Доказателства на теореми за ъгли, свързани с окръжност. Задачи за доказване на геометрични факти от gia Доказателство за равни ъгли

Триъгълникът е най-простият вид многоъгълник, който има три ъгъла и три страни. Страните са оформени от сегменти, които са съединени заедно от три точки на равнината, като по този начин образуват твърда форма. Равенство 2-ро триъгълнициможе да се потвърди по няколко начина.

Инструкция

1. Ако триъгълници ABC и DEF двете страни са равни, а ъгълът ?, който е поставен между двете страни на триъгълника ABC, е равен на ъгъла ?, който е поставен между съответните страни на триъгълника DEF, тогава тези два триъгълника са равни един на друг.

2. Ако триъгълнициСтраната ABC и DEF AB е равна на страна DE, а ъглите, съседни на страната AB, са равни на ъглите, съседни на страната DE, тогава тези триъгълници се считат за равни.

3. Ако триъгълнициСтраните ABC AB, BC и CD са равни на съответните страни на триъгълник DEF, тогава тези триъгълници са равни.

Забележка!
Ако се изисква да се потвърди равенството между 2 правоъгълни триъгълника, това може да се направи, като се използват следните знаци за равенство на правоъгълни триъгълници: - по един от катета и хипотенузата; - по двата известни крака; - по протежение на един от катета и прилежащия към него остър ъгъл; - по хипотенузата и един от острите ъгли Триъгълниците са остри (ако всичките му ъгли са по-малки от 90 градуса), тъпи (ако един от ъглите му е по-голям от 90 градуса ), равностранен и равнобедрен (ако двете му страни са равни).

Полезен съвет
В допълнение към равенството на триъгълниците помежду си, същите тези триъгълници са подобни. Подобни триъгълници са тези, в които ъглите са равни един на друг, а страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг. Струва си да се отбележи, че ако два триъгълника са подобни един на друг, това не гарантира тяхното равенство. При разделяне на сходни страни на триъгълници една на друга се изчислява така нареченият индекс на подобие. Също така, този индикатор може да се получи чрез разделяне на площите на подобни триъгълници.

От древни времена до наши дни търсенето на знаци за равенство на фигурите се счита за основна задача, която е в основата на основите на геометрията; стотици теореми се доказват с помощта на тестове за равенство. Възможността за доказване на равенството и сходството на фигурите е важна задача във всички области на строителството.

Във връзка с

Прилагане на умението на практика

Да предположим, че имаме фигура, нарисувана върху лист хартия. В същото време имаме линийка и транспортир, с които можем да измерваме дължините на сегментите и ъглите между тях. Как да прехвърлите фигура със същия размер на втори лист хартия или да удвоите мащаба му.

Знаем, че триъгълникът е фигура, състояща се от три сегмента, наречени страни, образуващи ъгли. По този начин има шест параметъра - три страни и три ъгъла - които определят тази фигура.

Въпреки това, след като измерите размера и на трите страни и ъгли, прехвърлянето на тази фигура на друга повърхност ще бъде трудна задача. Освен това има смисъл да зададете въпроса: не е ли достатъчно да знаете параметрите на две страни и един ъгъл или само на три страни.

След като измерим дължината на двете страни и между тях, след това поставете този ъгъл върху нов лист хартия, така че да можем напълно да пресъздадем триъгълника. Нека да разберем как да направим това, да се научим как да докажем признаци, чрез които те могат да се считат за еднакви, и да решим какъв е минималният брой параметри, който е достатъчен, за да се знае, за да получим увереност, че триъгълниците са еднакви.

Важно!Фигурите се наричат ​​еднакви, ако сегментите, които образуват техните страни и ъгли, са равни една на друга. Подобни фигури са тези, чиито страни и ъгли са пропорционални. По този начин равенството е прилика с коефициент на пропорционалност 1.

Какви са признаците за равенство на триъгълниците, ще дадем тяхното определение:

• първият знак за равенство: два триъгълника могат да се считат за еднакви, ако две от страните им са равни, както и ъгълът между тях.
• вторият знак за равенство на триъгълниците: два триъгълника ще бъдат еднакви, ако два ъгъла са еднакви, както и съответната страна между тях.
• трети знак за равенство на триъгълниците : Триъгълниците са равни, когато всичките им страни са с еднаква дължина.

Как да докажем, че триъгълниците са равни. Представяме доказателство за равенството на триъгълниците.

Доказателство 1 знак

Дълго време, сред първите математици, тази характеристика се смяташе за аксиома, но както се оказа, тя може да бъде доказана геометрично въз основа на по-основни аксиоми.

Да разгледаме два триъгълника - KMN и K 1 M 1 N 1 . Страната KM има същата дължина като K 1 M 1 и KN = K 1 N 1. А ъгълът MKN е равен на ъглите KMN и M 1 K 1 N 1 .

Ако разгледаме KM и K 1 M 1, KN и K 1 N 1 като два лъча, които излизат от една точка, тогава можем да кажем, че ъглите между тези двойки лъчи са еднакви (това се дава от условието на теорема). Нека направим паралелна транслация на лъчите K 1 M 1 и K 1 N 1 от точка K 1 към точка K. В резултат на това прехвърляне лъчите K 1 M 1 и K 1 N 1 напълно ще съвпаднат. Нека начертаем на лъча K 1 M 1 отсечка с дължина KM, произхождаща от точка K. Тъй като, според условието, полученият сегмент и ще бъде равен на отсечката K 1 M 1, то точките M и M 1 съвпадат. Аналогично с отсечките KN и K 1 N 1 . По този начин, премествайки K 1 M 1 N 1, така че точките K 1 и K да съвпадат и двете страни да се припокриват, получаваме пълно съвпадение на самите фигури.

Важно!В интернет има доказателства за равенството на триъгълниците на две страни и ъгъл, използвайки алгебрични и тригонометрични идентичности с числовите стойности на страните и ъглите. Въпреки това, исторически и математически, тази теорема е формулирана много преди алгебрата и по-рано от тригонометрията. За да се докаже тази особеност на теоремата, е неправилно да се използва нещо различно от основните аксиоми.

Доказателство 2 знака

Нека докажем втория критерий за равенство в два ъгъла и страна, въз основа на първия.

Доказателство 2 знака

Помислете за KMN и PRS. K е равно на P, N е равно на S. Страната на KN има същата дължина като PS. Необходимо е да се докаже, че KMN и PRS са едно и също.

Нека отразим точката M спрямо лъча KN. Получената точка ще се нарича L. В този случай дължината на страната KM = KL. NKL е равно на PRS. KNL е равно на RSP.

Тъй като сборът на ъглите е 180 градуса, тогава KLN е равен на PRS, което означава, че PRS и KLN са еднакви (сходни) от двете страни и ъгъла, според първия критерий.

Но тъй като KNL е равно на KMN, тогава KMN и PRS са две еднакви цифри.

Доказателство 3 знака

Как да установим, че триъгълниците са равни. Това следва пряко от доказателството на втория критерий.

Дължина KN = PS. Тъй като K = P, N = S, KL=KM, докато KN = KS, MN=ML, тогава:

Това означава, че и двете фигури са подобни една на друга. Но тъй като страните им са еднакви, те също са равни.

От признаците на равенство и сходство следват много последствия. Едно от тях е, че за да се определи дали два триъгълника са равни или не, е необходимо да се знаят техните свойства, дали са еднакви:

• и трите страни;
• двете страни и ъгъла между тях;
• двата ъгъла и страната между тях.

Използване на знака за равенство на триъгълници за решаване на задачи

Последици от първия знак

В хода на доказателството може да се стигне до редица интересни и полезни следствия.

1. . Фактът, че точката на пресичане на диагоналите на успоредник ги разделя на две еднакви части е следствие от знаците за равенство и е доста податливо на доказателство. Страните на допълнителния триъгълник (с огледална конструкция, както в доказателствата които изпълнихме) са страните на главния (страни на успоредника).
2. Ако има два правоъгълни триъгълника, които имат еднакви остри ъгли, тогава те са сходни. Ако в същото време кракът на първия е равен на крака на втория, тогава те са равни. Това е доста лесно да се разбере - всеки правоъгълен триъгълник има прав ъгъл. Следователно признаците на равенство за тях са по-прости.
3. Два триъгълника с прави ъгли, в които два крака имат еднаква дължина, могат да се считат за еднакви. Това се дължи на факта, че ъгълът между два крака винаги е 90 градуса. Следователно според първия знак (от двете страни и ъгъла между тях) всички триъгълници с прави ъгли и едни и същи катети са равни.
4. Ако има два правоъгълни триъгълника и имат един катет и хипотенузата са равни, тогава триъгълниците са еднакви.

Нека докажем тази проста теорема.

Има два правоъгълни триъгълника. Едната страна има a, b, c, където c е хипотенузата; а, б - крака. Втората страна има n, m, l, където l е хипотенузата; m, n - крака.

Според Питагоровата теорема един от краката е равен на:

;

.

По този начин, ако n \u003d a, l \u003d c (равенство на краката и хипотенузите), съответно, вторите крака ще бъдат равни. Цифрите, съответно, ще бъдат равни според третия критерий (от три страни).

Нека отбележим още едно важно следствие. Ако има два равни триъгълника и те са сходни с коефициент на подобие k, тоест съотношенията по двойки на всичките им страни са равни на k, тогава съотношението на техните площи е равно на k2.

Първият знак за равенство на триъгълниците. Видео урок по геометрия 7 клас

Геометрия 7 Първият знак за равенство на триъгълниците

Заключение

Темата, която разгледахме, ще помогне на всеки ученик да разбере по-добре основните геометрични понятия и да подобри уменията си в интересния свят на математиката.

Геометрията като отделен предмет започва с ученици от 7 клас. До този момент те са се занимавали с геометрични задачи с доста лека форма и главно с това, което може да се види в илюстративни примери: площ на стая, парцел, дължина и височина на стените в стаите, плоски обекти и т.н. В началото на изучаването на самата геометрия се появяват първите трудности, като например концепцията за права линия, тъй като не е възможно да докоснете тази права линия с ръцете си. Що се отнася до триъгълниците, това е най-простият вид многоъгълник, съдържащ само три ъгъла и три страни.

Във връзка с

съученици

Темата за триъгълниците е една от основните важнои големи теми от училищната програма по геометрия 7-9 клас. След като го овладеете добре, е възможно да се решат много сложни проблеми. В този случай първоначално можете да разгледате напълно различна геометрична фигура и след това да я разделите за удобство на подходящи триъгълни части.

Да работим върху доказателството за равенство ∆ ABCи ∆A1B1C1трябва да овладеете добре знаците за равенство на фигурите и да можете да ги използвате. Преди да изучавате знаците, трябва да се научите определят равенствотострани и ъгли на прости многоъгълници.

За да докажем, че ъглите на триъгълниците са равни, ще помогнат следните опции:

1. ∠ α = ∠ β въз основа на конструирането на фигури.
2. Посочено в заданието.
3. С две успоредни прави и наличието на секуща могат да се образуват както вътрешни кръстосани, така и съответстващи ∠ α = ∠ β.
4. Чрез добавяне (изваждане) към (от) ∠ α = ∠ β равни ъгли.
5. Винаги еднакви вертикални ∠ α и ∠ β
6. Общи ∠ α, едновременно принадлежащи към ∆MNKи ∆MNH .
7. Симетралата разделя ∠ α на две еквивалентни.
8. Съседен на ∠ 90°- ъгъл равен на оригинала.
9. Съседните равни ъгли са равни.
10. Височината образува две съседни ∠ 90° .
11. в равнобедрен ∆MNKв основата ∠ α = ∠ β.
12. Равно ∆MNKи ∆SDHсъответстващ ∠α = ∠β.
13. Доказаното по-рано равенство ∆MNKи ∆SDH .

Това е интересно: Как да намерим периметъра на триъгълник.

3 знака за равенство на триъгълниците

Доказателство за равенство ∆ ABCи ∆A1B1C1много удобен за производство, базиран на осн знациидентичности на тези най-прости многоъгълници. Има три такива знака. Те са много важни при решаването на много геометрични задачи. Всеки от тях си струва да се обмисли.

Изброените по-горе знаци са теореми и се доказват чрез прилагане на една фигура към друга, свързваща върховете на съответните ъгли и началото на лъчите. Доказателствата за равенството на триъгълниците в 7. клас са описани в много достъпна форма, но е трудно за учениците да се учат на практика, тъй като съдържат голям брой елементи, обозначени с главни латински букви. Това не е съвсем обичайно за много студенти в момента на започване на изучаването на предмета. Тийнейджърите се бъркат в имената на страни, лъчи, ъгли.

Малко по-късно се появява друга важна тема „Прилики на триъгълници“. Самата дефиниция на "подобие" в геометрията означава подобие на форматас различни размери. Например, можете да вземете два квадрата, първият със страна 4 см, а вторият 10 см. Тези видове четириъгълници ще бъдат подобни и в същото време ще имат разлика, тъй като вторият ще бъде по-голям и всяка страна се увеличава със същия брой пъти.

При разглеждането на темата за сходството се дават също 3 знака:

• Първият е около два съответно равни ъгъла на двете разглеждани триъгълни фигури.
• Вторият е за ъгъла и страните, които го образуват. ∆MNK, които са равни на съответните елементи ∆SDH .
• Третият - показва пропорционалността на всички съответни страни на двете желани фигури.

Как можете да докажете, че триъгълниците са подобни? Достатъчно е да използвате една от горните характеристики и правилно да опишете целия процес на доказване на задачата. Тема за сходство ∆MNKи ∆SDHпо-лесно се възприема от учениците въз основа на факта, че по времето, когато се изучава, учениците вече свободно използват обозначенията на елементи в геометрични конструкции, не се бъркат в огромен брой имена и знаят как да четат чертежи.

Завършвайки преминаването на обширната тема за триъгълни геометрични форми, учениците вече трябва перфектно да знаят как да доказват равенството ∆MNK = ∆SDHот двете страни задайте два триъгълника равни или не. Като се има предвид, че многоъгълник с точно три ъгъла е една от най-важните геометрични фигури, към усвояването на материала трябва да се подходи сериозно, като се обръща специално внимание дори на най-малките факти от теорията.