مکعب 4 x بعدی. Cybercube - اولین قدم به بعد چهارم

تصویر نمایش (چشم انداز) یک مکعب چهار بعدی بر روی فضای سه بعدی است.

بر اساس فرهنگ لغت آکسفورد، کلمه tesseract در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون (1853-1907) در کتاب خود به نام عصر جدید اندیشه ابداع و استفاده شد. بعدها عده ای به همین شکل «تتراکوبوس» نامیدند.

هندسه

یک تسراکت معمولی در فضای چهار بعدی اقلیدسی به عنوان بدنه محدب نقاط (1±، 1±، 1±، 1±) تعریف می‌شود. به عبارت دیگر، می توان آن را به صورت مجموعه زیر نشان داد:

تسراکت توسط هشت ابرصفحه محدود شده است که تقاطع آنها با خود تسراکت چهره های سه بعدی آن (که مکعب های معمولی هستند) را مشخص می کند. هر جفت وجه سه بعدی غیر موازی با هم قطع می شوند و چهره های دوبعدی (مربع) و غیره را تشکیل می دهند. در نهایت، یک تسراکت دارای 8 وجه سه بعدی، 24 2 بعدی، 32 لبه و 16 رأس است.

توضیحات محبوب

بیایید سعی کنیم تصور کنیم که هایپر مکعب بدون ترک فضای سه بعدی چگونه خواهد بود.

در یک "فضا" یک بعدی - روی یک خط - یک قطعه AB به طول L را انتخاب کنید. در یک صفحه دو بعدی در فاصله L از AB، یک قطعه DC موازی با آن بکشید و انتهای آنها را به هم وصل کنید. نتیجه یک ABCD مربع است. با تکرار این عمل با هواپیما، یک مکعب سه بعدی ABCDHEFG بدست می آوریم. و با جابجایی مکعب در بعد چهارم (عمود بر سه بعد اول) با فاصله L یک ابرمکعب ABCDEFGHIJKLMNOP به دست می آید.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

قطعه یک بعدی AB ضلع مربع دو بعدی ABCD است، مربع ضلع مکعب ABCDHEFG است که به نوبه خود ضلع ابر مکعب چهار بعدی خواهد بود. یک پاره خط مستقیم دارای دو نقطه مرزی، یک مربع دارای چهار راس و یک مکعب دارای هشت نقطه است. بنابراین، در یک ابر مکعب چهار بعدی، 16 راس وجود خواهد داشت: 8 راس مکعب اصلی و 8 راس در بعد چهارم جابجا شده است. این 32 یال دارد - هر کدام 12 یال موقعیت اولیه و نهایی مکعب اصلی را نشان می‌دهند و 8 یال دیگر هشت رأس آن را که به بعد چهارم منتقل شده‌اند، ترسیم می‌کنند. همین استدلال را می توان برای چهره های ابرمکعب نیز انجام داد. در فضای دو بعدی، یک است (خود مربع)، مکعب دارای 6 عدد است (دو وجه از مربع جابجا شده و چهار وجه دیگر اضلاع آن را توصیف می کنند). یک ابر مکعب چهار بعدی دارای 24 وجه مربع است - 12 مربع از مکعب اصلی در دو موقعیت و 12 مربع از دوازده لبه آن.

به روشی مشابه، می‌توانیم استدلال را برای ابرمکعب‌هایی با ابعاد بیشتر ادامه دهیم، اما بسیار جالب‌تر است که ببینیم یک ابر مکعب چهار بعدی برای ما، ساکنان فضای سه‌بعدی، چگونه خواهد بود. بیایید برای این کار از روش قیاس آشنا استفاده کنیم.

گشودن تسراکت

یک مکعب سیمی ABCDHEFG را بردارید و با یک چشم از کنار صورت به آن نگاه کنید. ما می بینیم و می توانیم دو مربع را روی هواپیما بکشیم (صورت نزدیک و دور آن)، که با چهار خط - لبه های جانبی به هم متصل شده اند. به طور مشابه، یک ابر مکعب چهار بعدی در فضای سه بعدی مانند دو "جعبه" مکعبی خواهد بود که در یکدیگر قرار گرفته و توسط هشت لبه به هم متصل شده اند. در این صورت، خود «جعبه‌ها» - چهره‌های سه‌بعدی - به فضای «ما» کشیده می‌شوند و خطوط اتصال آنها در بعد چهارم کشیده می‌شوند. همچنین می توانید سعی کنید یک مکعب را نه در طرح ریزی، بلکه در یک تصویر فضایی تصور کنید.

همانطور که یک مکعب سه بعدی با یک مربع جابجا شده به اندازه طول یک صورت تشکیل می شود، یک مکعب که به بعد چهارم منتقل می شود یک ابرمکعب تشکیل می دهد. این توسط هشت مکعب محدود شده است که در منظر یک شکل نسبتاً پیچیده به نظر می رسد. قسمتی از آن که در فضای «ما» باقی مانده، با خطوط یکپارچه ترسیم شده است و آن قسمتی که به فضای ابرفضا رفته است، با خطوط نقطه چین. همان ابرمکعب چهار بعدی از تعداد بی نهایت مکعب تشکیل شده است، همانطور که یک مکعب سه بعدی را می توان به تعداد بی نهایت مربع مسطح "برش" داد.

با برش شش وجه از یک مکعب سه بعدی، می توانید آن را به شکل صاف گسترش دهید - یک جارو. این یک مربع در هر طرف از وجه اصلی به اضافه یک مربع دیگر خواهد داشت - صورت مقابل آن. باز شدن سه بعدی یک ابرمکعب چهار بعدی از مکعب اصلی تشکیل شده است، شش مکعب "رشد" از آن، به علاوه یک مکعب دیگر - "هایپرفیس" نهایی.

خواص تسراکتی ادامه خواص اشکال هندسی با ابعاد پایین تر در فضای چهار بعدی است.

فرافکنی

به فضای دو بعدی

این ساختار برای تصور دشوار است، اما می توان یک تسراکت را به فضاهای دو بعدی یا سه بعدی نشان داد. علاوه بر این، طرح ریزی به صفحه، درک مکان رئوس ابرمکعب را آسان می کند. به این ترتیب، تصاویری به دست می‌آیند که دیگر روابط فضایی درون تسراکت را منعکس نمی‌کنند، اما ساختار اتصالات راس را نشان می‌دهند، مانند مثال‌های زیر:


به فضای سه بعدی

طرح ریزی یک تسراکت بر روی یک فضای سه بعدی با دو مکعب سه بعدی تو در تو نشان داده می شود که رئوس مربوطه آن ها توسط بخش هایی به هم متصل می شوند. مکعب های داخلی و خارجی در فضای سه بعدی اندازه های متفاوتی دارند اما در فضای چهار بعدی مکعب های مساوی هستند. برای درک برابری تمام مکعب های تسراکت، یک مدل تسراکت چرخان ایجاد شد.

شش هرم ناقص در لبه‌های تسراکت تصاویری از شش مکعب مساوی هستند.
جفت استریو

یک جفت استریو از یک تسراکت به صورت دو برآمدگی در فضای سه بعدی به تصویر کشیده شده است. این تصویر تسراکت برای نشان دادن عمق به عنوان بعد چهارم طراحی شده است. یک جفت استریو مشاهده می شود به طوری که هر چشم تنها یکی از این تصاویر را می بیند، یک تصویر استریوسکوپی ظاهر می شود که عمق تسراکت را بازتولید می کند.

گشودن تسراکت

سطح یک تسراکت را می توان به هشت مکعب منبسط کرد (مشابه اینکه چگونه سطح یک مکعب را می توان به شش مربع منبسط کرد). 261 تسراکت مختلف در حال آشکار شدن هستند. باز شدن تسراکت را می توان با رسم گوشه های متصل روی نمودار محاسبه کرد.

تسراکت در هنر

در دشت‌های ابوت جدید ادواین آ، ابرمکعب داستان‌نویس است.
در یکی از قسمت‌های ماجراهای جیمی نوترون: پسر نابغه جیمی یک ابر مکعب چهاربعدی مشابه جعبه تاشو رمان «جاده شکوه» اثر Heinlein در سال 1963 اختراع می‌کند.
رابرت ای. هاینلین حداقل در سه داستان علمی تخیلی از ابرمکعب ها نام برده است. او در خانه چهار بعدی (خانه ای که تیل ساخته است) (1940)، خانه ای را که به صورت آشکار شدن یک تسراکت ساخته شده است، توصیف کرد.
رمان «جاده جلال» هاینلین، ظرفی بزرگ را توصیف می‌کند که در داخل بزرگ‌تر از بیرون بود.
داستان هنری کاتنر "Mimsy Were the Borogoves" یک اسباب‌بازی آموزشی برای کودکان از آینده‌ای دور را توصیف می‌کند که از نظر ساختاری شبیه به یک تسراکت است.
در رمان الکس گارلند (1999)، اصطلاح "تسراکت" برای باز کردن سه بعدی یک ابر مکعب چهار بعدی استفاده می شود، نه خود هایپرمکعب. این استعاره ای است که برای نشان دادن این موضوع طراحی شده است که سیستم شناخت باید گسترده تر از سیستم قابل شناخت باشد.
Cube 2: Hypercube روی هشت غریبه که در یک ابر مکعب یا شبکه ای از مکعب های به هم پیوسته به دام افتاده اند تمرکز می کند.
سریال تلویزیونی آندرومدا از ژنراتورهای تسراکت به عنوان یک وسیله توطئه استفاده می کند. آنها در درجه اول برای دستکاری فضا و زمان طراحی شده اند.
نقاشی "صلیبی" (Corpus Hypercubus) اثر سالوادور دالی (1954)
کتاب کمیک Nextwave وسیله نقلیه ای را به تصویر می کشد که شامل 5 ناحیه تسراکت است.
در آلبوم Voivod Nothingface یکی از آهنگ ها "In my hypercube" نام دارد.
در رمان «مسیر کوبا» نوشته آنتونی پیرس یکی از قمرهای در حال گردش انجمن بین‌المللی توسعه، تسراکت نامیده می‌شود که در 3 بعد فشرده شده است.
در سریال "مدرسه" سیاه چاله "" در فصل سوم سریال "Tesseract" وجود دارد. لوکاس یک دکمه مخفی را فشار می دهد و مدرسه شروع به شکل گیری مانند یک تست ریاضی می کند.
اصطلاح تسراکت و اصطلاح تسرآت برگرفته از آن در داستان مادلین ال انگل به نام «فولد زمان» یافت می‌شود.

در هندسه هایپر مکعب- آی تی n-قیاس بعدی مربع ( n= 2) و مکعب ( n= 3). این یک شکل محدب بسته و متشکل از گروه هایی از خطوط موازی است که در لبه های مخالف شکل قرار گرفته اند و در زوایای قائم به یکدیگر متصل می شوند.

این رقم نیز به نام تسراکت(تسراکت). Tesseract به مکعب اشاره می کند همانطور که مکعب به مربع اشاره می کند. به طور رسمی تر، یک تسراکت را می توان به عنوان یک پلی توپ چهار بعدی محدب منظم (پلی توپ) توصیف کرد که مرز آن از هشت سلول مکعبی تشکیل شده است.

بر اساس فرهنگ لغت انگلیسی آکسفورد، تسراکت در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون ابداع شد و در کتاب خود به نام «عصر جدید اندیشه» استفاده شد. این کلمه از یونانی "τεσσερες ακτινες" ("چهار پرتو") تشکیل شده است، چهار محور مختصات وجود دارد. به علاوه در برخی منابع نیز همین رقم نامیده شده است چهار مکعب(تترا مکعب).

nهایپرمکعب بعدی نیز نامیده می شود مکعب n.

یک نقطه یک ابرمکعب به ابعاد 0 است. اگر یک نقطه را با یک واحد طول حرکت دهید، یک پاره واحد طول به دست می‌آورید - یک ابرمکعب با بعد 1. به علاوه، اگر یک قطعه را به واحد طول در جهت عمود بر هم حرکت دهید. در جهت قطعه، یک مکعب دریافت می کنید - یک ابرمکعب به ابعاد 2. با جابجایی یک مربع بر حسب واحد طول در جهت عمود بر صفحه مربع، یک مکعب به دست می آید - یک ابرمکعب به ابعاد 3. این فرآیند را می توان به هر تعداد ابعاد تعمیم داد. به عنوان مثال، اگر یک مکعب را به طول یک واحد در بعد چهارم حرکت دهید، یک تسراکت دریافت می کنید.

خانواده هایپرمکعب یکی از معدود چندوجهی های منظمی است که در هر بعد قابل نمایش است.

عناصر Hypercube

هایپرمکعب ابعاد n 2 دارد n"اضلاع" (خط یک بعدی دارای 2 نقطه است؛ مربع دو بعدی - 4 طرف؛ مکعب سه بعدی - 6 وجه؛ تسراکت چهار بعدی - 8 سلول). تعداد رئوس (نقاط) هایپرمکعب 2 است n(به عنوان مثال، برای یک مکعب - 2 3 رأس).

تعداد مترهایپر مکعب های بعدی در حاشیه n-مکعب برابر است

به عنوان مثال، مرز یک هایپرمکعب شامل 8 مکعب، 24 مربع، 32 لبه و 16 راس است.

طرح ریزی صفحه

شکل گیری یک ابر مکعب را می توان به شکل زیر نشان داد:

• دو نقطه A و B را می توان به هم متصل کرد تا یک پاره خط AB را تشکیل دهد.
• دو پاره خط موازی AB و CD را می توان به هم متصل کرد تا یک ABCD مربع تشکیل دهد.
• دو مربع موازی ABCD و EFGH را می توان به هم متصل کرد تا یک مکعب ABCDEFGH را تشکیل دهد.
• دو مکعب موازی ABCDEFGH و IJKLMNOP را می توان به هم متصل کرد تا ابر مکعب ABCDEFGHIJKLMNOP را تشکیل دهد.

تصور ساختار دوم آسان نیست، اما می توان طرح ریزی آن را بر روی یک فضای دو بعدی یا سه بعدی به تصویر کشید. علاوه بر این، پیش‌بینی‌ها بر روی یک صفحه دوبعدی می‌توانند با قابلیت تنظیم مجدد موقعیت‌های رئوس پیش‌بینی‌شده مفیدتر باشند. در این مورد، می‌توانید تصاویری دریافت کنید که دیگر روابط فضایی عناصر درون تسراکت را منعکس نمی‌کنند، اما ساختار اتصالات رأس را مانند مثال‌های زیر نشان می‌دهند.

تصویر اول نشان می دهد که چگونه، در اصل، یک تسراکت از به هم پیوستن دو مکعب تشکیل می شود. این نمودار شبیه به نمودار ایجاد یک مکعب دو مربع است. نمودار دوم نشان می دهد که تمام لبه های تسراکت دارای طول یکسانی هستند. این طرح همچنین شما را مجبور به جستجوی مکعب های متصل به یکدیگر می کند. در نمودار سوم، رئوس تسراکت مطابق با فواصل در امتداد لبه ها نسبت به نقطه پایین قرار دارند. این طرح از این جهت جالب است که از آن به عنوان یک طرح اساسی برای توپولوژی شبکه اتصال پردازنده ها هنگام سازماندهی محاسبات موازی استفاده می شود: فاصله بین هر دو گره از 4 طول لبه تجاوز نمی کند و راه های مختلفی برای متعادل کردن بار وجود دارد.

هایپر مکعب در هنر

ابرمکعب از سال 1940 در ادبیات علمی تخیلی ظاهر شد، زمانی که رابرت هاینلین در داستان "و او خانه ای کج ساخت" خانه ای را که به شکل یک جاروب تسراکت ساخته شده بود توصیف کرد. در داستان، این بیشتر، این خانه فرو می ریزد و به یک تسراکت چهار بعدی تبدیل می شود. پس از آن، هایپر مکعب در بسیاری از کتاب ها و رمان ها ظاهر می شود.

فیلم «مکعب ۲: هایپر مکعب» داستان هشت نفر را روایت می کند که در شبکه ای از هایپرمکعب به دام افتاده اند.

نقاشی سالوادور دالی با عنوان "صلیب‌کشی" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)"، 1954) عیسی را به تصویر می‌کشد که بر روی یک اسکن تسراکت به صلیب کشیده شده است. این نقاشی در موزه متروپولیتن نیویورک قابل مشاهده است.

نتیجه

هایپرمکعب یکی از ساده ترین اجسام چهار بعدی است که با مثال آن می توانید تمام پیچیدگی و غیرعادی بودن بعد چهارم را ببینید. و آنچه در سه بعد غیرممکن به نظر می رسد، احتمالاً در چهار، به عنوان مثال، شکل های غیر ممکن. بنابراین، به عنوان مثال، میله های یک مثلث غیر ممکن در چهار بعد در زوایای قائم به هم متصل می شوند. و این شکل از همه نظر به این شکل خواهد بود و برخلاف تحقق مثلث غیرممکن در فضای سه بعدی تحریف نمی شود (نگاه کنید به.

بیایید با توضیح اینکه 4-space چیست شروع می کنیم.

این یک فضای یک بعدی است، یعنی فقط محور OX. هر نقطه روی آن با یک مختصات مشخص می شود.

حالا محور OY را عمود بر محور OX رسم می کنیم. بنابراین ما یک فضای دو بعدی، یعنی هواپیمای XOY به دست آوردیم. هر نقطه روی آن با دو مختصات مشخص می شود - abscissa و ordinate.

بیایید محور OZ را عمود بر محورهای OX و OY رسم کنیم. نتیجه یک فضای سه بعدی است که در آن هر نقطه دارای ابسیسا، ترتیب و اعمال است.

منطقی است که محور چهارم یعنی OQ باید همزمان بر محورهای OX، OY و OZ عمود باشد. اما ما نمی‌توانیم دقیقاً چنین محوری را بسازیم، و بنابراین تنها تلاش برای تصور آن باقی می‌ماند. هر نقطه در فضای چهار بعدی دارای چهار مختصات است: x، y، z و q.

حال بیایید ببینیم که مکعب چهار بعدی چگونه به وجود آمده است.

تصویر شکلی از فضای یک بعدی را نشان می دهد - یک خط.

اگر ترجمه موازی این خط را در امتداد محور OY انجام دهید و سپس انتهای متناظر دو خط حاصل را به هم وصل کنید، یک مربع به دست می آید.

به همین ترتیب، اگر یک ترجمه موازی مربع را در امتداد محور OZ انجام دهید و رئوس مربوطه را به هم وصل کنید، یک مکعب خواهید داشت.

و اگر یک ترجمه موازی از مکعب در امتداد محور OQ انجام دهیم و رئوس این دو مکعب را به هم وصل کنیم، یک مکعب چهار بعدی به دست می آید. اتفاقاً به آن می گویند تسراکت.

برای کشیدن یک مکعب در هواپیما، به آن نیاز دارید پروژه... به نظر می رسد این است:

تصور کنید که در هوای بالای سطح آویزان است مدل وایرفریممکعب، یعنی گویی "ساخته شده از سیم"، و بالای آن - یک لامپ. اگر لامپ را روشن کنید، سایه را از روی مکعب با مداد ترسیم کنید و سپس لامپ را خاموش کنید، سپس برآمدگی مکعب روی سطح نمایش داده می شود.

بیایید به کمی پیچیده تر برویم. دوباره به نقاشی با لامپ نگاه کنید: همانطور که می بینید، همه پرتوها در یک نقطه همگرا می شوند. نامیده می شود نقطه ناپدید شدنو برای ساخت استفاده می شود طرح ریزی چشم انداز(و گاهی موازی است، زمانی که همه پرتوها با یکدیگر موازی هستند. نتیجه این است که احساس حجم ایجاد نمی شود، اما سبک تر است، و اگر نقطه ناپدید شدن به اندازه کافی از جسم پرتاب شده فاصله داشته باشد، آنگاه تفاوت بین این دو پیش بینی به سختی قابل توجه است). برای نشان دادن یک نقطه معین بر روی صفحه معین با استفاده از نقطه ناپدید شدن، باید یک خط مستقیم از نقطه ناپدید شدن و این نقطه رسم کنید و سپس نقطه تلاقی خط حاصل و صفحه را پیدا کنید. و برای اینکه یک شکل پیچیده‌تر، مثلاً یک مکعب را نشان دهید، باید هر یک از رئوس آن را به تصویر بکشید و سپس نقاط مربوطه را به هم وصل کنید. لازم به ذکر است که الگوریتم طرح ریزی زیرفضارا می توان به حالت 4D-> 3D تعمیم داد، نه فقط 3D-> 2D.

همانطور که گفتم، ما نمی‌توانیم دقیقاً تصور کنیم که محور OQ چه شکلی است، و نه تسراکت. اما اگر آن را روی حجم پخش کنیم، و سپس آن را روی صفحه کامپیوتر بکشیم، می‌توانیم تصور محدودی از آن داشته باشیم!

حالا بیایید در مورد طرح ریزی تسراکت صحبت کنیم.

در سمت چپ طرح مکعب بر روی صفحه و در سمت راست تسراکت روی حجم است. آنها کاملاً مشابه هستند: برآمدگی یک مکعب شبیه به دو مربع کوچک و بزرگ است که یکی در داخل دیگری قرار دارد و رئوس مربوطه آنها با خطوط به هم متصل شده اند. و برجستگی تسراکت مانند دو مکعب کوچک و بزرگ به نظر می رسد که یکی در داخل دیگری قرار دارد و رئوس مربوطه در آن به هم متصل شده اند. اما همه ما یک مکعب دیده‌ایم و می‌توانیم با اطمینان بگوییم که هم مربع کوچک و هم مربع بزرگ و هم چهار ذوزنقه بالا، پایین، سمت راست و چپ مربع کوچک، در واقع مربع هستند. آنها برابر هستند. و تسراکت همان است. و مکعب بزرگ و مکعب کوچک و شش هرم کوتاه در طرفین مکعب کوچک - اینها همه مکعب هستند و برابرند.

برنامه من نه تنها می تواند یک تسراکت را بر روی یک حجم ترسیم کند، بلکه می تواند آن را بچرخاند. بیایید ببینیم چگونه این کار انجام می شود.

برای شروع، من به شما می گویم که چیست چرخش موازی با هواپیما.

تصور کنید که مکعب حول محور OZ می چرخد. سپس هر یک از رئوس آن دایره ای را حول محور OZ توصیف می کند.

دایره یک شکل صاف است. و صفحات هر یک از این دایره ها موازی یکدیگر و در این حالت موازی با صفحه XOY هستند. یعنی می توانیم نه تنها در مورد چرخش حول محور OZ بلکه در مورد چرخش موازی با صفحه XOY نیز صحبت کنیم.همانطور که می بینید در نقاطی که به موازات محور XOY می چرخند، فقط آبسیسا و مختصات تغییر می کنند، اعمال باقی می ماند. بدون تغییر و در واقع، تنها زمانی می توانیم در مورد چرخش حول یک خط مستقیم صحبت کنیم که با فضای سه بعدی سروکار داشته باشیم. در فضای دو بعدی، همه چیز حول یک نقطه می چرخد، در فضای چهار بعدی - حول یک صفحه، در فضای پنج بعدی ما در مورد چرخش حول یک حجم صحبت می کنیم. و اگر بتوانیم چرخش حول یک نقطه را تصور کنیم، پس چرخش به دور یک صفحه و حجم چیزی غیرقابل تصور است. و اگر در مورد چرخش موازی با صفحه صحبت کنیم، در هر فضای n بعدی یک نقطه می تواند موازی با صفحه بچرخد.

احتمالاً بسیاری از شما در مورد ماتریس چرخش شنیده اید. با ضرب یک نقطه در آن، به نقطه ای می رسیم که به موازات صفحه با زاویه فی می چرخد. برای فضای دو بعدی، به این صورت است:

نحوه ضرب: x از یک نقطه چرخش شده توسط یک زاویه phi = کسینوس زاویه phi * x نقطه اصلی منهای سینوس زاویه phi * y از نقطه اصلی.
زاویه فی = سینوس زاویه phi * x نقطه اصلی به اضافه کسینوس زاویه فی * y نقطه اصلی.
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya
Ya` = سینف * Xa + cosph * Ya
، که در آن Xa و Ya ابسیسا و مختص نقطه ای هستند که باید بچرخد، Xa` و Ya` ابسیسا و مختصات نقطه ای هستند که قبلاً چرخیده شده است.

برای فضای سه بعدی، این ماتریس به صورت زیر تعمیم می یابد:

چرخش موازی با صفحه XOY. همانطور که می بینید، مختصات Z تغییر نمی کند، بلکه فقط X و Y تغییر می کنند.
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya + Za * 0
Ya` = sinph * Xa + cosph * Ya + Za * 0
Za` = Xa * 0 + Ya * 0 + Za * 1 (در واقع Za` = Za)

چرخش موازی با صفحه XOZ. چیز جدیدی نیست،
Xa` = cosph * Xa + Ya * 0 - sinph * Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (در واقع، Ya` = بله)
Za` = sinph * Xa + Ya * 0 + cosph * Za

و ماتریس سوم.
Xa` = Xa * 1 + Ya * 0 + Za * 0 (در واقع Xa` = Xa)
Ya` = Xa * 0 + cosph * Ya - sinph * Za
Za` = Xa * 0 + sinph * Ya + cosph * Za

و برای بعد چهارم، آنها به این صورت هستند:


فکر می کنم شما قبلاً فهمیده اید چه چیزی را باید ضرب کنید، بنابراین من یک بار دیگر آن را توصیف نمی کنم. اما توجه داشته باشید که همان کار یک ماتریس برای چرخش موازی با صفحه در فضای سه بعدی را انجام می دهد! هم این و هم این فقط مختصات و اعمال را تغییر می دهند و بقیه مختصات با هم تماس ندارند، بنابراین می توان در حالت سه بعدی به سادگی به مختصات چهارم توجه نکرد.

اما فرمول طرح ریزی چندان ساده نیست. هر چقدر هم که فروم خواندم، هیچ کدام از روش های پروجکشن به من نرسید. موازی برای من مناسب نیست، زیرا طرح ریزی سه بعدی به نظر نمی رسد. در برخی از فرمول های طرح ریزی، برای پیدا کردن یک نقطه، شما باید یک سیستم معادلات را حل کنید (و من نمی دانم چگونه حل آنها را به کامپیوتر آموزش دهم)، برخی دیگر را من به سادگی متوجه نشدم ... به طور کلی، من تصمیم گرفتم تا به روش خودم برسم یک طرح 2 بعدی-> 1 بعدی را برای این کار در نظر بگیرید.

pov به معنای "نقطه دید"، ptp به معنای "نقطه به پروژه" و ptp نقطه مورد نظر در محور OX است.

زوایای povptpB و ptpptp`A برابر هستند (خط چین موازی با محور OX است، خط مستقیم povptp مقطع است).
x نقطه ptp` برابر است با x نقطه ptp منهای طول قطعه ptp`A. این بخش را می توان از مثلث ptpptp`A یافت: ptp`A = ptpA / مماس زاویه ptpptp`A. ما می توانیم این مماس را از مثلث povptpB پیدا کنیم: مماس زاویه ptpptp`A = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp).
پاسخ: Xptp` = Xptp-Yptp / ptpptp`A.

من در اینجا شروع به توصیف جزئیات این الگوریتم نکردم، زیرا موارد خاص زیادی وجود دارد که فرمول تا حدودی تغییر می کند. چه کسی به آن اهمیت می دهد - به کد منبع برنامه نگاه کنید، همه چیز در آنجا در نظرات توضیح داده شده است.

برای اینکه یک نقطه در فضای سه بعدی را روی یک صفحه قرار دهید، فقط دو صفحه - XOZ و YOZ را در نظر بگیرید و برای هر یک از آنها این مشکل را حل خواهیم کرد. در مورد فضای چهار بعدی، در حال حاضر سه صفحه وجود دارد که باید در نظر گرفته شود: XOQ، YOQ و ZOQ.

و در نهایت در مورد برنامه. این کار به این صورت است: شانزده راس تسراکت را مقداردهی اولیه کنید -> بسته به دستورات وارد شده توسط کاربر، آن را بچرخانید -> پروژه به حجم -> بسته به دستورات وارد شده توسط کاربر، چرخش طرح آن -> پروژه به صفحه -> قرعه کشی.

من پیش بینی ها را نوشتم و خودم می چرخم. آنها طبق فرمول هایی که من توضیح دادم کار می کنند. کتابخانه OpenGL خطوط می کشد و همچنین ترکیب رنگ را انجام می دهد. و مختصات رئوس تسراکت به صورت زیر محاسبه می شود:

مختصات رئوس خط با مرکز در مبدا و طول 2 - (1) و (-1).
- "-" - مربع - "-" - و طول لبه 2:
(1; 1)، (-1; 1)، (1; -1) و (-1; -1)؛
- "-" - مکعب - "-" -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
همانطور که می بینید، یک مربع یک خط بالاتر از محور OY و یک خط زیر محور OY است. یک مکعب یک مربع در جلوی صفحه XOY و یک مربع در پشت آن است. تسراکت یک مکعب در طرف دیگر حجم XOYZ و یکی در این یکی است. اما اگر آنها را در یک ستون بنویسید، درک این تناوب یک ها و منفی ها بسیار آسان تر است.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

در ستون اول یک و منهای یک متناوب. در ستون دوم ابتدا دو مثبت و سپس دو منفی وجود دارد. در سوم، چهار به علاوه یک، و سپس چهار منهای یک. اینها بالای یک مکعب بودند. تسراکت دوبرابر تعداد آنها را دارد و بنابراین لازم بود یک حلقه برای اعلام آنها بنویسید، در غیر این صورت گیج شدن بسیار آسان است.

برنامه من همچنین می تواند آناگلیف را ترسیم کند. صاحبان خوشحال عینک های سه بعدی می توانند یک تصویر استریوسکوپی را ببینند. هیچ چیز مشکلی در کشیدن یک تصویر وجود ندارد، فقط دو برآمدگی را روی یک صفحه می کشد، برای چشم راست و چپ. اما این برنامه بسیار بصری تر و جالب تر می شود و از همه مهمتر - ایده بهتری از دنیای چهار بعدی ارائه می دهد.

عملکردهای کمتر مهم - برجسته کردن یکی از لبه ها به رنگ قرمز، به طوری که می توانید پیچ ​​ها را بهتر ببینید، و همچنین راحتی های جزئی - تنظیم مختصات نقاط "چشم"، افزایش و کاهش سرعت چرخش.

بایگانی با برنامه، کد منبع و دستورالعمل های استفاده.

به محض اینکه توانستم بعد از عمل سخنرانی کنم، اولین سوال از دانش آموزان پرسیده شد:

کی برای ما مکعب 4 بعدی می کشی؟ ایلیا عبدالخائویچ به ما قول داد!

به یاد دارم که دوستان عزیزم گاهی اوقات یک لحظه برنامه آموزشی ریاضی را دوست دارند. بنابراین، من بخشی از سخنرانی خود را برای ریاضیدانان در اینجا نیز خواهم نوشت. و بدون خستگی تلاش خواهم کرد. البته در برخی موارد سخنرانی را با دقت بیشتری خواندم.

بیایید اول توافق کنیم. فضای 4 بعدی و حتی بیشتر از آن 5-6-7- و به طور کلی فضای k-بعدی در حواس حسی به ما داده نمی شود.
معلم مدرسه یکشنبه من، که اولین کسی بود که به من گفت مکعب 4 بعدی چیست، گفت: "ما بدبخت هستیم زیرا فقط سه بعدی هستیم." مدرسه یکشنبه، البته، بسیار مذهبی بود - ریاضی. این بار ما هایپر مکعب ها را مطالعه کردیم. یک هفته قبل از آن، استقراء ریاضی، یک هفته پس از آن، چرخه هامیلتونی در نمودارها - به ترتیب، این کلاس هفتم است.

ما نمی توانیم یک مکعب 4 بعدی را لمس کنیم، بو کنیم، بشنویم یا ببینیم. با آن چه کنیم؟ ما می توانیم آن را تصور کنیم! زیرا مغز ما بسیار پیچیده تر از چشم و دست ماست.

بنابراین، برای اینکه بفهمیم یک مکعب 4 بعدی چیست، بیایید ابتدا بفهمیم که چه چیزی در دسترس ماست. مکعب سه بعدی چیست؟

باشه باشه! من از شما یک تعریف ریاضی واضح نمی خواهم. فقط ساده ترین و رایج ترین مکعب سه بعدی را تصور کنید. ارائه کرده اید؟

باشه.
برای اینکه بفهمیم چگونه یک مکعب 3 بعدی را به یک فضای 4 بعدی تعمیم دهیم، بیایید بفهمیم که یک مکعب 2 بعدی چیست. خیلی ساده است - یک مربع است!

مربع 2 مختصات دارد. مکعب سه دارد. نقاط مربع نقاطی با دو مختصات هستند. اولی از 0 تا 1 است. و دومی از 0 تا 1. نقاط مکعب سه مختصات دارند. و هر کدام هر عددی از 0 تا 1 است.

منطقی است که تصور کنیم یک مکعب 4 بعدی چنین چیزی است با 4 مختصات و همه چیز از 0 تا 1.

/ * همچنین منطقی است که یک مکعب 1 بعدی را تصور کنیم که چیزی بیش از یک قطعه ساده از 0 تا 1 نیست. * /

بنابراین، بس کنید، چگونه یک مکعب 4 بعدی رسم می کنید؟ از این گذشته، ما نمی توانیم فضای 4 بعدی را در یک هواپیما ترسیم کنیم!
اما فضای 3 بعدی را هم روی هواپیما نمی کشیم، آن را ترسیم می کنیم طرح ریزیروی صفحه 2 بعدی نقاشی. مختصات سوم (z) را در یک زاویه قرار می دهیم و تصور می کنیم که محور از صفحه نقاشی "به سمت ما" می رود.

اکنون کاملاً مشخص است که چگونه یک مکعب 4 بعدی رسم کنیم. همانطور که محور سوم را در یک زاویه مشخص قرار دادیم، محور چهارم را بگیرید و همچنین آن را در یک زاویه مشخص قرار دهید.
و وایلا! - طرح ریزی یک مکعب 4 بعدی بر روی یک هواپیما.

چی؟ اصلا این چیه؟ من همیشه از پشت میزها زمزمه می شنوم. بگذارید با جزئیات بیشتر توضیح دهم که این آشفتگی خطوط چیست.
ابتدا به مکعب سه بعدی نگاه کنید. ما چه کرده ایم؟ یک مربع گرفتیم و در امتداد محور سوم (z) کشیدیم. مانند بسیاری از مربع های کاغذی است که در یک توده به هم چسبیده اند.
در مورد یک مکعب 4 بعدی هم همینطور است. برای راحتی و برای اهداف علمی تخیلی، محور چهارم را «محور زمان» بنامیم. ما باید یک مکعب سه بعدی معمولی برداریم و آن را از زمان "اکنون" به زمان "در یک ساعت" بکشیم.

ما یک مکعب اکنون داریم. در تصویر صورتی است.

و اکنون آن را در امتداد محور چهارم - در امتداد محور زمان (من آن را به رنگ سبز نشان دادم) می کشیم. و ما مکعب آینده را دریافت می کنیم - آبی.

هر رأس "مکعب اکنون" در زمان اثری از خود بر جای می گذارد - یک بخش. ارتباط حال او با آینده اش.

به طور خلاصه، بدون متن: ما دو مکعب سه بعدی یکسان کشیدیم و رئوس مربوطه را به هم وصل کردیم.
به همان روشی که با مکعب 3 بعدی انجام دادیم (2 مکعب دو بعدی یکسان بکشید و رئوس را به هم وصل کنید).

برای رسم یک مکعب 5 بعدی باید دو کپی از مکعب 4 بعدی (یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 0 و یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 1) بکشید و رئوس مربوطه را با لبه ها. درست است، چنین درهم آمیزی از لبه ها در هواپیما بیرون می آید که درک چیزی تقریبا غیرممکن خواهد بود.

وقتی یک مکعب 4 بعدی را تصور کردیم و حتی توانستیم آن را ترسیم کنیم، می توانیم به هر شکلی آن را کشف کنیم. فراموش نکنید که آن را هم در ذهن و هم در تصویر بررسی کنید.
مثلا. یک مکعب 2 بعدی از 4 طرف توسط مکعب های 1 بعدی محدود شده است. این منطقی است: برای هر یک از 2 مختصات، هم شروع و هم یک پایان دارد.
یک مکعب 3 بعدی از 6 طرف توسط مکعب های 2 بعدی محدود شده است. برای هر یک از سه مختصات، یک شروع و یک پایان دارد.
این بدان معناست که یک مکعب 4 بعدی باید به هشت مکعب 3 بعدی محدود شود. در هر یک از 4 مختصات - در هر دو طرف. در تصویر بالا به وضوح 2 وجه را می بینیم که آن را در امتداد مختصات "زمان" محدود کرده اند.

در اینجا دو مکعب وجود دارد (آنها کمی مایل هستند زیرا دارای 2 بعد هستند که روی یک صفحه در یک زاویه قرار گرفته اند) که ابرمکعب ما را به چپ و راست محدود می کند.

همچنین به راحتی می توان به "بالا" و "پایین" توجه کرد.

دشوارترین چیز این است که بصری درک کنید که "جلو" و "پشت" کجا هستند. قسمت جلویی از جلوی "مکعب اکنون" شروع می شود و تا جلوی "مکعب آینده" - قرمز است. عقب، به ترتیب، بنفش.

تشخیص آنها سخت‌ترین است زیرا مکعب‌های دیگر زیر پای شما در هم می‌پیچند، که ابرمکعب را در مختصات پیش‌بینی‌شده متفاوتی محدود می‌کند. اما توجه داشته باشید که مکعب ها هنوز متفاوت هستند! در اینجا تصویر دیگری است که در آن "مکعب اکنون" و "مکعب آینده" برجسته شده است.

البته این امکان وجود دارد که یک مکعب 4 بعدی را در فضای 3 بعدی قرار دهید.
اولین مدل فضایی ممکن واضح است که به نظر می رسد: شما باید 2 اسکلت مکعبی بردارید و رئوس مربوطه آنها را با یک لبه جدید به هم وصل کنید.
الان همچین مدلی ندارم در سخنرانی، من یک مدل 3 بعدی کمی متفاوت از یک مکعب 4 بعدی را به دانش آموزان نشان می دهم.

می دانید که چگونه یک مکعب بر روی صفحه ای مانند این پرتاب می شود.
انگار از بالا به یک مکعب نگاه می کنیم.

نزدیکترین خط البته بزرگ است. و لبه دور کوچکتر به نظر می رسد، ما آن را از طریق لبه نزدیک می بینیم.

به این ترتیب می توانید یک مکعب 4 بعدی را پخش کنید. مکعب اکنون بزرگتر است، ما مکعب آینده را در دوردست می بینیم، بنابراین کوچکتر به نظر می رسد.

از طرف دیگر. از سمت بالا.

مستقیماً از کنار صورت:

از کنار دنده:

و آخرین زاویه، نامتقارن. از قسمت "شما هم بگید بین دنده هاش نگاه کردم."

خوب، پس شما می توانید به هر چیزی برسید. به عنوان مثال، همانطور که یک مکعب 3 بعدی روی یک هواپیما جارو می شود (به این ترتیب باید یک ورق کاغذ را برش دهید تا در هنگام تا کردن یک مکعب به دست آورید)، یک مکعب 4 بعدی نیز وجود دارد. به فضا مثل بریدن یک تکه چوب به طوری که با تا کردن آن در فضای 4 بعدی، یک تسراکت به دست می‌آید.

شما می توانید نه فقط یک مکعب 4 بعدی، بلکه به طور کلی مکعب های n بعدی را مطالعه کنید. به عنوان مثال، آیا این درست است که شعاع کره ای که به دور یک مکعب n بعدی احاطه شده است کمتر از طول لبه این مکعب است؟ یا، در اینجا یک سوال ساده تر وجود دارد: یک مکعب n بعدی چند رأس دارد؟ چند لبه (وجه 1 بعدی)؟

تکامل مغز انسان در فضای سه بعدی اتفاق افتاد. بنابراین تصور فضاهایی با ابعاد بزرگتر از سه برای ما دشوار است. در واقع مغز انسان نمی تواند اجسام هندسی را با ابعاد بیش از سه تصور کند. و در عین حال به راحتی می توانیم اجسام هندسی را با ابعاد نه تنها سه، بلکه با ابعاد دو و یک نیز تصور کنیم.

تفاوت و قیاس بین فضاهای یک بعدی و دو بعدی و همچنین تفاوت و قیاس بین فضاهای دو بعدی و سه بعدی به ما این امکان را می دهد که کمی صفحه رمز و راز را که ما را از فضاهای با ابعاد بزرگتر جدا می کند باز کنیم. برای درک چگونگی استفاده از این قیاس، یک شی چهار بعدی بسیار ساده را در نظر بگیرید - یک ابر مکعب، یعنی یک مکعب چهار بعدی. برای قطعیت، فرض کنید می‌خواهیم مشکل خاصی را حل کنیم، یعنی تعداد وجه‌های مربع یک مکعب چهار بعدی را بشماریم. کل ملاحظات زیر بسیار سست خواهد بود، بدون هیچ مدرکی، صرفاً بر اساس قیاس.

برای درک اینکه چگونه یک هایپرمکعب از یک مکعب معمولی ساخته می شود، ابتدا باید ببینید که چگونه یک مکعب معمولی از یک مربع معمولی ساخته می شود. برای اصالت ارائه این مطالب، در اینجا یک مربع معمولی را SubCube می نامیم (و آن را با succubus اشتباه نمی گیریم).

برای ساختن یک مکعب از یک زیر مکعب، باید زیر مکعب را در جهت عمود بر صفحه زیر مکعب در جهت بعد سوم بکشید. در این حالت، یک زیر مکعب از هر طرف زیر مکعب اصلی رشد خواهد کرد که یک وجه دو بعدی جانبی مکعب است که حجم سه بعدی مکعب را از چهار طرف، دو تا عمود بر هر جهت، محدود می کند. صفحه زیر مکعب و در امتداد محور سوم جدید، دو زیر مکعب نیز وجود دارد که حجم سه بعدی مکعب را محدود می کند. این وجه دوبعدی است که در ابتدا زیر مکعب ما در آن قرار داشت و آن وجه دوبعدی مکعب است که در انتهای ساخت مکعب زیر مکعب ظاهر شد.

آنچه را که خواندید با جزئیات بیش از حد و با توضیحات فراوان بیان شده است. و نه اتفاقی. حالا این ترفند را انجام می دهیم، چند کلمه در متن قبلی را به صورت رسمی به این صورت جایگزین می کنیم:
مکعب -> هایپرمکعب
زیر مکعب -> مکعب
هواپیما -> حجم
سوم -> چهارم
دو بعدی -> سه بعدی
چهار -> شش
سه بعدی -> چهار بعدی
دو -> سه
هواپیما -> فضا

در نتیجه، متن معنی‌داری زیر را دریافت می‌کنیم که دیگر زیاد جزئی به نظر نمی‌رسد.

برای ساختن هایپرمکعب از یک مکعب، باید مکعب را در جهت عمود بر حجم مکعب در جهت بعد چهارم بکشید. در این حالت، یک مکعب از هر طرف مکعب اصلی رشد خواهد کرد که یک وجه سه بعدی جانبی ابرمکعب است، که حجم چهار بعدی ابرمکعب را از شش ضلع، سه عمود بر هر جهت در فضای مکعب و در امتداد محور چهارم جدید، دو مکعب نیز وجود دارد که حجم چهار بعدی ابرمکعب را محدود می کند. این صورت سه بعدی است که در ابتدا مکعب ما در آن قرار داشت و آن وجه سه بعدی ابرمکعب است که مکعب در پایان ساخت ابرمکعب ظاهر شد.

چرا ما اینقدر مطمئن هستیم که توصیف درستی از ساخت یک ابر مکعب دریافت کرده ایم؟ زیرا دقیقاً همان جانشینی صوری کلمات، شرح ساخت مکعب را از شرح ساخت مربع به دست می آوریم. (خودتان آن را بررسی کنید.)

اکنون مشخص است که اگر باید یک مکعب سه بعدی دیگر از هر طرف مکعب رشد کند، از هر لبه مکعب اولیه یک صورت باید رشد کند. در مجموع، یک مکعب دارای 12 لبه است، به این معنی که برای آن 6 مکعب که حجم چهار بعدی را در امتداد سه محور فضای سه بعدی محدود می کند، 12 وجه جدید (زیر مکعب) ظاهر می شود. و هنوز دو مکعب وجود دارد که این حجم چهار بعدی را از پایین و از بالا در امتداد محور چهارم محدود می کند. هر کدام از این مکعب ها 6 وجه دارند.

در مجموع، دریافتیم که هایپرمکعب دارای 12 + 6 + 6 = 24 وجه مربع است.

تصویر بعدی ساختار منطقی یک ابر مکعب را نشان می دهد. مانند یک ابر مکعب بر روی یک فضای سه بعدی است. این منجر به یک قاب سه بعدی ساخته شده از دنده می شود. در شکل البته می توانید برآمدگی این قاب را بر روی هواپیما نیز مشاهده کنید.

روی این قاب، مکعب داخلی، همان طور که گفته شد، همان مکعب اولیه است که ساخت و ساز از آن آغاز شد و حجم چهار بعدی ابر مکعب را در امتداد محور چهارم از پایین محدود می‌کند. این مکعب اولیه را در امتداد محور چهارم اندازه گیری به سمت بالا کشیده و وارد مکعب بیرونی می شود. بنابراین مکعب های بیرونی و داخلی از این شکل، هایپرمکعب را در امتداد محور بعد چهارم محدود می کنند.

و بین این دو مکعب 6 مکعب جدید دیگر نمایان است که با دو مکعب اول وجه مشترک دارند. این شش مکعب ابر مکعب ما را در امتداد سه محور فضای سه بعدی محدود می کنند. همانطور که می بینید آنها نه تنها با دو مکعب اول که درونی و بیرونی روی این قاب سه بعدی هستند در تماس هستند، بلکه همچنان با یکدیگر در تماس هستند.

می توانید درست در شکل محاسبه کنید و مطمئن شوید که هایپرمکعب واقعا 24 وجه دارد. اما این سوال پیش می آید. این اسکلت ابر مکعبی در فضای سه بعدی با هشت مکعب سه بعدی بدون هیچ شکافی پر شده است. برای ایجاد یک هایپرمکعب واقعی از این برجستگی سه بعدی یک ابرمکعب، لازم است این قاب را به سمت بیرون برگردانید تا هر 8 مکعب حجم 4 بعدی را محدود کند.

اینگونه انجام می شود، اینجوری درست میشه. از یکی از ساکنان فضای چهاربعدی دعوت می کنیم که به ما سر بزند و از او کمک بخواهیم. او مکعب درونی این اسکلت را گرفته و آن را در جهت بعد چهارم که عمود بر فضای سه بعدی ماست تغییر می دهد. در فضای سه بعدی ما، آن را به گونه ای درک می کنیم که گویی کل قاب داخلی ناپدید شده است و فقط قاب مکعب بیرونی باقی مانده است.

علاوه بر این، دستیار چهار بعدی ما در زایشگاه ها برای زایمان بدون درد کمک خود را ارائه می دهد، اما زنان باردار ما از این احتمال می ترسند که کودک به سادگی از شکم ناپدید شود و در یک فضای سه بعدی موازی قرار گیرد. بنابراین، چهار نفر مودبانه خودداری می شود.

و ما با این سوال که آیا برخی از مکعب های ما با چرخاندن قاب هایپرمکعب از داخل به بیرون گیر کرده اند، متحیر شده ایم. از این گذشته، اگر چند مکعب سه بعدی اطراف هایپرمکعب، همسایگان خود را روی قاب با صورت خود لمس کنند، آیا اگر چهاربعدی قاب را به داخل بچرخاند، آیا آنها نیز همین چهره ها را لمس خواهند کرد؟

اجازه دهید دوباره به قیاس با فضاهای با ابعاد پایین تر بپردازیم. تصویر قاب سیمی هایپرمکعب را با طرح ریزی مکعب سه بعدی بر روی صفحه نشان داده شده در تصویر زیر مقایسه کنید.

ساکنان فضای دوبعدی بر روی یک هواپیما قابی از برآمدگی یک مکعب بر روی هواپیما ساختند و از ما ساکنان سه بعدی دعوت کردند تا این قاب را به داخل برگردانیم. چهار رأس مربع داخلی را می گیریم و آنها را عمود بر صفحه حرکت می دهیم. در همان زمان، ساکنان دو بعدی ناپدید شدن کامل کل قاب داخلی را می بینند و آنها فقط قاب مربع بیرونی را دارند. با چنین عملیاتی، تمام مربع هایی که با لبه های خود در تماس بودند، همچنان لبه های قبلی را لمس می کنند.

بنابراین امیدواریم که طرح منطقی هایپرمکعب نیز با چرخاندن قاب هایپرمکعب به بیرون نقض نشود و تعداد وجه های مربعی هایپرمکعب افزایش نیافته و برابر با 24 باقی بماند. ، یک دلیل نیست، بلکه صرفاً یک حدس بر اساس قیاس است ...

پس از خواندن همه چیز در اینجا، به راحتی می توانید قاب های منطقی یک مکعب پنج بعدی را ترسیم کنید و محاسبه کنید که چند راس، لبه، وجه، مکعب و هایپرمکعب دارد. اصلا سخت نیست.