Обръщане на сфера отвътре навън. За тези, които не обичат математиката

Великият математик Дейвид Хилбърт веднъж каза, че една математическа теория може да се счита за перфектна само когато може да бъде представена на първия човек, когото срещнете. Последователите на Хилберт са в пълно отчаяние, опитвайки се да живеят по тази рецепта. Математиката става все по-специализирана и сега един учен математик понякога трябва да работи усилено дори за колегите си, за да обясни същността на задачите, които решава. От време на време обаче изследванията във водещите и на пръв поглед неразбираеми клонове на тази наука водят до откритие, което е интересно за лаика и в същото време може да бъде обяснено без прекомерно опростяване. Ярък пример за това е теоремата на Стивън Смейл за така наречените регулярни отображения на сферата, публикувана през 1959 г.

Областта, в която Смейл работи тогава, е диференциалната топология, един от най-абстрактните клонове на съвременната математика. Още по-изненадващо е, че въпреки това беше възможно да се измисли визуално обяснение за едно от най-поразителните следствия от теоремата на Смейл. А именно, можете да демонстрирате как да обърнете сферата отвътре навън.

В обичайния смисъл това, разбира се, е невъзможно: сферата непременно трябва да бъде разкъсана. Но в диференциалната топология е позволено - мислено, разбира се - повърхността да се влачи през себе си - това са "правилата на играта" в тази наука. Но тогава едно просто решение веднага хваща окото ви.

Необходимо е да притиснете противоположните страни към центъра, докато преминат една през друга (I). Вътрешната боядисана повърхност (II) излиза от два противоположни ръба. Нека продължим този процес на „издърпване“ на вътрешната повърхност, докато пръстенът, образуван от останалата част от външната повърхност (II), изчезне напълно. За съжаление при този процес пръстенът образува стегнат контур (III), който трябва да бъде затегнат. Резултатът е белег (IV) и това не удовлетворява диференциалните тополози, тъй като те разглеждат само така наречените "гладки повърхности", които нямат никакви ъгли и извивки.

И така, задачата е да обърнете сферата отвътре навън по такъв начин, че когато се отървете от пръстена, да не получите белег. И тук интуицията отново подсказва, че проблемът е нерешим. Когато Смейл за първи път обяви, че може да докаже съществуването на решение, никой не му повярва. Но интуицията беше грешна: нямаше нито една логическа грешка в доказателството на Смейл. Математиците са се убедили, че теоретично е възможно да се следва доказателството стъпка по стъпка и да се намери изрично описание на деформацията, която обръща сферата отвътре навън. Но беше толкова трудно, че изглеждаше безнадеждно. Известно време след откритието на Смейл се знаеше, че по принцип е възможно да се обърне сфера отвътре навън без белег, но никой нямаше и най-малка идея как да го направи.

Но в крайна сметка математиците се справиха с тази задача. Как - ще разберете, като разгледате снимките. Те са забавни.

Въпреки че доказателството на Смейл не се състоеше само от рисунки. Любопитно е, че в творчеството му те изобщо не съществуват – твърде сложни са онези фигури, които имплицитно се съдържат в абстрактния му аналитичен апарат. Най-изобретателният художник не би могъл да ги изобрази - въображението на математиците е невероятно. Но може би още по-удивително е способността им да предават най-сложните идеи един на друг, без да прибягват до рисунки. Историята за обръщането на сферата е ясно доказателство за това. Тя стана известна на широката публика благодарение на френския тополог Рене Томас, който научи за нея от своя колега Бернар Морин, а той от своя страна от американеца Арнолд Шапиро, изобретателят на това „обратяване“. Това е особено любопитно, като се има предвид, че Бернар Морин е сляп.

Тези снимки показват как можете да обърнете сфера отвътре навън, без да нарушавате изискванията на диференциалната топология. Първо, трябва да съберете противоположните страни на сивата сфера (A), като ги прокарате една през друга. Тогава боядисаната повърхност се появява от двете страни (B). След това разтегнете едно от боядисаните парчета (C), така че да получите повърхност, наподобяваща седло на два "крака" (O). Тези два крака се усукват обратно на часовниковата стрелка и се получава повърхност E. Това отново е показано (P) "в разрез" с помощта на ленти, които, както в "сферата с белег", изобразяват напречни сечения при десет различни нива.

Освен това няма смисъл да се изобразяват повърхностите, получени на всеки етап - те са твърде сложни. Но можете, ако желаете, да разгледате лентите на всичките 10 нива и мислено да завършите рисуването. Въпреки това решихме да покажем един етап (H2) - само за да можете да си представите какъв тип получени фигури. Повърхността G се появява след компресия и завъртане на 90° на седлото на повърхността P.

Още няколко стъпки. А именно: между етапите I и J два крака с еднаква форма преминават един през друг. Всяка повърхностна секция с форма на лента в стъпка J има две сиви страни, обърнати една към друга. Между етапите J и K вътрешният слой се разширява, а външният се свива; се получава повърхността K - точно същата като J, само че цветовете са обърнати.

След това всички стъпки преминават в обратен ред. Можете да получите представа за тях, като разгледате снимки I, H, C и т.н. Просто трябва да размените цветовете на лентите във всяка снимка. Представяме края на този втори ред снимки. Повърхност L съответства на повърхност F, L2 на E и т.н.

Цветната сфера (повърхност P) съответства на сивата сфера (повърхност A). И така, деформацията е завършена и няма белег. Самата възможност за този трик е доказана за първи път от С. Смейл. И всички последователни етапи на деформация са изобретени от А. Шапиро ...

P.S. За какво още говорят британските учени: че механизмът за обръщане на сфера отвътре навън понякога не е по-философски от, да речем, PDF програма, създадена от някой талантлив програмист.

В 3D пространството може да бъде обърнато отвътре навън в класа на потапяне, тоест с възможни самопресичания, но без извивки. С други думи, изображението на сферата във всеки момент на деформация трябва да остане гладко, тоест диференцируемо.

Обръщането на сфера изобщо не е логически парадокс, това е теорема, само че много противоинтуитивна. По-точно:

Трудно е да се представи конкретен пример за такова семейство гмуркания, въпреки че има много илюстрации и филми. От друга страна е много по-лесно да се докаже, че такова семейство съществува и точно това направи Смейл.

История

Този парадокс е открит от Смейл през 1958 г. Според легендата, когато Смейл се опитал да публикува тази теорема, той получил отговор, в който се казвало, че твърдението е очевидно погрешно, тъй като степента на гаусовото картографиране трябва да бъде запазена в процеса на такова "обратно". [ ] Наистина, степента на гаусовото отображение трябва да бъде запазена, по-специално това показва, че окръжността не може да се „обърне“ в равнината, а степените на гаусовите отображения y $е$и при $-f$ v $(\backslash mathbb\; R)^3$и двете са равни на 1. Освен това степента на всяко вграждане $S^2\backslash до\; (\backslash mathbb\; R)^3$равно на 1.

Вариации и обобщения

Напишете отзив за статията "Обръщане на сфера"

литература

• Малкият Стивън Класификация на потапянията на двусферата.транс. амер. математика соц. 90 1958 281-290.
• Франсис, Дж. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Обръщане на сферата отвътре навън.

Бележки

Откъс, характеризиращ обръщането на сфера

„Отново, полковник“, каза генералът, „но не мога да оставя половината хора в гората. Умолявам ви, моля ви — повтори той, — заемете позиция и се пригответе за атаката.
„И аз ви моля да не се намесвате в собствените си дела“, отвърна полковникът, развълнуван. - Ако беше кавалерист...
- Аз не съм кавалерист, полковник, но съм руски генерал и ако не знаете...
„Много добре известно, Ваше превъзходителство“, извика изведнъж полковникът, докосвайки коня и ставайки червено-пурпурен. - Искате ли да се присъедините към веригите и ще видите, че тази позиция е безполезна. Не искам да унищожа полка си за ваше удоволствие.
— Забравяте, полковник. Не спазвам удоволствието си и няма да позволя да се каже.
Генералът, като прие поканата на полковника за турнира по храброст, изправи гърди и се намръщи, яздеше с него по посока на веригата, сякаш всичките им разногласия трябваше да се решат там, във веригата, под куршумите. Стигнаха до веригата, няколко куршума прелетяха над тях и те мълчаливо спряха. Във веригата нямаше какво да се види, тъй като дори от мястото, където бяха стояли преди, се виждаше, че е невъзможно кавалерията да действа през храсталаците и дерета и че французите заобикалят лявото крило. Генералът и полковникът гледаха строго и значимо, докато двата петела, подготвящи се за бой, се спогледаха, чакайки напразно признаци на страхливост. И двамата издържаха теста. Тъй като нямаше какво да кажат и нито единият, нито другият искаха да дадат основание на другия да каже, че той пръв се измъкна изпод куршумите, те щяха да стоят там дълго време, взаимно изпитвайки смелост, ако в това време в гората, почти зад тях, се чу тракане на оръжия и приглушен, сливащ се вик. Французите нападнаха с дърва войниците, които бяха в гората. Хусарите вече не можеха да отстъпят с пехотата. Те бяха отрязани от отстъплението вляво от френска линия. Сега, колкото и неудобен да беше теренът, беше необходимо да се атакува, за да си проправят път.
Ескадронът, където служи Ростов, който току-що успя да се качи на конете си, беше спрян срещу врага. Отново, както на моста на Енск, между ескадрилата и врага нямаше никой и между тях, разделяйки ги, лежеше същата ужасна линия на несигурност и страх, като че ли, линия, разделяща живите от мъртвите. Всички хора усетиха тази граница и въпросът дали ще преминат границата или не и как ще преминат границата ги тревожеше.

Представете си, че "обикновената" двуизмерна сфера С 2 е изработен от еластичен материал, който може да преминава през себе си. Възможно ли е да се обърне сфера отвътре навън в обичайното триизмерно пространство $$\mathbb(R)^3$$ без прекъсвания и прекъсвания, но с възможно самопресичане (тоест в класа на потапянията)?

През 2000 г. Смейл състави списък от 18 предизвикателства, които според него трябва да бъдат решени през 21-ви век. Този списък е съставен в духа на проблемите на Хилберт и, подобно на по-късните Проблеми на хилядолетието, включва хипотезата на Риман, въпроса за равенството на класовете P и NP, проблема за решаването на уравненията на Навие-Стокс и Поанкаре предположение, сега доказано от Перелман. Смейл състави своя списък по искане на Арнолд, тогава президент на Международния математически съюз, който най-вероятно взе идеята за този списък от списъка с проблеми на Хилберт.

И накрая, въпросът: възможно ли е да се "завърти" кръгът в равнината, тоест да се намери непрекъснато семейство от потапяния, както по-горе?

Коментари

Любопитен. На ум ми идва следното. Нека си представим сфера под формата на стереографска проекция - равнина с безкрайност. Тогава обръщането на сферата отвътре навън изглежда точно като „сгъване“ на равнината в другата посока, т.е. с различна ориентация. Някъде има дупка в разсъжденията, нали?

Факт е, че стереографската проекция предполага избор на точка върху сфера, която не съответства на нищо в равнината и това променя правилата на играта, тъй като според условията сферата не може да бъде счупена и точно точката не може да бъде пробита.

Е, по принцип подозирах, че има слаба точка с безкрайно далечна точка. Просто исках да знам независимо мнение;).

Миша, бих искал да чуя има ли К3 повърхности в струнната теория и ако да, как точно се появяват там?

Да, понякога го правят. В контекста на компактификацията. K3 има холономната група $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ и следователно запазва половината от суперсиметриите. Феноменологично подобни модели не са много интересни, но хората все още ги смятат.

Завъртам сферата без прегъвания дори по-лесно от филма. Необходимо е да залепите част от повърхността на сферата вътре с пръста си. Завъртете тази вътрешна част на сферата на 180 градуса, докато дупката ще се затвори без пречупвания. Меридианите на сферата, които бяха кръгове, ще се превърнат в "осмици" с по-малка глава вътре в по-голяма. След това надуйте вътрешната почти топка, докато изтече. Естествено външният му вид ще бъде обърнат. Остана това, което беше голяма част, а сега е станало по-малка в сравнение с подутата, за да се обърне на 180 градуса. Затегнатият отвор ще се отвори, изправяме вдлъбнатината и целта е постигната!

Тук се оказва, че точката става безкрайност, а безкрайността става точка. Или „еднаквостта на вселената“: какво е вътре, какво е отвън.
Следователно възниква парадигма – микрокосмоса може да се изследва с помощта на макрокосмоса и обратно.
Въпросът е в границата на радиуса =]h/2;2/h[. Тук h се използва като метрична граница на точността на измерване, тоест същият епсилон, разделен на две.
Също така физическото съществуване на такава сфера може да бъде доказано или опровергано за различни случаи.
Или греша?