Ecuación paramétrica del avión que pasa por el punto. Plane y directo en el espacio: General y ecuación del plano paramétrico.
– ecuación general Aviones en el espacio
Plano normal
El vector plano normal se llama un vector distinto de cero, ortogonal a cada vector que se encuentra en el plano.
La ecuación del plano que pasa a través del giro del vector normal estándar.
- la ecuación del plano que pasa a través del punto m0 con un vector dado de lo normal
Vectores de guía
Dos vectores sin collenario, aviones paralelos, llamemos a los vectores guía del avión.
Ecuaciones paramétricas del plano.
- Ecuación paramétrica de vector plano.
- Ecuación paramétrica del plano en coordenadas.
La ecuación del plano a través de un punto específico y dos guía.
-Punto fijo
- Just Point Lol.
- Completo, lo que significa que su trabajo mixto es 0.
La ecuación del avión pasando a través de tres puntos de ajuste.
- Ecuación del avión a través de tres puntos.
Ecuación de avión en segmentos
- Ecuación del avión en segmentos.
Evidencia
Para evidencia, usamos que nuestro avión pasa a través de A, B, C y un vector normal
Substitut Las coordenadas del punto y vectornus la ecuación del plano con un vector normal.
Dividimos todo y conseguimos
Así que va.
Ecuación normal del plano
- Ángulo entre el vector normal al avión con vista a O.
- El ángulo entre el vector normal al avión con vista a O.
- El ángulo entre el vector normal al avión proveniente de O.
- Distancia desde el inicio de las coordenadas hasta el avión.
Prueba o algún tipo de huff
El signo es opuesto D.
Similar al resto del coseno. El fin.
Distancia desde el punto hasta el plano
Punto s, avión
- Distancia orientada a un punto de plano
Si, tsi oh tumbado en diferentes lados del avión.
Si, TOSI está mintiendo de una manera.
Multiplica Onn. 
Ubicación mutua de dos directos en el espacio.
El ángulo entre los planos.
Cuando la intersección, se forman dos pares de ángulos verticales de dos hombres, el más pequeño se llama un ángulo entre los planos.
Directo en el espacio
Directo en el espacio se puede hacer como
Intersección de dos aviones:
Las ecuaciones paramétricas son directas.
- Ecuación paramétrica directa en forma vectorial.
- Ecuación paramétrica directa en coordenadas.
Ecuación canónica
- Ecuación canónica directa.
La ecuación de paso directo a través de dos puntos de ajuste.
- Ecuación canónica directa en forma vectorial;
Ubicación mutua de dos directos en el espacio.
Ubicación mutua de la recta y el plano en el espacio.
El ángulo entre la recta y el plano.
Distancia desde el punto a directo en el espacio.
un vector guía en nuestra recta.
- Punto arbitrario perteneciente a este directo.
- Punto a lo que estamos buscando una distancia.
Distancia entre dos traviesas rectas
Distancia entre dos paralelos rectos
M1 - Punto perteneciente a la primera directa.
M2 - Punto que pertenece al segundo directo.
Curvas y superficies de segundo orden.
La elipse se llama muchos puntos del plano, la cantidad de distancias de las cuales hasta dos puntos específicos (enfoque) es el valor de la constante.
Ecuación de elipse canónica
Reemplazar
Dividimos por
Propiedades de la elipses
Cruce con ejes de coordenadas.
Los comienzos de las coordenadas.
Simetría con respecto a
Ellipse es una curva en una parte limitada del avión.
Ellipse se puede obtener de un círculo estirándolo o compresión.
Ecuación paramétrica de elipse:
- Directora
Hipérbola
La hipérbole se llama muchos puntos del plano para el cual el módulo de diferencia de distancia a 2x puntos especificados (enfoque) es permanente (2A)
Haz lo mismo que con una elipse que obtenemos.
Reemplazamos en
Delima
Propiedades de los hipérboles.
;
- Directora
Asíntota
La asintotta es recta, a la que se acerca la curva ilimitada, eliminando en el infinito.
Parábola
Propiedades de paraboota
La relación de la elipse, las hipérboles y las parabolas.
La relación entre estas curvas tiene una explicación algebraica: todos ellos son dados por las ecuaciones del segundo grado. En cualquier sistema de coordenadas, la ecuación de estas curvas tiene la forma: AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F \u003d 0, donde A, B, C, D, E, F - números
Convertir sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares.
Transferencia paralela del sistema de coordenadas.
-O 'en el antiguo sistema de coordenadas
- Puntos de publicación en el antiguo sistema de coordenadas.
-Compartir puntos en el nuevo sistema de coordenadas.
Las coordenadas del punto en el nuevo sistema de coordenadas.
Girar en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular.
-Nuevo sistema de coordenadas
Matriz de la transición de la base anterior a la nueva.
- (bajo la primera columna I.’
, bajo el segundo - j.’
) Matriz de transición base I.,j.a la base I.’
,j.’
General
Gire el sistema de coordenadas.
Gire el sistema de coordenadas.
Transferencia paralela del origen de las coordenadas.
1 opción
opcion 2
Ecuación general de las líneas de segundo orden y su apego a canónico.
– forma general Ecuaciones de curva de segundo orden
Clasificación de curvas de segundo orden.
Elipsoide
Secciones de elipsoide
- Elipse
- Elipse
Elipsoides de rotación.
Elipsoides de rotación son esferoides aplanados o alargados, dependiendo de lo que gire.
Hyperboloide de un solo ojo
Secciones del hiperboloide de una sola banda.
- Hipérbole con eje válido.
- Hipérbole con un eje válido oh.
Resulta una elipse con cualquier h. Así que va.
Hiperboloides de rotación de una sola banda.
El hiperboloide de rotación simple se puede obtener al girar los hipérboles alrededor de su eje imaginario.
Hyperboloides grande
Secciones de un hiperboloide bifásico. 
- Hipérbole con acción. Axoz.
- Hipérbole con eje válido.
Cono 
- Pareja intersectando directamente
- Pareja intersectando directamente
Paraboloide elíptica 
- parábola
- parábola
Rotación
Si, el paraboloide elíptico es la superficie de la rotación formada por la rotación de la parábola alrededor de su eje de simetría.
Paraboloide hiperbólico
Parábola
- parábola
h\u003e 0 Hipérbole con eje válido paralelo Oh
h.<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Bajo el cilindro, entenderemos la superficie que se obtendrá cuando se mueva directamente en el espacio que no cambie su dirección, si los movimientos directos en relación con OZ, la ecuación del cilindro es la sección transversal del avión.
Cilindro elíptico
Cilindro hiperbólico
Cilindro parabólico
Formación recta de superficies de segundo orden.
Recto, totalmente tendido en la superficie, se llaman formación de superficies simples.
Superficie de rotación
Joder tu loch
Monitor
Monitorllamamos a la regla por la cual cada elemento del conjunto A se coloca de acuerdo con uno o más elementos del conjunto. Si todos están configurados por el único elemento del conjunto, entonces se llama el mapeo furiosoDe lo contrario multivaluado.
Conversiónlos conjuntos se denominan una visualización mutuamente válida de un conjunto en sí mismo.
Inyección
Inyección o mapeo mutuamente inequívoco del conjunto y el conjunto en
(diferentes elementos A corresponden a diferentes elementos B), por ejemplo, y \u003d x ^ 2
Surgir
Surización o mapeo del conjunto y muchos en
Para cada uno, hay al menos uno a (por ejemplo, seno)
Cada elemento del conjunto B corresponde a un solo elemento del conjunto A. (por ejemplo, y \u003d x)
Uno de los subpárrafos, el tema "La ecuación directa en el plano" es la cuestión de la preparación de ecuaciones paramétricas directamente en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares. A continuación se describe el principio de compilar tales ecuaciones con ciertos datos conocidos. Mostramos, al igual que las ecuaciones paramétricas para pasar a las ecuaciones de un tipo diferente; Analizaremos la solución de tareas típicas.
La directa específica se puede definir si especifica un punto que pertenece a esta línea recta, y el vector directo directo.
Supongamos que nos dan un sistema de coordenadas rectangular O X Y. Y también especificado directamente e indicando los puntos que se encuentran en el M 1 (x 1, y 1) y el vector guía de la directa especificada A → \u003d (a x, a y) . Damos una descripción de la directa específica que utiliza las ecuaciones.
Utilizamos un punto arbitrario m (x, y) y consigue un vector M 1 m →; Calculo sus coordenadas por coordenadas de los puntos de los principios y el final: m 1 m → \u003d (x - x 1, y - y 1). Describimos el resultado resultante: directo se establece mediante una pluralidad de puntos m (x, y), pasa a través del punto m 1 (x 1, y 1) y tiene un vector guía A → \u003d (a x, a y) . El conjunto especificado especifica directamente solo cuando los vectores m 1 m → \u003d (x - x 1, y - y 1) y a → \u003d (a x, a y) son colineal.
Hay una condición necesaria y suficiente para la colinealidad de los vectores, que en este caso para vectores m 1 m → \u003d (x - x 1, y - y 1) y a → \u003d (hacha, ay) se pueden escribir en el formulario de la ecuación:
M 1 m → \u003d λ · a →, donde λ es un número válido.
Definición 1.
La ecuación M 1 M → \u003d λ · A → se llama la ecuación de parámetros de vectores en línea recta.
En forma de coordinación, tiene la forma:
M 1 m → \u003d λ · a → ⇔ x - x 1 \u003d λ · a x y - y 1 \u003d λ · a y ⇔ x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ
Las ecuaciones del sistema obtenido x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + A y · λ son el nombre de las ecuaciones de parámetros directamente en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares. La esencia del nombre es la siguiente: Las coordenadas de todos los puntos son posibles directamente para determinar por ecuaciones paramétricas en el plano de la forma x \u003d x 1 + hacha · λ y \u003d y 1 + ay · λ cuando hay valores extendidos Del parámetro λ
De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones paramétricas están rectas en el plano x \u003d x 1 + hacha λ y \u003d y 1 + a · λ, definen una línea recta, que se administra en el sistema de coordenadas rectangulares, pasa a través del punto m 1 (x 1, y 1) y tiene un vector guía A → \u003d (a x, a y) . Por lo tanto, si se dan las coordenadas de algún punto de la directa y las coordenadas de su vector de guía, es posible escribir inmediatamente las ecuaciones paramétricas de la directa especificada.
Ejemplo 1.
Es necesario realizar ecuaciones paramétricas directamente en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares, si se especifica el punto M 1 (2, 3) y su vector de guía A → \u003d (3, 1).
Decisión
Basado en los datos de origen, obtenemos: X 1 \u003d 2, Y 1 \u003d 3, A X \u003d 3, A Y \u003d 1. Las ecuaciones paramétricas mirarán:
x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + 1 · λ ⇔ x \u003d 2 + 3 · λ y \u003d 3 + λ
Vitely ilustra:
Respuesta: X \u003d 2 + 3 · λ Y \u003d 3 + λ
Cabe señalar: Si el vector A → \u003d (A X, A Y) sirve un vector de guía directo, y los puntos m 1 (x 1, y 1) y m 2 (x 2, y 2) pertenecen a este recto, es posible determinarlo especificando por ecuaciones paramétricas del formulario: x \u003d x 1 + hacha · λ y \u003d y 1 + ay · λ, así como en esta opción: x \u003d x 2 + hacha · λ y \u003d y 2 + ay λ.
Por ejemplo, nos dan un vector guía. A → \u003d (2, - 1), así como los puntos M 1 (1, - 2) y M 2 (3, 3) que pertenecen a esta línea recta. Luego, las ecuaciones parametéricas se definen directamente: x \u003d 1 + 2 · λ y \u003d - 2 - λ o x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 3 - λ.
Debe prestar atención a este hecho: si A → \u003d (a x, a y) - Dirija un vector guía, luego su guía Vector Willomb y cualquiera de los vectores. μ · A → \u003d (μ · a x, μ · a y), donde μ ε r, μ ≠ 0.
Por lo tanto, recto y en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares se puede determinar mediante ecuaciones paramétricas: x \u003d x 1 + μ · a x · λ y \u003d y 1 + μ · a y · λ con cualquier valor de μ, diferente de cero.
Supongamos que, recta A se establece mediante ecuaciones paramétricas x \u003d 3 + 2 · λ y \u003d - 2 - 5 · λ. Luego A → \u003d (2, - 5) - vector directo directo. Y también cualquiera de los vectores μ · A → \u003d (μ · 2, μ · 5) \u003d 2 μ, - 5 μ, μ ∈ r, μ ≠ 0 se convertirán en el vector guía para el Direct especificado. Para mayor claridad, consideramos un vector específico - 2 · a → \u003d (- 4, 10), corresponde a μ \u003d - 2. En este caso, la directa especificada también se puede determinar mediante ecuaciones paramétricas x \u003d 3 - 4 · λ y \u003d - 2 + 10 · λ.
La transición de las ecuaciones paramétricas directa en el plano a otras ecuaciones de la directa y posterior especificados
Al resolver algunos problemas, el uso de ecuaciones paramétricas no es la opción más óptima, entonces es necesario traducir ecuaciones paramétricas a la línea recta en la ecuación de otras especies directas. Considera cómo hacerlo.
Las ecuaciones paramétricas de la forma directa x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ corresponderán a la ecuación canónica de directo en el plano x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y.
Permitimos cada una de las ecuaciones paramétricas en relación con el parámetro λ, equiparamos las partes correctas de las igualdades obtenidas y obtenemos la ecuación canónica de la directa especificada:
x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y
No debe confundirse si una X o A y será cero.
Ejemplo 2.
Es necesario realizar la transición de las ecuaciones paramétricas rectas X \u003d 3 y \u003d - 2 - 4 · λ a la ecuación canónica.
Decisión
Escribimos las ecuaciones parametéricas en el siguiente formulario: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ
Exprese el parámetro λ en cada una de las ecuaciones: x \u003d 3 + 0 · λ y \u003d - 2 - 4 · λ ⇔ λ \u003d x - 3 0 λ \u003d y + 2 - 4
Equipamos las partes correctas del sistema de ecuaciones y obtenimos la ecuación canónica requerida directamente en el plano:
x - 3 0 \u003d y + 2 - 4
Respuesta: x - 3 0 \u003d y + 2 - 4
En el caso, cuando sea necesario escribir la ecuación de una forma directa a x + b y + c \u003d 0, mientras que las ecuaciones parametéricas se establecen en el plano, es necesario mover primero la transición a la ecuación canónica, y luego a la ecuación general directa. Escribimos toda la secuencia de acciones:
x \u003d x 1 + hacha · λ y \u003d y 1 + ay λ λ λ \u003d x - x 1 hacha λ \u003d y - y 1 ay ⇔ x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay · (x - x 1) \u003d AX · (Y - Y 1) ⇔ AX + BY + C \u003d 0
Ejemplo 3.
Es necesario registrar directamente la ecuación general, si se especifican las ecuaciones paramétricas que se determinan: x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ
Decisión
Para empezar, llevamos a cabo la transición a la ecuación canónica:
x \u003d - 1 + 2 · λ y \u003d - 3 · λ ⇔ λ \u003d x + 1 2 λ \u003d y - 3 ⇔ x + 1 2 \u003d y - 3
La proporción resultante es idéntica a la igualdad - 3 · (x + 1) \u003d 2 · y. Realizaremos los corchetes y obtenemos la ecuación de la línea general: - 3 · x + 1 \u003d 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 \u003d 0.
Respuesta: 3 x + 2 y + 3 \u003d 0
Tras la lógica anterior de las acciones, para obtener una ecuación directa con un coeficiente angular, las ecuaciones son rectas en segmentos o una ecuación normal, es necesario obtener una ecuación de línea general, pero para llevar a cabo una mayor transición de ella.
Ahora considere el efecto opuesto: la grabación de ecuaciones paramétricas directamente con otra forma específica de ecuaciones de esta línea recta.
La transición más fácil: de la ecuación canónica a paramétrica. Deje la ecuación canónica de la forma: x - x 1 a x \u003d y - x 1 a y. Cada una de las relaciones de esta igualdad tomará un parámetro igual λ:
x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d λ ⇔ λ \u003d x - x 1 a x λ \u003d y - y 1 a y
Permitió las ecuaciones obtenidas en relación con las variables X e Y:
x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ
Ejemplo 4.
Es necesario registrar las ecuaciones paramétricas directamente, si la ecuación canónica es conocida en el plano: x - 2 5 \u003d y - 2 2
Decisión
Equipamos las partes de la ecuación conocida al parámetro λ: x - 2 5 \u003d y - 2 2 \u003d λ. A partir de la igualdad obtenida, obtenemos ecuaciones paramétricas directas: x - 2 5 \u003d y - 2 2 \u003d λ ⇔ λ \u003d x - 2 5 λ \u003d y - 2 5 ⇔ x \u003d 2 + 5 · λ y \u003d 2 + 2 · λ
Respuesta: X \u003d 2 + 5 · λ Y \u003d 2 + 2 · λ
Cuando es necesario realizar la transición a las ecuaciones paramétricas de una ecuación común dada de la línea recta, la ecuación directa con un coeficiente angular o una ecuación directa en segmentos es necesaria, la ecuación inicial es necesaria para conducir a canónica, y después de Realización de la transición a ecuaciones paramétricas.
Ejemplo 5.
Es necesario escribir ecuaciones paramétricas a la línea recta con una ecuación total conocida a esta recta: 4 x - 3 y - 3 \u003d 0.
Decisión
La ecuación general especificada se transforma en la ecuación de un tipo canónico:
4 x - 3 y - 3 \u003d 0 ⇔ 4 x \u003d 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x \u003d 3 y + 1 3 ⇔ x 3 \u003d y + 1 3 4
Equipamos tanto parte de la igualdad al parámetro λ y obtenemos las ecuaciones paramétricas requeridas directamente:
x 3 \u003d y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x 3 \u003d λ y + 1 3 4 \u003d λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ
Respuesta: x \u003d 3 · λ y \u003d - 1 3 + 4 · λ
Ejemplos y tareas con ecuaciones directas paramétricas en el plano.
Considere la mayoría de las veces los tipos de tareas que utilizan ecuaciones paramétricas directamente en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares.
- En las tareas del primer tipo, se administran las coordenadas de los puntos que pertenecen o no a las ecuaciones paramétricas que se describen directamente.
La solución de tales tareas se basa en el siguiente hecho: los números (x, y), determinados a partir de las ecuaciones paramétricas x \u003d x 1 + hacha λ y \u003d y 1 + ay λ con algún valor válido de λ, son las coordenadas de El punto que pertenece a la línea recta, que se describe en estas ecuaciones paramétricas.
Ejemplo 6.
Es necesario determinar las coordenadas del punto, que se encuentra en una ecuación paramétrica específica directa x \u003d 2 - 1 6 · λ y \u003d - 1 + 2 · λ en λ \u003d 3.
Decisión
Sustituimos en las ecuaciones paramétricas dadas. Valor conocido λ \u003d 3 e implementamos el cálculo de las coordenadas deseadas: x \u003d 2 - 1 6 · 3 y \u003d - 1 + 2 · 3 ⇔ x \u003d 1 1 2 y \u003d 5
Respuesta: 1 1 2 , 5
La siguiente tarea también es posible: que se le proporcione algún punto m 0 (x 0, y 0) en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares y debe determinar si este punto pertenece a las ecuaciones paramétricas de descripción directamente descritas x \u003d x 1 + hacha · λ y \u003d y 1 + ay · λ.
Para resolver esa tarea, es necesario sustituir las coordenadas de un punto dado a las ecuaciones paramétricas conocidas directamente. Si se determina que este valor del parámetro λ \u003d λ 0 es posible, en el que ambas ecuaciones paramétricas serán correctas, entonces el punto especificado es perteneciente al Direct especificado.
Ejemplo 7.
Puntos m 0 (4, - 2) y N 0 (- 2, 1). Es necesario determinar si pertenecen a las ecuaciones paramétricas definidas directamente x \u003d 2 · λ y \u003d - 1 - 1 2 · λ.
Decisión
Sustituimos las coordenadas del punto M 0 (4, - 2) a las ecuaciones paramétricas especificadas:
4 \u003d 2 · λ - 2 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d 2 λ \u003d 2 ⇔ λ \u003d 2
Concluimos que el punto M 0 pertenece a una línea recta dada, porque Corresponde al valor λ \u003d 2.
2 \u003d 2 · λ 1 \u003d - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ \u003d - 1 λ \u003d - 4
Obviamente, no hay tal parámetro λ, que corresponderá al punto n 0. En otras palabras, el Directo especificado no pasa a través del punto N 0 (- 2, 1).
Respuesta:el punto M 0 pertenece a una línea recta dada; El punto N 0 no pertenece a la directa especificada.
- En los objetos del segundo tipo, es necesario realizar ecuaciones paramétricas directamente en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares. El ejemplo más fácil de tal tarea (con las coordenadas conocidas del punto de vista directa y guía) se consideró anteriormente. Ahora analizaremos ejemplos en los que primero debe encontrar las coordenadas del vector de guía y luego escribir las ecuaciones paramétricas.
Se le da el punto M 1 1 2, 2 3. Es necesario hacer ecuaciones paramétricas de pase directo a través de este punto y paralelo directo x 2 \u003d y - 3 - 1.
Decisión
Por la condición del problema es recta, cuya ecuación debemos estar por delante, paralela a la X 2 \u003d y - 3 - 1. Luego, como vector guía, el punto de aprobación directo es posible usar el vector guía directo x 2 \u003d y - 3 - 1, que se escribe en el formulario: A → \u003d (2, - 1). Ahora se conoce todos los datos necesarios para compilar las ecuaciones paramétricas deseadas:
x \u003d x 1 + hacha · λ y \u003d y 1 + ay λ λ ⇔ x \u003d 1 2 + 2 · λ y \u003d 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.
Respuesta: x \u003d 1 2 + x · λ y \u003d 2 3 - λ.
Ejemplo 9.
Se establece el punto M 1 (0, - 7). Es necesario registrar las ecuaciones parametéricas de la línea recta, pasando a través de este punto perpendicular a la línea 3 x - 2 y - 5 \u003d 0.
Decisión
Como vectores directos, cuya ecuación debe hacerse, es posible tomar la línea de vector normal 3 x - 2 y - 5 \u003d 0. Sus coordenadas (3, - 2). Escribimos las ecuaciones paramétricas requeridas directamente:
x \u003d x 1 + a x · λ y \u003d y 1 + a y · λ ⇔ x \u003d 0 + 3 · λ y \u003d - 7 + (- 2) · λ ⇔ x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ
Respuesta: x \u003d 3 · λ y \u003d - 7 - 2 · λ
- En las tareas del tercer tipo, se requiere la transición de las ecuaciones paramétricas de un determinado directo a otros tipos de ecuaciones que se determinan. Consideramos la solución de tales ejemplos anteriores, le damos otro.
Dana se administra en el plano en el sistema de coordenadas rectangulares, determinado por ecuaciones paramétricas x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ. Es necesario encontrar las coordenadas de cualquier vector normal de esta línea recta.
Decisión
Para determinar las coordenadas deseadas del vector normal, realice la transición de las ecuaciones paramétricas a la ecuación total:
x \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ ⇔ λ \u003d x - 1 - 3 4 λ \u003d y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 \u003d y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 \u003d - 3 4 · Y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 \u003d 0
Los coeficientes de las variables X e Y nos dan las coordenadas requeridas del vector normal. Por lo tanto, el vector normal recto X \u003d 1 - 3 4 · λ y \u003d - 1 + λ tiene coordenadas 1, 3 4.
Respuesta: 1 , 3 4 .
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Hasta ahora, hemos considerado la ecuación de la superficie en el espacio con los ejes de coordenadas X, Y, Z forman explícitamente o en forma implícita
Puede escribir las ecuaciones de la superficie en forma paramétrica, expresando las coordenadas de sus puntos en forma de funciones de dos variables independientes de parámetros y
Asumiremos que estas funciones son inequívicas, continuas y tienen derivados continuos a un segundo orden en un cierto rango de cambios de parámetros.
Si sustituimos estas expresiones de coordenadas a través de U y V de la parte izquierda de la ecuación (37), debemos obtener identidad relativa a ambos y v. Diferenciar esta identidad en una variable independiente y V, tendremos
Teniendo en cuenta estas ecuaciones como dos ecuaciones homogéneas relativas y aplican una lema algebraica mencionada en, obtenemos
donde k es un coeficiente de proporcionalidad.
Creemos que el multiplicador hacia y al menos una de las diferencias en las partes correctas de las últimas fórmulas son diferentes de cero.
Denote para la brevedad escrito tres diferencias de la siguiente manera:
Como se sabe, la ecuación del plano tangente a nuestra superficie en algunos de su punto (X, Y, Z) se puede escribir en el formulario
o, reemplazando valores proporcionales, podemos reescribir la ecuación del plano tangente como:
Se sabe que los coeficientes en esta ecuación son proporcionales a las guías de coseno normal a la superficie.
La posición del punto variable m en la superficie se caracteriza por valores de parámetros y V, y estos parámetros generalmente se denominan coordenadas de los puntos de superficie o los parámetros de coordenada.
Dar los parámetros y los valores constantes de V, obtenemos dos familias de líneas en la superficie, que llamamos las líneas de la superficie de coordenadas: las líneas de coordenadas a lo largo de las cuales solo los cambios V, y las líneas de coordenadas a lo largo de las cuales solo cambian y. Estas dos familias de las líneas de coordenadas dan una cuadrícula de coordenadas en la superficie.
Como ejemplo, considere la esfera con el centro al comienzo de las coordenadas y el radio R. Las ecuaciones paramétricas de dicha esfera se pueden escribir en el formulario
Coordinación, las líneas están en este caso, obviamente paralelas y meridianos de nuestra esfera.
Beber de los ejes de coordenadas, podemos caracterizar la superficie por el vector de radio variable que se ejecuta desde un punto constante del punto de nuestra superficie. Los derivados privados de este radio-vector se darán parámetros, obviamente, vectores destinados a coordinar líneas. Constituyendo estos vectores en los ejes.
de acuerdo con y de esto, se puede ver que los coeficientes en la ecuación del plano tangente (39), la esencia del componente del producto del vector, este producto vectorial es un vector, perpendicular a tangentes que es e. Un vector dirigido por la superficie normal. El cuadrado de la longitud de este vector es obvio, obviamente, el producto escalar del vector en sí mismo, es decir, simplemente hablando, el cuadrado de este vector 1). En el futuro, jugará un papel importante de un solo vector de normal a la superficie que obviamente podemos escribir en el formulario.
Al cambiar el orden de los factores en un producto vectorial escrito, obtenemos el vector (40) la dirección opuesta. Continuaremos solucionando el procedimiento para multiplicadores en el futuro, es decir, definitivamente fijaremos la dirección de lo normal a la superficie.
Tome algún punto m y pase cualquier curva (L), tumbada en la superficie a través de este punto. Esta curva, en general, no es una línea de coordenadas, y a lo largo de él se cambiará, así como v. La dirección de tangente a esta curva se determinará por el vector si se supone que a lo largo de (L) en el vecindario del parámetro Point V es una función de un derivado. Se puede ver que la dirección de la tangente a la curva gastada en la superficie en cualquier punto M de esta curva se caracteriza por el valor en este punto. Al determinar el plano tangente y la retirada de su ecuación (39), creíamos que las funciones (38) en el punto en consideración y su entorno son derivados privados continuos y que al menos uno de los coeficientes de la ecuación (39) es diferente de cero en el punto en consideración.
Cada ecuación del primer grado en relación con las coordenadas. x, y, z
AX + BY + CZ + D \u003d 0 (3.1)
especifica el plano, y viceversa: cualquier plano puede estar representado por la ecuación (3.1), que se llama avión de ecuación.
Vector nORTE. (A, b, c), plano ortogonal, llamado vector normal Avión. En la ecuación (3.1), los coeficientes A, B, C son simultáneamente iguales a 0.
Casos especiales de ecuación (3.1):
1. D \u003d 0, AX + BY + CZ \u003d 0 - El plano pasa a través del origen de las coordenadas.
2. C \u003d 0, AX + BY + D \u003d 0 - Plano paralelo al eje OZ.
3. C \u003d D \u003d 0, AX + por \u003d 0 - El plano pasa a través del eje OZ.
4. B \u003d c \u003d 0, AX + D \u003d 0 - Plano paralelo al plano de OYZ.
Las ecuaciones de los planos de coordenadas: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.
Se puede preguntar directamente en el espacio:
1) Como la línea de intersección de dos planos, es decir,. El sistema de ecuaciones:
A 1 X + B 1 Y + C 1 Z + D 1 \u003d 0, A 2 X + B 2 Y + C 2 Z + D 2 \u003d 0; (3.2)
2) Dos de sus propios puntos m 1 (x 1, y 1, z 1) y m 2 (x 2, y 2, z 2), luego directamente, a través de ellos, están dados por las ecuaciones:
3) PUNTO M 1 (x 1, Y 1, Z 1), para pertenecer y vector uNA.(M, N, P), ella es colineal. Luego, la directa está determinada por las ecuaciones:
Las ecuaciones (3.4) se llaman ecuaciones canónicas directas.
Vector uNA. llamada vector directo directo.
Las ecuaciones paramétricas son directas.obtenemos, equiparamos cada uno de los parámetros de relaciones (3.4) T:
x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)
Sistema de resolución (3.2) como un sistema de ecuaciones lineales de relativamente desconocido x. y y, ven a las ecuaciones directamente en proyecciones o para las ecuaciones reducidas son directas. :
x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)
De las ecuaciones (3.6) puede ir a las ecuaciones canónicas al encontrar z. De cada ecuación y igualación de los valores obtenidos:
De las ecuaciones comunes (3.2) se pueden transferir a la forma canónica y de otra manera si encuentra algún punto de esta línea recta y su vector guía nORTE.= [nORTE. 1 , nORTE. 2] donde nORTE. 1 (A 1, B 1, C 1) y nORTE. 2 (A 2, B 2, C 2) - Vectores normales de los planos establecidos. Si uno de los denominadores m, N. o r En las ecuaciones (3.4) resulta ser cero, entonces el numerador de la fracción correspondiente debe ponerse en igual a cero, es decir, sistema
equivalente al sistema; Tal directo es perpendicular al eje OH.
El sistema es equivalente al sistema x \u003d x 1, y \u003d y 1; Axis paralelo directo.
Ejemplo 1.15. Regístrese la ecuación del plano, sabiendo que el punto A (1, -1.3) sirve como base de la perpendicular realizada desde el origen de las coordenadas a este plano.
Decisión.Bajo la condición de la tarea vector. OA (1, -1.3) es un plano de vector normal, entonces su ecuación se puede escribir como
x-y + 3z + d \u003d 0. Sustitor de las coordenadas del punto A (1, -1.3), que pertenecen al plano, encontramos D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D \u003d 0 þ D \u003d -11. Entonces, x-y + 3z-11 \u003d 0.
Ejemplo 1.16.. Haga que la ecuación del plano pase a través del eje OZ y con un plano 2x + y-Z-7 \u003d 0 ángulo 60 O.
Decisión.El avión que pasa a través del eje OZ está configurado por la ecuación AX + por \u003d 0, donde A y en simultáneamente no se aplican a cero. Sea N.
Igual 0, a / bx + y \u003d 0. Según la fórmula de coseno del ángulo entre dos planos.
Solución de la ecuación cuadrada 3m 2 + 8m - 3 \u003d 0, encuentre las raíces
M 1 \u003d 1/3, m 2 \u003d -3, desde donde obtenemos dos aviones 1 / 3x + y \u003d 0 y -3x + y \u003d 0.
Ejemplo 1.17.Hacer ecuaciones canónicas directamente:
5x + y + z \u003d 0, 2x + 3y - 2z + 5 \u003d 0.
Decisión.Las ecuaciones canónicas directan la forma:
dónde m, n, r - Vectores directos Coordenadas directas, x 1, y 1, z 1 - Coordenadas de cualquier punto que pertenece a la línea recta. Dirigir como una línea de intersección de dos planos. Para encontrar un punto que pertenece a la línea, fije una de las coordenadas (la forma más fácil de poner, por ejemplo, x \u003d 0) y el sistema resultante se resuelve como un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Entonces, deja x \u003d 0, luego y + z \u003d 0, 3y - 2z + 5 \u003d 0, desde donde y \u003d -1, z \u003d 1. Las coordenadas del punto M (x 1, y 1, z 1) pertenecen a esta línea, encontramos: M (0, -1,1). Vector directo directo fácil de encontrar, conociendo los vectores normales de los aviones de origen nORTE. 1 (5,1,1) y nORTE. 2 (2,3, -2). Luego
Las ecuaciones canónicas directas tienen la forma: x / (- 5) \u003d (y + 1) / 12 \u003d
\u003d (Z - 1) / 13.
Vector y ecuaciones planas paramétricas. Deje que R 0 y R sean los vectores de los puntos de los puntos M 0 y M, respectivamente. Luego m 0 m \u003d r - r 0, y condición (5.1) de la pertenencia del punto m del plano que pasa a través del punto m 0 perpendicularmente vector no enuela n (Fig. 5.2, a) se puede escribir usando trabajo escalar como una relación
n (r - r 0) \u003d 0, (5.4)
lo que es llamado ecuación del vector del avión.
El plano fijo en el espacio corresponde al conjunto de los vectores paralelo a él, es decir,. espacio V 2. Elige en este espacio base E 1, E 2, es decir, Un par de vectores no -olstery paralelos al avión bajo consideración, y el punto m 0 en el plano. Si el punto M pertenece al plano, esto es equivalente al hecho de que es paralelo al vector M 0 M (Fig. 5.2, B), es decir, Pertenece al espacio especificado v 2. Esto significa que hay descomposición del vector m 0 m en la base. E 1, E 2, es decir, Hay números T 1 y T 2, para los cuales M 0 M \u003d T 1 E 1 + T 2 E 2. Recuperar la parte izquierda de esta ecuación a través de los vectores de radio R 0 y R Points M 0 y M, respectivamente, obtenemos vector la ecuación paramétrica del plano
r \u003d R 0 + T 1 E 1 + T 2 E 2, T 1, T 1 ∈ R. (5.5)
Para pasar de la igualdad de vectores en (5.5) a la igualdad de ellos coordenadas, denota por (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) las coordenadas del punto. M 0, my a través (E 1x; E 1Y; E 1Z), (E 2x; E 2Y; E 2Z) Las coordenadas de los vectores E 1, E 2. Equiparar el mismo nombre coordina R y R 0 + T 1 E 1 + T 2 E 2, obtenemos ecuaciones paramétricas del plano.
Plane pasando por tres puntos. Supongamos que tres puntos m 1, M 2 y M 3 no están acostados en una línea recta. Luego hay un solo plano π, que pertenecen estos puntos. Encontramos la ecuación de este plano, formulando el criterio a los accesorios de un punto arbitrario M de este plano π. Luego escribe este criterio a través de las coordenadas de los puntos. El criterio especificado es una descripción del plano π, ya que muchos de esos puntos m para los vectores m 1 m 2, m 1 m 3 y m 1 m. complicaciones. El criterio del compañero de tres vectores es la igualdad cero. trabajo mixto (Ver 3.2). El producto mixto se calcula utilizando determinante de tercer ordenCuyas filas son las coordenadas de los vectores en base lintimada. Por lo tanto, si (xi; yx i; zx i) - las coordenadas de los puntos mx i, i \u003d 1, 2, 3, a (x; y; z) - las coordenadas del punto m, luego m 1 m \u003d (x - x 1; yy 1; zz 1), m 1 m 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 \u200b\u200b-y 1; z 2 -z 1), m 1 m 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) y la condición de la igualdad cero del producto mixto de estos vectores es
Calculando el determinante, obtenemos lineal relativo a x, y, z la ecuaciones decir la ecuación general para el plano deseado.. Por ejemplo, si descomponer el determinante para la primera línea, Yo obtengo
Esta igualdad después de calcular los determinantes y las revelaciones de los corchetes se convierte en la ecuación general del plano.
Tenga en cuenta que los coeficientes en las variables en la última ecuación coinciden con las coordenadas trabajo vectorial M 1 m 2 × m 1 m 3. Este producto vectorial, siendo un producto de dos vectores no -ollinars, plano paralelo π, le da un vector distinto de cero, perpendicular π, es decir. su vector normal. Entonces, la apariencia de las coordenadas del producto vectorial, ya que los coeficientes de la ecuación general del plano es bastante natural.
Considere el siguiente caso privado del avión que pasa por tres puntos. Puntos m 1 (a; 0; 0), m 2 (0; b; 0), m 3 (0; 0; C), ABC ≠ 0, no se encuentran en una sola derecha y establezca un plano que corta en el Los ejes de segmentos coordinan la longitud distinta de cero (Fig. 5.3). Aquí, bajo las "longitudes de longitud", la importancia de las coordenadas distintas de los vectores de radio de los puntos M I, I \u003d 1,2,3 se entiende.
Desde m 1 m 2 \u003d (-a; b; 0), m 1 m 3 \u003d (-a; 0; c), m 1 m \u003d (x-a; y; z), entonces la ecuación (5.7) toma
Calculado el determinante, encontraremos BC (X - A) + Acy + ABZ \u003d 0, dividimos la ecuación obtenida en ABC y mueve el miembro libre al lado derecho,
x / a + y / b + z / c \u003d 1.
Esta ecuación se llama ecuación de avión en segmentos.
Ejemplo 5.2. Encuentre una ecuación general del plano que pase a través de un punto con las coordenadas (1; 1; 2) y se interrumpa de los ejes de los segmentos de la misma longitud de los ejes.
La ecuación del plano en segmentos siempre que se interrumpa de los ejes de los segmentos de coordenadas de la misma longitud, di una ≠ 0, tiene la apariencia de X / A + Y / B + Z / C \u003d 1. Esta ecuación debe satisfacer las coordenadas (1; 1; 2) punto conocido en el plano, es decir, La igualdad es 4 / a \u003d 1. Por lo tanto, A \u003d 4 y la ecuación deseada es X + Y + Z - 4 \u003d 0.
Ecuación del plano normal. Considere un plano π en el espacio. Arreglar para ella unidad normal vector n, dirigido de los comienzos de las coordenadas. "En la dirección del plano", y denotamos la distancia desde el principio o del sistema de coordenadas al plano π (Fig. 5.4). Si el plano pasa a través del comienzo del sistema de coordenadas, entonces p \u003d 0, y como una dirección para el vector normal N, puede elegir cualquiera de los dos posibles.
Si el punto M pertenece al plano π, entonces esto es equivalente al hecho de que proyección ortogonal del vector. Om. en dirección Vector n igual a P, es decir. La condición nom \u003d pr n om \u003d p, ya que vector de longitud n es igual a uno.
Denota las coordenadas del punto m a través de (x; y; z) y se deja n \u003d (cosα; cosβ; cosγ) (recordemos que para un solo vector n it guías cosíneoscOSα, COSβ, COSγ son sus coordenadas al mismo tiempo). Recordando un producto escalar en la igualdad nom \u003d P en el formulario de coordenadas, obtenemos ecuación normal del plano
xcosα + ycosbeta; + Zcosγ - P \u003d 0.
De manera similar, el caso de directo en el plano, la ecuación general del plano en el espacio se puede convertir en su ecuación normal al multiplicador de racionamiento.
Para la ecuación del avión AX + BY + CZ + D \u003d 0, el factor de normalización es el número ± √ (A 2 + B 2 + C 2), cuyo signo está seleccionado por el signo opuesto D. por valor absoluto , el multiplicador de normalización es la longitud del plano vectorial (A; A; B; C), y el signo corresponde a la dirección deseada del vector plano normal de la unidad. Si el plano pasa a través del origen del sistema de coordenadas, es decir. D \u003d 0, entonces el signo del multiplicador de normalización puede ser seleccionado por cualquiera.
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