Lo que se llama transformación de identidad de la expresión. Conversión de expresiones
La acción aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de la expresión es la "principal".
Es decir, si sustituye cualquier (cualquier) número en lugar de letras e intenta calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada).
Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede cancelar).
Para arreglar la solución usted mismo, tome algunos ejemplos:
Ejemplos:
Soluciones:
1. Espero que no se haya apresurado a cortar y? Todavía no era suficiente "cortar" unidades como esta:
El primer paso es factorizar:
4. Suma y resta de fracciones. Llevando fracciones a un denominador común.
Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación muy familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos / restamos los numeradores.
Recordemos:
Respuestas:
1. Los denominadores y son primos entre sí, es decir, no tienen factores comunes. Por lo tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:
2. Aquí el denominador común es:
3. Aquí, en primer lugar, convertimos las fracciones mixtas en incorrectas y luego, de acuerdo con el esquema habitual:
Es muy diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:
Comencemos simple:
a) Los denominadores no contienen letras
Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encuentra el denominador común, multiplica cada fracción por el factor que falta y suma / resta los numeradores:
ahora en el numerador puede traer otros similares, si los hay, y descomponerlos en factores:
Inténtalo tú mismo:
Respuestas:
b) Los denominadores contienen letras
Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:
· En primer lugar, determinamos los factores comunes;
· Luego escriba todos los factores comunes una vez;
· Y multiplicarlos por todos los demás factores que no sean comunes.
Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los descomponemos en factores primos:
Destaquemos los factores comunes:
Ahora escribamos los factores comunes una vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):
Este es el denominador común.
Volvamos a las letras. Los denominadores se muestran exactamente de la misma manera:
· Descomponemos los denominadores en factores;
· Determinamos factores comunes (idénticos);
· Escriba todos los factores comunes una vez;
· Los multiplicamos por todos los demás factores, no comunes.
Entonces, en orden:
1) descomponemos los denominadores en factores:
2) determinamos los factores comunes (idénticos):
3) escribimos todos los factores comunes una vez y los multiplicamos por todos los demás factores (sin estrés):
Entonces, el denominador común está aquí. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda por:
Por cierto, hay un truco:
Por ejemplo: .
Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con diferentes indicadores. El denominador común será:
en la medida
en la medida
en la medida
en grado.
Compliquemos la tarea:
¿Cómo se hace que las fracciones tengan el mismo denominador?
Recordemos la propiedad básica de una fracción:
En ninguna parte se dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número del numerador y denominador de una fracción. ¡Porque esto no es cierto!
Compruébelo usted mismo: tome cualquier fracción, por ejemplo, y agregue algún número al numerador y al denominador, por ejemplo. ¿Qué se ha aprendido?
Entonces, otra regla inquebrantable:
Cuando lleves fracciones a un denominador común, ¡usa solo la multiplicación!
Pero, ¿qué hay que multiplicar para recibir?
Aquí adelante y multiplicar. Y multiplicar por:
Las expresiones que no se pueden factorizar se denominarán "factores elementales".
Por ejemplo, es un factor elemental. - también. Pero - no: está factorizado.
¿Qué opinas de la expresión? Es elemental?
No, ya que se puede factorizar:
(ya leíste sobre factorización en el tema "").
Entonces, los factores elementales en los que expande la expresión con letras son análogos a los factores primos en los que expande los números. Y nos ocuparemos de ellos de la misma forma.
Vemos que hay un factor en ambos denominadores. Irá al denominador común en poder (¿recuerdas por qué?).
El factor es elemental, y no es común para ellos, lo que significa que la primera fracción simplemente tendrá que multiplicarse por él:
Otro ejemplo:
Solución:
Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿necesita pensar cómo factorizarlos? Ambos representan:
¡Multa! Entonces:
Otro ejemplo:
Solución:
Como de costumbre, factoriza los denominadores. En el primer denominador, simplemente lo ponemos fuera de los corchetes; en el segundo - la diferencia de cuadrados:
Parecería que no existen factores comunes. Pero si miras de cerca, entonces son tan similares ... Y la verdad:
Entonces escribiremos:
Es decir, resultó así: dentro del paréntesis, intercambiamos los términos y, al mismo tiempo, el signo frente a la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto a menudo.
Ahora traemos a un denominador común:
¿Entendido? Veámoslo ahora.
Tareas para una solución independiente:
Respuestas:
Aquí debemos recordar uno más: la diferencia entre los cubos:
Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no es la fórmula del "cuadrado de la suma". El cuadrado de la suma se vería así:
A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término en él es el producto del primero y el último, y no su producto duplicado. El cuadrado incompleto de la suma es uno de los factores en la descomposición de la diferencia de cubos:
¿Y si ya hay tres fracciones?
¡La misma cosa! En primer lugar, lo haremos para que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:
Presta atención: si cambias los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al contrario. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción se invierte nuevamente. Como resultado, (el signo delante de la fracción) no ha cambiado.
En el denominador común, escriba el primer denominador en su totalidad y luego agregue todos los factores que aún no se han escrito, desde el segundo y luego desde el tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:
Mmm ... Con las fracciones, está claro qué hacer. Pero, ¿qué pasa con el diablo?
Es simple: puedes sumar fracciones, ¿verdad? ¡Esto significa que tenemos que convertir el deuce en una fracción! Recuerda: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, en caso de que de repente lo olvides). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, pero se convertirá en una fracción:
¡Exactamente lo que se necesita!
5. Multiplicación y división de fracciones.
Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más simple, pero al mismo tiempo el más importante:
Procedimiento
¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerde contando el significado de tal expresión:
Lo contabas?
Deberia de funcionar.
Entonces, déjame recordarte.
El primer paso es calcular el grado.
El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, puede hacerlas en cualquier orden.
Y finalmente, hacemos sumas y restas. Nuevamente, en cualquier orden.
Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de orden!
Si varios corchetes se multiplican o dividen entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes, y luego los multiplicamos o dividimos.
¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos en ello: alguna expresión está escrita entre corchetes. Y al evaluar una expresión, ¿qué es lo primero que se debe hacer? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los corchetes internos, luego todo lo demás.
Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (la acción actual está resaltada en rojo, es decir, la acción que estoy realizando en este momento):
De acuerdo, es todo simple.
¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?
¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas, necesita hacer operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en la sección anterior: trayendo similar, suma de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia es el efecto de factorizar polinomios (a menudo lo usamos cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, debe usar io simplemente poner el factor común fuera del paréntesis.
Normalmente nuestro objetivo es presentar una expresión en forma de obra o de un particular.
Por ejemplo:
Simplifiquemos la expresión.
1) La primera es simplificar la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos la diferencia de fracciones, y nuestro objetivo es presentarla como producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y agregamos:
Ya es imposible simplificar esta expresión, todos los factores aquí son elementales (¿todavía recuerdas lo que esto significa?).
2) Obtenemos:
Multiplicación de fracciones: qué podría ser más fácil.
3) Ahora puedes acortar:
Está bien, todo ha terminado. Ahora. Nada complicado, ¿verdad?
Otro ejemplo:
Simplifica la expresión.
Primero intente resolverlo usted mismo, y solo entonces vea la solución.
Solución:
En primer lugar, definamos el orden de las acciones.
Primero, sumamos las fracciones entre paréntesis, obtenemos una en lugar de dos fracciones.
Luego dividiremos las fracciones. Bueno, suma el resultado con la última fracción.
Numeraré esquemáticamente los pasos:
Ahora mostraré todo el proceso, coloreando la acción actual en rojo:
1. Si existen similares, se deben traer de inmediato. En cualquier momento que tengamos similares, es recomendable traerlos de inmediato.
2. Lo mismo se aplica a la reducción de fracciones: tan pronto como haya una oportunidad de reducir, debe utilizarse. La excepción son las fracciones que sumas o restas: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.
Aquí hay algunas tareas para que las resuelva por su cuenta:
Y prometió desde el principio:
Respuestas:
Soluciones (concisas):
Si ha hecho frente al menos a los tres primeros ejemplos, entonces ha dominado el tema.
¡Ahora adelante a aprender!
TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS
Operaciones básicas de simplificación:
- Trayendo similar: para agregar (traer) tales términos, debe agregar sus coeficientes y asignar la parte de la letra.
- Factorización: factorizar el factor común, la aplicación, etc.
- Reducción de fracciones: el numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
1) numerador y denominador factor
2) si hay factores comunes en el numerador y denominador, se pueden tachar.IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!
- Suma y resta de fracciones:
; - Multiplicación y división de fracciones:
;
Transformaciones idénticas
1. El concepto de identidad. Los principales tipos de transformaciones idénticas y las etapas de su estudio.
El aprendizaje de diversas transformaciones de expresiones y fórmulas ocupa una pequeña parte del tiempo de estudio en el curso de matemáticas de la escuela. La educación ^ "" más simple, basada en las propiedades de las operaciones aritméticas, ya está en la escuela primaria. Pero la carga principal en la formación de habilidades y habilidades para realizar transformaciones la soporta el curso de álgebra escolar 1> luego se conecta:
con un fuerte aumento en el número de transformaciones que se realizan, su variabilidad;
con la complicación de las actividades para justificarlas y aclarar las condiciones de aplicabilidad;
i) con el aislamiento y estudio de los conceptos generalizados de identidad, transformación idéntica, transformación equivalente, consecuencia lógica.
La línea de transformaciones idénticas se desarrolla de la siguiente manera en el curso de álgebra en la escuela básica:
, 4 clases b - abrir corchetes, traer términos similares, sacar- M (factor Chsho fuera de los corchetes;
7 Clase - transformaciones idénticas de expresiones enteras y fraccionarias;
Clase H - transformaciones idénticas de expresiones que contienen raíces cuadradas;
( > clase - transformaciones idénticas de expresiones trigonométricas y mmrizhsny, que contienen un grado con un exponente racional.
La línea de transformaciones idénticas es una de las líneas ideológicas importantes del curso de álgebra. Por lo tanto, la enseñanza de matemáticas en los grados 5-6 se construye de manera que los estudiantes que ya están en estos grados adquieran las habilidades de las transformaciones idénticas más simples (sin usar el término "transformaciones idénticas"). Estas habilidades se forman al realizar un ejercicio de traer términos similares, abrir corchetes y corchetes, sacar un factor de corchetes, etc. También se consideran las conversiones más simples de expresiones numéricas y literales. En este nivel de aprendizaje se dominan las transformaciones, que se realizan directamente sobre la base de las leyes y propiedades de las operaciones aritméticas.
Los principales tipos de tareas en los grados 5-6, en cuya solución se utilizan activamente las propiedades y leyes de las operaciones aritméticas y a través de las cuales se forman las habilidades de transformaciones idénticas, incluyen:
justificación de algoritmos para realizar acciones sobre los números de los conjuntos numéricos estudiados;
calcular los valores de una expresión numérica de la forma más racional;
comparación de valores de expresiones numéricas sin realizar las acciones especificadas;
simplificación de expresiones literales;
prueba de igualdad de los valores de expresiones de dos letras, etc.
Presente el número 153 como la suma de los términos de dígitos; como diferencia de dos números, como producto de dos números.
Imagina el número 27 como el producto de tres factores iguales.
Estos ejercicios sobre la representación de un mismo número en diferentes formas de notación contribuyen a la asimilación del concepto de transformaciones idénticas. Inicialmente, estas representaciones pueden ser arbitrarias, más tarde, con un propósito. Por ejemplo, la representación en forma de suma de términos de dígitos se utiliza para explicar las reglas para sumar números naturales "en columna", la representación en forma de suma o diferencia de números "convenientes" - para realizar cálculos rápidos de varios productos, representación en forma de producto de factores, para simplificar varias expresiones fraccionarias.
Encuentra el significado de la expresión 928 36 + 72 36.
La forma racional de calcular el valor de esta expresión se basa en el uso de la ley de distribución de la multiplicación relativa a la suma: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
En el curso escolar de matemáticas, se pueden distinguir las siguientes etapas de dominio de las aplicaciones de transformaciones de expresiones y fórmulas alfanuméricas.
escenario. Los inicios del álgebra. En esta etapa, se utiliza un sistema indiviso de transformaciones; está representado por las reglas para realizar acciones en una o ambas partes de la fórmula.
Ejemplo. Resuelve ecuaciones:
a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; v) 6 (2 - 4 años) + 5 años = 3 (1 - Zu).
La idea general detrás de la solución es simplificar estas fórmulas con algunas reglas. En la primera tarea La simplificación se logra aplicando la identidad: 5 veces- Bx= (5 - 3) x. La transformación de identidad basada en esta identidad transforma la ecuación dada en una urshomie equivalente. 2x - 2.
Segunda ecuación requiere para su solución no solo una transformación idéntica, sino verdadera; en esta capacidad, el pra- || n se usa aquí transfiriendo los términos de la ecuación de una parte de la ecuación a otra con un chic cambiado. Para resolver una tarea tan simple como b), se utilizan ambas transformaciones mon in, tanto idénticas como equivalentes. Esta disposición también es válida para tareas más engorrosas, como la tercera.
El lunar de la primera etapa es enseñar cómo resolver rápidamente las ecuaciones más simples, simplificar fórmulas que definen funciones, realizar cálculos racionalmente basados en las propiedades de las acciones.
teta. Formación de habilidades en la aplicación de tipos específicos de transformaciones.II inclinación Los conceptos de identidad y transformación idéntica se introducen explícitamente en el curso shn "sbry 7. ° grado. Así, por ejemplo, en el libro de texto de Yu. N. Makarychev" Álgebra 7 "nnp" shle, se introduce el concepto de expresiones idénticamente iguales: "Dos expresiones, cuyos valores correspondientes son iguales para cualquier variable de valor, espolvorear idénticamente iguales ", luego el concepto de identidad: "La igualdad emparejada para cualquier valor de las variables se llama identidad ".
11 da ejemplos:
En el libro de texto A.G. El "Álgebra 7" de Mordkovich da inmediatamente un concepto refinado de identidad: "Identidad es la igualdad verdadera para cualquier admisible los valores de sus variables constituyentes ”.
Al introducir el concepto de transformaciones idénticas, en primer lugar se debe descartar la conveniencia de estudiar transformaciones idénticas. Para hacer esto, puede considerar varios ejercicios para encontrar el significado de expresiones.
liiiipiiMep, encuentre el valor de la expresión 37.1x + 37, ly con X= 0,98, y = 0,02. Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, la expresión 37.1l + 37.1 en se puede expresar con la expresión 37.1 (x + y), idénticamente igual a él. Una solución de gusano 1 aún más impresionante para el siguiente ejercicio: encuentra el significado de la expresión
() - (a-6) _ n p i. a) d = h> ^ = 2; B) a = 121, B - 38; c) a = 2,52, B = 1 -.
ab 9
11 después de las transformaciones realizadas, resulta que el conjunto de valores de esta reflexión consta de un número 4.
En el libro de texto "Álgebra 7" de Yu. N. Makarychev, la introducción del concepto de una transformación idéntica está motivada por considerar un ejemplo: "Encontrar el significado de la expresión xy - sí en x = 2,3; y = 0,8; z = 0.2, debe realizar 3 acciones: hu - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11 es necesario señalar un tipo de transformaciones específicas del curso de álgebra y los inicios del análisis. Estas son transformaciones de expresiones que contienen transiciones, y transformaciones basadas en las reglas de diferenciación e integración. La principal diferencia entre estas transformaciones "analíticas" y las transformaciones "algebraicas" está en el carácter del conjunto, que atraviesa las variables en las identidades. En las identidades algebraicas, las variables atraviesan áreas numéricas, y en conjuntos analíticos estos conjuntos ■ cuelgan alrededor de ciertos muchas funciones. Por ejemplo, la regla de la suma diferencial: (Z "+ g)" aquí / yg son variables que atraviesan el conjunto
Pero funciones diferenciables con un dominio común de definición. Exteriormente, estas transformaciones son similares a transformaciones de tipo algebraico, por eso a veces dicen "álgebra de límites", "álgebra de diferenciación".
Las identidades estudiadas en el curso escolar de álgebra y el material algebraico del curso de álgebra y los principios de análisis se pueden dividir en dos clases.
El primero consiste en las identidades de multiplicación abreviadas, justo en
av en.
anillo conmutativo iiioGom, y las identidades son = -, a * 0, que es válido en cualquier
Campo Oom.
La segunda clase está formada por identidades que conectan números aritméticos y funciones elementales básicas, así como composiciones de elementales.Hhixfunciones. La mayoría de las identidades de esta clase también tienen una base matemática común, que es que las funciones exponencial, exponencial y logarítmica son isomorfismos de varios grupos numéricos. Por ejemplo, se cumple la siguiente afirmación: hay un mapeo isomórfico continuo único / del grupo aditivo de números reales en el grupo multiplicativo de números reales positivos, en el que la unidad se mapea a un número dado a> 0, una f 1; este mapeo viene dado por una función incremental con una base a:/(X)= una. Hay declaraciones similares para funciones de potencia y logarítmicas.
La metodología para estudiar las identidades en ambas clases tiene muchas características en común. En general, las transformaciones idénticas estudiadas en el curso de matemáticas de la escuela incluyen:
transformaciones de expresiones que contienen radicales y potencias con exponentes fraccionarios;
transformaciones de expresiones que contienen transiciones límite y transformaciones basadas en las reglas de diferenciación e integración.
Este resultado se puede obtener realizando solo dos pasos, si usa la expresión x (y-z), idénticamente igual a la expresión xy-xz: x (y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Simplificamos los cálculos reemplazando la expresión xy-xz expresión idénticamente igual x (y - z).
El reemplazo de una expresión por otra, idénticamente igual a ella, se llama transformación idéntica o simplemente transformando una expresión ".
El dominio de varios tipos de transformaciones en esta etapa comienza con la introducción de fórmulas de multiplicación abreviadas. Luego consideramos las transformaciones asociadas con la operación de elevar a una potencia, con varias clases de funciones elementales: exponencial, exponencial, logarítmica, trigonométrica. Cada uno de estos tipos de transformaciones pasa por una etapa de estudio, en la que la atención se centra en la asimilación de sus rasgos característicos.
A medida que el material se acumula, es posible identificar y, sobre esta base, introducir los conceptos de transformaciones idénticas y equivalentes.
Cabe señalar que el concepto de transformación idéntica se da en el curso de álgebra escolar no en completa generalidad, sino solo en aplicación a expresiones. Las transformaciones se dividen en dos clases: transformaciones idénticas son transformaciones de expresiones, y equivalente - conversión de fórmulas. En el caso de que sea necesario simplificar una parte de la fórmula, se resalta una expresión en esta fórmula, que sirve como argumento para la transformación idéntica aplicada. Por ejemplo, las ecuaciones 5x - Zx - 2 y 2x = 2 se consideran no solo equivalentes, sino iguales.
En los libros de texto de álgebra, Sh.A. Alimova et al., El concepto de identidad no se introduce explícitamente en los grados 7-8 y solo en el grado 9 en el tema "Identidades trigonométricas" al resolver el problema 1: "Demuestre que para afkk, A < eZ , la igualdad 1 + ctg 2 a = - \ - es verdadera, se introduce este concepto. Aquí se explica a los estudiantes que el pecado a
la igualdad indicada "es válida para todos los valores admisibles de a, es decir de modo que sus lados izquierdo y derecho tengan sentido. Tales igualdades se llaman identidades y los problemas de probar tales igualdades se denominan problemas de probar identidades ".
Estadio III. Organización de un sistema integral de transformaciones (síntesis).
El objetivo principal de esta etapa es formar un aparato flexible y poderoso adecuado para su uso en la resolución de una variedad de tareas educativas.
El despliegue de la segunda etapa del estudio de las transformaciones ocurre a lo largo de todo el curso de álgebra escolar básica. La transición a la tercera etapa se realiza con la repetición final del curso en el curso de comprensión del material ya conocido, dominado por partes, para tipos individuales de transformaciones.
En el curso del álgebra y los inicios del análisis, el sistema integral de transformaciones, básicamente ya formado, continúa mejorando gradualmente. También se le agregan algunos tipos nuevos de transformaciones (por ejemplo, relacionadas con funciones trigonométricas y logarítmicas), sin embargo, solo lo enriquecen, amplían sus capacidades, pero no cambian su estructura.
La metodología para estudiar estas nuevas transformaciones prácticamente no difiere de la utilizada en el curso de álgebra.
Es necesario señalar un tipo de transformaciones, específicas del álgebra de kuren y los inicios del análisis. Estas son transformaciones de expresiones que contienen limitar las transiciones, y transformaciones basadas en las reglas de diferenciación e integración. La principal diferencia entre estas transformaciones "analíticas" y transformaciones "algebraicas" está en la naturaleza del conjunto que atraviesan las variables en las identidades. En las identidades algebraicas, las variables atraviesan áreas numéricas, y en analítica, estos conjuntos brillan con cierta muchas funciones. Por ejemplo, la regla para diferenciar el monto: ( F + gramo )" = F + gramo "; aquí aire viciado - variables que se ejecutan a través de múltiples funciones diferenciables con un dominio de definición común. Exteriormente, estas transformaciones son similares a transformaciones de tipo algebraico, por eso a veces dicen "álgebra de límites", "álgebra de diferenciación".
Las identidades estudiadas en el curso escolar de álgebra y el material algebraico del curso de álgebra y los principios de análisis se pueden dividir en dos clases.
El primero consiste en las identidades de multiplicación abreviadas, justo en
cualquier anillo conmutativo, y la identidad - = -, a * 0, válida en cualquier
as con
La segunda clase está formada por identidades que conectan operaciones aritméticas y funciones elementales básicas, así como composiciones de funciones elementales. La mayoría de las identidades de esta clase también tienen una base matemática común, que es que las funciones de potencia, exponencial y logarítmica son isomorfismos de varios grupos numéricos. Por ejemplo, se cumple la siguiente afirmación: hay un mapeo isomorfo continuo único / del grupo aditivo de números reales al grupo multiplicativo de números reales positivos, en el que la unidad se mapea a un número dado a> 0, una f una; este mapeo viene dado por una función exponencial con raíz i: / (x) = a *. Hay declaraciones similares para funciones de potencia y logarítmicas.
La metodología para estudiar las identidades de ambas clases tiene muchas características comunes. En general, las transformaciones idénticas estudiadas en el curso de matemáticas escolar incluyen:
transformaciones de expresiones algebraicas;
convertir expresiones que contienen radicales y potencias con exponentes fraccionarios;
convertir expresiones trigonométricas;
convertir expresiones que contienen grados y logaritmos;
transformaciones de expresiones que contienen transiciones límite y transformaciones basadas en reglas, diferenciación e integración.
2. Características de la organización del sistema de tareas en el estudio de transformaciones idénticas.
El principio básico de organizar cualquier sistema de tareas es presentarlas de simple a complejo teniendo en cuenta la necesidad de que los estudiantes superen las dificultades factibles y creen situaciones problemáticas. Este principio básico requiere concretización en relación con las peculiaridades de este material educativo. A continuación se muestra un ejemplo de un sistema de ejercicios sobre el tema: "El cuadrado de la suma y
diferencia de dos números ".
He terminado este sistema básico de ejercicios. Dicho sistema debería garantizar la asimilación del material básico.
Los siguientes ejercicios (17-19) permiten a los estudiantes enfocarse en los errores comunes y contribuir al desarrollo del interés y sus ayudas creativas.
En cada caso específico, el número de ejercicios en el sistema puede ser menor o mayor, pero la secuencia de su ejecución debe ser la misma.
Para describir varios sistemas de tareas en la metodología de las matemáticas, el concepto de ciclo de ejercicio. El ciclo de ejercicios se caracteriza por el hecho de que varios aspectos del estudio y las técnicas de disposición del material están conectados en una secuencia de ejercicios. Con respecto a transformaciones idénticas, el concepto de ciclo se puede dar de la siguiente manera.
El undécimo ciclo de ejercicios está asociado al estudio de una identidad, en torno a la cual se agrupan otras identidades que están en conexión natural con ella. En la "parada del ciclo junto con ejecutivo incluye tareas que requieren reconociendo< ii en ni la aplicabilidad de la identidad en cuestión. La identidad estudiada se utiliza para realizar cálculos sobre diversas áreas numéricas.
Las tareas de cada ciclo se dividen en dos grupos. A la primera incluye tareas realizadas en el conocimiento inicial de la identidad. Se realizan en varias lecciones, unidas por un tema. Segundo grupo Los ejercicios conectan la identidad estudiada con diversas aplicaciones. Los ejercicios de este grupo suelen estar dispersos en diferentes temas.
La estructura descrita del ciclo se refiere a la etapa de formación de habilidades en la aplicación de tipos específicos de transformaciones. En la etapa final - (síntesis de Tanya, los ciclos se modifican. Primeramente, ambos grupos de shdapiy se combinan, formando Ciclo desenrollado , y del primer grupo se excluyen los más sencillos en cuanto a redacción o complejidad de ejecución del expediente. Los tipos restantes de tareas se vuelven más complicados. En segundo lugar, se produce una fusión de ciclos relacionados con distintas identidades, por lo que aumenta el papel de las acciones en el reconocimiento de la aplicabilidad de una u otra identidad.
11RNNS Vamos a dar un ejemplo concreto de un bucle.
Ejemplo. Ciclo de tareas para identidad x -y 2 = (x-y) (x + y).
La ejecución del primer grupo de tareas de este ciclo ocurre de la siguiente manera:
condiciones. Los estudiantes acaban de familiarizarse con la formulación de la identidad (o mejor dicho, con dos formulaciones: "La diferencia de los cuadrados de dos expresiones es igual al producto de la suma y la diferencia de estas expresiones" y "El producto de la suma y diferencia de dos expresiones es igual a la diferencia de los cuadrados de estas expresiones "), su escritura como fórmula, prueba ... Después de eso, hay algunos ejemplos de cómo usar una transformación basada en esta identidad. Finalmente, los estudiantes comienzan a hacer los ejercicios por su cuenta.
El primer grupo de tareas
Segundo grupo de tareas
(Las tareas de cada grupo se pueden presentar a los estudiantes usando un proyector multimedia)
Hagamos un análisis metodológico de este sistema de tipos de tareas.
La tarea a0 tiene como objetivo fijar la estructura de la identidad en estudio. Esto se logra reemplazando las letras (x y y) en la notación de identidad en otras letras. Las tareas de este tipo le permiten aclarar la relación entre la expresión verbal y la forma simbólica de la identidad.
La tarea a 2) se centra en establecer una conexión entre esta identidad y el sistema numérico. La expresión a convertir aquí no es puramente literal, sino alfanumérica. Para describir las acciones realizadas, es necesario utilizar el concepto sustituciones número de letras en identidad. Desarrollo de habilidades
la aplicación de la operación de sustitución y la profundización de la comprensión de la misma llevada a cabo en el desempeño de tareas del tipo d 2).
El siguiente paso para dominar la identidad se ilustra en la tarea a). En la asignación nominal, la expresión propuesta para la transformación no tiene la forma de escofina n cuadrados; la transformación se vuelve posible sólo cuando. h (chp1k notará que el número 121 se puede representar como un cuadrado de un número. Por lo tanto, esta tarea no se realiza en un paso, sino en dos: en la primeraiiiiu se reconoce la posibilidad de reducir esta expresión al MPD de la diferencia de cuadrados, en el segundo se realiza una transformación utilizando la identidad.
Al comienzo del desarrollo de la identidad, se registra cada paso:
I "I / s 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £) (11 + A), posteriormente, los alumnos realizan algunas operaciones de reconocimiento de forma oral.
En el ejemplo dd), se requiere establecer conexiones entre esta identidad y otras relacionadas con acciones con monomios; en q 3) se debe aplicar la identidad para la diferencia de cuadrados dos veces; c) los estudiantes deberán superar una cierta barrera psicológica, abriéndose paso en el ámbito de los números irracionales.
Las tareas de tipo b) están destinadas a desarrollar habilidades para la sustitución del producto (, v - y) (x + y) por la diferencia X 2 - en 2 . Las tareas de tipo c) desempeñan un papel similar. En ejemplos de tipo d), es necesario elegir una de las direcciones de transformación.
En general, las tareas del primer grupo se centran en el dominio de la estructura de la identidad, las operaciones de sustitución en los casos más simples y más importantes, y las ideas sobre la reversibilidad de las transformaciones realizadas por una identidad.
Las principales características y objetivos, revelados por nosotros al considerar el primero | ruinas de asignaciones de ciclo, se refiere a cualquier ciclo de ejercicio que forme las bayonetas del uso de la identidad. Para cualquier identidad recién introducida, el primer grupo de tareas del ciclo debe conservar las características descritas aquí; las diferencias solo pueden estar en el número de tareas.
1 El segundo grupo de tareas del ciclo, a diferencia del primero, está dirigido al uso más completo posible y teniendo en cuenta las particularidades de esta identidad particular, t i pi. Las tareas de este grupo asumen habilidades ya formadas de usar la identidad para la diferencia de cuadrados (en los casos más simples); chi, las tareas de este grupo son profundizar en la comprensión de la identidad considerando sus diversas aplicaciones en diferentes situaciones, combinado con el uso de material relacionado con otros temas del curso de matemáticas.
Considere la solución a la tarea l):
x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) = 5 (3-x) x = 3, o \{\ 1-3) = -5. La ecuacion x (x + 3) = -5 no tiene raíces reales, por lo tanto \ 3 es la única raíz de la ecuación.
Vemos que el uso de la identidad para la diferencia de los cuadrados es la parte pn y la I en la solución del ejemplo, siendo la idea principal de realizar las transformaciones.
Los ciclos de tareas asociadas a identidades para funciones elementales tienen sus propias características, que se deben al hecho de que, en primer lugar... las identidades correspondientes se estudian en relación con el estudio del material funcional y, / u> - "toykh, aparecen más tarde que las identidades del primer grupo y se estudian con
utilizando habilidades ya formadas para llevar a cabo transformaciones idénticas. Una parte significativa del uso de transformaciones idénticas asociadas con funciones elementales recae en la solución de ecuaciones irracionales y trascendentales. Los ciclos relacionados con la asimilación de identidades incluyen solo las ecuaciones más simples, pero ya aquí es recomendable trabajar en el dominio de la técnica de resolución de tales ecuaciones: reducirla reemplazando la incógnita por una ecuación algebraica.
La secuencia de pasos para esta solución es la siguiente:
a) encuentra la función<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
b) hacer sustitución en= cp (x) y resuelva la ecuación F (y) = 0;
c) resolver cada una de las ecuaciones <р(х) = donde (en j) es el conjunto de raíces de la ecuación F (y) = 0.
Un nuevo tema que debe tenerse en cuenta al estudiar identidades con funciones elementales es la consideración del dominio de definición. A continuación, se muestran ejemplos de tres tareas:
a) Grafique la función y = 4 log 2 x.
b) Resuelve la ecuación lg X + lg (x - 3) = 1.
c) ¿En qué conjunto está la fórmula lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( X 2 - 25) ¿es una identidad?
Un error típico que cometen los estudiantes al resolver la tarea a) es utilizar la igualdad a 1a condición excluyente B> 0. En este caso, como resultado, la gráfica deseada resulta tener la forma de una parábola en lugar de la respuesta correcta: la rama derecha de la parábola. En la tarea b) se muestra una de las fuentes para la obtención de sistemas complejos de ecuaciones y desigualdades, cuando es necesario tener en cuenta los dominios de definición de funciones, y en la tarea c), ejercicio que puede servir como preparatorio.
La idea que une estas tareas, la necesidad de estudiar el área de definición de la función, solo puede salir a la luz al comparar tales tareas, diferentes en su forma externa. La importancia de esta idea para las matemáticas es muy grande. Puede servir como base para varios ciclos de ejercicios, para cada una de las clases de funciones elementales.
En conclusión, observamos que el estudio de transformaciones idénticas en la escuela tiene una gran valor educativo. La capacidad de hacer algunos cálculos, realizar cálculos, durante mucho tiempo con una atención incesante para seguir algún objeto es necesaria para personas de una amplia variedad de profesiones, independientemente de si trabajan en el campo del trabajo mental o físico. La especificidad de la sección "Transformaciones idénticas de expresiones" es tal que abre amplias oportunidades para que los estudiantes desarrollen estas importantes habilidades profesionalmente significativas.
Los números y expresiones a partir de los cuales se compone la expresión original se pueden reemplazar por expresiones idénticamente iguales. Tal transformación de la expresión original conduce a una expresión idénticamente igual a ella.
Por ejemplo, en la expresión 3 + x, el número 3 se puede reemplazar por la suma 1 + 2, y se obtiene la expresión (1 + 2) + x, que es idéntica a la expresión original. Otro ejemplo: en la expresión 1 + a 5, el grado de a 5 puede ser reemplazado por un producto idénticamente igual, por ejemplo, de la forma a · a 4. Esto nos dará la expresión 1 + a · a 4.
Esta transformación es indudablemente artificial y por lo general se prepara para alguna transformación adicional. Por ejemplo, en la suma 4 · x 3 + 2 · x 2, teniendo en cuenta las propiedades del grado, el término 4 · x 3 se puede representar como el producto 2 · x 2 · 2 · x. Después de esta transformación, la expresión original tomará la forma 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2. Obviamente, los términos de la suma resultante tienen un factor común de 2 x 2, por lo que podemos realizar la siguiente transformación: paréntesis. Después de eso, llegamos a la expresión: 2 x 2 (2 x + 1).
Suma y resta el mismo número
Otra transformación artificial de una expresión es la suma y resta del mismo número o expresión al mismo tiempo. Esta conversión es idéntica, ya que es esencialmente equivalente a sumar cero, y sumar cero no cambia el valor.
Veamos un ejemplo. Toma la expresión x 2 + 2 x. Si le sumamos uno y restamos uno, esto nos permitirá realizar una transformación más idéntica en el futuro: selecciona el cuadrado del binomio: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.
Bibliografía.
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Exponenciación de un binomio
Un binomio es un polinomio con dos miembros. En lecciones anteriores, elevamos el binomio a la segunda y tercera potencia, obteniendo así las fórmulas de multiplicación abreviadas:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + B 2
(a + B) 3 = a 3 + 3a 2 B + 3ab 2 + B 3
Pero un binomio puede elevarse no solo al segundo y tercer grados, sino también al cuarto, quinto o grados superiores.
Por ejemplo, construyamos un binomio a + b al cuarto grado:
(a + b) 4
Representamos esta expresión como un producto de un binomio a + b y el cubo del mismo binomio
(a + b)(a+ b) 3
Cofactor ( a + b) 3 se puede reemplazar con el lado derecho de la fórmula del cubo para la suma de dos expresiones. Entonces obtenemos:
(a + b)(a 3 + 3a 2 B + 3ab 2 + B 3)
Y esta es la multiplicación habitual de polinomios. Ejecutémoslo:
Es decir, al construir un binomio a + b el cuarto grado es un polinomio a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 + 4ab 3 + B 4
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 B + 6a 2 B 2 + 4ab 3 + B 4
Erección de un binomio a + b al cuarto grado, también puede hacer esto: representar la expresión ( a + b) 4 como producto de grados (a + b) 2 (a + b) 2
(a + b) 2 (a + b) 2
Pero la expresión ( a + b) 2 es igual a a 2 + 2ab + B 2 ... Reemplazar en la expresión (a + b) 2 (a + b) 2 los cuadrados de la suma por el polinomio a 2 + 2ab + B 2
(a 2 + 2ab + B 2)(a 2 + 2ab + B 2)
Y esta, de nuevo, es la multiplicación habitual de polinomios. Ejecutémoslo. Obtendremos el mismo resultado que antes:
Exponenciación de un trinomio
Un término de tres es un polinomio con tres miembros. Por ejemplo, la expresión a + b + c es un término de tres.
A veces puede surgir la tarea de elevar un mandato de tres a una potencia. Por ejemplo, cuadremos el trinomio a + b + c
(a + b + c) 2
Dos términos entre paréntesis se pueden encerrar entre paréntesis. Por ejemplo, concluyamos la suma a+ B entre paréntesis:
((a + b) + C) 2
En este caso, la cantidad a + b será tratado como un miembro. Entonces resulta que no estamos elevando al cuadrado un término de tres, sino un término de dos. Suma a + b será el primer miembro, y el miembro C- el segundo miembro. Y ya sabemos cómo cuadrar un binomio. Para hacer esto, puede usar la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + B 2
Apliquemos esta fórmula a nuestro ejemplo:
De la misma manera, puedes elevar al cuadrado un polinomio que consta de cuatro o más términos. Por ejemplo, eleva al cuadrado el polinomio a + b + c + d
(a + b + c + d) 2
Representamos el polinomio como la suma de dos expresiones: a + b y c + d... Para hacer esto, los encerramos entre paréntesis:
((a + b) + (c + d)) 2
Ahora usemos la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones:
Aislamiento de un cuadrado completo de un trinomio cuadrado
Otra transformación idéntica que puede ser útil para resolver problemas es la selección de un cuadrado completo de un trinomio cuadrado.
Un trinomio cuadrado es un trinomio de segundo grado. Por ejemplo, los siguientes tres términos son cuadrados:
La idea de aislar un cuadrado completo de tales trinomios es representar el trinomio cuadrado original en la forma de la expresión ( a + b) 2 + C, donde ( a + b) 2 es un cuadrado completo, y C - alguna expresión numérica o literal.
Por ejemplo, seleccionemos un cuadrado completo de un trinomio 4X 2 + 16X+ 19 .
Primero necesitas construir una expresión de la forma a 2 + 2ab+ B 2 ... Lo construiremos a partir de un trinomio 4X 2 + 16X+ 19 ... Primero, definamos qué miembros desempeñarán el papel de variables a y B
El papel de una variable a jugará el miembro 2 X desde el primer término del trinomio 4X 2 + 16X+ 19 , a saber 4 X 2 se obtiene si 2 X cuadrado:
(2X) 2 = 4X 2
Entonces la variable a es igual a 2 X
a = 2X
Ahora volvemos al término original de tres e inmediatamente prestamos atención a la expresión 16 X... Esta expresión es el producto doble de la primera expresión. a(en nuestro caso es 2 X) y la segunda expresión aún desconocida para nosotros B. Pongamos temporalmente un signo de interrogación en su lugar:
2 × 2 X × ? = 16X
Si miras de cerca la expresión 2 × 2 X × ? = 16X , entonces resulta intuitivamente claro que el término B en esta situación, el número 4 es porque la expresión 2 × 2 X es igual a 4 X, y conseguir 16 X necesitas multiplicar 4 X por 4.
2 × 2 X × 4 = 16X
Por tanto, concluimos que la variable B es igual a 4
B = 4
Esto significa que nuestro cuadrado completo será la expresión (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2
Ahora estamos listos para seleccionar un cuadrado completo de un trinomio. 4X 2 + 16X+ 19 .
Entonces, volviendo al trinomio original 4X 2 + 16X+ 19 e intentaremos introducir con cuidado en él el cuadrado completo que hemos obtenido (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2
4X 2 + 16X+ 19 =
En lugar de 4 X 2 escribimos (2 X) 2
4X 2 + 16X+ 19 = (2X) 2
4X 2 + 16X+ 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4
4X 2 + 16X+ 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2
Y mientras reescribimos el término 19 como está:
4X 2 + 16X + 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 + 19
Ahora prestemos atención al hecho de que el polinomio obtenido (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 + 19 no es idéntico al original de tres términos 4X 2 + 16X+ 19 ... Puede verificar esto trayendo el polinomio (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 + 19 a la vista estándar:
(2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 + 19 = 4 X 2 + 16X + 4 2 + 19
Vemos que obtenemos un polinomio 4X 2 + 16X+ 4 2 + 19 , pero debería haber resultado 4X 2 + 16X+ 19 ... Esto se debe al hecho de que el término 4 2 se implantó artificialmente en el tri-término original para organizar un cuadrado completo del tri-término. 4X 2 + 16X+ 19 .
4X 2 + 16X + 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Ahora la expresion (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2 se puede contraer, es decir, escribir en la forma ( a + b) 2. En nuestro caso, obtenemos la expresión (2 X+ 4) 2
4X 2 + 16X + 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2-4 2 + 19 = (2X + 4) 2 − 4 2 + 19
Los términos restantes −4 2 y 19 se pueden sumar. −4 2 es −16, por lo tanto −16 + 19 = 3
4X 2 + 16X + 19 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 4 + 4 2-4 2 + 19 = (2X + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2X+ 4) 2 + 3
Medio, 4X 2 + 16X+ 19 = (2X + 4) 2 + 3
Ejemplo 2... Seleccione un cuadrado completo de un trinomio cuadrado X 2 + 2X+ 2
Primero, construimos una expresión de la forma a 2 + 2 ab + b 2. El papel de una variable a en este caso x juega porque X 2 = X 2 .
El siguiente término del trinomio original 2 X reescribir en la forma de un producto duplicado de la primera expresión (tenemos X) y la segunda expresión B(este será 1).
2 × X× 1 = 2 X
Si B= 1, luego la expresión X 2 + 2X+ 1 2 .
Ahora regresemos al trinomio cuadrado original e incrustemos un cuadrado completo en él. X 2 + 2X+ 1 2
X 2 + 2X+ 2 = X 2 + 2X+ 1 2 − 1 2 + 2 = (X+ 1) 2 + 1
Como en el ejemplo anterior, el miembro B(en este ejemplo, esto es 1) después de la adición, se resta inmediatamente para preservar el valor del trinomio original.
Considere la siguiente expresión numérica:
9 + 6 + 2
El valor de esta expresión es 17
9 + 6 + 2 = 17
Intentemos seleccionar un cuadrado completo en esta expresión numérica. Para hacer esto, primero construimos una expresión de la forma a 2 + 2ab+ B 2 ... El papel de una variable a en este caso, se juega el número 3, ya que el primer término de la expresión 9 + 6 + 2, es decir, 9, se puede representar como 3 2.
El segundo término 6 se representa como el producto duplicado del primer término 3 y el segundo 1
2 × 3 × 1 = 6
Es decir, la variable B será igual a uno. Entonces la expresión 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 será un cuadrado perfecto. Incrustemos en la expresión original:
− 1 2 + 2
Doblamos un cuadrado completo y se pueden sumar los términos −1 2 y 2:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
El resultado es la expresión (3 + 1) 2 + 2, que sigue siendo 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Digamos que tenemos un cuadrado y dos rectángulos. Un cuadrado con un lado de 3 cm, un rectángulo con lados de 2 cm y 3 cm y un rectángulo con lados de 1 cm y 2 cm
Calculemos el área de cada forma. El área del cuadrado será 3 2 = 9 cm 2, el área del rectángulo rosa - 2 × 3 = 6 cm 2, el área del lila - 1 × 2 = 2 cm 2
Escribamos la suma de las áreas de estos rectángulos:
9 + 6 + 2
Esta expresión se puede entender como la unión de un cuadrado y dos rectángulos en una sola forma:
Luego se obtiene una cifra, cuyo área es de 17 cm 2. De hecho, la figura mostrada contiene 17 cuadrados con un lado de 1 cm.
Intentemos formar un cuadrado a partir de la figura existente. Además, la plaza más grande. Para esto usaremos partes del rectángulo rosa y morado.
Para formar el cuadrado más grande de la figura existente, puede dejar el cuadrado amarillo sin cambiar y adjuntar la mitad del rectángulo rosa a la parte inferior del cuadrado amarillo:
Vemos que falta un centímetro cuadrado más antes de la formación de un cuadrado completo. Podemos tomarlo del rectángulo lila. Entonces, tome un cuadrado del rectángulo lila y adjúntelo al cuadrado grande que se forma:
Ahora echemos un vistazo de cerca a lo que hemos llegado. Es decir, en la parte amarilla de la figura y en la parte rosa, que de hecho aumentaba el cuadrado amarillo anterior. ¿Significa esto que había un lado del cuadrado igual a 3 cm, y este lado se incrementó en 1 cm, lo que finalmente llevó a un aumento en el área?
(3 + 1) 2
La expresión (3 + 1) 2 es 16 porque 3 + 1 = 4 y 4 2 = 16. El mismo resultado se puede obtener usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
De hecho, el cuadrado resultante contiene 16 cuadrados.
El cuadrado restante del rectángulo violeta se puede adjuntar al cuadrado grande resultante. Después de todo, originalmente se trataba de una sola figura:
(3 + 1) 2 + 1
Adjuntar un cuadrado pequeño a un cuadrado grande existente se describe mediante la expresión (3 + 1) 2 + 1. Y esta es la selección de un cuadrado completo de la expresión 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 - 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
La expresión (3 + 1) 2 + 1, como la expresión 9 + 6 + 2, es 17. De hecho, el área de la figura formada es de 17 cm 2.
Ejemplo 4... Realicemos la selección de un cuadrado completo a partir de un trinomio cuadrado. X 2 + 6X + 8
X 2 + 6X + 8 = X 2 + 2 × X× 3 + 3 2 - 3 2 + 8 = ( X + 3) 2 − 1
En algunos ejemplos, al construir una expresión a 2 + 2ab+ B 2 no es posible determinar inmediatamente los valores de las variables a y B .
Por ejemplo, seleccionemos un cuadrado completo de un trinomio cuadrado X 2 + 3X+ 2
Variable a corresponde a X... Segundo trimestre 3 X no se puede representar como un producto duplicado de la primera expresión y la segunda. En este caso, el segundo término debe multiplicarse por 2, y para que el valor del polinomio original no cambie, divida inmediatamente por 2. Se verá así.
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Leyendas de diapositivas:
Identidades. Transformaciones idénticas de expresiones. Séptimo grado.
Encuentre el valor de las expresiones en x = 5 e y = 4 3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27 3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27 Encuentre el valor de las expresiones en x = 6 y y = 5 3 (x + y) = 3 (6 + 5) = 3 * 11 = 33 3x + 3y = 3 * 6 + 3 * 5 = 33
CONCLUSIÓN: Obtuvimos el mismo resultado. De la propiedad de distribución se deduce que, en general, para cualquier valor de las variables, los valores de las expresiones 3 (x + y) y 3x + 3y son iguales. 3 (x + y) = 3x + 3y
Consideremos ahora las expresiones 2x + y y 2xy. para x = 1 e y = 2 toman valores iguales: 2x + y = 2 * 1 + 2 = 4 2xy = 2 * 1 * 2 = 4 para x = 3, y = 4 los valores de las expresiones son diferentes 2x + y = 2 * 3 + 4 = 10 2xy = 2 * 3 * 4 = 24
CONCLUSIÓN: Las expresiones 3 (x + y) y 3x + 3y son idénticamente iguales, pero las expresiones 2x + y y 2xy no son idénticamente iguales. Definición: Dos expresiones, cuyos valores son iguales para cualquier valor de las variables, se denominan idénticamente iguales.
IDENTIDAD La igualdad 3 (x + y) y 3x + 3y es verdadera para cualquier valor de x e y. Tales igualdades se llaman identidades. Definición: La igualdad, verdadera para cualquier valor de las variables, se llama identidad. Las verdaderas igualdades numéricas también se consideran identidades. Ya nos hemos encontrado con identidades.
Las identidades son igualdades que expresan las propiedades básicas de acciones sobre números. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac
Puede dar otros ejemplos de identidades: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * (- b) = ab Reemplazar una expresión con otra, expresión idénticamente igual, se llama conversión de identidad, o simplemente conversión de expresión.
Para dar tales términos, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por la parte total de letras. Ejemplo 1. Démosle términos similares 5x + 2x-3x = x (5 + 2-3) = 4x
Si hay un signo más delante de los corchetes, entonces los corchetes se pueden omitir, manteniendo el signo de cada término entre corchetes. Ejemplo 2. Expandamos los corchetes en la expresión 2а + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c
Si hay un signo menos delante de los corchetes, entonces los corchetes se pueden omitir cambiando el signo de cada término entre corchetes. Ejemplo 3. Expandamos los corchetes en la expresión a - (4 b - c) = a - 4 b + c
Tarea: p. 5, núm. 91, 97, 99 ¡Gracias por la lección!
Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas
Metodología para preparar a los estudiantes para el Examen del Estado Unificado en la sección "Expresiones y Transformación de Expresiones"
Este proyecto se desarrolló con el objetivo de preparar a los estudiantes para los exámenes estatales de 9 ° grado y, en el futuro, para el examen estatal unificado de 11 ° grado ...
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