Функционална графика. Функции и техните графики 3 x 1 2 графика

1. Дробно-линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. по същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция за преглед

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията е постоянна). Дробно-линейната функция е дефинирана за всички реални числа, с изключение на x = -d/c. Графиките на дробно-линейни функции не се различават по форма от познатата ви графика y = 1/x. Кривата, която е графиката на функцията y = 1/x, се нарича хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се приближават към абсцисната ос: десният се приближава отгоре, а левият се приближава отдолу. Правите, до които се приближават клоновете на хипербола, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy със 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по същия начин, като се подчертае „цялата част“. Следователно графиките на всички дробно-линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се начертае графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се преобразува дробта, която определя тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим линиите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана, когато x = -1. Следователно правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделяме числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробта клони към 3/2. Следователно хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3

Начертайте функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Избираме „цялата част“ на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични интервала нагоре по оста Oy.

Област на дефиниция D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията расте на всеки от интервалите на дефиниционната област.

Отговор: фигура 1.

2. Дробно-рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) е частно от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се изгради точно, с всички подробности. Въпреки това, често е достатъчно да се прилагат техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.

Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

График на дробни рационални функции

Обмислете няколко начина за начертаване на дробно-рационална функция.

Пример 4

Начертайте функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y \u003d x 2, за да начертаем графиката y \u003d 1 / x 2 и използваме метода на "разделяне" на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: фигура 2.

Пример 5

Начертайте функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизиране, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: фигура 3.

Пример 6

Начертайте функцията y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниция е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста y. Преди да начертаем, ние отново трансформираме израза, като маркираме целочислената част:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Имайте предвид, че изборът на целочислената част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изчертаване на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. линията y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: фигура 4.

Пример 7

Разгледайте функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитайте да намерите точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно е, че нашата крива не може да се "изкачи" много високо, тъй като знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Това уравнение няма реални корени. Така че нашето предположение е погрешно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете за кое най-голямо A уравнението A \u003d x / (x 2 + 1) ще има решение. Нека заменим оригиналното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A \u003d 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A \u003d 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да изграждате функционални графики?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Функцията y=x^2 се нарича квадратна функция. Графиката на квадратична функция е парабола. Общият изглед на параболата е показан на фигурата по-долу.

квадратична функция

Фиг. 1. Общ изглед на параболата

Както се вижда от графиката, тя е симетрична спрямо оста Oy. Оста Oy се нарича ос на симетрия на параболата. Това означава, че ако начертаете права линия, успоредна на оста Ox над тази ос на диаграмата. След това пресича параболата в две точки. Разстоянието от тези точки до оста y ще бъде същото.

Оста на симетрия разделя графиката на параболата, така да се каже, на две части. Тези части се наричат ​​клонове на параболата. А точката на параболата, която лежи на оста на симетрия, се нарича връх на параболата. Тоест, оста на симетрия минава през върха на параболата. Координатите на тази точка са (0;0).

Основни свойства на квадратична функция

1. За x=0, y=0 и y>0 за x0

2. Квадратната функция достига минималната си стойност в своя връх. Ymin при х=0; Трябва също да се отбележи, че максималната стойност на функцията не съществува.

3. Функцията намалява на интервала (-∞; 0] и расте на интервала )