Fórmulas de multiplicación abreviada. Teoría detallada con ejemplos

Expresiones matemáticas (fórmulas) multiplicación abreviada (Sumas cuadradas y diferencias, cantidad de cubo y diferencias, diferencias cuadradas, cantidad y diferencia de cubos) son extremadamente reemplazados en muchas áreas ciencias Exactas. Estas grabaciones de 7 caracteres no se reemplazan al simplificar las expresiones, resolver ecuaciones, con multiplicación de polinomios, reduciendo las fracciones, resolviendo integrales y muchas otras cosas. Por lo tanto, será muy útil averiguar cómo se obtienen, por lo que son necesarios, y lo más importante, cómo recordarlos y luego aplicar. Luego aplicar fórmulas de multiplicación abreviada. En la práctica, los más difíciles verán lo que es. H.y que eres u. Obviamente, sin restricciones para uNA. y b.no, lo que significa que puede ser cualquier expresiones numéricas o de letras.

Y así aquí:

Primero x 2 - U 2. \u003d (x - y) (x + y) . Calcular diferencia cuadrada Dos expresiones deben multiplicar la diferencia entre estas expresiones en sus sumas.

Segundo (x + y) 2 \u003d x 2. + 2h + en 2 . Encontrar cantidad cuadrada Se deben agregar dos expresiones al cuadrado de la primera expresión para agregar un doble producto de la primera expresión en el segundo más el cuadrado de la segunda expresión.

Tercero (x - y) 2 \u003d x 2. - 2h + en 2. Calcular diferencia cuadradase necesitan dos expresiones desde el cuadrado de la primera expresión para eliminar un doble producto de la primera expresión en la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.

Cuatro (x + y) 3 \u003d x 3. + 3x 2 y + 3h 2 + 3. Calcular cantidad de cubose deben agregar dos expresiones a la Cuba de la primera expresión para agregar un trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo más el producto triplicado de la primera expresión en el cubo cuadrado más de la segunda expresión.

Quinto (x - y) 3 \u003d x 3. - 3x 2 y + 3h 2 - 3.. Calcular dIFERENCIA DE CUBOlas dos expresiones son necesarias desde el primer cubo de expresión para tomar el trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en la segunda más el producto triplicado de la primera expresión en el segundo cubo menos de la segunda expresión.

Seis x 3 + 3. \u003d (x + y) (x 2 - Hu + U 2) Calcular la cantidad de cubosdos expresiones deben multiplicar las sumas de la primera y la segunda expresión en un cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.

Séptimo x 3 - 3. \u003d (x - y) (x 2 + Hu + u 2) Hacer cálculo diferencias cúbicasdos expresiones deben multiplicar la diferencia entre la primera y la segunda expresión en el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.

No es difícil recordar que todas las fórmulas se aplican al trabajo de los cálculos y en la dirección opuesta (de derecha a izquierda).

Hace unos 4 mil años sobre la existencia de estos patrones. Fueron ampliamente utilizados por los residentes de la antigua Babilonia y Egipto. Pero en esas épocas, expresaron verbalmente o geométricamente y durante los cálculos no utilizaron las letras.

Lo entenderemos prueba de Summa Summa(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2.

Primero esta patrón matemático Provió un antiguo científico griego Euclide, quien trabajó en Alejandría en el siglo III aC, usó una forma geométrica de evof la fórmula, ya que los científicos de la antigua Ellala no usaron las cartas para designar números. Fueron usados \u200b\u200buniversalmente, no fueron "a 2", pero "cuadrado en el segmento A", no "AB", sino "Rectángulo, concluido entre los segmentos A y B".

La función lineal se llama la función de la forma y \u003d kx + b, donde la variable independiente de X, K y B-números.
La gráfica de la función lineal es recta.

1. Agregar función de calendario, Necesitamos las coordenadas de dos puntos pertenecientes a los gráficos de la función. Para encontrarlos, debe tomar dos valores x, sustituirlos a la ecuación de la función, y para calcular los valores correspondientes de Y.

Por ejemplo, para construir un gráfico de la función y \u003d x + 2, es conveniente tomar x \u003d 0 y x \u003d 3, entonces las ordentes de estos puntos serán iguales a y \u003d 2 e y \u003d 3. Obtenemos puntos A (0; 2) y en (3; 3). Conecte y obtenga la gráfica de la función y \u003d x + 2:

2. En la fórmula Y \u003d KX + B, el número K se llama el coeficiente de proporcionalidad:
Si k\u003e 0, entonces aumenta la función y \u003d kx + b
Si k.
El coeficiente B muestra el desplazamiento del horario de la función a lo largo del eje OY:
Si b\u003e 0, entonces la función de la función y \u003d kx + b se obtiene en la gráfica de la función \u003d kx Shift a las unidades B hacia arriba a lo largo del eje OY
Si B.
La figura a continuación muestra los gráficos de las funciones y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Tenga en cuenta que en todas estas funciones el coeficiente k por encima de cero, y las funciones son creciente. Además, mayor será el valor K, mayor será el ángulo de inclinación directo a la dirección positiva del eje de buey.

En todas las funciones B \u003d 3, y vemos que todos los gráficos cruzan el eje de la OY en el punto (0; 3)

Ahora considere los gráficos de funciones y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

Esta vez en todas las funciones del coeficiente K. menos que cero y funciones disminución. El coeficiente B \u003d 3, y gráficos, así como en el caso anterior, interseccione el eje OY en el punto (0; 3)

Considere los gráficos de funciones y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Ahora, en todas las ecuaciones de funciones, los coeficientes K son iguales a 2. Y tenemos tres seres paralelos.

Pero los coeficientes B son diferentes, y estos gráficos cruzan el eje de la OY en diferentes puntos:
El gráfico de la función y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) cruza el eje de la OY en el punto (0; 3)
La gráfica de la función y \u003d 2x (b \u003d 0) cruza el eje de la OY en el punto (0; 0) - el comienzo de las coordenadas.
La gráfica de la función y \u003d 2x-3 (B \u003d -3) cruza el eje OY en el punto (0; -3)

Entonces, si conocemos los signos de los coeficientes de K y B, podemos imaginarnos de inmediato cómo se ve la gráfica de la función y \u003d kx + b.
Si un k 0

Si un k\u003e 0 y b\u003e 0 , luego la gráfica de la función y \u003d kx + b es:

Si un k\u003e 0 y b , luego la gráfica de la función y \u003d kx + b es:

Si un k, luego la función de la función y \u003d kx + b tiene el formulario:

Si un k \u003d 0. La función y \u003d kx + b se convierte en la función Y \u003d B y su gráfico es:

Las ordentes de todos los puntos de la función gráfica y \u003d b son iguales a b si b \u003d 0. , luego la gráfica de la función y \u003d kx (proporcionalidad directa) pasa a través del origen de la coordenada:

3. Por separado, notamos la gráfica de la ecuación x \u003d a. La gráfica de esta ecuación es una línea recta, un eje paralelo en todos los puntos de los cuales tienen la abscisa x \u003d a.

Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x \u003d 3 se ve así:
¡Atención! La ecuación x \u003d a no es una función, por lo que un valor del argumento se reunirá valores diferentes Funciones que no corresponden a la definición de la función.

4. La condición del paralelismo de dos líneas rectas:

Horario de la función y \u003d k 1 x + b 1 gráficos paralelos de la función y \u003d k 2 x + b 2, si k 1 \u003d k 2

5. La condición de reconstruir las dos líneas rectas:

El gráfico de la función y \u003d k 1 x + b 1 se reconstruye los gráficos de la función y \u003d k 2 x + b 2, si k 1 * k 2 \u003d -1 o k 1 \u003d -1 / k 2

6. Puntos de intersección de la función gráfica y \u003d kx + b con ejes de coordenadas.

Con el eje oy. La abscisa de cualquier punto que pertenece al eje OY es cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje de la OY, es necesario sustituir cero en la ecuación. Nosotros conseguimos y \u003d b. Es decir, el punto de intersección con el eje de la OY tiene coordenadas (0; B).

Con el eje OH: la ordenada de cualquier punto que pertenece al eje OH es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje OH, es necesario sustituir cero en la ecuación de la función en lugar de y. Obtenemos 0 \u003d kx + b. De ahí x \u003d -b / k. Es decir, el punto de intersección con el eje de buey tiene coordenadas (-b / k; 0):

Fórmulas de multiplicación abreviada. Ejercicio.

Trate de calcular las siguientes expresiones de esta manera:

Respuestas:

O, si conoce los cuadrados de los números principales de dos dígitos, ¡recuerde cuánto será? ¿Recordado? . ¡Excelente! Como se erigen en un cuadrado, entonces debemos multiplicarnos. Resulta que.

Recuerde que las sumas cuadradas de fórmulas y el cuadrado de la diferencia son válidas no solo para expresiones numéricas:

Calcule las siguientes expresiones:

Respuestas:

Fórmulas de multiplicación abreviada. Salir.

Traemos un pequeño resultado y escriba la suma del cuadrado de la suma y la diferencia en una línea:

Ahora está practicando "recoger" la fórmula de las especies desplegadas en apariencia. Esta habilidad será necesaria en el futuro al transformar grandes expresiones.

Supongamos que tenemos la siguiente expresión:

Sabemos que el cuadrado de la cantidad (o la diferencia) es cuadrado de un número cuadrado de otro número y trabajo dudado de estos números.

En esta tarea, es fácil ver el cuadrado del mismo número, esto es. En consecuencia, uno de los números incluidos en el soporte es una raíz cuadrada de, es decir,

Dado que en el segundo término está, significa que es un producto doble de uno y otro, respectivamente:

¿Dónde está el segundo número en nuestro soporte?

El segundo número incluido en el soporte es igual.

Cheque. debe ser igual. De hecho, significa que encontramos ambos números presentes entre paréntesis: y. Queda por definir un signo que se encuentra entre ellos. ¿Qué crees que estará detrás de la señal?

¡Derecha! Desde que nosotros ajustar El trabajo de duda, luego entre los números soportará un signo de adición. Ahora escribe una expresión convertida. ¿Afrontar? Deberías obtener lo siguiente:

Nota: El cambio de lugares de los componentes no afecta el resultado (sin importar, la adición o la resta está entre y).

Es absolutamente opcional que los términos en la expresión transformada estuvieran escritos en la fórmula. Mira esta expresión :. Intenta convertirlo tú mismo. ¿Sucedió?

Práctica: convertir las siguientes expresiones:

Respuestas:¿Afrontar? Asegurar el tema. Elija entre las expresiones a continuación que se puedan representar como una cantidad o diferencia cuadrada.

- Demuestra que es equivalente.

- No se puede imaginar como un cuadrado; Sería posible imaginar si en cambio lo fuera.

Diferencia cuadrada

Otra fórmula de la multiplicación abreviada es la diferencia de cuadrados.

Diferencias cuadradas ¡Esto no es un cuadrado de la diferencia!

La diferencia en los cuadrados de los dos números es igual a la cantidad de estos números en su diferencia:

Compruebe si esta fórmula es verdadera. Para hacer esto, cambie la suma de la suma y la diferencia en la eliminación de las fórmulas cuadradas:

Por lo tanto, nos aseguramos de que la fórmula sea realmente cierta. Esta fórmula también simplifica acciones computacionales complejas. Damos un ejemplo:

Es necesario calcular :. Por supuesto, podemos construir un cuadrado, luego construir un cuadrado y restar uno de los otros, pero la fórmula nos simplifica la tarea:

¿Sucedió? Resultados completos:

Además de la suma de la suma (diferencia), la fórmula de diferencia cuadrada se puede aplicar no solo con números:

La capacidad de difundir la diferencia en cuadrados nos ayudará a convertir expresiones matemáticas complejas.

Presta atención:

Desde entonces, cuando descompone el cuadrado de la diferencia de la expresión correcta, obtendremos

Tenga cuidado y vea qué término concreto se está construyendo en la plaza! Para asegurar el tema que convierte las siguientes expresiones:

¿Registro? Compara las expresiones obtenidas:

Ahora, cuando aprendiste el cuadrado de la cantidad y el cuadrado de la diferencia, así como la diferencia de cuadrados, intenta resolver ejemplos en la combinación de estas tres fórmulas.

Conversión de expresiones elementales (suma cuadrada, cuadrada cuadrada, diferencia cuadrada)

Supongamos que nos dan un ejemplo.

Es necesario simplificar esta expresión. Mira con cuidado, ¿qué ves en el numerador? Así es, el numerador es un cuadrado completo:

Simplificación de la expresión, recuerde que una sugerencia, que la forma de moverse en la simplificación está en el denominador (o en un numerador). En nuestro caso, cuando el denominador se descompone, y es imposible hacer cualquier otra cosa, se puede entender que el numerador será el cuadrado de la cantidad o el cuadrado de la diferencia. Dado que agregamos, queda claro que el numerador es el cuadrado de la cantidad.

Trate de convertir independientemente las siguientes expresiones:

¿Sucedió? ¡Compare las respuestas y sigue adelante!

CANTIDAD DE CUBO Y DIFERENCIA DE CUBO

Las fórmulas Cube Cantidad y la diferencia de cubo se derivan de manera similar como cantidad cuadrada y diferencia cuadrada: La divulgación de los soportes con multiplice a los miembros entre sí.

Si el cuadrado de la cantidad y el cuadrado de la diferencia recuerda con mucha facilidad, entonces la pregunta surge "¿Cómo recordar los cubos?"

Mire con cuidado a dos fórmulas descritas en comparación con la construcción de miembros similares en la plaza:

¿Qué tipo de patrón ves?

1. Cuando se erige en cuadrado tenemos cuadrado El primer número I. cuadrado segundo; Cuando se erige en el cubo - ahí cúbico un número I. cúbico otro número.

2. Cuando se erige en cuadrado, tenemos dudas el producto de los números (el número de 1 grado, que es un grado menor que el que se construye la expresión); Al erigir B. cúbico - triplicado El trabajo en el que uno de los números se construye en un cuadrado (que también es 1 grado menor que el grado en el que se erige la expresión).

3. Cuando se erige en el cuadrado, los corchetes en la expresión descritos se reflejan además (o restando) un producto doble: si la suma entre paréntesis, luego agrega, si la resta, quita; Cuando se erigen en el cubo, la regla es: Si tenemos una cantidad de cubo, luego todos los signos "+", y si una diferencia de cubo, entonces firma, se alternan: "" "" ".

Todo lo anterior, excepto por la dependencia de los grados al multiplicar a los miembros, se muestra en la figura.

¿Práctica? Soportes de corte en las siguientes expresiones:

Compara las expresiones obtenidas:

Diferencia y cantidad de cubos

Considere el último par de fórmulas la diferencia y la cantidad de cubos.

Como recordamos, en la diferencia de cuadrados, hemos multiplicado la diferencia y la cantidad de estos números uno a otro. En la diferencia de cubos y en la cantidad de cubos, también hay dos soportes:

1 soporte: la diferencia (o cantidad) de números en el primer grado (dependiendo de la diferencia o la cantidad de cubos que revelamos);

2 Soporte: cuadrado incompleto (aspecto: si nos restaron (o agregamos) un doble producto de los números, habría un cuadrado), un letrero al multiplicar los números es el signo opuesto de la expresión inicial.

Para asegurar el tema, resuelva varios ejemplos:

Compara las expresiones obtenidas:

Ejercicio

Respuestas:

Vamos a resumir:

Hay 7 fórmulas de multiplicación abreviada:

NIVEL AVANZADO

Las fórmulas de la multiplicación abreviada son fórmulas, sabiendo cuál puede evitar realizar algunas acciones estándar al simplificar las expresiones o la descomposición de los polinomios a los multiplicadores. Fórmulas de la multiplicación abreviada que necesita saber por corazón!

Cantidad cuadrada Dos expresiones igual a cuadrado La primera expresión más un trabajo retorcido de la primera expresión en el segundo más el cuadrado de la segunda expresión:
Diferencia cuadrada Dos expresiones son iguales al cuadrado de la primera expresión menos un producto dos veces de la primera expresión en el segundo más el cuadrado de la segunda expresión:
Diferencia cuadrada Dos expresiones son iguales al producto de estas expresiones y su suma:
Cantidad de cubo Dos expresiones son iguales a Cuba de la primera expresión más el producto triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo más el producto triplicado de la primera expresión en el cuadrado del segundo cubo más de la segunda expresión:
DIFERENCIA DE CUBO Dos expresiones son iguales a Cuba de la primera expresión menos el trabajo triplicado del cuadrado de la primera expresión en el segundo más el producto triplicado de la primera expresión en el cuadrado del segundo cubo menos de la segunda expresión:
La cantidad de cubos Dos expresiones son iguales a la cantidad de la suma de la primera y la segunda expresión en un cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones:
Diferencias cúbicas Dos expresiones son iguales al producto de la primera y la segunda expresión en un cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones:

Ahora probaremos todas estas fórmulas.

Fórmulas de multiplicación abreviada. Evidencia.

1. .
Evalúe la expresión a la plaza: significa multiplicarlo por sí mismo:
.

Realizaremos los corchetes y daremos similares:

2. .
Hacemos lo mismo: Multiplique la diferencia para usted, revelamos los soportes y le damos a estas cosas:
.

3. .
Tome la expresión en el lado derecho y revele los corchetes:
.

4. .
El número en Cuba se puede representar como un número multiplicado a su cuadrado:

Similar:

En la diferencia de cubos, los signos se alternan.

6. .

.

7. .
Abriremos paréntesis en la parte correcta:
.

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada al resolver ejemplos.

Ejemplo 1:

Encuentra el valor de las expresiones:

Decisión:

Utilizamos la cantidad cuadrada de fórmula :.
Imagina este número en forma de diferencia y usa la fórmula del cuadrado de la diferencia :.

Ejemplo 2:

Encuentra el valor de la expresión :.

Decisión:

Usando la fórmula del tamaño de los cuadrados de dos expresiones, obtenemos:

Ejemplo 3:

Simplifica la expresión:

Solución de dos maneras:

Utilizamos las sumas cuadradas de fórmulas y las diferencias cuadradas:

II CAMINO.

Utilizamos la fórmula para la diferencia en los cuadrados de dos expresiones:

Ahora tu palabra ...

Le dije todo lo que sé sobre las fórmulas de la multiplicación abreviada.

Dime ahora lo usarás? Si no, ¿por qué?

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¡Y buena suerte en los exámenes!

En la lección anterior, nos ocupamos de la descomposición de los multiplicadores. Se dominaron de dos maneras: hacer un factor común para paréntesis y agrupación. En esta lección, la siguiente manera poderosa: fórmulas de multiplicación abreviada.. En un breve registro - FSU.

Las fórmulas de la multiplicación abreviada (el cuadrado de la suma y la diferencia, el cubo de la cantidad y la diferencia, la diferencia de cuadrados, la suma y la diferencia de cubos) son extremadamente necesarios en todas las secciones de las matemáticas. Se utilizan en la simplificación de expresiones, resolviendo ecuaciones, multiplicación de polinomios, reducción de fracciones, resolviendo integrales, etc. etc. En resumen, hay todas las razones para tratar con ellos. Para entender cómo se toman, por qué son necesarios, cómo recordarlos y cómo aplicarse.

¿Entendemos?)

¿De dónde vienen las fórmulas de multiplicación abreviadas?

La igualdad 6 y 7 no se escriben muy familiares. Como si estuviera por el contrario. Esto es especialmente). Cualquier igualdad funciona de izquierda a derecha y derecha a izquierda. En tal disco, está claro de dónde proviene el FSU.

Se toman de la multiplicación.) Por ejemplo:

(A + B) 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A 2 + AB + BA + B 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2

Eso es todo, sin trucos científicos. Solo cambia los soportes y dale. Así que resulta todas las fórmulas de la multiplicación abreviada. Abreviado La multiplicación se debe a que en las fórmulas en sí mismas no hay multiplicación de soportes y aportando similares. Reducido.) Dado inmediatamente el resultado.

FSU necesita saber por corazón. Sin los tres primeros, no puedes soñar con la troika, sin el resto, aproximadamente el cuarto con un cinco).

¿Por qué las fórmulas de la multiplicación abreviada necesitan?

Hay dos razones, aprende, incluso para obtener estas fórmulas. La primera: la respuesta terminada en la máquina reduce bruscamente la cantidad de errores. Pero esto no es lo más. razón principal. Pero el segundo ...

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