Вероятностни статистически методи. Статистически методи

Особен интерес представлява количествената оценка на предприемаческия риск с помощта на методите на математическата статистика. Основните инструменти на този метод за оценка са:

§ вероятността за поява на случайна величина,

§ математическо очакване или средна стойност на изследваната случайна величина,

Разнообразие,

§ стандартно (средноквадратично) отклонение,

§ коефициентът на вариация,

§ вероятностно разпределение на изследваната случайна величина.

За да вземете решение, трябва да знаете размера (степента) на риска, който се измерва по два критерия:

1) средна очаквана стойност (математическо очакване),

2) колебания (променливост) на възможния резултат.

Средна очаквана стойност това е претеглената средна стойност на случайната величина, която е свързана с несигурността на ситуацията:

,

където е стойността на случайната променлива.

Средната очаквана стойност измерва резултата, който очакваме средно.

Средната стойност е обобщена качествена характеристика и не позволява вземането на решение в полза на която и да е конкретна стойност на случайна променлива.

За да се вземе решение, е необходимо да се измерват колебанията в показателите, тоест да се определи мярката за променливост на възможен резултат.

Колебанието във възможния резултат е степента, до която очакваната стойност се отклонява от средната стойност.

За това на практика обикновено се използват два тясно свързани критерия: "вариация" и "стандартно отклонение".

Дисперсия - среднопретеглена стойност на квадратите на действителните резултати от очакваната средна стойност:

Стандартно отклонение Е квадратният корен на дисперсията. Това е размерна величина и се измерва в същите единици, в които се измерва изследваната случайна величина:

.

Дисперсията и стандартното отклонение са мерки за абсолютни колебания. Коефициентът на вариация обикновено се използва за анализ.

Коефициентът на вариация е съотношението на стандартното отклонение към средната очаквана стойност, умножено по 100%

или .

Коефициентът на вариация не се влияе от абсолютните стойности на изследвания показател.

Използвайки коефициента на вариация, можете дори да сравните колебанията на характеристиките, изразени в различни мерни единици. Коефициентът на вариация може да варира от 0 до 100%. Колкото по -голям е коефициентът, толкова по -големи са колебанията.

В икономическата статистика се установява следната оценка за различни стойности на коефициента на вариация:

до 10% - слабо колебание, 10 - 25% - умерено, над 25% - високо.

Съответно, колкото по -големи са колебанията, толкова по -голям е рискът.

Пример.Собственикът на малък магазин в началото на всеки ден купува някакъв нетраен продукт за продажба. Единица от този продукт струва 200 UAH. Продажна цена - 300 UAH. за единица. От наблюдения е известно, че търсенето на този продукт през деня може да бъде 4, 5, 6 или 7 единици със съответните вероятности 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Ако продуктът не се продава през деня, тогава в края на деня той винаги ще бъде закупен на цена от 150 UAH. за единица. Колко единици от този продукт трябва собственикът на магазина да купи в началото на деня?

Решение. Нека изградим матрица за печалба за собственика на магазина. Нека изчислим печалбата, която собственикът ще получи, ако например купи 7 единици от продукта и продаде една единица през деня 6 и в края на деня. Всяка единица от продадения продукт през деня дава печалба от 100 UAH, а в края на деня - загуби от 200 - 150 = 50 UAH. По този начин печалбата в този случай ще бъде:

Изчисленията се извършват по подобен начин за други комбинации от търсене и предлагане.

Очакваната печалба се изчислява като математическото очакване на възможните стойности на печалбата на всеки ред от конструираната матрица, като се вземат предвид съответните вероятности. Както можете да видите, сред очакваните печалби най -голямата е 525 UAH. Тя съответства на покупката на въпросния продукт в размер на 6 единици.

За да обосновем окончателната препоръка за закупуване на необходимия брой единици на продукта, ние изчисляваме вариацията, стандартното отклонение и коефициента на вариация за всяка възможна комбинация от търсене и предлагане на продукта (всеки ред от матрицата на печалбата):

Що се отнася до закупуването от собственика на магазина на 6 единици от продукта в сравнение с 5 и 4 единици, това не е очевидно, тъй като рискът при закупуване на 6 единици продукт (19,2%) е по -голям, отколкото при закупуване на 5 единици (9,3 %) и дори повече, отколкото при закупуване на 4 единици (0%).

По този начин имаме цялата информация за очакваните печалби и рискове. И собственикът на магазина решава колко единици от продукта да купува всяка сутрин, като се вземе предвид неговият опит, апетит към риск.

Според нас собственикът на магазина трябва да бъде посъветван да купува 5 единици от продукта всяка сутрин и средната му очаквана печалба ще бъде равна на 485 UAH. и ако сравним това с покупката на 6 единици от продукта, при които средната очаквана печалба е 525 UAH, което е 40 UAH. повече, но рискът в този случай ще бъде 2,06 пъти по -голям.

Как се използват теорията на вероятностите и математическата статистика? Тези дисциплини са в основата на вероятностно-статистическите методи. вземане на решение... За да използвате техния математически апарат, имате нужда от проблеми вземане на решениеизразени чрез вероятностно-статистически модели. Приложение на специфичен вероятностно-статистически метод вземане на решениесе състои от три етапа:

• преход от икономическа, управленска, технологична реалност към абстрактна математическа и статистическа схема, т.е. изграждане на вероятностен модел на система за управление, технологичен процес, процедури за вземане на решения, по -специално въз основа на резултатите от статистическия контрол и др.;
• извършване на изчисления и получаване на заключения с чисто математически средства в рамките на вероятностен модел;
• тълкуване на математически и статистически заключения във връзка с реална ситуация и вземане на подходящо решение (например относно съответствието или несъответствието на качеството на продукта с установените изисквания, необходимостта от коригиране на технологичния процес и т.н.), по-специално, заключения (относно дела на дефектните продуктови единици в партида, относно специфичната форма на законите за разпространение наблюдавани параметритехнологичен процес и др.).

Математическата статистика използва концепциите, методите и резултатите от теорията на вероятностите. Помислете за основните въпроси при изграждането на вероятностни модели вземане на решениев икономически, управленски, технологични и други ситуации. За активно и правилно използване на нормативно-технически и инструктивно-методически документи по вероятностно-статистически методи вземане на решениеизисква предварителни познания. Така че, трябва да знаете при какви условия трябва да се приложи определен документ, каква първоначална информация е необходима за неговия избор и приложение, какви решения трябва да се вземат въз основа на резултатите от обработката на данни и т.н.

Примери за прилагане на теорията на вероятностите и математическата статистика... Нека разгледаме няколко примера, когато вероятностно-статистическите модели са добър инструмент за решаване на управленски, производствени, икономически и национални икономически проблеми. Така например в романа на А.Н. Толстой „Разхождайки се през агонията“ (ст. 1) казва: „Работилницата дава двадесет и три процента от брака и вие се придържате към тази цифра“, каза Струков на Иван Илич.

Възниква въпросът как да се разберат тези думи в разговора на ръководителите на фабрики, тъй като една производствена единица не може да бъде 23% дефектна. Тя може да бъде добра или дефектна. Вероятно Струков е имал предвид, че голяма партида съдържа около 23% дефектни артикули. Тогава възниква въпросът какво означава „приблизително“? Нека 30 от 100 тествани производствени единици се окажат дефектни, или от 1000-300, или от 100000-30000 и т.н., трябва ли Струков да бъде обвинен в лъжа?

Или друг пример. Монетата, която ще се използва като лот, трябва да бъде „симетрична“, т.е. при хвърляне средно в половината от случаите гербът трябва да изпадне, а в половината от случаите - решетката (опашки, номер). Но какво означава "средно"? Ако извършвате много серии от 10 хвърляния във всяка серия, често ще има серии, в които монетата пада 4 пъти с емблемата. За симетрична монета това ще се случи в 20,5% от серията. И ако има 40 000 герба на 100 000 хвърляния, може ли монетата да се счита за симетрична? Процедура вземане на решениее изграден въз основа на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Въпросният пример може да не изглежда достатъчно сериозен. Това обаче не е така. Тегленето на жребий се използва широко при организирането на промишлени технически и икономически експерименти, например при обработка на резултатите от измерването на показателя за качество (момент на триене) на лагерите в зависимост от различни технологични фактори (влиянието на консервационна среда, методи на подготовка на лагери преди измерване, ефектът от натоварването на лагера по време на измерване и др.). NS.). Да речем, че е необходимо да се сравнява качеството на лагерите в зависимост от резултатите от тяхното съхранение в различни консервиращи масла, т.е. в състава масла и. При планирането на такъв експеримент възниква въпросът кои лагери трябва да се поставят в маслото на състава и кои в маслото на състава, но по такъв начин, че да се избегне субективността и да се гарантира обективността на решението.

Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез жребий. Подобен пример може да се даде с контрол на качеството на всеки продукт. За да се реши дали контролирана партида продукти отговаря на установените изисквания или не, се взема проба. Въз основа на резултатите от вземането на проби се прави заключение за цялата партида. В този случай е много важно да се избегне субективността при подбора на пробата, т.е. необходимо е всеки артикул в контролирана партида да има еднаква вероятност да бъде изваден. В производствените условия изборът на производствени единици в извадката обикновено се извършва не по жребий, а чрез специални таблици със случайни числа или с помощта на компютърни сензори за произволни числа.

Подобни проблеми за гарантиране на обективността на сравнението възникват при сравняване на различни схеми. организация на производството, възнаграждение, по време на търгове и конкурси, подбор на кандидати за свободни позиции и др. Тегленето или подобни процедури са необходими навсякъде. Нека обясним, използвайки примера за идентифициране на най -силните и вторите най -силни отбори, когато организираме турнир според олимпийската система (губещият е елиминиран). Нека по -силният отбор винаги печели по -слабия. Ясно е, че най -силният отбор определено ще стане шампион. Вторият най -силен отбор ще стигне до финала, ако и само ако няма мачове с бъдещия шампион преди финала. Ако се планира такава игра, тогава вторият по сила отбор няма да стигне до финала. Всеки, който планира турнир, може или да "нокаутира" втория най-силен отбор от турнира предсрочно, да го събере в първата среща с лидера, или да му осигури второто място, като гарантира срещи с по-слаби отбори до финала. За да избегнете субективността, теглете жребий. За турнир с 8 отбора вероятността двата най-силни отбора да се срещнат на финала е 4/7. Съответно, с вероятност 3/7, вторият по сила отбор ще напусне турнира предсрочно.

Всяко измерване на продуктови единици (с помощта на шублер, микрометър, амперметър и т.н.) има грешки. За да се установи дали има систематични грешки, е необходимо да се направят множество измервания на единица продукция, чиито характеристики са известни (например стандартна проба). Трябва да се помни, че освен систематичната, има и случайна грешка.

Следователно възниква въпросът как да се установи от резултатите от измерването дали има системна грешка. Ако само отбележим дали грешката, получена при следващото измерване, е положителна или отрицателна, тогава този проблем може да бъде редуциран до предишния. Наистина, нека сравним измерването с хвърляне на монета, положителната грешка - с падането на герба, отрицателната - решетката (нулева грешка с достатъчен брой деления на скалата практически никога не се случва). Тогава проверката на липсата на систематична грешка е еквивалентна на проверка на симетрията на монетата.

Целта на тези съображения е да намали проблема за проверка на липсата на систематична грешка до проблема за проверка на симетрията на монета. Горното разсъждение води до т. Нар. „Критерий на знака“ в математическата статистика.

Със статистическото регулиране на технологичните процеси въз основа на методите на математическата статистика се разработват правила и планове за статистически контрол на процесите, насочени към своевременно откриване на смущения в технологичните процеси, предприемане на мерки за тяхното коригиране и предотвратяване на пускането на продукти, които не отговарят на установените изисквания. Тези мерки са насочени към намаляване на производствените разходи и загубите от доставката на нестандартни единици. Със статистически контрол на приемане, базиран на методите на математическата статистика, се разработват планове за контрол на качеството чрез анализиране на проби от партиди продукти. Трудността се крие в способността да се изграждат правилно вероятностни и статистически модели вземане на решение, въз основа на които можете да отговорите на горните въпроси. В математическата статистика за това са разработени вероятностни модели и методи за тестване на хипотези, по -специално хипотези, че делът на дефектните производствени единици е равен на определен брой, например (запомнете думите на Струков от романа на А. Н. Толстой ).

Задачи за оценяване... В редица управленски, производствени, икономически и национални икономически ситуации възникват проблеми от различен тип - проблемът за оценка на характеристиките и параметрите на вероятностните разпределения.

Нека разгледаме един пример. Да предположим, че партида от N крушки е получена за проверка. Проба от n крушки беше избрана на случаен принцип от тази партида. Възникват редица естествени въпроси. Как да се определи средният експлоатационен живот на електрическите лампи въз основа на резултатите от изпитването на елементите на пробата и с каква точност може да се оцени тази характеристика? Как се променя точността, ако вземете по -голяма проба? При какъв брой часове може да се гарантира, че поне 90% от крушките ще издържат повече от един час?

Да предположим, че при изпитване на проба с обем електрически лампи, електрическите лампи се оказаха дефектни. Тогава възникват следните въпроси. Какви граници могат да бъдат определени за броя на дефектните крушки в партида, за нивото на дефектност и т.н.?

Или в статистически анализ на точността и стабилността на технологичните процеси, например показатели за качествокато средно контролиран параметъри степента на разпространението му в разглеждания процес. Според теорията на вероятността е препоръчително да се използват нейните математически очаквания като средна стойност на случайна променлива и дисперсия, стандартно отклонение или коефициента на вариация... Това поражда въпроса: как да се оценят тези статистически характеристики от примерни данни и с каква точност може да се направи това? Има много подобни примери. Тук беше важно да се покаже как теорията на вероятността и математическата статистика могат да бъдат използвани в управлението на производството при вземане на решения в областта на статистическото управление на качеството на продукта.

Какво е "математическа статистика"? Математическата статистика се разбира като „раздел от математиката, посветен на математическите методи за събиране, систематизиране, обработка и интерпретация на статистически данни, както и използването им за научни или практически заключения. Правилата и процедурите на математическата статистика се основават на теорията на вероятността , което дава възможност за оценка на точността и надеждността на заключенията, получени във всяка задача въз основа на наличния статистически материал “[[2.2], стр. 326]. В този случай статистическите данни се наричат ​​информация за броя на обектите в някакъв повече или по -малко обширен набор, които имат определени характеристики.

Според вида на проблемите, които се решават, математическата статистика обикновено се разделя на три раздела: описание на данните, оценка и тестване на хипотези.

Според вида на обработваните статистически данни математическата статистика е разделена на четири области:

• едномерна статистика (статистика на случайни величини), в която резултатът от наблюдението се описва с реално число;
• многовариативен статистически анализ, където резултатът от наблюдението над обект се описва с няколко числа (вектор);
• статистика на случайни процеси и времеви редове, където резултатът от наблюдението е функция;
• статистика на обекти с нечислово естество, в която резултатът от наблюдението е с нечиселен характер, например, той е набор (геометрична фигура), подреждане или се получава в резултат на измерване на качествена основа .

В исторически план някои области на статистика на обекти с нечислово естество (по-специално проблеми с оценката на дела на брака и проверка на хипотези за него) и едноизмерните статистики се появиха първи. Математическият апарат е по -опростен за тях, затова с техния пример обикновено се демонстрират основните идеи на математическата статистика.

Само тези методи за обработка на данни, т.е. математическата статистика е доказателство, основано на вероятностни модели на съответните реални явления и процеси. Говорим за модели на потребителско поведение, възникване на рискове, функциониране на технологично оборудване, получаване на експериментални резултати, протичане на болестта и т.н. Вероятностният модел на реално явление трябва да се счита за конструиран, ако разглежданите величини и връзките между тях са изразени от теорията на вероятностите. Съответствие с вероятностния модел на реалността, т.е. нейната адекватност се обосновава по -специално с помощта на статистически методи за проверка на хипотези.

Невероятните методи за обработка на данни са проучвателни, те могат да се използват само за предварителен анализ на данните, тъй като не позволяват да се оцени точността и надеждността на заключенията, получени въз основа на ограничен статистически материал.

Вероятностни и статистически методиса приложими навсякъде, където е възможно да се изгради и обоснове вероятностен модел на явление или процес. Използването им е задължително, когато изводите, направени от извадка от данни, се прехвърлят върху цялата популация (например от извадка към цяла партида продукти).

В конкретни области на приложение те се използват като вероятностни статистически методишироко разпространена и специфична употреба. Например, в раздела за управление на производството, посветен на статистически методи за управление на качеството на продуктите, се използва приложна математическа статистика (включително планиране на експерименти). С помощта на нейните методи, Статистически анализточност и стабилност на технологичните процеси и статистическа оценка на качеството. Специфичните методи включват методи за статистически контрол на приемането на качеството на продукта, статистическо регулиране на технологичните процеси, оценка и контрол на надеждността и др.

Приложните вероятностни и статистически дисциплини като теория на надеждността и теория на опашките са широко използвани. Съдържанието на първия от тях е ясно от името, второто изучава системи като телефонна централа, която приема обаждания на случаен принцип - изискванията на абонатите да набират номера на телефоните си. Продължителността на обслужване на тези претенции, т.е. продължителността на разговорите също се моделира със случайни променливи. Голям принос за развитието на тези дисциплини направи член -кореспондент на Академията на науките на СССР А. Я. Хинчин (1894-1959), академик на Академията на науките на Украинската ССР Б.В. Гнеденко (1912-1995) и други местни учени.

Накратко за историята на математическата статистика... Математическата статистика като наука започва с трудовете на известния немски математик Карл Фридрих Гаус (1777-1855), който въз основа на теорията на вероятността изследва и обосновава метод на най -малкия квадрат, създаден от него през 1795 г. и използван за обработка на астрономически данни (с цел изясняване на орбитата на малката планета Церера). Името му често се нарича едно от най -популярните вероятностни разпределения - нормално, а в теорията на случайните процеси основният обект на изследване са гаусовите процеси.

В края на XIX век. - началото на ХХ век. голям принос към математическата статистика са направили английските изследователи, предимно К. Пиърсън (1857-1936) и Р.А. Фишър (1890-1962). По-специално, Pearson разработи хи-квадрат тест за статистически хипотези, а Fisher разработи анализ на дисперсията, теория за планиране на експеримент, метод за оценка на параметрите на максималната вероятност.

През 30 -те години на ХХ век. Полякът Йежи Нойман (1894-1977) и англичанинът Е. Пирсън разработиха обща теория за проверка на статистическите хипотези, а съветските математици академик А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-кореспондент на Академията на науките на СССР Н.В. Смирнов (1900-1966) полага основите на непараметричната статистика. През четиридесетте години на ХХ век. Румънецът А. Валд (1902-1950) изгражда теория на последователния статистически анализ.

Математическата статистика се развива бързо в момента. Така че през последните 40 години могат да се разграничат четири принципно нови области на изследване [[2.16]]:

• разработване и внедряване на математически методи за планиране на експерименти;
• разработване на статистика на обекти с нечислен характер като самостоятелно направление в приложната математическа статистика;
• разработване на статистически методи, които са стабилни по отношение на малки отклонения от използвания вероятностен модел;
• широко развитие на работата по създаването на компютърни софтуерни пакети, предназначени за статистически анализ на данните.

Вероятностно-статистически методи и оптимизация... Идеята за оптимизация прониква в съвременната приложна математическа статистика и други статистически методи... А именно методи за планиране на експерименти, статистически контрол на приемането, статистическо регулиране на технологичните процеси и др. От друга страна, оптимизационни твърдения на теория вземане на решениенапример приложната теория за оптимизиране на качеството на продукта и изискванията на стандартите предвиждат широкото използване на вероятностни и статистически методи, предимно приложна математическа статистика.

При управлението на производството, особено при оптимизиране на качеството на продукта и стандартните изисквания, е особено важно да се прилага статистически методив началния етап от жизнения цикъл на продукта, т.е. на етапа на изследователска подготовка на експериментални дизайнерски разработки (разработване на обещаващи изисквания за продукти, предварителен проект, технически спецификации за разработване на експериментален дизайн). Това се дължи на ограничената информация, налична в началния етап от жизнения цикъл на продукта, и необходимостта от прогнозиране на техническите възможности и икономическата ситуация за в бъдеще. Статистически методитрябва да се използва на всички етапи от решаването на оптимизационния проблем - при мащабиране на променливите, разработване на математически модели за функционирането на продукти и системи, провеждане на технико -икономически експерименти и др.

Всички области на статистиката се използват при оптимизационни проблеми, включително оптимизиране на качеството на продукта и изискванията на стандартите. А именно - статистика на случайни променливи, многоизмерна Статистически анализ, статистика на случайни процеси и времеви редове, статистика на обекти с нечиселен характер. Изборът на статистически метод за анализ на конкретни данни е препоръчително да се извърши съгласно препоръките [

Част 1. Основи на приложната статистика

1.2.3. Същността на вероятностните и статистическите методи за вземане на решения

Как се използват подходите, идеите и резултатите от теорията на вероятностите и математическата статистика при вземането на решения?

Базата е вероятностен модел на реално явление или процес, т.е. математически модел, в който обективните връзки се изразяват чрез теорията на вероятностите. Вероятностите се използват предимно за описване на несигурността, която трябва да се има предвид при вземането на решения. Това се отнася както за нежелани възможности (рискове), така и за привлекателни („късметлия късмет“). Понякога случайността се умишлено въвежда в ситуация, например чрез теглене на жребий, произволен избор на единици за контрол, провеждане на лотарии или анкети на потребители.

Теорията на вероятностите позволява да се изчислят други вероятности, които представляват интерес за изследователя. Например, въз основа на вероятността да изпадне герб, можете да изчислите вероятността с 10 хвърляния на монети да изпаднат поне 3 герба. Такова изчисление се основава на вероятностен модел, според който хвърлянето на монети е описано чрез схема на независими тестове, освен това гербът и решетката са еднакво възможни и следователно вероятността за всяко от тези събития е ½. По -сложен модел е този, при който вместо хвърляне на монета се разглежда проверката на качеството на единица продукция. Съответният вероятностен модел се основава на предположението, че контролът на качеството на различни артикули от производството е описан чрез независима тестова схема. За разлика от модела на хвърляне на монети, трябва да се въведе нов параметър - вероятността Rче артикулът е дефектен. Моделът ще бъде напълно описан, ако се приеме, че всички елементи имат еднаква вероятност да бъдат дефектни. Ако последното предположение е неправилно, броят на параметрите на модела се увеличава. Например, можете да приемете, че всеки продукт има своя собствена вероятност да бъде дефектен.

Нека обсъдим модел за контрол на качеството с обща вероятност за дефекти за всички продуктови единици R... За да се "достигне числото" при анализ на модела е необходимо да се замени Rза някакъв конкретен смисъл. За да направите това, е необходимо да надхвърлите вероятностния модел и да се обърнете към данните, получени по време на контрола на качеството. Математическата статистика решава обратната задача по отношение на теорията на вероятностите. Целта му е да направи заключения относно вероятностите, които стоят в основата на вероятностния модел въз основа на резултатите от наблюденията (измервания, анализи, тестове, експерименти). Например, въз основа на честотата на поява на дефектни продукти по време на проверката, могат да се направят изводи за вероятността от дефектност (виж теоремата на Бернули по -горе). Въз основа на неравенството на Чебишев бяха направени изводи за съответствието на честотата на появата на дефектни продукти на хипотезата, че вероятността за дефект придобива определена стойност.

По този начин приложението на математическата статистика се основава на вероятностен модел на явление или процес. Използват се две паралелни серии понятия - свързани с теорията (вероятностен модел) и свързани с практиката (извадка от резултатите от наблюденията). Например, теоретичната вероятност съответства на честотата, намерена от пробата. Математическото очакване (теоретична серия) съответства на средната аритметична извадка (практическа серия). Обикновено характеристиките на извадката са теоретични оценки. В същото време стойностите, свързани с теоретичната поредица „са в главите на изследователите“, се отнасят до света на идеите (според древногръцкия философ Платон) и са недостъпни за директно измерване. Изследователите разполагат само с примерни данни, с помощта на които се опитват да установят свойствата на теоретичния вероятностен модел, който ги интересува.

Защо е необходим вероятностен модел? Факт е, че само с негова помощ е възможно да се прехвърлят свойствата, установени от резултатите от анализа на конкретна извадка, към други извадки, както и към цялата т. Нар. Обща популация. Терминът „обща популация“ се използва, когато се отнася до голяма, но ограничена популация от интересни единици. Например за съвкупността от всички жители на Русия или за всички потребители на разтворимо кафе в Москва. Целта на маркетинга или социологическите проучвания е да се прехвърлят изявления от извадка от стотици или хиляди хора до население от няколко милиона души. При контрола на качеството една партида продукти действа като обща популация.

За да се прехвърлят заключенията от извадка към по -голяма популация, е необходимо едно или друго предположение за връзката на характеристиките на извадката с характеристиките на тази по -голяма популация. Тези предположения се основават на подходящ вероятностен модел.

Разбира се, възможно е да се обработват примерни данни, без да се използва определен вероятностен модел. Например, можете да изчислите средната аритметична извадка, да изчислите честотата на изпълнение на определени условия и т.н. Резултатите от изчисленията обаче ще се отнасят само до конкретна извадка; прехвърлянето на заключенията, получени с тяхна помощ към всяка друга популация, е неправилно. Тази дейност понякога се нарича „извличане на данни“. В сравнение с вероятностно-статистическите методи, анализът на данните има ограничена познавателна стойност.

И така, използването на вероятностни модели, основани на оценка и тестване на хипотези, използвайки извадкови характеристики, е същността на вероятностно-статистическите методи за вземане на решения.

Подчертаваме, че логиката на използване на примерни характеристики за вземане на решения въз основа на теоретични модели включва едновременното използване на две паралелни серии концепции, едната от които съответства на вероятностните модели, а втората на извадката на данни. За съжаление в редица литературни източници, обикновено остарели или написани с рецепта, не се прави разлика между избирателни и теоретични характеристики, което води читателите до недоумение и грешки при практическото използване на статистическите методи.

Явленията на живота, както всички явления на материалния свят като цяло, имат две неразривно свързани страни: качествена, възприемана директно от сетивата и количествена, изразена в числа с помощта на броене и мярка.

При изследването на различни природни явления едновременно се използват както качествени, така и количествени показатели. Няма съмнение, че само в единството на качествения и количествения аспект най -пълно се разкрива същността на изследваните явления. В действителност обаче трябва да използвате или един, или други показатели.

Няма съмнение, че количествените методи, като по -обективни и точни, имат предимство пред качествените характеристики на обектите.

Самите резултати от измерването, въпреки че имат определена стойност, все още са недостатъчни, за да се направят необходимите заключения от тях. Цифровите данни, събрани по време на масово тестване, са просто суров фактически материал, който се нуждае от подходяща математическа обработка. Без обработка - подреждане и систематизиране на цифрови данни е невъзможно да се извлече съдържащата се в тях информация, да се оцени надеждността на отделните обобщени показатели, да се гарантира, че разликите, наблюдавани между тях, са надеждни. Тази работа изисква от специалисти определени познания, способност за правилно обобщаване и анализ на данните, събрани в опита. Системата от тези знания съставлява съдържанието на статистиката - наука, която се занимава главно с анализа на резултатите от изследванията в теоретичните и приложните области на науката.

Трябва да се има предвид, че математическата статистика и теорията на вероятностите са чисто теоретични, абстрактни науки; те изучават статистически агрегати без да се вземат предвид спецификите на съставните им елементи. Методите на математическата статистика и теорията на вероятностите в основата й са приложими за голямо разнообразие от области на знанието, включително хуманитарните науки.

Изучаването на явления се извършва не върху отделни наблюдения, които могат да се окажат случайни, нетипични, непълно изразяващи същността на дадено явление, а върху набор от хомогенни наблюдения, което дава по -пълна информация за обекта, който се изследва. Определен набор от относително хомогенни субекти, комбинирани според един или друг критерий за съвместно изучаване, се нарича статистически

агрегат. Комплектът съчетава редица хомогенни наблюдения или регистрации.

Елементите, които съставят колекция, се наричат ​​нейни членове или опции. ... ВариантиДали са индивидуални наблюдения или числови стойности на характеристика. Така че, ако обозначим характеристика с X (голям), тогава нейните стойности или опции ще бъдат обозначени с x (малък), т.е. x 1, x 2 и т.н.

Общият брой опции, които съставляват дадена популация, се нарича нейният обем и се обозначава с буквата n (малка).

Когато се изследва целият набор от хомогенни обекти като цяло, той се нарича общ, общ набор. страна. Разбира се, пълното проучване на общата популация предоставя най -пълната информация за нейното състояние и свойства. Следователно е естествено изследователите да се стремят да съберат възможно най -много наблюдения.

В действителност обаче рядко е необходимо да се прибягва до анкетиране на всички членове на общото население. Първо, тъй като тази работа изисква много време и труд, и второ, тя не винаги е осъществима поради различни причини и различни обстоятелства. Така че вместо цялостно проучване на общата популация, част от нея, наречена пробна популация, или извадка, обикновено се подлага на изследване. Това е моделът, по който се оценява цялото население като цяло. Например, за да се установи средният ръст на наборното население на определен регион или област, изобщо не е необходимо да се измерват всички военнослужещи, които живеят в дадена област, но е достатъчно да се измери част от тях.

1. Пробата трябва да бъде напълно представителна или типична, т.е. така че включва главно онези опции, които най -пълно отразяват общото население. Следователно, за да започне обработката на примерни данни, те се преглеждат внимателно и се отстраняват ясно нетипични варианти. Например, когато се анализира цената на продуктите, произведени от предприятието, трябва да се изключат разходите в онези периоди, когато предприятието не е било напълно снабдено с компоненти или суровини.

2. Пробата трябва да бъде обективна. При формирането на извадка не трябва да се действа произволно, да се включват само онези опции, които изглеждат типични в състава й, и да се отхвърлят всички останали. Качествена извадка се прави без предварителни становища, по метода на жребий или чрез лотария, когато нито един от вариантите на общата популация няма предимства пред останалите - да бъде включен или невключен в извадката. С други думи, извадката трябва да бъде избрана на случаен принцип, без това да повлияе на нейния състав.

3. Пробата трябва да бъде качествено еднаква. Невъзможно е да се включат в една и съща извадка данни, получени при различни условия, например стойността на продуктите, получени с различен брой служители.

6.2. Групиране на резултатите от наблюденията

Обикновено резултатите от експериментите и наблюденията се въвеждат под формата на числа в регистрационни карти или дневник, а понякога просто върху листове хартия - получава се изявление или регистър. Такива първоначални документи по правило съдържат информация не за един, а за няколко знака, върху които са направени наблюденията. Тези документи служат като основен източник за формиране на извадката. Обикновено това се прави така: на отделен лист хартия от основния документ, т.е. картотека, дневник или извлечение, се изписват числовите стойности на атрибута, чрез който се формира съвкупността. Вариантите в такава комбинация обикновено се представят под формата на безпорядъчна маса от числа. Следователно първата стъпка към обработката на такъв материал е подреждането, систематизирането му - групирането на опцията в статистически таблици или редове.

Статистическите таблици са една от най -често срещаните форми на групиране на извадкови данни. Те са илюстративни, показват някои общи резултати, позицията на отделните елементи в общата поредица от наблюдения.

Друга форма на първично групиране на примерни данни е методът за класиране, т.е. местоположението на варианта в определен ред - според нарастващите или намаляващите стойности на атрибута. В резултат на това се получава така наречената класирана серия, която показва в какви граници и как тази функция варира. Например има извадка от следния състав:

5,2,1,5,7,9,3,5,4,10,4,5,7,3,5, 9,4,12,7,7

Може да се види, че функцията варира от 1 до 12 на някои единици. Подреждаме опциите във възходящ ред:

1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,7,7,7,7,9,9,10,12.,

В резултат на това беше получена класирана серия от стойности с променлив атрибут.

Очевидно методът за класиране, показан тук, е приложим само за малки извадки. При голям брой наблюдения класирането става трудно, т.к редът е толкова дълъг, че губи значението си.

При голям брой наблюдения е обичайно извадката да се класира под формата на двойна серия, т.е. показваща честотата или честотата на отделните варианти на класираната серия. Такава двойна серия от класирани стойности на характеристика се нарича вариационна серия или серия на разпределение. Най -простият пример за вариационна серия могат да бъдат данните, класирани по -горе, ако са подредени по следния начин:

Характерни ценности

(опции) 1 2 3 4 5 7 9 10 12

повторяемост

(опция) честоти 1 1 2 3 5 4 2 1 1

Вариационната серия показва честотата, с която отделните варианти се намират в дадена популация, как са разпределени, което е от голямо значение, което ни позволява да преценим моделите на вариация и обхвата на вариация на количествените характеристики. Изграждането на вариационни серии улеснява изчисляването на общите показатели - средната аритметична стойност и вариацията или дисперсията на варианта относно тяхната средна стойност - показатели, които характеризират всяка статистическа популация.

Вариационните серии са два вида: прекъснати и непрекъснати. Прекъсната вариационна серия се получава от разпределението на дискретни величини, които включват функции за броене. Ако характеристиката се променя непрекъснато, т.е. може да приема всякакви стойности в диапазона от минималния до максималния вариант на популацията, след което последният се разпределя в непрекъсната вариационна серия.

За да се конструира вариационен ред с дискретно варираща характеристика, достатъчно е да се подреди целият набор от наблюдения под формата на класирана серия, като се посочат честотите на отделните варианти. Като пример даваме данни, показващи разпределението на размера на 267 части (таблица 5.4)

Таблица 6.1. Разпределение на части по размер.

За да изградите вариационна серия от непрекъснато променящи се характеристики, трябва да разделите цялата вариация от минималния до максималния вариант на отделни групи или интервали (от-до), наречени класове, и след това да разпределите всички варианти на популацията между тези класове . В резултат на това ще се получат двойни вариационни серии, в които честотите вече не се отнасят до отделни специфични варианти, а до целия интервал, т.е. се оказва, че честотите не са опция, а са класове.

Разделянето на общата вариация на класове се извършва по скалата на интервала на класа, която трябва да е еднаква за всички класове от вариационната серия. Размерът на интервала на класа се обозначава с i (от думата intervalum - интервал, разстояние); се определя по следната формула

, (6.1)

където: i - интервал на клас, който се приема като цяло число;

- максимални и минимални опции за извадка;

lg.n е логаритъмът на броя класове, на които е разделена извадката.

Броят на класовете се задава произволно, но като се вземе предвид фактът, че броят на класовете е в известна зависимост от размера на извадката: колкото по -голям е размерът на извадката, толкова повече класове трябва да бъдат, и обратно - с по -малки размери на извадката, a трябва да се вземат по -малък брой класове. Опитът показва, че дори при малки проби, когато е необходимо да се групират варианти под формата на вариационни серии, не трябва да се задават по-малко от 5-6 класа. Ако има опция 100-150, броят на класовете може да се увеличи до 12-15. Ако съвкупността се състои от 200-300 варианта, тогава тя е разделена на 15-18 класа и т.н. Разбира се, тези препоръки са много условни и не могат да се приемат като установено правило.

Когато се разделяте на класове, във всеки конкретен случай трябва да се съобразявате с редица различни обстоятелства, като гарантирате, че обработката на статистически материал дава най -точните резултати.

След установяване на интервала на класа и извадката се разделя на класове, вариантът се публикува по клас и се определя броят на вариациите (честотите) за всеки клас. Резултатът е вариационен ред, в който честотите не принадлежат към отделни варианти, а към конкретни класове. Сумата от всички честоти на вариационната серия трябва да бъде равна на размера на извадката, т.е.

(6.2)

където:
-сумиращ знак;

p е честотата.

n е размерът на извадката.

Ако няма такова равенство, тогава е направена грешка при публикуването на варианта по клас, която трябва да бъде елиминирана.

Обикновено за публикуване на вариант по клас се съставя спомагателна таблица, в която има четири колони: 1) класове за този атрибут (от - до); 2) - средна стойност на класовете, 3) опция за публикуване по класове, 4) честота на класовете (виж таблица 6.2.)

Публикуването на опция по клас изисква много внимание. Не трябва да се допуска, че един и същ вариант е маркиран два пъти или същите варианти попадат в различни класове. За да се избегнат грешки при разпределението на вариант по класове, се препоръчва да не се търсят същите варианти в съвкупността, а да се разпределят по класове, което не е едно и също нещо. Пренебрегването на това правило, което се случва в работата на неопитни изследователи, отнема много време при публикуването на опция и най -важното води до грешки.

Таблица 6.2. Опция за публикуване по клас

След като публикуваме варианта и броим техния брой за всеки клас, получаваме непрекъсната серия от вариации. Тя трябва да се превърне в прекъсната серия от вариации. За това, както вече беше отбелязано, вземаме полусумите от крайните стойности на класовете. Така, например, първокласна медиана от 8,8 се получава, както следва:

(8,6+9,0):2=8,8.

Втората стойност (9.3) на тази графика се изчислява по подобен начин:

(9,01 + 9,59): 2 = 9,3 и т.н.

В резултат на това се получава прекъсната серия от вариации, показваща разпределението според изследваната черта (Таблица 6.3.)

Таблица 6.3. Вариационни серии

Групирането на примерни данни под формата на вариационен ред има двойна цел: първо, като спомагателна операция, това е необходимо при изчисляване на общите показатели, и второ, разпределителните серии показват редовността на промяната на характеристиките, което е много важно. За да се изрази по -ясно този модел, обичайно е да се изобразява вариационната серия графично под формата на хистограма (Фигура 6.1.)

Фигура 6.1 Разпределение на предприятията по брой служители

гистограма изобразява разпределението на варианта с непрекъснато изменение на характеристиката. Правоъгълниците съответстват на класовете, а височините им съответстват на броя опции, затворени във всеки клас. Ако от средните точки на върховете на правоъгълниците на хистограмата спускаме перпендикулярите към оста на абсцисата и след това свързваме тези точки една с друга, получаваме графика с непрекъснато изменение, наречена многоъгълник или плътност на разпределение.

При провеждане на психолого -педагогически изследвания важна роля се отдава на математическите методи за моделиране на процеси и обработка на експериментални данни. Тези методи трябва да включват преди всичко т. Нар. Вероятностно-статистически методи за изследване. Това се дължи на факта, че поведението както на отделен човек в процеса на неговата дейност, така и на човек в екип се влияе значително от много случайни фактори. Случайността не позволява описване на явления в рамките на детерминистични модели, тъй като се проявява като недостатъчна закономерност в масовите явления и следователно не дава възможност за надеждно прогнозиране на настъпването на определени събития. При изучаването на такива явления обаче се разкриват определени модели. Неравномерността, присъща на случайни събития, с голям брой тестове, обикновено се компенсира от появата на статистическа закономерност, стабилизиране на честотите на възникване на случайни събития. Следователно тези случайни събития имат известна вероятност. Има два коренно различни вероятностни и статистически метода на психолого-педагогическите изследвания: класически и некласически. Нека направим сравнителен анализ на тези методи.

Класическият вероятностно-статистически метод. Класическият вероятностно-статистически метод на изследване се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика. Този метод се използва при изследване на масови явления със случаен характер; той включва няколко етапа, основните от които са както следва.

1. Изграждане на вероятностен модел на реалността въз основа на анализ на статистически данни (определяне на закона за разпределение на случайна величина). Естествено, колкото по -голям е обемът на статистическия материал, толкова по -ясно се изразяват закономерностите на масовите случайни явления. Примерните данни, получени по време на експеримента, винаги са ограничени и, строго погледнато, случайни. В тази връзка важна роля се отдава на обобщаването на моделите, получени в извадката, и разширяването им върху цялата обща популация от обекти. За да се реши този проблем, се приема определена хипотеза за естеството на статистическата закономерност, която се проявява в изследваното явление, например хипотезата, че изследваното явление се подчинява на закона за нормалното разпределение. Такава хипотеза се нарича нулева хипотеза, която може да се окаже погрешна, поради което наред с нулевата хипотеза се предлага и алтернативна или конкурентна хипотеза. Проверката на това как получените експериментални данни съответстват на определена статистическа хипотеза се извършва с помощта на т. Нар. Непараметрични статистически тестове или тестове за пригодност. В момента широко се използват критериите на Колмогоров, Смирнов, омега-квадрат и други. Основната идея зад тези критерии е да се измери разстоянието между емпиричната функция на разпределение и напълно известната теоретична функция на разпределение. Методологията за тестване на статистическа хипотеза е строго разработена и очертана в голям брой трудове по математическа статистика.

2. Извършване на необходимите изчисления чрез математически средства в рамките на вероятностен модел. В съответствие с установения вероятностен модел на явлението се изчисляват характерни параметри, например като математическо очакване или средна стойност, дисперсия, стандартно отклонение, режим, медиана, индекс на асиметрия и др.

3. Тълкуване на вероятностни и статистически заключения във връзка с реалната ситуация.

Понастоящем класическият вероятностно-статистически метод е добре развит и широко използван в научните изследвания в различни области на естествените, техническите и социалните науки. Подробно описание на същността на този метод и приложението му за решаване на конкретни проблеми може да се намери в голям брой литературни източници, например в.

Некласически вероятностно-статистически метод. Некласическият вероятно-статистически метод на изследване се различава от класическия по това, че се прилага не само за масови събития, но и за отделни събития, които са в основата си случайни по природа. Този метод може ефективно да се използва за анализ на поведението на индивида в процеса на изпълнение на определена дейност, например в процеса на усвояване на знанията от учениците. Ще разгледаме особеностите на некласическия вероятностно-статистически метод на психолого-педагогическото изследване, като използваме примера за поведението на учениците в процеса на усвояване на знанията.

За първи път в работата е предложен вероятностно-статистически модел на поведение на учениците в процеса на усвояване на знания. По -нататъшното развитие на този модел е извършено в работата. Ученето като вид дейност, чиято цел е усвояване на знания, умения и способности от човек, зависи от степента на развитие на съзнанието на ученика. Структурата на съзнанието включва такива познавателни процеси като усещане, възприятие, памет, мислене, въображение. Анализът на тези процеси показва, че те се характеризират с елементи на случайност, поради случайния характер на психичните и соматични състояния на индивида, както и физиологични, психологически и информационни шумове по време на работата на мозъка. Последното доведе, когато описва процесите на мислене, да се откаже от използването на модела на детерминирана динамична система в полза на модел на произволна динамична система. Това означава, че детерминизмът на съзнанието се осъществява чрез случайността. Следователно можем да заключим, че човешкото знание, което всъщност е продукт на съзнанието, също има случаен характер и следователно, за да се опише поведението на всеки отделен ученик в процеса на усвояване на знанието, може да се използва вероятностно-статистически метод .

В съответствие с този метод ученикът се идентифицира чрез функцията за разпределение (вероятностна плътност), която определя вероятността да го намери в единична площ на информационното пространство. В процеса на обучение функцията за разпределение, с която се идентифицира ученикът, докато се развива, се движи в информационното пространство. Всеки ученик има индивидуални свойства и е разрешена независима локализация (пространствена и кинематична) на индивиди един спрямо друг.

Въз основа на закона за запазване на вероятността е написана система от диференциални уравнения, които са уравнения за непрекъснатост, които свързват промяната в плътността на вероятностите за единица време във фазовото пространство (пространството на координатите, скоростите и ускоренията на различни порядки) с разминаване на потока на вероятностната плътност в разглежданото фазово пространство. При анализа на аналитични решения на редица уравнения за непрекъснатост (функции на разпределение), характеризиращи поведението на отделните ученици в учебния процес.

При провеждане на експериментални изследвания на поведението на учениците в процеса на усвояване на знания се използва вероятностно-статистическо мащабиране, в съответствие с което скалата на измерване е подредена система , където А е някакъв добре подреден набор от обекти (индивиди), притежаващи интересуващите ни характеристики (емпирична система с отношения); Ly - функционално пространство (пространство на разпределителни функции) с релации; F е операцията на хомоморфно картографиране на A към подсистемата Ly; G - група от допустими трансформации; f е операцията на картографиране на разпределителни функции от подсистема Ly към числови системи със съотношения на n-мерно пространство M. Вероятностно-статистическото мащабиране се използва за намиране и обработка на експериментални разпределителни функции и включва три етапа.

1. Намиране на експериментални функции за разпределение въз основа на резултатите от контролно събитие, например изпит. Типичен изглед на отделните разпределителни функции, открити с помощта на двадесет-точкова скала, е показан на фиг. 1. Методът за намиране на такива функции е описан в.

2. Съпоставяне на функциите за разпределение в числово пространство. За тази цел се изчисляват моментите на отделни разпределителни функции. На практика като правило е достатъчно да се ограничим до определяне на моментите от първи ред (математическо очакване), втори ред (дисперсия) и трети ред, който характеризира асиметрията на разпределителната функция.

3. Класиране на учениците според нивото на знания въз основа на сравнение на моментите на различни подреждания на техните индивидуални функции за разпределение.

Ориз. 1. Типична форма на индивидуални функции на разпределение на студенти, получили различни оценки на изпита по обща физика: 1 - традиционната оценка „2“; 2 - традиционен рейтинг "3"; 3 - традиционен рейтинг "4"; 4 - традиционен рейтинг "5"

Експерименталните разпределителни функции за потока от ученици бяха открити въз основа на адитивността на отделните разпределителни функции в (Фиг. 2).

Ориз. 2. Развитие на функцията за пълно разпределение на студентския поток, сближена с гладки линии: 1 - след първата година; 2 - след втория курс; 3 - след третия курс; 4 - след четвъртия курс; 5 - след петия курс

Анализ на данните, представени на фиг. 2 показва, че докато човек се движи в информационното пространство, функциите за разпределение се разпределят. Това се дължи на факта, че математическите очаквания за функциите на разпределение на индивидите се движат с различни скорости, а самите функции се разпределят поради разсейване. По-нататъшен анализ на тези разпределителни функции може да се извърши в рамките на класическия вероятностно-статистически метод.

Обсъждане на резултатите. Анализът на класическите и некласическите вероятностни и статистически методи на психолого-педагогическите изследвания показа, че има значителна разлика между тях. Както може да се разбере от горното, е, че класическият метод е приложим само за анализ на масови събития, а некласическият метод е приложим както за анализ на масови, така и за единични събития. В тази връзка класическият метод може условно да се нарече масово вероятностно-статистически метод (MVSM), а некласическият метод-индивидуалният вероятностно-статистически метод (ISM). В 4] е показано, че нито един от класическите методи за оценка на знанията на учениците в рамките на вероятностно-статистическия модел на индивида не може да бъде приложен за тези цели.

Нека разгледаме отличителните черти на методите MVSM и IVSM, като използваме примера за измерване на пълнотата на знанията на учениците. За тази цел ще проведем мисловен експеримент. Да предположим, че има голям брой студенти, абсолютно идентични по умствени и физически характеристики, със същата предистория, и нека те, без да взаимодействат помежду си, да участват едновременно в един и същ познавателен процес, изпитвайки абсолютно същото строго детерминирано влияние. След това, в съответствие с класическите представи за обектите на измерване, всички ученици трябва да са получили едни и същи оценки за пълнотата на знанията с дадена точност на измерване. В действителност обаче, при достатъчно висока точност на измерване, оценките за пълнотата на знанията на учениците ще се различават. Не е възможно да се обясни такъв резултат от измерването в рамките на MVSM, тъй като първоначално се приема, че въздействието върху абсолютно идентични невзаимодействащи ученици има строго детерминиран характер. Класическият вероятностно-статистически метод не отчита факта, че детерминизмът на познавателния процес се осъществява чрез случайност, присъща на всеки индивид, който познава света около себе си.

Случайният характер на поведението на ученика в процеса на усвояване на знания се взема предвид от IVSM. Използването на индивидуален вероятностно-статистически метод за анализ на поведението на разглежданата идеализирана група ученици би показало, че е невъзможно да се посочи точно позицията на всеки ученик в информационното пространство, може да се каже само вероятността да го намерите в едно или друга област от информационното пространство. Всъщност всеки ученик се идентифицира чрез индивидуална функция за разпределение, а нейните параметри, като математическо очакване, вариация и т.н., са индивидуални за всеки ученик. Това означава, че отделните функции за разпределение ще бъдат разположени в различни области на информационното пространство. Причината за това поведение на учениците се крие в случайния характер на учебния процес.

В редица случаи обаче резултатите от изследванията, получени в рамките на MVSM, могат да бъдат интерпретирани в рамките на IVSM. Да предположим, че учителят използва петточкова скала за измерване, за да оцени знанията на ученика. В този случай грешката при оценката на знанията е ± 0,5 точки. Следователно, когато на ученик се даде оценка например 4 точки, това означава, че знанията му са в диапазона от 3,5 точки до 4,5 точки. Всъщност позицията на индивид в информационното пространство в този случай се определя от правоъгълна функция на разпределение, чиято ширина е равна на грешката при измерването ± 0,5 точки, а оценката е математическото очакване. Тази грешка е толкова голяма, че не позволява да се наблюдава истинската форма на разпределителната функция. Въпреки такова грубо сближаване на функцията на разпределение, изследването на нейната еволюция позволява да се получи важна информация, както за поведението на отделния индивид, така и на колектива от ученици като цяло.

Резултатът от измерването на пълнотата на знанията на ученика се влияе пряко или косвено от съзнанието на учителя (метър), което също се характеризира със случайност. В процеса на педагогически измервания всъщност има взаимодействие на две произволни динамични системи, които идентифицират поведението на ученик и учител в този процес. Разглежда се взаимодействието на студентската подсистема с факултетната подсистема и се показва, че скоростта на движение на математическото очакване на отделните разпределителни функции на студентите в информационното пространство е пропорционална на функцията на влияние на преподавателския състав и е обратно пропорционална на функцията на инерция, характеризираща невъзможността за промяна на позицията на математическото очакване в пространството (аналог на закона на Аристотел в механиката).

В момента, въпреки значителния напредък в развитието на теоретичните и практическите основи на измерванията по време на психолого -педагогическите изследвания, проблемът с измерванията като цяло все още е далеч от решаването. Това се дължи преди всичко на факта, че все още няма достатъчно информация за влиянието на съзнанието върху процеса на измерване. Подобна ситуация възникна при решаване на проблема с измерванията в квантовата механика. Така при разглеждане на концептуалните проблеми на квантовата теория на измерванията се казва, че е невъзможно да се разрешат някои парадокси на измерванията в квантовата механика "... едва ли е възможно без прякото включване на съзнанието на наблюдателя в теоретичното описание на квантовото измерване. " По -нататък се казва, че „... предположението, че съзнанието може да направи определено събитие вероятно, е последователно, дори ако според законите на физиката (квантовата механика) вероятността от това събитие е малка. Нека да направим важно уточнение на формулировката: съзнанието на даден наблюдател може да направи вероятността той да види това събитие. "