.

küresel geometri

Yarıçapı olan bir küre üzerindeki herhangi bir dik üçgen için r(örneğin, üçgendeki γ açısı doğruysa) kenarlarla a, B, C taraflar arasındaki ilişki şöyle görünecek:

Bu eşitlik, tüm küresel üçgenler için geçerli olan küresel kosinüs teoreminin özel bir hali olarak türetilebilir:

burada cosh hiperbolik kosinüsdür. Bu formül, tüm üçgenler için geçerli olan hiperbolik kosinüs teoreminin özel bir halidir:

γ, tepe noktası kenarın karşısında olan açıdır. C.

nerede G ij metrik tensör denir. Bir pozisyon fonksiyonu olabilir. Bu tür eğrisel uzaylar, yaygın bir örnek olarak Riemann geometrisini içerir. Bu formülasyon, eğrisel koordinatlar kullanıldığında Öklid uzayı için de uygundur. Örneğin, kutupsal koordinatlar için:

vektör ürün

Pisagor teoremi, bir vektör ürününün büyüklüğü için iki ifadeyi birbirine bağlar. Çapraz ürünü tanımlamaya yönelik bir yaklaşım, aşağıdaki denklemi sağlamasını gerektirir:

bu formül nokta çarpımını kullanır. Denklemin sağ tarafına Gram'ın determinantı denir. a Ve B, bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir. Bu gerekliliğin yanı sıra vektör ürününün bileşenlerine dik olması gerekliliğine dayanarak a Ve B 0 ve 1 boyutlu uzayın önemsiz durumları dışında, vektör çarpımının yalnızca üç ve yedi boyutta tanımlandığı sonucu çıkar. açının tanımını kullanıyoruz n-boyutlu uzay:

vektör ürününün bu özelliği, değerini aşağıdaki biçimde verir:

Pisagor'un temel trigonometrik kimliği aracılığıyla, değerini yazmanın başka bir biçimini elde ederiz:

Çapraz ürünü tanımlamaya yönelik alternatif bir yaklaşım, büyüklüğü için bir ifade kullanır. Ardından, ters sırayla tartışarak, skaler ürünle bir bağlantı elde ederiz:

Ayrıca bakınız

notlar

1. Tarih konusu: Babil matematiğinde Pisagor teoremi
2. ( , s. 351) s. 351
3. ( , Cilt I, s. 144)
4. Tarihsel gerçeklerin bir tartışması (, s. 351) s. 351'de verilmiştir.
5. Kurt Von Fritz (Nisan, 1945). "Metapontumlu Hippasus Tarafından Ölçülemezliğin Keşfi". Matematik Yıllıkları, İkinci Seri(Matematik Yıllıkları) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "Düğümlü Öykü", M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger Aaboe Erken matematik tarihinden bölümler. - Amerika Matematik Derneği, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Pisagor önermesi Elisha Scott Loomis tarafından
9. Öklid'in Elementler: Kitap VI, Önerme VI 31: "Dik açılı üçgenlerde, dik açıyı karşılayan taraftaki şekil, dik açıyı içeren kenarlardaki benzer ve benzer şekilde tanımlanmış şekillere eşittir."
10. Lawrence S. Leff alıntı yapılan çalışma. - Barron'un Eğitim Serisi - S. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...Pisagor teoreminin genelleştirilmesi // Matematikte büyük anlar (1650'den önce) . - Amerika Matematik Derneği, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (tam adı Thabit ibn Qurra ibn Marwan Al-Tābiʾ al-Ḥarrānī) (MS 826-901) Bağdat'ta yaşayan ve Öklid'in Elementleri ve diğer matematiksel konularda kapsamlı bir şekilde yazan bir doktordu.
13. Aydın Sayılı (Mart 1960). "Thâbit ibn Qurra'nın Pisagor Teoreminin Genelleştirilmesi". IŞİD 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Alıştırma 2.10(ii) // Alıntılanan çalışma . - S. 62. - ISBN 0821844032
15. Böyle bir yapının ayrıntıları için bkz. George JenningsŞekil 1.32: Genelleştirilmiş Pisagor teoremi // Uygulamalı modern geometri: 150 rakamlı . - 3 üncü. - Springer, 1997. - S. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy kalem C: İsteğe bağlı bir norm n-tuple ... // Analize giriş . - Springer, 1995. - S. 124. - ISBN 0387943692 Ayrıca sayfa 47-50'ye bakın.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Mathematica ile eğrilerin ve yüzeylerin modern diferansiyel geometrisi. - 3 üncü. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia matris analizi. - Springer, 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W.Hawking alıntı yapılan çalışma. - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229

Pisagor teoremi diyor ki:

Bir dik üçgende, bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

a 2 + b 2 = c 2,

• a Ve B- dik açı oluşturan bacaklar.
• itibarenüçgenin hipotenüsüdür.

Pisagor teoreminin formülleri

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pisagor Teoreminin Kanıtı

Bir dik üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = \frac(1)(2)ab

İsteğe bağlı bir üçgenin alanını hesaplamak için alan formülü şöyledir:

• P- yarı çevre. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r yazılı dairenin yarıçapıdır. Bir dikdörtgen için r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sonra bir üçgenin alanı için her iki formülün de sağ taraflarını eşitleriz:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \sol((a+b)^(2) -c^(2) \sağ)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Ters Pisagor teoremi:

Üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse üçgen dik üçgendir. Yani, pozitif sayıların herhangi bir üçlüsü için bir, b Ve C, öyle ki

a 2 + b 2 = c 2,

bacakları olan bir dik üçgen var a Ve B ve hipotenüs C.

Pisagor teoremi- bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri. Bilim adamı matematikçi ve filozof Pisagor tarafından kanıtlandı.

teoremin anlamı diğer teoremleri kanıtlamak ve problemleri çözmek için kullanılabilir.

Ek malzeme:

Pisagor teoremi diyor ki:

Bir dik üçgende, bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

a 2 + b 2 = c 2,

• a Ve B- dik açı oluşturan bacaklar.
• itibarenüçgenin hipotenüsüdür.

Pisagor teoreminin formülleri

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Pisagor Teoreminin Kanıtı

Bir dik üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = \frac(1)(2)ab

İsteğe bağlı bir üçgenin alanını hesaplamak için alan formülü şöyledir:

• P- yarı çevre. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r yazılı dairenin yarıçapıdır. Bir dikdörtgen için r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Sonra bir üçgenin alanı için her iki formülün de sağ taraflarını eşitleriz:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \sol((a+b)^(2) -c^(2) \sağ)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Ters Pisagor teoremi:

Üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse üçgen dik üçgendir. Yani, pozitif sayıların herhangi bir üçlüsü için bir, b Ve C, öyle ki

a 2 + b 2 = c 2,

bacakları olan bir dik üçgen var a Ve B ve hipotenüs C.

Pisagor teoremi- bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri. Bilim adamı matematikçi ve filozof Pisagor tarafından kanıtlandı.

teoremin anlamı diğer teoremleri kanıtlamak ve problemleri çözmek için kullanılabilir.

Ek malzeme: