Как се описва окръжност около равнобедрен трапец. Запомнете и приложете свойствата на трапеца

Ако окръжност е вписана в трапец, проблемът има няколко пътя, по които може да се извърши разсъждение.

1. Окръжност може да бъде вписана в четириъгълник тогава и само тогава, когато сумите от дължините на срещуположните му страни са равни. Следва, че Ако окръжност е вписана в трапец, тогава сборът от неговите основи е равен на сбора от страните.

AB+CD=AD+BC

2. Допирателните отсечки, прекарани от една точка, са равни. Следва, че

3. Височината на трапеца е равна на дължината на диаметъра на вписаната окръжност или на два от радиусите му.

MK е височината на трапеца, MK=2r, където r е радиусът на окръжността, вписана в трапеца.

4. Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца.

Нека да разгледаме един основен проблем.

Намерете радиуса на окръжност, вписана в трапец, ако точката на контакт разделя страната на сегменти с дължина m и n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (като сбор от вътрешните едностранни ъгли за успоредни прави AD и BC и секуща CD);

2) тъй като точка O е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) тъй като сборът от ъглите на триъгълник е 180º, то в триъгълника COD ∠COD=90º;

4) по този начин триъгълникът COD е правоъгълен, а OF е надморската височина, начертана към хипотенузата, CF и FD са проекциите на катетите OC и OD към хипотенузата. Тъй като височината, изтеглена към хипотенузата, е между проекциите на краката върху хипотенузата,

Следователно, радиусът на окръжност, вписана в трапец, се изразява чрез дължините на сегментите, тъй като страничната страна е разделена от точката на контакт, като

И тъй като височината на трапеца е равна на неговия диаметър, височината на трапеца може да бъде изразена чрез дължините на тези сегменти.

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделни елементи от това. Например диагоналът на равнобедрен трапец, централната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма .

Главна информация

Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигура е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат ​​противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоид.

Нека се върнем на трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две успоредни страни. Те се наричат ​​бази. Другите две (непаралелни) са страничните страни. В материалите за изпити и различни тестове често можете да намерите задачи, свързани с трапеци, чието решение често изисква ученикът да има знания, които не са предвидени в програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равнобедрен трапец. Но в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях малко по-късно...

Видове трапец

Има много разновидности на тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълен трапец е фигура, на която една от страните е перпендикулярна на основите. Двата й ъгъла винаги са равни на деветдесет градуса.

2. Равнобедреният трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.

Основните принципи на методологията за изследване на свойствата на трапец

Основният принцип включва използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (за предпочитане системни). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат възложени на учениците в един или друг момент от учебния процес. Освен това всяко свойство на трапец може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е така наречената спирална организация на изследването на „забележителните“ свойства на трапеца. Това предполага връщане в учебния процес към индивидуалните характеристики на дадена геометрична фигура. Това улеснява учениците да ги запомнят. Например свойството на четири точки. Може да се докаже както при изучаване на сходството, така и впоследствие с помощта на вектори. И еквивалентността на триъгълници, съседни на страничните страни на фигура, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с равни височини, начертани към страните, които лежат на една и съща права линия, но и чрез използване на формулата S = 1/2( ab*sinα). Освен това можете да работите върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху вписан трапец и т.н.

Използването на „извънкласни“ характеристики на геометрична фигура в съдържанието на училищен курс е базирана на задача технология за тяхното преподаване. Постоянното позоваване на свойствата, които се изучават, докато преминават през други теми, позволява на учениците да придобият по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на възложените проблеми. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече отбелязахме, тази геометрична фигура има равни страни. Известен е още като правилен трапец. Защо е толкова забележително и защо получи такова име? Особеността на тази фигура е, че не само страните и ъглите в основите са равни, но и диагоналите. Освен това сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само равнобедреният може да бъде описан като кръг. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е равна на 180 градуса и само при това условие може да се опише окръжност около четириъгълник. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от върха на основата до проекцията на противоположния връх върху правата линия, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.

Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Нека разгледаме решение на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.

Решение

Обикновено четириъгълникът обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че размерът им е равен на X, а размерите на основите са равни на Y и Z (съответно по-малък и по-голям). За да извършите изчислението, е необходимо да изчертаете височината H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малката от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y)/2 = F. Сега, за да изчислим острата ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β) = X/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (X/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим втория, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.

Има второ решение на този проблем. Първо го спускаме от ъгъла до височина H. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катетите. Получаваме: BN = √(X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β = арктан (BN/F). Открит е остър ъгъл. След това го дефинираме подобно на първия метод.

Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец

Първо, нека напишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;

Височината и средната му линия са равни;

Центърът на кръга е точката, в която ;

Ако страничната страна е разделена от точката на допиране на сегменти H и M, тогава тя е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти;

Четириъгълникът, образуван от допирателните точки, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;

Площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.

Подобни трапеци

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на този Например диагоналите разделят трапец на четири триъгълника, като прилежащите към основите са подобни, а прилежащите към страните са равни по размер. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част от това твърдение се доказва чрез знака за подобие на два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода, даден по-долу.

Доказателство на теоремата

Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS са основите на трапеца) е разделена на диагонали VD и AC. Точката на тяхното пресичане е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD отстрани. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Откриваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Следователно PSOD = PBOS/K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS/PAOB = CO/OA = K и PAOB = PBOS/K. От това следва, че PSOD = PAOB.

За консолидиране на материала се препоръчва на учениците да намерят връзката между областите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали, като решат следния проблем. Известно е, че триъгълниците BOS и AOD имат равни площи, необходимо е да се намери площта на трапеца. Тъй като PSOD = PAOB, това означава PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. От подобието на триъгълници BOS и AOD следва, че BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следователно PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD = √(PBOS*PAOD). Тогава PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Свойства на подобие

Продължавайки да развиваме тази тема, можем да докажем други интересни характеристики на трапеца. По този начин, използвайки подобие, може да се докаже свойството на сегмент, който минава през точката, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта нека решим следната задача: трябва да намерим дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От подобието на триъгълници AOD и BOS следва, че AO/OS = AD/BS. От подобието на триъгълници AOP и ASB следва, че AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=BS*BP/(BS+BP). По същия начин от сходството на триъгълници DOC и DBS следва, че OK = BS*AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Сегмент, минаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основите и свързващи две странични страни, се разделя наполовина от точката на пресичане. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на трапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечната точка на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и F) винаги лежат на една и съща права. Това може лесно да се докаже чрез метода на подобието. Получените триъгълници BES и AED са подобни и във всеки от тях медианите ET и EJ разделят ъгъла на върха E на равни части. Следователно точките E, T и F лежат на една права линия. По същия начин точките T, O и Zh са разположени на една и съща права линия Всичко това следва от подобието на триъгълниците BOS и AOD. От тук заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и F - ще лежат на една и съща права линия.

Използвайки подобни трапеци, можете да помолите учениците да намерят дължината на сегмента (LS), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са подобни, тогава BS/LF = LF/AD. От това следва, че LF=√(BS*AD). Откриваме, че отсечката, разделяща трапеца на две еднакви има дължина, равна на средната геометрична на дължините на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на подобие. Тя се основава на сегмент, който разделя трапеца на две равни фигури. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EH на две подобни. От върха B е пропусната височина, която се разделя от отсечка EN на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 и PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, а второто (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. От това следва, че B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Откриваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължините на основите: √((BS2+AD2)/2).

Констатации за сходство

Така ние доказахме, че:

1. Отсечката, свързваща средите на страничните страни на трапеца, е успоредна на AD и BS и е равна на средноаритметичното на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. Правата, минаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Отсечката, разделяща трапеца на подобни има дължина на средната геометрична на основите BS и AD.

4. Елемент, разделящ фигура на две равни, има дължината на средния квадрат на числата AD и BS.

За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги конструира за конкретен трапец. Той може лесно да покаже средната линия и отсечката, която минава през точка O - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредни на основите. Но къде ще бъдат разположени третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.

Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец

Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем пресечните точки Ш и Ш. Този сегмент ще бъде равен на половината от разликата на основите. Нека разгледаме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABS, равна е на BS/2. MSH е средната линия на триъгълник ABD, равна е на AD/2. Тогава получаваме, че ShShch = MSh-MSh, следователно ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Център на тежестта

Нека да разгледаме как се определя този елемент за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Трябва да добавите долната основа към горната основа - във всяка посока, например надясно. И удължаваме долната по дължината на горната вляво. След това ги свързваме диагонално. Пресечната точка на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вписани и описани трапеци

Нека изброим характеристиките на такива фигури:

1. Трапецът може да бъде вписан в окръжност само ако е равнобедрен.

2. Трапецът може да се опише около окръжност, при условие че сборът от дължините на техните основи е равен на сбора от дължините на страните.

Следствия от вписаната окръжност:

1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.

2. Страната на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първото следствие е очевидно, но за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът SOD е прав, което всъщност също не е трудно. Но познаването на това свойство ще ви позволи да използвате правоъгълен триъгълник при решаване на проблеми.

Сега нека уточним тези последствия за равнобедрен трапец, вписан в окръжност. Откриваме, че височината е средната геометрична на основите на фигурата: H=2R=√(BS*AD). Упражнявайки основната техника за решаване на задачи за трапец (принципа на чертане на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрената фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегментите AT и TD. Използвайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно да се направи.

Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Спускаме височината от върха B до основата AD. Тъй като окръжността е вписана в трапец, тогава BS+AD = 2AB или AB = (BS+AD)/2. От триъгълник ABN намираме sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Получаваме PABSD = (BS+BP)*R, от което следва, че R = PABSD/(BS+BP).

Всички формули за средна линия на трапец

Сега е време да преминем към последния елемент от тази геометрична фигура. Нека разберем на какво е равна средната линия на трапеца (M):

1. През основите: M = (A+B)/2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. През височина, диагонали и ъгъл между тях. Например D1 и D2 са диагоналите на трапец; α, β - ъгли между тях:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Проходна площ и височина: M = P/N.

Как да намерим радиуса на описаната описана трапец?

В зависимост от условията това може да стане по различни начини. Няма готова формула за радиус на окръжност, описана около трапец.

I. Радиусът на описана окръжност около трапец като радиус на описана окръжност около триъгълник, чиито върхове са върховете на трапеца

Описаната окръжност на трапеца минава през всички негови върхове, следователно тя е описана за всеки от триъгълниците, чиито върхове са върховете на трапеца.

Като цяло може да се намери с помощта на една от формулите

където a е страната на триъгълника, α е ъгълът срещу него;

или по формула

където a, b, c са страните, S е площта на триъгълника.

За трапец ABCD радиусът може да се намери например като радиус на окръжност, описана около триъгълник ABD:

където синусът на ъгъл A може да се намери от правоъгълния триъгълник ABF:

III. Радиусът на окръжност, описана около трапец, като разстоянието до точката на пресичане на ъглополовящите перпендикуляри

Радиусът на описаната окръжност е точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи със страните на трапеца. (Можете да разсъждавате по различен начин: в равнобедрения триъгълник AOD (AO=OD=R) височината ON също е медианата. За триъгълника BOC същото е вярно.)

Ако височината на трапеца е известна KN=h, основите AD=a, BC=b могат да бъдат обозначени с ON=x.

Ако центърът на окръжността лежи вътре в трапеца, OK=h-x, от правоъгълните триъгълници ANO и BKO можем да изразим

и приравнете десните страни

Като решите тези уравнения за x, можете да намерите R.

IV. Ако диагоналът на трапец е перпендикулярен на страната, центърът на описаната окръжност лежи в средата на по-голямата основа, а радиусът е половината от по-голямата основа.

Проектна работа „Интересни свойства на трапец“ Изпълнител: Ученици от 10 клас Кудзаева Елина Баззаева Диана МКОУ СОУ с. Н.Батако Ръководител: Гагиева А.О. 20 ноември 2015 г

Цел на работата: Да се ​​разгледат свойствата на трапеца, които не се изучават в училищния курс по геометрия, но при решаване на геометрични задачи на Единния държавен изпит от разширената част C 4, може да е необходимо да знаете и да можете прилагат именно тези свойства.

Свойства на трапец: Ако трапецът се раздели с права, успоредна на основите му, равна на a и b, на два равни трапеца. Тогава отсечката към тази линия, затворена между страничните страни, е равна на B до

Свойство на отсечка, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапец. Отсечката, успоредна на основите, минаваща през точката на пресичане на диагоналите, е равна на: a в c

Свойства на трапеца: Права отсечка, успоредна на основите на трапеца, затворена вътре в трапеца, е разделена на три части от своите диагонали. Тогава сегментите, съседни на страните, са равни един на друг. MP=OK R M O K

Свойства на равнобедрен трапец: Ако окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава радиусът на окръжността е средно пропорционален на сегментите, на които допирателната точка разделя страната. O S V A D. E O

Свойства на равнобедрен трапец: Ако центърът на описаната окръжност лежи в основата на трапеца, то неговият диагонал е перпендикулярен на страната O A B C D

Свойства на равнобедрен трапец: В равнобедрен трапец може да се впише окръжност, ако страничната страна е равна на средната му линия. S V A D h

1) Ако формулировката на задачата гласи, че окръжност е вписана в правоъгълен трапец, можете да използвате следните свойства: 1. Сборът от основите на трапеца е равен на сбора от страните. 2. Разстоянията от върха на трапеца до допирателните точки на вписаната окръжност са равни. 3. Височината на правоъгълен трапец е равна на по-малката му страна и е равна на диаметъра на вписаната окръжност. 4. Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца. 5. Ако допирателната точка разделя страната на сегменти m и n, тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на

Свойства на правоъгълен трапец, в който е вписана окръжност: 1) Четириъгълник, образуван от центъра на вписаната окръжност, допирните точки и върха на трапеца - квадрат, чиято страна е равна на радиуса. (AMOE и BKOM са квадрати със страна r). 2) Ако кръгът е вписан в правоъгълен трапец, тогава площта на трапеца е равна на произведението на неговите основи: S=AD*BC

Доказателство: Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина: Нека означим CF=m, FD=n. Тъй като разстоянията от върховете до допирателните точки са равни, височината на трапеца е равна на два радиуса на вписаната окръжност и

I. Симетралите на ъглите при страничната страна на трапеца се пресичат под ъгъл 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (като вътрешна едностранна с AD∥BC и секуща AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (тъй като ъглополовящите разделят ъглите на две). 3) Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е 180º, в триъгълник ABK имаме: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, следователно ∠AKB=180-90=90º. Извод: Ъглополовящите на страничната страна на трапец се пресичат под прав ъгъл. Това твърдение се използва при решаване на задачи върху трапец, в който е вписана окръжност.

I I. Пресечната точка на ъглополовящите на трапеца, съседна на страничната страна, лежи на средната линия на трапеца. Нека ъглополовящата на ъгъл ABC пресича страната AD в точка S. Тогава триъгълникът ABS е равнобедрен с основа BS.Това означава, че неговата ъглополовяща AK също е медиана, тоест точка K е средата на BS. Ако M и N са средните точки на страничните страни на трапеца, тогава MN е средната линия на трапеца и MN∥AD. Тъй като M и K са среди на AB и BS, тогава MK е средната линия на триъгълника ABS и MK∥AS. Тъй като само една права, успоредна на тази, може да бъде начертана през точка M, точка K лежи на средната линия на трапеца.

III. Пресечната точка на ъглополовящите на острите ъгли в основата на трапец принадлежи на друга основа. В този случай триъгълниците ABK и DCK са равнобедрени с основи съответно AK и DK. Така BC=BK+KC=AB+CD. Извод: Ако ъглополовящите на острите ъгли на трапец се пресичат в точка, принадлежаща на по-малката основа, то по-малката основа е равна на сбора от страничните страни на трапеца. Равнобедреният трапец в този случай има по-малка основа, два пъти по-голяма от страната му.

I V. Пресечната точка на ъглополовящите на тъпите ъгли в основата на трапеца принадлежи на друга основа. В този случай триъгълниците ABF и DCF са равнобедрени с основи съответно BF и CF. Следователно AD=AF+FD=AB+CD. Извод: Ако ъглополовящите на тъпите ъгли на трапец се пресичат в точка, принадлежаща на по-голямата основа, то по-голямата основа е равна на сбора от страничните страни на трапеца. В този случай равнобедреният трапец има по-голяма основа, която е два пъти по-голяма от неговата страна.

Ако може да се впише равнобедрен трапец със страни a, b, c, d и да се начертаят окръжности около него, то площта на трапеца е

Трапецът е геометрична фигура с четири ъгъла. При конструирането на трапец е важно да се вземе предвид, че две противоположни страни са успоредни, а другите две, напротив, не са успоредни една спрямо друга. Тази дума дойде в наши дни от Древна Гърция и звучеше като „trapedzion“, което означаваше „маса“, „маса за хранене“.

Тази статия говори за свойствата на трапец, описан около окръжност. Ще разгледаме и видовете и елементите на тази фигура.

Елементи, видове и характеристики на геометричната фигура трапец

Успоредните страни на тази фигура се наричат ​​основи, а тези, които не са успоредни, се наричат ​​страни. При условие, че страните са с еднаква дължина, трапецът се счита за равнобедрен. Трапец, чиито страни са перпендикулярни на основата под ъгъл 90°, се нарича правоъгълен.

Тази на пръв поглед проста фигура има значителен брой свойства, присъщи на нея, подчертавайки нейните характеристики:

1. Ако начертаете средна линия покрай страните, тя ще бъде успоредна на основите. Този сегмент ще бъде равен на 1/2 от разликата на основите.
2. При конструиране на ъглополовяща от всеки ъгъл на трапец се образува равностранен триъгълник.
3. От свойствата на трапеца, описан около окръжност, е известно, че сборът от успоредните му страни трябва да бъде равен на сбора от основите.
4. Когато конструирате диагонални сегменти, където една от страните е основата на трапец, получените триъгълници ще бъдат подобни.
5. При конструиране на диагонални сегменти, където една от страните е странична, получените триъгълници ще имат еднаква площ.
6. Ако продължим страничните линии и построим отсечка от центъра на основата, тогава образуваният ъгъл ще бъде равен на 90°. Отсечката, свързваща основите, ще бъде равна на 1/2 от разликата им.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Окръжност в трапец е възможно само при едно условие. Това условие е сборът от страните да е равен на сбора от основите. Например, когато се конструира трапец AFDM, е приложимо AF + DM = FD + AM. Само в този случай кръг може да бъде ограден в трапец.

И така, повече за свойствата на трапец, описан около кръг:

1. Ако кръгът е затворен в трапец, тогава, за да се намери дължината на неговата линия, която пресича фигурата наполовина, е необходимо да се намери 1/2 от сумата от дължините на страните.
2. При построяването на трапец, описан около окръжност, образуваната хипотенуза е идентична с радиуса на окръжността, а височината на трапеца е и диаметърът на окръжността.
3. Друго свойство на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е, че страната му се вижда непосредствено от центъра на окръжността под ъгъл 90°.

Още малко за свойствата на трапеца, ограден в кръг

В окръжност може да бъде вписан само равнобедрен трапец. Това означава, че е необходимо да се изпълнят условията, при които конструираният AFDM трапец ще отговаря на следните изисквания: AF + DM = FD + MA.

Теоремата на Птолемей гласи, че в трапец, затворен в окръжност, произведението на диагоналите е идентично и равно на сумата от противоположните страни, умножени. Това означава, че при построяването на окръжност, описана около трапеца AFDM, се прилага следното: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Доста често в училищните изпити има задачи, които изискват решаване на задачи с трапец. Голям брой теореми трябва да бъдат запомнени, но ако не можете да ги научите веднага, това няма значение. Най-добре е периодично да прибягвате до съвети в учебниците, така че тези знания да се поберат в главата ви сами, без много затруднения.