Sección en un prisma cuadrangular regular. Sección en un prisma cuadrangular regular En un prisma cuadrilátero regular abcda1b1c1d1

En un prisma cuadrangular regular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, los lados de la base son iguales a 2 y los bordes laterales son iguales a 5. El punto E está marcado en el borde AA 1 de modo que AE: EA 1 = 3 : 2. Encuentra el ángulo entre los planos ABC y BED 1 ...

Solución. Deje que la línea D 1 E interseque la línea AD en el punto K. Entonces los planos ABC y BED 1 se intersecarán a lo largo de la línea KB.

Desde el punto E dejamos caer la perpendicular EH a la línea KB, luego el segmento AH (proyección EH) será perpendicular a la línea KB (teorema de las tres perpendiculares).

El ángulo AHE es el ángulo lineal del ángulo diedro formado por los planos ABC y BED 1.

Dado que AE: EA 1 = 3: 2, obtenemos :.

De la similitud de los triángulos A 1 D 1 E y AKE obtenemos: .

En un triángulo rectángulo AKB con un ángulo recto A: AB = 2, AK = 3 ,; donde esta la altura
.

De un triángulo rectángulo AHE con un ángulo recto A obtenemos: y ∠ AHE = arctan (√13 / 2).

Respuesta: arctg (√13 / 2).

Asignaciones para decisión independiente

1 en paralelepípedo rectangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Halla el ángulo entre la línea AB y el plano ABC 1.

2. En un prisma hexagonal recto ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 todos los ángulos son iguales a 1. Calcula la distancia desde el punto B al plano DEA 1.

3. En un paralelepípedo rectangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Halla el ángulo entre la línea AB 1 y el plano ABC 1.

Ejercicio.

En el correcto prisma cuadrangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 los lados de la base son 3 y los bordes laterales son 4. El punto E está marcado en el borde AA 1 de modo que AE: EA 1 = 1: 3.

a) Construya la línea de intersección de los planos ABC y BED 1.

b) Encuentre el ángulo entre los planos ABC y BED 1.

Solución:

a) Construye una línea recta de intersección de planos.ABC yCAMA 1.

Construyamos el avión BED 1. Los puntos E y D 1 se encuentran en el mismo plano, por lo que trazamos la línea ED 1.

Los puntos E y B se encuentran en el mismo plano, por lo que trazamos la línea EB. Entonces, las caras del prisma cuadrangular regular son paralelas, dibuje en la cara BB 1 С 1 С la línea recta BF paralela a la línea recta ED 1. Los puntos F y D 1 se encuentran en el mismo plano, por lo que trazamos una línea FD 1. Consiguió el avión deseado CAMA 1.

Dado que la línea recta ED 1 y la línea recta AD se encuentran en el mismo plano ADD 1, se intersecan en el punto K, que se encuentra en el plano ABC. Los puntos K y B se encuentran en los planos ABC y BED 1, por lo tanto, los planos ABC y BED 1 se cruzan a lo largo de la línea recta KB. Se construye la línea de intersección buscada de los planos ABC y BED 1.

b) Encuentra el ángulo entre los planosABC yCAMA 1

El segmento AE es perpendicular al plano ABC, desde el punto E bajamos la perpendicular EH a la recta KB. El punto H se encuentra en el plano ABC, luego AH es la proyección de EH sobre el plano ABC. Una recta perpendicular a la inclinada EH pasa por el punto H, luego, por el teorema de las tres perpendiculares, el segmento AH es perpendicular a la recta KB.

El ángulo ∠EHA es el ángulo lineal del ángulo diedro formado por los planos ABC y BED 1. Ángulo ∠EHA: el ángulo deseado entre los planos ABC y BED 1. Encontremos el valor de este ángulo.

Considerar triángulo rectángulo EHA (∠А = 90˚):

Por condición AE: EA 1 = 1: 3, luego AE: AA 1 = 1: 4.

Los triángulos AKE y A 1 D 1 E son similares, entonces

UNA 1 D 1 = 3, AE = 1, UNA 1 E = AA 1 - AE = 3

Considere un triángulo rectángulo AKB (∠A = 90˚).

Consideremos otra tarea estereométrica de dos puntos del entrenamiento de MMC.

Tarea.En un prisma cuadrangular regular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 el lado AB de la base es igual a 5, y el borde lateral de AA 1 es igual a la raíz cuadrada de cinco. En las costillas del avión y C 1 D 1 puntos marcados K ​​y L respectivamente, con CK = 2 y C 1 L = 1. Plano gramoparalelo a la línea B D y contiene los puntos K y L.

a) Demuestre que la recta А 1 С es perpendicular al planogramo.

b) Encuentra el volumen de la pirámide, cuya parte superior es el punto A1, y la base es la sección del prisma dado por el plano.gramo.

Solución.a) Ejecute con cuidado el dibujo y analice los datos. Porque ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prisma cuadrangular regular, que significa la base A B C D - cuadrado con lado 5. Las costillas laterales son perpendiculares a las bases. Desde el aviongramopasa por el punto K y es paralelo a la recta B D , luego la línea de intersección del planogramoy el plano ABC es paralelo a la recta B D (Si se dibuja otro plano a través de una línea recta paralela a este plano, entonces la línea de intersección de estos planos será paralela a esta recta.).

A través del punto K trazamos una recta paralela a B D antes de cruzar CD en el punto M. Entonces KM es perpendicular a AS ( porque diagonales de un cuadrado BD y AC son perpendiculares ).

Triángulos BCD y SCM son similares (tanto rectangulares como isósceles), lo que significa CM = KS = 2. Por el teorema de Pitágoras, del triángulo CKM, encontramos que KM = 2√2, y del triangulo BCD BD = 5 √2 ... Las diagonales del cuadrado son iguales, lo que significa que AC = BD = 5 √2.

Ahora, a través del punto L dibujamos una recta paralela B D antes de cruzar B 1 C 1 en el punto T. A lo largo del segmento T Plano L KM L cruzará la base superior ( Si dos planos paralelos son cruzados por un tercer plano, entonces las líneas de intersección serán paralelas.). Entonces T C 1 = C 1 L = 1. Desde el triángulo T LC 1 por el teorema de Pitágoras T L = √2.

En TC de trapecio isósceles L M punto H - el medio de la base superior, punto norte - la mitad de la base inferior, luego H norte - altura trapezoidal, N norte perpendicular al CM. Esto significa que KM es perpendicular al plano AA 1 C, incluida la línea recta A 1 C.

Considere la sección diagonal del prisma rectangular AA 1 C 1 C. Desde el punto H, dejemos caer la perpendicular a AC. Luego NE = EC = H C 1 = 0.5 √2. NO = C C 1 = √5.

En triángulos AA 1 C y norte Ángulo de PC PCA - común. La tangente del ángulo AA 1 C es 5√2: √5 = √10 Tangente del ángulo H N E del triángulo H N E es igual a √5: 0.5 √2 = √10 ... Por lo tanto, los ángulos AA 1 C y H norte E son iguales. Pero entonces los ángulos restantes A 1 AC = N РС = 90 ⁰ ... Tenemos A 1 C perpendicular a las rectas H norte y KM, entonces A 1 C es perpendicular al plano del trapezoide KT L M. Lo que se requería para probar.

Para encontrar el volumen de la pirámide A 1 CT L M, necesitas encontrar el área del trapecio CT L M y altura A 1 R. Desde el triángulo H norte E por el teorema de Pitágoras H N 2 = 5,5. Área trapezoidal de TC L M es igual a H N * (T L + KM) / 2 = √5.5 * (√2 + 2 √2) / 2 = 1.5 √11.