Ecuación de una línea recta a través de 2 puntos en línea. Ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados.

Dados dos puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2)... Escribimos la ecuación de la línea recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:

Desde el punto M 2 pertenece a una línea recta dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5) :. Expresando a partir de esto y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación requerida:

Si esta ecuación se puede reescribir en una forma más conveniente para la memorización:

(6)

Ejemplo. Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos M 1 (1.2) y M 2 (-2.3)

Solución. ... Utilizando la propiedad de la proporción, y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de la recta:

Ángulo entre dos rectas

Considere dos líneas l 1 y l 2:

l 1: , , y

l 2: , ,

φ es el ángulo entre ellos (). La figura 4 muestra :.

De aquí , o

Usando la fórmula (7), se puede determinar uno de los ángulos entre las líneas rectas. El segundo ángulo es.

Ejemplo... Dos líneas rectas están dadas por las ecuaciones y = 2x + 3 e y = -3x + 2. encuentra el ángulo entre estas líneas.

Solución... De las ecuaciones se puede ver que k 1 = 2 y k 2 = -3. sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos

... Por lo tanto, el ángulo entre estas líneas es igual.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas

Si es recto l 1 y l 2 son paralelos, entonces φ=0 y tgφ = 0... De la fórmula (7) se sigue que, de donde k 2 = k 1... Por tanto, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus pendientes.

Si es recto l 1 y l 2 son perpendiculares, entonces φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... Por lo tanto, la condición de perpendicularidad de dos líneas rectas es que sus pendientes sean recíprocas en magnitud y opuestas en signo.

Distancia de punto a línea

Teorema. Si se da un punto M (x 0, y 0), entonces la distancia a la línea recta Ax + Vy + C = 0 se determina como

Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular que cae desde el punto M a una línea recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:

Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de la línea recta que pasa por el este punto M 0 perpendicular a una línea recta dada.

Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

Se demuestra el teorema.

Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas rectas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Ejemplo. Demuestre que las líneas rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.

Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, por lo tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.

Encontramos la ecuación del lado AB :; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

La ecuación de altura requerida es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

k =. Entonces y =. Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b = 17. Total :.

Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.

La distancia de un punto a una línea recta está determinada por la longitud de la perpendicular que cae desde un punto a una línea recta.

Si la línea es paralela al plano de proyección (h | | P 1), luego para determinar la distancia desde el punto A a derecho h es necesario bajar la perpendicular desde el punto A en la horizontal h.

Considere más ejemplo complejo cuando la línea recta está en posición general. Sea necesario determinar la distancia desde el punto METRO a derecho a posición general.

La tarea de determinar distancia entre líneas paralelas resuelto de manera similar al anterior. Se toma un punto en una línea recta, se baja una perpendicular a otra línea recta. La longitud de la perpendicular es igual a la distancia entre las líneas paralelas.

Curva de segundo orden se denomina línea determinada por una ecuación de segundo grado relativa a las coordenadas cartesianas actuales. En general, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Circulo

Centro del círculo- este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistante del punto del plano C (a, b).

El círculo viene dado por la siguiente ecuación:

Donde x, y son las coordenadas de un punto arbitrario del círculo, R es el radio del círculo.

Ecuación de circunferencia

1. No hay término con x, y

2. Coeficientes iguales en x 2 e y 2

Elipse

Elipse se llama el lugar geométrico de los puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (valor constante).

Ecuación de elipse canónica:

X e y pertenecen a una elipse.

a - semi-eje mayor de la elipse

b - eje semi-menor de la elipse

La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OY. Los ejes de simetría de la elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje sobre el que se ubican los focos se denomina eje focal... El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.

Relación de compresión (estiramiento): ε = s / a- excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto más pequeña es, menos se estirará la elipse a lo largo del eje focal.

Si los centros de la elipse no están en el centro de C (α, β)

Hipérbola

Hipérbole se llama lugar geométrico de puntos en el plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante distinto de cero.

Ecuación de hipérbola canónica

La hipérbola tiene 2 ejes de simetría:

a es el verdadero semieje de simetría

b - semieje imaginario de simetría

Asíntotas de hipérbola:

Parábola

Parábola se llama el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistante de un punto F dado, llamado foco y una línea recta dada, llamada directriz.

Ecuación de parábola canónica:

Y 2 = 2px, donde p es la distancia desde el foco a la directriz (parámetro de parábola)

Si el vértice de la parábola C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 = 2p (x-α)

Si el eje focal se toma como eje de ordenadas, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 = 2qу

Deje que la línea pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de la línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

dónde k - coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 -x 1).

A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje de ordenadas. Su ecuación tiene la forma x = x 1 .

Si y 2 = y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y = y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje de abscisas.

Ecuación de una línea recta en segmentos

Deje que la línea recta interseque el eje Ox en el punto M 1 (a; 0) y el eje Oy - en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
... Esta ecuación se llama la ecuación de una línea recta en segmentos, ya que los números ayb indican qué segmentos están cortados por una línea recta en los ejes de coordenadas.

Ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado Mo (x O; y o) perpendicular a un vector distinto de cero dado n = (A; B).

Tome un punto arbitrario M (x; y) en una línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (vea la figura 1). Dado que los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es cero: es decir,

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

El vector n = (A; B), perpendicular a la línea recta, se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Hacha + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C = -Aх о - Ву о - término libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de la línea recta(ver figura 2).

Figura 1 Figura 2

Ecuaciones canónicas de la línea recta

,

Dónde
- coordenadas del punto por el que pasa la línea recta, y
es el vector de dirección.

Círculo de curvas de segundo orden

Un círculo es el conjunto de todos los puntos del plano equidistantes de un punto dado, que se llama centro.

La ecuación canónica de un círculo de radio. R centrado en el punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias desde cada uno de los cuales a dos puntos dados. y , que se llaman focos, tienen una constante
mayor que la distancia entre los focos
.

La ecuación canónica de una elipse, cuyos focos se encuentran en el eje Ox, y el origen de las coordenadas en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a la longitud del semieje mayor; B - la longitud del semieje menor (Fig. 2).

Relación entre los parámetros de la elipse
y expresado por la relación:

(4)

Elipse de excentricidadllamado la relación de la distancia interfocal2cal eje mayor2a:

Directoras Las elipses se denominan líneas rectas paralelas al eje Oy, que se encuentran a una distancia de este eje. Ecuaciones directrices:
.

Si en la ecuación de elipse
, entonces los focos de la elipse están en el eje Oy.

Entonces,

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Puede dibujar infinitas líneas rectas a través de cualquier punto.

Se puede trazar una sola línea recta a través de dos puntos cualesquiera que no coincidan.

Dos líneas rectas no coincidentes en el plano se cruzan en un solo punto o son

paralelo (sigue al anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones. disposición mutua dos lineas rectas:

• las líneas rectas se cruzan;

• las líneas rectas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea- curva algebraica de primer orden: en un sistema de coordenadas cartesiano, una línea recta

viene dado en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general derecho.

Definición... Cualquier línea recta en un plano puede estar dada por una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

con constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama común

ecuación de una línea recta. Dependiendo de los valores de las constantes A, B y CON son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje UNED

. B = C = 0, A ≠ 0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B ≠ 0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de línea recta se puede representar en diversas formas dependiendo de cualquier dado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a lo largo de un punto y un vector normal.

Definición... En un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo... Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por un punto. A (1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución... En A = 3 y B = -1, componimos la ecuación de la línea recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

sustituir las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Dejemos que se den dos puntos en el espacio M 1 (x 1, y 1, z 1) y M2 (x 2, y 2, z 2), luego ecuación de una línea recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe equipararse a cero. Sobre

plano, la ecuación de la línea recta escrita arriba se simplifica:

si x 1 ≠ x 2 y x = x 1, si x 1 = x 2 .

Fracción = k llamado Pendiente derecho.

Ejemplo... Encuentre la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B (3, 4).

Solución... Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

Ecuación de una recta por punto y pendiente.

Si la ecuación general de la línea recta Hacha + Wu + C = 0 traer al formulario:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una línea recta con pendiente k.

Ecuación de una línea recta a lo largo de un punto y un vector de dirección.

Por analogía con el párrafo que considera la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición... Cada vector distinto de cero (α 1, α 2) cuyos componentes satisfacen la condición

Аα 1 + Вα 2 = 0 llamado vector directriz de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo... Encuentre la ecuación de una línea recta con un vector de dirección (1, -1) y que pasa por el punto A (1, 2).

Solución... La ecuación de la recta requerida se buscará en la forma: Ax + Por + C = 0. Según la definición,

los coeficientes deben cumplir las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la línea recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x = 1, y = 2 obtenemos C / A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, entonces, dividiendo por -C, obtenemos:

o donde

Significado geométrico coeficientes en que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, a B- la coordenada del punto de intersección de la línea recta con el eje UNED.

Ejemplo... Se da la ecuación general de la línea recta x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta línea recta en segmentos.

С = 1, a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una línea recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuación normal de la recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0.

R- la longitud de la perpendicular que desciende desde el origen hasta la línea recta,

a φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo... Se da la ecuación general de la línea recta 12x - 5 años - 65 = 0... Se requiere escribir diferentes tipos de ecuaciones.

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos:

Ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)

Ecuación de una línea recta:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en el plano.

Definición... Si se dan dos líneas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, luego un ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2... Dos rectas son perpendiculares,

si k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 son paralelos cuando los coeficientes son proporcionales

А 1 = λА, В 1 = λВ... Si tambien С 1 = λС, entonces las líneas rectas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos líneas

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado perpendicular a una línea recta dada.

Definición... Línea a través del punto M 1 (x 1, y 1) y perpendicular a la recta y = kx + b

está representado por la ecuación:

Distancia de un punto a otro.

Teorema... Si se da un punto M (x 0, y 0), la distancia a la línea recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba... Deja el punto M 1 (x 1, y 1)- la base de la perpendicular cae desde el punto METRO para una dada

línea recta. Entonces la distancia entre los puntos METRO y M 1:

(1)

Coordenadas x 1 y a la 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicular a

una línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

Se demuestra el teorema.

Este artículo revela la derivación de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular ubicado en un plano. Derivemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangular. Mostraremos y resolveremos claramente varios ejemplos relacionados con el material tratado.

Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Existe un axioma que dice que a través de dos puntos no coincidentes en el plano es posible trazar una línea recta y solo una. En otras palabras, dos puntos dados del plano están definidos por una línea recta que pasa por estos puntos.

Si el plano está especificado por un sistema de coordenadas rectangular Oxy, entonces cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de una línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector de dirección de la recta, este dato es suficiente para hacer la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.

Consideremos un ejemplo de resolución de un problema similar. Es necesario trazar una ecuación de la recta a que pasa por dos puntos no coincidentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2), que se encuentran en el sistema de coordenadas cartesianas.

En la ecuación canónica de una línea recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 ax = y - y 1 ay, se especifica un sistema de coordenadas rectangular O xy con una línea recta, que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (ax, ay).

Es necesario componer la ecuación canónica de la recta a, que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2).

La recta a tiene un vector de dirección M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que interseca los puntos M 1 y M 2. Obtuvimos los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector dirección M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 (x 1, y 1) acostado sobre ellos y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Considere la siguiente figura.

Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una recta sobre un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Obtenemos una ecuación de la forma x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Echemos un vistazo más de cerca a la solución de varios ejemplos.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por 2 puntos dados con coordenadas M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Solución

La ecuación canónica para una línea recta que se interseca en dos puntos con coordenadas x 1, y 1 y x 2, y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Por la condición del problema, tenemos que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es necesario sustituir valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De aquí obtenemos que la ecuación canónica toma la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Si necesita resolver un problema con un tipo diferente de ecuación, entonces, para empezar, puede ir a la canónica, ya que es más fácil pasar de ella a cualquier otra.

Ejemplo 2

Dibuja la ecuación general de la recta que pasa por los puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.

Solución

Primero, debe escribir la ecuación canónica de una línea recta dada que pasa por dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1.

Llevemos la ecuación canónica a la forma requerida, entonces obtenemos:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Respuesta: x - 3 y + 2 = 0.

Se consideraron ejemplos de tales tareas en los libros de texto escolares en las lecciones de álgebra. Tareas escolares difería en que la conocida ecuación de una línea recta con pendiente, que tiene la forma y = k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b para el cual la ecuación y = kx + b define una línea en el sistema O xy que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 ( x 2, y 2), donde x 1 ≠ x 2. Cuando x 1 = x 2 , entonces la pendiente toma el valor de infinito, y la línea recta М 1 М 2 está determinada por una ecuación general incompleta de la forma x - x 1 = 0 .

Porque los puntos M 1 y M 2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + by y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b para k y b.

Para hacer esto, encuentre k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Con tales valores de k y b, la ecuación de la línea recta que pasa por los dos puntos dados toma la siguiente forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Recordar una cantidad tan grande de fórmulas a la vez no funcionará. Para hacer esto, necesita aumentar el número de repeticiones en las soluciones de problemas.

Ejemplo 3

Escribe la ecuación de la línea recta con la pendiente que pasa por los puntos con coordenadas M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Solución

Para resolver el problema, usamos la fórmula con pendiente, que tiene la forma y = k x + b. Los coeficientes k y b deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una recta que pasa por dos puntos de coordenadas M 1 (- 7, - 5) y M 2 (2, 1).

Puntos M 1 y M 2 están ubicados en una línea recta, entonces sus coordenadas deben revertir la ecuación y = k x + b igualdad verdadera. De esto obtenemos que - 5 = k (- 7) + b y 1 = k 2 + b. Combinar la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolver.

Tras la sustitución, obtenemos que

5 = k - 7 + segundo 1 = k 2 + segundo ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k + segundo = 1 ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ segundo = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ahora, los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b. Obtenemos que la ecuación requerida que pasa por los puntos dados será una ecuación de la forma y = 2 3 x - 1 3.

Esta solución predetermina el gasto un número grande tiempo. Existe una forma en que la tarea se resuelve literalmente en dos pasos.

Escribimos la ecuación canónica de la recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5), que tiene la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6.

Pasemos ahora a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Respuesta: y = 2 3 x - 1 3.

Si en el espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangular O xyz con dos puntos no coincidentes dados con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), el recta M 1 M 2, es necesario obtener la ecuación de esta recta.

Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ son capaces de establecer una línea en el sistema de coordenadas O x y z que pasa por los puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con el vector de dirección a → = (ax, ay, az).

Recto M 1 M 2 tiene un vector de dirección de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), donde la línea pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), por lo tanto, la ecuación canónica puede ser de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, a su vez paramétrico x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) Λ z = z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considere una figura que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.

Ejemplo 4

Escribe la ecuación de una línea recta definida en un sistema de coordenadas rectangular O xyz de espacio tridimensional, pasando por dos puntos dados con coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5) .

Solución

Es necesario encontrar la ecuación canónica. Dado que estamos hablando de espacio tridimensional, significa que cuando una línea recta pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ...

Por hipótesis, tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ahí se sigue que ecuaciones necesarias se escribirá de esta manera:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Dados dos puntos METRO(NS 1 ,Tengo 1) y norte(NS 2,y 2). Encontremos la ecuación de la línea recta que pasa por estos puntos.

Dado que esta línea pasa por el punto METRO, entonces de acuerdo con la fórmula (1.13) su ecuación tiene la forma

Tengo – Y 1 = K(X - x 1),

Dónde K- Pendiente desconocida.

El valor de este coeficiente se determina a partir de la condición de que la línea recta deseada pase por el punto norte, y por tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuación (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Desde aquí puede encontrar la pendiente de esta línea recta:

,

O después de la conversión

(1.14)

La fórmula (1.14) determina Ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos. METRO(X 1, Y 1) y norte(X 2, Y 2).

En el caso especial, cuando los puntos METRO(A, 0), norte(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, se encuentra en los ejes de coordenadas, la ecuación (1.14) adquiere una forma más simple

Ecuación (1.15) llamado Por la ecuación de una línea recta en segmentos, aquí A y B denotar los segmentos cortados por una línea recta en los ejes (Figura 1.6).

Figura 1.6

Ejemplo 1.10. Igualar una línea recta a través de puntos METRO(1, 2) y B(3, –1).

. Según (1.14), la ecuación de la línea buscada tiene la forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferir todos los miembros a lado izquierdo, finalmente obtenemos la ecuación requerida

3X + 2Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.11. Igualar una línea recta a través de un punto METRO(2, 1) y el punto de intersección de las líneas X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Encontramos las coordenadas del punto de intersección de las líneas rectas resolviendo juntas las ecuaciones dadas

Si sumamos estas ecuaciones término por término, obtenemos 2 X+ 1 = 0, de donde. Sustituyendo el valor encontrado en cualquier ecuación, encontramos el valor de la ordenada Tengo:

Ahora escribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y:

o .

Por lo tanto, o –5 ( Y – 1) = X – 2.

Finalmente, obtenemos la ecuación de la recta deseada en la forma NS + 5Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.12. Encuentra la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos. METRO(2,1) y norte(2,3).

Usando la fórmula (1.14), obtenemos la ecuación

No tiene sentido ya que el segundo denominador es cero. Puede verse en el enunciado del problema que las abscisas de ambos puntos tienen el mismo valor. Por tanto, la línea buscada es paralela al eje OY y su ecuación es: X = 2.

Comentario . Si, al escribir la ecuación de una línea recta según la fórmula (1.14), uno de los denominadores resulta ser igual a cero, entonces la ecuación deseada se puede obtener igualando el numerador correspondiente a cero.

Considere otras formas de definir una línea recta en un plano.

1. Sea un vector distinto de cero perpendicular a la línea dada L y punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea recta (Figura 1.7).

Figura 1.7

Nosotros denotamos METRO(X, Y) un punto arbitrario en la línea L... Vectores y Ortogonal. Usando las condiciones de ortogonalidad para estos vectores, obtenemos o bien A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Tenemos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto. METRO 0 perpendicular al vector. Este vector se llama El vector normal a derecho L... La ecuación resultante se puede reescribir como

Oh + Cortejar + CON= 0, donde CON = –(AX 0 + Por 0), (1.16),

Dónde A y V- coordenadas del vector normal.

Obtengamos la ecuación general de la línea recta en forma paramétrica.

2. Una línea recta en un plano se puede especificar de la siguiente manera: sea un vector distinto de cero paralelo a una línea recta dada L y punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea recta. Tomemos un punto arbitrario de nuevo. METRO(NS, y) en línea recta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectores y colineal.

Anotemos la condición de colinealidad para estos vectores :, donde T- un número arbitrario llamado parámetro. Escribamos esta igualdad en coordenadas:

Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones paramétricas Derecho... Excluimos de estas ecuaciones el parámetro T:

De lo contrario, estas ecuaciones se pueden escribir en la forma

. (1.18)

La ecuación resultante se llama La ecuación canónica de la línea recta... El vector se llama El vector de dirección de la línea recta .

Comentario . Es fácil ver que si es el vector normal a la línea L, entonces su vector de dirección puede ser un vector, ya que, es decir,

Ejemplo 1.13. Escribe la ecuación de la línea recta que pasa por el punto. METRO 0 (1, 1) paralelo a la recta 3 NS + 2Tengo– 8 = 0.

Solución . El vector es el vector normal a las líneas rectas dadas y deseadas. Usaremos la ecuación de la recta que pasa por el punto METRO 0 con un vector normal dado 3 ( NS –1) + 2(Tengo- 1) = 0 o 3 NS + 2 años- 5 = 0. Recibida la ecuación de la recta deseada.