Теоремата на Питагор: основа, доказателства, примери за практическо приложение. Различни начини за доказване на Питагоровата теорема: примери, описания и прегледи Питагоровата теорема, която познавате

Различни начини за доказване на Питагоровата теорема

ученичка от 9 "А" клас

MOU средно училище №8

Научен ръководител:

учител по математика,

MOU средно училище №8

Изкуство. Нова Коледа

Краснодарски край.

Изкуство. Нова Коледа

АНОТАЦИЯ.

Теоремата на Питагор с право се счита за най-важната в хода на геометрията и заслужава специално внимание. Това е основата за решаване на много геометрични проблеми, основата за изучаване на теоретичния и практически курс на геометрията в бъдеще. Теоремата е заобиколена от най-богатия исторически материал, свързан с появата и методите на доказване. Изучаването на историята на развитието на геометрията внушава любов към този предмет, допринася за развитието на познавателен интерес, обща култура и креативност, а също така развива изследователски умения.

В резултат на търсещата дейност беше постигната целта на работата, която е да се попълнят и обобщят знанията за доказателството на Питагоровата теорема. Беше възможно да се намерят и разгледат различни начини за доказателство и задълбочаване на знанията по темата, надхвърляйки страниците на училищен учебник.

Събраният материал още повече убеждава, че Питагоровата теорема е великата теорема на геометрията и има голямо теоретично и практическо значение.

Въведение. Исторически контекст 5 Основна част 8

3. Заключение 19

4. Използвана литература 20
1. ВЪВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКА СПРАВКА.

Същността на истината е, че тя е за нас завинаги,

Когато поне веднъж в нейното прозрение видим светлината,

И Питагоровата теорема след толкова години

За нас, както и за него, тя е безспорна, безупречна.

За да празнуват, боговете са получили обет от Питагор:

За докосване до безкрайната мъдрост,

Той закла сто бика, благодарение на вечните;

След това той отправи молитви и възхвали на жертвата.

Оттогава биковете, когато миришат, бутане,

Какво води хората отново към новата истина,

Те реват неистово, та няма урина да слуша,

Такъв Питагор им всява ужас завинаги.

Бикове, безсилни да се противопоставят на новата истина,

Какво остава? - Просто затвори очи, реве, трепери.

Не е известно как Питагор е доказал своята теорема. Сигурното е, че го е открил под силното влияние на египетската наука. Специален случай на Питагоровата теорема - свойствата на триъгълник със страни 3, 4 и 5 - е бил известен на строителите на пирамидите много преди раждането на Питагор, докато самият той е учил с египетски свещеници повече от 20 години. Има легенда, която гласи, че след като доказал известната си теорема, Питагор принесъл в жертва на боговете бик, а според други източници дори 100 бика. Това обаче противоречи на информацията за моралните и религиозни възгледи на Питагор. В литературни източници може да се прочете, че той „забранява дори убиването на животни и още повече да ги храни, защото животните имат душа, като нас“. Питагор се храни само с мед, хляб, зеленчуци и понякога риба. Във връзка с всичко това за по-правдоподобен може да се приеме следният запис: „... и дори когато откри, че в правоъгълния триъгълник хипотенузата съответства на катетите, той принесе в жертва бик, направен от пшенично тесто“.

Популярността на Питагоровата теорема е толкова голяма, че нейните доказателства се намират дори в художествената литература, например в историята на известния английски писател Хъксли "Младият Архимед". Същото доказателство, но за частния случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник, е дадено в диалога на Платон Мено.

Къща за приказки.

„Далеч, далече, където дори самолетите не летят, е страната на Геометрията. В тази необичайна страна имаше един невероятен град - градът на Теорема. Един ден красиво момиче на име Хипотенуза дойде в този град. Опитвала се да си вземе стая, но където и да кандидатствала, навсякъде й отказвали. Най-накрая тя се приближи до разклатената къща и почука. Тя беше отворена от човек, който се наричаше Правия ъгъл, и той покани Хипотенузата да живее с него. Хипотенузата останала в къщата, където живеели Правия ъгъл и двамата му малки синове, на име Катет. Оттогава животът в къщата под прав ъгъл се промени по нов начин. Хипотенузата засади цветя на прозореца и разпръсна червени рози в предната градина. Къщата има формата на правоъгълен триъгълник. И двата крака много харесаха Хипотенузата и я помолиха да остане завинаги в къщата им. Вечер това приятелско семейство се събира на семейната трапеза. Понякога Right Angle играе на криеница с децата си. Най-често той трябва да търси, а Хипотенузата се крие толкова умело, че може да бъде много трудно да се намери. Веднъж по време на игра Правият ъгъл забеляза интересно свойство: ако успее да намери краката, намирането на хипотенузата не е трудно. Така че Right Angle използва този модел, трябва да кажа, много успешно. Питагоровата теорема се основава на свойството на този правоъгълен триъгълник.

(От книгата на А. Окунев „Благодаря ви за урока, деца”).

Закачлива формулировка на теоремата:

Ако ни е даден триъгълник

И освен това с прав ъгъл,

Това е квадратът на хипотенузата

Винаги можем лесно да намерим:

Изграждаме краката в квадрат,

Намираме сумата от градуси -

И то по толкова прост начин

Ще стигнем до резултата.

Изучавайки алгебра и началото на анализа и геометрията в 10. клас, се убедих, че освен метода за доказване на Питагоровата теорема, разгледан в 8. клас, има и други начини за доказването ѝ. Представям ги на вашето внимание.
2. ОСНОВНА ЧАСТ.

Теорема. Квадрат в правоъгълен триъгълник

Хипотенузата е равна на сумата от квадратите на катетите.

1 НАЧИН.

Използвайки свойствата на площите на многоъгълниците, ние установяваме забележителна връзка между хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник.

Доказателство.

а, ви хипотенуза с(фиг. 1, а).

Нека докажем това c²=a²+b².

Доказателство.

Завършваме триъгълника до квадрат със страна a + bкакто е показано на фиг. 1б. Площта S на този квадрат е (a + b)². От друга страна, този квадрат е съставен от четири равни правоъгълни триъгълника, площта на всеки от които е ½ ав, и квадрат със страна с,така че С = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

По този начин,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Теоремата е доказана.
2 НАЧИН.

След като проучих темата „Подобни триъгълници“, разбрах, че можете да приложите сходството на триъгълниците към доказателството на Питагоровата теорема. А именно, използвах твърдението, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална стойност на хипотенузата и сегмента от хипотенузата, ограден между катета и височината, изтеглена от върха на правия ъгъл.

Да разгледаме правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, CD е височината (фиг. 2). Нека докажем това AC² + ЮЗ² = AB² .

Доказателство.

Въз основа на твърдението за катета на правоъгълен триъгълник:

AC = , CB = .

Поставяме на квадрат и събираме получените равенства:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), където AD + DB = AB, тогава

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Доказателството е пълно.
3 НАЧИНА.

Дефиницията на косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник може да се приложи към доказателството на Питагоровата теорема. Разгледайте фиг. 3.

Доказателство:

Нека ABC е даден правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C. Начертайте височина CD от върха на правия ъгъл C.

По дефиниция на косинуса на ъгъл:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Следователно AB * AD = AC²

по същия начин,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Следователно AB * BD \u003d BC².

Събирайки получените равенства член по член и забелязвайки, че AD + DВ = AB, получаваме:

AC² + нд² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Доказателството е пълно.
4 НАЧИН.

След като изучавах темата "Съотношения между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник", смятам, че Питагоровата теорема може да се докаже и по друг начин.

Помислете за правоъгълен триъгълник с катети а, ви хипотенуза с. (фиг. 4).

Нека докажем това c²=a²+b².

Доказателство.

грях B=климатик ; cos B=като , тогава, повдигайки получените равенства на квадрат, получаваме:

грях² B= in²/s²; cos² IN\u003d a² / s².

Събирайки ги, получаваме:

грях² IN+ cos² B= v² / s² + a² / s², където sin² IN+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², следователно,

c² = a² + b².

Доказателството е пълно.

5 НАЧИН.

Това доказателство се основава на изрязване на квадратите, построени върху катетите (фиг. 5) и подреждане на получените части върху квадрата, построен върху хипотенузата.

6 НАЧИН.

За доказване на катета слънцесграда BCD ABC(фиг. 6). Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадратите на техните подобни линейни размери:

Като извадим второто от първото равенство, получаваме

c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

7 НАЧИН.

дадени(фиг. 7):

КОРЕМНИ МУСКУЛИ,= 90° , слънце= a, AC=b, AB = c.

Докажи:c2 = a2 +b2.

Доказателство.

Нека кракът b А.Да продължим сегмента SWна точка INи изградете триъгълник bmdтака че точките МИ Алежи от едната страна на права линия CDи между другото, Б.Д.=б, BDM= 90°, DM= а, тогава bmd= ABCна двете страни и ъгъла между тях. Точки А и Мсвържете чрез сегменти сутринтаНие имаме MD CDИ AC CD,означава прав ACуспоредна на права линия MD.защото MD< АС, след това направо CDИ сутринтане са успоредни. Следователно, AMDC-правоъгълен трапец.

В правоъгълни триъгълници ABC и bmd 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но тъй като = =, тогава 3 + 2 = 90°; Тогава AVM=180° - 90° = 90°. Оказа се, че трапецът AMDCразделен на три правоъгълни триъгълника, които не се припокриват, след това от аксиомите на площта

(a+b)(a+b)

Разделяйки всички членове на неравенството на , получаваме

Аb + c2 + ab = (a +б) , 2 аб+ c2 = a2+ 2аb+ b2,

c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

8 НАЧИН.

Този метод се основава на хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник ABC.Той построява съответните квадрати и доказва, че квадратът, построен върху хипотенузата, е равен на сбора от квадратите, построени върху катетите (фиг. 8).

Доказателство.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc,означава, FBC= DBA.

По този начин, FBC=ABD(от двете страни и ъгъла между тях).

2) , където AL DE, тъй като BD е обща база, DL-Обща височина.

3) , тъй като FB е база, AB- обща височина.

5) По същия начин може да се докаже това

6) Добавяйки термин по термин, получаваме:

, BC2 = AB2 + AC2 . Доказателството е пълно.

9 НАЧИН.

Доказателство.

1) Нека АБДЕ- квадрат (фиг. 9), чиято страна е равна на хипотенузата на правоъгълен триъгълник ABC (AB= c, BC = a, AC =б).

2) Нека DK пр.н.еИ DK = слънце,тъй като 1 + 2 = 90° (като острите ъгли на правоъгълен триъгълник), 3 + 2 = 90° (като ъгъл на квадрат), AB= BD(страни на квадрата).

означава, ABC= БДК(по хипотенуза и остър ъгъл).

3) Нека ЕЛ DC, AM ЕЛ.Може лесно да се докаже, че ABC = BDK = DEL = EAM (с крака АИ б).Тогава KS= СМ= ML= ЛК= А -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),с2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

10 НАЧИН.

Доказателството може да се проведе на фигура, наречена шеговито "Питагорови панталони" (фиг. 10). Идеята му е да трансформира квадратите, изградени върху катетите, в равни триъгълници, които заедно образуват квадрата на хипотенузата.

ABC shift, както е показано със стрелката, и заема позицията KDN.Останалата част от фигурата AKDCBравна на площта на квадрат AKDC-това е успоредник АКНБ.

Направи модел на успоредник АКНБ. Разместваме успоредника, както е скицирано в съдържанието на работата. За да покажем превръщането на успоредник в равен триъгълник, пред учениците изрязваме триъгълник върху модела и го изместваме надолу. Така че площта на квадрата AKDCе равна на площта на правоъгълника. По същия начин преобразуваме площта на квадрат в площта на правоъгълник.

Нека направим трансформация за квадрат, изграден върху крак А(Фиг. 11, а):

а) квадратът се трансформира в успоредник с еднакъв размер (фиг. 11.6):

б) успоредникът се завърта на четвърт оборот (фиг. 12):

в) успоредникът се трансформира в правоъгълник с еднакъв размер (фиг. 13): 11 НАЧИН.

Доказателство:

PCL-прав (фиг. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= б 2;

АКГБ= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Доказателството приключи .

12 НАЧИН.

Ориз. 15 илюстрира друго оригинално доказателство на Питагоровата теорема.

Тук: триъгълник ABC с прав ъгъл C; линейна отсечка bfперпендикулярен SWи равен на него, отсечката БЪДАперпендикулярен ABи равен на него, отсечката ADперпендикулярен ACи равен на него; точки F, C,дпринадлежат на една права линия; четириъгълници ADFBИ ACBEса равни, защото ABF = ЕЦБ;триъгълници ADFИ ACEса равни; изваждаме от двата равни четириъгълника общ за тях триъгълник abc,получаваме

, c2 = a2 + b2.

Доказателството е пълно.

13 НАЧИН.

Площта на този правоъгълен триъгълник, от една страна, е равна на , с друг, ,

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В резултат на търсещата дейност беше постигната целта на работата, която е да се попълнят и обобщят знанията за доказателството на Питагоровата теорема. Беше възможно да се намерят и обмислят различни начини за доказване и задълбочаване на знанията по темата, като се отиде отвъд страниците на училищен учебник.

Материалът, който събрах, е още по-убедителен, че Питагоровата теорема е великата теорема на геометрията и има голямо теоретично и практическо значение. В заключение бих искал да кажа: причината за популярността на Питагоровата теорема за триединството е красотата, простотата и значимостта!

4. ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА.

1. Занимателна алгебра. . Москва "Наука", 1978 г.

2. Седмично учебно-методическо приложение към вестник „Първи септември”, 24/2001.

3. Геометрия 7-9. и т.н.

4. Геометрия 7-9. и т.н.

Теорема

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на краката (фиг. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Доказателство на Питагоровата теорема

Нека триъгълник $A B C$ е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл $C$ (фиг. 2).

Нека начертаем височина от върха $C$ до хипотенузата $A B$, означим основата на височината като $H$.

Правоъгълният триъгълник $A C H$ е подобен на триъгълник $A B C$ в два ъгъла ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ е общ). По същия начин триъгълник $C B H$ е подобен на $A B C$.

Въвеждане на нотацията

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

от сходството на триъгълниците получаваме това

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Следователно имаме това

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Събирайки получените равенства, получаваме

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

Q.E.D.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема

Теорема

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката (фиг. 2):

Примери за решаване на проблеми

Пример

Упражнение.Даден ви е правоъгълен триъгълник $A B C$, чиито катети са 6 см и 8 см. Намерете хипотенузата на този триъгълник.

Решение.Според условието на катета $a=6$ см, $b=8$ см. Тогава според Питагоровата теорема квадратът на хипотенузата

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Оттук получаваме търсената хипотенуза

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Отговор. 10 см

Пример

Упражнение.Намерете площта на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че единият му катет е с 5 cm по-дълъг от другия, а хипотенузата е 25 cm.

Решение.Нека $x$ cm е дължината на по-малкия катет, тогава $(x+5)$ cm е дължината на по-големия. Тогава според Питагоровата теорема имаме:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Отваряме скобите, намаляваме подобни и решаваме полученото квадратно уравнение:

$x^(2)+5 x-300=0$

Според теоремата на Виета получаваме това

$x_(1)=15$ (cm) , $x_(2)=-20$ (cm)

Стойността на $x_(2)$ не удовлетворява условието на задачата, което означава, че по-малкият катет е 15 cm, а по-големият е 20 cm.

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на дължините на краката му, т.е

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Отговор.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

Историческа справка

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Древната китайска книга "Джоу би суан дзин" говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5. Най-големият немски историк на математиката Мориц Кантор (1829 - 1920) смята, че равенството $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ вече е бил известен на египтяните около 2300 г. пр.н.е. Според учения след това строителите са построили прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5. Малко повече се знае за Питагоровата теорема сред вавилонците. Един текст дава приблизително изчисляване на хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Питагорова теорема: Сумата от площите на квадратите, поддържани от краката ( аИ b), е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата ( ° С).

Геометрична формулировка:

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

Алгебрична формулировка:

Тоест, обозначавайки дължината на хипотенузата на триъгълника през ° С, и дължините на краката през аИ b :

а 2 + b 2 = ° С 2

И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратна теорема на Питагор:

Доказателство

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградени директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигурата.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначаваме основата му с з. Триъгълник ACHподобен на триъгълник ABCна два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC. Въвеждане на нотацията

получаваме

Какво е еквивалентно

Добавяйки, получаваме

Площни доказателства

Следващите доказателства, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.

Доказателство чрез еквивалентност

Подредете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигура 1.
Четириъгълник със страни ° Се квадрат, защото сборът от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и два вътрешни квадрати.

Q.E.D.

Доказателство чрез еквивалентност

Елегантно доказателство за пермутация

Пример за едно от тези доказателства е показано на чертежа вдясно, където квадратът, построен върху хипотенузата, се преобразува чрез пермутация в два квадрата, построени върху катетите.

Доказателството на Евклид

Чертеж за доказателството на Евклид

Илюстрация към доказателството на Евклид

Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни.

Разгледайте рисунката вляво. Върху него построихме квадрати от страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на прав ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ , съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака.

Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като дадената правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK.

Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата по горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни по двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD е лесно да се докаже чрез метода на движението: нека завъртим триъгълника CAK на 90 ° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата разглеждани триъгълника ще съвпадат (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°).

Аргументът за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно аналогичен.

Така доказахме, че площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е сумата от площите на квадратите, построени върху краката. Идеята зад това доказателство е допълнително илюстрирана с анимацията по-горе.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.

Помислете за чертежа, както се вижда от симетрията, сегмента ° Сазразчленява площада АбзДж на две еднакви части (тъй като триъгълниците Аб° СИ Джзазса равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на защрихованите фигури ° САДжаз И ЖдАб . Сега е ясно, че площта на фигурата, засенчена от нас, е равна на сумата от половината от площите на квадратите, построени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последната стъпка в доказателството е оставена на читателя.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Следното доказателство, използващо диференциални уравнения, често се приписва на известния английски математик Харди, живял през първата половина на 20 век.

Разглеждайки чертежа, показан на фигурата, и наблюдавайки промяната на страната а, можем да напишем следната връзка за безкрайно малки странични увеличения сИ а(с помощта на подобни триъгълници):

Доказателство по метода на безкрайно малките

Използвайки метода на разделяне на променливите, намираме

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата катета

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме

° С 2 = а 2 + b 2 + константа.

Така стигаме до желания отговор

° С 2 = а 2 + b 2 .

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата се дължи на независимите приноси от нарастването на различните катети.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение (в този случай кракът b). Тогава за константата на интегриране, която получаваме

Вариации и обобщения

Ако вместо квадрати върху краката са изградени други подобни фигури, тогава е вярно следното обобщение на Питагоровата теорема: В правоъгълен триъгълник сумата от площите на подобни фигури, изградени върху краката, е равна на площта на фигурата, изградена върху хипотенузата.В частност:
- Сумата от площите на правилните триъгълници, построени върху краката, е равна на площта на правилен триъгълник, построен върху хипотенузата.
- Сумата от площите на полукръговете, построени върху краката (както на диаметъра), е равна на площта на полукръга, построен върху хипотенузата. Този пример се използва за доказване на свойствата на фигури, ограничени от дъги от две окръжности и носещи името хипократова лунула.

История

Chu-pei 500–200 пр.н.е. Вляво е надписът: сумата от квадратите на дължините на височината и основата е квадрат на дължината на хипотенузата.

Древната китайска книга Chu-pei говори за Питагоров триъгълник със страни 3, 4 и 5: В същата книга е предложен чертеж, който съвпада с един от чертежите на индуистката геометрия на Baskhara.

Кантор (най-големият германски историк на математиката) смята, че равенството 3 ² + 4 ² = 5² вече е било известно на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д., по времето на крал Аменемхет I (според папирус 6619 на Берлинския музей). Според Кантор харпедонаптите или „струнарите“ изграждат прави ъгли с помощта на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

Много е лесно да се възпроизведе техният метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете за него по протежение на цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и на 4 метра от другия. Между страните с дължина 3 и 4 метра ще бъде ограден прав ъгъл. Може да се възрази на харпедонаптите, че техният начин на изграждане става излишен, ако се използва например дървеният квадрат, използван от всички дърводелци. Наистина са известни египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.

Сред вавилонците се знае малко повече за Питагоровата теорема. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, т.е. до 2000 г. пр.н.е. д. е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са умеели да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи. Базирайки се, от една страна, на сегашното ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга, на критично изследване на гръцките източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) заключава следното:

Литература

На руски

Скопец З. А.Геометрични миниатюри. М., 1990
Еленски Ш.По стъпките на Питагор. М., 1961
Ван дер Ваерден Б. Л.Пробуждане на науката. Математиката на Древен Египет, Вавилон и Гърция. М., 1959
Глейзър Г.И.История на математиката в училище. М., 1982
В. Лицман, "Питагоровата теорема" М., 1960 г.
- Сайт за Питагоровата теорема с голям брой доказателства, материалът е взет от книгата на W. Litzman, голям брой рисунки са представени като отделни графични файлове.
Питагоровата теорема и Питагоровите тройки глава от книгата на Д. В. Аносов „Поглед към математиката и нещо от нея“
За теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство Г. Глейзър, академик на Руската академия на образованието, Москва

На английски

Питагоровата теорема в WolframMathWorld
Cut-The-Knot, раздел за Питагоровата теорема, около 70 доказателства и обширна допълнителна информация (англ.)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Питагоровата теорема казва:

В правоъгълен триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата:

a 2 + b 2 = c 2,

аИ b- крака, образуващи прав ъгъл.
се хипотенузата на триъгълника.

Формули на Питагоровата теорема

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Доказателство на Питагоровата теорема

Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по формулата:

S = \frac(1)(2)ab

За да се изчисли площта на произволен триъгълник, формулата за площ е:

стр- полупериметър. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
rе радиусът на вписаната окръжност. За правоъгълник r=\frac(1)(2)(a+b-c).

След това приравняваме десните страни на двете формули за площта на триъгълник:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Обратна теорема на Питагор:

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Тоест за всяка тройка положителни числа а, бИ ° С, така че

a 2 + b 2 = c 2,

има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза ° С.

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Доказано е от учения математик и философ Питагор.

Значението на теорематав това, че може да се използва за доказване на други теореми и решаване на проблеми.

Допълнителен материал:

Името обаче е получено в чест на учения само поради причината, че той е първият и дори единственият човек, който успя да докаже теоремата.

Германският историк на математиката Кантор твърди, че теоремата вече е била известна на египтяните около 2300 г. пр.н.е. д. Той вярваше, че правите ъгли са били построени благодарение на правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.

Известният учен Кеплер каза, че геометрията има едно незаменимо съкровище - това е Питагоровата теорема, благодарение на която е възможно да се изведат повечето от теоремите в геометрията.

Преди това теоремата на Питагор се наричаше „теорема за булката“ или „теорема за нимфата“. И работата е там, че рисунката й беше много подобна на пеперуда или нимфа. Арабите, когато превеждат текста на теоремата, решават, че нимфата означава булката. Така се появи интересното име на теоремата.

Питагорова теорема, формула

Теорема

- в правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на краката () е равна на квадрата на хипотенузата (). Това е една от основните теореми на евклидовата геометрия.

Формула:

Както вече споменахме, има много различни доказателства на теоремата с разнообразни математически подходи. Теоремите за площта обаче се използват по-често.

Построете квадрати върху триъгълника ( син, зелено, червен)

Тоест сумата от площите на квадратите, построени върху краката, е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата. Съответно площите на тези квадрати са равни -. Това е геометричното обяснение на Питагор.

Доказателство на теоремата по метода на площта: 1 начин

Нека докажем това.

Помислете за същия триъгълник с катети a, b и хипотенуза c.

Завършваме правилния триъгълник до квадрат. От крак “a” продължаваме линията до разстоянието на крак “b” (червена линия).
След това начертаваме линията на новия крак „a“ вдясно (зелена линия).
Свързваме два крака с хипотенузата "c".

Оказва се същият триъгълник, само обърнат.

По същия начин изграждаме от другата страна: от крака "a" начертаваме линията на крака "b" и надолу "a" и "b" И от долната част на крака "b" начертаваме линията на крак "а". В центъра на всеки катет е начертана хипотенуза "c". Така хипотенузите образуваха квадрат в центъра.

Този квадрат се състои от 4 еднакви триъгълника. И площта на всеки правоъгълен триъгълник = половината от произведението на краката му. Съответно,. И площта на квадрата в центъра = , тъй като всичките 4 хипотенузи имат страни. Страните на четириъгълник са равни и ъглите са прави. Как можем да докажем, че ъглите са прави? Много просто. Да вземем същия квадрат:

Знаем, че двата ъгъла, показани на фигурата, са 90 градуса. Тъй като триъгълниците са равни, тогава следващият ъгъл на катета "b" е равен на предишния ъгъл "b":

Сумата от тези два ъгъла = 90 градуса. Съответно предишният ъгъл също е 90 градуса. Разбира се, същото важи и от другата страна. Съответно наистина имаме квадрат с прави ъгли.

Тъй като острите ъгли на правоъгълен триъгълник са общо 90 градуса, ъгълът на четириъгълника също ще бъде 90 градуса, защото общо 3 ъгъла = 180 градуса.

Съответно площта на квадрата се състои от четири области на еднакви правоъгълни триъгълници и площта на квадрата, която се образува от хипотенузите.

Така получихме квадрат със страна . Знаем, че площта на квадрат със страна е квадратът на неговата страна. Това е . Този квадрат се състои от четири еднакви триъгълника.

А това означава, че сме доказали Питагоровата теорема.

ВАЖНО!!!Ако намерим хипотенузата, тогава добавяме два крака и след това извличаме отговора от корена. Когато намирате единия катет: от квадрата на дължината на втория катет извадете квадрата на дължината на хипотенузата и намерете квадратния корен.