Progresión aritmética: ¿qué es? Fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética Fórmula de la suma de n de una progresión aritmética.
Por ejemplo, la secuencia \(2\); \(5\); \(8\); \(once\); \(14\)… es una progresión aritmética, porque cada siguiente elemento difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior sumando tres):
En esta progresión, la diferencia \(d\) es positiva (igual a \(3\)), y por tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Tales progresiones se llaman creciente.
Sin embargo, \(d\) también puede ser un número negativo. Por ejemplo, en progresión aritmética \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… la diferencia de progresión \(d\) es igual a menos seis.
Y en este caso, cada elemento siguiente será menor que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.
Notación de progresión aritmética
La progresión se denota con una letra latina minúscula.
Los números que forman una progresión se llaman así. miembros(o elementos).
Se denotan con la misma letra que la progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.
Por ejemplo, la progresión aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consta de los elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) y así sucesivamente.
En otras palabras, para la progresión \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Resolución de problemas de progresión aritmética
En principio, la información anterior ya es suficiente para resolver casi cualquier problema sobre una progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(b_1=7; d=4\). Encuentra \(b_5\).
Solución:
Respuesta: \(b_5=23\)
Ejemplo (OGE).
Se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética: \(62; 49; 36…\) Halla el valor del primer término negativo de esta progresión..
Solución:
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Se nos dan los primeros elementos de la secuencia y sabemos que es una progresión aritmética. Es decir, cada elemento difiere de su vecino por el mismo número. Averigua cuál restando el anterior del siguiente elemento: \(d=49-62=-13\). |
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Ahora podemos restaurar nuestra progresión al elemento deseado (primer negativo). |
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Listo. Puedes escribir una respuesta. |
Respuesta: \(-3\)
Ejemplo (OGE).
Se dan varios elementos sucesivos de una progresión aritmética: \(...5; x; 10; 12.5...\) Encuentra el valor del elemento denotado por la letra \(x\).
Solución:
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Para encontrar \(x\), necesitamos saber cuánto difiere el siguiente elemento del anterior, en otras palabras, la diferencia de progresión. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos conocidos: \(d=12.5-10=2.5\). |
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Y ahora encontramos lo que buscamos sin ningún problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Listo. Puedes escribir una respuesta. |
Respuesta: \(7,5\).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las siguientes condiciones: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:
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Necesitamos encontrar la suma de los primeros seis términos de la progresión. Pero no sabemos sus significados, solo se nos da el primer elemento. Por lo tanto, primero calculamos los valores a su vez, utilizando lo que se nos ha dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Se ha encontrado la cantidad solicitada. |
Respuesta: \(S_6=9\).
Ejemplo (OGE).
En progresión aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encuentra la diferencia de esta progresión.
Solución:
Respuesta: \(d=7\).
Fórmulas importantes de progresión aritmética
Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada siguiente elemento en esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (la diferencia de la progresión).
Sin embargo, a veces hay situaciones en las que es muy inconveniente resolver "en la frente". Por ejemplo, imagine que en el primer ejemplo, necesitamos encontrar no el quinto elemento \(b_5\), sino el trescientos ochenta y seis \(b_(386)\). ¿Qué es, \ (385 \) veces para sumar cuatro? O imagine que en el penúltimo ejemplo, necesita encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Contar es confuso...
Por lo tanto, en tales casos, no resuelven "en la frente", sino que usan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y las principales son la fórmula del enésimo término de la progresión y la fórmula de la suma \(n\) de los primeros términos.
Fórmula para el miembro \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer miembro de la progresión;
\(n\) – número del elemento requerido;
\(a_n\) es un miembro de la progresión con el número \(n\).
Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente al menos el elemento trescientos, incluso el millonésimo, conociendo solo el primero y la diferencia de progresión.
Ejemplo.
La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encuentra \(b_(246)\).
Solución:
Respuesta: \(b_(246)=1850\).
La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), donde
\(a_n\) es el último término sumado;
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(a_n=3.4n-0.6\). Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de esta progresión.
Solución:
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Para calcular la suma de los primeros veinticinco elementos, necesitamos saber el valor del primer y vigésimo quinto término. |
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\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ahora encontremos el vigésimo quinto término sustituyendo veinticinco en lugar de \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Bueno, ahora calculamos la cantidad requerida sin ningún problema. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
La respuesta está lista. |
Respuesta: \(S_(25)=1090\).
Para la suma \(n\) de los primeros términos, puedes obtener otra fórmula: solo necesitas \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) en lugar de \(a_n\) sustituye la fórmula por \(a_n=a_1+(n-1)d\). Obtenemos:
La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), donde
\(S_n\) – la suma requerida \(n\) de los primeros elementos;
\(a_1\) es el primer término que se suma;
\(d\) – diferencia de progresión;
\(n\) - el número de elementos en la suma.
Ejemplo.
Encuentre la suma de los primeros \(33\)-ex términos de la progresión aritmética: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solución:
Respuesta: \(S_(33)=-231\).
Problemas de progresión aritmética más complejos
Ahora tienes toda la información que necesitas para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Terminemos el tema considerando problemas en los que necesita no solo aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas, esto puede ser útil ☺)
Ejemplo (OGE).
Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solución:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
La tarea es muy similar a la anterior. Empezamos a resolver de la misma manera: primero encontramos \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ahora sustituiríamos \(d\) en la fórmula de la suma... y aquí aparece un pequeño matiz: no sabemos \(n\). En otras palabras, no sabemos cuántos términos se necesitarán agregar. ¿Cómo averiguarlo? Pensemos. Dejaremos de agregar elementos cuando lleguemos al primer elemento positivo. Es decir, debe averiguar el número de este elemento. ¿Cómo? Escribamos la fórmula para calcular cualquier elemento de una progresión aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para nuestro caso. |
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\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
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\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Necesitamos que \(a_n\) sea mayor que cero. Averigüemos por qué \(n\) sucederá esto. |
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\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
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\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Dividimos ambos lados de la desigualdad por \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferimos menos uno, sin olvidar cambiar de signo. |
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\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informática... |
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\(n>65,333…\) |
…y resulta que el primer elemento positivo tendrá el número \(66\). En consecuencia, el último negativo tiene \(n=65\). Por si acaso, vamos a comprobarlo. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Por lo tanto, necesitamos agregar los primeros elementos \(65\). |
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
La respuesta está lista. |
Respuesta: \(S_(65)=-630.5\).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encuentre la suma de \(26\)th a \(42\) elemento inclusive.
Solución:
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\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
En este problema, también necesitas encontrar la suma de los elementos, pero comenzando no desde el primero, sino desde el \(26\)ésimo. No tenemos una fórmula para esto. ¿Cómo decidir? |
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Para nuestra progresión \(a_1=-33\), y la diferencia \(d=4\) (después de todo, sumamos cuatro al elemento anterior para encontrar el siguiente). Sabiendo esto, encontramos la suma de los primeros \(42\)-uh elementos. |
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\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ahora la suma de los primeros \(25\)-ésimos elementos. |
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\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Y finalmente, calculamos la respuesta. |
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\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Respuesta: \(S=1683\).
Para una progresión aritmética, existen varias fórmulas más que no hemos considerado en este artículo debido a su escasa utilidad práctica. Sin embargo, puedes encontrarlos fácilmente.
¿Cuál es la esencia de la fórmula?
Esta fórmula le permite encontrar cualquier POR SU NÚMERO" norte" .
Por supuesto, necesitas saber el primer término. un 1 y diferencia de progresión d, bueno, sin estos parámetros, no puedes escribir una progresión específica.
No es suficiente memorizar (o hacer trampa) esta fórmula. Es necesario asimilar su esencia y aplicar la fórmula en diversos problemas. Sí, y no olvides en el momento adecuado, sí ...) Cómo No olvide- No sé. Y aquí como recordar Si es necesario, te daré una pista. Para aquellos que dominan la lección hasta el final.)
Entonces, tratemos con la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.
Qué es una fórmula en general, nos imaginamos.) Qué es una progresión aritmética, un número de miembro, una diferencia de progresión, se establece claramente en la lección anterior. Échale un vistazo si no lo has leído. Allí todo es sencillo. Queda por averiguar qué enésimo miembro.
La progresión en general se puede escribir como una serie de números:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1- denota el primer término de una progresión aritmética, un 3- tercer miembro un 4- cuarto, y así sucesivamente. Si estamos interesados en el quinto término, digamos que estamos trabajando con un 5, si ciento veinte - de un 120.
Cómo definir en general cualquier miembro de una progresión aritmética, s cualquier¿número? ¡Muy simple! Como esto:
un
Eso es lo que es n-ésimo miembro de una progresión aritmética. Debajo de la letra n se ocultan todos los números de miembros a la vez: 1, 2, 3, 4, etc.
¿Y qué nos da tal registro? Solo piensa, en lugar de un número, escribieron una letra ...
Esta notación nos brinda una poderosa herramienta para trabajar con progresiones aritméticas. Usando la notación un, podemos encontrar rápidamente cualquier miembro cualquier progresión aritmética. Y un montón de tareas para resolver en progresión. Verás más.
En la fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética:
| un n = un 1 + (n-1)d |
un 1- el primer miembro de la progresión aritmética;
norte- número de miembro.
La fórmula vincula los parámetros clave de cualquier progresión: un ; un 1; d Y norte. Alrededor de estos parámetros, todos los rompecabezas giran en progresión.
La fórmula del término n también se puede usar para escribir una progresión específica. Por ejemplo, en el problema se puede decir que la progresión viene dada por la condición:
un n = 5 + (n-1) 2.
Tal problema puede incluso confundir ... No hay serie, no hay diferencia ... Pero, comparando la condición con la fórmula, es fácil darse cuenta de que en esta progresión a 1 \u003d 5, y d \u003d 2.
¡Y puede ser aún más enojado!) Si tomamos la misma condición: un n = 5 + (n-1) 2, sí, abre los paréntesis y da otros similares? Obtenemos una nueva fórmula:
an = 3 + 2n.
Este Solo que no es general, sino para una progresión específica. Aquí es donde está la trampa. Algunas personas piensan que el primer término es un tres. Aunque en realidad el primer miembro es un cinco... Un poco más abajo trabajaremos con esa fórmula modificada.
En tareas para la progresión, hay otra notación: un n+1. Este es, lo adivinaste, el término "n más el primero" de la progresión. Su significado es simple e inofensivo.) Este es un miembro de la progresión, cuyo número es mayor que el número n por uno. Por ejemplo, si en algún problema tomamos por un quinto término, entonces un n+1 será el sexto integrante. Etc.
Muy a menudo la designación un n+1 ocurre en fórmulas recursivas. ¡No tengas miedo de esta terrible palabra!) Esta es solo una forma de expresar un término de una progresión aritmética a través de la anterior. Supongamos que se nos da una progresión aritmética de esta forma, usando la fórmula recurrente:
un norte+1 = un norte +3
un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8
un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11
Del cuarto al tercero, del quinto al cuarto, y así sucesivamente. Y cómo contar inmediatamente, digamos el vigésimo término, un 20? ¡Pero de ninguna manera!) Si bien el término 19 no se conoce, el 20 no se puede contar. Esta es la diferencia fundamental entre la fórmula recursiva y la fórmula del n-ésimo término. El recurso recursivo solo funciona a través de anterior término, y la fórmula del término n - a través de primero y permite inmediatamente encontrar cualquier miembro por su número. No contar toda la serie de números en orden.
En una progresión aritmética, una fórmula recursiva se puede convertir fácilmente en una regular. Cuenta un par de términos consecutivos, calcula la diferencia d, Encuentre, si es necesario, el primer término. un 1, escriba la fórmula en la forma habitual y trabaje con ella. En el GIA, tales tareas se encuentran a menudo.
Aplicación de la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.
Primero, veamos la aplicación directa de la fórmula. Al final de la lección anterior había un problema:
Dada una progresión aritmética (a n). Encuentre un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
Este problema se puede resolver sin fórmulas, simplemente basándose en el significado de la progresión aritmética. Agregue, sí agregue ... Una hora o dos.)
Y según la fórmula, la solución tardará menos de un minuto. Puedes cronometrarlo). Nosotros decidimos.
Las condiciones proporcionan todos los datos para usar la fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Queda por ver qué norte.¡Ningún problema! Necesitamos encontrar un 121. Aquí escribimos:
¡Por favor pon atención! En lugar de un índice norte apareció un número específico: 121. Lo cual es bastante lógico.) Estamos interesados en el miembro de la progresión aritmética número ciento veintiuno. Este será nuestro norte. es este significado norte= 121 lo sustituiremos más adelante en la fórmula, entre paréntesis. Sustituye todos los números en la fórmula y calcula:
121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Eso es todo al respecto. Con la misma rapidez uno podría encontrar el miembro quinientos décimo, y el mil tercero, cualquiera. ponemos en su lugar norte el número deseado en el índice de la letra " a" y entre paréntesis, y consideramos.
Déjame recordarte la esencia: esta fórmula te permite encontrar cualquier término de una progresión aritmética POR SU NÚMERO" norte" .
Resolvamos el problema de manera más inteligente. Digamos que tenemos el siguiente problema:
Encuentre el primer término de la progresión aritmética (a n) si a 17 =-2; d=-0,5.
Si tienes alguna dificultad, te sugiero el primer paso. ¡Escriba la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética! Sí Sí. Escriba a mano, directamente en su cuaderno:
| un n = un 1 + (n-1)d |
Y ahora, mirando las letras de la fórmula, entendemos qué datos tenemos y qué falta. Disponible d=-0.5, hay un decimoséptimo miembro... ¿Todo? Si crees que eso es todo, entonces no puedes resolver el problema, sí...
También tenemos un número norte! en la condición un 17 =-2 oculto dos opciones. Este es tanto el valor del decimoséptimo miembro (-2) como su número (17). Aquellos. n=17. Esta "pequeña cosa" a menudo se desliza más allá de la cabeza, y sin ella (¡sin la "pequeña cosa", no la cabeza!) El problema no se puede resolver. Aunque... y sin cabeza también.)
Ahora podemos simplemente sustituir estúpidamente nuestros datos en la fórmula:
un 17 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)
Oh sí, un 17 sabemos que es -2. Bien, vamos a ponerlo en:
-2 \u003d un 1 + (17-1) (-0.5)
Eso, en esencia, es todo. Queda por expresar el primer término de la progresión aritmética a partir de la fórmula, y calcular. Obtienes la respuesta: un 1 = 6.
Tal técnica, escribir una fórmula y simplemente sustituir datos conocidos, ayuda mucho en tareas simples. Bueno, por supuesto, debe poder expresar una variable a partir de una fórmula, pero ¿qué hacer? Sin esta habilidad, las matemáticas no se pueden estudiar en absoluto ...
Otro problema popular:
Encuentra la diferencia de la progresión aritmética (a n) si a 1 =2; un 15 = 12.
¿Que estamos haciendo? ¡Te sorprenderás, escribimos la fórmula!)
| un n = un 1 + (n-1)d |
Considere lo que sabemos: un 1 = 2; un 15 = 12; y (¡punto culminante especial!) n=15. Siéntase libre de sustituir en la fórmula:
12=2 + (15-1)d
Hagamos la aritmética.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Esta es la respuesta correcta.
Entonces, tareas un n, un 1 Y d decidido. Queda por aprender cómo encontrar el número:
El número 99 es miembro de una progresión aritmética (a n), donde a 1 = 12; d=3. Encuentre el número de este miembro.
Sustituimos las cantidades conocidas en la fórmula del término n:
un norte = 12 + (n-1) 3
A primera vista, hay dos cantidades desconocidas aquí: una n y una n Pero un es algún miembro de la progresión con el número norte... Y este miembro de la progresión que conocemos! Es el 99. No sabemos su número. norte, así que este número también necesita ser encontrado. Sustituya el término de progresión 99 en la fórmula:
99 = 12 + (n-1) 3
Expresamos a partir de la fórmula norte, Nosotros pensamos. Obtenemos la respuesta: n=30.
Y ahora un problema sobre el mismo tema, pero más creativo):
Determine si el número 117 será miembro de una progresión aritmética (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Escribamos la fórmula de nuevo. ¿Qué, no hay opciones? Hm... ¿Por qué necesitamos ojos?) ¿Vemos al primer miembro de la progresión? Vemos. Esto es -3.6. Puedes escribir con seguridad: un 1 \u003d -3.6. Diferencia d se puede determinar a partir de la serie? Es fácil si sabes cuál es la diferencia de una progresión aritmética:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Sí, hicimos lo más simple. Queda por hacer frente a un número desconocido norte y un incomprensible número 117. En el problema anterior al menos se sabía que era el término de la progresión que se daba. Pero aquí ni eso sabemos... ¿¡Cómo ser!? Bueno, cómo ser, cómo ser... ¡Enciende tus habilidades creativas!)
Nosotros suponer que 117 es, después de todo, un miembro de nuestra progresión. Con un número desconocido norte. Y, al igual que en el problema anterior, intentemos encontrar este número. Aquellos. escribimos la fórmula (¡sí-sí!)) y sustituimos nuestros números:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
De nuevo expresamos a partir de la fórmulanorte, contamos y obtenemos:
¡Ups! El número resultó ¡fraccionario! Ciento uno y medio. Y números fraccionarios en progresiones. no puede ser.¿Qué conclusión sacamos? ¡Sí! número 117 no es miembro de nuestra progresión. Está en algún lugar entre los miembros 101 y 102. Si el número resultó ser natural, es decir. entero positivo, entonces el número sería un miembro de la progresión con el número encontrado. Y en nuestro caso, la respuesta al problema será: No.
Tarea basada en una versión real del GIA:
La progresión aritmética viene dada por la condición:
un n \u003d -4 + 6.8n
Encuentre los términos primero y décimo de la progresión.
Aquí la progresión se establece de una manera inusual. Algún tipo de fórmula ... Sucede.) Sin embargo, esta fórmula (como escribí anteriormente) - ¡también la fórmula del n-ésimo miembro de una progresión aritmética! Ella también permite encontrar cualquier miembro de la progresión por su número.
Estamos buscando al primer miembro. El que piensa. que el primer término es menos cuatro, ¡es un error fatal!) Porque la fórmula del problema está modificada. El primer término de una progresión aritmética en ella oculto. Nada, lo encontraremos ahora.)
Al igual que en las tareas anteriores, sustituimos n=1 en esta fórmula:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
¡Aquí! ¡El primer término es 2.8, no -4!
Del mismo modo, buscamos el décimo término:
un 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Eso es todo al respecto.
Y ahora, para los que hayan leído hasta estas líneas, el bono prometido.)
Suponga que, en una situación de combate difícil del GIA o del Examen de Estado Unificado, olvida la útil fórmula del miembro n-ésimo de una progresión aritmética. Algo me viene a la mente, pero de alguna manera incierto ... Si norte allí, o n+1, o n-1...¿¡Cómo ser!?
¡Calma! Esta fórmula es fácil de obtener. No muy estricto, ¡pero definitivamente lo suficiente para la confianza y la decisión correcta!) Para la conclusión, es suficiente recordar el significado elemental de la progresión aritmética y tener un par de minutos de tiempo. Solo necesitas hacer un dibujo. Para mayor claridad.
Dibujamos un eje numérico y marcamos el primero en él. segundo, tercero, etc miembros Y nota la diferencia d entre miembros Como esto:
Miramos la imagen y pensamos: ¿a qué es igual el segundo término? Segundo uno d:
a 2 = un 1 + 1 d
¿Cuál es el tercer término? Tercero el término es igual al primer término más dos d.
a 3 = un 1 + 2 d
¿Lo entiendes? No pongo algunas palabras en negrita por nada. Bien, un paso más.)
¿Cuál es el cuarto término? Cuatro el término es igual al primer término más tres d.
a 4 = un 1 + 3 d
Es hora de darse cuenta de que el número de lagunas, es decir, d, Siempre uno menos que el número del miembro que está buscando norte. Es decir, hasta el número n, número de huecos voluntad n-1. Entonces, la fórmula será (¡sin opciones!):
| un n = un 1 + (n-1)d |
En general, las imágenes visuales son muy útiles para resolver muchos problemas matemáticos. No descuides las imágenes. Pero si es difícil hacer un dibujo, entonces ... ¡solo una fórmula!) Además, la fórmula del enésimo término le permite conectar todo el poderoso arsenal de las matemáticas a la solución: ecuaciones, desigualdades, sistemas, etc. No puedes poner una imagen en una ecuación...
Tareas para decisión independiente.
Para entrar en calor:
1. En progresión aritmética (a n) a 2 =3; un 5 \u003d 5.1. Encuentra un 3.
Pista: según la imagen, el problema se resuelve en 20 segundos... Según la fórmula, resulta más difícil. Pero para dominar la fórmula, es más útil). En la Sección 555, este problema se resuelve tanto con la imagen como con la fórmula. ¡Siente la diferencia!)
Y esto ya no es un calentamiento.)
2. En progresión aritmética (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Halla a 3 .
¿Qué, renuencia a hacer un dibujo?) ¡Aún así! Mejor fórmula, sí...
3. La progresión aritmética viene dada por la condición:un 1 \u003d -5.5; un n+1 = un n +0.5. Encuentre el término ciento veinticinco de esta progresión.
En esta tarea, la progresión se da de forma recurrente. Pero contando hasta el término ciento veinticinco... No todos pueden hacer tal hazaña.) ¡Pero la fórmula del enésimo término está al alcance de todos!
4. Dada una progresión aritmética (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Encuentra el número del término positivo más pequeño de la progresión.
5. De acuerdo con la condición de la tarea 4, encuentre la suma de los términos positivos más pequeños y negativos más grandes de la progresión.
6. El producto de los términos quinto y duodécimo de una progresión aritmética creciente es -2,5, y la suma de los términos tercero y undécimo es cero. Encuentra un 14 .
No es la tarea más fácil, sí ...) Aquí el método "en los dedos" no funcionará. Tienes que escribir fórmulas y resolver ecuaciones.
Respuestas (en desorden):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
¿Sucedió? ¡Es agradable!)
¿No todo sale bien? Sucede. Por cierto, en la última tarea hay un punto sutil. Se requerirá atención al leer el problema. y logica
La solución a todos estos problemas se analiza en detalle en la Sección 555. Y el elemento de fantasía para el cuarto, y el momento sutil para el sexto, y los enfoques generales para resolver cualquier problema para la fórmula del enésimo término: todo está pintado. Recomiendo.
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Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Alguien trata la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las secciones de matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del mostrador de taxis (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que "comprender la esencia") de una secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado algunos conceptos elementales.
Secuencia numérica matemática
Se acostumbra llamar secuencia numérica a una serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.
y 1 es el primer miembro de la secuencia;
y 2 es el segundo miembro de la secuencia;
y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;
yn es el n-ésimo miembro de la secuencia;
Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de cifras y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del n-ésimo miembro está relacionado con su número ordinal mediante una dependencia que se puede formular matemáticamente con claridad. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es alguna función de n.
a - valor de un miembro de la secuencia numérica;
n es su número de serie;
f(n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es el argumento.
Definición
Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el n-ésimo miembro de una sucesión aritmética es la siguiente:
a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;
a n+1 - la fórmula del siguiente número;
d - diferencia (un cierto número).
Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie en consideración será mayor que el anterior, y tal progresión aritmética será creciente.
En el siguiente gráfico, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".
En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
El valor del miembro especificado
A veces es necesario determinar el valor de algún término arbitrario de una progresión aritmética. Puedes hacer esto calculando sucesivamente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, esta forma no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cincomilésima u ochomillonésima. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica usando ciertas fórmulas. También hay una fórmula para el término n: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer miembro de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del miembro deseado, menos uno .
La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.
Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado
Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.
Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:
El primer miembro de la secuencia es 3;
La diferencia en la serie numérica es 1,2.
Tarea: es necesario encontrar el valor de 214 términos
Solución: para determinar el valor de un miembro dado, usamos la fórmula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Respuesta: El miembro 214 de la secuencia es igual a 258,6.
Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.
Suma de un número dado de miembros
Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Tampoco necesita calcular los valores de cada término y luego resumirlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma se debe encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.
La suma de los miembros de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma de los miembros primero y n, multiplicada por el miembro número n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del n-ésimo miembro por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:
Ejemplo de cálculo
Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:
El primer término de la sucesión es cero;
La diferencia es 0,5.
En el problema se requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.
Solución. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Obviamente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 a S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Entonces, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética
Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: un taxímetro (taxi taxímetro). Consideremos tal ejemplo.
Subirse a un taxi (que incluye 3 km) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de recorrido 30 km. Calcular el costo del viaje.
1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.
30 - 3 = 27 kilómetros.
2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.
El número de miembro es el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).
El valor del miembro es la suma.
El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.
Diferencia de progresión d = 22 p.
el número que nos interesa - el valor del (27 + 1) miembro de la progresión aritmética - la lectura del medidor al final del kilómetro 27 - 27.999 ... = 28 km.
un 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Los cálculos de datos de calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.
Otro tipo de secuencia numérica es la geométrica.
Una progresión geométrica se caracteriza por una gran tasa de cambio en comparación con una aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, muchas veces, para mostrar la alta velocidad de propagación de un determinado fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, se diga que el proceso se desarrolla exponencialmente.
El N-ésimo miembro de la serie de números geométricos difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer miembro es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;
b n+1 - la fórmula del siguiente miembro de la progresión geométrica;
q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).
Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica dibuja una imagen ligeramente diferente:
Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un miembro arbitrario. Cualquier n-ésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término y el denominador de la progresión a la potencia de n reducido por uno:
Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentre el quinto término de la progresión.
segundo 5 \u003d segundo 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
La suma de un número dado de miembros también se calcula usando una fórmula especial. La suma de los primeros n miembros de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del n-ésimo miembro de la progresión y su denominador y el primer miembro de la progresión, dividido por el denominador menos uno:
Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n miembros de la serie de números considerada tomará la forma:
Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece igual a 3. Hallemos la suma de los primeros ocho términos.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Al estudiar álgebra en una escuela secundaria (grado 9), uno de los temas importantes es el estudio de secuencias numéricas, que incluyen progresiones, geométricas y aritméticas. En este artículo, consideraremos una progresión aritmética y ejemplos con soluciones.
¿Qué es una progresión aritmética?
Para entender esto, es necesario dar una definición de la progresión bajo consideración, así como dar las fórmulas básicas que se usarán más adelante para resolver problemas.
Una progresión aritmética o algebraica es un conjunto de números racionales ordenados, cada uno de los cuales difiere del anterior en algún valor constante. Este valor se llama la diferencia. Es decir, conociendo cualquier miembro de una serie ordenada de números y la diferencia, se puede restaurar toda la progresión aritmética.
Tomemos un ejemplo. La siguiente secuencia de números será una progresión aritmética: 4, 8, 12, 16,..., ya que la diferencia en este caso es 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Pero el conjunto de números 3, 5, 8, 12, 17 ya no puede atribuirse al tipo de progresión considerado, ya que la diferencia para él no es un valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Fórmulas importantes
Ahora damos las fórmulas básicas que se necesitarán para resolver problemas usando una progresión aritmética. Sea n el miembro n de la sucesión, donde n es un número entero. La diferencia se denota con la letra latina d. Entonces las siguientes expresiones son verdaderas:
- Para determinar el valor del enésimo término, la fórmula es adecuada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Para determinar la suma de los n primeros términos: S n = (a n + a 1)*n/2.
Para comprender cualquier ejemplo de progresión aritmética con solución en el grado 9, basta recordar estas dos fórmulas, ya que cualquier problema del tipo que se considera se basa en su uso. Además, no olvide que la diferencia de progresión está determinada por la fórmula: d = a n - a n-1 .
Ejemplo #1: Encontrar un miembro desconocido
Damos un ejemplo sencillo de una progresión aritmética y las fórmulas que se deben utilizar para resolver.
Deje que se dé la secuencia 10, 8, 6, 4, ..., es necesario encontrar cinco términos en ella.
Ya se deduce de las condiciones del problema que se conocen los primeros 4 términos. El quinto se puede definir de dos formas:
- Primero calculemos la diferencia. Tenemos: d = 8 - 10 = -2. De manera similar, uno podría tomar otros dos términos cualquiera que estén uno al lado del otro. Por ejemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, entonces d \u003d a 5 - a 4, de donde obtenemos: a 5 \u003d a 4 + d. Sustituimos los valores conocidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- El segundo método también requiere el conocimiento de la diferencia de la progresión en cuestión, por lo que primero debe determinarla, como se muestra arriba (d = -2). Sabiendo que el primer término a 1 = 10, usamos la fórmula para el número n de la secuencia. Tenemos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Sustituyendo n = 5 en la última expresión, obtenemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Como puede ver, ambas soluciones conducen al mismo resultado. Tenga en cuenta que en este ejemplo la diferencia d de la progresión es negativa. Tales sucesiones se llaman decrecientes porque cada término sucesivo es menor que el anterior.
Ejemplo #2: diferencia de progresión
Ahora vamos a complicar un poco la tarea, dar un ejemplo de cómo
Se sabe que en algunos el primer término es igual a 6 y el séptimo término es igual a 18. Es necesario encontrar la diferencia y restaurar esta secuencia al séptimo término.
Usemos la fórmula para determinar el término desconocido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sustituimos los datos conocidos de la condición, es decir, los números a 1 y a 7, tenemos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de esta expresión, puedes calcular fácilmente la diferencia: d = (18 - 6) / 6 = 2. Así, se respondió la primera parte del problema.
Para restaurar la secuencia al 7mo miembro, debes usar la definición de una progresión algebraica, es decir, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, y así sucesivamente. Como resultado, restauramos la secuencia completa: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16 y 7 = 18.
Ejemplo #3: hacer una progresión
Compliquemos aún más la condición del problema. Ahora debe responder la pregunta de cómo encontrar una progresión aritmética. Podemos dar el siguiente ejemplo: se dan dos números, por ejemplo, el 4 y el 5. Es necesario hacer una progresión algebraica para que entre estos quepan tres términos más.
Antes de comenzar a resolver este problema, es necesario comprender qué lugar ocuparán los números dados en la progresión futura. Como habrá tres términos más entre ellos, entonces 1 \u003d -4 y 5 \u003d 5. Habiendo establecido esto, procedemos a una tarea similar a la anterior. Nuevamente, para el enésimo término, usamos la fórmula, obtenemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Aquí la diferencia no es un valor entero, sino un número racional, por lo que las fórmulas para la progresión algebraica siguen siendo las mismas.
Ahora agreguemos la diferencia encontrada a 1 y restablezcamos los miembros faltantes de la progresión. Obtenemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, que coincidió con la condición del problema.
Ejemplo #4: El primer miembro de la progresión
Seguimos dando ejemplos de progresión aritmética con solución. En todos los problemas anteriores se conocía el primer número de la progresión algebraica. Ahora considere un problema de un tipo diferente: sean dos números dados, donde 15 = 50 y 43 = 37. Es necesario encontrar a partir de qué número comienza esta secuencia.
Las fórmulas que se han utilizado hasta ahora asumen el conocimiento de a 1 y d. No se sabe nada acerca de estos números en la condición del problema. Sin embargo, escribamos las expresiones para cada término sobre el que tenemos información: a 15 = a 1 + 14 * d y a 43 = a 1 + 42 * d. Tenemos dos ecuaciones en las que hay 2 cantidades desconocidas (a 1 y d). Esto significa que el problema se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales.
El sistema especificado es más fácil de resolver si expresa un 1 en cada ecuación y luego compara las expresiones resultantes. Primera ecuación: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda ecuación: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Al igualar estas expresiones, obtenemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de donde la diferencia d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (solo se dan 3 decimales).
Conociendo d, puedes usar cualquiera de las 2 expresiones anteriores para 1 . Por ejemplo, primero: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Si hay dudas sobre el resultado, puede verificarlo, por ejemplo, determinar el miembro 43 de la progresión, que se especifica en la condición. Obtenemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Un pequeño error se debe al hecho de que se utilizó el redondeo a las milésimas en los cálculos.
Ejemplo #5: Suma
Ahora veamos algunos ejemplos con soluciones para la suma de una progresión aritmética.
Sea dada una progresión numérica de la siguiente forma: 1, 2, 3, 4, ...,. ¿Cómo calcular la suma de 100 de estos números?
Gracias al desarrollo de la tecnología informática, este problema se puede resolver, es decir, sumar secuencialmente todos los números, lo que hará la computadora tan pronto como una persona presione la tecla Intro. Sin embargo, el problema se puede resolver mentalmente si presta atención a que la serie de números presentada es una progresión algebraica y su diferencia es 1. Aplicando la fórmula para la suma, obtenemos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Es curioso notar que a este problema se le llama “Gaussiano”, ya que a principios del siglo XVIII el célebre alemán, aún con tan solo 10 años, fue capaz de resolverlo en su mente en pocos segundos. El niño no sabía la fórmula de la suma de una progresión algebraica, pero notó que si sumas pares de números ubicados en los bordes de la secuencia, siempre obtienes el mismo resultado, es decir, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., y dado que estas sumas serán exactamente 50 (100 / 2), entonces para obtener la respuesta correcta, basta con multiplicar 50 por 101.
Ejemplo #6: suma de términos de n a m
Otro ejemplo típico de la suma de una progresión aritmética es el siguiente: dada una serie de números: 3, 7, 11, 15, ..., necesitas encontrar cuál será la suma de sus términos del 8 al 14.
El problema se resuelve de dos maneras. El primero de ellos consiste en encontrar términos desconocidos del 8 al 14, y luego resumirlos secuencialmente. Dado que hay pocos términos, este método no es lo suficientemente laborioso. Sin embargo, se propone resolver este problema por el segundo método, que es más universal.
La idea es obtener una fórmula para la suma de una progresión algebraica entre los términos m y n, donde n > m son números enteros. Escribamos dos expresiones para la suma para ambos casos:
- S m \u003d m * (un m + un 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Como n > m, es obvio que la suma de 2 incluye a la primera. La última conclusión significa que si tomamos la diferencia entre estas sumas y le agregamos el término a m (en el caso de tomar la diferencia, se resta de la suma S n), entonces obtenemos la respuesta necesaria al problema. Tenemos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + un n * n / 2 + un m * (1- m / 2). Es necesario sustituir fórmulas para a n y a m en esta expresión. Entonces obtenemos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = un 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re * (3 * metro - metro 2 - 2) / 2.
La fórmula resultante es algo engorrosa, sin embargo, la suma S mn depende solo de n, m, a 1 y d. En nuestro caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sustituyendo estos números, obtenemos: S mn = 301.
Como puede verse en las soluciones anteriores, todos los problemas se basan en el conocimiento de la expresión del término n y la fórmula de la suma del conjunto de los primeros términos. Antes de comenzar a resolver cualquiera de estos problemas, se recomienda que lea atentamente la condición, comprenda claramente lo que desea encontrar y solo luego continúe con la solución.
Otro consejo es buscar la simplicidad, es decir, si puede responder la pregunta sin usar cálculos matemáticos complejos, entonces debe hacer exactamente eso, ya que en este caso la probabilidad de cometer un error es menor. Por ejemplo, en el ejemplo de una progresión aritmética con la solución No. 6, uno podría detenerse en la fórmula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, y dividir la tarea general en subtareas separadas (en este caso, primero encuentre los términos a n y a m).
Si hay dudas sobre el resultado, se recomienda comprobarlo, como se ha hecho en algunos de los ejemplos dados. Cómo encontrar una progresión aritmética, descubierto. Una vez que lo descubres, no es tan difícil.
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