توزیع Bayes فرمول احتمال کامل، فرمول Bayes

تئوری مختصر

اگر یک رویداد تنها تحت شرایطی رخ دهد که یکی از رویدادهای تشکیل یک گروه کامل از رویدادهای ناقص به نظر می رسد، برابر با مقدار احتمال هر یک از حوادث به احتمال احتمالی مشروط کیف پول است.

در همان زمان، رویدادها فرضیه نامیده می شود، و احتمالات - پیشینی. این فرمول یک فرمول احتمالی کامل نامیده می شود.

فرمول Bayes در حل وظایف عملی مورد استفاده قرار می گیرد زمانی که یک رویداد که در ارتباط با هر یک از رویدادهای تولید یک گروه کامل رویداد رخ داده است، مورد استفاده قرار می گیرد و بازدهی کمی از احتمالات فرضیه ها مورد نیاز است. پیش از این (قبل از تجربه) شناخته شده است شناخته شده است. لازم است محاسبه posteriori (پس از تجربه) احتمال، I.E. اساسا شما باید احتمال احتمالی را پیدا کنید. فرمول Bayes به نظر می رسد این است:

صفحه بعدی به وظیفه کار می کند.

یک مثال از حل مشکل

شرایط کار 1.

در کارخانه، ماشین آلات 1،2 و 3 تولید 20٪، 35٪ و 45٪ از تمام قطعات. در محصولات خود، ازدواج به ترتیب 6٪، 4٪، 2٪ است. این احتمال وجود دارد که محصول تصادفی انتخاب شده معیوب شود؟ احتمال تولید آن چیست: الف) دستگاه 1؛ ب) دستگاه 2؛ ج) دستگاه 3؟

راه حل مشکل 1.

نشان دهنده این رویداد است، که این محصول استاندارد معیوب است.

یک رویداد می تواند تنها زمانی رخ دهد که یکی از سه رویداد رخ دهد:

محصول در دستگاه 1 ساخته شده است؛

محصول بر روی دستگاه 2 ساخته شده است؛

محصول در دستگاه 3 ساخته شده است؛

ما احتمال مشروط را بنویسیم:

فرمول کامل فرمول

اگر یک رویداد تنها در هنگام انجام یکی از رویدادهایی که کمیسیون رویدادهای غیر قابل درک را تشکیل می دهند، احتمال وقوع یک رویداد توسط فرمول محاسبه می شود

با توجه به فرمول کامل احتمال، ما احتمال وقوع یک رویداد را پیدا می کنیم:

فرمول Bayes.

فرمول Bayes به شما اجازه می دهد تا "علت و نتیجه را تغییر دهید": با توجه به واقعیت شناخته شده، این رویداد احتمال این احتمال را محاسبه می کند که به این دلیل ایجاد شده است.

احتمال این که محصول معیوب در دستگاه 1 ساخته شده است:

احتمال این که محصول معیوب بر روی دستگاه ساخته شده است 2:

احتمال این که محصول معیوب در دستگاه 3 ساخته شده است:

شرایط کاری 2

این گروه شامل 1 دانش آموز عالی، 5 دانش آموز و 14 دانش آموز است که زمان داشته اند. دانش آموز عالی به 5 و 4 پاسخ می دهد با احتمال برابر، خوب پاسخ به 5، 4 و 3 با احتمال مساوی پاسخ می دهد، و دانش آموز متوالی Mediocre به 4.3 و 2 با احتمال برابر پاسخ می دهد. دانش آموز به طور تصادفی انتخاب شده پاسخ داده شده است 4. احتمال این است که دانش آموز Mediocre نامیده شده است؟

راه حل کار 2.

فرضیه و احتمالات مشروط

فرضیه های زیر ممکن است:

یک دانش آموز عالی پاسخ داد؛

یک پاسخ خوب؛

- یک دانش آموز متوسط \u200b\u200bرا ساخت

اجازه دهید رویداد دریافت 4.

پاسخ:

قیمت به شدت بر ضرورت راه حل تاثیر می گذارد (از روز به چند ساعت). کمک آنلاین در امتحان / جدول رده بندی توسط انتصاب انجام می شود.

این برنامه را می توان به طور مستقیم در چت به سمت چپ، قبلا پرتاب وضعیت وظایف و اطلاع دادن به تصمیم شما نیاز دارد. زمان پاسخ - چند دقیقه

اجازه دهید آنها احتمالا شناخته شده و احتمال احتمالی مشروط باشند. سپس احتمال وقوع حوادث برابر است:

این فرمول نامگذاری شد فرمول احتمالی کامل. در کتاب های درسی، آن را توسط قضیه فرموله شده است، اثبات آن ابتدایی است: با توجه به جبر رویدادها, (رویداد رخ داده است و یا رویداد اتفاق افتاد و پس از آن تا به حال یارویداد اتفاق افتاد و پس از آن تا به حال یا …. یا رویداد اتفاق افتاد و پس از آن یک رویداد آمده است). از آنجا که فرضیه متناقض، و یک رویداد - بسته به قضیه علاوه بر احتمال وقوع وقایع ناقص (گام اول) و قضیه قصد وقایع احتمالی احتمالی (مرحله دوم):

احتمالا بسیاری از محتوای مثال اول را پیش بینی می کنند \u003d)

هر کجا که من تف کن - در همه جا urn:

وظیفه 1

سه urns یکسان وجود دارد. در اولین URN، 4 سفید پوستان و 7 توپ سیاه وجود دارد، در دوم - تنها سفید و در سوم توپ های سیاه و سفید. Maudoku یک urn انتخاب شده است و یک توپ از او به طور تصادفی استخراج می شود. احتمال این که این توپ سیاه است چیست؟

تصمیم: یک رویداد را در نظر بگیرید - یک توپ سیاه از جو از اتمسفر urn استخراج می شود. این رویداد ممکن است رخ دهد یا به عنوان یک نتیجه از اجرای یکی از فرضیه های زیر رخ دهد:
- URN 1 انتخاب خواهد شد
- دوم URN انتخاب خواهد شد
- URN سوم انتخاب خواهد شد.

از آنجا که URN به صورت تصادفی انتخاب شده است، انتخاب هر یک از سه urns ممکن استاز این رو:

لطفا توجه داشته باشید که فرم فرضیه ذکر شده است گروه کامل رویدادها، به این ترتیب، یک توپ سیاه ممکن است تنها از این urn ها ظاهر شود، و به عنوان مثال، از جدول بیلیارد پرواز نمی کند. ما یک چک ساده و متوسط \u200b\u200bرا انجام خواهیم داد:
خوب، برو بیشتر:

در اولین URN 4 سفید + 7 سیاه \u003d 11 توپ، توسط تعریف کلاسیک:
- احتمال استخراج یک توپ سیاه با توجه به اینکه 1st urn انتخاب خواهد شد.

در urn دوم، فقط توپ های سفید، بنابراین در صورت انتخاب آن ظاهر یک توپ سیاه تبدیل می شود غیر ممکن: .

و در نهایت، در سوم urn یک توپ سیاه و سفید، و بنابراین مربوط احتمال شرطی عصاره سیاه توپ خواهد بود (رویداد قابل اعتماد است).

- احتمال این که یک توپ سیاه از تصادفی urn انتخاب شده استخراج شود.

پاسخ:

مثال جداگانه دوباره نشان می دهد که چقدر مهم است که به این شرایط بپیوندید. همان وظایف با urns و توپ را انجام دهید - زمانی که آنها شباهت خارجی هستند، راه حل ها می توانند کاملا متفاوت باشند: جایی که فقط باید اعمال کنید تعریف احتمالی کلاسیک، جایی رویدادها مستقلجایی وابسته، و جایی ما درباره فرضیه ها صحبت می کنیم. در عین حال، معیار رسمی مشخصی برای انتخاب راه حل راه حل وجود ندارد - تقریبا همیشه باید به آن فکر کند. چگونه مدارک تحصیلی خود را بهبود بخشید؟ ما تصمیم می گیریم، ما تصمیم می گیریم و دوباره حل می کنیم!

وظیفه 2

در خط تیره 5 دقت نبرد تفنگ مختلف وجود دارد. احتمال ورود به هدف برای این فلش به ترتیب 0.5 است. 0.55؛ 0.7؛ 0.75 و 0.4. اگر تیرانداز یک تفنگ به طور تصادفی انتخاب شده را انتخاب کند، احتمال ضربه زدن به هدف چیست؟

یک راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

در اکثر وظایف موضوعی، فرضیه، البته، به طور مساوی برابر نیست:

وظیفه 3

در 5 تفنگ هرم، سه نفر از آنها با دید نوری مجهز شده اند. احتمال این که تیرانداز هنگامی که یک تفنگ با یک دید نوری به هدف برسد، به هدف برسد، برابر با 0.95؛ برای یک تفنگ بدون دید نوری، این احتمال 0.7 است. این احتمال را پیدا کنید که هدف این هدف شگفت زده خواهد شد اگر تیرانداز تولید یک شات از یک ردیف گرفته شده تفنگ گرفته شده است.

تصمیم: در این کار، تعداد تفنگ ها دقیقا همانند در یک قبلی است، اما تنها دو فرضیه وجود دارد:
- تیرانداز یک تفنگ را با یک دید نوری انتخاب می کند؛
- تیرانداز یک تفنگ را بدون یک دید نوری انتخاب می کند.
توسط تعریف کلاسیک احتمال احتمالی: .
کنترل:

این رویداد را در نظر بگیرید: - تیرانداز هدف را از تفنگ های تصادفی گرفته شده است.
با شرایط :.

با توجه به فرمول کامل احتمال:

پاسخ: 0,85

در عمل، کاملا راه کوتاه ثبت نام از کار، که شما نیز همچنین می دانید:

تصمیم: با تعریف کلاسیک: - احتمالات انتخاب یک تفنگ با نوری و بدون دید نوری به ترتیب.

با شرایط، - احتمال ورود به هدف از نوع مربوطه تفنگ.

با توجه به فرمول کامل احتمال:
- احتمال این که تیرانداز به هدف از رمپ تفنگ انتخاب شده ضربه.

پاسخ: 0,85

کار بعدی برای راه حل های خود:

وظیفه 4

موتور در سه حالت کار می کند: طبیعی، اجباری و خسته کننده. در حالت خاموش، احتمال شکست آن 0.05 است، در حالت عادی عملیات - 0.1 و با اجباری - 0.7. 70٪ از زمان موتور در حالت عادی عمل می کند و 20٪ در اجباری است. احتمال شکست موتور در طول عملیات چیست؟

فقط در صورتی که من به شما یادآوری می کنم - برای به دست آوردن احتمال مزایای احتمالی باید به 100 تقسیم شود. بسیار مراقب باشید! با توجه به مشاهدات من، شرایط برای وظایف فرمول احتمالی کامل اغلب تلاش می کنند؛ و من به طور خاص چنین نمونه ای را برداشتم. من به شما یک راز خواهم گفت - من تقریبا اشتباه نکرده ام \u003d)

راه حل در پایان درس (تزئین شده به روش کوتاه)

وظایف برای فرمول های بیس

مواد به شدت مربوط به محتوای پاراگراف قبلی است. اجازه دهید این رویداد به عنوان یک نتیجه از اجرای یکی از فرضیه ها رخ داده است . چگونگی تعیین احتمال وجود چنین فرضیه ای وجود دارد؟

با توجه به ایناین رویداد در حال حاضر اتفاق افتاده استفرضیه احتمالی بیش از حد با توجه به فرمول هایی که نام منزوی انگلیسی Thomas Bayes را دریافت کردند:

- احتمال این که یک فرضیه وجود دارد؛
- احتمال این که یک فرضیه وجود دارد؛
…
- احتمال وجود این فرضیه وجود دارد.

در نگاه اول، به نظر می رسد مزخرف کامل است - چرا دوباره محاسبه احتمال فرضیه ها، اگر آنها بسیار معروف هستند؟ اما در واقع، تفاوت وجود دارد:

- این هست پیشین (دارای رتبه قبل از تست ها) احتمال.

- این هست طوطی (دارای رتبه بعد از تست ها) احتمال این فرضیه ها، به دلیل "با شرایط تازه کشف شده" دوباره محاسبه می شود - با توجه به این واقعیت که این رویداد قابل اعتماد اتفاق افتاده است.

این تمایز را در یک مثال خاص در نظر بگیرید:

وظیفه 5

انبار دریافت 2 محصول دسته ای: اولین - 4000 قطعه، دوم - 6000 قطعه. درصد متوسط \u200b\u200bمحصولات غیر استاندارد در دسته اول 20٪ و در دوم - 10٪ است. Raduchi گرفته شده از انبار محصول معلوم شد استاندارد است. احتمال آن را پیدا کنید: الف) از دسته اول، ب) از دسته دوم.

قسمت اول راه حل های این شامل استفاده از فرمول احتمالی کامل است. به عبارت دیگر، محاسبات تحت این فرض قرار می گیرند که آزمون هنوز تولید نشده است رویداد "محصول معلوم شد استاندارد است" تا زمانی که آمد

دو فرضیه را در نظر بگیرید:
- محصول دست راست از حزب اول خواهد بود؛
- مرز گرفته شده محصول از حزب دوم خواهد بود.

مجموع: 4000 + 6000 \u003d 10،000 محصول موجود در انبار. با تعریف کلاسیک:
.

کنترل:

رویداد وابسته را در نظر بگیرید: - بزرگنمایی محصول گرفته شده از انبار خواهد بود استاندارد

در اولین دسته 100٪ - 20٪ \u003d 80٪ از محصولات استاندارد، بنابراین: با توجه به اینکه متعلق به حزب 1 است.

به طور مشابه، در دسته دوم 100٪ - 10٪ \u003d 90٪ از محصولات استاندارد و - احتمال این که محصول گرفته شده در انبار استاندارد باشد با توجه به ایناین متعلق به حزب دوم است.

با توجه به فرمول کامل احتمال:
- احتمال این که محصول گرفته شده در انبار استاندارد باشد.

بخش دوم. اجازه دهید گلدان گرفته شده از انبار محصول معلوم شود استاندارد است. این عبارت به طور مستقیم در شرایط نوشته شده است، و این واقعیت را که این رویداد را بیان می کند، بیان می کند رخ داده است.

با توجه به فرمول های Bayes:

الف) احتمال این که محصول استاندارد انتخاب شده متعلق به دسته اول باشد؛

ب) احتمال دارد که محصول استاندارد انتخاب شده متعلق به دسته دوم باشد.

بعد از تجدید حیات فرضیه ها، البته، هنوز تشکیل شده اند گروه کامل:
(بررسی ؛-))

پاسخ:

ایوان Vasilyevich به ما کمک خواهد کرد تا معنای اصلاحات فرضیه ها را درک کنیم، که دوباره حرفه خود را تغییر داد و به مدیر کارخانه تبدیل شد. او می داند که امروز کارگاه اول 4000 را به انبار رساند و فروشگاه دوم 6000 محصول است و می آید تا مطمئن شود. فرض کنید تمام محصولات مشابه نوع در یک ظرف قرار دارند. به طور طبیعی، ایوان Vasilyevich پیش از آن محاسبه شده است که محصولی که او اکنون حذف می شود، احتمالا توسط کارگاه اول و با احتمال دوم منتشر می شود. اما پس از آنکه محصول انتخاب شده به عنوان استاندارد تبدیل شود، آن را گمراه می کند: "چه پیچ سرد! - او به احتمال زیاد فروشگاه دوم را منتشر کرد. " بنابراین، احتمال این فرضیه دوم برای بهتر شدن ارزش گذاری می شود و احتمال ابتلا به فرضیه اول دست کم گرفته می شود :. و این تغییر ارزش گذاری غیرقانونی نیست - چرا که فروشگاه دوم نه تنها محصولات بیشتری تولید می کند، بلکه 2 بار بهتر کار می کند!

آیا شما ذهنیت گرایی خالص را می گویید؟ تا حدودی بله، علاوه بر این، بیس خود را تفسیر کرد طوطی احتمال به عنوان سطح اعتماد. با این حال، همه چیز خیلی ساده نیست - یک دانه عینی در رویکرد بیزی وجود دارد. پس از همه، احتمال این که محصول استاندارد باشد (0.8 و 0.9 برای کارگاه های 1 و دوم) این هست مقدماتی (پیشینی) و وسطتخمین ها اما، بیان فلسفی - همه چیز جریان، همه چیز تغییر می کند، و احتمالات از جمله. ممکنه که در زمان تحقیق یک کارگاه دوم موفق تر، درصد محصولات استاندارد را افزایش داد (و / یا کارگاه اول کاهش یافته است)و اگر شما بیشتر یا هر 10 هزار محصول را در سهام بررسی کنید، ارزش های اعتباری بسیار نزدیک به حقیقت خواهد بود.

به هر حال، اگر ایوان Vasilyevich جزئیات غیر استاندارد را حذف کند، پس از آن، آن را بیشتر "مشکوک" کارگاه اول و کمتر - دوم خواهد بود. من پیشنهاد می کنم اطمینان حاصل کنم که:

وظیفه 6

انبار دریافت 2 محصول دسته ای: اولین - 4000 قطعه، دوم - 6000 قطعه. درصد متوسط \u200b\u200bمحصولات غیر استاندارد در دسته اول 20٪، در دوم - 10٪ است. رادچ از محصول انبار خارج شد نهاستاندارد احتمال آن را پیدا کنید: الف) از دسته اول، ب) از دسته دوم.

این شرایط توسط دو حرف متمایز است که فونت جسورانه را برجسته کردم. این کار را می توان با یک "ورق تمیز" حل کرد یا از نتایج محاسبات قبلی استفاده کرد. در نمونه، من یک راه حل کامل داشتم، اما به منظور داشتن یک پوشش رسمی با شماره کار 5، یک رویداد نیست "محصول گرفته شده از انبار غیر استاندارد خواهد بود" مشخص شده از طریق

نمودار بیزی از معامله احتمالات در همه جا رخ می دهد و به طور فعال توسط انواع مختلف سوء استفاده ها مورد بهره برداری قرار می گیرد. اجازه دهید JSC منفی را به سه حرف که سپرده های جمعیت را جذب می کند، در نظر بگیرد، به شرطی که در جایی سرمایه گذاری می کند، به درستی سود سهام و غیره پرداخت می شود. چه اتفاقی می افتد؟ روز به روز، ماه بعد از ماه، ماه و بیشتر و بیشتر واقعیت های جدید، گزارش شده توسط تبلیغات و "رادیو سوروله"، تنها سطح اعتماد به نفس در هرم مالی را افزایش می دهد (تجدید نظر Bayesov Bayesov در ارتباط با رویدادهایی که رخ داده است!). یعنی، در نظر سپرده گذاران، افزایش ثابت در این احتمال وجود دارد "این یک دفتر جدی است"؛ در این مورد، احتمال فرضیه مخالف ("اینها چتر بعدی هستند")، البته، کاهش و کاهش می یابد. علاوه بر این، من فکر می کنم، قابل فهم است. قابل توجه است که شهرت به دست آمده به سازمان دهندگان زمان را به طور موفقیت آمیز از ایوان Vasilyevich پنهان، که نه تنها بدون حزب پیچ، بلکه بدون شلوار باقی مانده است.

به هیچ مثال کمتر جالب، ما کمی بعد، و همچنین صف، شاید شایع ترین مورد با سه فرضیه، بازگشت

وظیفه 7

الکترولید بر روی سه کارخانه ساخته شده است. گیاه اول 30٪ از کل تعداد لامپ ها را تولید می کند، 2nd - 55٪، و 3rd بقیه است. محصولات گیاه 1 شامل 1٪ لامپ های معیوب، 2nd - 1.5٪، 3 - 2٪. فروشگاه محصولات هر سه گیاه را می پذیرد. لامپ خریداری شده ازدواج بود. احتمال وجود دارد که توسط گیاه دوم تولید شود؟

توجه داشته باشید که در وظایف فرمول های Bayes در شرایط قبل از برخی به نظر می رسد چی شدرویداد در این مورد - خرید یک لامپ.

رویدادها اضافه شده، و تصمیم راحت تر است که در سبک "سریع" ترتیب دهید.

الگوریتم دقیقا همان است: در مرحله اول ما این احتمال را پیدا می کنیم که لامپ خریداری شده در همه به نظر می رسد معیوب

با استفاده از داده های منبع، ما علاقه به احتمال را ترجمه می کنیم:
- احتمال این که لامپ توسط گیاهان 1، 2 و 3 تولید شود.
کنترل:

به طور مشابه: - احتمالات تولید یک لامپ معیوب برای کارخانه های مربوطه.

با توجه به فرمول کامل احتمال:

- احتمال این که لامپ خریداری شده با ازدواج باشد.

مرحله دوم اجازه دهید لامپ خریداری شده معیوب باشد (رویداد اتفاق افتاد)

توسط Bayes Formula:
- احتمال این که لامپ معیوب خریداری شده توسط گیاه دوم ساخته شده است

پاسخ:

چرا احتمال ابتدای فرضیه دوم پس از بازپرداخت افزایش می یابد؟ پس از همه، گیاه دوم تولید متوسط \u200b\u200bدر کیفیت لامپ (اول - بهتر، سوم بدتر است). پس چرا افزایش یافته است متضاد احتمال لامپ معیوب از کارخانه دوم است؟ این توسط "شهرت" توضیح داده نمی شود، اما اندازه. از آنجا که کارخانه شماره 2 بزرگترین مقدار لامپ ها را منتشر کرده است، سپس بر روی آن (حداقل ذهنی) و فوم: "به احتمال زیاد، این لامپ معیوب از آنجا است".

جالب است که توجه داشته باشید که احتمالات فرضیه های اول و سوم در جهت های مورد انتظار تجدید نظر شده و برابر با:

کنترل: چه چیزی لازم بود چک کنید

به هر حال، در مورد تخمین های ضعیف و بیش از حد ارزیابی شده است:

وظیفه 8

در گروه دانشجویی، 3 نفر دارای سطح بالایی از آماده سازی، 19 نفر - متوسط \u200b\u200bو 3 - کم است. احتمال امتحان موفقیت آمیز برای داده های دانش آموزان به ترتیب برابر است: 0.95؛ 0.7 و 0.4. شناخته شده است که برخی از دانش آموزان امتحان را امتحان کردند. احتمال این است که:

الف) خیلی خوب آماده شد
ب) متوسط \u200b\u200bآماده شد؛
ب) آماده بود.

انجام محاسبات و تجزیه و تحلیل نتایج حاصل از ارزیابی فرضیه ها.

این وظیفه نزدیک به واقعیت است و به ویژه برای گروهی از دانش آموزان معمار قابل اعتماد است، جایی که معلم عملا توانایی دانش آموزان را نمی داند. در این مورد، نتیجه ممکن است عواقب غیر منتظره ای داشته باشد. (مخصوصا برای امتحانات در ترم اول). اگر یک دانش آموز ضعیف آماده بود به بلیط خوش شانس بود، معلم احتمالا آن را به خوبی و یا حتی یک دانش آموز قوی که سود سهام خوب را در آینده به ارمغان می آورد (به طور طبیعی، شما باید "نوار را بالا ببرید" و تصویر خود را حفظ کنید). اگر یک دانش آموز از 7 روز و 7 شب آموزش داده شود، تعطیل، تکرار، اما او به سادگی خوش شانس بود، پس از آن رویدادهای بیشتر می تواند در روکش بسیار بد - با تعویض متعدد و متعادل در آستانه خروج توسعه یابد.

چه باید بگویم، شهرت مهمترین سرمایه است، به این معنا نیست که بسیاری از شرکت ها نام اسامی پدران بنیانگذار خود را می پوشند، که شغلی 100 تا 200 سال پیش شغلی را هدایت می کرد و به خاطر شهرت بی عیب و نقص معروف شد.

بله، رویکرد بیزی تا حدودی ذهنی است، اما ... زندگی خیلی مرتب شده است!

مواد را از طریق مثال صنعتی نهایی که در آن به شما در مورد درک فنی دقیق از تصمیم به شما می گویند، انجام دهید:

وظیفه 9

سه کارگاه آموزشی کارخانه ها اقلام مشابهی را تولید می کنند که وارد مجمع به یک ظرف معمولی می شوند. شناخته شده است که اولین کارگاه 2 برابر جزئیات بیشتر از کارگاه دوم و 4 برابر بیشتر از کارگاه سوم تولید می کند. در اولین کارگاه، ازدواج 12٪ است، در دوم - 8٪، در سوم - 4٪. برای کنترل کانتینر یک جزئیات گرفته شده است. احتمال این است که معیوب باشد؟ احتمال این است که مورد معیوب استخراج شده فروشگاه 3 را منتشر کند؟

Taki Ivan Vasilyevich دوباره روی اسب \u003d) باید یک پایان خوشحال از فیلم وجود دارد)

تصمیم: بر خلاف وظایف شماره 5-8، به صراحت یک سوال را مطرح می کند که با استفاده از فرمول احتمالی کامل مجاز است. اما از سوی دیگر، وضعیت کمی "رمزگذاری شده" است، و برای حل این ربوس به ما کمک خواهد کرد که به مهارت مدرسه کمک کند تا ساده ترین معادلات را تشکیل دهد. برای "X" مناسب برای پذیرش کوچکترین معنی:

اجازه دهید - نسبت جزئیات تولید شده توسط کارگاه سوم.

با شرایط، اولین فروشگاه 4 بار کارگاه سوم را تولید می کند، بنابراین سهم کارگاه اول است.

علاوه بر این، اولین کارگاه تولید محصولات 2 برابر بیشتر از کارگاه دوم را تولید می کند، به این معنی که سهم دوم :.

اجازه دهید ما و حل معادله:

بنابراین، - احتمال این که بخش استخراج شده از ظرف به ترتیب 1، فروشگاه های دوم و سوم منتشر شود.

کنترل: . علاوه بر این، آن را بیش از حد به نظر نمی رسد به عبارت "شناخته شده است که اولین فروشگاه تولید محصولات 2 برابر بیشتر از کارگاه دوم و 4 برابر بیشتر از کارگاه سوم" و اطمینان حاصل کنید که مقادیر احتمالی به دست آمده به این وضعیت مربوط می شود.

برای "X" ابتدا ممکن بود سهم اول یا سهم کارگاه دوم را داشته باشیم - احتمالات به همان صورت از بین می روند. اما، یک راه دیگر، سخت ترین طرح تصویب شد، و تصمیم گیری در RUT نورد گنجانده شده است:

از شرایطی که ما پیدا می کنیم:
- احتمالات ساخت یک بخش معیوب برای کارگاه های مربوطه.

با توجه به فرمول کامل احتمال:
- احتمال این که تمام جزئیات استخراج شده از ظرف غیر استاندارد باشد.

سوال دوم این است: احتمال این است که بخش معیوب استخراج شده فروشگاه 3 را منتشر کرد؟ این سوال نشان می دهد که این مورد قبلا استخراج شده است، و معلوم شد که معیوب است. فرضیه را با فرمول Bayes بیش از حد ارزیابی کنید:
- احتمال مطلوب کاملا انتظار می رود - زیرا کارگاه سوم نه تنها کوچکترین سهم جزئیات را تولید می کند، بلکه در کیفیت نیز منجر می شود!

در این مورد من مجبور شدم یک شات چهار طبقه را ساده کنیدکه در وظایف فرمول های Bayes باید اغلب انجام شود. اما برای این درس، به نحوی به طور تصادفی نمونه هایی را برداشتم که در آن بسیاری از محاسبات را می توان بدون فراکسیون های عادی انجام داد.

از آنجا که به زودی هیچ نقشی وجود ندارد "A" و "Be"، پاسخ بهتر است برای ارائه نظرات متن:

پاسخ: - احتمال این که بخش استخراج شده از ظرف معیوب باشد؛ - احتمال این که آیتم ناقص بازیابی شده فروشگاه 3 را منتشر کرد.

همانطور که می بینید، وظایف فرمول برای احتمال کامل و فرمول Bayes بسیار ساده هستند، و احتمالا به همین دلیل، آنها اغلب تلاش می کنند تا دشوار باشد که در مورد آنچه که من در آن ذکر کردم دشوار است آغاز مقاله

نمونه های اضافی در فایل با راه حل های آماده شده در F.P.V. و فرمول Bayesعلاوه بر این، احتمالا شما آرزو می کنید که عمیق تر خود را با این موضوع در سایر منابع آشنا کنید. و موضوع واقعا بسیار جالب است - تنها یک است پارادوکس بیزکه این شورای روزمره را توجیه می کند که اگر یک فرد با یک بیماری نادر تشخیص داده شود، منطقی است که تکرار شود و حتی دو نظرسنجی مستقل تکرار شود. به نظر می رسد که آن را به طور انحصاری از ناامیدی انجام می دهد ... اما نه! اما ما در مورد غم و اندوه نخواهیم بود.

- احتمال این که یک دانش آموز انتخابی دلخواه امتحان را تصویب کند.
اجازه دهید دانش آموزان امتحان را امتحان کنند با توجه به فرمول های Bayes:
ولی) - احتمال این که دانش آموزانی که امتحان را گذراندند بسیار خوب بود. احتمال ابتدایی عینی بیش از حد است، زیرا تقریبا همیشه برخی از "Middling" با سوالات خوش شانس هستند و به شدت پاسخ می دهند، که باعث می شود که تصور اشتباه از آموزش بی عیب و نقص باشد.
ب) - احتمال این که دانش آموزانی که امتحان را گذراندند، به طور متوسط \u200b\u200bآماده شد. احتمال ابتدایی کمی بیش از حد است، زیرا دانش آموزان با متوسط \u200b\u200bسطح آماده سازی معمولا بیشتر هستند، علاوه بر این، معلم "دانش آموزان عالی" ناموفق را دریافت می کند، و گاهی اوقات و ضعف دانش آموز را که با یک بلیط بسیار خوش شانس است، صرف می کند.
که در) - احتمال این که یک دانش آموز که امتحان را گذراند، آماده بود. احتمال اولیه برای بدتر شدن ارزش گذاری شده است. تعجب آور نیست.
بررسی:
پاسخ :

درک (مطالعه) احتمالات شروع می شود که در آن دوره کلاسیک تئوری احتمالی به پایان می رسد. به دلایلی، مدرسه و دانشگاه احتمال احتمال فرکانس (ترکیبی) یا احتمال تعیین آنچه تعیین می شود، آموزش می دهد. مغز انسان به طور متفاوتی کار می کند. ما نظریه ها (نظرات) در مورد همه چیز در جهان داریم. ما به لحاظ احتمال وقوع حوادث خاص را ارزیابی می کنیم. ما همچنین می توانیم نظر خود را تغییر دهیم اگر چیزی غیر منتظره رخ دهد. این چیزی است که ما هر روز انجام می دهیم. به عنوان مثال، اگر شما با یک دوست دختر در بنای تاریخی به Pushkin ملاقات می کنید، می دانید که آیا در زمان، دیر به مدت 15 دقیقه یا نیم ساعت خواهد بود. اما رفتن به منطقه مترو، و دیدن 20 سانتی متر برف تازه، شما احتمال های خود را به روز رسانی به حساب های جدید را به روز رسانی.

چنین رویکردی برای اولین بار توسط Bayes و LaPlace توصیف شد. اگر چه لاپلاس، من فکر می کنم او با کار بیس آشنا نیست. بر اساس دلیل غیر قابل درک، رویکرد بیزی در ادبیات روسی زبان بسیار ضعیف است. برای مقایسه، من متوجه خواهم شد که به درخواست Bayes Ozon به 4 مراجعه می دهد و آمازون حدود 1000 است.

یادداشت کنونی ترجمه یک کتاب کوچک انگلیسی است و به شما یک درک بصری از نحوه استفاده از قضیه Bayes می دهد. با تعریف شروع می شود، و سپس از نمونه هایی در اکسل استفاده می کند، که اجازه می دهد کل مسیر استدلال را ردیابی کند.

اسکات هارتشورن. مثالهای قضیه Bayes: یک راهنمای بصری برای مبتدیان. - 2016، 82 پ.

دانلود یادداشت در فرمت یا نمونه های فرمت

تعریف قضیه Bayes و یک توضیح بصری

قضیه Bayes.

جایی که A و B حوادث هستند، p (a) و p (b) - احتمالات A و B به غیر از یکدیگر، p ) - احتمال شرطی B، اگر و واقعا.

در واقع، معادله تا حدودی پیچیده تر است، اما برای اکثر برنامه های کاربردی کافی است. نتیجه محاسبات به سادگی ارزش وزنی طبیعی بر اساس فرض اولیه است. بنابراین، فرض اولیه را بپذیرید، آن را در رابطه با سایر امکانات اولیه وزن کنید، بر اساس مشاهدات عادی سازی کنید:

در جریان حل مشکلات، ما مراحل زیر را انجام خواهیم داد (در ادامه آنها واضح تر خواهند شد):

1. تعیین چه نوع احتمالات ما می خواهیم محاسبه کنیم، و آنچه که ما آن را مشاهده می کنیم.
2. احتمال احتمالات اولیه را برای همه گزینه های ممکن ارزیابی کنید.
3. فرض بر حقیقت یک گزینه اولیه خاص، احتمال مشاهده مشاهدات ما را محاسبه کنید؛ و بنابراین برای تمام گزینه های اولیه.
4. مقدار معلق را به عنوان کار احتمالی اولیه (مرحله 2) و احتمال شرطی (مرحله 3) پیدا کنید، و برای هر یک از گزینه های اولیه.
5. نتایج عادی: تقسیم هر احتمال وزنی (مرحله 4) برای مجموع تمام احتمالات معلق؛ مجموع احتمالات نرمال شده \u003d 1.
6. مراحل 2-5 را برای هر مشاهدات جدید تکرار کنید.

مثال 1. یک مثال ساده با استخوان

فرض کنید دوست شما دارای 3 استخوان است: از 4، 6 و 8 چهره. او به طور تصادفی یکی از آنها را انتخاب می کند، شما را نشان نمی دهد، پرتاب و گزارش نتیجه - 2. محاسبه احتمال این که 4 ساله انتخاب شده، 6 ساله، 8 ساله.

مرحله 1. ما می خواهیم محاسبه احتمال انتخاب 4 درجه، 6 ساله یا 8 ساله را محاسبه کنیم. ما تعداد کاهش یافته را مشاهده می کنیم - 2.

مرحله 2. از آنجا که استخوان ها 3 بود، احتمال ابتدایی انتخاب هر یک از آنها 1/3 است.

مرحله 3. مشاهده - استخوان به عنوان یک چهره کاهش یافت. اگر 4 ساله گرفته شد، شانس این برابر برابر با 1/4 بود. برای شانس 6 درجه شانس شانس 2 کیلومتر - 1/6. برای 8 درجه - 1/8.

مرحله 4. از دست دادن 2-ki برای 4 سال \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12، برای 6 درجه \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18، برای 8 سال \u003d 1 / 3 * 1/8 \u003d 1/24.

مرحله 5. احتمال کلی از دست دادن 2-ki \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72. این کمتر از 1 است، زیرا شانس پرتاب 2-ku کمتر از 1 است، اما ما می دانیم که شما قبلا 2-KU را پرتاب کرده اید. بنابراین، ما باید شانس هر نسخه از مرحله 4 تا 13/72 را تقسیم کنیم، به طوری که مجموع شانس همه ی استخوان ها به پایین تر از 1. این فرآیند عادی سازی نامیده می شود.

عادی سازی هر احتمال وزنی، احتمال این را پیدا می کنیم که این استخوان انتخاب شد:

• 4 سال \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
• 6 سال \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
• 8 سال \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

و این پاسخ است.

هنگامی که ما شروع به حل این کار کردیم، پیشنهاد کردیم که احتمال انتخاب یک استخوان خاص 33.3٪ باشد. پس از سقوط 2-KI، ما شانس را محاسبه کردیم که شانس 4 درجه درجه 4 به 46.1٪ انتخاب شد، شانس انتخاب 6 ساله به 30.8٪ کاهش یافت و شانس 8 ساله را کاهش داد قدیمی انتخاب شد و تا 23.1٪ کاهش یافت.

اگر شما پرتاب دیگری را انجام دهید، می توانیم از منافع جدید محاسبه شده به عنوان پیش فرض های اولیه ما استفاده کنیم و احتمالات بر اساس مشاهدات دوم را روشن کنیم.

اگر تنها مشاهدات دارید، تمام مراحل مناسب برای ارائه در فرم جدول هستند:

جدول. 1. راه حل گام به گام در قالب یک جدول (فرم ها، فایل اکسل را بر روی ورق ببینید مثال 1)

توجه داشته باشید:

• اگر به جای 2-ki سقوط کرد، به عنوان مثال، 7-KA، پس از آن شانس در مرحله 3 صفر خواهد بود، و پس از عادی شدن، شانس 8 ساله 100٪ خواهد بود.
• به عنوان مثال شامل تنها سه استخوان و یک پرتاب، ما از کسرهای ساده استفاده کردیم. برای اکثر مشکلات با تعداد زیادی از گزینه ها و رویدادها، کار با کسرهای دهدهی آسان تر است.

مثال 2. استخوان های بیشتر. پرتاب بیشتر

این بار ما 6 استخوان با 4، 6، 8، 10، 12 و 20 چهره داریم. ما یکی از آنها را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم و 15 بار پرتاب می کنیم. این احتمال وجود دارد که یک استخوان مشخص انتخاب شود؟

من از مدل در اکسل استفاده می کنم (شکل 1؛ برگ را ببینید مثال 2) اعداد تصادفی در ستون B تولید می شوند با استفاده از تابع \u003d جیره بندی (1، $ b $ 9). در این مورد، یک سلول مرطوب 8 ساله در سلول B9 انتخاب شده است، بنابراین اعداد تصادفی می توانند مقادیر 1 تا 8 را دریافت کنند. از آنجا که اکسل اعداد تصادفی را پس از هر تغییر در ورق به روز می کند، ستون را به بافر کپی می کنم و فقط مقادیر ستون C را وارد کرده است. حالا مقادیر تغییر نمی کنند و برای نقاشی های بعدی استفاده می شود. (من شما را فرصتی برای "بازی" با انتخاب تعداد چهره ها و پرتاب تصادفی بر روی ورق اضافه کردم مثال 2 بازی. به ویژه نتایج کنجکاو به دست می آید، اگر در سلول B9 تعیین شماره 13 🙂 - تقریبا بغلین.)

شکل. 1. اعداد تصادفی ژنراتور

مرحله 2. از آنجا که تنها شش مکعب، احتمال انتخاب یک تصادفی 1/6 یا 0.167 است.

مراحل 3 و 4. ما معادله را برای احتمال ابتدای انتخاب اولیه یک استخوان خاص پس از پرتاب متناظر بنویسیم. همانطور که ما در انتهای مثال 1 دیده ایم، برخی از پرتاب ها ممکن است به یک استخوان یا یک دیگر متصل نشوند. به عنوان مثال، از دست دادن 9 کیلوگرم احتمال 4-، 6 و 8 چهره استخوان برابر صفر است. اگر تعداد "مشروع" کاهش یابد، احتمال آن برای این استخوان برابر با یک واحد تقسیم شده توسط تعداد چهره ها است. برای راحتی، ما مراحل 3 و 4 را ترکیب کردیم، بنابراین ما بلافاصله فرمول را به احتمال زیاد پس از پرتاب احتمالی پس از پرتاب قبلی افزایش می دهیم (شکل 2):

اگر (پرتاب\u003e تعداد چهره؛ 0؛ 1 / تعداد چهره ها * احتمال عادی نرمال شده)

اگر شما با دقت استفاده کنید، می توانید این فرمول را به تمام خطوط بکشید.

شکل. 2. معادله احتمالی؛ برای بزرگنمایی تصویر روی آن کلیک راست کلیک کنید و انتخاب کنید تصویر را در یک برگه جدید باز کنید

مرحله 5. آخرین مرحله، عادی سازی نتایج پس از هر پرتاب (منطقه L11: R28 در شکل 3) است.

شکل. 3. عادی سازی نتایج

بنابراین، پس از 15 عکس با احتمال 96.4٪، ما می توانیم فرض کنیم که استخوان 8 درجه در ابتدا انتخاب شده است. اگر چه شانس وجود دارد که استخوان با b انتخاب شود در باره با تعداد چهره ها: 3.4٪ برای استخوان 10 درجه، 0.2٪ - برای 12 درجه درجه، 0.0001٪ - برای 20 درجه درجه است. اما احتمال استخوان های 4 و 6 درجه صفر صفر است، زیرا در میان اعداد کاهش یافته 7 و 8 بود. این، به طور طبیعی، این به این واقعیت مربوط است که ما وارد شماره 8 به سلول B9 شده ایم، محدود کردن مقادیر برای ژنراتور اعداد تصادفی.

اگر ما یک نمودار از احتمال هر گزینه از انتخاب اولیه استخوان ها را بسازیم، پرتاب پرتاب، ما خواهیم دید (شکل 4):

• پس از اولین پرتاب، احتمال انتخاب یک تاس 4 صورت قطره به صفر، از آنجا که 6-KA بلافاصله کاهش یافته است. بنابراین، رهبری نسخه ای از استخوان 6 صورت را گرفت.
• برای چندین عکس اول، استخوان 6 صورت دارای بیشترین احتمال را دارد، زیرا حاوی کمترین چهره ها در میان استخوان هایی است که می تواند به مقادیر کاهش یافته پاسخ دهد.
• در پنجمین پرتاب، 8-KA کاهش یافت، احتمال افتادن 6 ساله به صفر رسید و 8 ساله رهبر می شود.
• احتمال وقوع استخوان های 10، 12 و 20 ساله در اولین پرتاب ها به طور مساوی کاهش می یابد و پس از آنکه استخوان 6 روده از نژاد خارج شد، یک چلپ چلوپ را تجربه کرد. این به خاطر این واقعیت است که نتایج در یک نمونه بسیار کوچکتر نرمال شده است.

شکل. 4. تغییر احتمال پرتاب با پرتاب

توجه داشته باشید:

• قضیه Bayes برای رویدادهای متعدد به سادگی تکرار تکرار در داده های متوالی به روز شده است. پاسخ نهایی به نحوه وقوع رویدادها بستگی ندارد.
• لازم نیست پس از هر رویداد، احتمالات را عادی سازید. شما می توانید آن را یک بار در پایان انجام دهید. مشکل این است که اگر به طور مداوم عادی شود، احتمالات بسیار کوچک می شوند که اکسل می تواند به دلیل خطاهای گرد و غبار نادرست کار کند. بنابراین، در هر مرحله، عملی تر است تا بررسی شود که آیا شما به مرز دقت اکسل نرسیدید.

قضیه Bayes واژه شناسی

• احتمال ابتدایی احتمال هر احتمال وجود دارد قبل از اینکه مشاهدات رخ داده باشد پیشین.
• پاسخ عادی پس از محاسبه احتمال برای هر نقطه داده (برای هر مشاهدات) نامیده می شود ردیابی.
• احتمال کل مورد استفاده برای عادی کردن پاسخ است عادی سازی ثابت.
• احتمال شرطی، I.E. احتمال هر رویداد نامیده می شود بازی کردن.

در اینجا این است که این اصطلاحات به دنبال مثال اول (مقایسه شکل 1) است.

شکل. 5. شرایط قضیه Bayes

تئوری Bayes خود را در تعاریف جدید به نظر می رسد مانند این (مقایسه فرمول 2):

مثال 3. سکه ناعادلانه

شما یک سکه دارید که، همانطور که مشکوک هستید، صادق نیست. شما آن را 100 بار پرتاب می کنید. محاسبه احتمال اینکه یک سکه نادرست با یک عقاب با احتمال 0٪، 10٪، 20٪، 30٪، 40٪، 50٪، 60٪، 70٪، 80٪، 90٪، 100٪ .

به فایل اکسل مراجعه کنید، ورق مثال 3. در سلول های B13: B112، من یک عدد تصادفی را از 0 تا 1 تولید کردم و با کمک یک درج ویژه، مقدار را به ستون C در سلول B8 منتقل کردم، من درصد انتظار می رود که انتظار می رود از سقوط عقاب برای این سکه نادرست . در ستون D با استفاده از یک تابع اگر من این احتمال را در واحدها (عقاب، برای احتمال r از 0.35 تا 1) یا در صفر (Ripes for r از 0 تا 0.35).

شکل. 6. داده های اولیه برای سکه های نادرست

من 63 عقاب و 37 ساخت را دریافت کردم که به خوبی به ژنراتور اعداد تصادفی مربوط می شود، اگر ما احتمال ابتلا به عقاب ها را 65٪ نصب کرده ایم.

مرحله 1. ما می خواهیم این احتمال را محاسبه کنیم که عقاب ها به سبد های 0٪، 10٪، ... 100٪ اشاره می کنند، تماشای 63 عقاب و 37 رودخانه با 100 عکس.

مرحله 2. 11 قابلیت اولیه وجود دارد: احتمال 0٪، 10٪، ... 100٪. ما ساده لوحی خواهیم بود که تمام قابلیت های اولیه دارای احتمال مساوی هستند، یعنی 1 احتمال 11 (شکل 7). (ما ممکن است به طور واقعی به احتمال زیاد به احتمال اولیه در منطقه 50٪ وزن های بزرگ از احتمال در لبه ها - 0٪ و 100٪. اما قابل توجه ترین این است که، از آنجا که ما یک کل 100 پرتاب، احتمال اولیه خیلی مهم نیستند!)

مرحله 3 و 4. محاسبه حقیقت. برای محاسبه احتمال پس از هر پرتاب در اکسل، عملکرد استفاده می شود اگر. در صورتی که عقاب سقوط کرد، قابلیت اطمینان برابر با کارهای احتمال احتمالی نرمال قبلی است. اگر رودخانه سقوط کرد، قابل قبول بودن برابر با (1 منفی توانایی) * احتمال طبیعی طبیعی قبلی (شکل 8).

شکل. 8. انعطاف پذیری

مرحله 5. نرمال سازی به عنوان مثال در مثال قبلی انجام می شود.

نتایج به صورت سری از هیستوگرام ها بیشتر تجسم می شود. برنامه اولیه یک احتمال پیشینی است. سپس هر برنامه جدید وضعیت پس از 25 عکس بعدی است (شکل 9). از آنجایی که ما احتمال ابتلا به عقاب 65٪ را در ورودی تعیین کردیم، نمودارها ارائه شده شگفت انگیز نیستند.

شکل. 9. احتمال گزینه ها پس از یک سری از پرتاب ها

آنچه در واقع به معنی احتمال 70٪ برای احتمال 0.6 است؟ این احتمال 70٪ نیست که سکه به طور دقیق 60٪ کاهش یابد. از آنجایی که ما دارای 10٪ بین گزینه ها بود، تخمین می زنیم که 70٪ احتمال وجود دارد که این سکه بین 55 تا 65 درصد کاهش یابد. راه حل استفاده از 11 گزینه اولیه، با افزایش 10٪ به طور کامل خودسرانه بود. ما می توانیم 101 احتمال اولیه را با افزایش 1٪ استفاده کنیم. در این مورد، ما نتیجه را با حداکثر 63٪ دریافت خواهیم کرد (از آنجا که ما 63 عقاب داشتیم) و یک قطره نرمتر در گراف.

لطفا توجه داشته باشید که در این مثال ما همگرایی کندتر را در مقایسه با نمونه ای مشاهده کردیم. این به دلیل این واقعیت است که تفاوت بین سکه، 60٪ در برابر 70٪، کمتر از بین مکعب ها با 8 و 10 چهره است.

مثال 4. استخوان های بیشتر. اما با خطاهای جریان داده

بیایید به عنوان مثال به عقب برگردیم. یک دوست در کیسه استخوان از 4، 6، 8، 10، 12، 20 Grands. او یک استخوان را به طور تصادفی می برد و آن را 80 بار پرتاب می کند. او تعداد کاهش یافته را ثبت می کند، اما در 5٪ موارد اشتباه است. در این مورد، یک عدد تصادفی از 1 و 20 به جای نتیجه واقعی پرتاب ظاهر می شود. پس از 80 پرتاب، چه فکر می کنید، چه نوع استخوان انتخاب شد؟

به عنوان ورودی در اکسل (ورق مثال 4) من تعداد احزاب (8) را وارد کردم، و همچنین احتمال اینکه داده ها شامل یک خطا (0.05). فرمول برای ارزش پرتاب (شکل 10):

اگر (Adhesis ()\u003e احتمالات خطا؛ دائمی (1؛ تعداد چهره ها)؛ جیره بندی (1؛ 20))

اگر تعداد تصادفی بیشتر از احتمال خطا باشد (0.05)، پس از آن هیچ خطایی پرتاب نشد، به طوری که ژنراتور اعداد تصادفی مقدار را بین 1 و "دو طرف" مکعب انتخاب می کند، در غیر این صورت شما باید یک عدد صحیح تصادفی تولید کنید بین 1 تا 20.

شکل. 10. محاسبه ارزش پرتاب

در نگاه اول، ما می توانیم این مشکل را به همان شیوه ای به عنوان مثال 2 حل کنیم، اما اگر شما احتمال خطا را در نظر نگیرید، ما یک برنامه احتمالی را به صورت انجیر دریافت خواهیم کرد. 11. (ساده ترین راه برای دریافت آن در اکسل، ابتدا تولید می شود در ستون در مقدار خطا 0.05؛ سپس مقادیر پرتاب را به ستون C انتقال می دهد و در نهایت مقدار را در سلول B11 تغییر می دهد به 0؛ از آنجا که فرمول برای محاسبه تخصیص در محدوده D14: J94 به سلول B11 مراجعه می شود، اثر اشتباهات حسابداری به دست نخواهد آمد.)

شکل. 11. پردازش مقادیر پرتاب ها بدون توجه به احتمال حضور خطا

از آنجا که احتمال خطا کوچک است، و ژنراتور شماره تصادفی به 8 سالگی پیکربندی شده است، احتمال این که احتمال دوم با هر پرتاب غالب شود. علاوه بر این، از آنجا که یک خطا می تواند با احتمال 40٪ (هشت از بیست) به مقدار 8، و سپس مقدار خطا که بر نتیجه تاثیر می گذارد، تنها در پرتاب 63 ظاهر شد. با این حال، اگر خطاها در نظر گرفته نشوند، احتمال 8 سالگی به صفر می رسد و 100٪ 20 ساله دریافت می شود. توجه داشته باشید که توسط 63 پرتاب احتمال ابتلا به 20 درجه تنها 2 * 10 -25 بود.

شانس گرفتن یک خطا - 5٪ و احتمال این که خطا مقدار بیشتری از 8 را به دست می دهد، 60٪ است. کسانی که.، 3٪ از پرتاب ها یک خطا را با ارزش بیش از 8، که در پرتاب 63 اتفاق افتاده است، زمانی که ضبط شد 17. اگر احتمال فرمول به اشتباهات احتمالی صورت نگرفته است، ما دریافت می کنیم از احتمال 20 ساله از 2 * 10 -25 تا 1 تا 1، همانطور که در شکل. یازده

اگر فردی به طور دقیق داده ها را نظارت می کند، می تواند این خطا را شناسایی کند و ارزش های اشتباه را انجام دهد. برای اتمام فرآیند، معادله حقیقت را با بررسی خطا اضافه کنید. هرگز احتمال صفر صفر را نصب نکنید، اگر اعتراف کنید که آنها نمی توانند به طور کامل حذف شوند. اگر احتمال احتمالات خطا را در نظر بگیرید، صدها داده «درست» اجازه نمی دهد که ارزش های اشتباه جداگانه برای خراب کردن تصویر.

ما معادله اعتبار بررسی خطا را تکمیل می کنیم (شکل 12):

اگر ($ C15\u003e F $ 13؛ $ B $ 11 * 1/20 * N14؛ ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ 11 $ 11) / f $ 13) * N14)

شکل. 12. عملکرد با صدای بلند با خطاها

اگر ارزش ثبت شده پرتاب بیشتر از تعداد چهره ها باشد ($ C15\u003e F $ 13)، احتمال شرطی تنظیم مجدد نیست، اما کاهش می یابد، با توجه به احتمال خطا ($ B $ 11 * 1/20 * N14). اگر یک شماره ضبط شده کمتر از تعداد چهره ها باشد، احتمال شرطی کامل نیست، و همچنین با توجه به خطا احتمالی ($ B $ 11 * 1/20 + (1- $ 11 $ 11) / f $ 13) * N14). در مورد دوم، ما معتقدیم که شماره ثبت شده می تواند به عنوان یک نتیجه از خطا ($ B $ 11 * 1/20) و نتیجه ورود صحیح (1- $ $ 11) / f $ 13).

تغییر در احتمال نرمال شده به خطاهای احتمالی مقاوم تر می شود (شکل 13).

شکل. 13. تغییر احتمال نرمال شده از پرتاب به پرتاب

در این مثال، استخوان 6 درجه بندی شده در ابتدا مورد علاقه است، زیرا اولین 3 پرتاب - 5، 6، 1. سپس 7-Ka و احتمال 8 ساله به سمت بالا می رود. با این حال، ظاهر 7-KI احتمال احتمال 6 ساله را بازنشانی نمی کند، زیرا ممکن است 7-KA یک خطا باشد. و نه عکس های بعدی به نظر می رسد این را تایید می کنند زمانی که ارزش ها بیش از 6 نیست: احتمال 6 ساله شروع به رشد دوباره می شود. با این وجود، در چهاردهم و 15 پرتاب، 7 کیلومتر دوباره سقوط می کند و احتمال یک استخوان 6 صورت به صفر می رسد. بعدها، مقادیر 17 و 19 به نظر می رسد، که "سیستم" تعریف می کند که چگونه به وضوح اشتباه است.

مثال 4a اگر واقعا فرکانس بالا از اشتباهات دارید چه؟

این مثال مشابه قبلی است، اما فراوانی خطاها از 5٪ تا 75٪ افزایش می یابد. از آنجا که داده ها کمتر مربوط می شوند، تعداد عکس ها تا 250 را افزایش دادیم. با استفاده از معادلات مشابه به عنوان مثال 4، ما نمودار زیر را به دست می آوریم:

شکل. 14. احتمال نرمال در 75٪ از نوشته های نادرست

با چنین فرکانس بالا خطاها، پرتاب های بسیار بیشتری انجام شد. علاوه بر این، نتیجه کمتر تعریف شده است، و 6 ساله به طور دوره ای بیشتر احتمال دارد. اگر میزان خطای حتی بالاتر داشته باشید، به عنوان مثال، 99٪، شما هنوز هم می توانید پاسخ صحیح دریافت کنید. بدیهی است، بیشتر فرکانس خطاها، بیشتر پرتاب ها باید انجام شود. برای 75٪ از خطاها، ما یک مقدار صحیح از چهار را به دست می آوریم. اگر احتمال یک خطا 99٪ باشد، ما تنها یک مقدار صحیح از صد را دریافت خواهیم کرد. ما احتمالا 25 برابر اطلاعات بیشتری برای شناسایی گزینه غالب مورد نیاز است.

و اگر شما احتمال خطا را نمی دانید، چه؟ من توصیه می کنم "بازی" با نمونه های 4 و 4A، تنظیم مقادیر مختلف از بسیار کوچک در سلول B11 (به عنوان مثال، 2 * 10 -25 به عنوان مثال 4) به بسیار بزرگ (به عنوان مثال، 90٪ به عنوان مثال 4A). در اینجا نتیجه های اصلی وجود دارد:

• اگر برآورد فرکانس خطا بالاتر از فرکانس خطای واقعی باشد، نتایج به آرامی همگرا خواهد شد، اما هنوز هم به پاسخ صحیح همگرا می شود.
• اگر فرکانس خطا را خیلی کم ارزیابی کنید، خطر وجود دارد که نتایج درست نباشد.
• کوچکتر فرکانس واقعی خطاها، بیشتر مکان برای مانور شما در حدس زدن فرکانس خطاها.
• بالاتر از فرکانس واقعی خطاها، اطلاعات بیشتر شما نیاز دارید.

مثال 5. مشکل تانک آلمان

در این کار شما در حال تلاش برای ارزیابی چند تانک تولید شده، بر اساس تعداد سریال تانک های دستگیر شده، می خواهید. قضیه Bayes توسط متحدان در طول جنگ جهانی دوم مورد استفاده قرار گرفت و در نهایت نتایج را پایین تر از اطلاعات گزارش کرد. پس از جنگ، رکورد نشان داده است که برآوردهای آماری با استفاده از قضیه Bayes دقیق تر بود. (کنجکاو است که من یک یادداشت را در این موضوع نوشتم، هنوز نمی دانستم که احتمال Bayesu وجود دارد؛ ببینید. - تقریبا بغلین.)

بنابراین، شما تجزیه و تحلیل اعداد سریال حذف شده از مخازن شکسته یا دستگیر شده. هدف این است که ارزیابی تعداد تانک ها تولید شود. این چیزی است که شما در مورد شماره سریال تانک ها می دانید:

• آنها با 1 شروع می شوند.
• اینها عدد صحیح بدون پریدن هستند
• شما شماره سریال زیر را پیدا کردید: 30، 70، 140، 125.

ما به پاسخ به این سوال علاقه مند هستیم: حداکثر تعداد تانک ها چیست؟ من با 1000 تانک شروع خواهم کرد. اما شخص دیگری می تواند با 500 تانک یا 2000 تانک شروع شود و ما می توانیم نتایج مختلفی را دریافت کنیم. من قصد دارم هر 20 تانک را تجزیه و تحلیل کنم، بدین معنا که من 50 فرصت اولیه برای تعداد تانک ها دارم. شما می توانید مدل را پیچیده تر کنید و برای هر فرد در اکسل تجزیه و تحلیل کنید، اما پاسخ خیلی تغییر نخواهد کرد و تجزیه و تحلیل به طور قابل توجهی پیچیده خواهد شد.

فرض میکنم که تمام امکان تعداد تانک ها برابر است (به عنوان مثال، احتمال 50 تانک مشابه 500 است). لطفا توجه داشته باشید که فایل اکسل دارای ستون های بیشتری نسبت به شکل نشان داده شده است. احتمال معمول برای عملکرد احتمالی بسیار شبیه به احتمال شرطی نمونه 2 است:

• اگر شماره سریال مشاهده شده بیشتر از حداکثر تعداد سریال برای این گروه باشد، احتمال وجود چنین تعدادی از مخازن 0 است.
• اگر تعداد سریال مشاهده شده کمتر از حداکثر تعداد سریال برای این گروه باشد، احتمال یک واحد تقسیم بر تعداد تانک های ضرب شده توسط احتمال عادی در مرحله قبلی است (شکل 15).

شکل. 15. احتمال احتمالی توزیع مخازن توسط گروه ها

احتمالات عادی به شرح زیر است: شکل 16).

شکل. 16. احتمال عادی تانک ها

یک احتمال بزرگ برای حداکثر شماره سریال مشاهده شده وجود دارد. پس از آن، کاهش آستانه به صفر رخ می دهد. برای 4 شماره سریال شناسایی شده، حداکثر به 140 تانک پاسخ می دهد. اما، با وجود این واقعیت که این تعداد به احتمال زیاد پاسخ می دهد، این بهترین ارزیابی نیست، زیرا تقریبا قطعا تعداد تانک ها را کم اهمیت می کند.

اگر تعداد متوسط \u200b\u200bتانک ها را مصرف کنید، I.E. برای خلاصه کردن گروه های ضرب شده و احتمال آنها برای چهار تانک، استفاده از فرمول:

گرد (BD9: DA9؛ BD14: DA14)؛ 0)

ما بهترین برآورد 193 را دریافت می کنیم.

اگر ما در اصل از 2000 تانک انجام دادیم، میانگین وزنی وزنی 195 ساله بود که اساسا چیزی را تغییر نمی دهد.

مثال 6. آزمایش مواد مخدر

شما می دانید که 0.5٪ از جمعیت از مواد مخدر استفاده می کند. شما یک آزمون دارید که 99 درصد نتایج مثبت واقعی را برای دارو و 98 درصد نتایج منفی واقعی برای غیر مصرف کننده ارائه می دهد. شما به طور تصادفی یک فرد را انتخاب کنید، آزمون را صرف کنید و نتیجه مثبتی بگیرید. این احتمال وجود دارد که یک فرد در واقع از مواد مخدر استفاده کند؟

برای فرد تصادفی ما احتمال اولیه این واقعیت که مصرف کننده مواد مخدر 0.5٪ است و احتمال آن این است که مصرف کننده مواد مخدر 99.5٪ باشد.

گام بعدی محاسبه احتمال شرطی است:

• اگر موضوع مصرف مواد مخدر را مصرف کند، آزمون در 99٪ موارد مثبت و منفی در 1٪ موارد مثبت خواهد بود.
• اگر موضوع از مواد مخدر استفاده نکند، پس آزمون در 2٪ موارد مثبت و منفی در 98٪ موارد مثبت خواهد بود.

توابع اعتقاد به مصرف و غیر داروها در شکل. 17

شکل. 17. توابع اعتقاد: (الف) برای استفاده از مواد مخدر؛ (ب) برای غیر داروها

پس از عادی سازی، ما می بینیم که علیرغم بازخورد مثبت، احتمال این که این فرد تصادفی از مواد مخدر استفاده می کند، تنها 0.1992 یا 19.9٪ است. این نتیجه بسیاری از مردم را شگفت زده می کند، زیرا در نهایت، دقت آزمون بسیار بالا است - تا 99٪. از آنجا که احتمال اولیه تنها 0.5٪ بود، حتی افزایش بزرگی در این احتمال به اندازه کافی برای پاسخ دادن واقعا بزرگ نبود.

شهود اکثر مردم احتمال ابتدایی را در نظر نمی گیرند. حتی اگر احتمال مشروط واقعا بالا باشد، احتمال ابتدایی بسیار پایین می تواند منجر به احتمال کم محدود شود. شهود اکثر مردم در اطراف احتمال اولیه 50/50 پیکربندی شده است. اگر این مورد باشد، نتیجه آزمون مثبت است، سپس احتمال عادی 98٪ انتظار می رود، تایید اینکه فرد از مواد مخدر استفاده می کند (شکل 18).

شکل. 18. نتیجه آزمون با احتمال اولیه 50/50

یک رویکرد جایگزین به توضیح چنین شرایطی، ببینید.

کتابشناسی بر روی قضیه Bayes در انتهای یادداشت ها نگاه کنید.

اگر رویداد ولی می تواند تنها در هنگام انجام یکی از رویدادهایی که شکل می گیرد رخ دهد گروه کامل از رویدادهای ناقص سپس احتمال یک رویداد ولی محاسبه شده توسط فرمول

این فرمول نامیده می شود فرمول کامل فرمول .

ما دوباره یک گروه کامل از رویدادهای ناقص را در نظر می گیریم، احتمال ظهور آن . رویداد ولی می تواند تنها با هر یک از رویدادهایی که نامیده می شود اتفاق می افتد فرضیه . سپس با توجه به فرمول احتمال کامل

اگر رویداد ولی این اتفاق افتاد، ممکن است احتمال احتمالات را تغییر دهید .

با قضیه ضرب احتمالی

.

به طور مشابه، برای فرضیه های باقی مانده

فرمول نتیجه نامیده می شود فرمول Bayes (فرمول Bayes ) احتمال فرضیه ها نامیده می شود احتمالات مثبت ، در حالیکه - احتمالات پیشین .

مثال. فروشگاه محصولات جدید را از سه شرکت دریافت کرد. درصد این محصول به شرح زیر است: 20٪ - محصولات اولین شرکت، 30٪ - محصولات شرکت دوم، 50٪ محصولات شرکت سوم هستند؛ علاوه بر این، 10٪ از محصولات اولین شرکت بالاترین درجه، در شرکت دوم - 5٪ و در سوم - 20٪ از بالاترین درجه محصولات. پیدا کردن احتمال این که محصولات جدید به طور تصادفی خریداری شده بالاترین درجه است.

تصمیم گیری نشان دادن که در این رویداد، که شامل این واقعیت است که محصولات بالاترین درجه از طریق رویدادها برای خرید محصولات متعلق به شرکت های اول، دوم و سوم با توجه به شرکت های اول، دوم و سوم خریداری خواهد شد.

شما می توانید فرمول احتمالی کامل را اعمال کنید و در علامت ما:

جایگزینی این مقادیر در فرمول احتمالی کامل، ما احتمال مورد نظر را به دست می آوریم:

مثال. یکی از سه تیرانداز به خط آتش نامیده می شود و دو عکس تولید می کند. احتمال ضربه زدن به هدف با یک شات برای اولین فلش 0.3، برای دوم - 0.5؛ برای سوم - 0.8. هدف شگفت زده نیست پیدا کنید که عکس ها توسط اولین تیرانداز ساخته شده اند.

تصمیم گیری سه فرضیه ممکن است:

اولین تیرانداز در خط آتش نامیده می شود

تیرانداز دوم بر روی خط آتش نامیده می شود

تیرانداز سوم به خط آتش سوزی منجر می شود.

از آنجا که چالش در خط آتش از هر فلش تعادل تعادل است، پس

به عنوان یک نتیجه از تجربه، یک رویداد مشاهده شد - پس از تیراندازان ساخته شده، هدف شگفت زده نشد. احتمالات شرطی این رویداد با فرضیه های ساخته شده برابر است:

با توجه به فرمول Bayes، ما احتمال احتمالی را پس از تجربه پیدا می کنیم:

مثال. در سه ماشین آلات ماشین آلات با همان نوع بخشی که پس از پردازش بر روی یک نوار نقاله معمولی وارد می شوند، پردازش می شوند. اولین دستگاه می دهد 2٪ از ازدواج، دوم - 7٪، سوم - 10٪. عملکرد دستگاه اول 3 برابر عملکرد دوم دوم است، و سوم 2 برابر کمتر از دوم است.

الف) درصد ازدواج بر روی نوار نقاله چیست؟

ب) سهم جزئیات هر دستگاه در میان قطعات معیوب در نقاله چیست؟

تصمیم گیری از نوار نقاله خارج شوید تا یک جزئیات را به دست آورید و رویداد A را در نظر بگیرید - جزئیات معیوب است. این موضوع با فرضیه هایی است که در آن این جزئیات پردازش شده است: - جزئیات مورد استفاده دستگاه توسط دستگاه پردازش شد.

احتمالات شرطی (در شرایط مشکل آنها به شکل مورد توجه داده می شود):

رابطه بین تولید کنندگان دستگاه به معنی موارد زیر است:

و از آنجا که فرضیه یک گروه کامل را تشکیل می دهد، سپس.

تصمیم گیری در مورد سیستم حاصل از معادلات، ما می بینیم :.

الف) شانس کامل که جزئیات از نوار نقاله مورد نظر است، معیوب است:

به عبارت دیگر، در توده قطعات همگرا از نوار نقاله، ازدواج 4٪ است.

ب) اجازه دهید آن را بدانید که جزئیات گرفته شده معیوب است. با استفاده از فرمول Bayes، ما احتمال احتمالی فرضیه ها را پیدا خواهیم کرد:

بنابراین، در مجموع جرم قطعات معیوب بر روی نوار نقاله، سهم دستگاه اول 33٪ است، دوم 39٪ است، سوم 28٪ است.

وظایف عملی

تمرین 1

وظایف حل برای بخش های اصلی نظریه احتمالی

هدف این است که مهارت های عملی را در حل مشکلات به دست آورید

بخش های نظریه احتمالی

آماده سازی برای اجرای یک کار عملی

مواد نظری را در این موضوع بخوانید تا محتوای نظری، و همچنین بخش های مربوطه در منابع ادبی را بررسی کنید

روش انجام وظیفه

5 وظیفه را با توجه به تعداد نسخه کار داده شده در جدول 1 حل کنید.

گزینه های داده های منبع

میز 1

	شماره کار

ترکیب گزارش در وظیفه 1

5 وظایف حل شده با توجه به تعداد گزینه.

وظایف برای راه حل های خود

1 .. رویدادهای زیر گروه های زیر هستند: الف) تجربه - پرتاب سکه؛ مناسبت ها: A1- ظاهر کت از دست؛ A2- ظاهر ارقام؛ ب) تجربه - پرتاب دو سکه؛ مناسبت ها: در 1- ظاهر دو کت از اسلحه؛ در 2 -ظاهر دو رقم؛ در 3- ظاهر یک کت بازوها و یک رقم؛ ج) تجربه - پرتاب یک استخوان بازی؛ مناسبت ها: C1 -ظاهر بیش از دو نقطه؛ C2 -ظاهر سه یا چهار امتیاز؛ C3 -ظاهر حداقل پنج امتیاز؛ د) تجربه - هدف شات؛ مناسبت ها: D1- اصابت؛ D2 -لیز خوردن؛ E) تجربه - دو عکس هدف؛ مناسبت ها: e0- یک ضربه واحد نیست e1- یک ضربه؛ E2- دو ضربه؛ E) تجربه - حذف دو کارت از عرشه؛ مناسبت ها: F1 -ظهور دو کارت قرمز؛ F2- ظاهر دو کارت سیاه؟

2. در سیاه و b urn توپ های سیاه یک توپ از urn ها حذف می شود. این احتمال را پیدا کنید که این توپ سفید است.

3. در urn a سفید اول ب توپ های سیاه از urns یک توپ را بیرون بیاورید و کنار بگذارید. این توپ سفید بود. پس از آن، توپ دیگری از urn می گیرد. این احتمال را پیدا کنید که این توپ نیز سفید باشد.

4. در urn a سفید و ب. توپ های سیاه یک توپ از urn ها خارج شد و بدون نگاه کردن، کنار گذاشته شد. پس از آن، توپ دیگری از urn گرفته شد. او سفید بود شانس را پیدا کنید که توپ اول را کنار گذاشته شود، همچنین سفید است.

5. از urn حاوی یک سفید و ب. توپ های سیاه، یکی پس از دیگری همه توپ ها به جز یکی از آنها را بیرون بیاورید. پیدا کردن احتمال این که آخرین توپ باقی مانده در توپ سفید خواهد شد.

6. از urn که در آن یک توپ های سفید و B سیاه، تمام توپ های آن را در آن حذف کنید. شانس را پیدا کنید که بالون دوم به ترتیب برداشته شود.

7. در Urn یک توپ سیاه سفید و B (آ. > 2). دو توپ از urn ها حذف می شوند. احتمال این را پیدا کنید که هر دو توپ سفید خواهد شد.

8. در سیاه و سفید توپ های سیاه (A\u003e 2، B\u003e 3). پنج توپ از urn ها حذف می شوند. احتمال پیدا کردن rاین دو نفر از آنها سفید و سه سیاه خواهند بود.

9. در یک مهمانی متشکل از X محصولات موجود من.معیوب از حزب انتخاب شده است برای کنترل I محصولات. احتمال پیدا کردن rاز آنها دقیقا j محصولات معیوب خواهند بود.

10. بازی کردن استخوان یک بار. احتمال وقوع رویدادهای زیر را پیدا کنید: ولی -ظهور تعداد کمی از نقاط؛ که در- ظاهر حداقل 5 امتیاز؛ از جانب-ظاهر بیش از 5 امتیاز.

11. بازی کردن استخوان دو بار عجله دارد. احتمال پیدا کردن rاین واقعیت که هر دو برابر همان تعداد نقاط ظاهر خواهند شد.

12. دو استخوان بازی در همان زمان پرتاب می شوند. احتمال وقوع رویدادهای زیر را پیدا کنید: ولی- مجموع نقاط کاهش یافته 8 است؛ که در- محصول نقاط کاهش یافته 8 است؛ از جانب-مقدار امتیازات بیش از کار خود را کاهش داد.

13. دو سکه عجله. کدام یک از رویدادها بیشتر احتمال دارد: ولی -سکه ها با همان احزاب دروغ می گویند؛ که در -سکه ها در طرف های مختلف دروغ می گویند؟

14. در urn a سفید و ب. توپ های سیاه (آ. > 2؛ ب > 2). از urns در همان زمان دو توپ. احتمال بیشتری وجود دارد: ولی- توپ از همان رنگ؛ که در -توپ های مختلف رنگ؟

15. سه بازیکن بازی کارت. هر کدام از آنها بیش از 10 کارت را تحویل دادند و دو کارت در یک جایزه باقی مانده اند. یکی از بازیکنان می بیند که او 6 نقشه از یک کت و شلوار Bubnova و 4 - نه یک Bubnova. او دو کارت از این چهار را بازنشانی می کند و خودش را به دست می آورد. احتمال این را پیدا کنید که دو کارت توفانی را خریداری کند.

16. از URN حاوی پتوپ هدف، به طور تصادفی، یک پس از دیگری تمام توپ ها را در آن می گیرد. پیدا کردن احتمال این که تعداد توپ های برش به ترتیب: 1، 2، ...، پ.

17. همان urn به عنوان در کار قبلی، اما هر توپ پس از از بین بردن به عقب تعبیه شده و مخلوط با دیگران، و تعداد آن ثبت شده است. این احتمال را پیدا کنید که توالی طبیعی اعداد ثبت شود: 1، 2، ...، p.

18. عرشه کامل کارت ها (52 ورق) به دو بسته مساوی از 26 ورق تقسیم می شود. احتمال وقوع رویدادهای زیر را پیدا کنید: ولی -در هر یک از بسته ها دو Aces خواهد بود؛ که در- در یکی از بسته ها، یک ACE تک، و در دیگری - همه چهار؛ c-bیک دستبند یک ACE خواهد بود، و در دیگری - سه.

19. در طراحی مسابقات قهرمانی بسکتبال، 18 تیم درگیر هستند، که دو گروه از 9 تیم به صورت تصادفی در هر کدام تشکیل می شوند. در میان شرکت کنندگان رقابت 5 تیم وجود دارد

کلاس اضافی احتمال وقوع رویدادهای زیر را پیدا کنید: ولی -تمام دستورات فوق العاده کلاس به یک گروه تقسیم می شوند؛ که در- دو تیم اورژانس به یکی از گروه ها می افتد و سه نفر به دیگری.

20. نه کارت شماره نوشته شده است: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8. دو نفر از آنها به صورت تصادفی برداشته می شوند و بر روی جدول به ترتیب ظاهر می شوند، به عنوان مثال، شماره نتیجه را می خواند 07 (هفت)، 14 (چهارده)، و غیره پیدا کردن احتمال این که تعداد حتی.

21. در پنج کارت، اعداد نوشته شده اند: 1، 2، 3، 4، 5. دو نفر از آنها، یکی پس از دیگری، حذف شده است. این احتمال را پیدا کنید که شماره روی کارت دوم بیشتر از اول است.

22. همان سوال این است که در وظیفه 21، اما اولین کارت پس از برداشتن، پشت سر گذاشته شده و با بقیه مخلوط می شود، و شماره ای که بر روی آن قرار دارد نوشته شده است.

23. در urn a سفید، ب. سیاه و با توپ های قرمز. از urns یکی پس از دیگری همه توپ ها در آن و رنگ خود را بنویسید. پیدا کردن احتمال این که در این لیست رنگ سفید قبل از سیاه ظاهر شود.

24. دو urns وجود دارد: در اول a سفید و ب. توپ های سیاه در دوم C. سفید و D. سیاه از هر urn برداشته شده بر روی توپ. احتمال این را پیدا کنید که هر دو توپ سفید خواهد شد.

25. تحت شرایط وظایف 24، پیدا کردن احتمال اینکه توپ رنگ های مختلف خواهد بود.

26. در درام شورشی، هفت لانه، که از آن پنج نفر گذاشته شد، و دو نفر خالی بودند. درام به وسیله چرخش رانده می شود، به عنوان یک نتیجه از آن یکی از لانه ها در برابر تنه تبدیل می شود. پس از آن، ماشه فشار داده می شود؛ اگر سلول خالی بود، شات رخ نمی دهد. احتمال پیدا کردن rاین واقعیت که تکرار چنین تجربه ای دو بار در یک ردیف، ما هر دو تغییر نمی کنیم.

27. در شرایط مشابه (نگاه کنید به وظیفه 26) پیدا کردن احتمال هر دو بار شات رخ می دهد.

28. در urn وجود دارد؛ توپ های مشخص شده با شماره 1، 2، ...، ... بهاز urns من.یک بار یک توپ را برداشت (من.<к), شماره توپ نوشته شده است و توپ به urn منتقل می شود. احتمال پیدا کردن rکه تمام اعداد ثبت شده متفاوت خواهد بود.

29. از پنج حرف الفبای تقسیم شده، کلمه "کتاب" کشیده شده است. یک کودک که نمی داند چگونه می تواند بخواند، این نامه ها را پراکنده کرده و سپس به صورت تصادفی جمع آوری شده است. احتمال پیدا کردن rاین واقعیت که او دوباره کلمه "کتاب" را معلوم کرد.

30. کلمه "آناناس" از حروف الفبا تقسیم شده گرفته شد. یک کودک که نمی داند چگونه می تواند بخواند، این نامه ها را پراکنده کرده و سپس به صورت تصادفی جمع آوری شده است. احتمال پیدا کردن rکه او دوباره کلمه "آناناس دارد

31. نقشه های چندگانه از عرشه کامل کارت ها (52 ورق، 4 سوئیت) حذف می شوند. چگونه بسیاری از کارت ها باید حذف شوند تا احتمال بیشتری از 0.50 داشته باشند تا استدلال کنند که کارت های مشابه در میان آنها وجود خواهد داشت؟

32. n.یک مرد به طور تصادفی بر روی میز گردان ناپدید می شود (n\u003e2). احتمال پیدا کردن rاین دو چهره ثابت ولیو که درنزدیک خواهد بود

33. همان کار (سانتی متر 32)، اما جدول مستطیل شکل است، و n یک فرد به سرعت به طور تصادفی در کنار یکی از طرفین خود است.

34. Barrels لوتو اعداد از 1 به n.از اینها n.بشکه ها به طور تصادفی انتخاب می شوند. پیدا کردن احتمال این که اعداد کوچکتر از k در هر دو kegs نوشته شده است (2

35. در بشکه لوتو شماره های نوشته شده از 1 به n.از اینها n.بشکه ها به طور تصادفی انتخاب می شوند. این احتمال را پیدا کنید که یکی از kegs تعداد بیشتری از k را نوشته است , و از سوی دیگر - کمتر از k . (2

36. باتری خارج M.اسلحه منجر به آتش سوزی بر روی یک گروه متشکل از n.اهداف (M.< N). اسلحه ها اهداف خود را به طور تصادفی انتخاب می کنند، به شرطی که هیچ دو اسلحه نمی توانند یک هدف را شلیک کنند. احتمال پیدا کردن rچه چیزی توسط اهداف با اعداد 1، 2، ...، ...، M.

37 .. باتری، متشکل از بهاسلحه، منجر به آتش در یک گروه متشکل از من.هواپیما (به< 2). هر دستگاه یک هدف را به طور تصادفی و بدون توجه به دیگران انتخاب می کند. احتمال این را پیدا کنید بهاسلحه ها با همان هدف شلیک می کنند.

38. در شرایط کار قبلی، احتمال این را پیدا کنید که تمام اسلحه ها اهداف مختلف را شلیک کنند.

39. چهار توپ به طور تصادفی بر روی چهار سوراخ پراکنده می شود؛ هر توپ به خوبی می شود یا به خوبی با احتمال مشابه و بدون توجه به دیگران (موانع برای رسیدن به یک و همان توپ های متعدد). این احتمال را پیدا کنید که سه توپ در یکی از چاه ها، به دیگری خواهد بود، و هیچ توپ در دیگر سوراخ های چپ وجود نخواهد داشت.

40. ماشا با پیتر مخالفت کرد و نمی خواهد با او در یک اتوبوس برود. 5 اتوبوس از خوابگاه به موسسه از 7 تا 8 ترک می کند. چه کسی برای این اتوبوس ها وقت نداشت، برای سخنرانی دیر شده است. چند راه برای ماشا و پیتر می توانند به موسسه اتوبوس های مختلف دسترسی پیدا کنند و برای سخنرانی دیر نکنند؟

41. 3 تجزیه و تحلیل، 10 برنامه نویسان و 20 مهندس در مدیریت اطلاعات بانک وجود دارد. برای اضافه کاری در تعطیلات، رئیس بخش باید یک کارمند را اختصاص دهد. این کار چگونه می تواند انجام شود؟

42. رئیس سرویس امنیت بانک باید 10 نگهبان برای 10 پست را جدا کند. این کار چگونه می تواند انجام شود؟

43. رئیس جمهور جدید بانک باید 2 معاون جدید را از میان 10 مدیر تعیین کند. این کار چگونه می تواند انجام شود؟

44. یکی از احزاب متخاصم 12 و دیگر - 15 اسیران را دستگیر کرد. چگونه می توانم 7 زندانی جنگ را عوض کنم؟

45. پتیا و ماشا یک ویدیو را جمع آوری می کنند. Petit دارای 30 تن کمدی، 80 ستیزه جو و 7 ملودیر، ماشا - 20 کمدی، 5 ستیزه جو و 90 ملودیر است. چند راه پیتر و ماشا می توانند 3 کمدی، 2 ستیزه جو و 1 ملودرام را مبادله کنند؟

46. \u200b\u200bاز لحاظ مشکلات 45، به نوعی، پیتر و ماشا می توانند 3 Melodramas و 5 کمدی را مبادله کنند؟

47. تحت شرایط وظایف 45، به نوعی، پیتر و ماشا می توانند 2 ستیزه جو و 7 کمدی را مبادله کنند.

48. یکی از احزاب متخاصم دستگیر شد 15 و دیگر - 16 زندانی. چند راه می توانم 5 زندانی جنگ را مبادله کنم؟

49. اگر تعداد 3 رقم و 3 حرف (تنها کسانی که نوشتن با لاتین - a، b، e، k، m، n، o، p، c، t، n، o، p، c، t، y را می توان ثبت کرد ، x)؟

50. یکی از احزاب متخاصم 14 و دیگر - 17 اسیران را دستگیر کرد. چند راه می توانم 6 زندانی جنگ را مبادله کنم؟

51. چند کلمه متفاوت را می توان با لغو نامه ها در کلمه "مادر" انجام داد؟

52. در سبد 3 قرمز و 7 سیب سبز. آن را یک سیب از آن می گیرد. احتمال آن را پیدا کنید که قرمز باشد.

53. در یک سبد از 3 قرمز و 7 سیب سبز. از آن خارج شد و یک سیب سبز را به تعویق انداخت. پس از آن، 1 سیب از سبد خارج می شود. این احتمال وجود دارد که این سیب سبز باشد؟

54. در یک دسته متشکل از 1000 محصول، 4 دارای نقص هستند. برای کنترل، یک دسته از 100 محصول را انتخاب کنید. این احتمال وجود دارد که در چک لیست ناقص نباشد؟

56. در دهه 80، Sportoto 5 از 36 بازی در اتحاد جماهیر شوروی محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 5 شماره از 1 تا 36 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن یک شماره واحد را حدس زد.

57. در دهه 80 در اتحاد جماهیر شوروی، بازی "Sportlot 5 از 36" محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 5 شماره از 1 تا 36 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن یک عدد را حدس بزنید.

58. در دهه 80 در اتحاد جماهیر شوروی، بازی "Sportoto 5 از 36" محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 5 شماره از 1 تا 36 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن 3 عدد را حدس بزنید.

59. در دهه 80 در اتحاد جماهیر شوروی، بازی "Sportoto 5 از 36" محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 5 شماره از 1 تا 36 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن تمام 5 عدد را حدس زدیم.

60. در دهه 1980، Gameloto 6 از 49 در اتحاد جماهیر شوروی محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 6 شماره از 1 تا 49 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن 2 عدد را حدس بزنید.

61. در دهه 1980، Greyloto 6 از 49 در اتحاد جماهیر شوروی محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 6 شماره از 1 تا 49 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. این احتمال را پیدا کنید که بازیکن یک شماره واحد را حدس زد.

62. در دهه 80، GREYLOTO 6 از 49 در اتحاد جماهیر شوروی محبوب بود. بازیکن بر روی کارت 6 شماره از 1 تا 49 اشاره کرد و جوایز مزایای مختلف را دریافت کرد، اگر او حدس بزنید تعداد دیگری از اعداد اعلام شده توسط کمیسیون گردشگری. پیدا کردن احتمال این که بازیکن تمام 6 عدد را به دست آورد.

63. در یک دسته متشکل از 1000 محصول، 4 دارای نقص هستند. برای کنترل، یک دسته از 100 محصول را انتخاب کنید. این احتمال وجود دارد که تنها 1 معیوب در چک لیست باشد؟

64. چگونه بسیاری از کلمات مختلف را می توان با بازگرداندن حروف در کلمه "کتاب"؟

65. چند کلمه مختلف را می توان با اصلاح نامه ها در کلمه "آناناس" انجام داد؟

66. 6 نفر به آسانسور وارد شدند و خوابگاه دارای 7 طبقه است. احتمال این است که همه 6 نفر در همان طبقه بیرون بیایند؟

67. 6 نفر وارد آسانسور شدند، ساختمان دارای 7 طبقه است. این احتمال وجود دارد که همه 6 نفر در طبقه های مختلف بیرون بیایند؟

68. در طی یک رعد و برق در یک طرح بین 40 تا 79 کیلومتر، خطوط برق رخ داده است. با توجه به اینکه این شکست به همان اندازه در هر کجا امکان پذیر است، احتمال دارد که شکسته بین 40 و 45 کیلومتری رخ دهد.

69. در هر 200 کیلومتر از خط لوله گاز، نشت گاز بین ایستگاه های کمپرسور A و B وجود دارد که به همان اندازه در هر نقطه از خط لوله امکان پذیر است. احتمال این است که نشت بیشتر از 20 کیلومتر از یک رخ می دهد

70. در هر 200 کیلومتر از خط لوله گاز، نشت گاز بین ایستگاه های کمپرسور A و B وجود دارد که به همان اندازه در هر نقطه از خط لوله امکان پذیر است. احتمال این است که نشت به آن نزدیک تر و از K در

71. بازرس DPS رادار دارای دقت 10 کیلومتر در ساعت و دور در جهت بعدی است. چه اتفاقی می افتد اغلب - گرد کردن به نفع راننده یا بازرس؟

72. Masha در راه از 40 تا 50 دقیقه در راه مؤسسه به موسسه می گذرد و هر زمان در این شکاف معادل آن است. این احتمال وجود دارد که او از 45 تا 50 دقیقه در جاده ها صرف کند.

73. پتیا و ماشا موافقت کردند که در بنای تاریخی از 12 تا 13 ساعت ملاقات کنند، اما هیچکس نمیتواند زمان ورود را مشخص کند. آنها موافقت کردند که 15 دقیقه منتظر بمانند. احتمال جلسه آنها چیست؟

74. ماهیگیران 120 ماهی را در حوضچه گرفتند که 10 نفر آن را گرم می کردند. احتمال ابتلا به ماهی های پلاستیکی چیست؟

75. از سبد حاوی 3 قرمز و 7 سیب سبز تمام سیب را به نوبه خود حذف کنید. احتمال دارد که اپل دوم قرمز باشد؟

76. از سبد حاوی 3 قرمز و 7 سیب سبز تمام سیب را به نوبه خود حذف کنید. احتمال این است که آخرین اپل سبز خواهد بود؟

77. دانش آموزان این را از 50 بلیط 10 مورد "خوب" می دانند. پتیا و ماشا به نوبت کشیدن یک بلیط را می گیرند. احتمال این است که ماشا یک بلیط خوب داشته باشد؟

78. دانش آموزان این را از 50 بلیط 10 در نظر می گیرند. پتیا و ماشا به نوبت کشیدن یک بلیط را می گیرند. این احتمال وجود دارد که در مورد هر دو آنها یک بلیط "خوب" داشته باشند؟

79. Masha آمد به امتحان دانستن پاسخ به 20 سوال از برنامه از 25. استاد را مشخص می کند 3 سوال. این احتمال وجود دارد که ماشا به 3 سوال پاسخ دهد؟

80. Masha آمد به امتحان دانستن پاسخ به 20 سوال از برنامه از 25. استاد را مشخص می کند 3 سوال. احتمال این احتمال وجود دارد که ماشا به هیچ سوال پاسخ ندهد؟

81. Masha به امتحان آمد به دانستن پاسخ به 20 سوال از برنامه از 25. استاد را مشخص می کند 3 سوال. احتمال این احتمال وجود دارد که ماشا به 1 سوال پاسخ دهد؟

82. آمار درخواست های اعتباری در بانک به شرح زیر است: 10٪ - دولت. مقامات، 20٪ - بانک های دیگر، بقیه افراد هستند. احتمال بازگشت وام، به ترتیب 0.01، 0.05 و 0.2. چه سهم از وام ها بازگشت نمی کند؟

83. احتمال این که گردش هفتگی معامله گر بستنی از 2000 روبل عبور کند. 80٪ با آب و هوای روشن، 50٪ با متغیر ابر و 10٪ با آب و هوای بارانی است. احتمال وقوع گردش مالی بیش از 2000 روبل است. اگر احتمال آب و هوای روشن 20٪ باشد، و ابری متغیر و باران 40٪ است.

84. در URN و سفید (ب) و در سیاه (H) توپ. از urns خارج می شود (در همان زمان یا متوالی) دو توپ. احتمال این را پیدا کنید که هر دو توپ سفید خواهد شد.

85. در urn a سفید و ب.

86. در urn A. سفید و ب.

87. در urn A. سفید و ب. توپ های سیاه یک توپ از URN حذف می شود، رنگ آن و توپ به urn باز می گردد. پس از آن، یک توپ دیگر از urn گرفته شده است. پیدا کردن احتمال این که این توپ ها رنگ های مختلف خواهد بود.

88. یک جعبه با نه توپ تنیس جدید وجود دارد. برای بازی سه هدف؛ پس از بازی آنها را باز می گرداند. هنگام انتخاب توپ، بازیکنان از غیر صندلی ها متمایز نیستند. احتمال این است که پس از سه بازی در جعبه برای توپ ها باقی نخواهد ماند؟

89. ترک آپارتمان، n. هر مهمان در Helos خود قرار می گیرد؛

90. ترک آپارتمان، n.مهمانانی که دارای همان اندازه کفش هستند، در تاریکی قرار می گیرند. هر یک از آنها می توانند کالیکو مناسب را از سمت چپ تشخیص دهند، اما نمی توانند غریبه های خود را تشخیص دهند. احتمال این را پیدا کنید هر مهمان، در Kalosh قرار می گیرد، متعلق به یک جفت (شاید نه خودشان).

91. در شرایط کار 90night، احتمال این که چه کسی در کالری خود ترک کند اگر مهمانان نمی توانند کالسه مناسب را از سمت چپ تشخیص دهند و فقط دو کالس را بگیرند.

92. تیراندازی با کمان توسط هواپیما انجام می شود که قطعات آسیب پذیر آنها دو موتور و یک کابین خلبان است. به منظور ضربه زدن (خروجی) یک هواپیما، به اندازه کافی برای ضربه زدن به هر دو موتور با هم یا یک کابین خلبان. تحت این شرایط تیراندازی، احتمال آسیب به موتور اول برابر است p1موتور دوم p2،کابین خلبان p3.بخشی از هواپیما به طور مستقل از یکدیگر تاثیر می گذارد. شانس را پیدا کنید که هواپیما شگفت زده شود.

93. دو فلش، صرف نظر از یکدیگر، دو عکس (هر کدام از آنها) را انجام دهید. احتمال ضربه زدن به هدف با یک شات برای اولین فلش p1برای دوم p2.رقابت برنده به عنوان تیرانداز محسوب می شود، در هدف که بیشتر چاپ خواهد شد. احتمال پیدا کردن رینگچه فلش ها را برنده خواهد شد.

94. پشت جسم فضایی، جسم با احتمال شناسایی می شود r.تشخیص جسم در هر چرخه به طور مستقل از دیگران رخ می دهد. پیدا کردن احتمال زمانی که پشیء چرخه شناسایی خواهد شد.

95. 32 نامه الفبای روسی بر روی دایره الفبای تقسیم شده نوشته شده است. پنج کارت به صورت تصادفی پس از دیگری حذف می شوند و بر روی جدول به ترتیب ظاهر می شوند. شانس را پیدا کنید که کلمه "پایان" خواهد بود.

96. دو توپ به صورت شانس پراکنده می شوند و به طور مستقل از یکدیگر در چهار سلول در یک خط مستقیم قرار دارند. هر توپ با احتمال مشابه 1/4 وارد هر سلول می شود. این احتمال را پیدا کنید که توپ ها به سلول های همسایه وارد شوند.

97. تیراندازی با کمان توسط پوسته های آتش نشانی هواپیما ساخته شده است. سوخت در هواپیما در چهار مخزن واقع در بدنه بدنه یک به یک متمرکز شده است. مخازن پلازا یکسان هستند. به منظور آتش زدن هواپیما، به اندازه کافی برای گرفتن دو پوسته یا در همان مخزن یا در مخازن همسایه کافی است. شناخته شده است که دو پرتابه به منطقه تانک افتادند. پیدا کنید که هواپیما روشن شود.

98. چهار کارت از عرشه کامل نقشه ها (52 ورق) حذف می شوند. این احتمال را پیدا کنید که تمام این چهار کارت بافت متفاوت باشد.

99. چهار کارت از عرشه کامل کارت ها (52 ورق) حذف می شوند، اما هر کارت پس از برداشتن بازده به عرشه. پیدا کردن احتمال این که همه این چهار کارت بافته های مختلف ..

100. هنگامی که احتراق روشن می شود، موتور شروع به کار با احتمال می کند r.

101. دستگاه می تواند در دو حالت عمل کند: 1) طبیعی و 2) غیر طبیعی. حالت عادی در 80٪ از همه موارد دستگاه مشاهده می شود؛ غیر طبیعی - 20٪. احتمال شکست دستگاه به ترتیب t.در حالت عادی 0.1 است؛ در غیر طبیعی - 0.7. احتمال کامل rشکست دستگاه خارج است

102. فروشگاه کالا را از 3 تامین کننده دریافت می کند: 55٪ از 1، 20، 20 از 2 و 25٪ از سوم. سهم ازدواج به ترتیب 5، 6 و 8 درصد است. این احتمال وجود دارد که کالاهای معیوب خریداری شده از عرضه کننده دوم آمده باشند.

103. وسایل نقلیه توسط ایستگاه گاز شامل 60 درصد از محموله ها و 40 درصد از اتومبیل های مسافری است. احتمال یافتن یک ایستگاه گاز از یک کامیون، اگر احتمال سوختگیری 0.1 و مسافر آن 0.3 باشد

104. جریان ماشین توسط ایستگاه گاز شامل 60 درصد از محموله ها و 40 درصد از اتومبیل های مسافری است. احتمال یافتن یک ایستگاه گاز از یک کامیون، اگر احتمال سوختگیری 0.1 و مسافر آن 0.3 باشد

105. فروشگاه کالا را از 3 تامین کننده دریافت می کند: 55٪ از اول، 20، 20 از 2 و 25٪ از سوم. سهم ازدواج به ترتیب 5، 6 و 8 درصد است. احتمال این احتمال وجود دارد که کالاهای معیوب خریداری شده از 1 تامین کننده 1 آمده باشند.

106. 32 نامه الفبای روسی بر روی دایره الفبای تقسیم شده نوشته شده است. پنج کارت به صورت تصادفی پس از دیگری حذف می شوند و بر روی جدول به ترتیب ظاهر می شوند. احتمال این را پیدا کنید که کلمه "کتاب" خواهد بود.

107. فروشگاه کالا را از 3 تامین کننده دریافت می کند: 55٪ از 1، 20، 20 از 2 و 25٪ از سوم. سهم ازدواج به ترتیب 5، 6 و 8 درصد است. احتمال این احتمال وجود دارد که کالاهای معیوب خریداری شده از 1 تامین کننده 1 آمده باشند.

108. دو توپ به صورت شانس و به طور مستقل از یکدیگر در چهار سلول قرار دارند که یکی پس از دیگری در یک خط مستقیم است. هر توپ با احتمال مشابه 1/4 وارد هر سلول می شود. احتمال این را پیدا کنید که 2 توپ به یک سلول برسد

109. هنگام سوئیچینگ احتراق، موتور شروع به کار با احتمال کار می کند r. پیدا کردن احتمال اینکه موتور شروع به کار با سوئیچ سوئیچ دوم شروع می شود؛

110. تیراندازی هواپیما توسط پوسته های پوسیدگی ساخته شده است. سوخت در هواپیما در چهار مخزن واقع در بدنه بدنه یک به یک متمرکز شده است. مخازن پلازا یکسان هستند. به منظور روشن کردن هواپیما، به اندازه کافی برای گرفتن دو پرتابه به همان مخزن است. شناخته شده است که دو پرتابه به منطقه تانک افتادند. احتمال این را پیدا کنید که هواپیما روشن شود

111. تیراندازی هواپیما توسط پوسته های پوسیدگی ساخته شده است. سوخت در هواپیما در چهار مخزن واقع در بدنه بدنه یک به یک متمرکز شده است. مخازن پلازا یکسان هستند. به منظور آتش زدن هواپیما، به اندازه کافی برای دریافت دو پرتابه در مخازن مجاور کافی است. شناخته شده است که دو پرتابه به منطقه تانک افتادند. احتمال این را پیدا کنید که هواپیما روشن شود

112.in urn A. سفید و ب. توپ های سیاه یک توپ از URN حذف می شود، رنگ آن و توپ به urn باز می گردد. پس از آن، یک توپ دیگر از urn گرفته شده است. احتمال این را پیدا کنید که هر دو توپ برش سفید خواهد بود.

113. در urn A. سفید و ب. توپ های سیاه دو توپ از urn حذف می شوند. پیدا کردن احتمال این که این توپ ها رنگ های مختلف خواهد بود.

114. دو توپ به صورت شانس پراکنده می شوند و به طور مستقل از یکدیگر در چهار سلول در یک خط مستقیم قرار دارند. هر توپ با احتمال مشابه 1/4 وارد هر سلول می شود. این احتمال را پیدا کنید که توپ ها به سلول های همسایه وارد شوند.

115. ماشا آمد به امتحان دانستن پاسخ به 20 سوال از برنامه از 25. استاد را مشخص می کند 3 سوال. احتمال این احتمال وجود دارد که ماشا به 2 سوال پاسخ دهد؟

116. دانش آموزان این را از 50 بلیط 10 مورد "خوب" در نظر می گیرند. پتیا و ماشا به نوبت کشیدن یک بلیط را می گیرند. این احتمال وجود دارد که در مورد هر دو آنها یک بلیط "خوب" داشته باشند؟

117. آمار درخواست های اعتباری در بانک به شرح زیر است: 10٪ - دولت. مقامات، 20٪ - بانک های دیگر، بقیه افراد هستند. احتمال بازگشت وام، به ترتیب 0.01، 0.05 و 0.2. چه سهم از وام ها بازگشت نمی کند؟

118. 32 نامه الفبای روسی بر روی دایره الفبای تقسیم شده نوشته شده است. پنج کارت به صورت تصادفی پس از دیگری حذف می شوند و بر روی جدول به ترتیب ظاهر می شوند. شانس را پیدا کنید که کلمه "پایان" خواهد بود.

119 آمار درخواست وام در بانک به شرح زیر است: 10٪ - دولت. مقامات، 20٪ - بانک های دیگر، بقیه افراد هستند. احتمال بازگشت وام، به ترتیب 0.01، 0.05 و 0.2. چه سهم از وام ها بازگشت نمی کند؟

120. احتمال این که گردش هفتگی بستنی از 2000 روبل عبور کند. 80٪ با آب و هوای روشن، 50٪ با متغیر ابر و 10٪ با آب و هوای بارانی است. احتمال وقوع گردش مالی بیش از 2000 روبل است. اگر احتمال آب و هوای روشن 20٪ باشد، و ابری متغیر و باران 40٪ است.