Encuentra el valor de la derivada de la función en el punto x0. Encuentra el valor de la derivada de la función en el punto x0 La ecuación de la tangente a la gráfica de la función

En el problema B9 se da una gráfica de una función o derivada, a partir de la cual se requiere determinar una de las siguientes cantidades:

El valor de la derivada en algún punto x 0,
Puntos altos o bajos (puntos extremos),
Intervalos de funciones crecientes y decrecientes (intervalos de monotonicidad).

Las funciones y derivadas presentadas en este problema son siempre continuas, lo que simplifica mucho la solución. A pesar de que la tarea pertenece a la sección de análisis matemático, está bastante al alcance incluso de los estudiantes más débiles, ya que aquí no se requieren conocimientos teóricos profundos.

Para encontrar el valor de la derivada, los puntos extremos y los intervalos de monotonicidad, existen algoritmos simples y universales; todos ellos se discutirán a continuación.

Lea atentamente la condición del problema B9 para no cometer errores estúpidos: a veces aparecen textos bastante voluminosos, pero hay pocas condiciones importantes que afectan el curso de la solución.

Cálculo del valor de la derivada. método de dos puntos

Si al problema se le da una gráfica de la función f(x), tangente a esta gráfica en algún punto x 0 , y se requiere encontrar el valor de la derivada en ese punto, se aplica el siguiente algoritmo:

Encuentre dos puntos "adecuados" en el gráfico tangente: sus coordenadas deben ser enteras. Denotemos estos puntos como A (x 1 ; y 1) y B (x 2 ; y 2). Escriba las coordenadas correctamente: este es el punto clave de la solución, y cualquier error aquí conduce a una respuesta incorrecta.
Conociendo las coordenadas, es fácil calcular el incremento del argumento Δx = x 2 − x 1 y el incremento de la función Δy = y 2 − y 1 .
Finalmente, encontramos el valor de la derivada D = Δy/Δx. En otras palabras, debe dividir el incremento de la función por el incremento del argumento, y esta será la respuesta.

Una vez más, observamos: los puntos A y B deben buscarse precisamente en la tangente, y no en la gráfica de la función f(x), como suele ser el caso. La tangente necesariamente contendrá al menos dos de esos puntos, de lo contrario, el problema se formula incorrectamente.

Considere los puntos A (−3; 2) y B (−1; 6) y encuentre los incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Encontremos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Una tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 3) y B (3; 0), encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Ahora encontramos el valor de la derivada: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Una tarea. La figura muestra el gráfico de la función y \u003d f (x) y la tangente en el punto con la abscisa x 0. Encuentra el valor de la derivada de la función f(x) en el punto x 0 .

Considere los puntos A (0; 2) y B (5; 2) y encuentre incrementos:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Queda por encontrar el valor de la derivada: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Del último ejemplo, podemos formular la regla: si la tangente es paralela al eje OX, la derivada de la función en el punto de contacto es igual a cero. En este caso, ni siquiera necesita calcular nada, solo mire el gráfico.

Cálculo de puntos altos y bajos

A veces, en lugar de una gráfica de una función en el problema B9, se da una gráfica derivada y se requiere encontrar el punto máximo o mínimo de la función. En este escenario, el método de dos puntos es inútil, pero hay otro algoritmo aún más simple. Primero, definamos la terminología:

El punto x 0 se llama el punto máximo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≥ f(x).
El punto x 0 se llama el punto mínimo de la función f(x) si la siguiente desigualdad se cumple en alguna vecindad de este punto: f(x 0) ≤ f(x).

Para encontrar los puntos máximos y mínimos en la gráfica de la derivada, basta con realizar los siguientes pasos:

Vuelva a dibujar la gráfica de la derivada, eliminando toda la información innecesaria. Como muestra la práctica, los datos adicionales solo interfieren con la solución. Por lo tanto, marcamos los ceros de la derivada en el eje de coordenadas, y eso es todo.
Encuentra los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Si para algún punto x 0 se sabe que f'(x 0) ≠ 0, entonces solo son posibles dos opciones: f'(x 0) ≥ 0 o f'(x 0) ≤ 0. El signo de la derivada es fácil de determinar a partir del dibujo original: si el gráfico de la derivada se encuentra por encima del eje OX, entonces f'(x) ≥ 0. Por el contrario, si el gráfico de la derivada se encuentra por debajo del eje OX, entonces f'(x) ≤ 0.
Comprobamos nuevamente los ceros y signos de la derivada. Donde el signo cambia de menos a más, hay un punto mínimo. Por el contrario, si el signo de la derivada cambia de más a menos, este es el punto máximo. El conteo siempre se hace de izquierda a derecha.

Este esquema funciona solo para funciones continuas; no hay otros en el problema B9.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−5; 5]. Encuentra el punto mínimo de la función f(x) en este segmento.

Eliminemos la información innecesaria: dejaremos solo los bordes [−5; 5] y los ceros de la derivada x = −3 y x = 2.5. También tenga en cuenta los signos:

Obviamente, en el punto x = −3, el signo de la derivada cambia de menos a más. Este es el punto mínimo.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7]. Encuentra el punto máximo de la función f(x) en este segmento.

Redibujemos el gráfico, dejando solo los límites [−3; 7] y los ceros de la derivada x = −1.7 y x = 5. Note los signos de la derivada en el gráfico resultante. Tenemos:

Obviamente, en el punto x = 5, el signo de la derivada cambia de más a menos: este es el punto máximo.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−6; cuatro]. Encuentra el número de puntos máximos de la función f(x) que pertenecen al intervalo [−4; 3].

De las condiciones del problema se sigue que es suficiente considerar sólo la parte del gráfico acotada por el segmento [−4; 3]. Por lo tanto, construimos un nuevo gráfico, en el que marcamos solo los límites [−4; 3] y los ceros de la derivada dentro de él. Es decir, los puntos x = −3.5 y x = 2. Obtenemos:

En este gráfico, solo hay un punto máximo x = 2. Es en él que el signo de la derivada cambia de más a menos.

Una pequeña nota sobre puntos con coordenadas no enteras. Por ejemplo, en el último problema se consideró el punto x = −3,5, pero con el mismo acierto podemos tomar x = −3,4. Si el problema está formulado correctamente, tales cambios no deberían afectar la respuesta, ya que los puntos "sin lugar fijo de residencia" no están directamente involucrados en la solución del problema. Por supuesto, con puntos enteros tal truco no funcionará.

Encontrar intervalos de aumento y disminución de una función

En tal problema, como los puntos de máximo y mínimo, se propone encontrar áreas en las que la propia función crece o decrece a partir de la gráfica de la derivada. Primero, definamos qué es ascendente y descendente:

Una función f(x) se llama creciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). En otras palabras, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función.
Una función f(x) se llama decreciente en un segmento si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 de este segmento el enunciado es verdadero: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aquellos. un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

Formulamos condiciones suficientes para aumentar y disminuir:

Para que una función continua f(x) crezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea positiva, es decir f'(x) ≥ 0.
Para que una función continua f(x) decrezca en el segmento , es suficiente que su derivada dentro del segmento sea negativa, es decir f'(x) ≤ 0.

Aceptamos estas afirmaciones sin pruebas. Por lo tanto, obtenemos un esquema para encontrar intervalos de aumento y disminución, que es en muchos aspectos similar al algoritmo para calcular puntos extremos:

Eliminar toda la información redundante. En el gráfico original de la derivada, estamos interesados principalmente en los ceros de la función, por lo que los dejamos solo.
Marca los signos de la derivada en los intervalos entre ceros. Donde f'(x) ≥ 0, la función crece, y donde f'(x) ≤ 0, decrece. Si el problema tiene restricciones en la variable x, las marcamos adicionalmente en el nuevo gráfico.
Ahora que conocemos el comportamiento de la función y la restricción, resta calcular el valor requerido en el problema.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida en el intervalo [−3; 7.5]. Encuentra los intervalos de la función decreciente f(x). En tu respuesta, escribe la suma de los enteros incluidos en estos intervalos.

Como de costumbre, volvemos a dibujar el gráfico y marcamos los límites [−3; 7.5], así como los ceros de la derivada x = −1.5 y x = 5.3. Luego marcamos los signos de la derivada. Tenemos:

Dado que la derivada es negativa en el intervalo (− 1.5), este es el intervalo de la función decreciente. Queda por sumar todos los enteros que están dentro de este intervalo:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Una tarea. La figura muestra una gráfica de la derivada de la función f(x) definida sobre el segmento [−10; cuatro]. Encuentra los intervalos de la función creciente f(x). En tu respuesta, escribe la longitud del mayor de ellos.

Deshagámonos de la información redundante. Dejamos solo los límites [−10; 4] y ceros de la derivada, que esta vez resultó ser cuatro: x = −8, x = −6, x = −3 y x = 2. Fíjate en los signos de la derivada y obtén la siguiente imagen:

Estamos interesados en los intervalos de función creciente, es decir donde f'(x) ≥ 0. Hay dos intervalos de este tipo en el gráfico: (−8; −6) y (−3; 2). Calculemos sus longitudes:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Como se requiere encontrar la longitud del mayor de los intervalos, escribimos el valor l 2 = 5 en respuesta.

Ejemplo 1

Referencia: Las siguientes formas de notar una función son equivalentes: En algunas tareas conviene designar la función como “player”, y en otras como “ef from x”.

Primero encontramos la derivada:

Ejemplo 2

Calcular la derivada de una función en un punto

, , estudio de funciones completas y etc.

Ejemplo 3

Calcular la derivada de la función en el punto . Primero encontremos la derivada:

Bueno, eso es un asunto completamente diferente. Calcular el valor de la derivada en el punto:

En caso de que no entienda cómo se encontró la derivada, regrese a las dos primeras lecciones del tema. Si hay dificultades (malentendidos) con el arco tangente y sus significados, necesariamente estudiar material metodologico Gráficas y propiedades de funciones elementales- el último párrafo. Porque todavía hay suficientes arcotangentes para la edad de los estudiantes.

Ejemplo 4

Calcular la derivada de la función en el punto .

La ecuación de la tangente a la gráfica de la función.

Para consolidar el párrafo anterior, considere el problema de encontrar la tangente a gráficos de funciones en este punto. Nos encontramos con esta tarea en la escuela, y también se encuentra en el curso de matemáticas superiores.

Considere un ejemplo elemental de "demostración".

Escribe una ecuación para la tangente a la gráfica de la función en el punto con la abscisa. Inmediatamente daré una solución gráfica lista para el problema (en la práctica, esto no es necesario en la mayoría de los casos):

Una definición rigurosa de una tangente está dada por definiciones de la derivada de una función, pero por ahora dominaremos la parte técnica del tema. Seguro que casi todo el mundo entiende intuitivamente qué es una tangente. Si explica "en los dedos", entonces la tangente a la gráfica de la función es directo, que se refiere a la gráfica de la función en el único punto. En este caso, todos los puntos cercanos de la línea recta se ubican lo más cerca posible del gráfico de la función.

Aplicado a nuestro caso: en , la tangente (notación estándar) toca la gráfica de la función en un solo punto.

Y nuestra tarea es encontrar la ecuación de una línea recta.

Derivada de una función en un punto

¿Cómo encontrar la derivada de una función en un punto? Dos puntos obvios de esta tarea se desprenden de la redacción:

1) Es necesario encontrar la derivada.

2) Es necesario calcular el valor de la derivada en un punto dado.

Ejemplo 1

Calcular la derivada de una función en un punto

Ayuda: Las siguientes formas de notar una función son equivalentes:

En algunas tareas conviene designar la función como “player”, y en otras como “ef from x”.

Primero encontramos la derivada:

Espero que muchos ya se hayan adaptado a encontrar este tipo de derivados por vía oral.

En el segundo paso, calculamos el valor de la derivada en el punto:

Un pequeño ejemplo de calentamiento para una solución independiente:

Ejemplo 2

Calcular la derivada de una función en un punto

Solución completa y respuesta al final de la lección.

La necesidad de encontrar la derivada en un punto surge en las siguientes tareas: construir una tangente a la gráfica de una función (próximo párrafo), estudio de una función para un extremo , estudio de la función para la inflexión de la gráfica , estudio de funciones completas y etc.

Pero la tarea en consideración se encuentra en papeles de control y por sí misma. Y, como regla, en tales casos, la función se da bastante complicada. En este sentido, considere dos ejemplos más.

Ejemplo 3

Calcular la derivada de una función en el punto .
Primero encontremos la derivada:

En principio, se encuentra la derivada y se puede sustituir el valor requerido. Pero realmente no quiero hacer nada. La expresión es muy larga y el valor de "x" es fraccionario. Por lo tanto, tratamos de simplificar nuestra derivada tanto como sea posible. En este caso, intentemos reducir los últimos tres términos a un denominador común: en el punto .

Este es un ejemplo de bricolaje.

¿Cómo encontrar el valor de la derivada de la función F(x) en el punto Ho? ¿Cómo solucionarlo en general?

Si se da la fórmula, encuentre la derivada y sustituya X-cero en lugar de X. contar
Si estamos hablando de b-8 USE, grafique, entonces necesita encontrar la tangente del ángulo (agudo u obtuso), que forma una tangente al eje X (usando la construcción mental de un triángulo rectángulo y determinando la tangente de el ángulo)

Timur adilkhodzhaev

En primer lugar, debe decidir sobre el signo. Si el punto x0 está en la parte inferior del plano de coordenadas, entonces el signo en la respuesta será menos, y si es más alto, entonces +.
En segundo lugar, necesitas saber qué es tange en un rectángulo rectangular. Y esta es la razón del lado opuesto (cateto) al lado adyacente (también cateto). Por lo general, hay algunas marcas negras en la pintura. A partir de estas marcas, haces un triángulo rectángulo y encuentras tange.

¿Cómo encontrar el valor de la derivada de la función f x en el punto x0?

no hay pregunta especifica - hace 3 años

En el caso general, para encontrar el valor de la derivada de una función con respecto a alguna variable en cualquier punto, es necesario derivar la función dada con respecto a esta variable. En su caso, por la variable X. En la expresión resultante, en lugar de X, coloque el valor de x en el punto para el que necesita encontrar el valor de la derivada, es decir en su caso, sustituya cero X y calcule la expresión resultante.

Bueno, su deseo de entender este tema, en mi opinión, sin duda merece +, que pongo con la conciencia tranquila.

Tal formulación del problema de encontrar la derivada se plantea a menudo para fijar el material en el significado geométrico de la derivada. Se propone una gráfica de una determinada función, completamente arbitraria y no dada por una ecuación, y se requiere encontrar el valor de la derivada (¡no la derivada misma!) en el punto especificado X0. Para ello, se construye una tangente a la función dada y se encuentran los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas. Entonces la ecuación de esta tangente se dibuja en la forma y=kx+b.

En esta ecuación, el coeficiente k y será el valor de la derivada. solo queda encontrar el valor del coeficiente b. Para hacer esto, encontramos el valor de y en x \u003d o, que sea igual a 3; este es el valor del coeficiente b. Sustituimos los valores de X0 e Y0 en la ecuación original y encontramos k, nuestro valor de la derivada en este punto.