Производната на естествения логаритъм x. Сложни производни

сложни производни. Логаритмична производна.
Производна на експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме разгледания материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също и ще се запознаем с нови трикове и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намеря производната? Примери за решениекоето ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го овладеете, вие уверено ще разграничите доста сложни функции. Не е желателно да се придържате към позицията „Къде другаде? Да, и това е достатъчно! ”, Тъй като всички примери и решения са взети от реални тестове и често се срещат на практика.

Да започнем с повторението. На урока Производна на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаването на диференциалното смятане и други раздели от математическия анализ ще трябва да правите диференциация много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да рисувате примери с големи подробности. Затова ще се упражняваме в устното намиране на производни. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простите сложни функции, например:

Според правилото за диференциране на сложна функция :

При изучаване на други теми на matan в бъдеще, такъв подробен запис най-често не се изисква, предполага се, че ученикът може да намери подобни производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Каква е производната на тангенса на две х?“. Това трябва да бъде последвано от почти незабавен и учтив отговор: .

Първият пример веднага ще бъде предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица на производните на елементарни функции(ако вече не си е спомнила). Ако имате някакви затруднения, препоръчвам да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Сложни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 прикачени функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще им се сторят сложни, но ако бъдат разбрани (някой страда), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намирането на производната на сложна функция на първо място е необходимо правоРАЗБЕРЕТЕ ИНВЕСТИЦИИ. В случаите, когато има съмнения, ви напомням един полезен трик: вземаме например експерименталната стойност "x" и се опитваме (умствено или на чернова) да заменим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо трябва да изчислим израза, така че сборът е най-дълбокото вложение.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това нарежете на куб косинус:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложни функции се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда няма грешка...

(1) Вземаме производната на квадратния корен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е равна на нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземаме производната на косинуса.

(5) Вземаме производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото гнездене.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция, или не разбира.

Следният пример е за самостоятелно решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминете към нещо по-компактно и по-красиво.
Не е необичайна ситуация, в която в пример е дадено произведението на не две, а три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, разглеждаме, но възможно ли е произведението на три функции да се превърне в продукт на две функции? Например, ако имаме два полинома в продукта, тогава бихме могли да отворим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприлага правилото за продуктова диференциация два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции: , а за "ve" - логаритъмът:. Защо това може да се направи? Така ли - това не е продукт на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава да приложим правилото втори път към скоба:

Все още можете да изкривите и да извадите нещо от скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да проверите.

Горният пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно еквивалентни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение, в пробата се решава по първия начин.

Разгледайте подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по няколко начина:

или така:

Но решението може да бъде написано по-компактно, ако на първо място използваме правилото за диференциране на частното , вземайки за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави в този вид, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но възможно ли е да се опрости отговорът? Привеждаме израза на числителя към общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че има риск от грешка не при намиране на производна, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат „да я доведат до ума“ на производната.

По-прост пример за решение "направи си сам":

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да усвояваме техниките за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато се предлага „ужасен“ логаритъм за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за диференциране на сложна функция:

Но първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Така предикак да вземем производната на „фантастичния“ логаритъм, преди това е опростен с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате под ръка тетрадка за упражнения, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, нарисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде формулирано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намираме производната:

Предварителната трансформация на самата функция значително опрости решението. Следователно, когато се предлага подобен логаритъм за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

И сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

логаритмична производна

Ако производната на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Подобни примери разгледахме наскоро. Какво да правя? Може последователно да се приложи правилото за диференциране на частното, а след това правилото за диференциране на произведението. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но в теорията и практиката има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги „окачат“ от двете страни:

Забележка : защото функцията може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които изчезват в резултат на диференциацията. Въпреки това, настоящият дизайн също е приемлив, където по подразбиране е комплексстойности. Но ако с цялата строгост, тогава и в двата случая е необходимо да се направи резервация, че.

Сега трябва да „разбиете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Завършваме и двете части с щрих:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с него уверено.

Ами лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвидям въпроса: „Защо, има ли една буква „у“ под логаритъма?“.

Факт е, че тази "една буква у" - САМА ФУНКЦИЯ Е(ако не е много ясно, вижте статията Производна на имплицитно посочена функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И ние използваме правилото за диференциране на съставната функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производно. Освен това, според правилото за пропорция, хвърляме "y" от знаменателя на лявата страна до върха на дясната страна:

И сега си спомняме за каква "игра"-функция говорихме при разграничаването? Нека разгледаме условието:

Краен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример "направи си сам". Примерен дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Експоненциалната функция е функция, която има и степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичната производна. Окачваме логаритми от двете страни:

По правило степента се изважда от под логаритъма от дясната страна:

В резултат на това от дясната страна имаме продукт от две функции, които ще бъдат диференцирани според стандартната формула .

Намираме производната, за това ограждаме и двете части под черти:

Следващите стъпки са лесни:

накрая:

Ако някаква трансформация не е напълно ясна, моля, прочетете внимателно обясненията на Пример 11.

В практическите задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания пример от лекция.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "логаритъм от логаритъма на x" (под логаритъма е вложен друг логаритъм). При диференциране на константа, както си спомняме, е по-добре веднага да я извадим от знака на производната, за да не пречи; и, разбира се, прилагайте познатото правило :

При диференциране на експоненциална степенна функция или тромави дробни изрази е удобно да се използва логаритмичната производна. В тази статия ще разгледаме примери за неговото приложение с подробни решения.

По-нататъшното представяне предполага възможност за използване на таблицата на производните, правилата за диференциране и познаване на формулата за производната на сложна функция.

Извеждане на формулата за логаритмичната производна.

Първо вземаме логаритъма към основата e, опростяваме формата на функцията, използвайки свойствата на логаритъма и след това намираме производната на имплицитно зададената функция:

Например, нека намерим производната на експоненциалната степенна функция x на степента на x.

Логаритъмът дава. Според свойствата на логаритъма. Разграничаването на двете части на равенството води до резултата:

Отговор: .

Същият пример може да бъде решен без да се използва логаритмичната производна. Можете да направите някои трансформации и да преминете от диференциране на експоненциална степенна функция към намиране на производната на сложна функция:

Пример.

Намерете производната на функция .

Решение.

В този пример функцията е дроб и неговата производна може да бъде намерена с помощта на правилата за диференциране. Но поради тромавия израз, това ще изисква много трансформации. В такива случаи е по-разумно да се използва формулата за логаритмичната производна . Защо? Сега ще разбереш.

Нека първо го намерим. При трансформациите ще използваме свойствата на логаритъма (логаритъмът на дроб е равен на разликата от логаритмите, а логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите и степента на израза под знакът на логаритъма може да се извади и като коефициент пред логаритъма):

Тези трансформации ни доведоха до доста прост израз, чиято производна е лесна за намиране:

Заместваме получения резултат във формулата за логаритмичната производна и получаваме отговора:

За да консолидираме материала, даваме още няколко примера без подробни обяснения.

Пример.

Намерете производната на експоненциална степенна функция

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Производната на естествения логаритъм на x е равна на единица, разделена на x:
(1) (lnx)′ =.

Производната на логаритъма спрямо основата a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по естествения логаритъм на a:
(2) (log x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Помислете за функция, която зависи от променливата x, която е основен логаритъм:
.
Тази функция се дефинира с . Нека намерим нейната производна по отношение на x . По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за да го сведем до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
а)Свойства на логаритъма. Нуждаем се от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Ето някаква функция, която има ограничение и тази граница е положителна.
V)Значението на второто прекрасно ограничение:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашия лимит. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За да направим това, прилагаме свойства (4) и (5).

.

Използваме свойство (7) и второто забележително ограничение (8):
.

И накрая, приложете свойство (6):
.
основен логаритъм дНаречен естествен логаритъм. Той е маркиран така:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на естествения логаритъм

Още веднъж изписваме формулата за производната на логаритъма по база a:
.
Тази формула има най-простата форма за естествения логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота, естественият логаритъм се използва много широко в смятането и други области на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други бази могат да бъдат изразени чрез естествения логаритъм, използвайки свойство (6):
.

Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака на диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на степента:
(9) .
Тогава можем да изведем формулата за производната на естествения логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на степента.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратното на естествения логаритъм е степента:
.
Производната му се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с всяка буква. Във формула (9) заменяме променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на естествения логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложна функция. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Диференцирайте това уравнение по отношение на променливата x :
(10) .
Производната на х е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на в 2x, В 3хи ln nx.

Решение

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3. И по този начин получаваме формули за производни на В 2хи В 3х .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Променливи зависими функции : ;
2) Променливи зависими функции : .
Тогава оригиналната функция се състои от функциите и:
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производната на комплексна функция.
.
Тук сме заменили.

Така че открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако трансформираме оригиналната функция с помощта на формулата на логаритъма на произведението:
.
- е константа. Производната му е нула. Тогава, според правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

Отговор

; ; .

Производна на логаритъм по модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - естествения логаритъм на x модула:
(12) .

Нека разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Производната му се определя по формула (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията изглежда така:
,
където .
Но също така открихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно за логаритъма към основата а имаме:
.

Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Намерихме производната му от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от третия ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава за n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k . Нека докажем, че от това следва, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Диференцирайте по отношение на x :

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . По този начин, от допускането, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно, формула (14), за производна от n-ти ред, е валидна за всяко n .

Производни от по-висок порядък на логаритъма по основа a

За да намерите n-то производно на основния логаритъм a , трябва да го изразите чрез естествения логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-то производно:
.

Мислите ли, че има още много време до изпита? Месец ли е? две? Година? Практиката показва, че студентът се справя най-добре с изпита, ако започне да се подготвя за него предварително. В Единния държавен изпит има много трудни задачи, които пречат на ученик и бъдещ кандидат към най-високите резултати. Тези препятствия трябва да се научат да преодоляват, освен това не е трудно да се направи това. Трябва да разберете принципа на работа с различни задачи от билети. Тогава няма да има проблеми с новите.

Логаритмите на пръв поглед изглеждат невероятно сложни, но при по-внимателен анализ ситуацията става много по-проста. Ако искате да издържите изпита с най-висок резултат, трябва да разберете въпросната концепция, която предлагаме да направите в тази статия.

Първо, нека разделим тези определения. Какво е логаритъм (логаритм)? Това е индикатор за мощността, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи посоченото число. Ако не е ясно, ще анализираме елементарен пример.

В този случай основата по-долу трябва да се повдигне на втора степен, за да се получи числото 4.

Сега нека се заемем с втората концепция. Производната на функция във всякаква форма се нарича понятие, което характеризира промяната на функция в дадена точка. Това обаче е училищна програма и ако имате проблеми с тези понятия поотделно, си струва да повторите темата.

Производна на логаритъма

В задачите на USE по тази тема могат да се посочат няколко задачи като пример. Нека започнем с най-простата логаритмична производна. Трябва да намерим производната на следната функция.

Трябва да намерим следващата производна

Има специална формула.

В този случай x=u, log3x=v. Заменете стойностите от нашата функция във формулата.

Производната на x ще бъде равна на единица. Логаритъмът е малко по-труден. Но ще разберете принципа, ако просто замените стойностите. Припомнете си, че производната lg x е производна на десетичния логаритъм, а производната ln x е производната на естествения логаритъм (по основата e).

Сега просто заменете получените стойности във формулата. Опитайте сами, след това проверете отговора.

Какъв може да е проблемът тук за някои? Въведохме понятието естествен логаритъм. Нека поговорим за това и в същото време да разберем как да разрешим проблемите с него. Няма да видите нищо сложно, особено когато разберете принципа на неговото действие. Трябва да свикнете с него, тъй като често се използва в математиката (особено във висшите учебни заведения).

Производна на естествения логаритъм

В основата си това е производната на логаритъма по основата e (това е ирационално число, равно на приблизително 2,7). Всъщност ln е много просто, поради което често се използва в математиката като цяло. Всъщност решаването на проблема с него също няма да е проблем. Струва си да се помни, че производната на естествения логаритъм по основата e ще бъде равна на единица, разделена на x. Решението на следващия пример ще бъде най-показателно.