Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Математическото очакване е вероятностното разпределение на случайна променлива Дни математическо очакване седмица

Както вече е известно, законът за разпределение напълно характеризира случайна променлива. Законът за разпределение обаче често е неизвестен и човек трябва да се ограничи до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа, които описват сумарно произволна променлива; такива номера се наричат числени характеристики на случайна променлива.

Математическото очакване е една от важните числови характеристики.

Математическото очакване е приблизително равно на средната стойност на случайна величина.

Математическо очакване на дискретна случайна променливае сумата от продуктите на всички негови възможни стойности и техните вероятности.

Ако една случайна променлива се характеризира с краен ред на разпределение:

х	х 1	х 2	х 3	…	x n
Р	стр. 1	стр. 2	стр. 3	…	r p

след това математическото очакване M(X)се определя по формулата:

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:

където е плътността на вероятността на случайната променлива х.

Пример 4.7.Намерете математическото очакване на броя точки, които се падат при хвърляне на зара.

Решение:

Случайна стойност хприема стойностите 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нека направим закона за неговото разпределение:

х
Р

Тогава математическото очакване е:

Свойства на математическото очакване:

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на самата константа:

M(S)=S.

2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:

M(CX) = CM(X).

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

M(XY) = M(X)M(Y).

Пример 4.8. Независими случайни променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:

х					Y
Р	0,6	0,1	0,3		Р	0,8	0,2

Намерете математическото очакване на случайна променлива XY.

Решение.

Нека намерим математическите очаквания на всяко от тези количества:

случайни променливи хИ Yнезависими, така че желаното математическо очакване:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Последица.Математическото очакване на произведението на няколко взаимно независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата на математическите очаквания на членовете:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Последица.Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Пример 4.9.Изстрелват се 3 изстрела с вероятност за попадение в целта, равна на стр. 1 = 0,4; p2= 0,3 и стр. 3= 0,6. Намерете математическото очакване на общия брой попадения.

Решение.

Броят на попаденията при първия удар е случайна променлива X 1, което може да приема само две стойности: 1 (попадение) с вероятност стр. 1= 0,4 и 0 (пропускане) с вероятност р 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математическото очакване за броя на попаденията при първия изстрел е равно на вероятността за попадение:

По същия начин намираме математическите очаквания за броя на попаденията във втория и третия изстрел:

M(X 2)= 0,3 и M (X 3) \u003d 0,6.

Общият брой попадения също е произволна променлива, състояща се от сбора на попаденията във всеки от трите изстрела:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Желаното математическо очакване хние намираме чрез теоремата на математиката, очакването на сумата.

Случайните променливи, в допълнение към законите за разпределение, също могат да бъдат описани числови характеристики .

математическо очакване M (x) на случайна променлива се нарича нейната средна стойност.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива се изчислява по формулата

Където – стойности на случайна променлива, p аз-техните вероятности.

Помислете за свойствата на математическото очакване:

1. Математическото очакване на константа е равно на самата константа

2. Ако една случайна променлива се умножи по определено число k, тогава математическото очакване ще бъде умножено по същото число

M (kx) = kM (x)

3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. За независими случайни променливи x 1 , x 2 , … x n математическото очакване на произведението е равно на произведението на техните математически очаквания

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Нека изчислим математическото очакване за случайната променлива от пример 11.

M(x) == .

Пример 12.Нека случайните променливи x 1 , x 2 са дадени съответно от законите за разпределение:

x 1 Таблица 2

x 2 Таблица 3

Изчислете M (x 1) и M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Математическите очаквания на двете случайни величини са еднакви – равни са на нула. Разпределението им обаче е различно. Ако стойностите на x 1 се различават малко от тяхното математическо очакване, то стойностите на x 2 се различават в голяма степен от тяхното математическо очакване и вероятностите за такива отклонения не са малки. Тези примери показват, че от средната стойност не е възможно да се определи какви отклонения от нея има както нагоре, така и надолу. Така че при еднакви средни годишни валежи в две местности не може да се каже, че тези местности са еднакво благоприятни за селскостопанска работа. По същия начин по показателя средна работна заплата не може да се прецени съотношението на високо- и нископлатените работници. Следователно се въвежда числова характеристика - дисперсия D(x) , който характеризира степента на отклонение на случайна променлива от нейната средна стойност:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Дисперсията е математическото очакване на квадратното отклонение на случайна променлива от математическото очакване. За дискретна случайна променлива дисперсията се изчислява по формулата:

D(x)= = (3)

От определението за дисперсия следва, че D (x) 0.

Дисперсионни свойства:

1. Дисперсията на константата е нула

2. Ако една случайна променлива се умножи по някакво число k, тогава дисперсията се умножи по квадрата на това число

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. За независими по двойки случайни променливи x 1 , x 2 , … x n дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Нека изчислим дисперсията за случайната променлива от пример 11.

Математическо очакване M (x) = 1. Следователно, съгласно формулата (3) имаме:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Имайте предвид, че е по-лесно да се изчисли дисперсията, ако използваме свойство 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Нека изчислим дисперсиите за случайни променливи x 1 , x 2 от пример 12, използвайки тази формула. Математическите очаквания на двете случайни променливи са равни на нула.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u003d 0,00204

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Колкото по-близка е стойността на дисперсията до нула, толкова по-малко е разпространението на случайната променлива спрямо средната стойност.

Стойността се нарича стандартно отклонение. Случайна модах дискретен тип Mdе стойността на случайната променлива, която съответства на най-високата вероятност.

Случайна модах непрекъснат тип Md, е реално число, дефинирано като максималната точка на плътността на вероятностното разпределение f(x).

Медиана на случайна променливах непрекъснат тип Mnе реално число, което удовлетворява уравнението

§ 4. ЧИСЛОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА СЛУЧАЙНИТЕ ВЕЛИЧИНИ.

В теорията на вероятностите и в много от нейните приложения различни числени характеристики на случайни променливи са от голямо значение. Основните са математическото очакване и дисперсията.

1. Математическо очакване на случайна величина и нейните свойства.

Разгледайте първо следния пример. Нека фабриката получи партида, състояща се от нлагери. при което:

m 1 х 1,
м2- брой лагери с външен диаметър х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- брой лагери с външен диаметър x n,

Тук m 1 +m 2 +...+m n =N. Намерете средното аритметично x вжвъншен диаметър на лагера. очевидно,
Външният диаметър на произволно изваден лагер може да се разглежда като случайна променлива, приемаща стойностите х 1, х 2, ..., x n, със съответните вероятности p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n = m n /N, тъй като вероятността пипоявата на лагер с външен диаметър x iе равно на m i /N. По този начин, средната аритметична x вжвъншният диаметър на лагера може да се определи чрез връзката
Нека е дискретна случайна променлива с даден закон за разпределение на вероятностите

Стойности	х 1	х 2	. . .	x n
Вероятности	p1	p2	. . .	p n

математическо очакване дискретна случайна променливасе нарича сумата от продуктите по двойки на всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, т.е. *
Приема се, че неправилният интеграл от дясната страна на равенството (40) съществува.

Разгледайте свойствата на математическото очакване. Правейки това, ние се ограничаваме до доказването само на първите две свойства, които ще извършим за дискретни случайни променливи.

1°. Математическото очакване на константата C е равно на тази константа.
Доказателство.постоянен ° Сможе да се разглежда като случайна променлива, която може да приеме само една стойност ° Сс вероятност равна на единица. Ето защо

2°. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване, т.е.
Доказателство.Използвайки отношение (39), имаме

3°. Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на тези променливи:

Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Математическото очакване и дисперсията са най-често използваните числени характеристики на случайна променлива. Те характеризират най-важните характеристики на разпределението: неговото положение и степен на дисперсия. Математическото очакване често се нарича просто средно. случайна величина. Дисперсия на случайна променлива - характеристика на дисперсия, дисперсия на случайна променлива около своето математическо очакване.

В много проблеми на практиката пълно, изчерпателно описание на случайна променлива - законът за разпределение - или не може да бъде получено, или изобщо не е необходимо. В тези случаи те са ограничени до приблизително описание на случайна променлива с помощта на числени характеристики.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Нека да стигнем до понятието математическо очакване. Нека масата на някакво вещество е разпределена между точките на оста x х1 , х 2 , ..., хн. Освен това всяка материална точка има съответстваща й маса с вероятност от стр1 , стр 2 , ..., стрн. Необходимо е да се избере една точка на оста x, която характеризира позицията на цялата система от материални точки, като се вземат предвид техните маси. Естествено е да приемем за такава точка центъра на масата на системата от материални точки. Това е среднопретеглената стойност на случайната променлива х, в която абсцисата на всяка точка хазвлиза с "тежест", равна на съответната вероятност. Средната стойност на така получената случайна променлива хсе нарича неговото математическо очакване.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всичките й възможни стойности и вероятностите на тези стойности:

Пример 1Организира печеливша лотария. Има 1000 печалби, 400 от които са по 10 рубли всяка. 300 - 20 рубли всяка 200-100 рубли всеки. и 100 - 200 рубли всяка. Каква е средната печалба за човек, закупил един билет?

Решение. Ще намерим средната печалба, ако общата сума на печалбите, която е равна на 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубли, се раздели на 1000 (общата сума на печалбите). Тогава получаваме 50000/1000 = 50 рубли. Но изразът за изчисляване на средната печалба може да бъде представен и в следната форма:

От друга страна, при тези условия размерът на печалбата е случайна променлива, която може да приеме стойности от 10, 20, 100 и 200 рубли. с вероятности, равни съответно на 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следователно очакваната средна печалба е равна на сумата от произведенията на размера на печалбите и вероятността да бъдат получени.

Пример 2Издателят реши да издаде нова книга. Той ще продаде книгата за 280 рубли, от които 200 ще бъдат дадени на него, 50 на книжарницата и 30 на автора. Таблицата дава информация за разходите за издаване на книга и вероятността за продажба на определен брой копия от книгата.

Намерете очакваната печалба на издателя.

Решение. Случайната величина "печалба" е равна на разликата между приходите от продажбата и себестойността на разходите. Например, ако се продадат 500 копия от книга, тогава приходите от продажбата са 200 * 500 = 100 000, а разходите за публикуване са 225 000 рубли. Така издателят е изправен пред загуба от 125 000 рубли. Следната таблица обобщава очакваните стойности на случайната променлива - печалба:

Номер	печалба хаз	Вероятност страз	хаз страз
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Обща сума:		1,00	25000

Така получаваме математическото очакване на печалбата на издателя:

.

Пример 3Шанс за попадение с един изстрел стр= 0,2. Определете консумацията на черупки, които осигуряват математическото очакване на броя на ударите, равен на 5.

Решение. От същата формула за очакване, която използвахме досега, изразяваме х- консумация на черупки:

.

Пример 4Определете математическото очакване на случайна променлива хброй попадения с три изстрела, ако вероятността за попадение с всеки изстрел стр = 0,4 .

Съвет: намерете вероятността от стойностите на случайна променлива по Формула на Бернули .

Свойства на очакванията

Разгледайте свойствата на математическото очакване.

Имот 1.Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази константа:

Имот 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:

Имот 3.Математическото очакване на сумата (разликата) на случайните променливи е равно на сумата (разликата) на техните математически очаквания:

Имот 4.Математическото очакване на произведението на случайните променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

Имот 5.Ако всички стойности на случайната променлива хнамаляване (увеличаване) със същото число СЪС, тогава неговото математическо очакване ще намалее (увеличи) със същото число:

Когато не можете да се ограничите само до математическо очакване

В повечето случаи само математическото очакване не може да характеризира адекватно една случайна променлива.

Нека случайни променливи хИ Yсе дават от следните закони на разпределение:

Значение х	Вероятност
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятност
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математическите очаквания на тези величини са еднакви – равни на нула:

Разпределението им обаче е различно. Случайна стойност хможе да приема само стойности, които са малко по-различни от математическото очакване и случайната променлива Yможе да приема стойности, които се отклоняват значително от математическото очакване. Подобен пример: средната заплата не позволява да се прецени съотношението на високо и ниско платените работници. С други думи, по математическото очакване не може да се прецени какви отклонения от него, поне средно, са възможни. За да направите това, трябва да намерите дисперсията на случайна променлива.

Дисперсия на дискретна случайна променлива

дисперсиядискретна случайна променлива хсе нарича математическо очакване на квадрата на неговото отклонение от математическото очакване:

Стандартното отклонение на случайна променлива хе аритметичната стойност на корен квадратен от неговата дисперсия:

.

Пример 5Изчисляване на дисперсии и стандартни отклонения на случайни променливи хИ Y, чиито закони на разпределение са дадени в таблиците по-горе.

Решение. Математически очаквания на случайни променливи хИ Y, както е намерено по-горе, са равни на нула. Според дисперсионната формула за д(х)=д(г)=0 получаваме:

След това стандартните отклонения на случайни променливи хИ Yпредставляват

.

По този начин, със същите математически очаквания, дисперсията на случайната променлива хмного малък и случаен Y- значителен. Това е следствие от разликата в разпределението им.

Пример 6Инвеститорът има 4 алтернативни инвестиционни проекта. Таблицата обобщава данните за очакваната печалба в тези проекти със съответната вероятност.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Намерете за всяка алтернатива математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение.

Решение. Нека покажем как се изчисляват тези количества за 3-тата алтернатива:

Таблицата обобщава намерените стойности за всички алтернативи.

Всички алтернативи имат едно и също математическо очакване. Това означава, че в дългосрочен план всички имат еднакъв доход. Стандартното отклонение може да се тълкува като мярка за риск – колкото по-голямо е то, толкова по-голям е рискът на инвестицията. Инвеститор, който не иска много риск, ще избере проект 1, защото има най-малкото стандартно отклонение (0). Ако инвеститорът предпочита риск и висока доходност за кратък период, тогава той ще избере проекта с най-голямо стандартно отклонение - проект 4.

Свойства на дисперсия

Нека представим свойствата на дисперсията.

Имот 1.Дисперсията на постоянна стойност е нула:

Имот 2.Константният коефициент може да бъде изваден от дисперсионния знак чрез повдигане на квадрат:

.

Имот 3.Дисперсията на случайна променлива е равна на математическото очакване на квадрата на тази стойност, от което се изважда квадратът на математическото очакване на самата стойност:

,

Където .

Имот 4.Дисперсията на сумата (разликата) на случайните променливи е равна на сумата (разликата) на техните дисперсии:

Пример 7Известно е, че дискретна случайна променлива хприема само две стойности: −3 и 7. Освен това е известно математическото очакване: д(х) = 4 . Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива.

Решение. Означаваме с стрвероятността, с която една случайна променлива приема стойност х1 = −3 . Тогава вероятността на стойността х2 = 7 ще бъде 1 − стр. Нека изведем уравнението за математическото очакване:

д(х) = х 1 стр + х 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,

където получаваме вероятностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .

Законът за разпределение на случайна променлива:

х	−3	7
стр	0,3	0,7

Изчисляваме дисперсията на тази случайна променлива, използвайки формулата от свойство 3 на дисперсията:

д(х) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Намерете сами математическото очакване на случайна променлива и след това вижте решението

Пример 8Дискретна случайна променлива хприема само две стойности. Приема по-голямата стойност от 3 с вероятност 0,4. Освен това е известна дисперсията на случайната променлива д(х) = 6 . Намерете математическото очакване на случайна променлива.

Пример 9Една урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. От урната се вземат 3 топки. Броят на белите топки сред изтеглените топки е дискретна случайна променлива х. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение. Случайна стойност хможе да приеме стойностите 0, 1, 2, 3. Съответните вероятности могат да бъдат изчислени от правило за умножение на вероятностите. Законът за разпределение на случайна променлива:

х	0	1	2	3
стр	1/30	3/10	1/2	1/6

Оттук и математическото очакване на тази случайна променлива:

М(х) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсията на дадена случайна променлива е:

д(х) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическо очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива

За непрекъсната случайна променлива механичната интерпретация на математическото очакване ще запази същото значение: центърът на масата за единица маса, разпределена непрекъснато по оста x с плътност f(х). За разлика от дискретна случайна променлива, за която аргументът на функцията хазпроменя рязко, за непрекъсната случайна променлива, аргументът се променя непрекъснато. Но математическото очакване на непрекъсната случайна променлива също е свързано с нейната средна стойност.

За да намерите математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива, трябва да намерите определени интеграли . Ако е дадена функция на плътност на непрекъсната случайна променлива, тогава тя влиза директно в интегранта. Ако е дадена функция на разпределение на вероятностите, тогава като я диференцирате, трябва да намерите функцията на плътност.

Средната аритметична стойност на всички възможни стойности на непрекъсната случайна променлива се нарича негова математическо очакване, означено с или .

Характеристики на DSW и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение

Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпределение или това не се изисква, човек може да се ограничи до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива. Тези стойности определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.

математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Математическото очакване съществува, ако редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.

От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.

Пример. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е известен. Намерете математическото очакване.

х
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

9.2 Свойства на очакванията

1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа.

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване.

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.

Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p.

Теорема.Математическото очакване M(X) на броя на случванията на събитие А в n независими опити е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитието във всеки опит.

Пример. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Решение:

9.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива

Математическото очакване обаче не може напълно да характеризира случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да се въведе стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайната променлива от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.

Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.

На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива.

Затова се използва друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.

Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.

х
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

9.4 Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. .

3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

4. Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятността за възникване и невъзникване на събитието във всеки процес.

9.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива

Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.

Теорема. Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратните стандартни отклонения на тези променливи.