بررسی تابع برای برابری زوج و فرد. توابع زوج و فرد

توابع زوج و فرد یکی از ویژگی های اصلی آن هستند و برابری بخش قابل توجهی از درس ریاضیات مدرسه را اشغال می کند. تا حد زیادی ماهیت رفتار تابع را تعیین می کند و ساخت نمودار مربوطه را بسیار تسهیل می کند.

اجازه دهید برابری تابع را تعریف کنیم. به طور کلی، تابع مورد مطالعه در نظر گرفته می شود حتی اگر برای مقادیر مخالف متغیر مستقل (x) واقع در دامنه آن، مقادیر متناظر y (تابع) برابر باشد.

اجازه دهید تعریف دقیق تری ارائه دهیم. تابع f (x) را در نظر بگیرید که در دامنه D تعریف شده است. حتی اگر برای هر نقطه x واقع در دامنه تعریف باشد:

• -x (نقطه مقابل) نیز در محدوده داده شده قرار دارد،

• f(-x) = f(x).

از تعریف فوق، شرط لازم برای دامنه تعریف چنین تابعی به دست می آید، یعنی تقارن نسبت به نقطه O که مبدأ مختصات است، زیرا اگر نقطه b در دامنه تعریف a موجود باشد. تابع زوج، سپس نقطه مربوطه - b نیز در این دامنه قرار دارد. بنابراین، از موارد فوق نتیجه می‌گیریم: یک تابع زوج شکلی دارد که با توجه به محور ارتین (Oy) متقارن است.

چگونه برابری یک تابع را در عمل تعیین کنیم؟

بگذارید با استفاده از فرمول h(x)=11^x+11^(-x) داده شود. با پیروی از الگوریتمی که مستقیماً از تعریف حاصل می شود، ابتدا دامنه تعریف آن را مطالعه می کنیم. بدیهی است که برای تمام مقادیر آرگومان تعریف شده است، یعنی شرط اول برآورده می شود.

مرحله بعدی این است که آرگومان (x) را با مقدار مخالف آن (-x) جایگزین کنید.
ما گرفتیم:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
از آنجایی که جمع قانون جابجایی (جابجایی) را برآورده می کند، بدیهی است که h(-x) = h(x) و وابستگی تابعی داده شده زوج است.

بیایید یکنواختی تابع h(x)=11^x-11^(-x) را بررسی کنیم. با پیروی از همان الگوریتم، h(-x) = 11^(-x) -11^x را دریافت می کنیم. با برداشتن منهای، در نتیجه، ما داریم
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). بنابراین h(x) فرد است.

به هر حال، لازم به یادآوری است که توابعی وجود دارند که نمی توان آنها را بر اساس این معیارها طبقه بندی کرد، آنها نه زوج و نه فرد نامیده می شوند.

حتی توابع دارای تعدادی ویژگی جالب هستند:

• در نتیجه افزودن توابع مشابه، یک زوج به دست می آید.
• در نتیجه تفریق چنین توابعی، یک زوج به دست می آید.
• حتی، همچنین یکنواخت؛
• در نتیجه ضرب دو تابع از این قبیل، یک عدد زوج به دست می آید.
• در نتیجه ضرب توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• در نتیجه تقسیم توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• مشتق چنین تابعی فرد است.
• اگر یک تابع فرد را مربع کنیم، یک عدد زوج بدست می آید.

از برابری یک تابع می توان در حل معادلات استفاده کرد.

برای حل معادله ای مانند g(x) = 0، که در آن سمت چپ معادله یک تابع زوج است، برای یافتن جواب آن برای مقادیر غیر منفی متغیر کاملاً کافی است. ریشه های معادله به دست آمده باید با اعداد مخالف ترکیب شوند. یکی از آنها در معرض تأیید است.

همان با موفقیت برای حل مسائل غیر استاندارد با یک پارامتر استفاده می شود.

به عنوان مثال، آیا مقداری برای پارامتر a وجود دارد که معادله 2x^6-x^4-ax^2=1 را دارای سه ریشه کند؟

اگر در نظر بگیریم که متغیر با توان زوج وارد معادله می‌شود، مشخص می‌شود که جایگزینی x با x معادله داده شده را تغییر نمی‌دهد. نتیجه این است که اگر عدد معینی ریشه آن باشد، عدد مقابل نیز همینطور است. نتیجه واضح است: ریشه های معادله، به غیر از صفر، در مجموعه راه حل های آن به صورت "جفت" گنجانده شده است.

واضح است که خود عدد 0 نیست، یعنی تعداد ریشه های چنین معادله ای فقط می تواند زوج باشد و طبیعتاً برای هر مقدار از پارامتر نمی تواند سه ریشه داشته باشد.

اما تعداد ریشه های معادله 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 می تواند فرد باشد و برای هر مقدار از پارامتر. در واقع، به راحتی می توان بررسی کرد که مجموعه ریشه های یک معادله دارای راه حل های "جفت" باشد. بیایید بررسی کنیم که آیا 0 یک ریشه است یا خیر. وقتی آن را در معادله جایگزین می کنیم، 2=2 می گیریم. بنابراین، علاوه بر "جفت" 0 نیز یک ریشه است که عدد فرد آنها را ثابت می کند.

- ( ریاضی اگر f (x) = f (x)، تابع f (x) فرد نامیده می شود. به عنوان مثال، y \u003d cosx، y \u003d x2 ... ...

F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا

تابعی که برابری f (x) = f (x) را برآورده می کند. مشاهده توابع زوج و فرد ... دایره المعارف بزرگ شوروی

F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا

F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا

F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا

F(x) = x مثالی از یک تابع فرد است. f(x) = x2 مثالی از یک تابع زوج است. f(x) = x3 ... ویکی پدیا

توابع ویژه ای که توسط ریاضیدان فرانسوی E. Mathieu در سال 1868 هنگام حل مسائل مربوط به نوسان یک غشای بیضوی معرفی شد. M. F. همچنین در مطالعه انتشار امواج الکترومغناطیسی در یک استوانه بیضوی ... دایره المعارف بزرگ شوروی

درخواست "گناه" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید. درخواست "sec" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید. "Sine" به اینجا هدایت می شود. معانی دیگر را نیز ببینید ... ویکی پدیا

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلاید فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است گستره کامل ارائه را نشان ندهد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• برای تشکیل مفهوم توابع زوج و فرد، آموزش توانایی تعیین و استفاده از این ویژگی ها در مطالعه توابع، رسم.
• توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، تفکر منطقی، توانایی مقایسه، تعمیم.
• پرورش سخت کوشی، فرهنگ ریاضی؛ توسعه مهارت های ارتباطی .

تجهیزات: نصب چند رسانه ای، تخته سفید تعاملی، جزوات.

اشکال کار: جبهه ای و گروهی با عناصر جستجو و فعالیت های تحقیقاتی.

منابع اطلاعاتی:

1. جبر کلاس 9 A.G. Mordkovich. کتاب درسی.
2. جبر درجه 9 A.G. Mordkovich. کتاب وظایف.
3. جبر درجه 9. وظایف یادگیری و رشد دانش آموزان. Belenkova E.Yu. لبدینتسوا E.A.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

تعیین اهداف و مقاصد درس.

2. بررسی تکالیف

شماره 10.17 (کتاب مسئله پایه نهم A.G. Mordkovich).

آ) در = f(ایکس), f(ایکس) =

ب) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

ج) 1. د( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(ایکس) = 0 برای ایکس ~ 0,4
4. f(ایکس) > 0 در ایکس > 0,4 ; f(ایکس) < 0 при – 2 < ایکس < 0,4.
5. تابع با افزایش می یابد ایکس € [– 2; + ∞)
6. عملکرد از زیر محدود شده است.
7. دراستخدام = - 3، درنایب وجود ندارد
8. تابع پیوسته است.

(آیا از الگوریتم کاوش ویژگی استفاده کردید؟) اسلاید.

2. بیایید جدولی را که در اسلاید از شما خواسته شده است بررسی کنیم.

جدول را پر کنید
	دامنه	تابع صفرها	فواصل ثابت		مختصات نقاط تقاطع نمودار با Oy
		x = -5، x = 2	х € (-5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ∞ -5، x ≠ 2		х € (-5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ≠ -5، x ≠ 2		x € (–∞؛ –5) U U(2;∞)	x € (-5; 2)

3. به روز رسانی دانش

- توابع داده شده است.
– دامنه تعریف را برای هر تابع مشخص کنید.
– مقدار هر تابع را برای هر جفت از مقادیر آرگومان مقایسه کنید: 1 و – 1. 2 و - 2.
- برای کدام یک از توابع داده شده در حوزه تعریف برابری ها هستند f(– ایکس) = f(ایکس), f(– ایکس) = – f(ایکس)? (داده های دریافتی را در جدولی وارد کنید) اسلاید

		f(1) و f(– 1)	f(2) و f(– 2)	نمودار	f(– ایکس) = –f(ایکس)	f(– ایکس) = f(ایکس)
1. f(ایکس) =
2. f(ایکس) = ایکس 3
3. f(ایکس) = | ایکس |
4.f(ایکس) = 2ایکس – 3
5. f(ایکس) =	ایکس ≠ 0
6. f(ایکس)=	ایکس > –1		و تعریف نشده است.

4. مواد جدید

- در حین انجام این کار، بچه ها، ما یک ویژگی دیگر از تابع را نشان دادیم که برای شما ناآشنا است، اما از بقیه مهمتر نیست - این یکنواختی و عجیب بودن تابع است. موضوع درس را بنویسید: "توابع زوج و فرد"، وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه توابع زوج و فرد را تعیین کنیم، اهمیت این ویژگی را در مطالعه توابع و ترسیم کنیم.
پس بیایید تعاریف کتاب درسی را پیدا کنیم و بخوانیم (ص 110) . اسلاید

Def. 1 تابع در = f (ایکس) تعریف شده در مجموعه X نامیده می شود زوج، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X در حال انجام است برابری f (–x) = f (x). مثال بزن.

Def. 2 عملکرد y = f(x)تعریف شده بر روی مجموعه X نامیده می شود فرد، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X برابری f(–х)= –f(х) برآورده شده است. مثال بزن.

از کجا با اصطلاحات «زوج» و «فرد» آشنا شدیم؟
به نظر شما کدام یک از این توابع زوج خواهد بود؟ چرا؟ کدام عجیب هستند؟ چرا؟
برای هر عملکردی از فرم در= x n، جایی که nیک عدد صحیح است، می توان استدلال کرد که تابع برای فرد است nفرد است و تابع زوج برای است n- زوج.
- مشاهده توابع در= و در = 2ایکس- 3 نه زوج است و نه فرد، زیرا برابری ها رعایت نمی شود f(– ایکس) = – f(ایکس), f(– ایکس) = f(ایکس)

به بررسی مسئله زوج یا فرد بودن یک تابع، مطالعه تابع برای برابری می گویند. اسلاید

تعاریف 1 و 2 با مقادیر تابع در x و - x سروکار دارند، بنابراین فرض می شود که تابع نیز در مقدار تعریف شده است. ایکس، و در - ایکس.

تعریف 3. اگر یک مجموعه عددی، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، آنگاه مجموعه ایکسمجموعه متقارن نامیده می شود.

مثال ها:

(–2;2)، [–5;5]; (∞;∞) مجموعه‌های متقارن هستند و [–5;4] نامتقارن هستند.

- آیا حتی توابع یک دامنه تعریف دارند - یک مجموعه متقارن؟ عجیب و غریب؟
- اگر D( f) یک مجموعه نامتقارن است، پس تابع چیست؟
– بنابراین، اگر تابع در = f(ایکس) زوج یا فرد است، سپس دامنه تعریف آن D( f) یک مجموعه متقارن است. اما آیا برعکس آن درست است، اگر دامنه یک تابع یک مجموعه متقارن باشد، زوج یا فرد است؟
- پس وجود یک مجموعه متقارن از حوزه تعریف شرط لازم است، اما کافی نیست.
- پس چگونه می توانیم تابع را برای برابری بررسی کنیم؟ بیایید سعی کنیم یک الگوریتم بنویسیم.

اسلاید

الگوریتم بررسی تابع برای برابری

1. متقارن بودن دامنه تابع را تعیین کنید. اگر نه، پس تابع نه زوج است و نه فرد. اگر بله، به مرحله 2 الگوریتم بروید.

2. یک عبارت برای f(–ایکس).

3. مقایسه کنید f(–ایکسو f(ایکس):

• اگر f(–ایکس).= f(ایکس، سپس تابع زوج است.
• اگر f(–ایکس).= – f(ایکس، سپس تابع فرد است.
• اگر f(–ایکس) ≠ f(ایکس) و f(–ایکس) ≠ –f(ایکس، سپس تابع نه زوج است و نه فرد.

مثال ها:

تابع برابری a) را بررسی کنید در= x 5 +; ب) در= V) در= .

راه حل.

الف) h (x) \u003d x 5 +،

1) D(h) = (–∞؛ 0) U (0؛ +∞)، مجموعه متقارن.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +)،

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e تابع h (x) \u003d x 5 + فرد.

ب) y =،

در = f(ایکس)، D(f) = (–∞؛ –9)؟ (-9؛ +∞)، مجموعه نامتقارن، بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد.

V) f(ایکس) =، y = f(x)،

1) د( f) = (–∞؛ 3] ≠ ؛ ب) (∞؛ –2)، (–4؛ 4]؟

گزینه 2

1. آیا مجموعه داده شده متقارن است: a) [–2;2]; ب) (∞؛ 0]، (0؛ 7) ?

آ)؛ ب) y \u003d x (5 - x 2). 2. تابع برابری را بررسی کنید:

الف) y \u003d x 2 (2x - x 3)، ب) y \u003d

3. در شکل. ترسیم شده است در = f(ایکس)، برای همه ایکس، ارضای شرط ایکس? 0.
تابع را ترسیم کنید در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع زوج است.

3. در شکل. ترسیم شده است در = f(ایکس)، برای همه x راضی کننده x؟ 0.
تابع را ترسیم کنید در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع فرد است.

بررسی اسلاید.

6. تکلیف: شماره 11.11، 11.21، 11.22;

اثبات معنای هندسی خاصیت برابری.

*** (تخصیص گزینه USE).

1. تابع فرد y \u003d f (x) در کل خط واقعی تعریف شده است. برای هر مقدار غیر منفی متغیر x، مقدار این تابع با مقدار تابع g( ایکس) = ایکس(ایکس + 1)(ایکس + 3)(ایکس- 7). مقدار تابع h( ایکس) = در ایکس = 3.

7. جمع بندی

در جولای 2020، ناسا یک سفر به مریخ راه اندازی کرد. این فضاپیما یک حامل الکترونیکی با نام تمام اعضای ثبت نام شده اعزامی را به مریخ تحویل خواهد داد.

اگر این پست مشکل شما را حل کرد یا فقط آن را دوست داشتید، لینک آن را با دوستان خود در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید.

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا درست بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را ردیابی و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را بچسبانید، صفحات کندتر بارگیری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، اضافه کنید، نسخه اول یا دوم کد بارگذاری بالا را در آن کپی کنید، و ویجت را نزدیک تر قرار دهید. ابتدای الگو (به هر حال، این به هیچ وجه ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب خود جاسازی کنید.

یک شب سال نو دیگر... هوای یخبندان و دانه های برف روی شیشه پنجره... همه اینها باعث شد دوباره درباره... فراکتال ها و آنچه ولفرام آلفا درباره آن می داند بنویسم. به همین مناسبت مقاله جالبی وجود دارد که در آن نمونه هایی از ساختارهای فراکتالی دو بعدی وجود دارد. در اینجا نمونه های پیچیده تری از فراکتال های سه بعدی را در نظر خواهیم گرفت.

یک فراکتال را می توان به صورت بصری به عنوان یک شکل یا بدن هندسی نشان داد (به این معنی که هر دو مجموعه ای هستند، در این مورد، مجموعه ای از نقاط)، که جزئیات آن شکلی مشابه خود شکل اصلی دارند. یعنی یک سازه خود مشابه است که با توجه به جزئیات آن با بزرگنمایی همان شکل بدون بزرگنمایی را خواهیم دید. در حالی که در مورد یک شکل هندسی معمولی (نه فراکتال)، با زوم کردن، جزئیاتی را خواهیم دید که شکل ساده تری نسبت به خود شکل اصلی دارند. به عنوان مثال، با بزرگنمایی به اندازه کافی بالا، بخشی از یک بیضی مانند یک بخش خط مستقیم به نظر می رسد. در مورد فراکتال ها این اتفاق نمی افتد: با هر افزایشی در آنها، دوباره همان شکل پیچیده را خواهیم دید که با هر افزایش دوباره و دوباره تکرار می شود.

بنوا ماندلبروت، بنیانگذار علم فراکتال ها، در مقاله خود فراکتال ها و هنر برای علم می نویسد: "فرکتال ها اشکال هندسی هستند که در جزئیات به همان اندازه که در شکل کلی خود پیچیده هستند. یعنی اگر بخشی از اراده فراکتال باشد. به اندازه کل بزرگ شود، شبیه کل یا دقیقاً یا شاید با تغییر شکل جزئی به نظر برسد.

. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گرافیکی استفاده کنید. هر تعداد از هر مقدار عددی را برای متغیر مستقل x (\displaystyle x) انتخاب کنید و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته y (\displaystyle y) را محاسبه کنید. مختصات یافت شده نقاط را در صفحه مختصات قرار دهید و سپس این نقاط را به هم متصل کنید تا نموداری از تابع بسازید.

• مقادیر عددی مثبت x (\displaystyle x) و مقادیر عددی منفی مربوطه را در تابع جایگزین کنید. به عنوان مثال، با توجه به یک تابع f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . مقادیر x زیر (\displaystyle x) را در آن جایگزین کنید:

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور y متقارن است یا خیر. تقارن به معنای تصویر آینه ای نمودار حول محور y است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با بخشی از نمودار در سمت چپ محور y (مقادیر منفی متغیر مستقل) مطابقت داشته باشد، نمودار با محور y متقارن است اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد تابع زوج است.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر. مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدأ به این معنی است که یک مقدار y مثبت (\displaystyle y) (وقتی x مثبت است (\displaystyle x)) با مقدار y منفی (\displaystyle y) مطابقت دارد (وقتی x منفی است (\displaystyle x))، و برعکس توابع فرد نسبت به مبدا تقارن دارند.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر. آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی هم نسبت به محور y و هم نسبت به مبدا تصویر آینه ای وجود ندارد. به عنوان مثال، یک تابع داده شده است.

• مقادیر x مثبت و متناظر منفی (\displaystyle x) را در تابع جایگزین کنید:
• با توجه به نتایج به دست آمده، هیچ تقارنی وجود ندارد. مقادیر y (\displaystyle y) برای مقادیر مقابل x (\displaystyle x) مطابقت ندارند و مخالف نیستند. بنابراین، تابع نه زوج است و نه فرد.
• توجه داشته باشید که تابع f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) را می توان به این صورت نوشت: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . به این شکل نوشته شده، تابع به نظر زوج است زیرا یک توان زوج وجود دارد. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد نمی توان به سرعت شکل یک تابع را تعیین کرد. در این مورد، باید براکت ها را باز کنید و توان های حاصل را تجزیه و تحلیل کنید.