لگاریتم - خواص، فرمول ها، نمودار. لگاریتم مختلط لگاریتم طبیعی یک عدد مختلط

لگاریتم واقعی

لگاریتم لاگ اعداد واقعی آ بحس می شود با style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

پرکاربردترین انواع لگاریتم عبارتند از:

اگر عدد لگاریتمی را به عنوان یک متغیر در نظر بگیریم به دست می آید تابع لگاریتمی، مثلا: . این تابع در سمت راست خط اعداد تعریف شده است: ایکس> 0، در آنجا پیوسته و قابل تمایز است (شکل 1 را ببینید).

خواص

لگاریتم های طبیعی

وقتی برابری درست باشد

(1)

به خصوص،

این سری سریعتر همگرا می شود و علاوه بر این، سمت چپ فرمول اکنون می تواند لگاریتم هر عدد مثبت را بیان کند.

رابطه با لگاریتم اعشاری: .

لگاریتم های اعشاری

برنج. 2. مقیاس لگاریتمی

لگاریتم تا پایه 10 (نماد: lg آ) قبل از اختراع ماشین حساب ها به طور گسترده ای برای محاسبات استفاده می شد. مقیاس ناهموار لگاریتم های اعشاری معمولاً در قوانین اسلاید نیز مشخص می شود. مقیاس مشابه به طور گسترده در زمینه های مختلف علوم استفاده می شود، به عنوان مثال:

شیمی - فعالیت یونهای هیدروژن ().
تئوری موسیقی - مقیاسی از نت ها، در رابطه با فرکانس نت های موسیقی.

مقیاس لگاریتمی نیز به طور گسترده ای برای شناسایی توان در روابط توان و ضریب در توان استفاده می شود. در این حالت، نموداری که در مقیاس لگاریتمی در امتداد یک یا دو محور ساخته می‌شود، به شکل یک خط مستقیم است که مطالعه آن آسان‌تر است.

لگاریتم پیچیده

تابع چند ارزشی

سطح ریمان

یک تابع لگاریتمی پیچیده مثالی از سطح ریمان است. قسمت خیالی آن (شکل 3) از تعداد بی نهایت شاخه تشکیل شده است که مانند یک مارپیچ پیچ خورده اند. این سطح به سادگی متصل است. تنها صفر آن (از مرتبه اول) در به دست می آید z= 1، نقاط مفرد: z= 0 و (نقاط شاخه ای از ترتیب بی نهایت).

سطح ریمان لگاریتم پوشش جهانی صفحه مختلط بدون نقطه 0 است.

طرح تاریخی

لگاریتم واقعی

نیاز به محاسبات پیچیده در قرن شانزدهم به سرعت رشد کرد و بسیاری از مشکلات مربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی بود. در پایان قرن، چندین ریاضیدان، تقریباً به طور همزمان، این ایده را مطرح کردند: جایگزینی ضرب فشرده با جمع ساده، با استفاده از جداول ویژه برای مقایسه پیشرفت‌های هندسی و حسابی، که هندسی اصلی است. سپس تقسیم به طور خودکار با تفریق ساده تر و قابل اطمینان تر جایگزین می شود. او اولین کسی بود که این ایده را در کتاب خود منتشر کرد. انتگرال حسابی«مایکل استیفل که اما برای اجرای ایده اش تلاش جدی نکرد.

در دهه 1620، ادموند وینگیت و ویلیام اوترد اولین قانون اسلاید را اختراع کردند، قبل از ظهور ماشین‌حساب‌های جیبی - ابزاری ضروری برای مهندسین.

درک نزدیک به مدرن از لگاریتماسیون - به عنوان عملیات معکوس افزایش قدرت - اولین بار با والیس و یوهان برنولی ظاهر شد و سرانجام توسط اویلر در قرن 18 مشروعیت یافت. اویلر در کتاب "مقدمه ای بر تحلیل نامتناهی ها" تعاریف مدرنی از توابع نمایی و لگاریتمی ارائه کرد، آنها را به سری های توانی گسترش داد و به ویژه به نقش لگاریتم طبیعی اشاره کرد.

اویلر همچنین با گسترش تابع لگاریتمی به دامنه مختلط اعتبار دارد.

لگاریتم پیچیده

اگرچه اختلاف ادامه یافت (دآلمبر از دیدگاه خود دفاع کرد و در مقاله ای در دایره المعارف خود و سایر آثارش به تفصیل آن را استدلال کرد)، دیدگاه اویلر به سرعت به رسمیت شناخته شد.

جداول لگاریتمی

از خصوصیات لگاریتم چنین بر می آید که به جای ضرب پر زحمت اعداد چند رقمی، کافی است (از جداول) لگاریتم آنها را پیدا کنید و لگاریتم آنها را جمع کنید و سپس با استفاده از همان جداول، تقویت را انجام دهید، یعنی پیدا کنید. مقدار نتیجه از لگاریتم آن. انجام تقسیم تنها در این است که لگاریتم ها تفریق می شوند. لاپلاس گفت که اختراع لگاریتم با سرعت بخشیدن به روند محاسبات، عمر ستاره شناسان را افزایش داد.

هنگام انتقال نقطه اعشار در یک عدد به nرقم، مقدار لگاریتم اعشاری این عدد به تغییر می کند n. به عنوان مثال، log8314.63 = log8.31463 + 3. نتیجه این است که کافی است جدول لگاریتم اعشاری را برای اعداد در محدوده 1 تا 10 تهیه کنید.

اولین جداول لگاریتم توسط جان ناپیر () منتشر شد و فقط شامل لگاریتم های توابع مثلثاتی و با خطا بود. مستقل از او، Joost Bürgi، یکی از دوستان کپلر () جداول او را منتشر کرد. در سال 1617، هنری بریگز، استاد ریاضیات آکسفورد، جداولی را منتشر کرد که قبلاً شامل لگاریتم اعشاری خود اعداد، از 1 تا 1000، با 8 (بعدها 14) رقم بود. اما در جداول بریگز نیز خطاهایی وجود داشت. اولین نسخه بدون خطا بر اساس جداول Vega () تنها در سال 1857 در برلین (جدول Bremiwer) ظاهر شد.

در روسیه، اولین جداول لگاریتم در سال 1703 با مشارکت L. F. Magnitsky منتشر شد. چندین مجموعه از جداول لگاریتمی در اتحاد جماهیر شوروی منتشر شد.

بردیس وی. ام.جداول ریاضی چهار رقمی چاپ چهل و چهارم، م.، 1973.

تعریف و خواص

صفر مختلط لگاریتمی ندارد زیرا توان مختلط مقدار صفر را نمی گیرد. غیر صفر textvc را می توان به صورت نمایشی نشان داد:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,جایی که قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): k- عدد صحیح دلخواه

سپس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به math/README مراجعه کنید: \mathrm(Ln)\,zبا فرمول پیدا می شود:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \راست)

اینجا قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: \ln\,r= \ln\,|z|- لگاریتم واقعی از این نتیجه می شود:

از فرمول مشخص می شود که یک و تنها یکی از مقادیر دارای قسمتی خیالی در بازه است. قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvc . این مقدار نامیده می شود اهمیت اصلیلگاریتم طبیعی پیچیده تابع مربوطه (در حال حاضر بدون ابهام) فراخوانی می شود شاخه اصلیلگاریتم و نشان داده می شود قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: \ln\,z. گاهی اوقات از طریق قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ln\, zهمچنین مقدار لگاریتمی را که روی شاخه اصلی قرار ندارد نشان دهید. اگر قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): zیک عدد واقعی است، سپس مقدار اصلی لگاریتم آن با لگاریتم واقعی معمولی منطبق است.

از فرمول فوق همچنین نتیجه می شود که بخش واقعی لگاریتم از طریق اجزای آرگومان به صورت زیر تعیین می شود:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

شکل نشان می دهد که قسمت واقعی به عنوان تابعی از اجزا به طور مرکزی متقارن است و فقط به فاصله تا مبدا بستگی دارد. با چرخاندن نمودار لگاریتم واقعی حول محور عمودی به دست می آید. با نزدیک شدن به صفر، تابع تمایل دارد قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - به راه اندازی کمک کنید.): -\infty.

لگاریتم یک عدد منفی با فرمول بدست می آید:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ بعد از ظهر 2\ نقطه)

نمونه هایی از مقادیر لگاریتمی پیچیده

اجازه دهید مقدار اصلی لگاریتم ( قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \ln) و بیان کلی آن ( قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \mathrm(Ln)) برای برخی استدلال ها:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

هنگام تبدیل لگاریتم های مختلط باید مراقب باشید که آنها چند ارزشی هستند و بنابراین برابری لگاریتم های هر عبارتی به معنای برابری این عبارات نیست. مثال اشتباهاستدلال:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - راهنمایی برای تنظیم: i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi- یک اشتباه آشکار

توجه داشته باشید که در سمت چپ مقدار اصلی لگاریتم و در سمت راست مقدار شاخه زیرین ( قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: k=-1). علت خطا استفاده بی رویه از ملک است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \log_a((b^p)) = p~\log_a b، که به طور کلی در حالت پیچیده به کل مجموعه نامتناهی مقادیر لگاریتم دلالت دارد و نه فقط مقدار اصلی.

تابع لگاریتمی پیچیده و سطح ریمان

به دلیل اتصال ساده اش، سطح ریمان لگاریتم یک پوشش جهانی برای صفحه پیچیده بدون نقطه است. قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvc .

ادامه تحلیلی

لگاریتم یک عدد مختلط را می توان به عنوان ادامه تحلیلی لگاریتم واقعی به کل صفحه مختلط نیز تعریف کرد. اجازه دهید منحنی قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvc از یک شروع می شود، از صفر نمی گذرد و از قسمت منفی محور واقعی عبور نمی کند. سپس مقدار اصلی لگاریتم در نقطه پایانی قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): wکج شده قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \Gammaرا می توان با فرمول تعیین کرد:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

اگر قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \Gamma- یک منحنی ساده (بدون خود تقاطع)، سپس برای اعدادی که روی آن قرار دارند، می توان از هویت های لگاریتمی بدون ترس استفاده کرد، به عنوان مثال:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \ln (wz) = \ln w + \ln z، ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

شاخه اصلی تابع لگاریتمی در کل صفحه مختلط پیوسته و قابل تمایز است، به جز قسمت منفی محور واقعی، که در آن قسمت خیالی به طور ناگهانی تغییر می کند. قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - کمک به تنظیم: 2\pi. اما این واقعیت نتیجه محدودیت مصنوعی قسمت خیالی مقدار اصلی توسط بازه است قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: (-\pi، \pi]. اگر همه شاخه های تابع را در نظر بگیریم، در همه نقاط به جز صفر، که تابع تعریف نشده است، پیوستگی رخ می دهد. اگر منحنی را حل کنید قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \Gammaاز قسمت منفی محور واقعی عبور کنید، سپس اولین تقاطع نتیجه را از شاخه مقدار اصلی به شاخه مجاور منتقل می کند و هر تقاطع بعدی باعث تغییر مشابه در امتداد شاخه های تابع لگاریتمی می شود (شکل را ببینید).

از فرمول ادامه تحلیلی چنین بر می آید که در هر شاخه از لگاریتم:

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \frac(d)(dz) \ln z = (1\ بیش از z)

برای هر دایره ای قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضیات/README مراجعه کنید.): S، نقطه را پوشش می دهد قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضیات/README مراجعه کنید.): 0 :

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی در مورد راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید: \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

انتگرال در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) گرفته می شود. این هویت زیربنای نظریه باقیمانده ها است.

همچنین می توان ادامه تحلیلی لگاریتم مختلط را با استفاده از سری های شناخته شده برای حالت واقعی تعریف کرد:

با این حال، از شکل این سری ها نتیجه می شود که در یک مجموع سری برابر با صفر است، یعنی سری فقط به شاخه اصلی تابع چند ارزشی لگاریتم مختلط مربوط می شود. شعاع همگرایی هر دو سری 1 است.

ارتباط با توابع مثلثاتی معکوس و هذلولی

قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - راهنمایی برای راه‌اندازی: \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - راهنمایی در مورد راه‌اندازی.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- سینوس هذلولی معکوس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ به ریاضیات/README مراجعه کنید - به راه اندازی کمک کنید.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- کسینوس هذلولی معکوس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- مماس هذلولی معکوس قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- کوتانژانت هذلولی معکوس

طرح تاریخی

اولین تلاش‌ها برای گسترش لگاریتم به اعداد مختلط در اواخر قرن هفدهم تا هجدهم توسط لایب‌نیتس و یوهان برنولی انجام شد، اما آنها نتوانستند یک نظریه کل‌نگر ایجاد کنند، عمدتاً به این دلیل که مفهوم لگاریتم هنوز به وضوح تعریف نشده بود. بحث در مورد این موضوع ابتدا بین لایب نیتس و برنولی و در اواسط قرن 18 بین دالامبر و اویلر صورت گرفت. برنولی و دالامبر معتقد بودند که باید تعیین شود قادر به تجزیه عبارت (فایل اجرایی textvcپیدا نشد؛ برای راهنمایی راه‌اندازی به ریاضی/README مراجعه کنید.: \log(-x) = \log(x)، در حالی که لایب نیتس ثابت کرد که لگاریتم یک عدد منفی یک عدد خیالی است. تئوری کامل لگاریتم اعداد منفی و مختلط توسط اویلر در 1747-1751 منتشر شد و اساساً هیچ تفاوتی با نظریه مدرن ندارد. اگرچه بحث ادامه یافت (دآلمبر از دیدگاه خود دفاع کرد و در مقاله ای در دایره المعارف خود و سایر آثارش به تفصیل آن را استدلال کرد)، رویکرد اویلر در پایان قرن هجدهم به رسمیت شناخته شد.

نظری در مورد مقاله "لگاریتم پیچیده" بنویسید

ادبیات

نظریه لگاریتم ها

کورن جی.، کورن تی.. - م.: ناوکا، 1973. - 720 ص.
Sveshnikov A. G.، Tikhonov A. N.تئوری توابع یک متغیر مختلط. - م.: ناوکا، 1967. - 304 ص.
فیختنگولتس جی.ام.درس حساب دیفرانسیل و انتگرال. - اد. 6. - م.: ناوکا، 1966. - 680 ص.

تاریخچه لگاریتم ها

ریاضیات قرن 18 // / ویرایش شده توسط A. P. Yushkevich، در سه جلد. - M.: علم، 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ویرایشگران).ریاضیات قرن نوزدهم. هندسه. تئوری توابع تحلیلی. - M.: علم، 1981. - T. II.

یادداشت

تابع لگاریتمی //. - م.: دایره المعارف شوروی، 1982. - T. 3.
، جلد دوم، ص 520-522..
، با. 623..
، با. 92-94..
، با. 45-46، 99-100..
Boltyansky V. G.، Efremovich V. A.. - م.: ناوکا، 1982. - ص 112. - (کتابخانه کوانت، شماره 21).
، جلد دوم، ص 522-526..
، با. 624..
، با. 325-328..
Rybnikov K. A.تاریخچه ریاضیات. در دو جلد. - م.: انتشارات. دانشگاه دولتی مسکو، 1963. - T. II. - ص 27، 230-231..
، با. 122-123..
کلاین اف.. - M.: علم، 1987. - T. II. هندسه. - صص 159-161. - 416 s.

گزیده ای که لگاریتم مختلط را مشخص می کند

از وحشت وحشیانه ای که ما را فراگرفته بود، مانند گلوله در یک دره وسیع هجوم آوردیم، حتی فکر نکردیم که می توانیم به سرعت به یک "طبقه" دیگر برویم ... ما به سادگی فرصت فکر کردن در مورد آن را نداشتیم - خیلی ترسیده بودیم.
این موجود درست بالای سر ما پرواز کرد و با صدای بلند بر روی منقار دندانه دارش که باز بود کلیک کرد و ما تا جایی که می‌توانستیم هجوم آوردیم، پاشیده‌های لزج زشتی به طرفین می‌پاشیم و ذهنی دعا می‌کردیم که ناگهان چیز دیگری به این «پرنده معجزه‌گر» خزنده توجه کند... احساس می شد که او خیلی سریعتر بود و ما به سادگی فرصتی برای جدا شدن از او نداشتیم. از شانس و اقبال، حتی یک درخت در آن نزدیکی رشد نکرد، نه بوته ای وجود داشت، نه حتی سنگی که بتوان پشت آن پنهان شد، فقط یک صخره سیاه شوم در دوردست دیده می شد.
- آنجا! استلا فریاد زد و انگشتش را به سمت همان سنگ گرفت.
اما ناگهان، به طور غیرمنتظره، درست در مقابل ما، موجودی از جایی ظاهر شد که دیدنش به معنای واقعی کلمه خون ما را در رگ هایمان منجمد کرد... گویی "مستقیم از هوا" و واقعاً وحشتناک به نظر می رسید ... لاشه سیاه بزرگ کاملاً پوشیده از موهای بلند و درشت بود و او را شبیه یک خرس شکم گلدانی می کرد، فقط این "خرس" به اندازه یک خانه سه طبقه بلند بود ... سر برآمدگی هیولا با دو خمیده بزرگ "تاج" بود. شاخ‌ها، و دهان وهم‌آور با یک جفت نیش فوق‌العاده بلند، تیز مانند چاقو تزئین شده بود، فقط با نگاه کردن به آن‌ها، با ترس، پاهایمان جای خود را دادند... و سپس، هیولا که ما را شگفت‌انگیز کرد، به راحتی از جا پرید و. .. "مک" پرنده را روی یکی از نیش های بزرگش برداشت... از شوک یخ زدیم.
- بریم بدویم!!! - استلا جیغ زد. - بیایید تا زمانی که او "مشغول" است بدویم!..
و ما آماده بودیم دوباره بدون اینکه به عقب نگاه کنیم عجله کنیم که ناگهان صدای نازکی از پشت سرمان به گوش رسید:
- دخترا صبر کن!!! نیازی به فرار نیست!.. دین نجاتت داد، او دشمن نیست!
تند چرخیدیم - یه دختر ریز چشم و خیلی خوشگل پشت سرمون ایستاده بود... و با خونسردی هیولایی که بهش نزدیک شده بود رو نوازش میکرد!.. چشمامون از تعجب گرد شد... باور نکردنی بود! مطمئناً - روز غافلگیری بود!.. دختر در حالی که به ما نگاه می کرد لبخندی خوشامدگویی زد و اصلاً از هیولای پشمالویی که کنار ما ایستاده بود نمی ترسید.
- لطفا از او نترس. او خیلی مهربان است. ما دیدیم که اوارا شما را تعقیب می کند و تصمیم گرفتیم کمک کنیم. دین عالی بود، به موقع موفق شد. واقعا عزیزم؟
"خوب" خرخری کرد که شبیه یک زلزله خفیف بود و در حالی که سرش را خم کرده بود، صورت دختر را لیسید.
اورا کیست و چرا به ما حمله کرد؟ - من پرسیدم.
"او به همه حمله می کند، او یک درنده است." دختر با خونسردی پاسخ داد و بسیار خطرناک است. -میتونم بپرسم اینجا چیکار میکنی؟ شما اهل اینجا نیستید دخترا؟
- نه از اینجا نیست. فقط داشتیم راه میرفتیم اما همین سوال برای شما - شما اینجا چه کار می کنید؟
دختر کوچولو غمگین شد: «من می روم مادرم را ببینم...» "ما با هم مردیم، اما به دلایلی او به اینجا رسید." و اکنون من اینجا زندگی می کنم، اما این را به او نمی گویم، زیرا او هرگز با آن موافقت نخواهد کرد. اون فکر میکنه من دارم میام...
- بهتر نیست همین الان بیای؟ اینجا خیلی وحشتناک است!... - استلا شانه هایش را بالا انداخت.
"من نمی توانم او را اینجا تنها بگذارم، من او را تماشا می کنم تا هیچ اتفاقی برای او نیفتد." و اینجا دین با من است... او به من کمک می کند.
فقط باورم نمی شد... این دختر شجاع کوچولو داوطلبانه "طبقه" زیبا و مهربان خود را ترک کرد تا در این دنیای سرد، وحشتناک و بیگانه زندگی کند و از مادرش که به نوعی "مقصر" بود محافظت کند! فکر نمی‌کنم آدم‌های آنقدر شجاع و فداکار (حتی بزرگسالان!) وجود داشته باشند که جرأت انجام چنین شاهکاری را داشته باشند... و من بلافاصله فکر کردم - شاید او متوجه نشد که قرار است خود را به چه چیزی محکوم کند. ؟!
- چند وقته اینجایی دختر، اگه راز نیست؟
نوزاد چشم سیاه با غمگینی پاسخ داد: «اخیراً...» و با انگشتانش یک دسته سیاه از موهای مجعدش را کشید. – وقتی مردم خود را در چنین دنیای زیبایی یافتم!.. او بسیار مهربان و باهوش بود!.. و بعد دیدم که مادرم در کنارم نیست و به دنبال او شتافتم. اولش خیلی ترسناک بود! به دلایلی او هیچ جا پیدا نمی شد... و بعد به این دنیای وحشتناک افتادم... و بعد او را پیدا کردم. من اینجا خیلی ترسیده بودم... خیلی تنها... مامان بهم گفت برم حتی سرزنشم کرد. اما من نمی توانم او را ترک کنم... حالا من یک دوست دارم، دین خوبم، و می توانم به نحوی در اینجا حضور داشته باشم.
"دوست خوب" او دوباره غرغر کرد، که باعث شد من و استلا غازهای بزرگی به نام "اختری پایین" داشته باشم... وقتی خودم را جمع کردم، سعی کردم کمی آرام باشم و شروع کردم به نگاه دقیق تر به این معجزه پشمالو... و او، بلافاصله با احساس اینکه مورد توجه قرار گرفت، به طرز وحشتناکی دهان دندان نیشش را بیرون آورد... من به عقب پریدم.
- اوه، نترس، لطفا! دختر اطمینان داد: "او به شما لبخند می زند."
آره... از همچین لبخندی تند دویدن رو یاد میگیری... - با خودم فکر کردم.
- چطور شد که با او دوست شدی؟ - استلا پرسید.
- وقتی برای اولین بار به اینجا آمدم، خیلی می ترسیدم، مخصوصاً وقتی هیولاهایی مانند شما امروز حمله می کردند. و سپس یک روز، زمانی که تقریباً بمیرم، دین مرا از دست یکسری پرندگان خزنده در حال پرواز نجات داد. من هم اولش ترسیدم ولی بعد فهمیدم چه دل طلایی داره... بهترین دوسته! من هرگز چنین چیزی نداشتم، حتی زمانی که روی زمین زندگی می کردم.
- چطور به این زودی عادت کردی؟ ظاهر او کاملاً آشنا نیست ...
– و در اینجا یک حقیقت بسیار ساده را فهمیدم که به دلایلی روی زمین متوجه آن نشدم - ظاهر مهم نیست که یک شخص یا موجودی قلب خوبی داشته باشد ... مادر من بسیار زیبا بود اما گاهی اوقات بسیار عصبانی بود. هم. و بعد تمام زیبایی او یک جایی ناپدید شد ... و دین ، اگرچه ترسناک است ، اما همیشه بسیار مهربان است ، و همیشه از من محافظت می کند ، من مهربانی او را احساس می کنم و از هیچ چیز نمی ترسم. اما میشه به ظاهر عادت کرد...
- آیا می دانید که شما برای مدت طولانی در اینجا خواهید بود، بسیار بیشتر از زندگی مردم روی زمین؟ واقعا میخوای اینجا بمونی؟..
"مادر من اینجاست، پس باید به او کمک کنم." و هنگامی که او "برود" تا دوباره روی زمین زندگی کند، من نیز خواهم رفت... به جایی که خیر بیشتری وجود دارد. در این دنیای وحشتناک، مردم بسیار عجیب هستند - گویی اصلاً زندگی نمی کنند. چرا اینطور است؟ آیا تو چیزی در این باره می دانی؟
- چه کسی به تو گفته که مادرت برای زندگی دوباره برود؟ - استلا علاقه مند شد.
- البته دین. او چیزهای زیادی می داند، او برای مدت طولانی در اینجا زندگی می کند. او همچنین گفت که وقتی ما (من و مادرم) دوباره زندگی کنیم، خانواده‌هایمان فرق می‌کند. و بعد من دیگر این مادر را نخواهم داشت... به همین دلیل است که می خواهم اکنون با او باشم.
- چگونه با او صحبت می کنی، رئیس؟ - استلا پرسید. - و چرا نمی خواهی اسمت را به ما بگویی؟
اما درست است - ما هنوز نام او را نمی دانستیم! و آنها هم نمی دانستند که او از کجا آمده است ...
- اسم من ماریا بود... اما آیا این واقعاً اینجا مهم است؟
- مسلما! - استلا خندید. - چگونه می توانم با شما ارتباط برقرار کنم؟ وقتی می روید، اسم جدیدی به شما می دهند، اما تا زمانی که اینجا هستید، باید با نام قدیمی زندگی کنید. با کس دیگه ای اینجا حرف زدی دختر ماریا؟ استلا پرسید و از روی عادت از موضوعی به موضوع دیگر می پرید.
دخترک با تردید گفت: «بله، صحبت کردم...» "اما آنها اینجا خیلی عجیب هستند." و خیلی ناراضی... چرا اینقدر ناراضی هستند؟
- آیا آنچه در اینجا می بینید برای خوشبختی مفید است؟ - از سوال او تعجب کردم. – حتی خود «واقعیت» محلی هر امیدی را پیشاپیش می کشد!.. چطور می توانی اینجا خوشحال باشی؟
-نمیدونم وقتی با مامانم به نظرم میرسه که اینجا هم میتونم خوشحال باشم... درسته اینجا خیلی ترسناکه و اون واقعا اینجا رو دوست نداره... وقتی گفتم قبول کردم باهاش بمونم او سر من داد زد و گفت که من "بدبختی بی مغز" او هستم ... اما من ناراحت نیستم ... می دانم که او فقط می ترسد. فقط شبیه من...
- شاید او فقط می خواست از شما در برابر تصمیم "افراطی" شما محافظت کند و فقط می خواست شما به "طبقه" خود برگردید؟ - استلا با دقت پرسید تا توهین نشود.
– نه، البته... اما ممنون از حرف خوبت. مامان اغلب من را با نام های نه چندان خوب صدا می کرد، حتی روی زمین... اما می دانم که این از روی عصبانیت نبود. او به سادگی از اینکه من به دنیا آمدم ناراضی بود و اغلب به من می گفت که زندگی او را نابود کردم. اما تقصیر من نبود، نه؟ من همیشه سعی می کردم او را خوشحال کنم، اما به دلایلی خیلی موفق نبودم... و هرگز پدری نداشتم. - ماریا خیلی غمگین بود و صدایش می لرزید، انگار می خواست گریه کند.
من و استلا به هم نگاه کردیم و تقریباً مطمئن بودم که افکار مشابه او را ملاقات می کند ... من قبلاً واقعاً از این "مادر خودخواه" خراب و خودخواه خوشم نمی آمد که به جای اینکه نگران خود فرزندش باشد ، به او اهمیت نمی داد. فداکاری قهرمانانه او را اصلاً فهمیدم و علاوه بر این، او را نیز به شدت آزار دادم.
اما دین می گوید که من خوب هستم و او را بسیار خوشحال می کنم! - دختر کوچولو با شادی بیشتری غرولند کرد. و او می خواهد با من دوست شود. و دیگرانی که من اینجا دیدم بسیار سرد و بی تفاوت و گاهی اوقات شرور هستند... مخصوصاً آنهایی که هیولاها را به آنها متصل کرده اند...
ما نفهمیدیم: "هیولاها - چی؟"
- خب، آنها هیولاهای وحشتناکی دارند که روی پشتشان نشسته اند و به آنها می گویند که باید چه کار کنند. و اگر گوش ندهند، هیولاها به طرز وحشتناکی آنها را مسخره می کنند... من سعی کردم با آنها صحبت کنم، اما این هیولاها به من اجازه نمی دهند.
ما مطلقاً چیزی از این "توضیح" نفهمیدیم، اما این واقعیت که برخی از موجودات اختری در حال شکنجه مردم بودند، نمی توانست توسط ما "کاوش" باقی بماند، بنابراین بلافاصله از او پرسیدیم که چگونه می توانیم این پدیده شگفت انگیز را ببینیم.
- اوه، همه جا بله! به خصوص در "کوه سیاه". او آنجاست، پشت درختان. میخوای ما هم با تو بریم؟
- البته، ما فقط خیلی خوشحال خواهیم شد! - استلا خوشحال بلافاصله پاسخ داد.
صادقانه بگویم، من همچنین به احتمال ملاقات با شخص دیگری، "وحشتناک و نامفهوم"، به خصوص به تنهایی، واقعاً لبخند نمی زدم. اما علاقه بر ترس غلبه کرد و ما البته با وجود اینکه کمی ترسیده بودیم می رفتیم... اما وقتی مدافعی مانند دین با ما راه می رفت بلافاصله سرگرم کننده تر شد...
و سپس، پس از لحظاتی کوتاه، جهنم واقعی در برابر چشمان ما آشکار شد، با حیرت کاملاً باز شد... این چشم انداز یادآور نقاشی های بوش (یا Bosc، بسته به زبانی که آن را به چه زبانی ترجمه می کنید)، یک هنرمند «دیوانه» بود. که روزی با دنیای هنرش تمام دنیا را شوکه کرد... او البته دیوانه نبود، بلکه به سادگی یک بیننده بود که به دلایلی فقط می توانست اختری پایین را ببیند. اما ما باید حقش را به او بدهیم - او او را فوق‌العاده به تصویر می‌کشید... من نقاشی‌های او را در کتابی که در کتابخانه پدرم بود دیدم، و هنوز احساس وحشتناکی را که بیشتر نقاشی‌های او با خود همراه داشتند به خاطر می‌آورم...
استلا شوکه شده زمزمه کرد: "چه وحشتناک!..."
احتمالاً می توان گفت که ما قبلاً در اینجا، در "طبقه ها" چیزهای زیادی دیده ایم... اما حتی ما در وحشتناک ترین کابوس خود نتوانستیم این را تصور کنیم!.. پشت "صخره سیاه" چیزی کاملاً غیرقابل تصور باز شد. .. شبیه یک دیگ بزرگ و مسطح بود که در صخره حک شده بود که در پایین آن "گدازه" زرشکی حباب می زد... هوای گرم همه جا را با حباب های قرمز متمایل به چشمک زن عجیبی "ترک" کرد که بخار سوزان از آن بیرون می زد. و به صورت قطرات درشت به زمین افتاد یا به افرادی که در آن لحظه زیر آن افتادند ... فریادهای دلخراشی شنیده شد اما بلافاصله ساکت شد، زیرا نفرت انگیزترین موجودات بر پشت همان مردم نشسته بودند که با یک نگاه راضی قربانیان خود را «کنترل» می‌کرد و به رنج‌هایشان کوچک‌ترین توجهی نمی‌کرد... زیر پای برهنه‌ی مردم، سنگ‌های داغ سرخ می‌شدند، خاک زرشکی که از گرما می‌ترکید، حباب می‌پاشید و «ذوب می‌شد»... پاشش‌های داغ بخار از شکاف‌های بزرگ بیرون زد و در حالی که پاهای انسان‌هایی را که از درد هق هق می‌کردند می‌سوخت و به ارتفاعات می‌برد و با دودی خفیف تبخیر می‌شد... و در وسط "گودال" رودخانه‌ای آتشین قرمز روشن و گسترده جاری بود. که گهگاهی همان هیولاهای منزجر کننده به طور غیرمنتظره یک موجود عذابی را به درون آن پرتاب می کردند که در اثر سقوط فقط جرقه های کوتاهی از نارنجی ایجاد می شد و سپس برای لحظه ای تبدیل به یک ابر سفید کرکی شد و ناپدید شد. .. برای همیشه... جهنم واقعی بود و من و استلا می خواستیم هر چه زودتر از آنجا ناپدید شویم...
استلا با وحشت آرام زمزمه کرد: "ما قرار است چه کار کنیم؟" -میخوای بری اون پایین؟ آیا کاری وجود دارد که بتوانیم به آنها کمک کنیم؟ ببین چندتا هستن!..
ما روی صخره‌ای سیاه قهوه‌ای و خشک شده از گرما ایستاده بودیم، و به تماشای «مشت» پر از وحشت، درد، ناامیدی و خشونت که زیر آن کشیده شده بود، آنقدر کودکانه احساس ناتوانی می‌کردیم که حتی استلای جنگ‌جوی من این بار به‌طور قاطعانه «بال‌های درهم» خود را جمع کرد. و در اولین تماس آماده بود تا به سمت "طبقه" خود، بسیار عزیز و قابل اعتماد خود برود...

تابع نمایی یک متغیر واقعی (با پایه مثبت) در چند مرحله تعیین می شود. اول، برای ارزش های طبیعی - به عنوان محصول عوامل مساوی. سپس این تعریف به اعداد صحیح منفی و مقادیر غیر صفر توسط قوانین گسترش می یابد. در مرحله بعد، نماهای کسری را در نظر می گیریم که در آنها مقدار تابع نمایی با استفاده از ریشه تعیین می شود: . برای مقادیر غیرمنطقی، تعریف از قبل با مفهوم اصلی تجزیه و تحلیل ریاضی مرتبط است - با عبور از حد، به دلایل تداوم. همه این ملاحظات به هیچ وجه برای تلاش برای گسترش تابع نمایی به مقادیر پیچیده نشانگر قابل اعمال نیستند و مثلاً اینکه چه چیزی است کاملاً نامشخص است.

برای اولین بار، یک توان با یک توان پیچیده با یک پایه طبیعی توسط اویلر بر اساس تجزیه و تحلیل تعدادی از ساختارهای حساب انتگرال معرفی شد. گاهی اوقات عبارات جبری بسیار مشابه، هنگامی که یکپارچه می شوند، پاسخ های کاملاً متفاوتی می دهند:

در عین حال، در اینجا انتگرال دوم به طور رسمی از اولی به دست می آید که با جایگزین شود

از اینجا می توان نتیجه گرفت که با تعریف صحیح تابع نمایی با نمایی مختلط، توابع مثلثاتی معکوس با لگاریتم ها مرتبط می شوند و بنابراین تابع نمایی با مثلثاتی مرتبط است.

اویلر شجاعت و تخیل را داشت که یک تعریف معقول برای یک تابع نمایی با پایه ارائه دهد، یعنی:

این یک تعریف است و بنابراین این فرمول قابل اثبات نیست، فقط می توان به دنبال استدلالی در جهت معقول بودن و مصلحت بودن چنین تعریفی بود. تحلیل ریاضی استدلال های زیادی از این دست ارائه می دهد. ما خود را به یک مورد محدود می کنیم.

مشخص است که برای واقعی یک رابطه محدود کننده وجود دارد: . در سمت راست یک چند جمله ای وجود دارد که برای مقادیر مختلط برای . حد یک دنباله از اعداد مختلط به طور طبیعی تعیین می شود. دنباله ای همگرا در نظر گرفته می شود که دنباله های قسمت های واقعی و خیالی همگرا شوند و پذیرفته شوند.

بیا پیداش کنیم برای انجام این کار، اجازه دهید به شکل مثلثاتی برویم و برای آرگومان مقادیری را از بازه انتخاب کنیم. با این انتخاب مشخص است که برای . به علاوه،

برای رفتن به حد، باید وجود محدودیت‌هایی را برای و پیدا کردن این محدودیت‌ها تأیید کنید. واضح است که

بنابراین، در بیان

بخش واقعی به این گرایش دارد، بخش خیالی به آن گرایش دارد

این آرگومان ساده یکی از استدلال ها را به نفع تعریف اویلر از تابع نمایی ارائه می کند.

اکنون اجازه دهید مشخص کنیم که هنگام ضرب مقادیر یک تابع نمایی، توان ها با هم جمع می شوند. واقعا:

2. فرمول های اویلر.

اجازه دهید در تعریف تابع نمایی قرار دهیم. ما گرفتیم:

با جایگزینی b با -b، دریافت می کنیم

با جمع و تفریق این برابری ها به صورت ترم، فرمول ها را پیدا می کنیم

فرمول های اویلر نامیده می شود. آنها بین توابع مثلثاتی و توابع نمایی با شارهای خیالی ارتباط برقرار می کنند.

3. لگاریتم طبیعی یک عدد مختلط.

یک عدد مختلط که به صورت مثلثاتی داده می شود را می توان به صورت نوشتاری به این شکل از نوشتن عدد مختلط نمایی می گویند. تمام خواص خوب فرم مثلثاتی را حفظ می کند، اما حتی مختصرتر است. بعلاوه، بنابراین طبیعی است که فرض کنیم قسمت واقعی لگاریتم یک عدد مختلط لگاریتم مدول آن است و قسمت خیالی استدلال آن است. این تا حدی خاصیت "لگاریتمی" استدلال را توضیح می دهد - آرگومان محصول برابر با مجموع استدلال های عوامل است.

طرح:

1 لگاریتم واقعی
- 1.1 خواص
- 1.2 تابع لگاریتمی
- 1.3 لگاریتم های طبیعی
- 1.4 لگاریتم های اعشاری
2 لگاریتم پیچیده
- 2.1 تعریف و خواص
- 2.2 مثال
- 2.3 ادامه تحلیلی
- 2.4 سطح ریمان
3 طرح تاریخی
- 3.1 لگاریتم واقعی
- 3.2 لگاریتم پیچیده
4 جداول لگاریتمی
5 برنامه های کاربردی

معرفی

برنج. 1. نمودارهای توابع لگاریتمی

لگاریتم یک عدد ببر اساس آ (از یونانی λόγος - «کلمه»، «نگرش» و ἀριθμός - "تعداد") به عنوان شاخصی از قدرتی که پایه باید به آن افزایش یابد، تعریف می شود آبرای دریافت شماره ب. تعیین: . از تعریف به دست می آید که رکوردها و معادل هستند.

به عنوان مثال، به دلیل.

1. لگاریتم واقعی

لگاریتم لاگ اعداد واقعی آ بزمانی معنا پیدا می کند که . همانطور که مشخص است، تابع نمایی y = آ ایکس یکنواخت است و هر مقدار فقط یک بار می گیرد و دامنه مقادیر آن شامل تمام اعداد حقیقی مثبت است. نتیجه این است که مقدار لگاریتم واقعی یک عدد مثبت همیشه وجود دارد و به طور یکتا تعیین می شود.

پرکاربردترین انواع لگاریتم عبارتند از:

1.1. خواص

اثبات

بیایید آن را ثابت کنیم.

(از آنجایی که با شرط bc > 0). ■

اثبات

این را ثابت کنیم

(از آنجایی که به شرط ■

اثبات

ما از هویت برای اثبات آن استفاده می کنیم. بیایید هر دو طرف هویت را به پایه c لگاریتم کنیم. ما گرفتیم:

اثبات

بیایید آن را ثابت کنیم.

(زیرا ب پ> 0 با شرط). ■

اثبات

این را ثابت کنیم

اثبات

سمت چپ و راست را به پایه لگاریتم کنید ج :

سمت چپ: سمت راست:

برابری عبارات آشکار است. از آنجایی که لگاریتم ها مساوی هستند، به دلیل یکنواختی تابع لگاریتمی، خود عبارات برابر هستند. ■

1.2. تابع لگاریتمی

اگر عدد لگاریتمی را به عنوان یک متغیر در نظر بگیریم به دست می آید تابع لگاریتمی y= ثبت نام آ ایکس (شکل 1 را ببینید). در تعریف شده است. محدوده مقادیر: .

عملکرد به شدت در حال افزایش است آ> 1 و به شدت در 0 کاهش می یابد< آ < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

سر راست ایکس= 0 مجانبی عمودی سمت چپ است، زیرا در آ> 1 و در 0< آ < 1 .

مشتق تابع لگاریتمی برابر است با:

اثبات

I. اجازه دهید آن را ثابت کنیم

بیایید هویت را بنویسیم هلوگاریتم ایکس = ایکس و سمت چپ و راست آن را از هم متمایز کنید

ما آن را دریافت می کنیم که از آن نتیجه می شود

II. این را ثابت کنیم

تابع لگاریتمی یک هم شکلی بین گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت و گروه جمعی همه اعداد حقیقی انجام می دهد.

1.3. لگاریتم های طبیعی

رابطه با لگاریتم اعشاری: .

همانطور که در بالا گفته شد، مشتق لگاریتم طبیعی یک فرمول ساده دارد:

به همین دلیل، لگاریتم های طبیعی عمدتاً در تحقیقات ریاضی استفاده می شوند. آنها اغلب هنگام حل معادلات دیفرانسیل، مطالعه وابستگی های آماری (به عنوان مثال، توزیع اعداد اول) و غیره ظاهر می شوند.

انتگرال نامعین لگاریتم طبیعی را می توان به راحتی با ادغام با قطعات پیدا کرد:

بسط سری تیلور را می توان به صورت زیر نشان داد:
وقتی برابری درست باشد

(1)

به خصوص،

این سری سریعتر همگرا می شود و علاوه بر این، سمت چپ فرمول اکنون می تواند لگاریتم هر عدد مثبت را بیان کند.

1.4. لگاریتم های اعشاری

برنج. 2a. مقیاس لگاریتمی

برنج. 2b. مقیاس لگاریتمی با نمادها

لگاریتم تا پایه 10 (نماد: lg آ) قبل از اختراع ماشین حساب ها به طور گسترده ای برای محاسبات استفاده می شد. مقیاس ناهموار لگاریتم های اعشاری معمولاً برای قوانین اسلاید اعمال می شود. مقیاس مشابه در بسیاری از زمینه های علمی استفاده می شود، به عنوان مثال:

فیزیک - شدت صدا (دسی بل).
ستاره شناسی - مقیاس روشنایی ستاره.
شیمی - فعالیت یون هیدروژن (pH).
زلزله شناسی - مقیاس ریشتر.
تئوری موسیقی - مقیاسی از نت ها، در رابطه با فرکانس نت های موسیقی.
تاریخ یک مقیاس زمانی لگاریتمی است.

2. لگاریتم پیچیده

2.1. تعریف و خواص

برای اعداد مختلط، لگاریتم به همان صورت واقعی تعریف می شود. در عمل، لگاریتم مختلط طبیعی تقریباً به طور انحصاری استفاده می شود، که ما آن را به عنوان مجموعه ای از تمام اعداد مختلط مشخص و تعریف می کنیم. zبه طوری که ه z = w . لگاریتم مختلط برای هر یک وجود دارد، و بخش واقعی آن به طور منحصر به فرد تعیین می شود، در حالی که قسمت خیالی دارای تعداد نامحدودی از مقادیر است. به همین دلیل به آن تابع چند ارزشی می گویند. اگر تصور کنید wبه صورت نمایشی:

سپس لگاریتم با فرمول پیدا می شود:

اینجا لگاریتم واقعی است، r = | w | , ک- عدد صحیح دلخواه مقدار بدست آمده زمانی که ک= 0، فراخوانی شد اهمیت اصلیلگاریتم طبیعی پیچیده؛ مرسوم است که مقدار آرگومان موجود در آن را در بازه (- π,π] در نظر بگیرید. تابع مربوطه (از قبل تک مقداری) نامیده می شود. شاخه اصلیلگاریتم و با نشان داده می شود. گاهی اوقات آنها همچنین مقدار لگاریتمی را نشان می دهند که در شاخه اصلی نیست.

از فرمول به شرح زیر است:

بخش واقعی لگاریتم با فرمول تعیین می شود:

لگاریتم یک عدد منفی با فرمول بدست می آید:

از آنجایی که توابع مثلثاتی مختلط با توان (فرمول اویلر) مرتبط هستند، لگاریتم مختلط به عنوان تابع معکوس نمایی، با توابع مثلثاتی معکوس مرتبط است. نمونه ای از چنین ارتباطی:

2.2. مثال ها

بیایید مقدار اصلی لگاریتم را برای برخی از آرگومان ها در نظر بگیریم:

هنگام تبدیل لگاریتم های مختلط باید مراقب باشید که آنها چند ارزشی هستند و بنابراین برابری لگاریتم های هر عبارتی به معنای برابری این عبارات نیست. مثالی از استدلال ناقص:

منπ = ln(- 1) = ln((- من) 2) = 2ln(- من) = 2(− منπ / 2) = - منπ - پوچی محض

توجه داشته باشید که در سمت چپ مقدار اصلی لگاریتم و در سمت راست مقدار شاخه زیرین ( ک= - 1). علت خطا، استفاده بی‌دقت از ویژگی است، که، به طور کلی، در حالت پیچیده، کل مجموعه نامتناهی مقادیر لگاریتمی را نشان می‌دهد و نه فقط مقدار اصلی را.

2.3. ادامه تحلیلی

برنج. 3. لگاریتم پیچیده (قسمت خیالی)

لگاریتم یک عدد مختلط را می توان به عنوان گسترش تحلیلی لگاریتم واقعی به کل صفحه مختلط نیز تعریف کرد. اجازه دهید منحنی Γ با وحدت شروع شود، از صفر عبور نکند و قسمت منفی محور واقعی را قطع نکند. سپس مقدار اصلی لگاریتم در نقطه پایانی wمنحنی Γ را می توان با فرمول تعیین کرد:

اگر Γ یک منحنی ساده (بدون خودتقاطع) باشد، برای اعدادی که روی آن قرار دارند، برای مثال می توان هویت های لگاریتمی را بدون ترس اعمال کرد.

اگر به منحنی Γ اجازه داده شود قسمت منفی محور واقعی را قطع کند، اولین تقاطع نتیجه را از شاخه مقدار اصلی به شاخه مجاور منتقل می کند و هر تقاطع بعدی باعث تغییر مشابه در امتداد شاخه های تابع لگاریتمی می شود. شکل را ببین).

از فرمول ادامه تحلیلی چنین بر می آید که در هر شاخه ای از لگاریتم

برای هر دایره ای اس، پوشش نقطه 0:

انتگرال در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) گرفته می شود. این هویت زیربنای نظریه باقیمانده ها است.

همچنین می‌توانید ادامه تحلیلی لگاریتم مختلط را با استفاده از سری بالا (1) که به یک آرگومان پیچیده تعمیم داده شده است، تعریف کنید. با این حال، از نوع بسط نتیجه می گیرد که در واحد آن برابر با صفر است، یعنی سری فقط به شاخه اصلی تابع چند ارزشی لگاریتم مختلط مربوط می شود.

2.4. سطح ریمان

یک تابع لگاریتمی پیچیده مثالی از سطح ریمان است. قسمت خیالی آن (شکل 3) شامل تعداد بی نهایت شاخه است که به شکل یک مارپیچ پیچ خورده اند. این سطح به سادگی متصل است. تنها صفر آن (از مرتبه اول) در به دست می آید z= 1، نقاط مفرد: z= 0 و (نقاط شاخه ای از ترتیب بی نهایت).

سطح ریمان لگاریتم پوشش جهانی صفحه مختلط بدون نقطه 0 است.

3. طرح تاریخی

3.1. لگاریتم واقعی

نیاز به محاسبات پیچیده در قرن شانزدهم به سرعت رشد کرد و بسیاری از مشکلات مربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی و ریشه کردن بود. در پایان قرن، چندین ریاضیدان، تقریباً به طور همزمان، این ایده را مطرح کردند: جایگزینی ضرب فشرده با جمع ساده، با استفاده از جداول ویژه برای مقایسه پیشرفت‌های هندسی و حسابی، که هندسی اصلی است. سپس تقسیم به طور خودکار با تفریق بسیار ساده تر و قابل اطمینان تر جایگزین می شود و ریشه درجه را استخراج می کند. nبه تقسیم لگاریتم عبارت رادیکال بر می رسد n. او اولین کسی بود که این ایده را در کتاب خود منتشر کرد. انتگرال حسابی«مایکل استیفل که اما هیچ تلاش جدی برای اجرای ایده اش نکرد.

در سال 1614، جان ناپیر، ریاضیدان آماتور اسکاتلندی، مقاله ای به زبان لاتین منتشر کرد با عنوان " شرح جدول شگفت انگیز لگاریتم ها"(لات. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). این شامل شرح مختصری از لگاریتم ها و خواص آنها، و همچنین جداول 8 رقمی لگاریتم سینوس ها، کسینوس ها و مماس ها، با گام 1". لگاریتمپیشنهاد شده توسط Napier، خود را در علم تثبیت کرده است. ناپیر در کتاب دیگر خود نظریه لگاریتم را بیان کرد. ساخت یک جدول لگاریتمی شگفت انگیز"(لات. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ، پس از مرگ در سال 1619 توسط پسرش منتشر شد.

مفهوم تابع هنوز وجود نداشت و ناپیر لگاریتم را به صورت سینماتیکی تعریف کرد و حرکت آهسته یکنواخت و لگاریتمی را مقایسه کرد. برای مثال، او لگاریتم سینوس را به صورت زیر تعریف کرد:

لگاریتم یک سینوس معین عددی است که همیشه با همان سرعتی که سینوس کل از نظر هندسی شروع به کاهش می کند، حسابی افزایش می یابد.

در نماد مدرن، مدل سینماتیک ناپیر را می توان با معادله دیفرانسیل نشان داد: dx/x = -dy/M، که در آن M یک ضریب مقیاس است که برای اطمینان از اینکه مقدار یک عدد صحیح با تعداد ارقام لازم است معرفی شده است (کسری اعشاری هنوز به طور گسترده استفاده نشده است). Napier M = 10000000 گرفت.

به بیان دقیق، Napier تابع اشتباه را جدول بندی کرد که اکنون لگاریتم نامیده می شود. اگر تابع آن را LogNap(x) نشان دهیم، به صورت زیر به لگاریتم طبیعی مربوط می شود:

بدیهی است که LogNap(M) = 0، یعنی لگاریتم "سینوس کامل" صفر است - این همان چیزی است که Napier با تعریف خود به آن دست یافت. .

ویژگی اصلی لگاریتم ناپیر: اگر کمیت ها یک پیشرفت هندسی را تشکیل دهند، لگاریتم های آنها یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند. با این حال، قوانین لگاریتمی برای تابع neper با قوانین لگاریتم مدرن متفاوت است.

مثلا، LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

متأسفانه، تمام مقادیر جدول Napier حاوی یک خطای محاسباتی بعد از رقم ششم است. با این حال، این امر مانع از محبوبیت گسترده روش محاسبه جدید نشد و بسیاری از ریاضیدانان اروپایی از جمله کپلر شروع به تدوین جداول لگاریتمی کردند. فقط 5 سال بعد، در سال 1619، معلم ریاضیات لندن جان اسپیدل ( جان اسپیدل) جداول Napier را مجدداً منتشر کرد، به گونه ای تغییر شکل داد که آنها به طور مؤثر به جدول هایی از لگاریتم های طبیعی تبدیل شدند (اگرچه اسپیدل مقیاس بندی به اعداد صحیح را حفظ کرد). اصطلاح "لگاریتم طبیعی" توسط ریاضیدان ایتالیایی پیترو منگولی (Pietro Mengoli) ارائه شد. پیترو منگولی)) در اواسط قرن شانزدهم.

در دهه 1620، ادموند وینگیت و ویلیام اوترد اولین قانون اسلاید را اختراع کردند، قبل از ظهور ماشین‌حساب‌های جیبی - ابزاری ضروری برای مهندسان.

درک نزدیک به مدرن از لگاریتم سازی - به عنوان عملیات معکوس افزایش قدرت - اولین بار با والیس و یوهان برنولی ظاهر شد و سرانجام توسط اویلر در قرن 18 مشروعیت یافت. اویلر در کتاب "مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت ها" (1748) تعاریف مدرنی از توابع نمایی و لگاریتمی ارائه کرد، آنها را به سری های توانی گسترش داد و به ویژه به نقش لگاریتم طبیعی اشاره کرد.

اویلر همچنین با گسترش تابع لگاریتمی به دامنه مختلط اعتبار دارد.

3.2. لگاریتم پیچیده

4. جداول لگاریتمی

جداول لگاریتمی

از خصوصیات لگاریتم چنین بر می آید که به جای ضرب پر زحمت اعداد چند رقمی، کافی است (از جداول) لگاریتم آنها را پیدا کرده و لگاریتم آنها را جمع کنید و سپس از همان جداول برای تقویت، یعنی پیدا کردن مقدار نتیجه از لگاریتم آن انجام تقسیم تنها در این است که لگاریتم ها تفریق می شوند. لاپلاس گفت که اختراع لگاریتم با سرعت بخشیدن به روند محاسبات، عمر ستاره شناسان را افزایش داد.

اولین جداول لگاریتم توسط جان ناپیر (1614) منتشر شد و آنها فقط حاوی لگاریتم های توابع مثلثاتی و با خطا بودند. جوست بورگی، دوست کپلر، مستقل از او، جداول او را منتشر کرد (1620). در سال 1617، هنری بریگز، استاد ریاضیات آکسفورد، جداولی را منتشر کرد که قبلاً شامل لگاریتم اعشاری خود اعداد، از 1 تا 1000، با 8 (بعدها 14) رقم بود. اما در جداول بریگز نیز خطاهایی وجود داشت. اولین نسخه بدون خطا بر اساس جداول Vega (1783) تنها در سال 1857 در برلین (جدول Bremiwer) ظاهر شد.

بردیس وی. ام.جداول ریاضی چهار رقمی چاپ چهل و چهارم، م.، 1973.

جداول برادیس (1921) در مؤسسات آموزشی و در محاسبات مهندسی که نیاز به دقت زیادی نداشت استفاده می شد. آنها حاوی آخوندک هایی از لگاریتم های اعشاری اعداد و توابع مثلثاتی، لگاریتم های طبیعی و برخی ابزارهای محاسبه مفید دیگر بودند.

وگا جی.جداول لگاریتم های هفت رقمی، چاپ چهارم، M.، 1971.

مجموعه ای حرفه ای برای محاسبات دقیق.

جداول پنج رقمی مقادیر طبیعی مقادیر مثلثاتی، لگاریتم آنها و لگاریتم اعداد، ویرایش ششم، M.: Nauka، 1972.
جداول لگاریتم طبیعی، چاپ دوم، در 2 جلد، M.: Nauka، 1971.

امروزه با گسترش ماشین حساب ها، نیاز به استفاده از جداول لگاریتمی از بین رفته است.

M، ویژگی (تحلیل پیچیده).

ویژگی های اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتمی، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش داده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته می شود. و همچنین بسط و نمایش انتگرال سری توانی با استفاده از اعداد مختلط.

محتوا

دامنه، مجموعه مقادیر، افزایش، کاهش

لگاریتم یک تابع یکنواخت است، بنابراین هیچ مادونی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.


دامنه	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
محدوده ارزش ها	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y = 0	x = 1	x = 1
نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0	خیر	خیر
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

ارزش های خصوصی

لگاریتم به پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به صورت زیر نشان داده می شود:

لگاریتم به پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی:

فرمول های اصلی لگاریتم ها

خواص لگاریتم ناشی از تعریف تابع معکوس:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتم عملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع عبارت ها تبدیل می شود.
تقویت یک عملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. در طول تقویت، یک پایه معین به درجه ای از بیان که در آن تقویت انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شوند.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
بیایید ویژگی تابع نمایی را اعمال کنیم
:
.

اجازه دهید فرمول جایگزینی پایه را ثابت کنیم.
;
.
با فرض c=b، داریم:

تابع معکوس

معکوس یک لگاریتم بر مبنای a یک تابع نمایی با توان a است.

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق لگاریتم مدول x:
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم، باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با ادغام با قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیایید یک عدد مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ منحصر به فرد تعریف نشده است اگر قرار دهید
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

هنگامی که گسترش انجام می شود:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید: