El teorema de Pitágoras: antecedentes, evidencia, ejemplos de aplicación práctica. Diferentes formas de probar el teorema de Pitágoras: ejemplos, descripciones y repasos Teorema de Pitágoras que conoces

Varias formas de probar el teorema de Pitágoras

estudiante de 9 clase "A"

MOU escuela secundaria №8

Consejero científico:

profesor de matematicas,

MOU escuela secundaria №8

Arte. nueva navidad

Territorio de Krasnodar.

Arte. nueva navidad

ANOTACIÓN.

El teorema de Pitágoras se considera, con razón, el más importante en el curso de la geometría y merece especial atención. Es la base para resolver muchos problemas geométricos, la base para estudiar el curso teórico y práctico de geometría en el futuro. El teorema está rodeado por el material histórico más rico relacionado con su apariencia y métodos de prueba. El estudio de la historia del desarrollo de la geometría inculca el amor por este tema, contribuye al desarrollo del interés cognitivo, la cultura general y la creatividad, y también desarrolla habilidades de investigación.

Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo que es reponer y generalizar conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Fue posible encontrar y considerar diversas formas de prueba y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas de un libro de texto escolar.

El material recopilado convence aún más de que el teorema de Pitágoras es el gran teorema de la geometría y tiene una gran importancia teórica y práctica.

Introducción. Antecedentes históricos 5 Cuerpo principal 8

3. Conclusión 19

4. Literatura utilizada 20
1. INTRODUCCIÓN. REFERENCIA HISTÓRICA.

La esencia de la verdad es que es para nosotros para siempre,

Cuando al menos una vez en su visión vemos la luz,

Y el teorema de Pitágoras después de tantos años

Para nosotros, como para él, es indiscutible, impecable.

Para celebrar, Pitágoras hizo un voto a los dioses:

Por tocar la sabiduría infinita,

Mató cien toros, gracias a los eternos;

Ofreció oraciones y alabanzas a la víctima después.

Desde entonces, los toros, cuando huelen, empujan,

Lo que lleva a la gente a la nueva verdad de nuevo,

Rugen furiosamente, por lo que no hay orina para escuchar,

Tal Pitágoras les inculcó el terror para siempre.

Toros, impotentes para resistir la nueva verdad,

¿Lo que queda? - Cierra los ojos, ruge, tiembla.

No se sabe cómo Pitágoras demostró su teorema. Lo cierto es que lo descubrió bajo la fuerte influencia de la ciencia egipcia. Los constructores de las pirámides conocían un caso especial del teorema de Pitágoras, las propiedades de un triángulo con lados 3, 4 y 5, mucho antes del nacimiento de Pitágoras, mientras él mismo estudiaba con sacerdotes egipcios durante más de 20 años. Hay una leyenda que dice que, habiendo probado su famoso teorema, Pitágoras sacrificó un toro a los dioses, y según otras fuentes, hasta 100 toros. Esto, sin embargo, contradice la información sobre las opiniones morales y religiosas de Pitágoras. En fuentes literarias se puede leer que "prohibió hasta matar animales, y más aún darles de comer, porque los animales tienen alma, como nosotros". Pitágoras solo comía miel, pan, vegetales y ocasionalmente pescado. En relación con todo esto, puede considerarse más plausible la siguiente entrada: "... y aun cuando descubrió que en un triángulo rectángulo la hipotenusa corresponde a los catetos, sacrificó un toro hecho de masa de trigo".

La popularidad del teorema de Pitágoras es tan grande que sus pruebas se encuentran incluso en la ficción, por ejemplo, en la historia del famoso escritor inglés Huxley "Young Archimedes". La misma prueba, pero para el caso particular de un triángulo rectángulo isósceles, se da en el diálogo Menón de Platón.

Casa de cuento de hadas.

“Lejos, muy lejos, donde ni los aviones vuelan, está el país de la Geometría. En este país inusual había una ciudad increíble: la ciudad de Teorem. Un día llegó a esta ciudad una hermosa muchacha llamada Hipotenusa. Trató de conseguir una habitación, pero dondequiera que solicitó, fue rechazada en todas partes. Por fin se acercó a la casa desvencijada y llamó. La abrió un hombre que se hacía llamar el Ángulo Recto, e invitó a la Hipotenusa a vivir con él. La hipotenusa se quedó en la casa donde vivían Ángulo Recto y sus dos hijos pequeños, llamados Katet. Desde entonces, la vida en Right Angle House ha cambiado de una manera nueva. La hipotenusa plantó flores en la ventana y esparció rosas rojas en el jardín delantero. La casa tomó la forma de un triángulo rectángulo. A ambas piernas les gustó mucho Hipotenusa y le pidieron que se quedara para siempre en su casa. Por las noches, esta familia amistosa se reúne en la mesa familiar. A veces, Right Angle juega al escondite con sus hijos. La mayoría de las veces tiene que buscar, y la Hipotenusa se esconde tan hábilmente que puede ser muy difícil encontrarla. Una vez, durante un juego, Right Angle notó una propiedad interesante: si logra encontrar las piernas, entonces encontrar la Hipotenusa no es difícil. Así que Right Angle usa este patrón, debo decirlo, con mucho éxito. El teorema de Pitágoras se basa en la propiedad de este triángulo rectángulo.

(Del libro de A. Okunev "Gracias por la lección, niños").

Una formulación lúdica del teorema:

Si nos dan un triangulo

Y, además, con un ángulo recto,

ese es el cuadrado de la hipotenusa

Siempre podemos encontrar fácilmente:

Construimos las piernas en un cuadrado,

Encontramos la suma de grados -

Y de una manera tan simple

Llegaremos al resultado.

Al estudiar álgebra y los inicios del análisis y la geometría en el 10° grado, me convencí de que además del método de demostración del teorema de Pitágoras considerado en el 8° grado, existen otras formas de demostrarlo. Los presento para su consideración.
2. PARTE PRINCIPAL.

Teorema. Cuadrado en un triángulo rectángulo

La hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

1 VÍA.

Utilizando las propiedades de las áreas de los polígonos, establecemos una notable relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Prueba.

un, en e hipotenusa Con(Fig. 1, a).

Probemos que c²=a²+b².

Prueba.

Completamos el triángulo a un cuadrado de lado a + b como se muestra en la figura. 1b. El área S de este cuadrado es (a + b)². Por otro lado, este cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales, el área de cada uno de los cuales es ½ oh, y un cuadrado de lado Con, así que S = 4 * ½ av+s² = 2av+s².

De este modo,

(a + b)² = 2 av+s²,

c²=a²+b².

El teorema ha sido probado.
2 VÍAS.

Después de estudiar el tema “Triángulos similares”, descubrí que puedes aplicar la similitud de triángulos a la prueba del teorema de Pitágoras. Es decir, usé la afirmación de que el cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura trazada desde el vértice del ángulo recto.

Considere un triángulo rectángulo con un ángulo recto C, CD es la altura (Fig. 2). Probemos que C.A.² + SO² = AB² .

Prueba.

Basado en la afirmación sobre el cateto de un triángulo rectángulo:

AC = , CB = .

Elevamos al cuadrado y sumamos las igualdades resultantes:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), donde AD + DB = AB, entonces

AC² + CB² = AB * AB,

CA² + CB² = AB².

La prueba está completa.
3 VÍAS.

La definición del coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se puede aplicar a la demostración del teorema de Pitágoras. Considere la Fig. 3.

Prueba:

Sea ABC un triángulo rectángulo dado con un ángulo recto C. Trace una altura CD desde el vértice del ángulo recto C.

Por definición del coseno de un ángulo:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Por lo tanto AB * AD = AC²

Asimismo,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Por lo tanto, AB * BD \u003d BC².

Sumando las igualdades resultantes término por término y notando que AD + DВ = AB, obtenemos:

C.A.² + Sol² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

La prueba está completa.
4 MANERAS.

Habiendo estudiado el tema "Razones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo", creo que el teorema de Pitágoras se puede probar de otra manera.

Considere un triángulo rectángulo con catetos un, en e hipotenusa Con. (Figura 4).

Probemos que c²=a²+b².

Prueba.

pecado B= C.A ; porque B= como , luego, elevando al cuadrado las igualdades resultantes, obtenemos:

pecado² B= pulg²/s²; cos² EN\u003d a² / s².

Sumándolos, obtenemos:

pecado² EN+ cos² B= v² / s² + a² / s², donde sin² EN+ cos² b=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², por lo tanto,

c² = a² + b².

La prueba está completa.

5 VÍAS.

Esta demostración se basa en cortar los cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 5) y apilar las partes resultantes sobre el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

6 VÍAS.

Para la prueba en el catete sol edificio BCD A B C(Figura 6). Sabemos que las áreas de figuras semejantes están relacionadas como los cuadrados de sus dimensiones lineales semejantes:

Restando la segunda igualdad de la primera, obtenemos

c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

7 VÍAS.

Dado(Fig. 7):

ABDOMINALES,= 90° , sol= a, AC=b, AB = c.

Probar:c2 = a2 +b2.

Prueba.

Deja que la pierna b A. Continuemos el segmento SUDOESTE por punto EN y construye un triangulo bmd para que los puntos METRO Y A acostarse a un lado de una línea recta CD y además, BD=b, BDM= 90°, MD= un, entonces bmd= A B C en dos lados y el ángulo entre ellos. Puntos A y METRO conectar por segmentos SOY. Tenemos Maryland CD Y C.A. CD, significa recto C.A. paralela a una linea recta MARYLAND. Porque Maryland< АС, luego recto CD Y SOY no son paralelos. Por lo tanto, AMDC- trapezoide rectangular.

En los triángulos rectángulos ABC y bmd 1 + 2 = 90° y 3 + 4 = 90°, pero como = =, entonces 3 + 2 = 90°; Entonces AV M=180° - 90° = 90°. Resultó que el trapecio AMDC dividido en tres triángulos rectángulos que no se superponen, luego por los axiomas del área

(a+b)(a+b)

Dividiendo todos los términos de la desigualdad por , obtenemos

Ab + c2 + asegundo = (un +b) , 2 abdominales+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

8 VÍAS.

Este método se basa en la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. A B C. Construye los cuadrados correspondientes y demuestra que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 8).

Prueba.

1) DBC= Logística de Amazon= 90°;

DBC+ A B C= Logística de Amazon+ a B C, Medio, FBC= administrador de bases de datos

De este modo, FBC=ABD(en dos lados y el ángulo entre ellos).

2) , donde AL DE, ya que BD es una base común, DL- altura total.

3) , ya que FB es una base, AB- altura total.

5) Del mismo modo, se puede demostrar que

6) Sumando término por término, obtenemos:

, BC2 = AB2 + AC2 . La prueba está completa.

9 VÍAS.

Prueba.

1) Deja ABDE- un cuadrado (Fig. 9), cuyo lado es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (AB)= c, BC = a, AC =b).

2) Deja no sé antes de Cristo Y DK = sol, ya que 1 + 2 = 90° (como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo), 3 + 2 = 90° (como el ángulo de un cuadrado), AB= BD(lados del cuadrado).

Medio, A B C= BDK(por hipotenusa y ángulo agudo).

3) Deja EL CC, AM EL. Se puede demostrar fácilmente que ABC = BDK = DEL = EAM (con piernas A Y b). Entonces Kansas= CM= ML= L.K.= A -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (ab),Con2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

10 VÍAS.

La demostración se puede realizar sobre una figura, jocosamente llamada "pantalones pitagóricos" (Fig. 10). Su idea es transformar los cuadrados construidos sobre los catetos en triángulos iguales, que juntos forman el cuadrado de la hipotenusa.

A B C desplazamiento, como muestra la flecha, y toma la posición KDN. El resto de la figura AKDCB igual al area de un cuadrado AKDC- es un paralelogramo AKNB.

Hizo un modelo de paralelogramo aknb. Desplazamos el paralelogramo tal como está esbozado en el contenido de la obra. Para mostrar la transformación de un paralelogramo en un triángulo igual, frente a los estudiantes, cortamos un triángulo en el modelo y lo desplazamos hacia abajo. entonces el area del cuadrado AKDC es igual al área del rectángulo. Del mismo modo, convertimos el área de un cuadrado en el área de un rectángulo.

Hagamos una transformación para un cuadrado construido sobre una pata A(Fig. 11, a):

a) el cuadrado se transforma en un paralelogramo de igual tamaño (Fig. 11.6):

b) el paralelogramo gira un cuarto de vuelta (Fig. 12):

c) el paralelogramo se transforma en un rectángulo de igual tamaño (Fig. 13): 11 VÍAS.

Prueba:

PCL- recto (Fig. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= segundo 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Prueba terminada .

12 VÍAS.

Arroz. 15 ilustra otra prueba original del teorema de Pitágoras.

Aquí: triángulo ABC con ángulo recto C; segmento de línea novio perpendicular SUDOESTE e igual a él, el segmento SER perpendicular AB e igual a él, el segmento ANUNCIO perpendicular C.A. e igual a él; puntos F, C,D pertenecen a una línea recta; cuadriláteros ADFB Y ACBE son iguales porque ABF = BCE; triangulos alimentador automático de documentos Y AS son iguales; restamos de ambos cuadriláteros iguales un triángulo común para ellos a B C, obtenemos

, c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

13 VÍAS.

El área de este triángulo rectángulo, por un lado, es igual a , con otro, ,

3. CONCLUSIÓN

Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo que es reponer y generalizar conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Fue posible encontrar y considerar varias formas de probarlo y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas de un libro de texto escolar.

El material que he recopilado es aún más convincente de que el teorema de Pitágoras es el gran teorema de la geometría y es de gran importancia teórica y práctica. En conclusión, me gustaría decir: ¡la razón de la popularidad del teorema de Pitágoras del triuno es la belleza, la simplicidad y la importancia!

4. LITERATURA UTILIZADA.

1. Álgebra entretenida. . Moscú "Nauka", 1978.

2. Suplemento didáctico y metodológico semanal del diario "Primero de Septiembre", 24/2001.

3. Geometría 7-9. y etc.

4. Geometría 7-9. y etc.

Teorema

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (Fig. 1):

$c^(2)=a^(2)+b^(2)$

Prueba del teorema de Pitágoras

Sea el triángulo $A B C$ un triángulo rectángulo con ángulo recto $C$ (Fig. 2).

Dibujemos una altura desde el vértice $C$ hasta la hipotenusa $A B$, denotemos la base de la altura como $H$ .

El triángulo rectángulo $A C H$ es similar al triángulo $A B C$ en dos ángulos ($\angle A C B=\angle C H A=90^(\circ)$, $\angle A$ es común). De manera similar, el triángulo $C B H$ es similar a $A B C$.

Introducción a la notación

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

de la semejanza de triángulos obtenemos que

$$\frac(a)(c)=\frac(H B)(a), \frac(b)(c)=\frac(A H)(b)$$

Por lo tanto tenemos que

$$a^(2)=c \cdot H B, b^(2)=c \cdot A H$$

Sumando las igualdades obtenidas, obtenemos

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot A B$$

$$a^(2)+b^(2)=c \cdot c$$

$$a^(2)+b^(2)=c^(2)$$

QED

Formulación geométrica del teorema de Pitágoras

Teorema

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 2):

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo

Ejercicio. Te dan un triángulo rectángulo $A B C$ cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm Encuentra la hipotenusa de este triángulo.

Solución. Según la condición del cateto $a=6$ cm, $b=8$ cm Entonces, según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa

$c^(2)=a^(2)+b^(2)=6^(2)+8^(2)=36+64=100$

Por lo tanto, obtenemos que la hipotenusa requerida

$c=\sqrt(100)=10$ (cm)

Respuesta. 10cm

Ejemplo

Ejercicio. Calcula el área de un triángulo rectángulo si se sabe que uno de sus catetos mide 5 cm más que el otro y la hipotenusa mide 25 cm.

Solución. Sea $x$ cm la longitud del cateto menor, entonces $(x+5)$ cm es la longitud del cateto mayor. Entonces, según el teorema de Pitágoras, tenemos:

$$x^(2)+(x+5)^(2)=25^(2)$$

Abrimos los paréntesis, reducimos los similares y resolvemos la ecuación cuadrática resultante:

$x^(2)+5x-300=0$

De acuerdo con el teorema de Vieta, obtenemos que

$x_(1)=15$ (cm), $x_(2)=-20$ (cm)

El valor de $x_(2)$ no satisface la condición del problema, lo que significa que el cateto menor mide 15 cm y el mayor mide 20 cm.

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las longitudes de sus catetos, es decir

$$S=\frac(15 \cdot 20)(2)=15 \cdot 10=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$$

Respuesta.$S=150\left(\mathrm(cm)^(2)\right)$

Referencia histórica

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

El antiguo libro chino "Zhou bi suan jing" habla de un triángulo pitagórico con lados 3, 4 y 5. El mayor historiador alemán de matemáticas Moritz Kantor (1829 - 1920) cree que la igualdad $3^(2)+4^(2 )=5^ (2) $ ya era conocido por los egipcios alrededor del 2300 a. Según el científico, los constructores luego construyeron ángulos rectos usando triángulos rectángulos con lados 3, 4 y 5. Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. Un texto da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles.

Hasta el momento, se han registrado 367 demostraciones de este teorema en la literatura científica. Probablemente, el teorema de Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal variedad solo puede explicarse por el significado fundamental del teorema de la geometría.

Teorema de pitágoras: La suma de las áreas de los cuadrados sostenidos por los catetos ( a Y b), es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa ( C).

Formulación geométrica:

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo a través de C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b :

a 2 + b 2 = C 2

Ambas formulaciones del teorema son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y midiendo solo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema inverso de Pitágoras:

Prueba

Por supuesto, conceptualmente, todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos: pruebas por el método del área, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, usando ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente demostración de la formulación algebraica es la más simple de las demostraciones construidas directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectangulo C. Dibujemos una altura desde C y denote su base por H. Triángulo CCA similar a un triangulo A B C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C. Introducción a la notación

obtenemos

que es equivalente

Sumando, obtenemos

Pruebas de área

Las siguientes demostraciones, a pesar de su aparente sencillez, no lo son en absoluto. Todos ellos utilizan las propiedades del área, cuya demostración es más complicada que la demostración del propio teorema de Pitágoras.

Prueba vía equivalencia

Organice cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
Cuadrilátero con lados C es un cuadrado porque la suma de dos ángulos agudos es 90° y el ángulo llano es 180°.
El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado (a+b), y por otro lado, a la suma de las áreas de cuatro triángulos y dos interiores cuadrícula.

QED

Evidencia a través de la equivalencia

Una prueba de permutación elegante

Un ejemplo de una de estas demostraciones se muestra en el dibujo de la derecha, donde el cuadrado construido sobre la hipotenusa se convierte por permutación en dos cuadrados construidos sobre los catetos.

prueba de Euclides

Dibujo para la demostración de Euclides

Ilustración para la prueba de Euclides

La idea de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las mitades del área de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.

Considere el dibujo de la izquierda. Construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo sobre él y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos: BHJI y HAKJ , respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre las patas correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK Para ello, usamos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que la dada rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de definir el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado), que, a su vez, es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK.

Probemos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que se necesita hacer para esto es probar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado por la propiedad anterior). Esta igualdad es obvia, los triángulos son iguales en dos lados y en el ángulo entre ellos. Es decir, AB=AK,AD=AC, la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar mediante el método de movimiento: giremos el triángulo CAK 90 ° en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos en consideración serán coinciden (debido a que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).

El argumento sobre la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y el rectángulo BHJI es completamente análogo.

Así, hemos probado que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra aún más con la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la demostración son la simetría y el movimiento.

Considere el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento CI disecciona el cuadrado ABHj en dos partes idénticas (ya que los triángulos ABC Y jHI son iguales en construcción). Usando una rotación de 90 grados en sentido antihorario, vemos la igualdad de las figuras sombreadas CAjI Y GRAMODAB . Ahora está claro que el área de la figura sombreada por nosotros es igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, más el área del triángulo original. El último paso en la demostración se deja al lector.

Demostración por el método infinitesimal

La siguiente demostración con ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Considerando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos laterales infinitesimales Con Y a(usando triángulos semejantes):

Demostración por el método infinitesimal

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para cambiar la hipotenusa en el caso de incrementos de ambos catetos

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos

C 2 = a 2 + b 2 + constante.

Así llegamos a la respuesta deseada.

C 2 = a 2 + b 2 .

Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final se debe a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma se debe a las contribuciones independientes del incremento de los diferentes catetos.

Se puede obtener una demostración más sencilla si suponemos que uno de los lados no experimenta un incremento (en este caso, el lado b). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y Generalizaciones

Si, en lugar de cuadrados, se construyen otras figuras similares sobre las piernas, entonces se cumple la siguiente generalización del teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma de las áreas de figuras semejantes construidas sobre los catetos es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa. En particular:
- La suma de las áreas de los triángulos regulares construidos sobre los catetos es igual al área de un triángulo regular construido sobre la hipotenusa.
- La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos (como sobre el diámetro) es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa. Este ejemplo se utiliza para probar las propiedades de figuras delimitadas por arcos de dos círculos y que llevan el nombre de lúnula hipocrática.

Historia

Chu-pei 500–200 a. A la izquierda está la inscripción: la suma de los cuadrados de las longitudes de la altura y la base es el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

El antiguo libro chino Chu-pei habla de un triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5: En el mismo libro se propone un dibujo que coincide con uno de los dibujos de la geometría hindú de Baskhara.

Kantor (el mayor historiador alemán de las matemáticas) cree que los egipcios ya conocían la igualdad 3 ² + 4 ² = 5² alrededor del 2300 a. e., durante la época del rey Amenemhet I (según el papiro 6619 del Museo de Berlín). Según Cantor, los harpedonapts, o "stringers", construyeron ángulos rectos usando triángulos rectángulos con lados 3, 4 y 5.

Es muy fácil reproducir su método de construcción. Tome una cuerda de 12 m de largo y átela a lo largo de una tira de color a una distancia de 3 m. de un extremo y 4 metros del otro. Un ángulo recto estará encerrado entre lados de 3 y 4 metros de largo. Se podría objetar a los Harpedonapts que su forma de construir se vuelve superflua si se utiliza, por ejemplo, la escuadra de madera que usan todos los carpinteros. De hecho, se conocen dibujos egipcios en los que se encuentra una herramienta de este tipo, por ejemplo, dibujos que representan un taller de carpintería.

Se sabe algo más sobre el teorema de Pitágoras entre los babilonios. En un texto que se remonta a la época de Hammurabi, es decir, al año 2000 a. ej., se da un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. De esto podemos concluir que en Mesopotamia eran capaces de realizar cálculos con triángulos rectángulos, al menos en algunos casos. Basado, por un lado, en el nivel actual de conocimiento de las matemáticas egipcias y babilónicas, y por otro, en un estudio crítico de las fuentes griegas, Van der Waerden (un matemático holandés) concluyó lo siguiente:

Literatura

En ruso

Skopets Z. A. Miniaturas geométricas. m., 1990
Yelensky Sh. Siguiendo los pasos de Pitágoras. m., 1961
Van der Waerden B. L. Ciencia del despertar. Matemáticas del Antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. m., 1959
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. M., 1982
W. Litzman, "El Teorema de Pitágoras" M., 1960.
- Un sitio sobre el teorema de Pitágoras con una gran cantidad de pruebas, el material está tomado del libro de W. Litzman, una gran cantidad de dibujos se presentan como archivos gráficos separados.
El teorema de Pitágoras y el capítulo triple de Pitágoras del libro de D. V. Anosov "Una mirada a las matemáticas y algo de ellas"
Sobre el teorema de Pitágoras y los métodos de su demostración G. Glaser, Académico de la Academia Rusa de Educación, Moscú

En Inglés

El teorema de Pitágoras en WolframMathWorld
Cut-The-Knot, sección sobre el teorema de Pitágoras, cerca de 70 demostraciones y amplia información adicional (ing.)

Fundación Wikimedia. 2010 .

El teorema de Pitágoras dice:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

un 2 + segundo 2 = do 2,

a Y b- piernas formando un ángulo recto.
Con es la hipotenusa del triangulo.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Prueba del teorema de Pitágoras

El área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula:

S = \frac(1)(2)ab

Para calcular el área de un triángulo arbitrario, la fórmula del área es:

pag- semiperímetro. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
r es el radio de la circunferencia inscrita. Para un rectángulo r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Luego igualamos los lados derechos de ambas fórmulas para el área de un triángulo:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \izquierda((a+b)^(2) -c^(2) \derecha)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Teorema inverso de Pitágoras:

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Es decir, para cualquier triple de números positivos un, b Y C, tal que

un 2 + segundo 2 = do 2,

hay un triangulo rectangulo con catetos a Y b e hipotenusa C.

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Fue probado por el científico matemático y filósofo Pitágoras.

El significado del teorema en que se puede utilizar para probar otros teoremas y resolver problemas.

Material adicional:

Sin embargo, el nombre se recibe en honor al científico solo porque él es la primera e incluso la única persona que pudo probar el teorema.

El historiador alemán de las matemáticas Kantor afirmó que los egipcios ya conocían el teorema alrededor del 2300 a. mi. Él creía que los ángulos rectos solían construirse gracias a los triángulos rectángulos con lados 3, 4 y 5.

El famoso científico Kepler dijo que la geometría tiene un tesoro insustituible: este es el teorema de Pitágoras, gracias al cual es posible derivar la mayoría de los teoremas en geometría.

Anteriormente, el teorema de Pitágoras se llamaba “teorema de la novia” o “teorema de la ninfa”. Y es que su dibujo era muy parecido a una mariposa oa una ninfa. Los árabes, cuando tradujeron el texto del teorema, decidieron que la ninfa significa la novia. Así apareció el interesante nombre del teorema.

teorema de Pitágoras, fórmula

Teorema

- en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos () es igual al cuadrado de la hipotenusa (). Este es uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana.

Fórmula:

Como ya se mencionó, hay muchas demostraciones diferentes del teorema con enfoques matemáticos versátiles. Sin embargo, los teoremas de área se usan más comúnmente.

Construye cuadrados en el triángulo ( azul, verde, rojo)

Es decir, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. En consecuencia, las áreas de estos cuadrados son iguales -. Esta es la explicación geométrica de Pitágoras.

Demostración del teorema por el método del área: 1 vía

Probemos eso.

Considera el mismo triángulo con catetos a, b e hipotenusa c.

Completamos el triángulo rectángulo a un cuadrado. Desde el tramo “a” continuamos la línea hasta la distancia del tramo “b” (línea roja).
A continuación, dibujamos la línea del nuevo tramo “a” hacia la derecha (línea verde).
Conectamos dos catetos con la hipotenusa “c”.

Resulta el mismo triángulo, solo que invertido.

Del mismo modo, construimos en el otro lado: desde la pata "a" dibujamos la línea de la pata "b" y hacia abajo "a" y "b" Y desde la parte inferior de la pata "b" dibujamos la línea de la pata “a”. En el centro de cada cateto se dibujó una hipotenusa “c”. Así las hipotenusas formaron un cuadrado en el centro.

Este cuadrado consta de 4 triángulos idénticos. Y el área de cada triángulo rectángulo = la mitad del producto de sus catetos. respectivamente, . Y el área del cuadrado en el centro = , ya que las 4 hipotenusas tienen lados. Los lados de un cuadrilátero son iguales y los ángulos son rectos. ¿Cómo podemos probar que los ángulos son rectos? Muy simple. Tomemos el mismo cuadrado:

Sabemos que los dos ángulos que se muestran en la figura son de 90 grados. Como los triángulos son iguales, entonces el siguiente ángulo del cateto "b" es igual al cateto anterior "b":

La suma de estos dos ángulos = 90 grados. En consecuencia, el ángulo anterior también es de 90 grados. Por supuesto, lo mismo es cierto en el otro lado. En consecuencia, realmente tenemos un cuadrado con ángulos rectos.

Como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90 grados en total, el ángulo del cuadrilátero también será de 90 grados, porque 3 ángulos en total = 180 grados.

En consecuencia, el área de un cuadrado consta de cuatro áreas de triángulos rectángulos idénticos y el área del cuadrado, que está formada por las hipotenusas.

Por lo tanto, tenemos un cuadrado con lado . Sabemos que el área de un cuadrado de lado es el cuadrado de su lado. Eso es . Este cuadrado consta de cuatro triángulos idénticos.

Y esto significa que hemos probado el teorema de Pitágoras.

¡¡¡IMPORTANTE!!! Si encontramos la hipotenusa, sumamos dos catetos y derivamos la respuesta de la raíz. Al encontrar uno de los catetos: del cuadrado de la longitud del segundo cateto, resta el cuadrado de la longitud de la hipotenusa y encuentra la raíz cuadrada.