ریاضیات با مینور. ترتیب مجموعه اعداد طبیعی قضایای بزرگ ترین و کوچکترین اعداد طبیعی

قطعه N از یک سری طبیعی مجموعه ای از اعداد طبیعی است که از عدد طبیعی a تجاوز نمی کند، یعنی N = (x|x N و x a).

به عنوان مثال، N مجموعه ای از اعداد طبیعی است که از 7 تجاوز نمی کند، یعنی. N = (1،2،3،4،5،6،7).

اجازه دهید به دو ویژگی مهم بخش های سری طبیعی توجه کنیم:
1) هر قطعه N شامل یک است. این ویژگی از تعریف یک قطعه از یک سری طبیعی ناشی می شود.
2) اگر عدد x در بازه N و x a موجود باشد، عدد x+1 بلافاصله بعد از آنها نیز در N موجود است.

مجموعه A محدود نامیده می شود اگر معادل قسمتی N از سری طبیعی باشد. به عنوان مثال، مجموعه A از رئوس یک مثلث، مجموعه B از حروف در کلمه "دنیا" مجموعه های متناهی هستند، زیرا آنها برابر با بخش N = (1،2،3)، یعنی. A~B~ N.
اگر یک مجموعه متناهی غیر خالی A برابر با قطعه N باشد، عدد طبیعی a را تعداد عناصر مجموعه A می نامند و n(A) = a نوشته می شود. برای مثال، اگر A مجموعه رئوس یک مثلث باشد، n(A) = 3 است.

هر مجموعه متناهی غیر خالی معادل یک و تنها یک بخش از سری طبیعی است، یعنی هر مجموعه محدود A را می توان با یک عدد تعریف شده منحصر به فرد a مرتبط کرد، به طوری که مجموعه A یک به یک بر روی قطعه نگاشت می شود. ن.

ایجاد یک تناظر یک به یک بین عناصر یک مجموعه متناهی غیر خالی A و یک پاره از یک سری طبیعی را شمارش عناصر مجموعه A می گویند. کل مجموعه مجموعه های محدود به کلاس هایی از مجموعه توان های مساوی تقسیم می شود. یک کلاس شامل تمام مجموعه های تک عنصری، دیگری شامل مجموعه های دو عنصری و غیره خواهد بود. و این عدد را می توان به عنوان یک ویژگی کلی از کلاس مجموعه های محدود توان مساوی در نظر گرفت. بنابراین، از دیدگاه نظری مجموعه ها، یک عدد طبیعی یک ویژگی کلی از کلاس مجموعه های متناهی با کاردینالیته برابر است.

عدد 0 همچنین دارای تفسیر نظری مجموعه است - مطابق با مجموعه خالی قرار می گیرد: n() = 0.

بنابراین عدد طبیعی a به عنوان مشخصه کمیت را می توان از دو موقعیت در نظر گرفت:

1) به عنوان تعداد عناصر مجموعه A که با شمارش به دست می آید.
2) به عنوان یک ویژگی کلی از کلاس مجموعه های محدود با توان برابر.

ارتباط برقرار شده بین مجموعه های متناهی و اعداد طبیعی به ما اجازه می دهد تا تفسیر نظری مجموعه ای از رابطه «کمتر از» ارائه دهیم.

اگر a = n(A)، b = n(B)، آنگاه عدد a کوچکتر از عدد b است اگر و فقط اگر مجموعه A برابر با زیر مجموعه خودش از مجموعه B باشد، یعنی. A~B، که در آن B B، B B، B (شکل 1). یا زمانی که یک قطعه از یک سری طبیعی N زیرمجموعه مناسبی از قطعه N باشد، یعنی. N N .

اعداد a و b مساوی هستند اگر با مجموعه های مساوی تعریف شوند: a = k A~B، که در آن n(A) = a، n (B) = k. به عنوان مثال، 2 = 2، زیرا n(A) = 2، n(B) = 2، A = (a، b)، B = (z، x)، A~B.

خواص رابطه "کمتر از" برای اعداد طبیعی نیز تفسیر نظری مجموعه ای دریافت می کند: گذر و ضد تقارن این رابطه با این واقعیت مرتبط است که رابطه "یک زیر مجموعه" متعدی و ضد متقارن است.

اجازه دهید با استفاده از تفسیر نظری مجموعه ها از رابطه "کمتر از" برای اعداد طبیعی نشان دهیم که 2
بیایید یک مجموعه A شامل 2 عنصر و یک مجموعه B حاوی 5 عنصر، یعنی. n(A) = 2، n(B) = 5. به عنوان مثال، A = (a، b)، B = (c، d، e، f، r). از مجموعه B می توانیم زیر مجموعه B را انتخاب کنیم که برابر با مجموعه A است: به عنوان مثال B = (c, d) و A~B. طبق تعریف نسبت «کمتر از» 2
اعتبار این نابرابری نیز از این واقعیت ناشی می شود که N
این نابرابری را می توان در شکل 2 مشاهده کرد. فرض کنید 2 تعداد دایره ها و 5 تعداد مربع ها باشد. اگر دایره ها را روی مربع ها بگذاریم، می بینیم که تعدادی از مربع ها بدون پوشش باقی می مانند.

این بدان معنی است که تعداد دایره ها از تعداد مربع ها کمتر است، یعنی. 2
معنای نظری مجموعه ها از نابرابری 0

مقایسه اعداد در دوره اولیه ریاضیات به روش های مختلفی انجام می شود - این بر اساس تمام رویکردهایی است که ما برای تفسیر رابطه "کمتر از" در نظر گرفته ایم.

عدد طبیعی عددی است که در شمارش اجسام استفاده می شود. برخاسته از نیازهای عملی انسان است. توسعه مفهوم اعداد طبیعی را می توان به چند مرحله تقسیم کرد: 1. مردم باستان، به منظور مقایسه مجموعه ها، مطابقت هایی را ایجاد کردند: به عنوان مثال، به اندازه یک انگشت روی دست. نقطه ضعف - مجموعه هایی که مقایسه می شوند باید به طور همزمان قابل مشاهده باشند. 2. بسیاری - واسطه ها، به عنوان مثال، سنگ، صدف، چوب. مفهوم عدد هنوز کامل نشده است. و اعداد به موارد خاصی گره خورده است. 3. ظاهر عدد (تعیین عدد به صورت اعداد). خاستگاه های حساب. حساب به عنوان یک علم در کشورهای شرق باستان - چین، هند، مصر، و توسعه بیشتر در یونان سرچشمه گرفته است. اصطلاح "عدد طبیعی" اولین بار توسط دانشمند رومی بوئتیوس استفاده شد. شمارش برای تعیین مقدار یک مجموعه ضروری است. اجازه دهید تمام مجموعه های کمی را به کلاس های هم ارزی تقسیم کنیم، برای مثال، به یک کلاس هم ارزی. شامل بسیاری از رئوس مثلث ها، اضلاع مربع، حروف بسیاری در کلمه جهان است. اگر این روند را ادامه دهیم، به دلیل این واقعیت است که در رابطه با هم ارزی، همه چیز یک رابطه به همان اندازه قدرتمند است. مجموعه های محدود به کلاس ها تقسیم می شوند. که از لحاظ نظری، معنای جمع یک عدد طبیعی اصلی یک ویژگی کلی از کلاس مجموعه‌های متناهی با توان برابر است. هر کلاس عدد کمی مخصوص به خود را دارد. صفر مطابق با مجموعه خالی قرار می گیرد.

اگر اعداد A و B با مجموعه هایی از کاردینالیته مساوی تعریف شوند، مساوی هستند.

این روش در مقاطع ابتدایی استفاده می شود.

روش های کار بر روی مسائلی که معنای خاص عملیات حسابی را آشکار می کند.

مسائل حسابی جایگاه قابل توجهی در دروس ریاضی را اشغال می کند. تقریباً نیمی از زمان درس ریاضیات صرف حل مسائل می شود. این با نقش بزرگ آموزشی و تربیتی آنها در آموزش کودکان توضیح داده می شود. حل مسائل حسابی کمک می کند تا معنای اصلی عملیات حسابی آشکار شود، آنها مشخص شوند و آنها با یک موقعیت خاص زندگی مرتبط شوند. مشکلات به جذب مفاهیم، ​​روابط و الگوهای ریاضی کمک می کند. هنگام حل مشکلات، کودکان توجه، مشاهده، تفکر منطقی، گفتار و هوش داوطلبانه را توسعه می دهند. حل مسائل به توسعه فرآیندهای شناختی مانند تجزیه و تحلیل، سنتز، مقایسه، تعمیم کمک می کند.

در فرآیند حل مسائل حسابی، دانش‌آموزان یاد می‌گیرند که فعالیت‌های خود را برنامه‌ریزی و کنترل کنند، بر تکنیک‌ها، خودکنترلی (بررسی مسئله، تخمین مسائل و غیره) تسلط پیدا کنند، پشتکار، اراده و علاقه به یافتن راه‌حل برای آن‌ها را توسعه دهند. مسئله. نقش حل مسئله در آماده سازی کودکان برای زندگی و کار آینده آنها بسیار زیاد است. هنگام حل مسائل داستانی، دانش آموزان یاد می گیرند که روابط بین اشیا و کمیت ها را به "زبان ریاضیات" ترجمه کنند. مسائل حسابی از مواد عددی استفاده می کنند که نشان دهنده موفقیت های کشور در بخش های مختلف اقتصاد ملی، فرهنگ، علم و غیره است. این به گسترش افق دانش آموزان کمک می کند و آنها را با دانش جدید در مورد واقعیت اطراف غنی می کند. دانش آموزان توانایی حل مسائل حسابی را به سختی زیاد می کنند.

دلایل راه حل های نادرست کودکان برای مشکلات در درجه اول در ویژگی های تفکر آنها نهفته است. در فرآیند یادگیری حل مسائل، باید از آموزش حل مسائل از نوع خاصی اجتناب کرد؛ باید رویکردی آگاهانه برای حل مسائل آموزش داد، نحوه هدایت یک موقعیت خاص زندگی را که در یک مسئله توصیف شده است، آموزش داد، انتخاب آگاهانه کار را آموزش داد. داده ها، انتخاب آگاهانه اقدامات. در فرآیند کار بر روی هر مسئله حسابی، مراحل زیر قابل تشخیص است:

1. روی محتوای تکلیف کار کنید.

2. یافتن راه حل برای مشکل.

3. حل مشکل.

4. فرمول بندی پاسخ.

5. بررسی راه حل مشکل.

6. پیگیری کار بر روی مشکل حل شده.

باید توجه زیادی به کار روی محتوای کار شود، یعنی. بیش از درک وضعیت تعیین شده در مشکل، ایجاد رابطه بین داده ها و آنچه که به دنبال آن است. دنباله کار بر روی تسلط بر محتوای کار؛

الف) تجزیه و تحلیل کلمات یا عبارات نامفهوم؛

ب) خواندن متن مسئله توسط معلم و دانش آموزان.

ج) ثبت شرایط مشکل؛

د) تکرار تکلیف توسط سؤالات.

باید به دانش آموزان یاد داد که متن یک مسئله را به صورت رسا بخوانند. باید به خاطر داشت که کودکان به طور خاص نیاز به آموزش خواندن بیان دارند؛ آنها نمی توانند به تنهایی مسئله را به درستی بخوانند، نمی توانند استرس های منطقی ایجاد کنند و غیره.

همراه با مشخص کردن محتوای یک تکلیف با کمک اشیا، شابلون ها و نقاشی ها، اشکال زیر برای ثبت محتوای یک کار در رویه معلمان مدارس رواج یافته است:

1. شکل مختصری از ضبط که در آن داده های عددی و فقط آن دسته از کلمات و عباراتی که برای درک معنای منطقی مسئله ضروری هستند از متن مسئله نوشته می شود.

2. شکل ساختاری مخفف ضبط، که در آن هر بخش منطقی مسئله در یک خط جدید نوشته می شود.

3. فرم شماتیک ضبط.

4. فرم گرافیکی ضبط.

از آنجایی که عملکرد کنترل در کودکان ضعیف است، بررسی راه حل یک مشکل نه تنها اهمیت آموزشی، بلکه آموزشی نیز دارد. در مقاطع پایین تر لازم است:

1. وظایف فرموله شده شفاهی را با انجام اقدامات روی اشیا بررسی کنید.

2. واقعیت پاسخ را بررسی کنید.

3. مطابقت پاسخ با شرایط و سؤال تکلیف را بررسی کنید. بررسی راه حل یک مسئله با استفاده از روش های دیگر حل آن از کلاس چهارم امکان پذیر است.

برای کنترل صحت حل مسئله از برخی عناصر آموزش برنامه ریزی شده نیز استفاده می شود. این عنصر از این جهت بسیار مفید است که دانش آموز برای درستی یا برعکس خطای اعمال خود فوراً تقویتی دریافت می کند. اگر تصمیمی اشتباه باشد، به دنبال راه حل های جدید می گردد.

یک معلم در مدرسه اغلب نمی تواند مطمئن باشد که راه حل یک مشکل برای همه دانش آموزان قابل درک است. بنابراین، کار بر روی یکپارچه سازی راه حل این مشکل بسیار مفید است. کار برای تثبیت راه حل مشکل می تواند به روش های مختلفی انجام شود.

1. سوالات کلیدی در رابطه با محتوای مسئله مطرح می شود.

2. پیشنهاد شده است که کل فرآیند حل مشکل با توجیه انتخاب اقدامات بیان شود.

3. سؤالاتی در مورد اقدامات یا مسائل فردی مطرح می شود. آنچه برای دانش آموزان مهم است تعداد مسائل مشابه حل شده نیست، بلکه درک وضعیت موضوع در رابطه با داده ها است. این هدف با کار بعدی بر روی مسئله حل شده انجام می شود که می تواند به عنوان یک تکنیک مهم در نظر گرفته شود که مهارت در حل مسائل از این نوع را توسعه می دهد. درک بهتر محتوای موضوعی مسائل، رابطه بین داده ها و موارد مورد نیاز با حل مسائل با داده های عددی اضافی یا گمشده، که نه به صورت اعداد، بلکه با کلمات نوشته شده است، تسهیل می شود. مشاهدات نشان می دهد که بهترین معلمان به طور گسترده از نوشتن مسائل توسط خود دانش آموزان به عنوان یکی از روش های آموزش حل مسئله استفاده می کنند.

ترسیم مسائل به کودکان کمک می کند تا اهمیت حیاتی و عملی یک کار را بهتر درک کنند، ساختار آن را بهتر درک کنند، و همچنین بین انواع مختلف مسائل تمایز قائل شوند و روش های حل آنها را درک کنند. آماده سازی مسائل به موازات حل مشکلات آماده انجام می شود. تجربه و مشاهده نشان می‌دهد که ترکیب جزئی مسائل برای دانش‌آموزان آسان‌تر است. دانش آموزان باید تشویق شوند تا مسائلی را با طرح های مختلف بنویسند. این به توسعه تخیل، نبوغ و ابتکار آنها کمک می کند. زمانی بسیار مفید است که دانش‌آموزان برای نوشتن مسائل از مطالبی استفاده می‌کنند که در طول سفرها از کتاب‌های مرجع، روزنامه‌ها، مجلات و غیره «به‌دست می‌آورند». به دانش آموزان دبیرستانی باید آموزش داده شود که اسناد تجاری مربوط به محاسبات خاص را پر کنند و بنویسند. مثلاً وکالتنامه بنویسید، فرم انتقال پول را پر کنید و غیره. تمام تکنیک های فوق را می توان به طور گسترده در حل انواع مشکلات استفاده کرد.

یک مسئله ساده حسابی مسئله ای است که با یک عملیات حسابی قابل حل است. مسائل ساده نقش فوق العاده مهمی در آموزش ریاضیات به دانش آموزان دارند. این کارهای ساده ای است که امکان آشکار کردن معنای اصلی و مشخص کردن عملیات حسابی را فراهم می کند تا مفاهیم ریاضی خاصی را تشکیل دهد. مسائل ساده جزء لاینفک مسائل پیچیده هستند و از این رو معلم با پرورش توانایی حل آنها، دانش آموزان را برای حل مسائل پیچیده آماده می کند.

هر سال تحصیلی، دانش آموزان با انواع جدیدی از مسائل ساده آشنا می شوند. معرفی تدریجی آنها با درجات مختلف دشواری مفاهیم ریاضی، محل مطالعه آن عملیات حسابی، که معنای خاص آن را آشکار می کنند، توضیح داده می شود. هنگام انتخاب وظایف از این نوع، مشخصات و محتوای معلم مستحق توجه کمتری نیست. در نهایت، معلم نحوه مشخص کردن محتوای مسئله را آموزش می‌دهد و رابطه بین داده‌ها و آنچه را که به دنبال آن است با استفاده از اشکال مختلف نمادگذاری کوتاه آشکار می‌کند.

تجربه بهترین معلمان نشان می دهد که آماده سازی برای حل مسائل حسابی باید با غنی سازی و توسعه تجربه عملی دانش آموزان شروع شود و آنها را در واقعیت اطراف جهت دهی کند. دانش آموزان باید به موقعیتی از زندگی هدایت شوند که در آن باید بشمارند، مسائل حسابی را حل کنند و تغییراتی ایجاد کنند. علاوه بر این، در ابتدا نباید این موقعیت ها به صورت تصنعی ایجاد شود، بلکه توجه دانش آموزان فقط باید به آن ها جلب و هدایت شود. معلم مشاهده تغییرات در تعداد عناصر مجموعه اشیاء محتویات ظروف و غیره را سازماندهی می کند که به توسعه ایده های دانش آموزان در مورد کمیت و آشنایی آنها با اصطلاحات خاص کمک می کند که متعاقباً در فرمول بندی کلامی با آنها روبرو می شود. مشکلات: شد، همه چیز ماند، گرفت، زیاد شد، کم شد و غیره. سازماندهی فعالیت های بازی و عملی دانش آموزان به گونه ای ضروری است که خود دانش آموزان با حضور مستقیم در این فعالیت و همچنین مشاهده، بتوانند در هر مورد نتیجه گیری کنند. تعداد عناصر مجموعه کم یا زیاد شده است و چه عملکرد و بیان کلامی با این افزایش یا کاهش مطابقت دارد. این مرحله از کارهای مقدماتی مصادف است با شروع کار بر روی ده عدد اول و آشنایی با عملیات حسابی، با حل و گردآوری مثال هایی از عملیات با مجموعه های هدف.

قبل از شروع آموزش حل مسائل حسابی، معلم باید به وضوح تصور کند که چه دانش، مهارت و توانایی هایی باید به دانش آموزان داده شود. دانش آموزان برای حل یک مسئله باید مثال های حسابی را حل کنند، گوش کنند و سپس مسئله را بخوانند، مسئله را سوال به سوال، از یادداشت کوتاه، از حافظه تکرار کنند، اجزای مسئله را شناسایی کنند، مسئله را حل کنند و صحت آن را بررسی کنند. در کلاس 1، دانش آموزان یاد می گیرند که مسائل مربوط به یافتن مجموع و باقی مانده را حل کنند. این کارها برای اولین بار هنگام آموزش ده عدد اول معرفی می شوند. هنگام یادگیری حل مسائل در یافتن مجموع عبارت های یکسان، تقسیم به قسمت های مساوی یا تقسیم بر اساس محتوا، باید به درک دانش آموزان از ماهیت عملیات حسابی ضرب و تقسیم تکیه کرد. قبل از حل مسئله مقایسه های مختلف، دانش آموزان باید مفهوم مقایسه اشیاء یک مجموعه، دو مجموعه موضوعی، کمیت ها، اعداد، برقراری روابط برابری و نابرابری بین آنها را بیان کنند. یک مسئله محاسباتی مرکب یا پیچیده، مسئله ای است که با دو یا چند عملیات حسابی قابل حل است. تحقیقات روانشناختی در مورد ویژگی های حل مسائل حسابی مرکب نشان می دهد که کودکان مسائل ساده آشنا را در زمینه یک مسئله ترکیبی جدید تشخیص نمی دهند. کار آماده سازی برای حل مسائل مرکب باید سیستمی از تمرین ها و فنون باشد که به طور هدفمند دانش آموزان را به تسلط بر حل مسائل مرکب سوق دهد. معلم زمانی می تواند به سراغ حل مسائل مرکب برود که متقاعد شود که دانش آموزان بر تکنیک های حل مسائل ساده ای که در مسئله مرکب گنجانده می شود تسلط دارند و خودشان می توانند یک مسئله ساده از نوع خاصی ایجاد کنند. هنگام حل مسائل مرکب، دانش آموزان باید یا سؤالاتی را برای داده ها مطرح کنند یا داده هایی را برای پاسخ به سؤال انتخاب کنند. بنابراین، در طول دوره مقدماتی، یعنی. در طول سال اول و در آغاز سال دوم تحصیل، به دانشجویان باید وظایف زیر ارائه شود:

1. سوالات را برای شرط آماده انتخاب کنید.

2. با انتخاب داده های عددی گمشده، مسئله ای را بر اساس سؤال بنویسید.

با نوشتن مسائل ساده و مرکب، دانش آموزان به تدریج یاد می گیرند که ساده ها را در یک مسئله مرکب تشخیص دهند؛ تمرین هایی برای نوشتن مسائل پیچیده که قبلاً در حل آنها تجربه کرده اند بسیار مفید است. این به یکسان سازی بهتر انواع مسائل ساده، توانایی شناسایی آنها در یک مسئله مرکب کمک می کند و به دانش آموزان کمک می کند تا آگاهانه مسائل را تجزیه و تحلیل کنند. هنگام حل مسائل مرکب، به دانش آموزان باید تکنیک های کلی برای کار بر روی یک مسئله آموزش داده شود. توانایی تجزیه و تحلیل محتوای یک کار، برجسته کردن داده های شناخته شده، آنچه به دنبال آن است (به عنوان مثال، ایجاد آنچه باید در کار آموخته شود)، تعیین اینکه چه داده هایی برای پاسخ به سؤال اصلی در کار وجود ندارد. در تمرین مدرسه، روش کار با کارت ها، وظایفی که در آن ترتیب کار روی یک کار مشخص می شود، خود را توجیه کرده است. هنگام حل مسائل، رسمی شدن راه حل آن با سؤالات نوشته می شود یا هر عمل نوشته و توضیح داده می شود. توسعه یک روش تعمیم یافته برای حل مسائل از این نوع با حل مکرر مسائل با انواع مختلف، طرح ها، حل مسائل آماده که توسط خود دانش آموزان جمع آوری شده است، مقایسه مسائل از این نوع با انواع مشکلات قبلاً حل شده و غیره تضمین می شود.

1. روش محاسباتی موارد 40+20، 50-30، 34+20، 34+2، 48-30، 48-3 - همه روش های محاسبه از غلظت صد را توضیح دهید.

1) 40+20= 4d+2d=6d=60

2) 50-30 = 5d-3d=2d=20

3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54

4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36

5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18

6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45

تمامی روش های محاسبه شفاهی بوده و بر اساس جمع و تفریق ارقام انجام می شود.

برای آزمون دولتی در تخصص

1. فضای خطی (بردار) روی میدان. مثال ها. فضاهای فرعی، ساده ترین ویژگی ها. وابستگی و استقلال خطی بردارها.

2. اساس و بعد فضای برداری. ماتریس مختصات یک سیستم برداری انتقال از یک پایه به پایه دیگر. ایزومورفیسم فضاهای برداری.

3. بسته بودن جبری میدان اعداد مختلط.

4. حلقه اعداد صحیح. ترتیب اعداد صحیح قضایای مربوط به "بزرگترین" و "کوچکترین" اعداد صحیح.

5. گروه، نمونه هایی از گروه ها. ساده ترین ویژگی های گروه ها زیر گروه ها هممورفیسم و ​​ایزومورفیسم گروه ها.

6. ویژگی های اساسی تقسیم پذیری اعداد صحیح. اعداد اول. بی نهایت بودن مجموعه اعداد اول. تجزیه متعارف یک عدد مرکب و منحصر به فرد بودن آن.

7. قضیه کرونکر-کاپلی (معیار سازگاری برای سیستم معادلات خطی).

8. ویژگی های اساسی مقایسه ها. سیستم های کامل و کاهش یافته کسر مدول. حلقه کلاس باقیمانده مدول. قضایای اویلر و فرما.

9. کاربرد نظریه مقایسه ها در استنتاج معیارهای تقسیم پذیری. تبدیل کسر به اعشار و تعیین طول دوره آن.

10. مزدوج ریشه های خیالی یک چند جمله ای با ضرایب حقیقی. چند جمله ای های تقلیل ناپذیر در میدان اعداد حقیقی.

11. مقایسه های خطی با یک متغیر (معیار حل پذیری، روش های حل).

12. سیستم های معادل معادلات خطی. روش حذف متوالی مجهولات.

13. حلقه. نمونه هایی از حلقه ها ساده ترین خواص حلقه ها حلقه فرعی. هممورفیسم ها و هم شکلی های حلقه ها. رشته. نمونه هایی از زمینه ها ساده ترین خواص حداقل بودن میدان اعداد گویا.

14. اعداد طبیعی (مبانی نظریه بدیهی اعداد طبیعی). قضایای "بزرگترین" و "کوچکترین" اعداد طبیعی.

15. چند جمله ای ها روی یک میدان. قضیه تقسیم با باقیمانده بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چند جمله ای، خواص و روش های یافتن آن.

16. روابط دودویی. رابطه هم ارزی کلاس های هم ارزی، مجموعه فاکتورها.

17. استقراء ریاضی برای اعداد طبیعی و صحیح.

18. خواص اعداد نسبتا اول. کمترین مضرب مشترک اعداد صحیح، خواص و روش های یافتن آن.

19. فیلد اعداد مختلط، فیلدهای اعداد. نمایش هندسی و شکل مثلثاتی یک عدد مختلط.

20. قضیه تقسیم با باقی مانده برای اعداد صحیح. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد صحیح، خواص و روش های پیدا کردن آن.

21. عملگرهای خطی فضای برداری. هسته و تصویر یک عملگر خطی. جبر عملگرهای خطی در فضای برداری. مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک عملگر خطی.

22. تبدیل های افین صفحه، خواص آنها و روش های مشخص کردن. گروهی از تبدیل های وابسته هواپیما و زیر گروه های آن.

23. چند ضلعی. مساحت یک چند ضلعی. قضیه هستی و یگانگی.

24. اندازه مساوی و ترکیب برابر چند ضلعی ها.

25. هندسه لوباچفسکی. سازگاری سیستم بدیهیات هندسه لوباچفسکی.

26. مفهوم موازی در هندسه لوباچفسکی. موقعیت نسبی خطوط در هواپیمای لوباچفسکی.

27. فرمول های حرکت. طبقه بندی حرکات هواپیما برنامه های کاربردی برای حل مسئله.

28. موقعیت نسبی دو صفحه، یک خط مستقیم و یک صفحه، دو خط مستقیم در فضا (در ارائه تحلیلی).

29. دگرگونی های فرافکنی. قضیه هستی و یگانگی. فرمول های تبدیل های تصویری

30. اسکالر، بردار و ترکیب بردارها، کاربرد آنها در حل مسئله.

31. نظام بدیهی ویل فضای سه بعدی اقلیدسی و قوام محتوایی آن.

32. حرکات هواپیما و خواص آنها. گروهی از حرکات هواپیما. قضیه وجود و یکتایی حرکت.

33. صفحه فرافکنی و مدل های آن. تبدیل های فرافکنی، ویژگی های آنها. گروه تحولات تصویری

34. تبدیل تشابه صفحه، خواص آنها. گروه تبدیل تشابه صفحه و زیر گروه های آن.

35. سطوح صاف. اولین شکل درجه دوم یک سطح و کاربردهای آن

36. طراحی موازی و خواص آن. تصویر فیگورهای مسطح و فضایی در طرح ریزی موازی.

37. خطوط صاف. انحنای منحنی فضایی و محاسبه آن.

38. بیضی، هذلولی و سهمی به عنوان مقاطع مخروطی. معادلات متعارف

39. خاصیت کارگردانی بیضی، هذلولی و سهمی. معادلات قطبی

40. نسبت دو برابر چهار نقطه روی یک خط، خواص و محاسبه آن. جداسازی هارمونیک جفت نقاط. چهارضلعی کامل و خواص آن کاربرد برای حل مشکلات ساخت و ساز.

41. قضایای پاسکال و برایانشون. قطب ها و قطب ها.

نمونه سوالات تحلیل ریاضی

قضایای مربوط به "بزرگترین" و "کوچکترین" اعداد صحیح

قضیه 4 (در مورد "کوچکترین" عدد صحیح). هر مجموعه غیر خالی از اعداد صحیح محدود شده از زیر حاوی کوچکترین عدد است. (در اینجا، مانند اعداد طبیعی، به جای کلمه «زیر مجموعه» E از کلمه «مجموعه» استفاده می شود.

اثبات بگذارید O A C Z و A در زیر محدود شوند، یعنی. 36؟ ZVa الف (ب< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

بگذارید اکنون b A.

سپس Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >در باره).

اجازه دهید یک مجموعه M از تمام اعداد شکل a - b تشکیل دهیم، جایی که a از مجموعه A عبور می کند، یعنی. M = (c [c = a - b، a E A)

بدیهی است که مجموعه M خالی نیست، زیرا A 74 0 است

همانطور که در بالا ذکر شد، M C N. در نتیجه، با قضیه اعداد طبیعی (54، فصل III) در مجموعه M کوچکترین عدد طبیعی m وجود دارد سپس m = a1 - b برای برخی از عدد a1؟ A، و چون m کوچکترین در M است، پس Ua؟ A(t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

قضیه 5 (درباره "بزرگترین" عدد صحیح). هر مجموعه غیر خالی و محدودی از اعداد صحیح حاوی بیشترین تعداد است.

اثبات بگذارید O 74 A C Z و A از بالا با عدد b محدود شوند، یعنی. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b برای همه اعداد a؟ آ.

در نتیجه، مجموعه M (با r = -a، a؟ A) خالی نیست و در زیر با عدد (-6) محدود می شود. از این رو، طبق قضیه قبلی، کوچکترین عدد در مجموعه M رخ می دهد، یعنی. آس؟ MUs؟ ام‌اس< с).

این یعنی واه؟ الف(ج)< -а), откуда Уа? А(-с >آ)

ح- اشکال مختلف روش استقراء ریاضی برای اعداد صحیح. قضیه تقسیم با باقی مانده

قضیه 1 (شکل اول روش استقراء ریاضی). فرض کنید P(c) یک محمول یک‌جای تعریف شده بر روی مجموعه Z از اعداد صحیح، 4 باشد. سپس اگر برای برخی از اعداد a Z گزاره P(o) و برای یک عدد صحیح دلخواه K > a از P(K) از P(K -4- 1) پیروی کند، گزاره P(r) برای همه اعداد صحیح با > معتبر است. a (یعنی فرمول حساب محمول زیر در مجموعه Z صادق است:

Р(а) کمان > + 1)) Ус > аР(с)

برای هر عدد صحیح ثابت a

اثبات بگذارید هر آنچه در شرایط قضیه گفته می شود برای جمله P (c)، یعنی.

1) P (a) - درست است.

2) UK Shch k + نیز درست است.

از طرف مقابل. فرض کنید چنین عددی وجود دارد

b > a، که RF) نادرست است. بدیهی است b a، زیرا P(a) درست است. اجازه دهید مجموعه M = را تشکیل دهیم (z ? > a، P(z) نادرست است).

سپس مجموعه M 0، از آنجایی که b؟ M و M- از زیر با عدد a محدود می شوند. در نتیجه، با قضیه روی حداقل عدد صحیح (قضیه 4، 2)، حداقل عدد صحیح c در مجموعه M وجود دارد. از این رو c > a، که به نوبه خود، دلالت بر c - 1 > a دارد.

اجازه دهید ثابت کنیم که P(c-1) درست است. اگر c-1 = a، آنگاه P (c-1) به موجب شرط صادق است.

اجازه دهید c- 1 > a. پس فرض نادرست بودن P(c-1) مستلزم تعلق به 1 است؟ M، که نمی تواند باشد، زیرا عدد c کوچکترین در مجموعه M است.

بنابراین، c - 1 > a و P(c - 1) درست است.

از این رو، به موجب شرایط این قضیه، جمله P((c- 1) + 1) صادق است، یعنی. R(s) - درست است. این با انتخاب عدد c در تناقض است، زیرا c؟ M قضیه ثابت شده است.

توجه داشته باشید که این قضیه نتیجه 1 بدیهیات Peano را تعمیم می دهد.

قضیه 2 (شکل دوم روش استقراء ریاضی برای اعداد صحیح). فرض کنید P(c) یک محمول یک‌جای تعریف‌شده بر روی مجموعه Z از اعداد صحیح باشد. سپس اگر گزاره P(c) برای مقداری K صحیح و برای یک عدد صحیح دلخواه s K از اعتبار گزاره P(c) برای همه اعداد صحیحی که نابرابری K را برآورده می کنند معتبر باشد.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >به.

اثبات این قضیه تا حد زیادی اثبات یک قضیه مشابه را برای اعداد طبیعی تکرار می کند (قضیه 1، 55، فصل سوم).

قضیه 3 (شکل سوم روش استقراء ریاضی). فرض کنید P(c) یک محمول یکجای تعریف شده بر روی مجموعه Z از اعداد صحیح باشد. سپس اگر P(c) برای همه اعداد زیر مجموعه نامتناهی M از مجموعه اعداد طبیعی و برای یک عدد صحیح دلخواه a صادق باشد، صدق P(a) دلالت بر صدق P(a - 1) دارد، آنگاه گزاره P(c) برای همه اعداد صحیح معتبر است.

اثبات مشابه اثبات قضیه مربوط به اعداد طبیعی است.

ما آن را به عنوان یک تمرین جالب ارائه می دهیم.

توجه داشته باشید که در عمل، شکل سوم استقراء ریاضی کمتر از بقیه رایج است. این با این واقعیت توضیح داده می شود که برای اعمال آن، باید زیر مجموعه نامتناهی M از مجموعه اعداد طبیعی را دانست که در قضیه بحث شده است. یافتن چنین مجموعه ای می تواند کار دشواری باشد.

اما مزیت شکل سوم نسبت به بقیه این است که با کمک آن می توان گزاره P(c) را برای همه اعداد صحیح اثبات کرد.

در زیر مثال جالبی از کاربرد فرم سوم خواهیم داد." اما ابتدا اجازه دهید یک مفهوم بسیار مهم را بیان کنیم.

تعریف. قدر مطلق یک عدد صحیح a عددی است که توسط قانون تعیین می شود

0، اگر a O a، اگر a > O

و اگر الف< 0.

بنابراین، اگر 0 باشد، پس؟ ن.

ما از خواننده دعوت می کنیم، به عنوان تمرین، ویژگی های قدر مطلق زیر را اثبات کند:

قضیه (درباره تقسیم با باقیمانده). برای هر عدد صحیح a و b، جایی که b 0 باشد، فقط یک جفت اعداد q U m وجود دارد به طوری که a r: bq + T L D.

اثبات

1. وجود جفت (ق، م).

اجازه دهید a، b؟ Z و 0. اجازه دهید نشان دهیم که یک جفت اعداد q وجود دارد و شرایط را برآورده می کند

ما اثبات را با استقرا در شکل سوم روی عدد a برای عدد ثابت b انجام می دهیم.

M = (mlm= n lbl،n؟ N).

واضح است که M C یک نگاشت f: N M است که با قاعده f(n) = nlbl برای هر n تعریف شده است؟ N، یک bijection است. این بدان معنی است که M N، یعنی. م- بی نهایت.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای یک عدد دلخواه a؟ گزاره M (و b ثابت) قضیه در مورد وجود یک جفت اعداد q و m درست است.

در واقع، اجازه دهید یک (- M. سپس یک pf! برای برخی n؟ N.

اگر b > 0 باشد، a = n + O. اکنون با تنظیم q = n و m O، جفت اعداد q و m مورد نیاز را به دست می آوریم. اگر b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

حال اجازه دهید یک فرض استقرایی داشته باشیم. فرض کنید برای یک عدد صحیح دلخواه c (و یک b 0 ثابت دلخواه) گزاره قضیه صادق است، یعنی. یک جفت اعداد (q, m) وجود دارد که

اجازه دهید ثابت کنیم که برای عدد (با 1) نیز صادق است. از تساوی c = bq -4- نتیجه می شود که bq + (m - 1). (1)

ممکن است مواردی وجود داشته باشد.

1) m > 0. سپس 7" - 1 > 0. در این مورد، با قرار دادن - m - 1، c - 1 - bq + Tl را بدست می آوریم، جایی که جفت (q, 7"1,) به وضوح شرط را برآورده می کند.

0. سپس c - 1 bq1 + 711، که در آن q1

ما به راحتی می توانیم 0 را ثابت کنیم< < Д.

بنابراین، این عبارت برای یک جفت اعداد نیز صادق است

قسمت اول قضیه ثابت شده است.

P. منحصر به فرد بودن جفت q و غیره.

فرض کنید برای اعداد a و b 0 دو جفت اعداد (q، m) و (q1) وجود دارد، سپس، شرایط (*) را برآورده می کند.

اجازه دهید ثابت کنیم که آنها بر هم منطبق هستند. بنابراین اجازه دهید

و bq1 L O< Д.

این به این معنی است که b(q1 -q) m- 7 1 1. از این برابری نتیجه می شود که

اگر اکنون q ql را فرض کنیم، آنگاه q - q1 0، از آنجا lq - q1l 1 است. با ضرب این نابرابری ها ترم در ترم در عدد lbl، φ را به دست می آوریم! - q11 D. (3)

در همان زمان، از نابرابری های 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

تمرینات:

1. اثبات قضایای 2 و 3 را از 5 1 کامل کنید.

2. نتیجه 2 را از قضیه 3، 1 ثابت کنید.

3. ثابت کنید که زیرمجموعه H C Z از تمام اعداد شکل تشکیل شده است< п + 1, 1 >(n? N)، تحت جمع و ضرب بسته شده است.

4. بگذارید H به معنای همان مجموعه تمرین 3 باشد. ثابت کنید که نگاشت j : M شرایط را برآورده می کند:

1) ј - bijection;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) و j(nm) = j(n) j(m) برای هر عدد n، m (یعنی j یک هم ریختی جبرها را انجام می دهد (N) ، 4 و (H, + ,).

5. اثبات قضیه 1 از 2 را کامل کنید.

6. ثابت کنید که برای هر اعداد صحیح a، b، c مفاهیم زیر صادق است:

7. قضیه دوم و سوم را از Z ثابت کنید.

8. ثابت کنید که حلقه Z اعداد صحیح دارای مقسوم علیه صفر است.

ادبیات

1. Bourbaki N. نظریه مجموعه ها. م.: میر، 1965.

2. Vinogradov I. M. مبانی نظریه اعداد. M.: Nauka، 1972. Z. DemiDov I. T. مبانی حساب. م.: اوچپدگیز، 1963.

4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. مبانی نظریه گروه.

M.: Nauka، 1972.

5. Kostrikin A.I. مقدمه ای بر جبر. M.: Nauka، 1994.

ب Kulikov L. Ya. جبر و نظریه اعداد. م.: بالاتر. مدرسه، 1979.

7. کوروش آ.گ. دوره عالی جبر. M.: Nauka، 1971.

8. Lyubetsky V. A. مفاهیم اساسی ریاضیات مدرسه. م.: آموزش و پرورش، 1987.

9. لیاپین اتحادیه اروپا. و دیگران تمرینات تئوری گروه. M.: Nauka، 1967.

10. سیستم های جبری Maltsev A.I. M.: Nauka، 1970.

11. MenDelson E. مقدمه ای بر منطق ریاضی. M.: Nauka، 1971.

12. سیستم های عددی Nechaev V.I. م.: آموزش و پرورش، 1975.

13. نوویکوف پ.س. عناصر منطق ریاضی م.. علم، 1973.

14. پتروا V. T. سخنرانی در مورد جبر و هندسه.: در 2 ساعت.

CHL. M.: Vlados، 1999.

15. مبانی مدرن درس ریاضی مدرسه Auth. سرهنگ: Vilenkin N.Ya.، Dunichev K.I.، Kalltzhnin LA Stolyar A.A. م.: آموزش و پرورش، 1980.

16. Skornyakov L. A. عناصر جبر. M.: Nauka، 1980.

17. استوم آر.آر. مجموعه، منطق، نظریه های بدیهی. م. روشنگری، 1968.

18. Stolyar A. A. مقدمه منطقی به ریاضیات. مینسک: بالاترین. مدرسه، 1971.

19. فیلیپوف V.P. جبر و نظریه اعداد. ولگوگراد: VGPI، 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. مبانی نظریه مجموعه ها. م.: میر، 1966.

21. Fuchs L. سیستم های جزئی سفارش داده شده. م.: میر، 1965.

نشریه آموزشی ویرایش

ولادیمیر کنستانتینوویچ کارتاشوف

دوره مقدماتی ریاضی

آموزش

آماده سازی سرمقاله توسط O. I. Molokanova طرح اصلی توسط A. P. Boschenko تهیه شده است.

“PR 020048 مورخ 96/12/20

امضا برای انتشار در 28 آگوست 1999. فرمت 60x84/16. چاپ اداری رونق. نوع م 2. اوئل. فر ل 8.2. ویرایش آکادمیک ل 8.3. تیراژ 500 نسخه. سفارش 2

انتشارات پرمنا

همانطور که می دانید، مجموعه اعداد طبیعی را می توان با استفاده از رابطه "کمتر از" مرتب کرد. اما قواعد ساخت یک نظریه بدیهی مستلزم آن است که این رابطه نه تنها تعریف شود، بلکه بر اساس مفاهیمی که قبلاً در این نظریه تعریف شده است، انجام شود. این را می توان با تعریف رابطه "کمتر از" از طریق جمع انجام داد.

تعریف. عدد a کوچکتر از عدد b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ب

در این شرایط همچنین گفته می شود که تعداد ببیشتر آو بنویس b > a.

قضیه 12.برای هر عدد طبیعی آو بیک و تنها یکی از سه رابطه برقرار است: a = b، a > b, آ < ب

از اثبات این قضیه صرف نظر می کنیم.. از این قضیه نتیجه می شود که اگر

a¹ b،یا آ< b, یا a > b،آن ها رابطه «کمتر» دارای خاصیت پیوستگی است.

قضیه 13.اگر آ< b و ب< с. که آ< с.

اثبات این قضیه خاصیت گذری رابطه "کمتر از" را بیان می کند.

زیرا آ< b و ب< с. پس با تعریف رابطه «کمتر از»، اعداد طبیعی وجود دارد بهپس چی b = a + k و c = b + I.اما بعد c = (a + k)+ / و بر اساس خاصیت انجمنی بودن جمع به دست می آوریم: c = a + (k +/). از آنجا که k + I -بنابراین، با توجه به تعریف "کمتر از"، عدد طبیعی آ< с.

قضیه 14. اگر آ< b, درست نیست که ب< а. اثبات این قضیه خاصیت را بیان می کند ضد تقارنرابطه "کمتر".

اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که نه برای یک عدد طبیعی آنه تو-!>! ■ )نگرش او آ< آ.بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. چی آ< а رخ می دهد. سپس، با تعریف رابطه "کمتر از"، یک عدد طبیعی وجود دارد با،چی آ+ با= آ،و این با قضیه 6 در تضاد است.

اجازه دهید اکنون ثابت کنیم که اگر آ< ب، پس این درست نیست ب < آ.بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. چه می شود اگر آ< b ، آن ب< а انجام. اما از این برابری ها، با قضیه 12 ما داریم آ< а, که غیر ممکن است.

از آنجایی که رابطه "کمتر از" که ما تعریف کردیم، ضد متقارن و متعدی است و دارای خاصیت پیوستگی است، یک رابطه نظم خطی و مجموعه اعداد طبیعی است. مجموعه منظم خطی

از تعریف «کمتر از» و ویژگی‌های آن، می‌توان ویژگی‌های شناخته شده مجموعه اعداد طبیعی را استنباط کرد.

قضیه 15.از بین تمام اعداد طبیعی، یکی کوچکترین عدد است، یعنی. من< а для любого натурального числа a¹1.

اثبات اجازه دهید آ -هر عدد طبیعی سپس دو مورد ممکن است: a = 1 و a¹ 1. اگر a = 1، سپس یک عدد طبیعی وجود دارد ببه دنبال a: a = b " = b + I = 1 + ببه عنوان مثال، با تعریف رابطه "کمتر از"، 1< آ.بنابراین، هر عدد طبیعی برابر است با 1 یا بزرگتر از 1. یا، یک کوچکترین عدد طبیعی است.

رابطه "کمتر از" با جمع و ضرب اعداد با ویژگی های یکنواختی همراه است.

قضیه 16.

a = b => a + c = b + c و a c = b c;

آ< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c و ac > bc.

اثبات 1) اعتبار این گزاره از منحصر به فرد بودن جمع و ضرب ناشی می شود.

2) اگر آ< b, پس چنین عدد طبیعی وجود دارد ک،چی آ + k = b.
سپس ب+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ به)= (الف + ج) + ک.برابری ب+ c = (a + c) + kیعنی که a + c< b + با.

به همین ترتیب ثابت می شود که آ< b =>ac< bс.

3) اثبات مشابه است.

قضیه 17(عکس قضیه 16).

1) آ+ c = b + cیا ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с یا ac< قبل از میلاد مسیحÞ آ< Ь:

3) a + c > b+ با یا ac > bcÞ a > b.

اثبات اجازه دهید برای مثال ثابت کنیم که از ac< bс باید آ< b بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. که نتیجه قضیه صادق نیست. اونوقت نمیتونه اینطوری باشه a = b.از آن زمان برابری برآورده می شود ac = قبل از میلاد(قضیه 16); نمی تواند باشد آ> بزیرا در آن صورت خواهد بود ac > bс(قضیه!6). بنابراین، طبق قضیه 12، آ< b.

از قضایای 16 و 17 می‌توان قواعد معروف جمع و ضرب نابرابری‌ها را استخراج کرد. ما آنها را کنار می گذاریم.

قضیه 18. برای هر عدد طبیعی آو ب; یک عدد طبیعی n وجود دارد که p b> a.

اثبات برای هرکس آچنین عددی وجود دارد پ، چی n > a.برای انجام این کار کافی است مصرف کنید n = a + 1. ضرب نابرابری ها در ترم پ> آو ب> 1، دریافت می کنیم pb > آ.

از ویژگی‌های در نظر گرفته شده رابطه «کمتر از»، ویژگی‌های مهم مجموعه اعداد طبیعی به‌دست می‌آید که بدون اثبات آن را ارائه می‌کنیم.

1. نه برای هیچ عدد طبیعی آچنین عدد طبیعی وجود ندارد پ،چی آ< п < а + 1. این خاصیت نامیده می شود ویژگی
گسستگیمجموعه اعداد طبیعی و اعداد آو یک + 1 نامیده می شود همسایه

2. هر زیر مجموعه غیر خالی از اعداد طبیعی شامل
کوچکترین عدد

3. اگر م- زیر مجموعه غیر خالی از مجموعه اعداد طبیعی
و چنین عددی وجود دارد بکه برای تمام اعداد x از ماجرا نشده است
برابری x< بسپس به وفور مبزرگترین عدد است.

بیایید ویژگی های 2 و 3 را با یک مثال توضیح دهیم. اجازه دهید م- مجموعه ای از اعداد دو رقمی زیرا مزیرمجموعه ای از اعداد طبیعی است و برای همه اعداد این مجموعه نامساوی x است< 100, то в множестве مبزرگترین عدد 99 است. کوچکترین عدد موجود در یک مجموعه داده شده M، -شماره 10

بنابراین، رابطه "کمتر از" امکان در نظر گرفتن (و در برخی موارد اثبات) تعداد قابل توجهی از ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی را فراهم می کند. به ویژه، به صورت خطی مرتب، گسسته و دارای کوچکترین عدد 1 است.

دانش آموزان دبستانی در همان ابتدای آموزش با رابطه «کمتر از» («بیشتر از») برای اعداد طبیعی آشنا می شوند. و اغلب، همراه با تفسیر نظری مجموعه‌ها، از تعریفی که ما در چارچوب نظریه بدیهی ارائه می‌کنیم، به طور ضمنی استفاده می‌شود. به عنوان مثال، دانش آموزان می توانند توضیح دهند که 9 > 7 زیرا 9 7+2 است. استفاده ضمنی از خواص یکنواختی جمع و ضرب نیز رایج است. به عنوان مثال، کودکان توضیح می دهند که «6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

تمرینات

1، چرا نمی توان مجموعه اعداد طبیعی را با استفاده از رابطه "بلافاصله دنبال کنید" مرتب کرد؟

نگرش را تعریف کنید a > bو ثابت کنید که متعدی و ضد متقارن است.

3. ثابت کنید که اگر الف، ب، جاعداد طبیعی هستند، پس:

آ) آ< b Þ ас < bс;

ب) آ+ با< b + сÞ> آ< Ь.

4. چه قضایایی در مورد یکنواختی جمع و ضرب می تواند
استفاده توسط دانش آموزان کوچکتر هنگام تکمیل کار "مقایسه بدون انجام محاسبات":

الف) 27 + 8 ... 27 + 18;

ب) 27- 8 ... 27 -18.

5. دانش آموزان دبستانی در هنگام انجام وظایف زیر به طور ضمنی از چه خصوصیاتی از مجموعه اعداد طبیعی استفاده می کنند:

الف) اعداد بزرگتر از 65 و کوچکتر از 75 را بنویسید.

ب) اعداد قبلی و بعدی را نسبت به عدد 300 (800,609,999) نام ببرید.

ج) کوچکترین و بزرگترین عدد سه رقمی را نام ببرید.

منها کردن

در ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی، تفریق معمولاً به عنوان عمل معکوس جمع تعریف می شود.

تعریف. تفریق اعداد طبیعی a و b عملیاتی است که شرط را برآورده می کند: a - b = c اگر و فقط اگر b + c = a.

عدد الف - بتفاوت بین اعداد a و نامیده می شود بعدد آ- مینیوند، عدد ب-قابل کسر

قضیه 19.تفاوت اعداد طبیعی آ- بوجود دارد اگر و فقط اگر ب< а.

اثبات اجازه دهید تفاوت آ- بوجود دارد. سپس با تعریف تفاوت، یک عدد طبیعی وجود دارد با،چی b + c = a،که به این معنی است که ب< а.

اگر ب< а, سپس با تعریف رابطه «کمتر از» یک عدد طبیعی c وجود دارد که b + c = a.سپس با تعریف تفاوت، c = a - b،آن ها تفاوت الف - بوجود دارد.

قضیه 20. اگر تفاضل اعداد طبیعی آو بوجود دارد، پس منحصر به فرد است.

اثبات فرض کنید دو مقدار متفاوت از تفاوت بین اعداد وجود دارد آو ب;: الف – ب= s1و الف - ب= s2، و s1 1 s2 .سپس با تعریف تفاوت داریم: a = b + c1،و a = b + c2 : .نتیجه می شود که ب+ c1 = b + c2 :و بر اساس قضیه 17 نتیجه می گیریم с1 = с2..با فرض به تناقض رسیدیم یعنی غلط است ولی این قضیه صحیح است.

بر اساس تعریف تفاوت اعداد طبیعی و شرایط وجود آن، می توان قوانین معروف تفریق عدد از مجموع و مجموع از عدد را توجیه کرد.

قضیه 21. اجازه دهید آ. بو با- اعداد صحیح

و اگر a > c، سپس (a + b) - c = (a - c) + b.

ب) اگر b > c. سپس (a + b) - c - a + (b - c).

ج) اگر a > c و b > c.سپس می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید.
اثبات در مورد الف) اختلاف اعداد آو جوجود دارد زیرا a > s.اجازه دهید آن را با علامت گذاری کنیم x: a - c = x.جایی که a = c + x. اگر (آ+ ب) - c = y.سپس، با تعریف تفاوت، آ+ ب = با+ در. اجازه دهید در عوض این برابری را جایگزین کنیم آاصطلاح c + x:(c + x) + b = c + y.بیایید از ویژگی associativity جمع استفاده کنیم: c + (x + b) = c+ در. اجازه دهید این برابری را بر اساس خاصیت یکنواختی جمع تبدیل کنیم و به دست آوریم:

x + b = تو.جایگزینی x در این برابری با عبارت الف - جخواهد داشت (آ -ز) + b = y.بنابراین، ما ثابت کردیم که اگر a > c، سپس (a + b) - c = (a - c) + b

اثبات در مورد ب نیز به همین ترتیب انجام می شود.

قضیه اثبات شده را می توان به شکل قاعده ای فرموله کرد که برای به خاطر سپردن راحت است: برای تفریق یک عدد از مجموع کافی است این عدد را از یک جمله از مجموع کم کنید و جمله دیگری را به نتیجه حاصل اضافه کنید.

قضیه 22.اجازه دهید الف، ب و ج -اعداد صحیح اگر a > b+ s، پس آ- (ب + ج) = (الف - ب) - جیا a - (b + c) = (a - c) - b.

اثبات این نظریه مشابه اثبات قضیه 21 است.

قضیه 22 را می توان به عنوان یک قاعده فرموله کرد: برای تفریق مجموع اعداد از یک عدد، کافی است هر عبارت را یک به یک از این عدد کم کنیم.

در تدریس ریاضی ابتدایی، تعریف تفریق به عنوان معکوس جمع معمولاً به صورت کلی ارائه نمی شود، اما به طور مداوم از آن استفاده می شود و با انجام عملیات روی اعداد تک رقمی شروع می شود. دانش آموزان باید به وضوح درک کنند که تفریق مربوط به جمع است و از این رابطه در محاسبات استفاده کنند. مثلاً با کم کردن عدد 16 از عدد 40، دانش‌آموزان چنین استدلال می‌کنند: «کم کردن عدد 16 از 40 به معنای یافتن عددی است که وقتی به عدد 16 اضافه می‌شود، نتیجه 40 شود. این عدد 24 خواهد بود، زیرا 24 + 16 = 40. بنابراین. 40 - 16 = 24."

قواعد تفریق عدد از مجموع و مجموع از عدد در درس ریاضی اولیه، مبنای نظری تکنیک های مختلف محاسباتی است. به عنوان مثال، مقدار عبارت (40 + 16) - 10 را می توان نه تنها با محاسبه مجموع داخل پرانتز و سپس کم کردن عدد 10 از آن، بلکه به این ترتیب نیز پیدا کرد.

الف) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ب) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

تمرینات

1. آیا درست است که هر عدد طبیعی از عدد بعدی با تفریق یک به دست می آید؟

2. ساختار منطقی قضیه 19 چیست؟ آیا می توان آن را با استفاده از کلمات «لازم و کافی» فرموله کرد؟

3. ثابت کنید که:

و اگر b > c،که (a + b) - c = a + (b - c);

ب) اگر a > b + c، آن الف - (ب+ ج) = (الف - ب) - ج.

4. آیا می توان بدون انجام محاسبات گفت که کدام عبارات دارای مقادیر یکسان هستند:

الف) (50 + 16) - 14; د) 50 + (16 -14 ),

ب) (50 - 14) + 16; ه) 50 - (16 - 14)؛
ج) (50 - 14) - 16، f) (50 + 14) - 16.

الف) 50 - (16 + 14)؛ د) (50 - 14) + 16;

ب) (50 - 16) + 14; ه) (50 - 14) - 16;

ج) (50 - 16) - 14; ه) 50 - 16-14.

5. چه خصوصیاتی از تفریق مبنای نظری تکنیک های محاسباتی زیر است که در درس ریاضی اولیه مورد مطالعه قرار گرفته است:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ب) 16-7 = 16-6 - P;

ج) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

د) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. روش های ممکن برای ارزیابی ارزش یک عبارت فرم را شرح دهید. الف - ب- باو آنها را با مثال های خاص توضیح دهید.

7. ثابت کنید که وقتی ب< а و هر c طبیعی برابری صادق است (a – b) c = ac - bc.

توجه داشته باشید. اثبات بر اساس اصل 4 است.

8. مقدار یک عبارت را بدون انجام محاسبات نوشتاری تعیین کنید. پاسخ های خود را توجیه کنید.

الف) 7865 × 6 - 7865 × 5: ب) 957 × 11 - 957؛ ج) 12 × 36 - 7 × 36.

بخش

در ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی، تقسیم معمولاً به عنوان عمل معکوس ضرب تعریف می شود.

تعریف. تقسیم اعداد طبیعی a و b عملیاتی است که شرط را برآورده می کند: a: b = c اگر و فقط اگربه زمانی که ب× c = a.

عدد الف: بتماس گرفت خصوصیشماره آو بعدد آبخش پذیر، عدد ب- مقسوم علیه

همانطور که مشخص است، تقسیم بر روی مجموعه اعداد طبیعی همیشه وجود ندارد، و هیچ نشانه مناسبی از وجود ضریبی که برای یک تفاوت وجود دارد، وجود ندارد. فقط شرط لازم برای وجود خاص وجود دارد.

قضیه 23.برای اینکه ضریبی از دو عدد طبیعی وجود داشته باشد آو ب، ضروری است که ب< а.

اثبات ضریب اعداد طبیعی را بگذارید آو بوجود دارد، یعنی یک عدد طبیعی c وجود دارد که bc = a.از آنجایی که برای هر عدد طبیعی 1 نابرابری 1 £ است با،سپس، هر دو جزء آن را در یک عدد طبیعی ضرب می کنیم ب، ما گرفتیم ب£ قبل از میلاد مسیح.ولی bc = a،از این رو، ب£ آ.

قضیه 24.اگر ضریب اعداد طبیعی آو بوجود دارد، پس منحصر به فرد است.

اثبات این قضیه شبیه به اثبات قضیه یگانه بودن اختلاف اعداد طبیعی است.

بر اساس تعریف ضریب اعداد طبیعی و شرایط وجود آن، می توان قوانین شناخته شده تقسیم مجموع (تفاوت، حاصلضرب) بر عدد را توجیه کرد.

قضیه 25.اگر اعداد آو بقابل تقسیم بر عدد با،سپس مجموع آنها a + bتقسیم بر c و ضریب از تقسیم مجموع بدست می آید آ+ بدر هر عدد با،برابر است با مجموع ضرایب حاصل از تقسیم آبر باو ببر با، یعنی (الف + ب):c = a:c + b:با.

اثبات از آنجایی که شماره آتقسیم بر با،سپس یک عدد طبیعی x = وجود دارد آ؛آن است a = cx.به طور مشابه، چنین عدد طبیعی وجود دارد y = ب:با،چی

ب= سواما بعد a + b = cx+ cy = - c(x + y).این به آن معنا است a + bبر c تقسیم می شود و ضریب از تقسیم حاصل به دست می آید آ+ ببا عدد c برابر با x + y،آن ها تبر + ب: ج.

قضیه اثبات شده را می توان به عنوان قاعده ای برای تقسیم مجموع بر یک عدد فرموله کرد: برای تقسیم مجموع بر یک عدد، کافی است هر جمله را بر این عدد تقسیم کرده و نتایج حاصل را اضافه کنید.

قضیه 26.اگر اعداد طبیعی آو بقابل تقسیم بر عدد باو a > b،سپس تفاوت الف - ببر c تقسیم می شود و ضریبی که از تقسیم تفاوت بر عدد c به دست می آید برابر است با اختلاف ضرایب حاصل از تقسیم آبر باو بروی c، یعنی (a - b):c = a:c - b:c.

اثبات این قضیه شبیه به اثبات قضیه قبلی است.

این قضیه را می توان به عنوان قاعده ای برای تقسیم تفاوت بر یک عدد فرموله کرد: برایبرای تقسیم تفاضل بر عدد کافی است مینیوند و فرعی را بر این عدد تقسیم کرده و دومی را از ضریب اول کم کنیم.

قضیه 27.اگر یک عدد طبیعی است آبر یک عدد طبیعی c و سپس برای هر عدد طبیعی بخش پذیر است بکار کردن abتقسیم بر s. در این حالت ضریب از تقسیم محصول بدست می آید abبه شماره s , برابر حاصلضرب حاصل از تقسیم آبر با،و اعداد b: (a × b):c - (a:c) × b.

اثبات زیرا آتقسیم بر با،سپس یک عدد طبیعی x وجود دارد به طوری که الف: ج= x، کجا a = cx.ضرب دو طرف برابری در بما گرفتیم ab = (cx)b.از آنجا که ضرب تداعی است، پس (cx) b = c(x b).از اینجا (a b):c = x b= (a:c) b.این قضیه را می توان به عنوان قاعده ای برای تقسیم یک محصول بر عدد فرموله کرد: برای تقسیم یک محصول بر یک عدد، کافی است یکی از عوامل را بر این عدد تقسیم کرده و نتیجه حاصل را در عامل دوم ضرب کنیم.

در آموزش ریاضی ابتدایی، تعریف تقسیم به عنوان عمل معکوس ضرب، به طور معمول به صورت کلی ارائه نمی شود، اما از اولین درس های آشنایی با تقسیم، به طور مداوم استفاده می شود. دانش آموزان باید به وضوح درک کنند که تقسیم به ضرب مربوط می شود و هنگام انجام محاسبات از این رابطه استفاده کنند. برای مثال، هنگام تقسیم 48 بر 16، دانش‌آموزان چنین استدلال می‌کنند: «تقسیم 48 بر 16 به معنای یافتن عددی است که وقتی در 16 ضرب شود، به 48 می‌رسد. چنین عددی 3 خواهد بود، زیرا 16×3 = 48. بنابراین، 48: 16 = 3.

تمرینات

1. ثابت کنید که:

الف) اگر ضریب اعداد طبیعی باشد الف و بوجود دارد، پس منحصر به فرد است.

ب) اگر اعداد الف و بتقسیم می شوند باو a > b،که (الف - ب): ج = الف: ج - ب: ج.
2. آیا می توان گفت که همه این برابری ها درست است:
الف) 48:(2×4) = 48:2:4; ب) 56:(2×7) = 56:7:2;

ج) 850:170 =850:10:17.

چه قاعده ای این موارد را تعمیم می دهد؟ آن را فرموله کنید و ثابت کنید.

3. مبنای نظری چه خصوصیاتی از تقسیم است
انجام وظایف زیر به دانش آموزان دبستان ارائه می شود:

آیا می توان بدون انجام تقسیم، گفت که کدام عبارات دارای مقادیر یکسان هستند:

الف) (40+ 8):2; ج) 48:3; ه) (20+ 28):2;

ب) (30 + 16):3; g)(21+27):3; و) 48:2;

آیا برابری ها درست است:

الف) 48:6:2 = 48:(6:2); ب) 96:4:2 = 96:(4-2);

ج) (40 - 28): 4 = 10-7؟

4. روش های ممکن برای محاسبه مقدار یک عبارت را شرح دهید
نوع:

آ) (آ+ قبل از میلاد مسیح؛ب) آ:ب: با؛ V) ( الف × ب): با .

روش های پیشنهادی را با مثال های خاص نشان دهید.

5. معنای عبارت را به صورت عقلی بیابید; آنها
اعمال خود را توجیه کنید:

الف) (7 × 63):7; ج) (15 × 18):(5× 6);

ب) (3 × 4× 5): 15; د) (12 × 21): 14.

6. روش های زیر را برای تقسیم بر یک عدد دو رقمی توجیه کنید:

الف) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

ب) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

ج) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

د) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.

7. بدون تقسیم با گوشه، منطقی ترین را پیدا کنید
به صورت نسبی؛ روش انتخابی را توجیه کنید:

الف) 495:15; ج) 455:7; ه) 275:55;

6) 425:85; د) 225:9; ه) 455:65.

سخنرانی 34. ویژگی های مجموعه اعداد صحیح غیر منفی

1. مجموعه اعداد صحیح غیر منفی. ویژگی های مجموعه اعداد صحیح غیر منفی.

2. مفهوم پاره ای از یک سری طبیعی از اعداد و شمارش عناصر یک مجموعه محدود. اعداد طبیعی ترتیبی و اصلی.