Определение на синус и косинус. Синус, косинус, тангенс и котангенс - всичко, което трябва да знаете на изпита по математика (2020)

Учителите вярват, че всеки ученик трябва да може да извършва изчисления, да знае тригонометрични формули, но не всеки учител обяснява какво са синус и косинус. Какво е тяхното значение, къде се използват? Защо говорим за триъгълници, а в учебника е начертан кръг? Нека се опитаме да свържем всички факти заедно.

Учебен предмет

Изучаването на тригонометрия обикновено започва в 7-ми или 8-ми клас на гимназията. По това време на учениците се обяснява какво са синус и косинус, предлага им се да решават геометрични задачи, използвайки тези функции. По-късно се появяват по-сложни формули и изрази, които трябва да бъдат преобразувани по алгебричен начин (формули с двоен и половин ъгъл, степенни функции), работата се извършва с тригонометричен кръг.

Учителите обаче не винаги са в състояние да обяснят ясно значението на използваните понятия и приложимостта на формулите. Следователно ученикът често не вижда смисъл в този предмет и запомнената информация бързо се забравя. Въпреки това си струва веднъж да обясните на ученик в гимназията, например, връзката между функция и колебателно движение и логическата връзка ще се помни в продължение на много години, а шегите за безполезността на темата ще се превърнат в нещо миналото.

Използване

За любопитство, нека разгледаме различни клонове на физиката. Искате ли да определите обхвата на снаряд? Или изчислявате силата на триене между обект и определена повърхност? Завъртане на махало, гледане на лъчи, преминаващи през стъкло, изчисляване на индукция? Тригонометричните понятия се появяват в почти всяка формула. И така, какво са синус и косинус?

Определения

Синусът на ъгъла е съотношението на противоположния катет към хипотенузата, косинусът е отношението на съседния катет към същата хипотенуза. Тук няма абсолютно нищо сложно. Може би учениците обикновено са объркани от стойностите, които виждат в тригонометричната таблица, защото там се появяват квадратни корени. Да, получаването на десетични дроби от тях не е много удобно, но кой каза, че всички числа в математиката трябва да бъдат четни?

Всъщност можете да намерите забавен намек в учебниците по тригонометрия: повечето от отговорите тук са четни и в най-лошия случай съдържат корен от две или три. Изводът е прост: ако имате „многоетажна“ дроб в отговора си, проверете отново решението за грешки в изчисленията или разсъжденията. И най-вероятно ще ги намерите.

Какво да запомня

Както във всяка наука, и в тригонометрията има данни, които трябва да се научат.

Първо, трябва да запомните числовите стойности за синусите, косинусите на правоъгълен триъгълник 0 и 90, както и 30, 45 и 60 градуса. Тези показатели се намират в девет от десет училищни задачи. Надниквайки тези стойности в учебника, ще загубите много време и няма къде да погледнете контрола или изпита.

Трябва да се помни, че стойността на двете функции не може да надвишава една. Ако някъде в изчислението получите стойност извън диапазона 0-1, спрете и решете проблема отново.

Сумата от квадратите на синуса и косинуса е равна на единица. Ако вече сте намерили една от стойностите, използвайте тази формула, за да намерите останалите.

Теореми

Има две основни теореми в основната тригонометрия: синуси и косинуси.

Първият казва, че съотношението на всяка страна на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е същото. Второто е, че квадратът на която и да е страна може да се получи като се съберат квадратите на двете останали страни и се извади два пъти техния продукт, умножен по косинуса на ъгъла, лежащ между тях.

По този начин, ако заменим стойността на ъгъла от 90 градуса в косинусовата теорема, получаваме ... Питагоровата теорема. Сега, ако трябва да изчислите площта на фигура, която не е правоъгълен триъгълник, вече не можете да се притеснявате - двете разгледани теореми ще опростят значително решението на проблема.

Цели и задачи

Изучаването на тригонометрия ще бъде много по-лесно, когато осъзнаете един прост факт: всички действия, които извършвате, са насочени към постигане на една цел. Всички параметри на триъгълник могат да бъдат намерени, ако знаете най-малкото информация за него - това може да бъде стойността на един ъгъл и дължината на две страни или, например, три страни.

За да определите синуса, косинуса, тангенса на всеки ъгъл, тези данни са достатъчни; с тяхна помощ можете лесно да изчислите площта на фигурата. Почти винаги една от споменатите стойности се изисква като отговор и можете да ги намерите с помощта на същите формули.

Несъответствия в изучаването на тригонометрията

Един от неясните въпроси, които учениците предпочитат да избягват, е откриването на връзката между различните понятия в тригонометрията. Изглежда, че триъгълниците се използват за изучаване на синусите и косинусите на ъглите, но по някаква причина символите често се срещат на фигурата с кръг. Освен това има напълно неразбираема вълнообразна графика, наречена синусоида, която няма външна прилика нито с кръг, нито с триъгълници.

Освен това ъглите се измерват или в градуси, или в радиани, а числото Pi, записано просто като 3,14 (без единици), по някаква причина се появява във формулите, съответстващи на 180 градуса. Как е свързано всичко това?

Единици

Защо пи е точно 3.14? Спомняте ли си каква е тази стойност? Това е броят на радиусите, които се вписват в дъгата на половината окръжност. Ако диаметърът на кръга е 2 сантиметра, обиколката ще бъде 3,14 * 2 или 6,28.

Втората точка: може би сте забелязали сходството на думите "radian" и "radius". Факт е, че един радиан е числено равен на стойността на ъгъла, поставен от центъра на окръжността до дъга с дължина един радиус.

Сега комбинираме получените знания и разбираме защо „Pi на половина“ е изписано в горната част на координатната ос в тригонометрията, а „Pi“ е изписано отляво. Това е ъглова стойност, измерена в радиани, тъй като полукръг е 180 градуса или 3,14 радиана. И където има градуси, има синуси и косинуси. Триъгълникът е лесно да се начертае от желаната точка, като се отлагат сегментите до центъра и до координатната ос.

Да погледнем в бъдещето

Тригонометрията, изучавана в училище, се занимава с праволинейна координатна система, където, колкото и странно да звучи, една линия е права.

Но има по-сложни начини за работа с пространството: сумата от ъглите на триъгълника тук ще бъде повече от 180 градуса, а правата линия в нашия поглед ще изглежда като истинска дъга.

Да преминем от думи към дела! Вземете една ябълка. Направете три разреза с нож, така че при гледане отгоре да получите триъгълник. Извадете полученото парче ябълка и погледнете "ребрата", където завършва кората. Изобщо не са прави. Плодът в ръцете ви може условно да се нарече кръгъл, а сега си представете колко сложни трябва да бъдат формулите, с помощта на които можете да намерите площта на отрязаното парче. Но някои експерти решават подобни проблеми ежедневно.

Тригонометрични функции в реалния живот

Забелязали ли сте, че най-краткият път за самолет от точка А до точка Б на повърхността на нашата планета има ясно изразена дъгообразна форма? Причината е проста: Земята е сферична, което означава, че не можете да изчислите много с помощта на триъгълници - тук трябва да използвате по-сложни формули.

Не можете без синус/косинус на остър ъгъл във всяка материя, свързана с пространството. Интересното е, че тук се сближават редица фактори: тригонометричните функции са необходими при изчисляване на движението на планетите в кръгове, елипси и различни траектории с по-сложни форми; процесът на изстрелване на ракети, сателити, совалки, откачване на изследователски апарати; наблюдение на далечни звезди и изучаване на галактики, до които хората няма да могат да достигнат в обозримо бъдеще.

Като цяло полето за дейност на човек, който притежава тригонометрия, е много широк и очевидно ще се разширява с времето.

Заключение

Днес научихме или във всеки случай повторихме какво са синус и косинус. Това са понятия, от които не е нужно да се страхувате – просто искате и ще разберете значението им. Не забравяйте, че тригонометрията не е цел, а само инструмент, който може да се използва за задоволяване на реални човешки нужди: изграждане на къщи, осигуряване на безопасност на движението, дори овладяване на просторите на Вселената.

Наистина, самата наука може да изглежда скучна, но веднага щом намерите в нея начин за постигане на собствените си цели, самореализация, процесът на обучение ще стане интересен, а личната ви мотивация ще се увеличи.

За домашна работа се опитайте да намерите начини да приложите тригонометрични функции към поле, което ви интересува лично. Мечтайте, включете въображението си и тогава със сигурност ще се окаже, че новите знания ще ви бъдат полезни в бъдеще. Освен това математиката е полезна за общото развитие на мисленето.

|BD|- дължината на дъгата на окръжност с център в точка А.
α е ъгъл, изразен в радиани.

синус ( sinα) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равна на съотношението на дължината на противоположния катет |BC| на дължината на хипотенузата |AC|.
косинус ( cosα) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равна на съотношението на дължината на съседния катет |AB| на дължината на хипотенузата |AC|.

Приети обозначения

;
;
.

;
;
.

Графика на функцията синус, y = sin x

Графика на косинус функцията, y = cos x

Свойства на синус и косинус

Периодичност

Функции y= грях хи y= cos xпериодичен с точка 2 π.

Паритет

Функцията синус е нечетна. Косинусовата функция е четна.

Област на дефиниция и стойности, екстремуми, увеличение, намаление

Функциите синус и косинус са непрекъснати в своята област на дефиниция, тоест за всички x (вижте доказателството за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).

	y= грях х	y= cos x
Обхват и приемственост	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Възходящ
Низходящо
Максимум, y= 1
Минимум, y = - 1
Нули, y= 0
Точки на пресичане с оста y, x = 0	y= 0	y= 1

Основни формули

Сбор на квадрат синус и косинус

Формули за синус и косинус за сума и разлика

;
;

Формули за произведението на синуси и косинуси

Формули за сума и разлика

Изразяване на синус чрез косинус

;
;
;
.

Изразяване на косинус чрез синус

;
;
;
.

Изразяване чрез допирателна

; .

За, имаме:
; .

в :
; .

Таблица на синуси и косинуси, тангенси и котангенси

Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за някои стойности на аргумента.

Изрази чрез комплексни променливи

;

формула на Ойлер

Изрази в термини на хиперболични функции

;
;

Производни

; . Извеждане на формули >>>

Производни от n-ти порядък:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратни функции

Обратните функции на синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.

Арксин, арксин

Аркосинус, арккос

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.

Вижте също: За решаване на някои проблеми ще бъде полезна таблица с тригонометрични идентичности, което ще улесни много по-лесно извършването на трансформации на функции:

Най-простите тригонометрични идентичности

Коефициентът на разделяне на синуса на ъгъла алфа на косинуса на същия ъгъл е равен на тангенса на този ъгъл (Формула 1). Вижте също доказателството за правилността на трансформацията на най-простите тригонометрични тъждества.
Коефициентът на разделяне на косинуса на ъгъла алфа на синуса на същия ъгъл е равен на котангенса на същия ъгъл (Формула 2)
Секансът на ъгъла е равен на един, разделен на косинуса на същия ъгъл (Формула 3)
Сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същи ъгъл е равна на единица (Формула 4). виж също доказателството за сумата от квадратите на косинуса и синуса.
Сумата от единицата и тангенса на ъгъла е равна на съотношението на единицата към квадрата на косинуса на този ъгъл (Формула 5)
Единицата плюс котангенсът на ъгъла е равен на частното от разделянето на единицата на квадрата на синуса на този ъгъл (Формула 6)
Произведението на тангенса и котангенса на един и същи ъгъл е равно на единица (Формула 7).

Преобразуване на отрицателни ъгли на тригонометрични функции (четни и нечетни)

За да се отървете от отрицателната стойност на градусната мярка на ъгъла при изчисляване на синуса, косинуса или тангенса, можете да използвате следните тригонометрични трансформации (идентичности) въз основа на принципите на четните или нечетните тригонометрични функции.

както се вижда, косинуси секанс е равномерна функция, синус, тангенс и котангенс са нечетни функции.

Синусът на отрицателен ъгъл е равен на отрицателната стойност на синуса на същия положителен ъгъл (минус синусът на алфа).
Косинусът "минус алфа" ще даде същата стойност като косинусът на ъгъла алфа.
Тангенс минус алфа е равен на минус допирателна алфа.

Формули за намаляване на двоен ъгъл (синус, косинус, тангенс и котангенс на двоен ъгъл)

Ако трябва да разделите ъгъла наполовина или обратно, преминете от двоен ъгъл към единичен ъгъл, можете да използвате следните тригонометрични идентичности:

Преобразуване на двоен ъгъл (двоен ъглов синус, двоен ъгъл косинус и двоен ъгъл тангенс) в един се случва съгласно следните правила:

Синус на двоен ъгъле равно на двойното произведение на синуса и косинуса на единичен ъгъл

Косинус на двоен ъгъле равна на разликата между квадрата на косинуса на единичен ъгъл и квадрата на синуса на този ъгъл

Косинус на двоен ъгълравен на два пъти квадрата на косинуса на единичен ъгъл минус едно

Косинус на двоен ъгъле равно на едно минус двойният синус квадрат на единичен ъгъл

Допирателна с двоен ъгъле равно на дроб, чийто числител е два пъти тангенса на единичен ъгъл и чийто знаменател е равен на едно минус тангенсът на квадрата на единичен ъгъл.

Двоен ъгъл котангенсе равно на дроб, чийто числител е квадратът на котангенса на единичен ъгъл минус едно, а знаменателят е равен на удвоения котангенс на единичен ъгъл

Универсални тригонометрични формули за заместване

Формулите за преобразуване по-долу могат да бъдат полезни, когато трябва да разделите аргумента на тригонометричната функция (sin α, cos α, tg α) на две и да доведете израза до стойността на половината от ъгъла. От стойността на α получаваме α/2.

Тези формули се наричат формули на универсалното тригонометрично заместване. Тяхната стойност се крие във факта, че тригонометричният израз с тяхна помощ се свежда до израза на тангенса на половин ъгъл, независимо какви тригонометрични функции (sin cos tg ctg) са били първоначално в израза. След това уравнението с тангенса на половин ъгъл е много по-лесно за решаване.

Тригонометрични идентичности на трансформация на полуъгъла

Следват формулите за тригонометрично преобразуване на половината от стойността на ъгъла в неговата целочислена стойност.
Стойността на аргумента на тригонометричната функция α/2 се свежда до стойността на аргумента на тригонометричната функция α.

Тригонометрични формули за добавяне на ъгли

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Тангенс и котангенс на сбора от ъглиалфа и бета могат да бъдат преобразувани съгласно следните правила за преобразуване на тригонометрични функции:

Тангенс на сбор от ъглие равно на дроб, числителят на която е сумата от тангенса на първия и тангенса на втория ъгъл, а знаменателят е едно минус произведението на тангенса на първия ъгъл и тангенса на втория ъгъл.

Тангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е равен на разликата между тангенса на редуцирания ъгъл и тангенса на ъгъла, който трябва да се извади, а знаменателят е едно плюс произведението на тангентите на тези ъгли.

Котангенс на сумата от ъглие равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на котангенсите на тези ъгли плюс едно, а знаменателят е равен на разликата между котангенса на втория ъгъл и котангенса на първия ъгъл.

Котангенс на ъглова разликае равно на дроб, чийто числител е произведението на котангентите на тези ъгли минус едно, а знаменателят е равен на сумата от котангентите на тези ъгли.

Тези тригонометрични идентичности са удобни за използване, когато трябва да изчислите, например, допирателната от 105 градуса (tg 105). Ако е представен като tg (45 + 60), тогава можете да използвате дадените идентични трансформации на тангенса на сумата от ъглите, след което просто замените табличните стойности на тангенса на 45 и допирателната от 60 градуса.

Формули за преобразуване на сумата или разликата от тригонометрични функции

Изразите, представляващи сумата от формата sin α + sin β, могат да бъдат преобразувани с помощта на следните формули:

Формули за троен ъгъл - преобразувайте sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Понякога е необходимо да се преобразува тройната стойност на ъгъла, така че ъгълът α да стане аргумент на тригонометричната функция вместо 3α.
В този случай можете да използвате формулите (идентичности) за трансформацията на тройния ъгъл:

Формули за преобразуване на произведението на тригонометрични функции

Ако се наложи да преобразувате произведението от синуси на различни ъгли на косинуси с различни ъгли или дори произведение на синус и косинус, тогава можете да използвате следните тригонометрични идентичности:


В този случай произведението на функциите на синуса, косинуса или тангенса на различни ъгли ще бъде преобразувано в сума или разлика.

Формули за редуциране на тригонометрични функции

Трябва да използвате масата за отливки, както следва. В реда изберете функцията, която ни интересува. Колоната е ъгъл. Например, синусът на ъгъла (α+90) в пресечната точка на първия ред и първата колона, откриваме, че sin (α+90) = cos α .

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в дните на древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. В него се обсъждат дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение в контекста на геометрията е обяснено и илюстрирано.

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез съотношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъла (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинусът на ъгъла (cos α) е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъла (t g α) е отношението на противоположния катет към съседния.

Котангенсът на ъгъла (c t g α) е отношението на съседния крак към противоположния.

Тези определения са дадени за остър ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс позволяват да се изчислят стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълник.

Важно е да запомните!

Диапазонът на стойностите на синуса и косинуса: от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът на стойностите на тангенса и котангенса е цялата числова права, т.е. функциите могат да приемат всякаква стойност.

Определенията, дадени по-горе, се отнасят до остри ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на въртене, чиято стойност за разлика от острия ъгъл не е ограничена от рамки от 0 до 90 градуса. Ъгълът на въртене в градуси или радиани се изразява с произволно реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст може да се дефинират синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Представете си единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1 , 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на някакъв ъгъл α и отива в точка A 1 . Определението е дадено чрез координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на въртене

Синусът на ъгъла на завъртане α е ордината на точка A 1 (x, y). sinα = y

Косинус (cos) на ъгъла на въртене

Косинусът на ъгъла на въртене α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на въртене

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абсцис. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на въртене

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са дефинирани за всеки ъгъл на въртене. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точката след завъртането могат да бъдат определени под произволен ъгъл. Положението е различно с тангенса и котангенса. Допирателната не се дефинира, когато точката след завъртане отива в точката с нулева абсцис (0 , 1) и (0 , - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точката изчезва.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са дефинирани за всякакви ъгли α.

Тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте "синус на ъгъла на въртене α". Думите "ъгъл на въртене" просто са пропуснати, което означава, че от контекста вече е ясно за какво става дума.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на число, а не ъгъла на въртене?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число тсе нарича число, което е съответно равно на синуса, косинуса, тангенса и котангенса в традиан.

Например, синусът от 10 π е равен на синуса на ъгъла на въртене от 10 π rad.

Има и друг подход към дефиницията на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на число. Нека го разгледаме по-подробно.

Всяко реално число тточка от единичната окръжност се поставя в съответствие с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се дефинират по отношение на координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1 , 0).

положително число т

Отрицателно число тсъответства на точката, до която ще се движи началната точка, ако се движи обратно на часовниковата стрелка около окръжността и премине пътя t.

След като връзката между числото и точката на окръжността е установена, пристъпваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (sin) на числото t

Синус на число т- ордината на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото т. sin t = y

Косинус (cos) на t

Косинус на число т- абсциса на точката на единичната окръжност, съответстваща на числото т. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число т- отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото т. t g t = y x = sin t cos t

Последните дефиниции са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този раздел. Точка върху окръжност, съответстваща на число т, съвпада с точката, до която преминава началната точка след завъртане през ъгъла традиан.

Тригонометрични функции на ъглови и числови аргументи

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) съответства на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както бе споменато по-горе, е дефиниран за всички α, с изключение на α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α , cos α , t g α , c t g α са функции на ъгъла alpha или функции на ъгловия аргумент.

По същия начин може да се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Всяко реално число тсъответства на конкретна стойност на синуса или косинуса на число т. Всички числа, различни от π 2 + π · k , k ∈ Z, съответстват на стойността на допирателната. Котангенсът е дефиниран по подобен начин за всички числа с изключение на π · k , k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към данните в самото начало на дефинициите и ъгъла алфа, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са в пълно съответствие с геометричните дефиниции, дадени от съотношенията на страните на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единична окръжност, центрирана върху правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и изчертаем от получената точка A 1 (x, y) перпендикулярно на оста x. В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точка A 1 (x, y) . Дължината на крака срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като това е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъла α е равен на отношението на противоположния крак към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определението на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на дефиницията на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа лежи в диапазона от 0 до 90 градуса.

По същия начин съответствието на дефинициите може да бъде показано за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Понятията за синус, косинус, тангенс и котангенс са основните категории на тригонометрията - раздел на математиката, и са неразривно свързани с дефиницията на ъгъл. Владеенето на тази математическа наука изисква запаметяване и разбиране на формули и теореми, както и развито пространствено мислене. Ето защо тригонометричните изчисления често създават трудности за ученици и студенти. За да ги преодолеете, трябва да се запознаете по-добре с тригонометричните функции и формули.

Понятия в тригонометрията

За да разберете основните понятия на тригонометрията, първо трябва да решите какво представляват правоъгълен триъгълник и ъгъл в кръг и защо всички основни тригонометрични изчисления са свързани с тях. Триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса, е правоъгълен триъгълник. В исторически план тази фигура често се използва от хора в архитектурата, навигацията, изкуството, астрономията. Съответно, изучавайки и анализирайки свойствата на тази фигура, хората стигнаха до изчисляването на съответните съотношения на нейните параметри.

Основните категории, свързани с правоъгълни триъгълници, са хипотенузата и катетите. Хипотенузата е страната на триъгълник, която е срещу прав ъгъл. Краката, съответно, са другите две страни. Сумата от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180 градуса.

Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който не се изучава в училище, но в приложните науки като астрономия и геодезия учените го използват. Характеристика на триъгълника в сферичната тригонометрия е, че той винаги има сума от ъгли по-голяма от 180 градуса.

Ъгли на триъгълник

В правоъгълен триъгълник синусът на ъгъла е отношението на крака срещу желания ъгъл към хипотенузата на триъгълника. Съответно косинусът е съотношението на съседния крак и хипотенузата. И двете от тези стойности винаги имат стойност по-малка от една, тъй като хипотенузата винаги е по-дълга от крака.

Тангенсът на ъгъла е стойност, равна на съотношението на противоположния крак към съседния крак на желания ъгъл или синус към косинус. Котангенсът от своя страна е съотношението на съседния крак на желания ъгъл към противоположния кактет. Котангенсът на ъгъл може да се получи и чрез разделяне на единицата на стойността на тангенса.

единичен кръг

Единична окръжност в геометрията е окръжност, чийто радиус е равен на единица. Такава окръжност се конструира в декартовата координатна система, като центърът на окръжността съвпада с началната точка, а началната позиция на радиус вектора се определя от положителната посока на оста X (ос на абсцисата). Всяка точка от окръжността има две координати: XX и YY, тоест координатите на абсцисата и ординатата. Избирайки произволна точка от окръжността в равнината XX и пускайки перпендикуляра от нея към оста на абсцисата, получаваме правоъгълен триъгълник, образуван от радиус към избраната точка (нека я обозначим с буквата C), перпендикуляр, начертан на оста X (точката на пресичане е обозначена с буквата G) и сегмент по оста на абсцисата между началото (точката е обозначена с буквата A) и пресечната точка G. Полученият триъгълник ACG е правоъгълен триъгълник, вписан в кръг, където AG е хипотенузата, а AC и GC са катета. Ъгълът между радиуса на окръжността AC и сегмента на оста на абсцисата с обозначението AG, ние дефинираме като α (алфа). И така, cos α = AG/AC. Като се има предвид, че AC е радиусът на единичната окръжност и е равен на единица, се оказва, че cos α=AG. По същия начин, sin α=CG.

Освен това, като знаете тези данни, можете да определите координатата на точка C върху окръжността, тъй като cos α=AG и sin α=CG, което означава, че точка C има дадените координати (cos α; sin α). Знаейки, че тангенсът е равен на съотношението на синуса към косинуса, можем да определим, че tg α = y / x и ctg α = x / y. Като се имат предвид ъглите в отрицателна координатна система, може да се изчисли, че стойностите на синусите и косинусите на някои ъгли могат да бъдат отрицателни.

Изчисления и основни формули

Стойности на тригонометрични функции

След като разгледахме същността на тригонометричните функции през единичния кръг, можем да изведем стойностите на тези функции за някои ъгли. Стойностите са изброени в таблицата по-долу.

Най-простите тригонометрични идентичности

Уравнения, в които има неизвестна стойност под знака на тригонометричната функция, се наричат ​​тригонометрични. Идентичности със стойността sin x = α, k е всяко цяло число:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, няма решения.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Идентичности със стойност cos x = a, където k е всяко цяло число:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, няма решения.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Идентичности със стойност tg x = a, където k е всяко цяло число:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Идентичности със стойност ctg x = a, където k е всяко цяло число:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Преобразувани формули

Тази категория константни формули обозначава методи, чрез които можете да преминете от тригонометрични функции на формата към функции на аргумента, тоест да преобразувате синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл с произволна стойност към съответните индикатори на ъгъла на интервалът от 0 до 90 градуса за по-голямо удобство на изчисленията.

Формулите за намаляване на функциите за синуса на ъгъла изглеждат така:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

За косинус на ъгъл:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Използването на горните формули е възможно при спазване на две правила. Първо, ако ъгълът може да бъде представен като стойност (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), стойността на функцията се променя:

• от грях към cos;
• от cos към грях;
• от tg до ctg;
• от ctg до tg.

Стойността на функцията остава непроменена, ако ъгълът може да бъде представен като (π ± a) или (2π ± a).

Второ, знакът на намалената функция не се променя: ако първоначално е бил положителен, той остава такъв. Същото важи и за отрицателните функции.

Формули за добавяне

Тези формули изразяват стойностите на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на сумата и разликата на два ъгъла на въртене по отношение на техните тригонометрични функции. Ъглите обикновено се означават като α и β.

Формулите изглеждат така:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. тен(α ± β) = (тен α ± тен β) / (1 ∓ тен α * тен β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β.

Формули за двоен и троен ъгъл

Тригонометричните формули на двоен и троен ъгъл са формули, които свързват функциите на ъглите 2α и 3α, съответно, с тригонометричните функции на ъгъла α. Извлечено от формули за добавяне:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Преход от сума към продукт

Като се има предвид, че 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), опростявайки тази формула, получаваме тъждеството sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. По същия начин, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Преход от продукт към сума

Тези формули следват от идентичностите за прехода на сбора към произведението:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Формули за намаляване

В тези идентичности квадратните и кубичните мощности на синуса и косинуса могат да бъдат изразени чрез синуса и косинуса на първата степен на множествен ъгъл:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Универсална замяна

Универсалните тригонометрични формули за заместване изразяват тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), докато x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), където x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), където x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), докато x \u003d π + 2πn.

Специални случаи

По-долу са дадени конкретни случаи на най-простите тригонометрични уравнения (k е всяко цяло число).

Частно за синус:

sin x стойност	x стойност
0	п.к
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk

Косинусни коефициенти:

cos x стойност	x стойност
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Частно за тангента:

tg x стойност	x стойност
0	п.к
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Котангенсни коефициенти:

ctg x стойност	x стойност
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теореми

Синусова теорема

Има две версии на теоремата - проста и разширена. Проста теорема за синусите: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. В този случай a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са съответно противоположните ъгли.

Разширена синусова теорема за произволен триъгълник: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В това тождество R означава радиуса на окръжността, в която е вписан дадения триъгълник.

Теорема за косинусите

Идентичността се показва по следния начин: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Във формулата a, b, c са страните на триъгълника, а α е ъгълът срещу страната a.

Допирателна теорема

Формулата изразява връзката между тангентите на два ъгъла и дължината на страните срещу тях. Страните са обозначени с a, b, c, а съответните противоположни ъгли са α, β, γ. Формулата на теоремата за допирателната: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Котангентна теорема

Свързва радиуса на окръжност, вписана в триъгълник, с дължината на страните му. Ако a, b, c са страните на триъгълник и A, B, C, съответно, са техните противоположни ъгли, r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на триъгълника, следните тъждества задръж:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Приложения

Тригонометрията е не само теоретична наука, свързана с математическите формули. Неговите свойства, теореми и правила се използват на практика от различни клонове на човешката дейност - астрономия, въздушна и морска навигация, теория на музиката, геодезия, химия, акустика, оптика, електроника, архитектура, икономика, машиностроене, измервателна работа, компютърна графика, картография, океанография и много други.

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните понятия на тригонометрията, с които можете математически да изразите връзката между ъглите и дължините на страните в триъгълник и да намерите желаните количества чрез тъждества, теореми и правила.